三角函数图象解析式的求法
求正弦函数解析式的基本方法及练习题
求正弦函数解析式的基本方法及练习题
引言
正弦函数（sine function）是一种常见的三角函数，用于描述一条光滑的周期曲线。
本文将介绍求解正弦函数解析式的基本方法，并提供一些练题供读者练。
求解正弦函数解析式的基本方法
1. 确定基本参数：首先，确定正弦函数的振幅（amplitude）、周期（period）、相位（phase）和纵向平移量（vertical shift）。
这些参数将影响最终的解析式。
2. 构建通用解析式：基于已知参数，构建正弦函数的通用解析式。
通用解析式的形式为：A * sin(Bx + C) + D，其中 A 是振幅，B 是周期的倒数，C 是相位，D 是纵向平移量。
3. 根据具体问题进行修正：根据具体问题的要求，对通用解析式进行修正。
例如，若要求解析式经过某个特定点，可以通过代入该点的值来确定修正项。
4. 检验解析式：最后，通过验证解析式是否满足正弦函数的性质，如周期性、对称性等，来确认解析式的正确性。
练题
1. 已知正弦函数的振幅为 2，周期为π，相位为π/2，纵向平移量为 3，求解对应的解析式。
2. 若正弦函数的解析式为 3 * sin(2x + π) + 4，求解该函数经过的一个满足条件的点。
3. 给定一个未知正弦函数 f(x)，已知 f(0) = 1，f(π/2) = 0，求解该正弦函数的解析式。
请根据上述方法思考并解答练题，以加深对正弦函数解析式的理解。
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注：本文提供的方法和练习题仅为基础参考，实际问题中可能存在更复杂的情况，需具体问题具体分析。
在使用本文提供的技巧时，请始终独立做出决策，并确保所引用的内容可以确认。
三角函数的解析式
三角函数的解析式三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的解析式，即用数学公式表示三角函数的关系式。
一、正弦函数的解析式正弦函数是三角函数中的一种，用sin(x)表示，其中x表示角度。
正弦函数的解析式可以表示为：sin(x) = a其中a为角度x所对应的正弦值。
二、余弦函数的解析式余弦函数也是常见的三角函数，用cos(x)表示，其中x表示角度。
余弦函数的解析式可以表示为：cos(x) = b其中b为角度x所对应的余弦值。
三、正切函数的解析式正切函数是三角函数中的一种，用tan(x)表示，其中x表示角度。
正切函数的解析式可以表示为：tan(x) = c其中c为角度x所对应的正切值。
四、余切函数的解析式余切函数也是常见的三角函数，用cot(x)表示，其中x表示角度。
余切函数的解析式可以表示为：cot(x) = d其中d为角度x所对应的余切值。
五、正割函数的解析式正割函数是三角函数中的一种，用sec(x)表示，其中x表示角度。
正割函数的解析式可以表示为：sec(x) = e其中e为角度x所对应的正割值。
六、余割函数的解析式余割函数也是常见的三角函数，用csc(x)表示，其中x表示角度。
余割函数的解析式可以表示为：csc(x) = f其中f为角度x所对应的余割值。
综上所述，我们介绍了六种三角函数的解析式，分别为正弦函数的sin(x)、余弦函数的cos(x)、正切函数的tan(x)、余切函数的cot(x)、正割函数的sec(x)和余割函数的csc(x)。
这些解析式可以帮助我们计算角度与三角函数值之间的关系，深入研究三角函数的性质和应用。
在实际问题中，我们可以通过使用这些解析式来解决各种涉及角度的计算和建模问题。
三角函数的解析式是数学中的重要工具，它们在科学研究和实际应用中发挥着重要的作用。
通过学习和理解三角函数的解析式，我们能够更加深入地研究角度的性质和变化规律，为解决实际问题提供更加准确和高效的方法。
高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)
高中数学《三角函数》详解+公式+精题（附讲解）引言三角函数是中学数学的基本重要容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个容。
其考查容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。
两倍角的正弦、余弦、正切。
、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。
要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。
了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。
由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。
2．近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。
每年有 2 — 3 道选择题或填空题，或 1 — 2 道选择、填空题和 1 道解答题。
总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。
（ 1 ）关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与 y=sinx 的图象关系。
根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。
