高等数学课程中定积分及其应用教学改革初探

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定积分及其应用-教案

高等数学教学教案第5章定积分及其应用授课序号011i i n x x x b -<<<<=，将区间,)n ，每小区间的长度记为i i x x ∆=-2,,)n .在区间1[,i x -，作乘积()i f ξ(1,2,,)i n =.求和，得1ni =∑(4)记1max{}i i nx λ≤≤=∆(1,2,,)i n =，当0λ→时，取上述和式的极限，得1lim ()ni i i f x λξ→=∆∑.如果对于[,]a b 的任意分法及小区间1[,]i i x x -上点i ξ的任意取法，上述极限都存在，则称函数()f x 在区间[,]a b 上可积，此极限值为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰01lim ()ni i i f x λξ→==∆∑，其中()f x 称为被积函数，x 称为积分变量，()d f x x 称为被积表达式，[,]a b 称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限，1()niii f x ξ=∆∑称为()f x 在[,]a b 上的积分和．对于定积分的定义，我们还有以下几点重要说明. （1）定积分()d baf x x ⎰是一个数值，它只与被积函数()f x 和积分区间[,]a b 有关，而与积分变量的符号无关，即()d ()d ()d bb baaaf x x f t t f u u ==⎰⎰⎰．按照定积分的定义，记号()d baf x x ⎰中的,a b 应满足关系a b <，为了研究的方便，我们补充规定：① 当a b =时，()d ()d 0baaaf x x f x x ==⎰⎰；② 当a b >时，()d ()d b aabf x x f x x =-⎰⎰.（2）关于可积性的问题：定理5.1 函数()f x 在[,]a b 上连续，则函数()y f x =在区间[,]a b 上可积.定理5.2函数()f x 在[,]a b 上有界且只有有限个间断点，则函数()y f x =在区间[,]a b 上可积．（3）定积分的几何意义：①由引例1可知，在[,]a b 上()0f x ≥时，定积分()d baf x x⎰表示由曲线()y f x =和直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形的面积；②在[,]a b 上()0f x ≤时，由曲线()y f x =和直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()d baf x x ⎰表示上述曲边梯形授课序号02授课序号03授课序号04教学基本指标教学课题第5章第4节定积分的应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点平面图形的面积、旋转体的体积教学难点旋转体的体积参考教材作业布置课后习题大纲要求掌握用定积分表达和计算平面图形的面积、旋转体的体积.教学基本内容5.4.1 定积分的元素法(1)选变量. 例如选x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，也即积分区间. (2)求微元. 任取],[b a 的一个区间[d ]x,x x +，求出相应于这个区间上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的元素d ()d U f x x =.(3)列积分. 根据d ()d U f x x =写出表示总量U 的定积分d ()d bbaaU U f x x ==⎰⎰.上述方法叫做元素法（或微元法），利用元素法可以计算平面图形的面积、立体的体积等.5.4.2 平面图形的面积1. 直角坐标系下平面图形的面积(1)在平面直角坐标系中求由曲线()y f x =,()y g x =和直线x a =,x b =围成的图形的面积A ，其中函数()f x ，()g x 在区间],[b a 上连续，且()f x ≥()g x ，如图5.11所示．利用元素法，步骤如下.①选取x 为积分变量，变化区间为],[b a .②在区间],[b a 上任取小区间[d ]x,x x +，在该小区间上对应的那部分图形的面积记A ∆，它可以用以()()f x g x -为高、以d x 为底的小矩形面积近似代替，并记为面积元素d A ，即d [()()]d A f x g x x =-.③在区间],[b a 上对面积元素d A 作定积分，求得平面图形面积为[()()]d baA f x g x x =-⎰.(2) 类似地，由曲线1()x y ψ=,2()x y ψ=和直线y c =，()y d c d =≤围成的图形（见图 5.12）的面积为21[()()]d dc A y y y ψψ=-⎰．*2. 极坐标系下平面图形的面积某些平面图形，用极坐标来计算它们的面积比较方便.设曲线由()r r θ=表示，求由曲线()r r θ=及射线θα=，βθ=所围的图形的面积. 此类图形称为曲边扇形. 现在要计算它的面积.这里()r r θ=在[,]αβ上连续，且()0r θ≥，02πβα<-≤.由于当θ在[,]αβ上变动时，极径()r r θ=也随之变动，因此所求的图形的面积不能直接利用扇形面积公式212A R θ=来计算. 我们利用元素法计算曲边扇形面积，步骤如下. (1)取极角θ为积分变量，它的变化区间为[,]αβ.(2)在区间[,]αβ上任取一小区间[,d ]θθθ+，该小区间上对应的窄曲边扇形的面积可以用半径为()r r θ=、中心角为d θ的扇形面积来近似代替，从而得到该窄曲边扇形面积的近似值，即曲边扇形的面积元素21d ()d 2A r θθ=. (3)在闭区间[,]αβ上对面积元素作定积分，便得到所求曲边扇形的面积21()d 2A r βαθθ=⎰.5.4.3 体积1. 旋转体的体积由一个平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴．例如，圆柱、圆锥、圆台、球体都是旋转体．(1)计算由连续曲线()y f x =和直线x a =, x b =及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积，如图5.18所示．