10.2二重积分的计算
二重积分的概念与性质
(2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
n
Vlim 0i1
f(i,i)i
平面薄片的质量:
n
Ml i0m i1(i,i)i
精选ppt
9
二、二重积分的定义及可积性
1.定义 设f(x,y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域 i(i 1 ,2 , ,n ),
30
D3 D1
D2
由二重积分积分区域的可加性得
.
D
D1
D2
D3
精选ppt
31
2.【二重积分公式推导】
(1) 若积分区域为X－型域： axb, 1 (x )y2 (x ).
且f设 (x,y)0
则f (x, y)d的 值 等 于 D为 以底 ， 以 曲 面
D
z f(x,y)为曲顶的曲顶柱 积体 ．的体
体积为
b
V A(x)dx
a
x xdx b
x
精选ppt
28
一、利用直角坐标系计算二重积分
1. [预备知识]
(1)［X－型域］
axb, 1 (x )y 2 (x ).
y2(x)
D
y1(x)
a
b
y2(x)
D
y1(x)
a
b
其中函数 1(、x) 在2(x区) 间 上[a连,b续] .
[X—型区域的特点] 穿过区域且平行于y 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.
D 1 D 2
D2为y轴右方的部分
23
[例如] D 1为 D :x2y21在第一象限部分, 则有
(1) (x2y2)dxdy2(x2y2)dxdy；
D
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学的学习中，二重积分是一个重要的概念和工具，它在解决许多实际问题和理论推导中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法对于我们深入学习数学以及解决相关的实际问题至关重要。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是在平面区域上对某个二元函数进行积分。
简单来说，就是把平面区域划分成许多小的区域，然后对每个小区域上的函数值乘以小区域的面积，再把这些乘积相加。
接下来，我们来介绍几种常见的二重积分计算方法。
一、直角坐标系下的计算方法在直角坐标系中，二重积分可以表示为两种形式：先对 x 积分再对y 积分，或者先对 y 积分再对 x 积分。
当我们选择先对 x 积分时，我们需要把积分区域投影到 x 轴上，确定 x 的积分限。
然后，对于每个固定的 x 值，在对应的垂直于 x 轴的线段上确定 y 的积分限。
例如，对于积分区域 D 是由直线 y ＝ x ，y ＝ 1 以及 x ＝ 0 所围成的三角形，我们要计算二重积分∬D f(x,y)dxdy。
先对 x 积分，x 的积分限是从 0 到 y ，y 的积分限是从 0 到 1 。
则可以将二重积分化为累次积分：∫₀¹(∫₀ʸ f(x,y)dx)dy 。
同样，如果先对 y 积分，就把积分区域投影到 y 轴上，确定 y 的积分限，然后再确定每个固定 y 值对应的 x 的积分限。
二、极坐标系下的计算方法在某些情况下，使用极坐标系来计算二重积分会更加方便。
极坐标系中的坐标是（r,θ) ，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示极角。
在极坐标系下，二重积分的表达式为∬D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ 。
比如，对于圆形或者扇形的积分区域，使用极坐标系往往能简化计算。
例如，计算以原点为圆心，半径为 R 的圆上的二重积分，积分区域 D 为 x²＋y² ≤ R² 。
在极坐标系中，r 的积分限是从 0 到 R ，θ 的积分限是从 0 到2π 。
二重积分的算法
二重积分的算法二重积分是微积分中的重要概念之一，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
二重积分的算法是求解二重积分的方法和步骤，下面将介绍二重积分的算法。
一、二重积分的定义二重积分是对二元函数在有界闭区域上的积分。
设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，其中D是一个有界闭区域，D的边界可以用一组参数方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b表示。
则称函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分为：∬D f(x,y) dxdy二、二重积分的计算方法二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的直接计算法和极坐标系下的极坐标变换法。
1. 直接计算法直角坐标系下的直接计算法是将二重积分转化为两个一重积分的叠加，按照积分的定义逐个计算。
具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）将二重积分转化为两个一重积分，先对y进行积分，再对x进行积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定积分的上下限；（4）按照一重积分的定义计算每个一重积分；（5）将两个一重积分的结果相加，得到二重积分的结果。
2. 极坐标变换法极坐标系下的极坐标变换法是通过极坐标系下的变换公式将二重积分转化为极坐标系下的一重积分。
