高等代数05期中试题(含答案)
高等代数考试题库及答案
高等代数考试题库及答案一、单项选择题（每题2分，共10题，共20分）1. 以下哪个选项是矩阵的秩？A. 矩阵中非零行的数量B. 矩阵中非零列的数量C. 矩阵中最大的线性无关行（或列）的数量D. 矩阵的行列式值答案：C2. 线性方程组有解的充分必要条件是什么？A. 系数矩阵的行列式非零B. 增广矩阵的行列式非零C. 系数矩阵与增广矩阵的秩相等D. 系数矩阵与增广矩阵的秩不相等答案：C3. 对于一个n阶方阵A，下列哪个选项是正确的？A. A的行列式为0，则A可逆B. A的行列式不为0，则A可逆C. A的行列式为0，则A不可逆D. A的行列式不为0，则A不可逆答案：C4. 矩阵A和B相乘，下列哪个选项是正确的？A. AB=BAB. AB=0当且仅当A=0或B=0C. AB=0当且仅当A和B中至少有一个为零矩阵D. AB=0当且仅当A和B的行列式都为0答案：C5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是？A. 由这些向量构成的矩阵的行列式非零B. 由这些向量构成的矩阵的秩等于向量的个数C. 由这些向量构成的矩阵的行列式为0D. 由这些向量构成的矩阵的秩小于向量的个数答案：B6. 向量组α1，α2，…，αn线性相关的充分必要条件是？A. 由这些向量构成的矩阵的行列式非零B. 由这些向量构成的矩阵的秩小于向量的个数C. 由这些向量构成的矩阵的行列式为0D. 由这些向量构成的矩阵的秩等于向量的个数答案：B7. 矩阵A的特征值是指？A. 满足|A-λI|=0的λB. 满足|A+λI|=0的λC. 满足|A-λE|=0的λD. 满足|A+λE|=0的λ答案：A8. 矩阵A的特征向量是指？A. 满足Ax=0的非零向量xB. 满足Ax=λx的非零向量xC. 满足Ax=0的向量xD. 满足Ax=λx的向量x答案：B9. 矩阵A和B相似的充分必要条件是？A. A和B的行列式相等B. A和B的秩相等C. 存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=BD. A和B的迹相等答案：C10. 矩阵A和B合同的充分必要条件是？A. A和B的行列式相等B. A和B的秩相等C. 存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP=BD. A和B的迹相等答案：C二、填空题（每题2分，共5题，共10分）1. 若矩阵A的行列式为3，则矩阵A的逆矩阵的行列式为______。
南京大学2005年高等代数考研试题及参考答案
123451231231231121311222321231323331424341525351121311.(,,,,),1,2,3;(,,),1,2,3,,.,,0i i i i i i j j j j a a a a a i a a a j a a a a a a x a a a a a a a a a a a a α==β==αααβββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ααα=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦一、判断题设正确！如果线形相关，则，，线形相关如果线形相关，齐次线性方程有非零解所以秩1112131222322122231323333132331424341525351112132122231233132333,30a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x a a a ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥< ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪=βββ ⎪ ⎪⎝⎭所以秩〈，那么齐次线性方程也有非零解，所以，，线形相关1232.,.2102004211100212210010120123..101101014.A B n AB A B AB AB n A B A B A B A B A ，B V V V 是线性空间V 的子空间⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设都是阶正定的矩阵，则也是正定的错误！设，，，显然非对称如果阶方阵，有完全相同的特征值，则，相似错误！，，，有完全相同的特征值，但不相似，，123112112211225..00，而且任意两个的交为0V V V V P A ，B C V A AB AC B C V P A ，B C V A A B B C C AB AC B C+==ε=εε=ε=εε=εε=ε+εε===，则+是直和。
正确！设是数域上的有限维线性空间，，都是上的线性变换，并不是零变换如果，则错误！设是数域上的二维线性空间，定义，都是上的线性变换，；，；，得出，但！ ,65432414243441.()106_310580201115(12)2005200311202.,2340246813573.(1,2,1),(1,2,1),(1,2,1),(2,3,1)(1,2,0),f x x x x x x x f D A A A A A diag B diag C diag D diag G diag B D C G 与A 相似的矩阵是：B与A 合=-+-+-==+++==-=-=--=-=二、填空则则在实数域上，，，，中，32200.21043det()?(210)3425.||111()()()(1)3333100100310033同，但不相似的矩阵是：D与A 等价，但不合同，也不相似的矩阵是：C4A B A A E B A A A f ⎛⎫- ⎪==+-= ⎪ ⎪⎝⎭=λ=λ++λ+-λ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭，，1是三级正交矩阵，迹为，，则的特征多项式为？若当标准型为？322212312312132323(,,)255448222254245det()(1)(10)()10(1,2,2)'()1(2,1,0)',(2,0,1)'f x x x x x x x x x x x x E A i ii =+++--⎛⎫- ⎪- ⎪⎪--⎝⎭λ-=λ-λ-λ=α=-λ=α=-α=12三、用正交线性变换将二次型化为标准型，并写出正交线性变换该二次型对应的矩阵A=当，对应的特征向量当，对应的特征向量然后用施23(1,2,2)';(2,1,0)';(2,4,5)'β=-β=-β=1密特法正交化12311111111111(,,),000000n n n C X CY四、设A ，B 都是数域上的n 阶方阵，A 有n 个不同的特征值，AB =BA 证明B 相似于对角阵A n A T T AT AB =BA T ATT BT T BTT AT T BT T BT -------=βββ=⎛⎫λ ⎪=λλ ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭=⎛⎫λλ ⎪= ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭ 令变换由于有个不同的特征值，所以可以对角化也就是存在可逆矩阵，使得，，，互不相同由于，所以即1111111111111111111111000000n n n n nn n n nn n n nn n n m mn n a a a a T BT a a a a a a a a a a a T BT a a a --⎛⎫ ⎪⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫λ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫λ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设，所以化简得出为对角阵，即n ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即证((),())1()((),())1,(),(),()()()()1,()()()()()0,()(),|()||()|||1()!0,f f(A)m f i m f m f A m A A f A E m A A f A E A f A E f A f(A)λλ⇔λλ=λλ=μλνλμλλ+νλλ=μ+ν==ν=ν===五、设m()是数域P 上n 阶方阵A 的最小多项式，()是数域P 上的任意多项式证明：可逆若所以存在多项式使得所以又因为所以所以从而可逆(((),())()()|(),()|()()0()0)|()|()()|0,1若f(A)可逆m f d d m d f d m A d d A d(A)=0d f f A f(A)d λλ=λ∴λλλλλλ=λλ=λλλλ=λ0000ii)，设如果是的一个解，那么是的一个解也就意味着是的一个特征值，且()是(的一个特征值所以|,由于，所以|这与可逆矛盾()=。
2005年大理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答
2005年大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答一、填空题(每小题4分)1. 设()f x 是有理数域上的不可约多项式,α为()f x 在复数域内的一个根, 则α的重数为 12. n 阶行列式211113111111n =+111![]nk n k=+∑. 3. 设α、β均为n 维列向量:'2αβ=,则'A E αβ=+可逆,1A -='13E αβ-.4. 设向量组12,,,r ααα线性无关,123213121112r r r r r rβαααβαααβαααβααα-+=+++⎧⎪=+++⎪⎪⎨⎪=+++⎪=+++⎪⎩ 则121,,,,r r ββββ+线性 相关.5. 设A 是n 阶矩阵,秩A r =,非齐次线性方程组Ax β=有解,则Ax β=的解向量组的秩为1n r -+.6. 设a 、b 均为实数,二次型222212122311(,,,)()()()()n n n n f x x x ax bx ax bx ax bx ax bx -=++++++++a 、b 满足条件1(1)0n n n a b ++-≠时,f 为正定二次型.7. 设V 是由矩阵A 的全体实系数多项式组成的线性空间,其中21000000A ωω⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中132i ω-+=,则V 的一组基是2,,E A A .8. 设V 是数域P 上的一维线性空间,写出V 上的所有线性变换 ： 取定V 的一个非零向量α,则()V L α=的全部线性变换形如:()a f x a x αα,其中a 是P 中任一取定的数.9. 正交矩阵的实特征值为1±.10. 设G 为群,H 、N 分别是G 的子群, H 、N 的阶分别是m 、n ,且m 、n 互素,令H N α∈⋂,则元素α的阶为 1.二、(10分) 设(),()f x g x 是数域P 上的多项式,证明:在数域P 上,若33()|()f x g x ,则()|()f x g x .参考解答：若(),()f x g x 中有一个是零多项式或零次多项式,则结论显然成立.下设()0f x ∂>,()0g x ∂>,且1212()()()()s r r r s g x ap x p x p x =是()g x 的标准分解式,其中12(),(),,()s p x p x p x 是互不相同的最高次项系数为1的不可约多项式,12,,,s r r r 都是正整数.任取()f x 的一个不可约因式()q x ,由于()|()q x f x ,3()|()f x f x ,33()|()f x g x利用多项式整除的传递性,得3()|()q x g x .由于()q x 是不可约多项式,故()|()q x g x ,进一步可知,()()i q x cp x =, 对某个1i s ≤≤及c P ∈.于是我们可以设1212()()()()s t t t s f x bp x p x p x =,其中12,,,s t t t 是非负整数.从33()|()f x g x 知,存在多项式()[]h x P x ∈,使得33()()|()g x f x h x =,即1212333333331212()()()()()()()s s r t r r t t s s a p x p x p x b p x p x p x h x =.由此推出33i i r t ≥,即i i r t ≥,1,2,,i s =.因此1211221122121212()()()()()()()()()()()s s s s s t r t t t r t r t s s r t r t r t s g x a bp x p x p x p x p x p x ba f x p x p x p x b------=∙=∙由多项式整除的定义知,()|()f x g x .三、(15分) 设A 为n 级矩阵,且秩A =秩2A ,证明:对任意自然数k ,有秩kA =秩A . 参考解答：对k 作数学归纳法.当1,2k =时结论显然成立.假设1k -时结论成立,即rank A =rank 1k A-.令{|0}n i i V X P A X =∈=, 1,2,i=那么显然有123V V V ⊆⊆⊆.从rank A =rank 1k A-知dim 1V =n -rank A n =-rank 1k A-=dim 1k V -于是1V =1k V -.任取0k X V ∈,即00k A X =,亦即10()0k A A X -=,那么011k A X V V -∈=.于是200A X =.进一步有13200()0k k A X A A X --==,这表明01k X V -∈,从而1k k V V -⊆.因此,1k k V V -=.于是rank A n =-dim 1V =n -dim 1k V -=n -dim k V = rank kA .四、(15分) 证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.参考解答：充分性. 若12(,,,)n f x x x 的秩为1, 则可经非退化线性替换使2121(,,,)n f x x x ky =, 其中11122n n y a x a x a x =+++,故2121122(,,,)()n n n f x x x k a x a x a x =+++.若12(,,,)n f x x x 的秩为2, 符号差为0, 则可经非退化线性替换使2212121212(,,,)()()n f x x x y y y y y y =-=+-,其中12,y y 均为12,,,n x x x 的一次多项式, 即1112221122n n n ny a x a x a x y b x b x b x =+++=+++故12(,,,)n f x x x 可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积.必要性. 