圆锥曲线的性质及其推广应用

目录

摘要 (1)

Abstract (2)

1引言 (3)

2圆锥曲线的曲线方程、性质 (4)

2.1圆锥曲线的曲线方程 (4)

2.2圆锥曲线的性质 (10)

2.2.2双曲线的性质 (11)

3圆锥曲线在生活中的推广应用 (15)

参考文献 (20)

致谢 (21)

摘要

本文在简单介绍圆锥曲线的基础上，对圆锥曲线在中学数学的一些定义及其相关性质的讲解分析，即椭圆、双曲线、抛物线的性质，并在其基础上对圆锥曲线的几个性质在实际生活中进行推广应用。天体的运行时的轨迹经常用圆锥曲线来描述，圆锥曲线在日常生活中也很常见，并且人们在现实生活中也广泛运用到圆锥曲线的一些光学性质。并利用一些常见的题型对其光学性质在生活中的推广应用进行分析，讲解。

关键词：圆锥曲线；分类；性质；推广应用

Abstract

Based on the simple introduction of conic curve,on conic curve in the analysis on some definition and properties of middle school https://www.360docs.net/doc/d85617100.html,ly the properties of elliptic,hyperbolic,parabolic,and on the basis of several properties of conic curves in real life to be.Conic curve is often used to describe the orbit of the curve,the curve is very common also in daily life ,optical properties and conic curve is also widely used in real life.And the application of its optical properties in life are analyzed by means of some common questions explan.

Keywords:conic;classification;properties;application

1引言

古希腊亚历山大时期的数学家阿波罗尼奥斯，利用平面截取一个对顶的圆锥，就根据在平面的不同位置，可分别得出双曲线，椭圆和抛物线；当两个底面都与平面相交的时候，在圆锥的侧面就可得到双曲线；当底面和平面都没有相交的时候（就是与所有的母线都相交），在圆锥的侧面得到的就是椭圆，特殊的时候就是与对顶圆锥底面平行的时候得到的就是圆；而当平面与对顶圆锥的一个底面相交的时候，在圆锥的侧面得到的就是抛物线了。本文在此基础上简单的概括了圆锥曲线的定义及其性质，结合生活实际介绍了圆锥曲线在生活中的运用，并利用实际例题进行分析、见解。

2圆锥曲线的曲线方程、性质

在几何、数学学中通过平切对顶圆锥得到的曲线，包括椭圆，圆，抛物线，双曲线以及一些已经退化的曲线类型。圆锥曲线又被称为圆锥截面,圆锥截痕以及二次曲线【1】。圆锥曲线的定义应用最为广泛的为（抛物线，椭圆，双曲线的统一定义）：一动点到一定点（定点即焦点）的距离与其到一条定直线（准线）之间的距离的比为常数（离心率）的点的集合为圆锥曲线。 2.1圆锥曲线的曲线方程

定理 1 【2】平面内的与两个定点12,F F 的距离和等于常数（大于

12F F ）的点的轨迹就叫椭圆。这两个定点就叫椭圆的焦点，两焦点的

距离就叫做椭圆的焦距。

如图1：建立平面标系xoy ,使x 轴经过点12,F F ，且点O 与线段12F F 的中点重合。

假设(,)M x y 是椭圆上的任意一个点，椭圆焦距为2(0)c c >，则其焦点12,F F 的坐标分别是(,0),(,0)c c -。又假设M 与1F 和2F 的距离和是等于常数a 2。

由椭圆的定义，椭圆就是集合{}122p M MF MF a =+= 又可知，,22c a >即,c a >所以022>-c a ，令222b c a =-)0(>b

其标准方程为 )0(122

22>>=+b a b

y a x

例 1 求满足以下条件的椭圆标准方程：

（1)、已知两焦点坐标分别为(3,0),(3,0)-，椭圆上一点p 到这两个焦点的距离和等于12;

（2）、已知B A ,是两个定点， 8=AB 且三角形ABC 的周长等于18，求顶点C 的轨迹方程。

解：（1）因为所求的椭圆的焦点是在x 轴上，即假设所求椭圆的标准方程是为

)0(122

22>>=+b a b

y a x

因为

图1

所以33=b ,所以椭圆的标准方程

127

362

2=+y x

（2）如图2，建立坐标系，使x 轴经过B A ,，原点O 与AB 的中点重合。

由题意可知,8,18==++AB AB BC AC 有,10=+BC AC 即点c 的轨迹是椭圆，且

,108182,82=-==a c

所以

.945,5,4222=-===b a c

但当点c 在直线AB 上，即o y =时，C B A ,,三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是

