3.3幂函数教学案
3.3 幂函数 教学案 2012.10.29
备课教师：
一、教学目标
通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用。
二、教学重点
从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。 三、教学难点
画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
四、上课时间： 五、教学过程
（一）、教材·知识·研读 一、新课引入
x y =，2x y =，1-=x y ，3x y =，2
1
x y =
观察上述五个函数，有什么共同特征？ 二、合作学习，共同探究 1、定义
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α为常数.
练习1：判断在函数x
y 1=，22x y =，x x y -=3
中，哪几个函数是幂函数？
2、幂函数的图象
作出下列函数的图象：
（1）x y =；（2）2
x y =；（3）1
-=x y ；（4）3
x y =；（5）12
y x =．
3、幂函数的性质
引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律： （Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（Ⅱ）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （Ⅲ）0α<时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数． 三 知识应用
题型一 幂函数定义的理解
【例1】已知函数m x m m x f m m ,)2()(1
2
2-++=为何值时，)(x f 是：
（1） 正比例函数 （2） 反比例函数 （3） 二次函数 （4） 幂函数
【变式训练】若将函数换为1
2
2)22()(-+-+=m m x m m x f ，试解决（3）（4）两问.
题型二 幂函数的图像 【例2 】 已知幂函数1αx y =，2αx y =，3αx y =对应曲线C ，C ，C ，如图所示。指出
1α，2α，3α的大小关系。
【变式训练】下面6个幂函数的图像如图所示，试建立函数与图像之间的对应关系； （1）2
3x y = (2) 3
1x
y =(3) 3
2x
y =(4)2-=x y (5) 3
-=x y (6) 2
1-=x
y
(A) (B) (C)
(D) (E) (F)
【题型三】利用单调性比较幂函数值的大小 【例3】 比较下列各组数的大小： （1）2
12.3与21
5.2； （2）
231.0-与2
18.0-； （3）5
2)5(-与5
2)7(-
【变式训练】（1）32
5.4与
3
23.4； （2）2
53-与25
1
.3-
； （3）
3
1)2(-与3
1)3(-
【题型四】 求幂函数的定义域
【例4】 写出下列函数的定义域：
（1）3
)(x x f =； （2）2
1
)(x x f =； （3）2
)(-=x x f
【变式训练】（1）5
3)(x x f =；（2）5
)(-=x x f ；（3）4
3)(-
=x x f ；（4）3
2
)(-
=x
x f
题型五 综合应用
【例6】已知)1()1(3323
2->+>a a ，求a 的取值范围。
【变式训练】已知2
12
1)8()23(+<+a a ，求a 的取值范围。
六、归纳总结
幂函数的的性质及图象变化规律，利用幂函数的单调性来比较大小。
七、作业布置： .
八、教学反思：
幂函数教学设计
2.3幂函数教学设计 教材分析： 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。 教学目标 知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想. 过程与方法：使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到对任一幂函数性质的分析 情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。 重难点 重点：从五个具体幂函数中认识并总结幂函数的性质 难点: 画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律 教学方法与手段 借助多媒体，探究+反思+总结 教学基本流程
教学过程设计： （一）实例观察，引入新课 (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p ＝w 元，这里 p 是w 的函数； (2) 如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S=a 2，这里S 是a 的函数； (3) 如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积V =a 3，这里V 是a 的函数； (4) 如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长a=12 S ，这里a 是S 的函数； (5) 如果某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v=t -1，这里v 是t 的函数. 若将它们的自变量全部用x 来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是: x y = 2x y = 3 x y = 2 1 x y = 1-=x y 【师生互动】： 以上问题中的函数有什么共同特征？ 都是函数; 均是以自变量为底的幂; 指数为常数; 自变量前的系数为1; 幂 前的系数也为1 【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般 特征. （二）类比联想，探究新知 1、幂函数的定义 幂函数的概念：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
幂函数学案
