(完整word版)高等代数期末考试题

上海理工大学

研究生试题

/学年第1 学期

课程名称：高等代数

教师签章：年月日教研室主任审查意见：

签章：年月日1.编号栏由研究生部填写。

上海理工大学研究生课程试题* / 学年第 1学期 考试课程 高等代数 学 号 姓 名 得 分

一、设复矩阵110430102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

（1）求A 的最小多项式；

（2）求A 的初等因子；

（3）求A 的若当标准形. （15分）

二、已知二次型

()222123123121323,,222222f x x x x x x x x x x ax x =+++++，

通过某个正交线性变换可化为标准形2221234f y y y =++，

（1）写出二次型f 的矩阵A 及A 的特征多项式，并确定a 的值； （2）求出作用的正交线性变换；

（3）二次型

f 是否正定？求出f 的正惯性指数.（18分）

三、设V 是一个n 维欧氏空间，12,,,m ααα为V 中的正交向量组，令

{}(,)0,,1,2,

,i W V i s αααα==∈= （1）证明：W 是V 的一个子空间；

（2）证明：()12,,,m W L ααα⊥=.(12分)

四、设V 是全体次数不超过n 的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，定义V 上的线性变换A ：

V x f x f x xf x f A ∈∀-=)(),()())((' （1）写出线性变换A 在基211,,,,n x x

x -下的矩阵； （2）求A 的核)0(1-A 和值域AV ； （3）证明：AV A V ⊕=-)0(1.（16分）

五、V=n n P ⨯为数域P 上n 阶方阵组成的线性空间，1V 为数域P 上n 阶对称方阵的集合，2V 为数域P 上n 阶反对称方阵的集合，求证：1V 和2V 均为V 的子空间，且有12V V V =⊕.（14分）

六、.设P 是数域，33p ⨯表示P 上的所有33⨯矩阵的集合，对于矩阵的加法及数乘运算，33p ⨯是

*注：考题全部写在框内，不要超出边界。内容一律用黑色墨水书写或计算机打印，以便复印。

P 上的线性空间，令{}33|Tr 0V A P A ⨯=∈=， 求V 的维数和V 的一组基.（10分）

七、设B A ,是向量空间V 的两个线性变换，且BA AB = 证明：(1)B 的值域BV 与核)0(1-B 都是A 的不变子空间;

(2)若0λ是A 的一个特征值，则A 的特征子空间0λV 是B 的不变子空间. （15分）