).0(19252

2≠=+y y x

注：求出方程后要检查方程上的点是否都符合题意。如不符合题意就应在方程后注明限制条件。

图2

定理 2 【2】与两个定点12,F F 的距离差的绝对值是等于常数（并且小于12F F ）的点的轨迹就叫做双曲线。这两个定点就叫做双曲线的焦点，两焦点的距离就叫双曲线的焦距。

如图3 建立直角坐标系xoy ，使x 轴经过1F ,2F ，并且点O 与线段

21F F 重合。

假设(,)M x y 是这个双曲线上的任意点，双曲线的焦距为2(0)c c >，则此双曲线的焦点12,F F 的坐标分别是(,0)(,0)c c -，又假设点M 与两焦点12,F F 的距离差的绝对值是为常数a 2。

那么由定义可知，双曲线即为集合 {}122p M MF MF a =+= 又可知,22a c >即a c >，所以.022>-a c 令222b a c =-)0(>b

所以双曲线的标准方程为 ： )0,0(122

22>>=-b a b

y a x

例2 已知一双曲线焦点是在y 轴上，并已知双曲线上的两点1,2p p ，坐标分别是()()3,4.2,5-，则求满足以上条件的双曲线的标准方程。

图3

解：由题可知双曲线的焦点是在y 轴上的，所以我们可假设所求双曲线的标准方程为

)0,0(122

22>>=-b a b

x a y 已知点1,2p p 是在所求双曲线上的，则点1,2p p 的坐标是适合方程()1的，再将()()3,4,2,5-依次代入方程()1中，可得到方程组

???????=-=--142513)4(2

222

22b a b a ()1 令2

21

,1b

n a m ==

,则方程组化为 ?

解这个方程组，得

??

??

?==91278

n m 即,91271,8122==b a ,所有所求双曲线的标准方程为19

12782

2=-

x y 定理 3 【2】与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点F 叫做抛物线的焦点，直线L 则叫做抛物线的准线。

如图4：建立如图的直角坐标系xoy ，使得x 轴过点F 并且要垂直直线L

图4

设()0KF p p =>，那么焦点F 的坐标为???

??0,2

P

，准线的方程为

2

p x -

=。 假设点(,)M x y 是如图的抛物线上的任意一点，则点M 到L 之间的距离就由抛物线定义，则抛物线就是集合 {}P M MF d ==一条抛物线，由于它的位置在坐标平面内有所不同，方程也不同。则由此可知抛物线的标准方程就出现了一下几种形式

第一种 标准方程为 )0(22>=p px y ,焦点坐标为 ??

? ??0,2

p ，它的准线方

程为 2

p

x -=

第二种 标准方程为 )0(22>-=p px y ,焦点坐标为 ??

? ??-0,2

p ，它的准线

方程为 2

p x =

第三种 标准方程为 )0(22>=p py x ,焦点坐标为 ??

? ?

?2,0p ，它的准线方

程为 2

p

y -=

第四种 标准方程为 )0(22>-=p py x ,焦点坐标为 ??

?

?

?-2,0p ，它的准线

方程为 2

p y =

例3 )1(已知一抛物线的标准方程是212y x =，则求此抛物线的准线方程及它的焦点坐标 ；

)2(已知抛物线的焦点坐标是 ()0,4F -，求它的标准方程。 解：)1(因为6=p ，所以准线方程是3x =-.焦点坐标是()3,0， )2(由题可知所求抛物线的焦点在y 轴负半轴上，且42

=p

，8p =，则所求的抛物线的标准方程就为y x 162-= 2.2圆锥曲线的性质 2.2.1椭圆的性质

性质一【5】：椭圆具有对称性，在椭圆的标准方程中，以x -代替x ，或以y -代替y ,或以,x y --分别代入,x y ,方程都不变，所以椭圆关于y 轴和x 轴以及原点都是对称的，坐标轴就是椭圆的对称轴，原点既是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫椭圆的中心。

性质二【5】：由于x 轴、y 轴都为椭圆的对称轴，则椭圆和它的对称轴就有了四个交点，并且这四个交点分别为椭圆的四个顶点。若与

x 轴的两交点分别为12,A A ，与y 轴的两个交点分别为21,B B ，那么12A A 或

12B B 就是椭圆的长轴或短轴。a 、b 叫做椭圆的长半轴或短半轴。

性质三【3】：离心率，为椭圆的焦距和长轴之间的比a

c

e =，就叫做椭圆的离心率。

例4 试求满足以下条件的椭圆标准方程： )1(经过点()3,0p -、()0,2m -； )2(长轴的长等于20，离心率等于.