幂函数 学习目标:了解幂函数概念;会画常见幂函数的图象;结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 1／2 的图象了解 幂函数图象的变化情况和简单性质;会用幂函数的单调性比较两个底数不同而指数相同的幂的大小 学习重点：幂函数的概念和奇偶函数的概念 学习难点：简单的幂函数的图像性质。函数奇偶性的判断 学习过程： 一 探究新知 1.写出下列y 关于x 的函数解析式:正方形边长x 、面积y;②正方体棱长x 、体积y;③正方形面积x 、边长y;④某人骑车x 秒内匀速前进了1m,骑车速度为y;⑤某人购买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付的钱数y.上面5个函数是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？ 2.幂函数的定义：一般地，函数y=x a 叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 练习:（1）①y=1／x 3②y=2x 2③y=x 2+x ④y=0.2x ⑤y=x 0 ⑥y=1属于幂函数的是_________. （2）若函数f(x)=(a 2-3a-3)x 2 是幂函数，则a 值为________. 3.幂函数的图象与性质,由幂函数y ＝x 、y ＝12 x 、y ＝x 2 、y ＝x －1 、y ＝x 3 的图象，可归纳出幂函数的如下性质： (1)幂函数在__________上都有定义；(2)幂函数的图象都过点__________；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点________与________，且在(0，＋∞)上是单调________；(4)当a<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是单调________. 4.幂函数的比较 ①幂函数的图象比较 ②函数y ＝x ，y ＝x 2，y=x 3,y=x 0.5 ,y ＝1x (x≠0)的图象和性质
幂函数教学设计
§2.3幂函数(一) -----教学设计人：刘宏德 一．教材分析 幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。 二．学情分析 学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。 三．教学目标 1．知识目标 （1）通过实例，了解幂函数的概念； （2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质； （3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。 2．能力目标 在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。 3．情感目标 通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意 识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。四．教学重点常见的幂函数的图象和性质。 五．教学难点画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。 六．教学用具多媒体 七．教学过程 （一）创设情境（多媒体投影） 问题一：下列问题中的函数各有什么特征？ （1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数． （2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数． （3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是S的函数． （5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数． 由学生讨论、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式． 问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？ 这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝x a的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今天这节课，我们就来研究：§2.3幂函数 （二）、建立模型 定义：一般地，函数y＝x a叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。（投影幂函数的定义。） 深化认知（1）下列函数是幂函数的是： A．y=2x+1 B．y=3x2 C．y=x-3 D．y=1 （2）幂函数与指数函数有什么联系和区别？ 学生回答，老师点评。 引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？―――研究幂函数的性质。 通过什么方式来研究？――――――画函数的图象。 为使作图高效，我们可先做点什么―――分析函数的定义域、奇偶性。（三）问题探究 1. 对于幂函数y＝x a，讨论当a＝1，2，3，，－1时的函数性质． 填表
最新江苏省高邮市界首中学高一数学 第22课时 幂函数导学案名师精编资料汇编
江苏省高邮市界首中学高一数学导学案：第22课时 幂函数 【学习目标】 知识目标：（1）掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。 （2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。 能力目标：培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。 情感目标：（1）加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。 （2）培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。 【学习重点】 （1）掌握常见的幂函数的图象和性质，解决有关问题。 （2）幂函数的图象和性质的总结，熟练运用幂函数的性质解决相关问题，特别 是含参数讨论的一类问题． 【预习内容】 幂函数的概念 【新知学习】 1.幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数,其中x 是自变量，α是 常数。 试一试：判断下列函数那些是幂函数 （1）x 2.0y = （2）5 1x y = （3）3x y -= （4）2x y -= 2.几个常见幂函数的图象和性质 ⑴在同一坐标系内画出函数12 1 32,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象
⑵观察函数12 1 3 2-定义域 性【新知深化】 幂函数α=x y 图象的基本特征是： ⑴当0>α时，图象过点 ，且在第一象限随x 的 而 ,函数在区间 [)+∞,0上是单调 函数。 ⑵当时,图象过点 ，且在第一象限随x 的 而 ,函数在区间),0(+∞上是单调 函数。 ⑶幂函数α=x y 图象不经过第 象限。 【新知应用】 【例1】求下列幂函数的定义域，并指出他们的奇偶性。 （1）3 y x = （2）12 y x = （3）2 x y -=；（3）43 y x = 【例2】比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”） (1) 2 1 14.3________2 1π (2)3 )38.0(-________()3 39.0- (3)125.1-__________1 22.1- (4) 比较0.20.3 ，0.30.3 ，0.30.2 .
