2015高考数学大题题型及通解思维

2015高考数学大题题型及通解思维

当前教学上喜欢讲究一题多解，因为这样能够锻炼学生的做题思维和技巧，但是搏众高考中心今天我们要反其道而行之，那就是一解多题。

数学大题表面上是很难，但是通过多年的教学积累和经验总结，我们发现数学整个学科的解题思维基本上趋于一致，能够形成通解，使我们在数学教学上大幅的简化，甚至不需要刻意的思考。我们借助一下历年高考真题，看看是不是能够用一种方法或一种思维进行解答。这里，我们全部采用05~08全国I 卷的最后一题，发现是数列、函数或不等式题，没关系，题型不一样，看看是否能用固定的思维解法，解题步骤中存在什么样的共性：

（05全国卷）已知函数].1,0[,274)(2∈--=x x

x x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；

（Ⅱ）设1≥a ，函数g x x a x a x ()[,]=--∈323201，。若对于任意x 101∈[]，总存在x 001∈[]，，使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围。

解析：本题看似式子复杂，但是第一问直接可根据定义去做，这个分数必须拿到。根据定义得出以下式子：

解：（I ）对函数)(x f 求导，得222)

2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-='到这步几乎大家都会，题目问的是的单调区间和值域，很多人看到这个式子不敢往下分析，其实仍旧跟据定义： 令0)(='x f 解得.2

721==x x 或然后做表分析即可。【思考：凭什么令0)(='x f ？】 当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：

所以，当)21,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,2

1(∈x 时，)(x f 是增函数.

当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[－4，－3].

第二问很多人看题目就晕菜了，其实这道题即使你不会分析，大胆的往下做，就能把题目做对，我们思考下，题目给的条件和我们要求的差距点是什么？这道题的差距点虽然较大，但是用这种求差值的思想是能一步步走下去的，题目给的是g(x),x 1和x 0,并且给了范围，要我们求解a 的范围，要想求a 的值，就必须列出a 的表达式，a 的表达式想要列出，就必须从g （x ）入手，题目给的信息除了区间就没有其他能利用的条件了。既然题目给的是区间，因此我们不妨对函数)(x g 求导，得

).(3)(22a x x g -='【思考：凭什么进行求导？目的是什么？】到了这一步，由于题目告诉我们1≥a ，

所以当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g

因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数，从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈这个就是我们所要的缺失条件。到这里可能同学们清楚了为什么要进行求导，因为题目给了我们取值区间，要想求出a 值，只要判断这个函数的增减性就行了，这就是条件差异弥补的推导思想。由于知道函数的增减性，就容易了，马上可列出a 的表达式：

又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即当]1,0[∈x 时有].2,321[)(2a a a x g ---∈有人说这个不是表达式，还是个未知数，没关系，我们再用同样的思想去走，发现现在能利用的条件也异常清楚了（因为就这个没用上了）：

任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =，

则[,][,]1232432---?--a a a

即1234123

22--≤-<>-≥-<>???a a a 解得 351-≤≥a a 或； .2

3≤a 又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤

≤a 评析：这道题式子复杂，05年高考时候正确率非常之低，但是其中的解题过程并不复杂，思维方向也十分明确，只是考题将多个概念进行转换，条件隐蔽的相对较深。数学题的核心就是知识点与逻辑能力的结合，但是总的思想是异常相似的，几乎全部的解答题都可以用一个思维来做，就是“条件差异弥补法”和“必要性思维”。所谓的“必要性思维”指的是要想获取某个结果，必须获得的前提是什么，多属于逆推，两者的道理是一样的。

这里我们总结出这道题的思维步骤和解题步骤：

全部的思维步骤：

1、 严格按照题目的要求，判断要我们干什么

2、 找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么

3、 利用“找后补”或“找前提”的方式弥补出这个差距

4、 最终联系条件得出这个结论

固定的解题步骤：

1、 直接根据课本定义得出结论（某类题注意取值分析）

2、 用求同存异的思想进行条件转换

3、 函数用式子变形推出结果（引申：若是证明，数列用数学归纳法）

我们来看下道题，是否能够套用以上结论：

（06全国卷）设数列{}n a 的前n 项的和

14122333n n n S a +=-?+，1,2,3,n =

（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；

（Ⅱ）设2n

n n T S =，1,2,3,n =，证明：132n

i i T =<∑ 解析：题目直接要求我们求首项和通项，由于我们知道通项和Sn 公式，就能直接根据定义来做。

解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23

所以a 1=2. 再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23

, n=2,3，4,… ② 将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13

×(2n+1－2n ),n=2,3, …做到这一步相信大家都会，那么我们要求a n 公式，通过这个式子，我们发现差距点在a n －a n －1，同时可以2n+1－2n 也是相差一次，