解：（1）根据椭圆的性质可知，以坐标轴作为对称轴的椭圆与此坐标轴的交点为椭圆的顶点，则已知点p 、m 分别为椭圆的长轴以及短轴上的一个端点。于是

3,2a b ==.

又因为长轴在x 轴上，所以椭圆的标准方程为 14

92

2=+y x

（2）已知，220a =, 5.0==

a

c

e 所以10,5a c ==所以55=b 因为椭圆的焦点是在x 轴上的，但同时也有可能是在y 轴上，因此所

求的满足条件的椭圆的标准方程就为

17510022=+x y 或175

1002

2=+y x 2.2.2双曲线的性质

性质一【4】：双曲线具有对称性；且每一个原点和坐标轴它都是对称的。因此坐标轴就为双曲线的对称轴，原点就为双曲线的对称中心。并且双曲线的对称中心又可叫做双曲线的中心。

性质二【7】：双曲线的顶点；在一双曲线的标准方程中，假设0y =，

x a =-，所以双曲线与x 轴就有两个交点即1(,0)A a -,2(,0)A a ,由于x 轴为

双曲线的对称轴，则双曲线与它的对称轴就有两个交点，这两个交点都叫做双曲线顶点。如果双曲线和y 轴都没有交点，且与x 轴交于

1(,0)A a ,2(,0)A a - ,则，令12(0,),(0,)B b B b - ，所以就有，线段12A A 称作双

曲线的实轴，它的长就为2a ，且a 为双曲线的实半轴长；线段12B B 为双曲线的虚轴，其长就等于2b ,且b 为双曲线的虚半轴长。

性质三【8】：我们把直线b

y x

=±叫做双曲线的渐进线。在以下方

a

程x，假如有a b=，则双曲线的方程就为222a y x=-，并且它的虚轴和实轴的长都为2a，此时四条直线：x a=±，y a=±就可围城一个正方形，又渐进线方程为x y=±，并且它们是互相垂直的，还平分双曲线的虚轴和实轴之间所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。性质四：【8】双曲线的焦距与实轴长的比c e a=，叫做双曲线的离心率，因此0c a>>,所以双曲线的离心率1e>.由等式222b a c=-可得1222-=-=e a a c a b因此e越大，a b也越大，即渐近线x a b y±=的斜率的绝对值越大，双曲线的形状就会从狭窄变得开阔，因此，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。例5、求双曲线14416922=-x y的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程。解：把方程化为标准方程1342222=-x y由此可见，实半轴长4a=，虚半轴长3b=. 5342222=+=+=b a c

焦点坐标是()0,5,()0,5-，离心率45==a c e 渐近线方程为y x 4

3±=，

即 x y 4

3

±=

2.2.3抛物线的性质

性质一【5】：抛物线的顶点，即抛物线与抛物线的轴的交点称作抛物线的顶点，在方程)0(22>=p px y 中，当0y =时，0x =，因此抛物线22(0)y px p =>的顶点就为坐标原点。

性质二【7】：抛物线具有对称性，如果以y -代替y ,则方程

22(0)y px p =>不变，则说明这条抛物线是关于x 轴对称的，所以我们

就把抛物线的对称轴称作抛物线的轴。

性质三【7】：抛物线上的点M 到它的焦点的距离和到准线的距离的比，称为抛物线的离心率，以e 来表示，由抛物线的定义可得，1e =. 例6：已知一抛物线过点(

2,M -，且他的顶点在原点 ，求满足以上的标准方程。

解：由抛物线关于x 轴对称，顶点在原点，且过点(2,M -，则可假设它的标准方程是为 22(0)y px p =>， 因为点M 在抛物线上，所以 22)22(2?=-p ， 即 2P =.因此所求方程是 x y 42=