人教新课标版数学高一必修1学案 2.3幂函数
2.3 幂函数 自主学习 1．掌握幂函数的概念． 2．熟悉α＝1,2,3，1 2，－1时幂函数y ＝x α的图象与性质． 3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题． 1．一般地，幂函数的表达式为________________；其特征是以幂的________为自变量，________为常数． 2．幂函数的图象及性质 在同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x － 1的图象如图．结合图象， 填空． (1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义． (2)若α>0时，幂函数图象过点________________，且在第一象限内________；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象________． (3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调________，在第一象限内，当x 从＋∞趋向于原点时，函数在y 轴右方无限地逼近于y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴． (4)当α为奇数时，幂函数图象关于________________对称；当α为偶数时，幂函数图象关于________对称． (5)幂函数在第________象限无图象． 对点讲练
理解幂函数的概念 【例1】 函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． 规律方法 幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根． 变式迁移1 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1 m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． 幂函数单调性的应用 【例2】 比较下列各组数的大小 (1) 3－52与3.1－52；(2)－8－7 8与－????1978. 规律方法 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．
幂函数教案
幂函数教案
教学设计 一、教学过程： （一）教学内容：幂函数概念的引入。 设计意图：从学生熟悉的背景出发，为抽象出幂函数的概念做准备。这样，既可以让学生体会到幂函数来自于生活，又可以通过对这些案例的观察、归纳、概括、总结出幂函数的一般概念，培养学生发现问题、解决问题的能力。 师生活动： 教师：前面我们学习了指数函数与对数函数，这两类描述客观世界变化规律的数学模型。但是同学们知道，不是所有的客观世界变化规律都能用这两种数学模型来描述。今天，我们将学习新的一类描述客观世界变换规律的数学模型，也就是本书二点三节的幂函数。首先我们来看这样几个实际问题。第一个问题，如果老师现在准备购买单价为每千克1元的蔬菜W 千克，老师总共需要花的钱P是多少？ 教师：非常好，老师总共需要花的钱P=W。第二个问题，如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S等于多少？ 教师：回答的非常正确。面积S= 2 a. 下面的 问题都很简单，请同学们跟上老师的思路。第三个问题，如果正方体的边长为a，那么他的体积V等于多少了？ 教师：对。正方体的体积V= 3 a。第四个问题，
如果已知一个正方形面积等于S，那么这个正方形边长a等于多 少了？ 教师：非常正确。通过前面对指数幂的学习，根式与分数指数幂是可以相互转换的，所以根号下S就等于S 的二分之一次方。那么我们的边长a=12S。最后一个问题，认真 听，某人s t内骑自行车行进了1KM，那他的平均速度v等于多少？ 教师：回答非常正确。因为我们知道v×t=s 所以v=1 =1t 。好，现在我们一起来观察黑板上这五个具体表达 t 式，我们可以看出第一个表达式中P是W的函数，那第二个表达式了？ 教师：非常好，第三个表达式了？ 教师：第四个表达式了？ 教师：第五个了？ 教师：大家回答得非常正确。如果将上面的函数自变量全用x代替，函数值全用y来代替，那么我们可以得到第一个表达式为。。。。。。 教师：第二个表达式？ 教师：第三个表达式？ 教师：第四个表达式？ 教师: 第五个表达式？ 教师：回答的非常好。那现在请同学们仔细观察老师用x，y写成的这五个函数它们有哪些共同特征。等一下请
高一数学【幂函数】课堂学案
高一数学课堂学案 班级小组姓名________ 使用时间______年______月______日编号必修1-32 第 1 页
问题2.幂函数的概念是什么？ 问题3．由上面幂函数的图象，归纳幂函数的共同性质：y xα = 在幂函数中： （1）= αα + ∈ 如果是正偶数（2n,n N）这一类函数具有哪些性质？ （2）=- αα + ∈ 是正奇数（2n1,n N）呢？ （3）[) 0,,101 xαα ∈+∞><< 与的图像有何不同？ 二、基础自测 1．下列函数中，是幂函数的是（） A．x2 y=B．3x2 y=C． x 1 y=D．x2 y= 2．已知某幂函数的图象经过点)2 ,2(，则这个函数的解析式为___________. 3.函数3 1 x y=的图象是() 4．下列结论正确的是（） A．幂函数的图象一定过点（0，0）和（1，1） B．当0 < α时，幂函数αx y=是减函数，当0 > α时，幂函数αx y=是增函数C．幂函数() y x R αα =∈是奇函数，则() y x R αα =∈是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 合作互学： 请同学们相互讨论，解决自学过程中的疑问．小组长汇总，将合作讨论中没有解决的 问题和新生成的问题提交课代表． （微课：1-31 幂函数） 第 2 页 训练展示学案
第 4 页在线测学： 1、下列函数中，在()0,∞-是增函数的是（）