设实二次型12(,,,)n f x x x 可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积 1211221122(,,,)()()n n n n n f x x x a x a x a x b x b x b x =++++++若两个一次多项式的系数成比例,即(1,2,,)i i b ka i n ==,不妨设10a ≠,令1112222n nn ny a x a x a x y x y x =+++⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩则2121(,,,)n f x x x ky =,即二次型12(,,,)n f x x x 的秩为1.若两个一次多项式系数不成比例,不妨设1212a ab b ≠,令 111222112233n n n nn ny a x a x a x y b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=+++⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则1212(,,,)n f x x x y y =.再令11221233n ny z z y z z y z y z =+⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 则22121212(,,,)n f x x x y y z z ==-,故二次型12(,,,)n f x x x 的秩为2,符号差为零.五、(15分) 设1,,n εε是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基,W 是V 的非平凡子空间, 1,,r αα是W 的一组基,证明:在1,,n εε中可以找到n r -个向量1,,n r i i εε-,使11,,,,,n r r i i ααεε-为V 的一组基.参考解答：因为W 是V 的非平凡子空间,故W V ≠.于是r n <.对n r -作数学归纳法.首先, 12,,,n εεε不能都在W 中.否则,W V =,出现矛盾.设1i ε是12,,,n εεε中不属于W 的一个向量,那么112,,,,r i αααε线性无关.令1112(,,,,)r i W L αααε=,则dim 11W r =+.由归纳假设,在12,,,n εεε中可以找到(1)n r -+个向量23,,,n r i i i εεε-使1212,,,,,,,n r r i i i αααεεε-是V 的一组基.六、(10分)设3阶矩阵A 满足2320A A E -+=,写出A 的若当(Jordan)标准型的所有可能形式.参考解答： 因为2320A A E -+=,故2()32f x x x =-+是A 的一个零化多项式.设()m x 是A 的最小多项式,则()|()m x f x .由于()(1)(2)f x x x =--没有重根,故()m x 没有重根.因此A 可以对角化.从2320A A E -+=知,A 的特征根为1或2.于是A 的Jordan 标准型的可能形式为111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,222⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 七、(10分)设V 是一个n 维欧氏空间,1,,n αα是V 的一个标准正交基, A 是V 的一个线性变换,()ij n n A a ⨯=是A 关于这个基的矩阵,证明: ji a =(A (i α),j α),,1,2,,i j n =.(其中( , )表示内积)参考解答：由所给条件知 (A 1α, A 2α,, A n α)=(1α,2α,,n α)A. 于是A i α=(1α,2α,,n α)121122i i i i ni n ni a a a a a a ααα⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭.注意1α,2α,,n α为V 的一组标准正交基,故11221122((),)(,)(,)(,)(,)(,)i j i i ni n j i j i j ni n j ji j j jiA a a a a a a a a αααααααααααααα=+++=+++==八、(25分) 设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,()f x 是A 的最小多项式,在[]P x 中,12()()()f x f x f x =,1()f x 、2()f x 均为首项系数为1的多项式,且1()f x 与2()f x 互素,令11{|V V f α=∈(A )(α)0=}, 22{|V V f α=∈(A )(α)0=}.证明:(1) (5分) 1V 和2V 都是A 的不变子空间； (2) (10分)12V V V =⊕；(3) (10分) A 1|V 的最小多项式是1()f x , A 2|V 的最小多项式是2()f x .参考解答：(1) 注意1f (A ), 2f (A )都是A 的多项式,故A 1f (A )=1f (A )A , A 2f (A )=2f (A )A.任取1V α∈,则1f (A )(α)=0.由于1f (A )(A (α))=(1f (A )A )(α)=(A 1f (A ))(α)= A (1f (A )(α))= A (0)=0.故A (α)1V ∈.由不变子空间的定义知,1V 是A 的不变子空间.类似地可证,2V 也是A 的不变子空间.(2) 因为1()f x 与2()f x 互素,存在(),()[]u x v x P x ∈使得12()()()()1u x f x v x f x +=.将x =A 代入上式,得u (A )1f (A )+v (A )2f (A )=ε (ε为恒等变换). (*) 任取V α∈,则()u αεα==(A )1f (A )(α)+v (A )2f (A )(α). (**) 由于()f x 是A 的最小多项式,故f (A )=1f (A )2f (A )=0.于是2f (A )(u (A )1f (A )(α))=(u (A )1f (A )2f (A ))(α)=u (A )(f (A )(α))=u (A )(0)=0类似地, 1f (A )(v (A )2f (A )(α))=0.因此u (A )1f (A )(α)2V ∈，v (A )2f (A )(α)1V ∈.于是从(**)知12V V V ⊆+.注意12,V V 都是V 的子空间,故12V V V =+.设12V V β∈⋂,则1f (A )(β)=0, 2f (A )(β)=0.由(*)知()βεβ==(u (A )1f (A ))(β)+(v (A )2f (A ))(β)=0,故12{0}V V ⋂=.因此12V V V =⊕.(3) 由于对任1V α∈,有1f (A )(α)0=,故1f (A )作为1V 上的线性变换是零变换,即1f (A )1|V 0=,亦即1()f x 是A 1|V 的零化多项式.设1()g x 是A 1|V 的最小多项式,则11()|()g x f x ,从而有 11()()g x f x ∂≤∂.类似地,设2()g x 是A 2|V 的最小多项式,则22()|()g x f x ,且22()()g x f x ∂≤∂. 取12()()()g x g x g x =,那么()|()g x f x ,故()()g x f x ∂≤∂. 任V γ∈,由(2)知12V V V =⊕,可设12γγγ=+,i i V γ∈.