双曲线、椭圆、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下表1：

3圆锥曲线在生活中的推广应用

圆锥曲线是描述各大星系围绕运行的曲线，也是现实当中随处可见的曲线，再者圆锥曲线的光学性质在日常生活当中运用甚多。 例7、如图，我国1970年4月24日发射的第一颗人造地球卫星——“东方红”1号，是以地心2F 为一个焦点的椭圆。已知人造地球卫星的近地点A （距地面最为近的点）与地面之间的距离为439km ,远地点B （距地面的距离最近的点）与地面之间的距离为2384km ，且2F 、A 、B 都在同一直线上，地球半径大约是6371km ，求卫星运行的轨道方程（精确到1km ）.

解：如图5建立直角坐标系，让点A 、B 、2F 在x 轴上，且2F 为椭圆的右焦点（则记1F 为左焦点）。

表1

由于椭圆的焦点在x 轴上，则假设它的标准方程为：

)0(12

2

22>>=+b a b y a x 则 A F OF OA c a 22=-=-63714396810=+=, B F OF OB c a 22=+=+637123848755=++. 解：7782.5a =，972.5c =. 所以

b ==

= 用计算器求得7722b =，因此，卫星的轨道方程是

1772277832

2

22

=+y x

图5

圆锥曲线的光学性质和应用

一只灯泡散出的光，会以灯光为点形成球形射出，然而，灯泡装在手电筒里以后适当的调节，就能射出一束比较强的平行光线，这到底由什么原理组成的呢？

其实在电筒离得小灯泡的身后就有一面反光镜，这面镜反光镜的镜面的形状是一个由我们如上所述抛物线的原理，即绕着它的轴旋转而得到的一个曲面【8】（如图6所示）这个面就被称为抛物面。经证明，抛物线有一重要的性质即从焦点射发出的光线，在经抛物面反射后，其反射光线就会平行于抛物线的对称轴。探照灯也是利用这个原理设计的。

图6

同样的道理我们运用抛物线的这个性质理论，都可让一束抛物线的轴的光线且是平行与抛物线的，它在经抛物面的反射候会集中于它的焦点上。在生活中这个原理也被人们应用来设计了一种可以为食物加热的太阳灶。就是在太阳灶上面安装了一个形如旋转抛物面的一面反

光镜，在太阳光和这面反光镜的轴平行的时候，经过反射的太阳光会集中于它的焦点出，此时这个位置的温度就会逐渐变得很高。

双曲线和椭圆的光学性质与抛物线的光学性质之间是有一些不同的。由双曲线的一个焦点所发出的光线在经其反射过后，其反射光线一定是散开的，就好似从另外的一个焦点射出来的那样（如图7所示）。然而由椭圆上一焦点所散出的光线，在经其反射之后，反射的光线会交于椭圆的另外一个焦点上（如图8所示），当然双曲线以及椭圆的光学性质也各种设计以及生活当中被人们广泛地运用。

图8 图7

例八、生活中、探照灯上的反射镜的轴截面是属于抛物线范畴（如图9所示），探照灯的光源即抛物线的焦点，已知灯口圆的半径是30厘米，且灯深为40厘米，求抛物线的焦点所处位置及抛物线的标准方程。

图9 图10

解：如上图10所示，我们可以看见在探照灯的轴的截面所处的平面上建立一个平面直角坐标系，使得反光镜的顶点（也是抛物线的顶点）与原点重合，并且x 轴是垂直于灯口直径的。

假设所求的抛物线的标准方程是)0(22>=p px y 。由题可知点A 的坐标是()40,30，代入方程，可得 3030240P ?=?, 即 45

4

p =

. 所以所求抛物的标准方程为：x y 2452=，焦点坐标为：45

(,0)8

。

总 结

本篇文章在介绍圆锥曲线的图形的简单形成之后，利用了数形结合的思想，函数与方程的思想，简单的概括的圆锥曲线的图像函数，并根据一些简单的例子巩固了圆锥曲线的概念。再者，又利用了分类讨论的思想；对椭圆、双曲线、抛物线的几个相同的性质及不同的性质进行分析，最后归纳总结。且在了解了圆锥曲线的几个基本性质之后再对其在生活中的推广应用进行一个简单的讲解与分析。在一些例