A 、3 x y = B 、2 x y = C 、x 1 y = D 、23 x y = 2、已知函数p q y x =（,p q 是互质的整数）图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上是减函数，则( ) A 、p 是奇数，q 为偶数，且0pq < B 、p 是奇数，q 为偶数，且0pq > C 、p 是偶数，q 为奇数，且0pq < D 、p 是偶数，q 为奇数，且0pq > 3、当10<
《幂函数》教学案例与反思
《2.3幂函数》教学案例 遵义四中 石偲星 1.教学设计 1.1教材的地位和作用 《2.3幂函数》是继指数函数和对数函数后学习的另一个基本函数。幂函数出现在必修一第二章第三节，是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。 1.2教学目标 1.2.1基础知识目标 （1）理解幂函数的概念，会画幂函数2 1132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质； （2）能应用幂函数性质解决简单问题。 1.2.2能力训练目标 （1）通过观察总结幂函数性质，培养学生抽象概括、逻辑推理和识图能力； （2）使学生进一步体会数形结合思想。 1.3教学重、难点 重点：本节的教学重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。 难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难。 突破难点：引导学生观察图象，从图象特点入手，观察单调性奇偶性。 1.4学情分析 学生学过了一次函数，二次函数，正、反比例函数，指数函数和对数函数，知道了他们的图象和性质，用性质解决一些简单问题也有了一定的基础，为学习幂函数做好了准备，但由于幂函数性质较复杂，学生需要一定的综合分析能力，所以在教学中重视学生自己动手操作、观察分析发现的过程。我所教的班级是遵义四中高一（23）班，总体学习程度在中等，根据学生的学情，本节课我重在基础，难度上适当适中。 1.5教学用具 本节课使用三角板，PPT ，学生准备白纸，格尺。 2.教学过程 2.1温故知新，引入新课： 问题1：我们都学习过2,2x y y x ==，请同学们思考这两个函数看有什么区别么？ （学生讨论，很快有学生分析出区别，我于是请了成绩中等的学生回答） 同学1：一个函数是指数函数，一个是二次函数。 同学2：这两个函数自变量位置不同:。 教师：这两位同学总结的非常好，这两个函数的形式一样，自变量的位置不同，而x y 2=
《幂函数》教学设计
《幂函数》教学设计 克山一中吴雅杰 一、设计构思 1、设计理念 注重发展学生的创新意识。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，倡导学生积极主动探索、动手实践与相互合作交流的数学学习方式。这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。 注重提高学生数学思维能力。课堂教学是促进学生数学思维能力发展的主阵地。问题解决是培养学生思维能力的主要途径。所设计的问题应有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。本节主要安排应用类比法进行探讨，加深学生对类比法的体会与应用。 注重学生多层次的发展。在问题解决的探究过程中应体现“以人为本”，充分体现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，而学生的基础知识和学习能力是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到发展。 注重信息技术与数学课程的整合。高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。 另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。 2、教材分析 幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）第二章第四节的内容。该教学内容在人教版试验修订本（必修）中已被删去。标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。《标准》将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。其中，学生在初中已经学习了y=x、y=x2、y=x-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。该内容安排一课时。 3、教学目标的确定 鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标： ⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。 ⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
幂函数导学案(1)
§2.3 幂函数 1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质； 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. （预习教材P 77~ P 79，找出疑惑之处） 复习1：求证3y x =在R 上为奇函数且为增函数. 复习2：1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿），写出： （1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数； （2）2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式． 任务二、新课导学 探究任务一：幂函数的概念 问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？ （1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数； （2）面积为S 的正方形边长12 a S =，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数； （4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数. 新知 1、幂函数的概念：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数. 试一试：判断下列函数哪些是幂函数. ① 1 y x =；②22y x =；③3y x x =-；④1y =. 探究任务二：幂函数的图象与性质 问题：作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12 y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．
