2.2命题逻辑等值演算-基本等值式
双重否定律??A?A
幂等律A∨A?A, A∧A?A
交换律A∨B?B∨A, A∧B?B∧A
结合律(A∨B)∨C?A∨(B∨C) (A∧B)∧C?A∧(B∧C)
分配律A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C) A∧(B∨C)? (A∧B)∨(A∧C) 德摩根律?(A∨B)??A?∧B ?(A∧B)??A?∨B
吸收律A∨(A∧B)?A, A∧(A∨B)?A
零律A∨1?1, ∧0?0
同一律A∨0?A, A∧1?A
排中律A?∨A?1
矛盾律A?∧A?0
蕴涵等值式A→B??A∨B
等价等值式A?B?(A→B)∧(B→A)
假言易位A→B??B?→A
等价否定等值式A?B??A??B
归谬论(A→B)∧(A?→B) ??A
最新离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案
第二章作业 评分要求： 1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48分 2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由) 3. 总得分在采分点1处正确设置. 一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方法每种方法至少使用一次): 说明 证 1. p ?(p ∧q)∨(p ∧?q) 解逻辑方程法 设 p ?((p ∧q)∨(p ∧?q)) =0, 分两种情况讨论: ???=?∧∨∧=0 )()(1)1(q p q p p 或者 ? ??=?∧∨∧=1)()(0)2(q p q p p (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ?(p ∧q)∨(p ∧?q)无成假赋值, 为永真式. 等值演算法 (p ∧q)∨(p ∧?q) ? p ∧(q ∨?q) ∧对∨的分配率 ? p ∧1 排中律 ? p 同一律 真值表法
2. (p→q)∧(p→r)?p→(q∧r) 等值演算法 (p→q)∧(p→r) ?(?p∨q)∧(?p∨r)蕴含等值式 ??p∨(q∧r)析取对合取的分配律 ?p→(q∧r)蕴含等值式 3. ?(p?q)?(p∨q)∧?(p∧q) 等值演算法 ?(p?q) ??( (p→q)∧(q→p) )等价等值式 ??( (?p∨q)∧(?q∨p) )蕴含等值式 ??( (?p∧?q)∨(p∧q) )合取对析取分配律, 矛盾律, 同一律 ?(p∨q)∧?(p∧q)德摩根律 4. (p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q)∧?(p∧q) 等值演算法 (p∧?q)∨(?p∧q) ?(p∨q)∧?(p∧q)析取对合取分配律, 排中律, 同一律 说明: 用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式. 等值演算法证明时每一步后面最好注明理由以加深印象, 熟练后可以不写. 由于等值演算法证明具有较强的技巧性, 平时应注意总结心得. 二. 求下列公式的主析取范式与主合取范式(等值演算法与用成真赋值或成假赋值求解都至少使用一次): 1. 2. 3. 4. 1. (?p→q)→(?q∨p) 解 (?p→q)→(?q∨p)
命题逻辑等值演算
第二章命题逻辑等值演算 例1 . 设三元真值函数f为： f（0,0,0）＝0，f（0,0,1）＝1，f（0,1,0）＝0，f（1,0,0）＝1 f（0,1,1）＝1，f（1,0,1）＝1，f（1,1,0）＝0，f（1,1,1）＝1 试用一个仅含联结词→，?的命题形式来表示f 。 解： 则根据真值表法可以求出f的主合取范式为： （?P∨?Q∨R）∧（P∨?Q∨R）∧（P∨Q∨R）而： （?P∨?Q∨R）∧（P∨?Q∨R）∧（P∨Q∨R）?(?P∨?Q∨R)∧（P∨R） ?((?P∨?Q)∧P)∨R ?(P∧?Q)∨R 又由于： P∧Q??(P→?Q) P∨Q??P→Q 所以， (P∧?Q) ∨R ??( P∧?Q)→R ??(?(P→Q))→R 所以，f可以用仅含→，?的命题?(?(P→Q))→R来表示。 例2 . 不用真值表判断下列公式是永真式、永假式还是其它。 (1)(P∨Q)→(P∧Q) ; (2)?((Q→P)∨?P)∧(P∨R) ;
