4.4还原法解应用题

04 财迷过桥

——还原法解应用题

学习目标:

1、理解什么是还原法，会运用还原法解决数学问题。

2、用还原法解决应用题时，会借助线段图或者表格等来分析问题、解决问题。

3、理解什么是“将错就错”，能通过错误的计算结果即错误的原因推导出正确的计算结果。

4、培养学生自我发现问题、解决问题的能力。

教学重点:

1、会运用还原法解决数学相关问题。

2、会借助线段图或者表格等来分析问题、解决问题。

教学难点：

用还原法解决应用题时，会借助线段图或者表格等来分析问题、解决问题。

教学过程：

一、情景体验

师：同学们，上课前，老师给大家讲一个故事——财迷过桥。

师：从前，有一个财迷总想使自己的钱成倍增长。一天，他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但是作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板。”财迷算了算，觉得很划算，就同意了。他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他高兴地给了老人32个铜板，然后接着走，当走完第五个来回时，他发现身上只剩下最后32个铜板了，如果给了老人，就一个铜板也不剩了。故事讲完了，同学们知道这是为什么吗？财迷最初手上有多少个铜板呢？（学生自由发言）

师：通过今天的学习，看看同学们能不能发现其中蕴含着怎样的数学问题呢？

二、思维探索（建立知识模型）

展示例题：

例1：一包铅笔，第一次用去总数的一半又3支，第二次用去余下的一半又2支，第三次又用去余下的一半又1支，最后还剩下7支，这包铅笔原有多少支？师：知道最后剩下的铅笔数，如何计算铅笔原有的支数呢？在前面的课程学习中，我们学习了作图法解决问题，现在我们结合题意，来画线段图分析一下。（展示课件）

师：结合线段图分析，根据最后剩下7支，倒过来想一下，第二次后还剩下几支铅笔呢？

生：因为第三次用去了余下的一半还多一支，最后剩下7支，所以第二次剩下的是7+1的和的两倍，即：（7+1）×2=16（支）。

师：非常好，那么第一次后还剩多少呢？

生：因为第二次用去了余下的一半又2支，所以是16+2的两倍，即：（16+2）×2=36（支）。

师：非常正确。原来有多少支，现在同学们知道怎么算了吗？在认真观察一下这个线段图的数量关系，把算式写出来。（学生自主完成，汇报结果）

解题步骤：7+1=8（支） 8×2=16（支）

16+2=18（支） 18×2=36（支）

36+3=39（支） 39×2=78（支）

答：这包铅笔原有78支。

小结：有些应用题的思考，是从应用题所述事情的最后结果出发，利用已知条件一步步倒着推理，逐步靠拢所求，直到解决问题。这种思考问题的方法，通常我们把它叫做倒推法，也就是还原法。

用还原法解决应用题时，可以借助线段图、表格等来分析解答。

三、思维拓展（知识模型拓展）

展示例题：

例2：将8个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数都恰好等于它前面两个数之和。如果第7个数和第8个数分别是81、131，那么第1个数是多

少？

师：同学们读懂题目的意思了吗？在这个问题中我们还是需要借助还原法来解决问题，是吗？（是）问题中只告诉了我们最后两个数的值，而最后一个数又是前面两个数的和，也就是说，我们需要从最后两个数开始，倒着一一把前面的每个数推导出来。想一想，第6个数+第7个数=第8个数，也就是说，多少加上81是等于131的呢？（）+81=131。

生：50：131-81=50。

师：接下来在怎么做呢？

生：一样的呀，只用计算多少加上50等于81。

师：很好，（）+50=81呢？

生：31：81-50=31。

师：很好，接下来的过程同学们会了吗？自己动手完成下面的过程。

（ 19 ）+31=50；

（ 12 ）+19=31；

（ 7 ）+12=19；

（ 5 ）+7=12；

师：运用还原法解决这个问题是不是很简单呢？接下来我们再来看一个数学问题。

展示例题：

例3：在做一道加法题时，朋朋把个位上的5看成9，把十位上的8看成了3，结果得到123，问正确答案应该是多少？

师：想一想，这与前面的问题有什么区别吗？能够用还原法吗？

生：不能。

师：能确定这两个加数分别是多少吗？不知道两个加数的情况下，能求出正确的答案吗？这里没有告诉我们是哪个加数的十位或者个位的数字看错了，但是问题只要我们求出正确的和，那么，同学们认真思考一下，个位上5看成9，十位上8看成3，意味着什么呢？

生：个位上多了4，十位上少了5.

师：非常好。我们都知道，不同数位上的数字代表的意义不一样，是吧？（是的）个位表示几个1，而十位表示几个10，那么既然个位上多加了4个1，我们只用在错误的结果上把多加的减去，那么十位上是少加了多少呢？少加了我们又该怎么办呢？

生：少加了5，就是5个10，也就是少加了50，所以只用在错误的结果上把少加的再加上就可以了。

师：说的非常好。所以要求正确的计算结果，我们只用把多加的减去，少加的加上就可以了，这种方法也叫做“将错就错”。

正确结果：123+50-4=169

四、融汇贯通（知识模型的运用）

展示例题：

例4：袋子里有若干个球，小奥每次拿出其中的一半再放回一个球，像这样一共做了三次，袋中还有3个球。问原来袋中有多少个球？

师：这个问题可以用还原法吗？

生：可以。

师：前面我们总结过用还原法解决问题时，可以借助线段图、表格等来分析，在第一个问题中我们借助过线段图，现在我们借助一下表格来分析一下。（展示课件）第三次拿出后还剩下3个球，而每次拿出其中的一半后又放回一个球，说明每次拿出后剩下的球比一半还多1个，思考一下，第三次拿出前有多少个球呢？生：4个，（3-1）×2=4。

师：第二次拿出前呢？第一次拿出前呢？

生：第二次拿出前有6个，（4-1）×2=6。

生：第一次拿出前有10个，（6-1）×2=10。

展示例题：

例5：甲、乙、丙三个人各有书若干本，如果甲先给乙5本，乙再给丙6本，最后丙给甲7本，那么他们每人都有20本。原来三人各有书多少本？