于是g (A )(γ)=1g (A )2g (A )(1γ)+ 1g (A )2g (A )(2γ)=2g (A )1g (A )(1γ)+1g (A )2g (A )(2γ)=000+=这表明()g x 是A 的零化多项式,故()|()f x g x .从而有()()f x g x ∂≤∂.于是12()()()()f x g x g x g x ∂=∂=∂+∂.从12()()()f x f x f x ∂=∂+∂, 11()()g x f x ∂≤∂, 22()()g x f x ∂≤∂知()()i i g x f x ∂≤∂.由于()i g x 是最高次项系数为1的多项式,且()|()i i g x f x 知()()i i g x f x =.九、(10分) 设R 是有1的交换环,P 是R 的素理想,12,,,n I I I 是R 的极大理想,如果P 包含12,,,n I I I 的交集,证明P 必为极大理想.参考解答：已知12n P I I I ⊇⋂⋂⋂. 现在我们证明:存在某个i ,1i n ≤≤,使得i P I ⊇.反证法:假设对任1i n ≤≤,P 都不包含i I ,则存在i i a I ∈,i a P ∉.由于j I 为理想,故12n j a a a I ∈, 1,2,,j n =.从而有1212n n a a a I I I P ∈⋂⋂⋂⊆.从12n a a a P ∈及P 是R 的素理想知, 12,,,n a a a 中至少有一个属于P ,这与i a P ∉,1,2,,i n =矛盾.这就证明了:存在某个i ,1i n ≤≤,使得i P I ⊇.而i I 是极大理想,故i P I =或P R =. 但P 是素理想,P R ≠,故i P I =. 因此P 为极大理想.。
南师大05高等代数试卷
南京师范大学2005年硕士研究生招生入学初试试卷 高等代数1、 (15分) 计算行列式5301212133215311210241210--=D 2、 (15分) 已知(1))(),(x h x f 为有理系数多项式；(2) )(),(x h x f 有公共根； (3) )(x h 在有理数域上不可约。
证明: )()(x h x f3、（15分）已知321,,ααα可由21,ββ线性表示, 证明321,,ααα线性相关.4、（30分）已知54321,,,,ααααα为欧氏空间V 的一组标正基，}0{321=++++=c b a c b a W ααα，（1）证明：W 是V 的子空间。
（2）求W 的一组基及维数。
（3）求W 的正交补。
5、（15分）计算行列式 444422221111d c b a d c b ad c b a D = 6、（30分）用正交变换将二次型替换下面二次型为标准型： 32312123222232144822),,(x x x x x x x x x x x x f +---+=7、（30分）某实验生产线每年一月份进行熟练工也非熟练工的人数统计，然后将61熟练工支持其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老熟练工经过培训及实践至年终考核有52成为熟练工，设第n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为n x 和n y ，记成向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y x ， （1）求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++11n n y x 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y x 的关系式并写成矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x A y x 11； （2）验证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141η，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112η是A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值。
（3）当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212111y x 时，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++11n n y x 。
暨南大学2005—2007年真题(高等代数)
暨南大学2005——2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（高等代数） 2005年1、 （20’）设m 是大于1的整数，12()...1m m f x xx --=+++，证明：()f x 整除()mf x c +的充要条件是c=-m2、 (20’)设n 阶行列式2cos 100012cos 100012cos 000002cos 102cos n D βββββ=1，（1） 当2k βπ=时，k 为整数，计算n D （2） 当k βπ≠时，k 为整数，证明sin(1)sin n n D ββ+=3、 (15’)下列线性方程组的系数行列式0D =，D 的某个元素ij a 的代数余子式0ij A ≠，11112212112222112200(1)0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩证明：这个方程组的解都可以写成12(,,,)i i in kA kA kA 的形式，k 为任意数.4、(20’)设A ，B 是两个n 级方阵，证明：AB 与BA 有相同的特征多项式5、(20’)将下列二次型化为标准形，并写出所用的满秩的线性替换.222123123121323(,,)235448f x x x x x x x x x x x x =+++--.6、(15’)设123(,,)L ααα表示向量1(1,0,2,0)α=,2(0,2,0,3)α=,3(2,6,4,9)α=生成的实向量空间4R 的子空间，把123(,,)L ααα的一个基底扩充成4R 的一个基.7、(20’)设σ是实向量空间3R 的线性变换，对任意向量(,,)x y z α=,()(,,)(2,23,3)x y z y z x z x y σασ==+-+--.求σ的特征根与特征向量.8、(20’)设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ的值域与σ的核重合，证明： （1）n 是偶数；（2）如何选取V 的基，才能使σ在这个基下的矩阵是若尔当（Jordon ）标准形，并写出这个标准形.2006年一、 选择题(每小题5分)1、用多项式2()31g x x x =-+除多项式42()2456f x x x x =+-+所得的余式()r x =（ ）2.4914.4914.14.491.a x b x c x d x e ----前面的答案均不对2、如果()g x 是一个非零多项式，且'(1)(1)0g g ==,'(2)(2)0g g ==,则()g x 一定有因子：（ ）22.7..16.(1)(2).a x b x c x d x x e ----前面的答案均不对3、如果行列式0112013aD x-=-的第一行第一列元素a 的代数余子式114A =，则x =（ ）..7.3.2.6.a b c d e 前面的答案均不对4、由行列式定义的x 的多项式212111()321111xx x f x xx-=的最高项系数是（ ）..7.2.8.6.a b c d e 前面的答案均不对5、如果齐次线性方程组1112131412122232423132333434142434440000a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦只有零解，则（ ）. 