(3)((?P∨Q)→R)→((P∨?Q)∨R) . 解：（1）(P∨Q)→(P∧Q) ??(P∨Q)∨(P∧Q) ?(?P∧?Q)∨(P∧Q) 所以，(P∨Q)→(P∧Q)既非永真式也非永假式。 （2）?((Q→P)∨?P)∧(P∨R) ??((?Q∨P)∨?P)∧(P∨R) ??T∧(P∨R) ?F∧(P∨R) ?F 所以，?((Q→P)∨?P)∧(P∨R)为永假式。 （3）((?P∨Q)→R)→((P∨?Q)∨R) ?(?(?P∨Q)∨R)→((P∨?Q)∨R) ?((P∨?Q)∨R)→((P∨?Q)∨R) ?T 所以，((?P∨Q)→R)→((P∨?Q)∨R)为永真式。 例3 .证明下列等价式。 （1）(P→Q)∧(P→R) ?P→Q∧R ; （2）P∧Q∧(?P∨?Q) ??P∧?Q∧(P∨Q) . 解：说明: 这两道题看似麻烦，但是如果不采用直接推导的方法，而是利用范式或是左右夹击推导的方法，会起到事半功倍的效果。 (1). (P→Q)∧(P→R) ?(?P∨Q)∧(?P∨R) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R) ?M4∧M5∧M6 P→Q∧R ??P∨(Q∧R) ?(?P∨Q)∧(?P∨R) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R) ?M4∧M5∧M6 所以，(P→Q)∧(P→R) ?P→Q∧R成立。 (2). P∧Q∧(?P∨?Q) ?(P∧Q∧?P)∨(P∧Q∧?Q) ?F ?P∧?Q∧(P∨Q) ?(?P∧?Q∧P)∨(?P∧?Q∧Q) ?F 所以，P∧Q∧(?P∨?Q) ??P∧?Q∧(P∨Q) 例4 . 试求下列各公式的主析取范式和主合取范式。 (1)(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q→R)) (2)((P∨Q)→R)→P 解: (1) (P→(Q∧R))∧(?P→(?Q→R)) ?(?P∨(Q∧R))∧(P∨(Q∨R))
三 命题逻辑 FSPC
3 命题逻辑形式系统（FSPC ） 3.1 命题逻辑与命题演算 Leibniz 提出逻辑推理变成符号演算不久，英国数学家BOOL 提出了布尔代数。布尔代数把逻辑命题与逻辑推理归结为代数计算。把命题看作是计算对象；把联结词看作算子；讨论计算的性质。 1、 命题（Propositions ）：可以判断真假的陈述句。不涉及任何联结词的命题称为原 子命题。 2、 联结词：?, →, ?, ∨, ∧为联结词，用于联结一个或者多个命题。 ->如果A 成立则B 成立，<->如果A 成立则B 成立，并且如果B 成立则A 成立；A ∨B ，或者A 成立或者B 成立；A ∧B ，A 成立并且B 成立。 3、 真值表：命题的真假称为命题的真值，用0表示假；用1表示真。 True(?A)，如果True(A)＝0，True(?A)=1：True(A)=1, True(?A)＝0 A ＝0,1；如果True(A)=1,则 True （ B ）=1,True(A->B)=1:或者True(A)=0或者True(B)=1：或者A 不成立，或者B 成立=?A ∨B ；如果True(A)=0,则 True （B ）=0，1；True(A)=
最新离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案
第二章作业 1 评分要求： 2 1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48 3 分 4 2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由) 5 3. 总得分在采分点1处正确设置. 6 一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方 7 法每种方法至少使用一次): 8 说明 9 证 10 1. p ?(p ∧q)∨(p ∧?q) 11 解逻辑方程法 12 设 p ?((p ∧q)∨(p ∧?q)) =0, 分两种情况讨论: 13 ?? ?=?∧∨∧=0)()(1 )1(q p q p p 或者 14 ?? ?=?∧∨∧=1 )()(0 )2(q p q p p 15 (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ?(p ∧q)∨(p ∧?q)无成假赋值, 为永真式. 16 等值演算法 17 (p ∧q)∨(p ∧?q) 18 ? p ∧(q ∨?q) ∧对∨的分配率 19 ? p ∧1 排中律 20