如 2000 年第（ 5 ）题、（ 17 ）题的第二问。
（ 2 ）求值题这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。
如 2002 年（ 15 ）题。
（ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题（ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。
一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。
如 2001 年（ 7 ）题。
（ 5 ）关于反三角函数， 2000 — 2002 年已连续三年不出现。
（ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合）今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话，应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。
高考数学中的三角函数图像及解析式
高考数学中的三角函数图像及解析式在高中数学的学习中，三角函数是一个非常重要的概念之一，而三角函数的图像及解析式往往是高考数学中的常考的知识点之一。
在本文中，我们将详细地探讨三角函数的图像及解析式，帮助读者更好地掌握这一知识点，提高高考数学的成绩。
一、正弦函数的图像及解析式正弦函数是三角函数中最为基础的一个函数，其通式为：y = sin x正弦函数的图像为一条波形曲线，波峰和波谷交替出现，形状类似于一条弯曲的绳子或者水波。
正弦函数的图像以 y 轴为对称轴，且有一个最高点和最低点，最高点为(π/2，1)，最低点为(3π/2，-1)。
而整张图像的周期为2π，也就是说函数在 x 轴上每隔2π 个单位长度就会重复一次。
二、余弦函数的图像及解析式余弦函数也是一个基础的三角函数，通式为：y = cos x余弦函数的图像也是一条波形曲线，波峰和波谷也是交替出现，但是与正弦函数的图像不同，余弦函数图像是以 x 轴为对称轴，它也有一个最高点和最低点，最高点为(0，1)，最低点为(π，-1)。
余弦函数的周期也是2π。
三、正切函数的图像及解析式正切函数是三角函数中比较特别的一个函数，通式为：y = tan x正切函数的图像类似于一条斜率一直不断变大或变小的直线，它的图像在π/2 和3π/2 处有一个垂直渐近线。
除此之外，还有一个水平渐近线 y=0。
正切函数的周期为π。
四、余切函数的图像及解析式余切函数是正切函数的倒数，通式为：y = cot x余切函数的图像是一条波形曲线，它也有一个垂直和水平的渐近线。
余切函数的周期也是π。
总之，三角函数的图像及解析式是高考数学中的重要知识点，掌握这些知识不仅能够帮助我们在数学考试中取得好成绩，还能增进我们对数学知识的理解和掌握。
三角函数的解析式的求法及应用
三角函数的解析式的求法及应用
三角函数就是把角度表示为弧度来描述函数性质的数学运算，它可以用来描述平面的几何学中的事物。
它的主要概念包括正弦、余弦和正切函数，被用来描述各种不同的角度的解析式，以及表达正方形、长方形以及其它任何多边形形状的比例。
与正弦定理、余弦定理等一起，三角函数提供了一种解析求解三角形的角度和边长的方法。
在求解三角函数的解析式时，我们就需要根据三角函数的定义和表达式来进行推导和求解，其中尤其要注意所给三角形的信息，比如三角形的的角度大小，边长比例等等。
三角函数的应用非常广泛，它被广泛用于工程学、计算机科学、物理学、经济学和微积分数学等方面。
在测绘中，可以用来求解地形三角测量等问题；在机械设计中，三角函数可以用来解决几何形状的拟合问题；在通信中，可以用来把模拟信号转换为数字信号；在音乐制作中，用三角函数可以产生不同音频频率，以建立多种旋律。
由于三角函数可以满足各种几何形状的比例，它也被广泛应用于电子产品的设计中。
比如它可以用来描述手机设计的形状，而在微型化设计中，由于三角函数可以满足复杂几何图形的比例，所以它可以实现紧凑的设计。
总之，三角函数的出现，丰富了数学的理解和认识，它的解析式及应用对于多种计算机科学、物理学及经济学等科技领域而言，有非常重要的作用。
三角函数的详细讲解
三角函数1.求函数f（x）=cos3x的周期．考点：三角函数的周期性及其求法；函数的图象．分析：设出函数的周期为T，根据周期的定义有f（x）=f（x+T）得，3x+2π=3（x+T），同三角函数的f（x）=cos3x=cos（3x+2π）比较，得到T的值．解答：解：设周期为T．f（x）=cos3x=cos（3x+2π），f（x+T）=cos3（x+T）由f（x）=f（x+T）得，3x+2π=3（x+T），解得T= 2π/3∴函数f（x）=cos3x的周期2π/3．点评：本题是一个三角函数的定义问题，是一个利用诱导公式来解的问题，是一个概念问题，解题时紧抓住定义，本题可以作为解答题的一问出现．本题也可以画图象来解．2. 已知函数y=3sin（2x- π/6）．求①函数的周期T；②函数的单调增区间．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：①直接利用求周期的公式，求出函数的周期T；②利用y=sinx的单调性，求出函数的单调增区间．