说明： ② 除函数12y x =外，其余四个幂函数具有奇偶性 ②在第一象限内，函数1 y x -=的图像向上与y 轴无限接近，我们称x 轴y 轴为渐近线 结合以上特殊幂函数的图像得出 一般幂函数的性质 （1）所有幂函数在(0,)+∞上都有定义，并且图像都通过点(1,1) （2）若0α>，则幂函数的图像都过原点，并且 在区间[0,)+∞上为增函数 （3）若0,α<则幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点 时，图像在 y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋向于+∞ 时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴 （4）当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶 数时，幂函数为偶函数 从图象分析出幂函数所具有的性质. 观察图象，总结填写下表： 常见幂函数的性质 例1、已知幂函数2 1 2 1 (22)23m y m m x n -=+-+-，求,m n 的值 例2、已知函数22 1 ()(2),m m f x m m x m +-=+?为何值时，()f x 是： （1）正比例函数（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数
高中数学《幂函数》学案5 湘教版必修1
幂函数 重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小． 考纲要求：①了解幂函数的概念； ②结合函数1 2 3 21,,,,y x y x y x y y x x ==== =的图像，了解他们的变化情况． 知识梳理： 1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常 用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数. （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧， 图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α . 诊断练习： 1． 如果幂函数()f x x α=的图象经过点2 (2,)，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2 －2x ） 2 1－ 的定义域是 3．函数y ＝5 2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝ 2 21 m m x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _． 范例分析： 例1比较下列各组数的大小： （1）1.53 1，1.73 1，1； （2）（－ 22 ） 3 2- ，（－ 107 ）3 2，1.1 3 4- ； （3）3.832-，3.952，（－1.8）5 3； （4）31.4，51.5 . 例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．
高中数学必修1幂函数学案
幂函数（学案） 学习目标 1.理解幂函数的概念，能区分什么样的函数是幂函数； 2.体会幂函数在第一象限内的变化规律； 3.借助解析式研究幂函数的性质，并能根据性质作出幂函数的图象； 学法指导 自学课本108页——109页例1上方。 通过课本引例，体会幂函数在第一象限内的变化规律。 特别强调：指数决定曲线的趋势。 自学检测 1.幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α为常数. 注：幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，为“形式”定义。 练习1：判断下列函数哪些是幂函数 . ①1 y x = ； ②22y x =； ③3y x x =-； ④1y = ； ⑤x 2.0y =；⑥5 1x y =； ⑦3x y -=； ⑧2x y -=. 练习2：已知某幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________ 练习3：函数3 2 2)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求其解析式。 2.根据课本引例，你能总结出幂函数的图象在第一象限内的变化规律吗
（1）0<α<1时， （2） α=1时， （3） α>1时， （4） α<0时， 4.研究函数1 2 13 2 x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的性质，完成下表： 课堂小结 幂函数的的性质及图象变化规律： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点 ；
（2）0α>时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0,)+∞上是 （增、减）函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸； （3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是 （增、减）函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（形状类似于x y 1 = 在第一象限的图象） 能力提升 求出下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性，并且作出简图。 （1） 3 2 x y =（2）2 3x y =（3）5 3x y =（4）0 x y =（5）3 2-=x y （6）2 3x y - =（7）5 3- =x y
