几何画板数学实验案例

几何画板数学实验案例

――圆锥曲线的判定

【实验目的】

在数学建模思想的指导下，根据圆锥曲线的定义和性质，利用几何画板实验的方法，反推验证所给曲线为椭圆、抛物线和双曲线，以培养学生自觉应用所学知识分析问题、解决问题的意识和能力。

【实验前提】

1.在几何画板中仅给定一条二次曲线（椭圆、抛物线和双曲线）

2.预备知识：

圆锥曲线的定义和性质

椭圆、双曲线的平行弦的中点轨迹过中心

抛物线的平行弦的中点轨迹平行于对称轴的性质

【实验设计】

一、判定给定曲线为椭圆

1.找中心：如下图，作给定曲线（椭圆）的平行弦AB和CD的中点，过两弦中点的直线交给定曲线于E、F,作出弦EF的中点O （椭圆中心）。

2.作顶点：以O为圆心，过B作圆，取此圆与给定曲线的一个交点G, 连接BG，分别过O作BG的垂线和平行线（长轴、短轴所在直线），分别取它们与给定曲线的一个交点H、1（椭圆长轴、短轴的顶点之一）。

3.作焦点：以点1（短轴的顶点）为圆心、线段OH（半长轴）为半径作圆, 交直线OH于点F i、F2（椭圆焦点）。

4.验证为椭圆：在给定曲线上取点M,度量|MF i|> |MF2|的距离，计算|MF i|+|MF2|的值，拖动点M发现|MF i|、|MF2|的值在变化，|MF i|+|MF2I的值不变，满足椭圆的定义，所以给定曲线为椭圆。

二、判定给定曲线为抛物线

i.找顶点：如图，作给定曲线（抛物线）的平行弦AB和CD的中点E、F，连接EF（平行于对称轴），过点E作EF的垂线，交给定曲线于G、H两

点，作

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出弦GH的中点I,过I作GH的垂线（抛物线对称轴），交给定曲线于点

0（抛物线顶点）。

2.作焦点：作线段EI的中点J，以I为中心将点J旋转90°得点K,连接EK,过顶点O作EK的平行线交给定曲线于点L,过L作直线LF（线段LF 为通径之半）交对称轴OI于F（抛物线的焦点，V|LF|/|OF|=2）o以O为中心将点F旋转180°得点N,过N作对称轴OI的垂线（抛物线准线）。

3.验证为抛物线：在给定曲线上取点M,度量距离|MF|、M到准线的距离d,计算|MF|/d的值，拖动点M发现|MF|、d的值在变化，MF/d的值不变, 满足抛物线的定义，所以给定曲线为抛物线。

二、判定给定曲线为抛物线

1.找中心：如下图，作给定曲线（双曲线）的平行弦AB和CD的中点, 过两弦中点的直线交给定曲线于G、H,作弦GH的中点O （双曲线中心）。

2.作顶点：以O为圆心过B作圆，在点B的同支上取交点I,连接BI，过O作BI的垂线（实轴轴所在直线），交给定曲线于两点A i、A2 （两顶点）。

3.作虚半轴b：取BI与直线A i A2的交点J，分别过B、A2作A i A2的平行线和垂线，其交点为L；以A1A2为直径作圆，过点J作此圆的切线，设切点为K，连接OK,过L作LM平行于OK，交直线A\A于M，则A2M的长等于虚半轴b o

1 OJ x0证明：设B(x o, y o),在Rt A JKO中，苗=OK =亳

因为Rt A JKO^Rt A LA2M, tan 3 = =

于

所以呉_1~-tan23 = 1 n MA2 =b 所以a2 MA；cos23 2

4.作焦点：以A；为中心，将点M旋转90°得点N,以O为圆心过点N 作圆交直线A1A2于点F i、F2（双曲线焦点）。

5.验证为双曲线：在给定曲线上取点M,度量|MF i|、|MF2|的距离，计

算||MF I|-|MF；||的值，拖动点M发现|MF i|、|MF2|的值在变化，||MF I|-|MF；||的值不变，满足双曲线的定义，所以给定曲线为双曲线。