解答：解：①依题意可知：T= 2π/π=2即函数的周期为π②令u=2x- π/6则函数y=3sinu的单调增区间为[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]k∈Z由–π/2+2kπ≤2x-π/6≤π/2+2kπ，得：–π/6+kπ≤x≤π/3+kπk∈Z∴函数y=3sin（2x- π/6）的单调增区间为：[-π/6+kπ，π/3+kπ]k∈Z（8分）点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，是基础题．3.已知函数f(x)=cos2x+2√3sinxcosx-sin2x，（1）求函数f（x）的最大值，最小值及最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）并用“五点法”画出它一个周期的图象．考点：正弦函数的单调性；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象.专题：综合题．分析：先利用二倍角公式对函数化简可得，f(x)=2sin(2x+π/6)（1）利用正弦函数的值域可得函数的最大值为2，最小值-2；利用周期公式T= 2π/ω可求周期（2）利用正弦函数的单调性可得，2kπ-1/2π≤2x+π/6≤2kπ+1/2π，求解即可（3）略解：（1）f（x）= cos2x+√3sin2x= 2sin(2x+π/6)∴周期T= 2π/2=π∴当sin(2x+π/6)=1时，f（x）取得最大值2，当sin(2x+π/6)=-1时f（x）取得最小值-2（2）当2kπ-π/2≤2x+π/6≤2kπ+π/2 k∈Z即kπ-π/3≤x≤kπ+π/6k∈Z函数f（x）单调递增∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-π/3，kπ+π/6]，（k∈Z）（3）列表：点评:本题主要考查了利用二倍角的正弦余弦公式对三角函数式的化简，辅助角公式ainx+bcosx= a2+b2sin(x+θ)的运用，正弦函数的最值及单调性的求解，五点法作三角函数的图象，灵活运用三角函数的性质是解决本题的关键．4.求函数y=（sinx+cosx）2+2cos2x的最小正周期．考点:三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：利用平方关系以及二倍角公式，化简函数y=（sinx+cosx）2+2cos2x为一个角的一个三角函数的形式，求出周期即可．解答：解：y=（sinx+cosx）2+2cos2x=1+sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+2= 2sin(2x+π4)+2；∴最小正周期T= 2π/2=π．点评：本题考查三角函数的最小正周期的求法，是基础题．5.求函数y=sin4x+2√3sinxcosx-cos4x的最小正周期、最小值和单调递增区间．考点:三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：综合题．分析：把函数解析式中的第一与第三项结合，利用平方差公式分解因式，根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，然后提取2后，利用两角差的正弦函数公式化为一个角2x-π/6的正弦函数，找出λ的值，利用周期公式T= 2π/λ即可求出最小正周期，根据正弦函数的值域得到正弦函数的最小值为-1，即可求出函数y的最小值，根据正弦函数的单调递增区间得到2x- π/6的范围，求出x的范围即为函数y的递增区间．解答：解：y=sin4x+2√3sinxcosx-cos4x=sin4x-cos4x+2√3sinxcosx=（sin2x+cos2x）（sin2x-cos2x）+2√3sinxcosx=-cos2x+√3sin2x=2（sin2xcosπ/6-cos2xsinπ/6）=2sin（2x-π/6）∴T= 2π/2=π，y min=-2，又∵- π/2+2kπ≤2x-π/6≤π/2+2kπ，∴- π/3+2kπ≤2x≤2π/3+2kπ，即- π/6+kπ≤x≤π/3+kπ，∴y=2sin（2x-π/6）的单调增区间是[-π/6+kπ，π/3+kπ]点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的恒等变形及三角函数的最值．把函数y的解析式利用三角函数的恒等变形化为一个角的正弦函数是解本题的关键．同时本题的技巧性比较强，要求学生熟练掌握三角函数的恒等变形公式及法则．6.求下列函数的周期（1）y=1-3cos2(x/3+π/6)；（2）y=4sin(3x+π/4)+3cos(3x+π/4).考点:三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：（1）利用二倍角公式降次把函数化为一个角的三角函数的形式，然后求出周期．（1）利用两角和的正弦公式，把函数化为一个角的三角函数的形式，然后求出周期．解答：解：（1）y=1-3cos2(x/3+π/6)= -3/2cos(2x/3+π/3)-1/2T= 2π/2/3=3π函数的最小正周期是3π．（2）y=4sin(3x+π/4)+3cos(3x+π/4).= 5sin(3x+π/4+θ)其中tanθ= 3/4它的周期是T= 2π/3．函数的最小正周期是2π/3．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，考查运算能力，是基础题．。
三角函数的图象、性质及应用(高中数学知识点讲解)
(5)不能认为y=tan
x在定义域上为增函数,应在区间
kπ-
π 2
,kπ
+
π 2
(k∈Z)内
为增函数.