11121314121222324231323334341424344413.57a a a a x a aa a x a a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组无解； 11121314121222324231323334341424344410.90a a a a x a aa a xb a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组有无穷解； 11121314121222324231323334341424344413.88a a a a x a a a a x c a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组有唯一一组解；11121314121222324231323334341424344401.01a a a a x a a a a x d a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组有两组不同的解； .e 前面的答案均不对6、如果向量组{}123,,ααα是线性无关组，则（ ）也是线性无关组.{}{}{}1223311221122331.,,.,,.,,a b c αααααααααααααααα+++-++-{}122331.,,.d e αααααα---前面的答案均不对7、一个矩阵的对角线上方元素全为零，称为下三角矩阵，则（ ）. .a 任意两个同阶下三角方阵的乘积不再是下三角矩阵； .b 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定是对角矩阵； .c 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定不可逆； .d 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定可逆； .e 前面的答案均不对. 8、设{}12,,,n ααα和{}12,,,n βββ均是实数域R 上的同一个向量空间V 的基，从基{}12,,,n ααα到{}12,,,n βββ的过渡矩阵为A ，即1122n n A βαβαβα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，向量空间V 中的向量γ关于基{}12,,,n βββ的坐标为12,,,n y y y （），即[]1212,,,n n y y y ββγβ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则向量γ关于基{}12,,,n ααα的坐标为（ ）1''12121212.,,,.,,,.,,,.,,,n n n n a y y y A b y y y A c y y y A d A y y y -（）（）（）（）.e 前面的答案均不对9、三元二次型222123111222333121213132323(,,)222f x x x a x a x a x a x x a x x a x x =+++++可能的规范型是：（ ）{}{}{}222222222222222222123123123123123123..,.,,a y y y b y y y y y y c y y y y y y y y y +++++-+++---{}222222222123123121.,,0.d y y y y y y y y y e +±±--±±±，，前面的答案均不对10、当（ ）时，二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+正定.44444.(,0).(,0)(0,1).(,0)(0,).(,0)(1,2)55555a tb tc td t ∈-∈-∈-∈-.e 前面的答案均不对11、( )是实数域上次数不超过3次的多项式作成的向量空间的一组基.{}{}{}{}333.1,,,.1,2,,.1,,(1),(1)(2).1,2,9,a x x x b x x x c x x x x x x d x x x -+----+-+.e 前面的答案均不对12、若尔当矩阵1000010000000001000n nA λλλλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦满足0nA =的充要条件是（ ）. .0.0.0.0.a b c d e λλλλ><≠=前面的答案均不对13、区间[]0,1上所有实函数全体按实数与函数的乘法和函数与函数的加法作成实数域上一个向量空间，该空间是（ ）......a b c d e 无限维向量空间有限维向量空间分数维向量空间三维向量空间前面的答案均不对14、如果A 是n 阶实矩阵，()f E A λλ=-是A 的特征多项式，则（ ）..()0.()0.().1().a f A b f A c f A d f A e ≠=可逆是对特征值前面的答案均不对15、区间[]0,1上所有可微实函数全体按实数与函数的乘法和函数与函数的加法作成实数域上的一个向量空间，由2211sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,cos 22x x x xx x e x e x xe x xe x x e x x e x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭生成的子空间关于微分变换D 是（ ）......a b c d e 其核空间其象空间不变子空间其核空间的正交补空间前面的答案均不对16、矩阵126103114A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的初等因子是（ ）. {}{}{}{}32323(1)..1,(1).1,(1).1,(1),(1).a b c d e λλλλλλλλ--------前面的答案均不对17、设12,(,,)n u u u u =，12,(,,)n v v v v =都是n 维(2)n ≥欧氏空间n R 中给定的非零行向量，E 是n 阶单位矩阵.令[]121,,,,1,2,,;0nn i i i i V x x x x R i n u x =⎧⎫=∈==⎨⎬⎩⎭∑，则矩阵'A E v u =-（ ）.'.1.1.v u a b c ⊥有特征值且其特征子空间为V 有特征值且其特征子空间为V 有特征值且其特征子空间为V'.v u .d e ⊥有特征值且其特征子空间为V 前面的答案均不对18、如果λ是实正交矩阵Q 的实特征值，则（ ）.1.1.{1,1}.cos sin .a b c d i e λλλλθθ==-∈-=+前面的答案均不对19实数域上两个有限维向量空间同构的充要条件是（ ）......a b c d e 它们有相同的维数它们有不同的维数它们有相同的基它们为相同的向量空间前面的答案均不对 20、如果{}12,,,n ααα是欧氏空间V 的一组标准正交基,则（ ）是1{}W k k V α=∈的正交补空间W ⊥的一组基。
高等代数答案5
解
(1) 是; (2) 不是(因为零向量不唯一); (3) 不是(不满足向量空间定义中的(8)).
4. 在向量空间中，证明， (1) a(－α)=－aα=(－a) α ,
91
α2, α3}线性表示. 解 k1α1+k2α2+k3α3
92
k1, k2 , k3 ∈ F.