利用元素法计算该旋转体的体积，步骤如下.①取x 为积分变量，变化区间为[,]a b .②在区间[,]a b 任取小区间[,d ]x x x +，相应于小区间[,d ]x x x +上的旋转体薄片的体积可近似的看作以()f x 为底面半径、以d x 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素2d π[()]d V f x x =.③在区间[,]a b 对体积元素求定积分，便得到所求旋转体的体积公式2π[()]d baV f x x =⎰．(5.7)(2)类似地，可计算出由连续曲线()x y ϕ=和直线y c =，y d =及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的旋转体(见图5.19)的体积. 2π[()]d dcV y y ϕ=⎰． (5.8)5.4.4 经济问题已知变化率求总量问题可利用定积分计算.设总产量()Q t 的变化率为()Q t '，则由1t 到2t 时间内生产的总产量为21()d t t Q Q t t '=⎰.例题讲解例5.21 求在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，曲线sin y x =与直线01x y ==，所围成的图形面积.例5.22 求由椭圆22221x y a b+=所围成的图形的面积.例5.23 求由抛物线22y x =+与直线0x y -=所围成的图形面积. 例5.24 计算心形线(1cos )r a θ=+ (0a >)所围图形的面积.例5.25 计算由椭圆22221x y a b+=所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积．例5.27 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心并与底面交成α角，计算该平面截圆柱体所得立体的体积．x图5.18授课序号05。

高数教案_定积分应用

课题: 定积分的几何应用目的要求：掌握定积分的微分元素法掌握利用定积分求平面图形面积的方法掌握利用定积分求体积的方法掌握利用定积分求弧长的方法教学重点：利用定积分求面积和体积的方法教学难点：利用定积分求面积和体积的方法教学课时：4教学方法：讲练结合教学内容与步骤：定积分解题的条件：(1) 所求量（设为 F ）与一个给定区间 [a,b]有关，且在该区间上具有可加性. 就是说，F 是确定于 [a,b]上的整体量，当把 [a,b]分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即1ni i F F ==∑ .(2) 所求量 F 在区间 [a,b]上的分布是不均匀的，也就是说， F 的值与区间 [a,b]的长不成正比.（否则的话， F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）用定积分概念解决实际问题的四个步骤：第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即: 1Δnii F F ==∑;第二步：求出每个部分量的近似值，Δi F ≈()Δ(1,2,,);i i f x i n ξ=L第三步：写出整体量 F 的近似值，1Δn ii F F ==∑≈1()Δniii f x ξ=∑；第四步：取max{Δ}0i x λ=→时的1()Δniii f x ξ=∑极限，则得1lim ()Δ()d nb i i ai F f x f x x λξ→===∑⎰.观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式()Δi i f x ξ中的变量记号改变一下即可（ i ξ换为x ；i x ∆换为 dx ）. 而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 [a,b]上无限累加，即在 [a,b]上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是 F 能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用的微元法. 定积分应用的微元法：(一) 在区间 [a,b]上任取一个微小区间 [],d x x x +，然后写出在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为d ()d F f x x =(称为 F 的微元); （二）将微元dF 在[a,b]上积分（无限累加），即得: ()d .b aF f x x =⎰微元法中微元的两点说明：(1) ()d f x x 作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关于Δx 的高阶无穷小. 即 Δ()d (Δ)F f x x o x -=.这样我们就知道了，称作微元的量 ()d f x x ，实际上是所求量的微分 dF;(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 [],d x x x + 上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元 d ()d F f x x = . 用定积分求平面图形的面积 1. 直角坐标系下的面积计算用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.（1）曲线()(()0),y f x f x =≥,x a x b ==及 OX 轴所围图形，如下页左图，面积微元d ()d A f x x =，面积()d b aA f x x =⎰.（2）由上、下两条曲线(),()(()())y f x y g x f x g x ==≥及,x a x b ==所围成的图形，如下页右图，面积微元d [()()]d ,A f x g x x =-，面积[()()]d b aA f x g x x =-⎰.（3）由左右两条曲线(),()x y x y ψϕ==及,y c y d ==所围成图形（图见下左）面积微元（注意，这时就应取横条矩形 dA ，即取 y 为积分变量）d [()()]d A y y y ϕψ=-，面积[()()]d d cA y y y ϕψ=-⎰.例求两条抛物线22,y x y x ==所围成的图形的面积 .