知能拓展
考法一 关于三角函数图象的问题
例1 (1)(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<
φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈
求φ及ω,从而
得到f(x)的解析式,由f(α)=1求α,进而得cos
2α
+
5π 6
.
A = 5,
(2)①根据已知表格中的数据可得方程组
π 3
ω
+
φ
=
π 2
,
解之可得函数f(x)的
5π 6
ω
+
φ
=
3π 2
,
解析式,进而可补全表格.
②由①并结合函数图象平移可得,g(x)=5sin
2
x
+
2θ -
π 3
-2x
实质上是y=tan
x与y=
π 3
-2x的复合,应
按复合函数单调性求解.
方法总结 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
1.已知三角函数解析式求单调区间
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合
函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx
2π ω
=4×
7π 12
-
π 3
=π,得ω=2,故f(x)=3sin(2x+φ),将
高考数学一轮复习 第3章《三角函数》三角函数的图象课件
∴φ=-ωx0=-
2
(3
2)=
3
.
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解法四：（平移法）
由图象知，将y=5sin
2 3
x的图象沿x轴向左平移
2
个单
位，就得到本题图象.故所求函数解析式为
y=5sin〔 2 ( x+ )〕=5sin( 2 x+ ).
3
2
33
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考点三 三角函数图象的对称性
已知函数y=sin2x+acos2x= 1 a2 sin(2x+φ)(其中
3
(2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时，
“第一个零点”的确定是重要的，应尽量使A取正值.
(3)已知函数图象求函数
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题 方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定A,由 周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由
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图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不唯 一,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一解,否则φ的值不 确定,解析式也就不唯一.
学案3 三角函数的图象
考点分析
1. “五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A＞00,,ω,＞,30)的,2简图
五点的取法是：设X=ωx+φ，由X取 2 2 来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图.
2.变换作图法作y=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0）的 图象
(1)振幅变换：y=sinx→y=Asinx 返回目录
以“五点法”中的第一零点(
,0)作为突破口，要从图
象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特
三角函数的图象1
2.五点法作y=Asin(ωx+φ)的图象。 令Z= ωx+φ,转化为y=sinZ,作图用五点法,通 过列表,描点作出图象.
Z= ωx+φ
x=(z-φ)/ω
0
0
2
π
0
3 2
2π
0
y 3.例题
A
－Ａ
4.y=sinx与y=Asin(ωx+φ)的关系
1.复习函数图象的初等变换. 2. y=sinx与y=Asin(ωx+φ)的关系
三角函数的图象
ห้องสมุดไป่ตู้
三角函数的图象
命题分析与目标 y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象 五点法作图 y=sinx与y=Asin(ωx+φ)的关系
由y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式
习题 小结 课后探讨
命题分析
分析近几年的高考试题，有 关三角函数内容每年有25分，约 占17%.试题主要有两方面，一是 考察三角函数性质和图象变换， 二是图象的恒等变换。且随着新 教材的使用，逐渐降低了三角变 换的要求，而加强了对三角函数 图象和性质的考察.因此，我们 复习时要注重基础，抓住三角函 数图象，充分利用数形结合思想， 由图象研究性质.
A.向右 C.向右
4
平移个单位 平移个单位
B.向左 D.向左
4
平移个单位 平移个单位
12
12
例题讲析
例3. 已知函数y=Asin(ω x+φ ) 的图象上最高点和最低点坐标为 (5π /12,3),(11π /12,-3),求该 函数解析式.