具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）通过极坐标变换公式将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的一重积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定极坐标下的积分范围和方向；（4）按照一重积分的定义计算极坐标下的一重积分；（5）得到极坐标下的一重积分后，根据极坐标变换公式将其转化为直角坐标系下的二重积分。
3. 其他计算方法除了直接计算法和极坐标变换法外，还有其他一些特殊情况下的计算方法，如利用对称性、变量替换等方法进行计算。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和积分区域的特点。
三、二重积分的性质二重积分具有一些重要的性质，包括线性性、保号性、保序性、可加性等。
这些性质在计算二重积分时起到了重要的作用，可以简化计算过程和提高计算效率。
二重积分的计算方法-DSEC
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例 6
D
曲面z f ( x, y) 为曲顶柱体的体积．
用平面x=x0截立体，
z
截得A(x0). 应用计算
“平行截面面积为
z f (x, y)
已知的立体求体积” y 的方法,
y 2(x)
A(x0 )
x
b
x0 a
得
f ( x, y)dxdy
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
1
b
(b
y )n1
f
(
y)dy.
n1 a
y x
D
a
b
例5 求曲面z x 2 y2 1上点M (1,1,3)处的 切平面与曲面z x 2 y2所围空间区域的体积。 解：F ( x, y, z) x2 y2 1 z
Fx ( x, y, z) 2x Fy ( x, y, z) 2 y Fz ( x, y, z) 1
z f1(x, y)
D
例7 计算 x2d . 其中 D由 y x, y 1 , x 2
y2
D
x
围成．
解 X-型 D : 1 y x, 1 x 2. x
D
x 2 d
y2
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨二重积分的计算方法，包括定积分、极限方法和变换法。
首先，我们来回顾一下定积分的概念。
定积分是在一个区间上对函数进行积分的方法，可以看作是对函数在该区间上面积的测量。
对于一维的函数，如f(x)，定积分的计算方法可以通过求解反导函数F(x)的值来实现。
具体而言，定积分是将函数f(x)在区间[a,b]上的每个小矩形的面积累加起来，得到的结果就是函数在该区间上的定积分。
对于二重积分，它的计算稍微复杂一些。
二重积分可以看作是在一个二维的区域上对函数进行积分的方法。
通常情况下，二重积分的计算可以分为两个步骤：首先，将二重积分转化为定积分的形式；然后，利用定积分的计算方法进行求解。
对于二重积分的转化，常用的方法有直角坐标转换和极坐标转换。
直角坐标转换适用于矩形区域，它将二重积分转化为两个一维的定积分。
具体而言，设二重积分的变量为x和y，区域为D，函数为f(x,y)，则二重积分的计算可以表示为：∬f(x,y)dA = ∫(∫f(x,y)dy)dx其中，第一个定积分在区域D上对y进行积分，第二个定积分在整个区域D上对x进行积分。
极坐标转换适用于圆形或者具有旋转对称性的区域，它将二重积分转化为极坐标系下的定积分。
具体而言，设二重积分的变量为r和θ，区域为D，函数为g(r,θ)，则二重积分的计算可以表示为：∬g(r,θ)rdrdθ其中，第一个定积分在区域D上对r进行积分，第二个定积分在整个区域D上对θ进行积分。
除了定积分的方法，还可以使用极限方法来计算二重积分。
极限方法是通过将计算区域划分成无穷多个小矩形或者小三角形，然后将其面积累加起来得到积分的值。
具体而言，对于二重积分的计算，可以将区域D划分成很多个小矩形或者小三角形，然后根据这些小区域的面积和函数值进行累加，最后取极限即可得到二重积分的值。
最后，我们来介绍一种常用的变换法，即换元法。
10-2二重积分的计算法(1)--直角坐标系下X型Y型解析
b
x x+dx b
x
z=f (x, y)
A( x)
D
f ( x , y )dy
A( x)
1(x)
y
f ( x , y )d
a [
b
b
2(x)
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy]dx
a dx
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy
第二节 二重积分的计算法（1）
一、利用直角坐标计算二重积分 二、小结 练习题
二重积分的计算 基本思路：化为定积分
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，
D
以曲面 z f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
z
z f ( x, y)
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,
y
A( x )
a
f ( x , y )d V a A( x )dx
D
b
x
b
x
1. 直角坐标系下的计算法
(1) X－型积分区域D: 特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边 界相交不多于两个交点.