⎧ k1 + k 2 + k3 = 0 ⎪ 设 k1α1+k2α2+k3α3=0, 则有 ⎨ 2k2 + 2k3 = 0 , ⎪ 3k3 = 0 ⎩
习 题 五
1. 设 V 是数域 F 上向量空间，假如 V 至少含有一个非零向量α，问 V 中的向量是有限多还是无限多？有没有 n(n ≥ 2)个向量构成的向量空间？ 解 无限多；不存在 n(n ≥ 2)个向量构成的向量空间(因为如果 F 上一 个向量空间 V 含有至少两个向量, 那么 V 至少含有一个非零向量α , 因此 V 中含有α , 2α , 3α , 4α , …,这无穷多个向量互不相等,因此 V 中必然含 有无穷多个向量). 2. 设 V 是数域 F 上的向量空间，V 中的元素称为向量，这里的 向量和平面解析几何中的向量 α ，空间解析几何中的向量 β 有什么 区别？ 解 这里的向量比平面中的向量意义广泛得多,它可以是多项 式,矩阵等,不单纯指平面中的向量. 3. 检验以下集合对所指定的运算是否构成数域 F 上的向量空间. （1）集合：全体 n 阶实对称矩阵；F：实数域；运算：矩阵的 加法和数量乘法； （2）集合：实数域 F 上全体二维行向量；运算： ) (a1, b1) + (a2, b2)＝(a1＋a2, 0) ) k • (a1, b1)＝(ka1, 0) （3）集合：实数域上全体二维行向量；运算： ) (a1, b1) + (a2, b2)＝(a1＋a2, b1＋b2)
华中科技大学2005高等代数解答
华中科技大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题以下各题每题15分,共150分博士家园解答顾问：fenggaol 欢迎提供更多试题，我们会竭力帮助您！1．解线性方程组 231232312323123,,,x ax a x a x bx b x b x cx c x c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 其中,,a b c 为互不相等的数．2．证明: 任一n 阶方阵可以表成一个数量矩阵(具有kE 形式的矩阵)与一个迹为0的矩阵之和.3．设A 为m n ⨯实矩阵,E 为n 阶单位阵,TB E A A λ=+, 证明: 当0λ>时,B 为正定矩阵.4. 设A 为n 阶不可逆方阵,证明:A 的伴随矩阵*A 的特征值至少有1n -个为0,另一个非零特征值(如果存在)等于1122nn A A A +++ .5. 证明: 相似的矩阵有相同的最小多项式.6. 设A 为m n ⨯矩阵,b 为m 维列向量,证明AX b =有解的充分必要条件是对满足0T A z =的m 维列向量z 也一定满足0T b z =.7. 证明: 任一n 阶实可逆矩阵A 可以分解成一个正交阵Q 与一个正定阵S 之积, 即A QS =.8. 设n nM P⨯∈,(),()[]f x g x P x ∈, 且((),())1f x g x =. 令()A f M =,()B g M =,12,,W W W 分别为线性方程组0ABX =,0AX =,0BX =的解空间.证明12W W W =⊕.9. 设Ω是一些n 阶方阵组成的集合, 其中元素满足,A B ∀∈Ω, 都有AB ∈Ω,且3()AB BA =, 证明:(1) 交换律在Ω中成立.(2) 当E ∈Ω时,Ω中矩阵的行列式的值只可能为0,1±. 10. 证明: 不存在n 阶正交阵,A B , 使得22A AB B =+.华中科技大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答博士家园解答顾问：fenggaol 欢迎提供更多试题，我们会竭力帮助您！ 1. 所给线性方程组的系数行列式为范德蒙行列式222111a a D b b cc =()()()b a c a c b =---因为,,a b c 互不相等,故0D ≠.由克莱姆法则知,方程组有唯一解.取3232132a a a Db b bc c c ==()()()abc b a c a c b --- 3232232111a a D bb c c =()()()(a b a c b c b a c a c b =++---3333111a a D b b cc =()()()()a b c b a c a c b =++---那么方程组的唯一解为11D x abc D ==, 12D x ab ac bc D ==++, 13Dx a b c D==++. ■2. 设A 是任一个n 阶方阵,()ij n n A a ⨯=.假设A 可以写成A kEB =+的形式,其中k 为数域P 中的一个数,()ij n n B b ⨯=是一个迹为0的矩阵.那么11220,1,2,,,,,1,2,,.nn ii ii ij ij b b b a k b i n a b i j i j n +++==+==≠=于是111(),nnniiiiiii i i a k b nk bnk ====+=+=∑∑∑即11.nii i k a n ==∑从ii ii a k b =+得11.nii ii ii jj j b a k a a n ==-=-∑取11,nii i k a n ==∑1,1,,,n ii jj j ij ij a a i j n b a i j =⎧-=⎪=⎨⎪≠⎩∑若若那么()ij n n B b ⨯=是一个迹为0的矩阵,且A kE B =+. ■3. 对于任一个非零实n 维列向量1n c C c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,有12211(,,)0T n n n c C C c c c c c ⎛⎫ ⎪==++> ⎪ ⎪⎝⎭.令1n d AC d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,那么12211()()()(,,)0T T T n n n d C A A C AC AC d d d d d ⎛⎫ ⎪===++≥ ⎪ ⎪⎝⎭.由于0λ>,故222211221()()()()()0T T T T T T n n n C BCC E A A C C C C A A C c c d d c c λλλλ=+=+=+++++≥++>由正定矩阵的定义知,B 是正定矩阵. ■4. 设A 是数域P 上的n 阶不可逆方阵, 则rank A n <, ||0A =.若rank 1A n <-,则A 的所有1n -阶子式都为0,从而A *的元素0ij A =.这时0A *=. 显然,A *的n 个特征值都是0,结论成立.若rank 1A n =-,则A 至少有一个1n -阶子式不为0,故0A *≠,rank 1A *≥. (1)由||00AA A E E *===知,A *的每个列向量都是齐次线性方程组0AX =的解向量.设{|0}n V X P AX =∈=,12(,,,)n A ααα*= .由线性空间的理论和线性方程组的理论知rank A *=dim 12(,,,)n L ααα≤ dim V n =-rank (1)1A n n =--=. (2)由(1),(2)知rank 1A *=.因为rank 1A *=,故存在可逆矩阵n nT P⨯∈,使得12000,000n c c c TA *⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,n c c c P ∈ ,且不全为零.这时121000,000n d d d TA T *-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中11212(,,)(,,)n n d d d c c c T-= ,而12,,n d d d 不全为零.注意A *的特征多项式为1211100||||()0nn d d d E A E TA T d λλλλλλλ**------=-==-.因此,当10d =时,A *的n 个特征值都为0；当10d ≠时,A *的特征值为0(1n -重),1d (一重).注意,对于一般的n 阶矩阵()ij n n A a ⨯=来说,若A 的特征值为12,,,n λλλ ,则121122n nn a a a λλλ+++=+++ .因此,对于本题来说,当A *有1n -个特征值为0,而另一个特征值10d ≠时,有11122nn d A A A =+++ . ■5．设,A B 都是数域P 上的n n ⨯矩阵,且A 与B 相似.那么存在P 上n n ⨯可逆矩阵T 使得1T AT B -=.设A 的最小多项式为()f x ,B 的最小多项式为()g x ,则()0f A =,()0g B =.由多项式带余除法知,存在(),()[]q x r x P x ∈使得()()()()g x f x q x r x =+, (1)其中()0r x =,或(())(())r x f x ∂<∂.将x A =代入上式,得()()()()0()()()g A f A q A r A q A r A r A =+=+=,即()()g A r A =.