(5π /12,3)
三角函数的图象变换及应用
第2讲三角函数的图象变换及应用考纲展示命题探究考点一三角函数的图象及变换1用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示：2y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相，ω叫做角速度．3三角函数的图象变换及其应用由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤注意点 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中各个字母的含义A 所起的作用是图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变化为原来的A 倍，简称为振幅变换；ω所起的作用是图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标变化为原来的1ω倍，简称为周期变换；φ所起的作用是将函数图象左右平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位，简称为相位变换.1．思维辨析(1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中的ω一定大于零．( )(2)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8只需向左平移π8个单位．( ) (3)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1.( ) (4)若sin x >22，则x >π4.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向右平移π8个单位长度 B ．向左平移π8个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 答案 A解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8由函数图象平移规律可知A 正确．3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称答案 A解析 由T ＝π知ω＝2πT ＝2，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )．[考法综述] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的变换以及根据图象和简单性质确定A 、ω、φ的取值为高考中的一个热点，主要考查考生识图、辨图的能力及三角的恒等变换问题，题型多以客观题为主，且难度不大，属中低档题．有时也作为解答题中的一问或某一环节中有所涉及．命题法 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换及解析式求法典例 (1)为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位 D ．向左平移π12个单位(2)如图是函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)因为y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，要得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象向右平移π12个单位，故选C.(2)由图象知，A ＝3－12＝1，T 2＝5π6－π6＝2π3，则T ＝4π3，ω＝32，由5π6×32＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z .又|φ|<π，∴φ＝－3π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －3π4＋2.[答案] (1)C (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫32x －3π4＋2【解题法】 三角函数解析式的求法和图象变换技巧(1)已知图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法①求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. ②求ω，已知函数的周期T ，则ω＝2πT . ③求φ，常用方法有：a ．代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)，或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．b ．五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ＝0，“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.(2)关于三角函数的图象变换的方法①平移变换a ．沿x 轴平移：由y ＝f (x )变为y ＝f (x ＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移．b ．沿y 轴平移：由y ＝f (x )变为y ＝f (x )＋k 时，“上加下减”，即k >0，上移；k <0，下移．②伸缩变换a ．沿x 轴伸缩：由y ＝f (x )变为y ＝f (ωx )时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1|ω|倍． b ．沿y 轴伸缩：由y ＝f (x )变为y ＝Af (x )时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A |倍．1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位答案 B解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故要将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位．故选B.2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝sin x ＋cos x 答案 A解析 采用验证法．由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.3.将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 D解析 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D. 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)答案 A解析 由最小正周期为π，可得ω＝2，又x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，故可令φ＝π6，得函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，即f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6，由正弦函数易得f (0)>f (－2)>f (2)．故选A.5.若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．答案 3π8解析 把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象． 由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象关于y 轴对称，所以－2φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝－k π2－π8，k ∈Z .当k ＝－1时，φ的最小正值是3π8.6．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.考点二 三角函数的性质及应用三角函数的图象与性质注意点 正切函数的单调区间正切函数y ＝tan x 在定义域上不是单调函数，但存在单调区间，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 为其单调递增区间.1．思维辨析(1)正弦函数y ＝sin x 在其任一周期内都只有一个增区间，一个减区间．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( )A.π6B.11π6 C.7π6 D.5π6答案 B解析 将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位后，得到y ＝sin(x ＋φ)的图象，所以φ＝2k π－π6(k ∈Z )，又0≤φ<2π，所以φ＝116π.3．若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2 B.12 C ．3 D.13答案 B解析 由y ＝2cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝1，即2cos 2π3ω＝1，即cos 2π3ω＝12.经验证，得出选项B 符合．[考法综述] 三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧．考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用．命题法 y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的性质及应用典例 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ωx 2，x ∈R (其中ω>0)． (1)求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1.由－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6≤1， 得－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1≤1，所以函数f (x )的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知， f (x )的周期为π，所以2π|ω|＝π，即ω＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， 再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．【解题法】 三角函数性质问题的解题策略(1)三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略①已知三角函数解析式求单调区间a．求函数的单调区间应遵循简单化原则：将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．b．求形如y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．②已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(2)求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法①形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)．②形如y＝a sin2x＋b sin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．③形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法①若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)＝0.②求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝A sin(ωx＋φ)，y＝A cos(ωx＋φ)，y＝A tan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T＝2π|ω|，T＝2π|ω|，T＝π|ω|求解．③对于函数y＝A sin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．1.