幂函数教案
2.3 幂函数 教学分析 一、教学目标： 1、掌握幂函数的概念；熟悉α=1,2,3，?， -1时的1幂函数的图象和性质；能利用幂函数的性质 解决实际问题。 2、通过学生对情境的观察、思考、归纳、总结形成结论， 培养学生的发现问题，解决问题的力。 二、教学重难点： 重点：幂函数的定义，图象与性质。 难点：幂函数的图象与性质。 三、教学准备： 教师：将幂函数 1 231 2 ,,,, y x y x y x y x y x- =====图象提前画 在小黑板上。 四、教学导图:
教学设计 一、教学过程： （一）教学内容：幂函数概念的引入。 设计意图：从学生熟悉的背景出发，为抽象出幂函数的概念做准备。这样，既可以让学生体会到幂函数来自于生活，又可以通过对这些案例的观察、归纳、概括、总结出幂函数的一般概念，培养学生发现问题、解决问题的能力。 师生活动： 教师：前面我们学习了指数函数与对数函数，这两类描述客观世界变化规律的数学模型。但是同学们知道，不是所有的客观世界变化规律都能用这两种数学模型来描述。今天，我们将学习新的一类描述客观世界变换规律的数学模型，也就是本书二点三节的幂函数。首先我们来看这样几个实际问题。第一个问题，如果老师现在准备购买单价为每千克1元的蔬菜W 千克，老师总共需要花的钱P是多少？ 教师：非常好，老师总共需要花的钱P=W。第二个问题，如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S等于多少？ a. 下面的 教师：回答的非常正确。面积S=2 问题都很简单，请同学们跟上老师的思路。第三个问题，如果正方体的边长为a，那么他的体积V等于多少了？ a。第四个问题， 教师：对。正方体的体积V=3
第二章《幂函数》学案
§2.3 幂函数 1．幂函数的概念 一般地，形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 幂函数的特征： (1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)x α 前的系数为1，项数只有1项． 要注意幂函数与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的区别，这里底数a 为常数，指数为变量． 2．五个具体幂函数的图象与性质 当α＝1,2,3，1 2 ，－1时，在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示． 结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下： (1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)； (2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数； (3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴； (4)当α＝1,3，－1时，幂函数为奇函数；当α＝2时，幂函数为偶函数；当α＝1 2 时， 幂函数既不是奇函数也不是偶函数． 说明：对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”这一记忆的口诀．即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型，α>1时的图象是竖直抛物线型，0<α<1时的图象是横卧抛物线型，α<0时的图象是双曲线型 题型一 理解幂函数的图象与性质 下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限 C ．当幂指数α取1,3，12 时，幂函数y ＝x α 是增函数 D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α 在定义域上是减函数 解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1 的图象不通过原点，故选项A 不正确；因 为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α (α∈R )，y >0，所以幂函数的图象
幂函数导学案
幂函数导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
使学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，掌握从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习. 【课堂导学】 一、预习作业 1、幂函数的概念：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α是常量，x 是变量。 2、作出函数x y =，2 x y =，3 x y =，21x y =，31x y =， 32x y =，2 3x y =的图象.并 x y = 2 x y = 3 x y = 21x y = 3 1x y = 32x y = 23x y = 定义域 值域 奇偶性 单调性 3、作出函数1 -=x y ，2 -=x y ， 23 y x - =的图象. 观察图象，总结填写下表： 4．幂函数α x y =的主要性质： （1）幂函数α x y =在第一象限内的特征： 若1>α，函数的图象都过定点 ，下凸递增，在区间 是 函数 若10<<α，函数的图象都过定点 ，上凸递增，在区间 是 函数 若0<α，函数的图象都过定点 ，下凸递减，在区间 是 函数 （2）幂函数α x y =的图象必过第 象限，必不过第 象限，有可能过第 象限，具体看幂函数α x y =的奇偶性。α x y =是偶函数时，图象还在第 象限，是奇函数时，图象还在第 象限；也有可能既不是奇函数也不是偶函数，但不可能既是奇函数也是偶函数. 二、典型例题 例1、求函数2y x =、12 y x =、 2y x -=的定义域，并判断它们的奇偶性，再在同一坐 标系中作出图像。