1(x)≤y≤2(x) , a ≤x≤b
y o
y 2 ( x)
y
y 2 ( x)
y x o a
y 2 ( x) y 1 ( x)
D
D
D
a
y 1 ( x)
x o a b
y 1 ( x)
b
x b
z y
o
z a
z f ( x, y)
y 2 ( x) y 1 ( x)
二重积分的计算
二重积分的计算二重积分的计算，是多元函数积分学的第一个难关，这一关过好了，对于其他类型（三重积分，曲线和曲面积分等）的积分，将开个好头，希望大家真正理解并掌握。
首先需要化点功夫弄明白二重积分的定义以及性质。
这里我就不写过多的内容，因为深入理解需要在具体的计算中才能加深理解，就事论事地背定义是很难有效果的。
二重积分的计算，最基本也是最根本的是要理解转化二重积分为累次积分的原理，即一个二重积分化为两个有先后次序的定积分，这2个定积分一般彼此存在着关系，先积分的那个定积分一般是后一个定积分的被积函数。
转化的前提是需要将被积区域D 表示为不等式形式。
二重积分的被积区域是个平面域，常用两种表示法：1）12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先y 后x ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)x x bb Da x a x f x y d f x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
2）12()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先x 后y ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)y y dd Dc y c y f x yd f x y dx dy dy f x y dx ψψψψσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
上述公式表示的是在直角坐标系下的计算公式。
在直角坐标系下，对平面区域可以沿平行于坐标轴的直线来分划该区域，所以积分微元d dxdy σ=。
如果被积区域D 是一个矩形区域，则:c y dD a x b≤≤⎧⎨≤≤⎩，而且被积函数可表为(,)()()f x yg xh y =， 此时，二重积分实际变为两个独立定积分的乘积：(,)()()()()b d bdDa c a cf x y dg xh y d y d x g x d x h y d yσ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 这是二重积分计算中最简单的情况。
计算二重积分的步骤
计算二重积分的步骤二重积分是高等数学中的一种重要工具，广泛应用于物理学、经济学、工程学等领域。
在我们计算二重积分时，需要掌握以下基本步骤。
1. 确定被积函数和积分区域二重积分需要确定被积函数f(x,y)和积分区域D，其中D可以是平面上的任何一块区域，包括矩形、三角形、梯形等。
我们需要首先明确被积函数以及积分区域的具体形式，以便做出后续的计算安排。
2. 划分区域并确定积分方向一般来说，我们会将积分区域D划分成若干个小区域，并依次对每个小区域进行计算。
此时需要注意积分区域的方向，一般可以选择沿x轴或y轴方向进行积分，确定好积分方向后，我们就可以将积分区域划分成若干个小矩形或小三角形等。
3. 求出微元面积或微元体积在进行二重积分计算之前，需要先求出微元面积或微元体积。
对于二重积分来说，微元面积往往等于小区域在x和y方向上的微小偏移量dx和dy的乘积。
4. 建立积分式并展开计算当确定好微元面积或微元体积后，就可以开始建立积分式，并依次对每个小区域进行计算。
此时我们需要将被积函数f(x,y)乘以微元面积或微元体积，然后将其累加求和即可。
因为每个小区域的被积函数可能不同，所以需要分别对每个小区域进行计算。
5. 对积分结果进行验证当计算出二重积分的结果后，我们需要对其进行验证，以确保计算结果的准确性。