于是1111()()()()()()g B g T AT T g A T T r A T r T AT r B ----=====,但()0g B =,故()0r B =,即有 11()()()0T r A T r T AT r B --===.于是有()0r A =.由于()f x 是满足()0f A =的次数最低的多项式,故()0r x =.由(1)知()()()g x f x q x =,即()|()f x g x .同理可证()|()g x f x .注意(),()f x g x 都是最高次项系数为1的非零多项式,故()()f x g x =. ■6. 必要性.设AX b =有解,即存在0n X P ∈使得0AX b =.记10n a X a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.设10n c z c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为0TA z =的任一解,即00T A z =,则12(,,,)0n c c c A = .于是112(,,,)0n n a c c c A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即12(,,,)0n c c c b = .因此10T n c b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即00T b Z =,这说明0Z 是0Tb Z =的解. ■7. 因为A 是n 阶实可逆矩阵,则TA A 是正定矩阵.于是存在n n ⨯正交矩阵U 使得1(),0,1,2,,T T i n U A A U R i n λλλ⎛⎫ ⎪=<∈= ⎪ ⎪⎝⎭.于是T T U A AU E ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎝. (1)令1Q AU ⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎝,从(1)式知,1Q 是正交矩阵.令1,TT Q QU AU U ⎫⎪⎪⎪== ⎪⎝,T S U U ⎫⎪= ⎪ ⎝那么Q 是正交矩阵,S 是正定矩阵,且1Q AS -=,即A QS =. ■8. 因为((),())1f x g x =,由多项式互素的充要条件知,存在(),()[]u x v x P x ∈使得()()()()1u x f x v x g x +=.将x M =代入上式,得()()()()u M f M v M g M E +=,即()()u M A v M B E +=.任取W α∈,则0AB α=,()()u M A v M B ααα+=.取1()v M B αα=,2()u M A αα=.由于,A B 都是M 的多项式,故AB BA =,进而有()(),()().Av M v M A Bu M u M B ==于是12()()()()00,()()()()()()00A Av MB v M AB v M B Bu M A u M BA u M AB u M ααααααα=========即11W α∈,22W α∈.因此12ααα=+,11W α∈,22W α∈,从而有12W W W ⊆+.注意到AB BA =,容易看出,1W W ⊆,2W W ⊆,从而12W W W +⊆.因此12W W W =+. (1)任取12W W β∈⋂,则0A β=,0B β=.于是(()())()()000E u M A v M B u M A v M B βββββ==+=+=+=,故12{0}W W ⋂=. (2)由(1),(2)式可得12W W W =⊕. ■9. (1) 任取,A B ∈Ω,由所给条件知AB ∈Ω,BA ∈Ω.令X AB =,2()Y AB =,则,X Y ∈Ω.于是32323333()()()()(()())(())()BAAB AB AB XY YX AB AB AB BA AB========即交换律在Ω中成立.(2) 任取A ∈Ω, 若E ∈Ω, 则33()A EA AE A ===.对上式两边取行列式, 得3||||A A =, 即2||(||1)0A A -=. 于是||0A =或2||10A -=,即||0A =或||1A =±. ■10. 反证法.假设存在正交矩阵,A B ,使22A AB B =+,则22TTTA A A AB A B =+. 由于正交矩阵A 满足1TA A -=,故2T A B A B =+注意2TA B 是正交矩阵,且2TA B A B =-,故A B -是正交矩阵.于是()()()()2T T T T T T T T T E A B A B A B A B AA BB AB BA E AB BA =--=--=+--=--即T T E AB BA =+. (1)从22A AB B =+得22TTTA B ABB B B A B =+=+.由于2TA B 也是正交矩阵,故A B +是正交矩阵,且()()()()2T T T T T T T T TE A B A B A B A B AA BB AB BA E AB BA =++=++=+++=++即T T E AB BA =--. (2)将(1),(2)左右两端分别相加,得20E =, 这显然是不可能的. ■。
高等代数期中考试试题
高等代数期中考试试题一．填空题（每小题4分，共40分）。
1. 设是上的线性变换，,则下的矩阵为2. 设的线性变换，其中R是实数域，，．3．已知中线性变换在基矩阵为则在基下的矩阵为4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5对应的特征向量分别为，，；，，.5. 已知矩阵可对角化，则k= .6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= .7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为， .8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为—————————9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。
10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。
二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基下的矩阵，试求含的最小不变子空间.三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：维维n即,的秩+的零度=n四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。
五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵，记L（V）为V上线性变换全体，. 1）证明：是L(V)的子空间；2）求的一组基和维数.六．(10分) 设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。
参考答案一．填空题（每小题4分，共40分）。
1. 设是上的线性变换，,则下的矩阵为2. 设的线性变换，其中R是实数域，，．3．已知中线性变换在基矩阵为则在基下的矩阵为4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5对应的特征向量分别为，，不同时为零且；，，.5. 已知矩阵可对角化，则k= 1 .6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= 100 .7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为， .8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为—————————9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。
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《高等代数》05-06年度第一学期期中试题
一、单项选择题
1．对任意n阶方阵A、B总有[ ]
A. AB = BA B. | AB | = | BA |
C. (AB)T=ATBT D. (AB)2=A2B2
2. 在下列矩阵中，可逆的是[ ]
A. 000010001 B. 110220001 C. 110011121 D. 100111101
3. 设A是3阶方阵，且|A| = 2，则| A-1 |等于[ ].