例2利用幂函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小： ⑴ 12 5.23 12 5.24；⑵10.26- 10.27-；⑶() 3 0.72- ()3 0.75-。 ⑵ 例3、点（ 3，3）在幂函数()y f x =的图像上，点（22-， 18 ）在幂函数 ()y g x =的图像上，求()y f x =和()y g x =的解析式。 随堂练习 课本73页练习1、2。 三、板书设计
幂函数
幂函数（第1课时） 学习目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 新知探究： （1）创设情境：思考下列实际问题 问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要付的钱数y = 元， 问题2：如果正方形的边长为x，那么正方形的面积是y = ， 问题3：如果正方体的边长为x，那么正方体的体积是y = ， 问题4:如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长y= ， 问题5：如果某人x h内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度y = km/h， 思考1:这些函数有什么共同的特征？ 总结：幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数，为未知数．例1：判断下列函数是否为幂函数： （1） x y= ；（2）2 1 x y=；（3）2x y=；（4）1- =x y ； (5) y=2x2；(6) y=x3+2；(7) y= -x2 (2)幂函数性质探究
思考2：幂函数的图象能过第四象限吗？ （3）问题解决 1、幂函数的定义域和值域 例2：求下列函数的定义域和值域． 总结：在研究幂函数的定义域时，通常将分数指数幂化为根式形式，负整数指数幂化为分式形式，然后由根式、分式有意义求定义域； 2、幂函数的解析式问题 例3：幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，试求解析式. （4）小结 1、幂函数的定义 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2、幂函数的性质 （5）作业 练习册P 31
北师大版 5 简单的幂函数学导学案
课题5 简单的幂函数 自主备课 一、学习目标 1、了解简单幂函数的概念； 会利用定义证明简单幂函数的奇偶性 2、了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。 3、 学习重点：幂函数的概念和奇偶函数的概念 4、 学习难点：简单的幂函数的图像性质。函数奇偶性的判断。 二、教学过程 幂函数的概念： 1、形如 的函数叫幂函数，它的形式非常严格． ①前面的系数是1； ②底数自变量x ； ③指数是常数a; ④只有一项 例如：11 2 3 2,,,,y x y x y x y x y x -=====常见的幂函数： 2、在坐标系中画函数图象：y=x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x 2 1、y ＝x 1- 幂函数的图像和性质与幂指数α有关， ①当α>0时，过0（0，0），（1,1）且在[0，＋∞)上为增函数， ②当α<0时，过（1,1），且在(0，＋∞)上为减函数. 奇偶函数的概念 一般地，函数()f x 图像关于原点对称的函数叫奇函数。如f(x)=x 3 函数()f x 图像关于y 轴对称的函数叫偶函数。如f(x)=x 2 当函数()f x 是奇函数或者是偶函数时，称函数()f x 具有
判断函数奇偶性方法 图像法__________________________________________________ ___________________________________________________ 定义法（1）定义域是否关于原点对称； （2）对定义域中任意x，①当有f(-x)=f(x)时，称f(x)是奇函数；②当有f(-x)=-f(x)时，称f(x)是偶函数。 问题：1、二次函数都是偶函数吗？ 2、一次函数都是奇函数吗？ 例题讲解 例题1、画出函数3 =的图像，并讨论单调性。 f x x () x ... -2 -1 1 -0 12 1 2 ... 2 f x... () 54 =+ 例2、判断=-2和的奇偶性 f x x g x x ()()2 2 例3、已知f(x)的定义域为R的奇函数，当时x>0时，f(x)=x-2x （1）求函数f(x)在R上的解析式 （2）画f(x)的图像
高中数学必修1幂函数学案
幂函数（学案） 学习目标 1.理解幂函数的概念，能区分什么样的函数是幂函数； 2.体会幂函数在第一象限内的变化规律； 3.借助解析式研究幂函数的性质，并能根据性质作出幂函数的图象； 学法指导 自学课本108页——109页例1上方。 通过课本引例，体会幂函数在第一象限内的变化规律。 特别强调：指数决定曲线的趋势。 ; 自学检测 1.幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α为常数. 注：幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，为“形式”定义。 练习1：判断下列函数哪些是幂函数 . ①1 y x =； ②22y x =； ③3y x x =-； ④1y = ； ⑤x 2.0y =；⑥5 1x y =； ⑦3x y -=； ⑧2x y -=. ` 练习2：已知某幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________ 练习3：函数3 22 )1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求其解析式。 | 2.根据课本引例，你能总结出幂函数的图象在第一象限内的变化规律吗 （1）0<α<1时， （2） α=1时， （3） α>1时， ` （4） α<0时， 4.研究函数1 2 132x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的性质，完成下表：