? p 同一律 21 真值表法 22 即 p? ((p∧q)∨(p∧?q))为永真式, 得证23 2. (p→q)∧(p→r)?p→(q∧r) 24 等值演算法 25 (p→q)∧(p→r) 26 ? (?p∨q)∧(?p∨r)蕴含等值式 27 ??p∨(q∧r)析取对合取的分配律 28 ? p→(q∧r)蕴含等值式 29 3. ?(p?q)?(p∨q)∧?(p∧q) 30 等值演算法 31 ?(p?q) 32 ??( (p→q)∧(q→p) )等价等值式 33 ??( (?p∨q)∧(?q∨p) )蕴含等值式 34
命题逻辑等值演算
1 设A与B均为含n个命题变项的公式, 判断下列命题是否为真？ . （1）A B 当且仅当 A B是可满足式. 该命题为真该命题为假 （2）A B 当且仅当 A与B有相同的主析取范式. 该命题为真该命题为假 （3）若A为重言式, 则A的主析取范式中含有2n个极小项. 该命题为真该命题为假 （4）若A为矛盾式, 则A的主析取范式为1. 该命题为真该命题为假 （5）若A为矛盾式, 则A的主合取范式为1. 该命题为真该命题为假 （6）任何公式A都能等值地化为联结词集{∧、∨} 中的公式. 该命题为真该命题为假 （7）任何公式A都能等值地化为联结词集{┐、→、∧}中的公式. 该命题为真该命题为假 用等值演算法来判断下列公式的类型. 2 . （1）(p→q)→(┐q→┐p) （2）┐(p→q)∧r∧q （3）(p→q)∧┐p 用主析取范式法判断题2中3个公式的类型, 并求公式的成真赋值. 3 . 题2中三个公式如下： （1）(p→q)→(┐q→┐p) （2）┐(p→q)∧r∧q （3）(p→q)∧┐p 4 求题2中3个公式的主合取范式, 并求公式的成假赋值. . 题2中三个公式如下：
（1）(p→q)→(┐q→┐p)（2）┐(p→q)∧r∧q （3）(p→q)∧┐p 5 . 已知命题公式A中含3个命题变项p, q, r, 并知道它的成真赋值分别为001, 010, 111, 求A 的主析取范式和主合取范式. 6. 用等值演算法证明下面等值式. （1）(┐p∨q)∧(p→r) p→(q∧r) （2）(p∧q)∨┐(┐p∨q)p 7 . 求公式(p→┐q)∧r在以下各联结词完备集中与之等值的一个公式： （1）{┐,∧, ∨} （2）{┐,∧} （3）{┐,∨} （4）{┐, →} （5）{↑} 8 . 用等值演算法求解下面问题. 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件： （1）若赵去, 则钱也去 （2）李、周中至少去一人 （3）钱、孙中去且仅去一人 （4）孙、李两人都去或都不去 （5）若周去, 则赵、钱也同去 问该公司应选派哪些人出国？ 例题分析 题1分析：
命题逻辑等值演算
1 . 设A 与B 均为含n 个命题变项的公式, 判断下列命题是否为真？ （1）A B 当且仅当 A B 是可满足式. 该命题为真 该命题为假 （2）A B 当且仅当 A 与B 有相同的主析取范式. 该命题为真 该命题为假 （3）若A 为重言式, 则A 的主析取范式中含有2n 个极小项. 该命题为真 该命题为假 （4）若A 为矛盾式, 则A 的主析取范式为1. 该命题为真 该命题为假 （5）若A 为矛盾式, 则A 的主合取范式为1. 该命题为真 该命题为假 （6）任何公式A 都能等值地化为联结词集{∧、∨} 中的公式. 该命题为真 该命题为假 （7）任何公式A 都能等值地化为联结词集{┐、→、∧}中的公式. 该命题为真 该命题为假 2. 用等值演算法来判断下列公式的类型. （1）(p→q)→(┐q→┐p) （2）┐(p→q)∧r∧q （3）(p→q)∧┐p 3. 用主析取范式法判断题2中3个公式的类型, 并求公式的成真赋值. 题2中三个公式如下： （1）(p→q)→(┐q→┐p) （2）┐(p→q)∧r∧q （3）(p→q)∧┐p 4求题2中3个公式的主合取范式, 并求公式的成假赋值.
. 题2中三个公式如下： （1）(p→q)→(┐q→┐p) （2）┐(p→q)∧r∧q （3）(p→q)∧┐p 5 . 已知命题公式A中含3个命题变项p, q, r, 并知道它的成真赋值分别为001, 010, 111, 求A 的主析取范式和主合取范式. 6. 用等值演算法证明下面等值式. （1） (┐p∨q)∧(p→r)p→(q∧r) （2）(p∧q)∨┐(┐p∨q)p 7 . 求公式(p→┐q)∧r在以下各联结词完备集中与之等值的一个公式： （1）{┐,∧, ∨} （2）{┐,∧} （3）{┐,∨} （4）{┐, →} （5）{↑} 8 . 用等值演算法求解下面问题. 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件： （1）若赵去, 则钱也去 （2）李、周中至少去一人 （3）钱、孙中去且仅去一人 （4）孙、李两人都去或都不去 （5）若周去, 则赵、钱也同去 问该公司应选派哪些人出国？ 例题分析