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由图象可知ω4＋φ＝π2＋2m π，5ω4＋φ＝3π2＋2m π，m ∈Z ，所以ω＝π，φ＝π4＋2m π，m ∈Z ，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2m π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4的单调递减区间为2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，故选D.2．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x . ∴f (x )max ＝1.3．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)解法一：因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34.所以，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.解法二：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π3，故当2x －π6＝－π2，x ＝－π6时，f (x )取得最小值为－12，当2x －π6＝π3，x ＝π4时，f (x )取最大值为34.4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2. 又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 5．已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．[0,2][错解][错因分析] 不能准确利用集合的关系，把问题进行等价转化是求解的关键，利用正弦函数的单调性，确定f (x )的单调减区间，由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为其子区间． [正解] 结合y ＝sin ωx 的图象可知y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2ω，3π2ω上单调递减，而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4ω，可知y ＝sin ωx 的图象向左平移π4ω个单位之后可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4ω，5π4ω单调递减，故应有⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4ω，5π4ω，解得12≤ω≤54.[答案] A [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·衡水二中仿真]已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355B.377 C.31010 D.13答案 C解析 2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，① tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3.又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝31010. 2．[2016·衡水中学周测]若函数y ＝cos2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性相同，则φ的一个值为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 D解析 易知y ＝cos2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，因为y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，则x ＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，经验证，得φ＝π2符合题意，故选D.3．[2016·冀州中学期末]为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴需要把y ＝sin2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．[2016·衡水中学预测]设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(|φ|<π2)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π6， ∵函数图象关于直线x ＝0对称， ∴函数f (x )为偶函数， ∴φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2cos2x ， ∴T ＝2π2＝π.∵0<x <π2，∴0<2x <π， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．故选B.5．[2016·枣强中学热身]函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )C.12D.32答案 A解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛2x ＋π3＋φ⎭⎫，又其为奇函数，则π3＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π3，k ∈Z .又|φ|<π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A.6．[2016·衡水中学猜题]已知函数f (x )＝sin2x 向左平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π3，0中心对称B ．图象关于x ＝－π6轴对称 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减答案 C解析 函数f (x )＝sin2x 向左平移π6个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令x ＝－π3， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3≠0，A 不正确； 令x ＝－π6，得f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝sin0＝0≠±1，B 不正确；由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，故选C. 7．[2016·衡水中学一轮检测]将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增答案 B解析 设平移后的函数为f (x )，则f (x )＝3sin ⎣⎢⎡2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋⎦⎥⎤π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－π＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ，同理得递增区间为[ k π＋π12，k π＋⎦⎥⎤7π12，k ∈Z .从而可判断得B 正确．8．[2016·冀州中学模拟]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数的表达式为( ) A ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4B ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4C ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4答案 B解析 由图象的最高点为4，最低点为－4，可确定|A |＝4.结合正弦型函数的特征可知A ＝－4，T ＝2πω＝16，ω＝π8，又f (6)＝0，|φ|<π2，可得φ＝π4，故选B.9．[2016·衡水二中周测]函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) 解析 由题意知，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 10．[2016·枣强中学仿真]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析 由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T ＝π.11．[2016·衡水二中月考]已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值．解 (1)因为f (x )＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以T ＝2πω＝π，故f (x )的最小正周期为π.2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，则 函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值12； 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－1.12．[2016·武邑中学热身]已知向量a ＝(sin x,2cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝2×1－cos2x 2＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1， 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )．(2)由题意g (x )＝2sin ⎣⎢⎡ 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－⎦⎥⎤π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋1， 由π12≤x ≤7π12得π4≤2x ＋π12≤5π4， ∴0≤g (x )≤2＋1，即g (x )的最大值为2＋1，最小值为0.能力组13. [2016·衡水二中热身]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )A.π3 B.23π C.43π D.π3或43π答案 D解析 要使方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x ＝π6或关于直线x ＝2π3对称，因此x 1＋x 2＝2×π6＝π3或x 1＋x 2＝2×2π3＝4π3.14. [2016·武邑中学期末]把函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3.其中，正确判断的序号是________． 答案 ②④解析 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝2sinπ＝0，所以函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a ＝2 3.所以④正确．所以正确的判断为②④.15. [2016·衡水二中预测]已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 解法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12.(2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 解法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4， 从而f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 16．[2016·枣强中学月考]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．⎝⎭＝32sin2ωx ＋32cos2ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω>0)，根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象． 根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z .结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.。