一般来说，我们可以对积分结果进行图形分析、数值计算等验证方法，以确定计算过程的正确性。
6. 总结和应用最后，我们需要对计算过程进行总结，掌握二重积分的基本方法和技巧，并在实际问题中灵活应用，以便更好地解决实际问题。
二重积分不仅能够深入理解物理学和经济学等领域的现象，也为我们提供了实现科学和技术目标的基本工具。
二重积分的计算方法与几何意义分析
二重积分的计算方法与几何意义分析在数学中，二重积分是求解平面区域上某个函数的积分值的方法。
通过二重积分，我们可以计算平面上的面积、质心、质量以及其他与平面区域相关的物理量。
本文将介绍二重积分的计算方法和它的几何意义。
首先，我们来介绍二重积分的计算方法。
二重积分可以通过两种方法进行计算：直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，给定一个函数f(x, y)，我们可以将二重积分表示为：∬R f(x, y) dA其中，R是平面上的某个闭区域，dA表示微元面积。
为了计算二重积分，我们可以将区域R分解为小矩形，并在每个小矩形上进行近似计算。
当我们将矩形的数量无限增加时，近似计算的结果将越来越接近真实值。
这种方法称为面积的直角坐标系下的积分。
具体计算过程如下：1. 将区域R划分为若干个小矩形；2. 在每个小矩形中选择一个代表点(xi, yj)；3. 计算函数f(xi, yj)在该小矩形的面积dA；4. 将所有小矩形的面积dA相加，得到对整个区域R的面积估计值。
这种方法的几何意义是，二重积分表示了函数f(x, y)在某个区域R上的“平均值”。
通过对R中的每个点进行加权，我们可以得到整个区域R上函数的平均贡献。
2. 极坐标系下的二重积分在某些情况下，使用极坐标系可以更方便地计算二重积分。
在极坐标系下，我们可以将二重积分表示为：∬D f(r, θ) r dr dθ其中，D是平面上的某个极区域，r和θ分别表示极坐标系下的径向和极角，dr 和dθ表示对应的微元长度。
极坐标系的转换公式如下：x = rcosθy = rsinθ通过对极坐标系下的微元面积进行近似，可以得到二重积分的计算方法。
具体计算过程如下：1. 将区域D转化为极坐标系下的表示；2. 计算函数f(r, θ)在极坐标系下对应的面积元素r dr dθ；3. 将所有的面积元素相加，得到对整个区域D的面积估计值。
这种方法的几何意义是，二重积分表示了函数f(r, θ)在某个区域D上的“平均值”。
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高等数学之二重积分计算方法总结
在考研中，对于二重积分重点要掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标），二重积分计算公式如下：
二重积分的计算主要在于把二重积分化为累次积分计算，而在化为累次积分计算时，坐标系的选择不仅要看积分域D的形状，而且还要看被积函数的形式。
（1）适合用极坐标计算的二重积分被积函数一般应具有以下形式：
f(y/x),f(x/y),f((x^2+y^2)^(1/2))
之所以适合极坐标是由于它们在极坐标下都可化为r或thetha的一元函数。
（2）适合用极坐标计算的二重积分的积分域一般应具有以下形状：
中心在原点的圆域，圆环域或它们的一部分（如扇形);中心在坐标轴上且边界圆过原点的圆域或者它们的一部分。
有时在计算二重积分时候需要利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常用的结论有以下两条：
（1）利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性：
（2）利用变量的对称性：
题型一：在直角坐标下计算二重积分
例1：
解题思路：先画积分域D，不难看出该积分域关于两个坐标轴都对称，被积函数也有奇偶性，因此，应利用对称性和奇偶性。
解：
题型二：利用极坐标计算二重积分
例2：
解题思路：积分区域D关于y轴左右对称，被积函数（x+1)^2=x^2+2x+1，其中2x是x的奇函数，x^2+1是x的偶函数，先利用奇,偶性化简，然后再用极坐标计算。
解：。