课堂小结 幂函数的的性质及图象变化规律： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点 ； （2）0α>时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0,)+∞上是 （增、减）函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸； — （3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是 （增、减）函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（形状类似于x y 1 = 在第一象限的图象） 能力提升 求出下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性，并且作出简图。 （1） 32 x y =（2）23x y =（3）5 3x y =（4）0 x y =（5）3 2-=x y （6） 2 3x y - =（7）5 3- =x y
高中数学必修1 幂函数学案
3.3幂函数（学案） 学习目标 1.理解幂函数的概念，能区分什么样的函数是幂函数； 2.体会幂函数在第一象限内的变化规律； 3.借助解析式研究幂函数的性质，并能根据性质作出幂函数的图象； 学法指导 自学课本108页——109页例1上方。 通过课本引例，体会幂函数在第一象限内的变化规律。 特别强调：指数决定曲线的趋势。 自学检测 1.幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α为常数. 注：幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，为“形式”定义。 练习1：判断下列函数哪些是幂函数 . ①1y x =； ②22y x =； ③3y x x =-； ④1y = ； ⑤x 2.0y =；⑥5 1x y =； ⑦3x y -=； ⑧2x y -=. 练习2：已知某幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________ 练习3：函数322 )1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求其解析式。 2.根据课本引例，你能总结出幂函数的图象在第一象限内的变化规律吗？ （1）0<α<1时， （2） α=1时， （3） α>1时， （4） α<0时， 4.研究函数12132x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的性质，完成下表：
课堂小结 幂函数的的性质及图象变化规律： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点 ； （2）0α>时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0,)+∞上是 （增、减）函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸； （3）0α<时，幂函数的图象在区间(0, )+∞上是 （增、减）函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（形状类似于x y 1=在第一象限的图象） 能力提升 求出下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性，并且作出简图。 （1） 32x y =（2）23x y =（3）53x y =（4）0x y =（5）32-=x y （6）23x y -=（7）53-=x y
高中数学新课程创新教学设计案例--幂函数
13 幂函数 教材分析 幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，全面掌握有理指数幂和根式的基础上来研究的一种特殊函数，是对函数概念及性质的应用．从教材的整体安排看，学习了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，为今后学习三角函数等其他函数打下良好的基础．在初中曾经研究过y＝x，y＝x2，y ＝x－1三种幂函数，这节内容，是对初中有关内容的进一步的概括、归纳与发展，是与幂有关知识的高度升华．知识的安排环环紧扣，非常紧凑，充分体现了知识的发生、发展过程．对幂函数进行系统的理论研究，在研究过程中得出相应的结论固然重要，但更为重要的是，要让学生了解系统研究一类函数的方法．这节课要特别让学生去体会研究的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究． 教学目标 1. 通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力． 2. 使学生理解并掌握幂函数的图像与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力． 任务分析 学生对抽象的幂函数及其图像缺乏感性认识，不能够在理解的基础上来运用幂函数的性质．为此，在教学过程中让学生自己去感受幂函数的图像和性质是这一堂课的突破口．因此，这节课的难点是幂函数图像和性质的发现过程，教学重点是幂函数的性质及运用．首先，从学生已经掌握的最简单的幂函数y＝x，y＝x2和y＝x-1的知识出发，利用实例，由师生共同归纳、总结出幂函数的定义，认清幂函数的特点，深刻理解其定义域．其次，举出几个简单的幂函数引导学生从定义出发研究其定义域、值域、奇偶性、单调性、是否过公共定点这几个性质，让学生自己去探究，把主动权交给学生．然后，再由学生自己结合性质去画幂函数的图像，让学生在获得一定的感性认识的基础上，通过归纳、比较上升为理性认识，从而形成对概念与性质的完整认识．最后通过例题3与练习，让学生利用图像与性质，比较两个数的大小，从而提高学生获取知识的能力． 教学设计 一、问题情景 下列问题中的函数各有什么共同特征？