因此直接提出后，可以得出： a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 这个就是我们所弥补的缺失点。因而

数列{ a n +2n }是首项为a 1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －

2n , n=1,2,3, …, 做到这里，我们要问自己凭什么这么转化，我们所求的a n 和得到的结果(a n 与a n －1)存在差异点，要想把这个差异点弥补，就把他们之间的关系列出，就能得出结论。

第二问是数学证明，首先可以考虑数学归纳法证明，但是这题题设与我们得到的结论差距较少，直接求解较快，如果为求稳妥，建议用数学归纳法。看看直接求解的思路：

题目让干嘛就干嘛，别多想，直接用定义。题目给的是2n

n n

T S =这个式子，那么必须求出Sn 。 (Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13

×(2n+1－1)(2n+1－2) 【请思考】 = 23×(2n+1－1)(2n －1) ，然后求出Tn 和1n

i

i T =∑（问题与题目的差距点，并想办法补上） T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1

) 所以, 1n i i T =∑= 321(n i =∑12i

－1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 32 评析：这题本身难度不高，但是第一步的难度较大，但是用上必要性思维和求差距思想，要想获得a n 通项，必须结合起来解答，全部的难点仅此而已。总体而言，全部的解题思维是惊人的趋于一致的。不信？看下道题：

（07全国卷）已知数列{}n a 中12a =

，11)(2)n n a a +=+，1

23n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423

n n n b b b ++=+，123n =，，，…，

43n n b a -<≤，1

23n =，，，…． （07全国卷）解析：发现这题的做法思路完全和06年的一致，显然不能一步到位，还是先求出a n

与某个数的关系式，题目告诉我们11)(2)n n a a +=+，说明差距体现在

1上，用这

个式子来决定我做题的方向：

解（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+

1)(n a = 11)(2)

n n a a +=．

所以，数列{n a -是首项为21的等比数列，

1)n n a ，即n a 的通项公式为1)1n n a ?=+?，123n =，，，…． 这道题难在第一步不知道如何去想，题目告诉我们的条件似乎比较棘手，但是用这种“追求差异”并想法弥补的思维定式去做，很容易就将题目解答出来了。对于高考，方法越简单越实用越好，尤其是第二步给出了个看似复杂的式子，我们没有必要花费过多的精力推导，直接用数学归纳法即可（过程略）。

评析：整体难度其实不大，但是看起来比较有难度。我们只要沿用这种求同存异的“补差”思想，还是非常容易做的，甚至连计算都不难。

看到这里，大家应该能用这种思维去做其他题了吧，我们日常遇见的题型虽然各有差异，其实总的做题思维真的没有太多差距，并且在解题步骤上也十分类同。大家不妨用这种思维去看看08的最后一题。

（08全国卷）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．

（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；

（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；

（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b

-≥．证明：1k a b +>． 简要解析：看看08高考题型结合函数了，依旧用同一个思想，第一步，依旧是题目让干嘛就干嘛，求函数增减性，直接用定义，要证明，数学归纳法。

解：第一步（略），第二步证明，发现第一步函数的增减性可以直接利用，直接用数学归纳法。 第三步较为复杂，没关系，这题表面是数列，其实考察的是不等式，无论是哪类题型，其根本点还是从条件中寻求差异，要我们证明1k a b +>，给的条件是设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b

-≥，依旧是以“必要性思维”来思考，要想获得1k a b +>这个结论，必须列出他们的表达，要想列出他们的表达，必须利用有这两个字母的条件，我们发现题目有()ln f x x x x =-和1()n n a f a +=，然后就能轻松的