A. 2 B. 12 C. 12 D. 2
4. 设A是mn矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是[ ].
A. A的行向量线性无关 B. A的行向量线性相关
C. A的列向量线性无关 D. A的列向量线性相关
5．设有m维向量组12():,,...,nI，则[ ].
A. 当m < n时，()I一定线性相关 B. 当m > n时，()I一定线性相关
C. 当m < n时，()I一定线性无关 D. 当m > n时，()I一定线性无关
6．已知1、2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，1、2是其导出组
0Ax
的一个基础解系，1k、2k为任意常数，则方程组Axb的通解可表成[ ].
A. 1211212()2kk B. 1211212()2kk
C. 1211222kk D. 1211222kk
7. 向量组12():,,...,nI,（n>1） 线性无关等价于[ ].
A. 存在一组不全为0的数nkkk,,,21，使其线性组合nkiik1不等于0
B. 其中任意两个向量线性无关
C. 任何一个向量均不能用其它向量线性表出
D. 存在一个向量不能用其它向量线性表出
8. 设矩阵111121231A的秩为2，则=[ ].
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
9. 设A是n阶可逆矩阵，()adjA是A的伴随矩阵（adjoint of A），则[ ].
A. 1()nadjAA B. ()adjAA C. ()nadjAA D. 1()adjAA
10. 设A，B为n阶方阵，满足AB = 0，则必有[ ].
A. A = 0 或 B = 0 B. A + B = 0 C. | A | = 0 或 | B | = 0 D. | A | + | B | = 0
二、填空题
11．设mn矩阵A的m个行向量线性无关，则矩阵TA的秩为 。
12．若线性方程组123233231222xxxxxx无解，则= 。
三、判断题
13．( )如果12,,...,r线性无关，而1r不能由12,,...,r线性表示，那么
121,,...,r
线性无关。
14．( )如果12,,...,r线性相关，那么其中每个向量都可被其余向量线性表示。
15．( )A，B为n阶方阵，k为正整数，则()kkkABAB。
16．( )若C=DP，P为可逆阵，则rank(C) = rank(D)
17．( )若A=PB，P为可逆阵，则A的列向量组与B的列向量组等价。
18．( )若三个向量1，2，3线性相关，且3不能由1，2线性表示，则1，2线
性相关。
19．( )如果当12...0rccc时1122...0rrccc，那么12,,...,r线性
无关。
20．( )设矩阵A，B满足AB = I，则由线性方程组Ax = b可求得唯一解 x = Bb
四、计算题
21．设001020101A，矩阵X满足2AXIAX，其中I为3阶单位阵，求矩阵X
22．6342A，求nA。
23．三阶方阵B不是零矩阵，且B的每一列均为齐次线性方程组0302022321321321xxxxxxxxx的解。
求和B。
解：
方程组可写为0AX，其中系数矩阵11312221A，321xxxX。
设321,,BBB为B的第1，2，3列，
因为B不是零矩阵，即321,,BBB不全为零向量，故齐次线性方程组有非零解，所以0A，
由此解得1。
B的每一列都是方程组的解，即0,0,0221ABABAB，由此0221BBBA，
即0AB
五、证明题
24．已知矩阵A满足2AA，AI，其中I为单位阵，证明0A
25．若已知关于x的一元n次方程式1110...0nnnnaxaxaxa有n+1个不同的根，
证明110...0nnaaaa
26．A是nm矩阵，B是pn矩阵，nBrank)(，
证明：当0AB时，nmnmA0
答案
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
B D B C A D C B A C
题号
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案
m 0 R F F R F R F F
17．反例
10500,3211,2121PBAPB
20. 矩阵AB不一定是方阵，所以没有办法保证得到唯一解。
21．解：
由于2AXIAX，
所以2()()()AIXAIAIAI。
因为001010101IA可逆，
所以201030101IAX。
22．解：
AAAAAnn1288)21(328)21(32)21(32)21(32)21(32)21(326342
24．已知矩阵A满足2AA，AI，其中I为单位阵，证明0A
证法1（反证法）：
假设0A，则A可逆，
由2AA得211AAAA，
即AI，这与AI矛盾！
故假设不成立，命题得证。
证法2：
由2AA得()0AAI，
因此矩阵()AI的每一列都是齐次线性方程组0AX的解。
由于AI，所以()AI的列中有非零列，
相应地，方程0AX有非零解，因此0A。
典型错误证法：
1．错误证法1
0000000)(0)(2A
IAIAIAAIAAIAAIAAIAAA（错误！！！）
由
或者
2．错误证法2
01010)1(222A
IAIAAAAAAAAAAA（错误！！！）由
或者
即
3．错误证法
000000)(2A
A
IAIAAIAAIAAA知由
（错误！！！）或者
25．证明：
设方程的n个不同的根为121,,...,nxxx，则有
111111012121201111110...0...0...0nnnnnnnnnnnnnnnaxaxaxaaxaxaxaaxaxaxa
写成矩阵表示形式为：
111112210111101nnnnnnnnnnaxxaxxaxx
，
可以将之看成关于未知量01,,,naaa的齐次方程组。
因为121,,...,nxxx各不相同，所以上述齐次方程组系数矩阵的行列式
11111221111111()01nnnnniiinnnnxxxxxxxx
，
那么方程只有零解，即100nnaaa。
证毕！