得出结论：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a += ，k

k k k a a b a b a ln 1--=-+11ln k

i i i a b a a ==--∑到了这里，几乎全部出来了。

1， 若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由第二步可知：1k i a b a b +-<-≥0 2， 若对任意i k ≤都有b a i >，则k

k k k a a b a b a ln 1--=-+

11ln k i i i a b a a ==--∑11ln k i i a b a b ==--∑11()ln k

i i a b a b ==--∑b ka b a ln 1

1--> b ka b a ln 11--≥)(11b a b a --->0=，即1

k a b +>成立. 解析：这道题出的十分经典，即考察定义，又综合了多个知识点，同时式子看起来比较能够“吓唬”人，思维跳跃过程很大，但是计算本身并不复杂，这题失分率非常之高，第一步的过程就把很多学生难倒，这是不应该的，其实无论多难的数学题，解题的根本方法是从题目本身入手，题目让干嘛就干嘛，要我们做什么就自然而然的做，而不是看到题就联系知识点套用，那样只能做简单的题，对付这类灵活多变的综合题，我们要在做题过程中形成这种相对固定的解题思路，达到用一招就能化解多题，做一题，会百题的效果。

纵观近年数学考题，几乎都可以用这种思维拿下，当然这是站在数学的理解基础上，核心原则是以题做题，挖掘各类题型思维的共性，这样才能在数学考试上战无不胜，攻无不克。

09试题的题型虽然比较独特，但是看看能否用这种思维来作出这道题呢？我们看看：设函数

()3233f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且11[1

0],[1,2].x x ∈-∈， （I ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出

满足这些条件的点(),b c 的区域；

(II)证明：()21102

f x -≤≤- 解析：不管这道题的问法是什么，拿到题后还是先关注题目让

我们干什么。题目意图是让我们画出关于f （x ）成立bc 的条件范

围，我们什么都不要想，直接顺着题意来：

()2363f x x bx c '=++由题意知方程()0f x '=有两个根12x x 、

1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈则有()10f '-≥，()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，故有

这个不等式组全部转化为c 的表达式，出来后就能通过坐标系画图，它们

围起来的区域就是所得的区域。之所以要求导，是因为导数=0时是极值点，

这个就是直接根据定义得来的，符合我们说的通解思维。（具体图不画了）

第(II)问很多考生就不会做了，因为有一定的区分度，更主要原因是含字母较

多，不易找到突破口。来看我们的思想原则：首先找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么，然后利用“找后补”或“找前提”的方式弥补出这个差距，题目让我们干嘛就干嘛。本题让我们证明()21102

f x -≤≤-，既然是要求x 2，我们不妨想办法列出f （x 2）的表达，从题目给的极值和x 2的取值范围，我们不妨根据定义对()32222233f x x bx cx =++求导，得出

()22223630f x x bx c '=++=，有了这个式子，我们看看还有什么条件没用上？转化一步，写成

c x bx 2121222--=，那么直接消去b 得，()32221322

c f x x x =-+为什么要消去b 呢？因为由第一步大家画的区域可以知道b ，c 的取值范围，我们只有将()2x f 转为b 或c 的表达式，才能得出

结果，这是由题目条件的差异来决定的，当考生拿到题的时候，第一时间要朝着“能利用”的方向转化，要想证明()2x f 这个式子，必须列出表达式，表达式列出后，存在两个字母，要想能够得出结论，当然要消去一个字母，这就是通解中求差异的必要性思维。其实无论消去b 或者消去c ，都能根据第一步的结论得出证明结果，只是消去b 省事一些而已。

又

2[1,2]x ∈，且[2,0]c ∈-，所以有()c x f c 2

321342+-≤≤+-，又有02≤≤-c 2110()2f x ∴-≤≤- 最后管卫东总结一下，以后碰上数学大题，千万不要慌乱，直接照着题目意思来，坚信自己能够做下去并且做对。因为高考很难遇到熟悉的题型，所以大家在训练的时候一定把握住上面说的特点：1、题目让干嘛就干嘛；2、找出问题和条件的差距点；3、但凡卡住的时候找“前提”或“后补”。

这里只是借用数学高考试题，题型可以说几乎都不一样，但总体的思路却有其相似之处。纵观题海，其实理科大多数学科都能够总结出这类通解方法。当然，作为一个考生，我们没有必要去花费太多时间和精力去刻意整理，但是这种道理应当要有所意识。希望大家在复习过程尤其是做题，最好多花一点时间多看题，多总结，多思考；少盲目做题，少抓瞎训练。这样才能够提高效率，在考试中任何大题都成为自己夺分的筹码。