解（1）画出图形简图（如右上图）并求出曲线交点以确定积分区间：解方程组22,,y x y x ⎧=⎨=⎩得交点（0，0）及（1，1）.(2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA 均可，习惯上取竖条，即取 x 为积分变量，x 变化范围为[0，1]，于是2d )d ,A x x =(3)将A 表示成定积分，并计算:13123200211)d 33 3.A x x x x ⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎰ 练习求22y x =及4y x =-所围成图形面积. 解作图（如下图）求出交点坐标为(2,2),(8,4)A B -. 观察图得知，宜取 y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），于是得 :21d [(4)]d ,2A y y y =+-A ＝4422322111[(4)]d 418.226y y y y y y --⎛⎫+-=+-=⎪⎝⎭⎰极坐标下的面积计算曲边扇形：是指由曲线()r r θ=及两条射线,θαθβ==所围成的图形（如右下图）.取 θ为积分变量，其变化范围为[,]αβ，在微小区间 [,d ]θθθ+上“以常代变”，即以小扇形面积 dA 作为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为21d ()d ,2A r θθ=将dA 在[,]αβ上积分,便得曲边扇形面积为21()d .2A r βαθθ=⎰例22.解由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，再4倍即可，在第一象限 θ的变化范围为 π[0,]4，于是ππ22244014cos 2d sin 2.2A a a a θθθ=⨯==⎰练习求心形线 1cos r θ=+及圆3cos r θ=所围成的阴影部分面积（如右下图）.解先求两线交点，以确定 θ的变化范围，解方程组：1cos ,3cos .r r θθ=+⎧⎨=⎩由3cos 1cos θθ=+得 1cos 2θ= ，故π3θ=± ，考虑到图形的对称性，得所求的面积为：ππ2232π03112(1cos )d (3cos )d 22A θθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰ππ32π031cos 29(12cos )d (1cos 2)d 22θθθθθ+=++++⎰⎰ππ32π0331912sin sin 2sin 22422θθθθθ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5π.4=用定积分求体积1. 平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积. 不妨设上述直线为 x 轴，则在 x 处的截面面积 ()A x 是x 的已知连续函数，求该物体介于 x=a 和 ()x b a b =<之间的体积（如右下图）.为求体积微元，在微小区间 [,d ]x x x +上视 ()A x 不变，即把[,d ]x x x +上的立体薄片近似看作 ()A x 为底， dx 为高的柱片，于是得d ()d ,V A x x =再在x 的变化区间[,]a b 上积分，则得公式 ()d .baV A x x =⎰例设有底圆半径为 R 的圆柱，被一与圆柱面交成 α角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如右下图）.解取坐标系如图，则底圆方程为222,x y R +=在 x 处垂直于 x 轴作立体的截面，得一直角三角形，两条直角边分别为y 及 tan y αα，其面积为221()()tan 2A x R x α=-，从而得楔形体积为222201()tan d tan ()d 2RR R V R x x R x x αα-=-=-⎰⎰2232tan ()tan 33R x R x R αα=-=旋转体体积设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线,()x a x b a b ==<，及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而成（如下图），我们来求它的体积 V.在区间 [,]a b 上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为:2()π().A x f x = 在x 的变化区间[,]a b 内积分，得旋转体体积为: 2π()d .baV f x x =⎰类似地，由曲线()x y ϕ=，直线,y c y d ==及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转，所得旋转体体积（如下页左图）为2π()d .d cV y y ϕ=⎰例求由星形线 222333(0)x y a a +=> 绕x 轴旋转所成旋转体体积（如上右图）. 解由方程 222333x y a +=解出 2y =22333()a x - ，于是所求体积为 2223330πd 2π()d a aaV y x a x x -==-⎰⎰42242233333322π(33)d π.105aa a x a x x x a =-+-=⎰ 平面曲线的弧长设有曲线()y f x =（假定其导数()f x '连续），我们来计算从 x a =到 x b =的一段弧长的长度 s ，弧长微元为:d s x =在x 的变化区间[,]a b 内积分，就得所求弧长:.aas x x ==⎰⎰若曲线由参数方程 (),()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤给出，这时弧长微元为d .s t ==于是所求弧长为: .s t βα=⎰注意：计算弧长时，由于被积函数都是正的. 因此，为使弧长为正，定积分定限时要求下限小于上限.例求摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩在 02πt ≤≤的一段长(0)a >.解 ()(1cos )x t a t '=-, ()sin y t a t '=,于是 d s t t == 2sind 2ta t =, 由于在[0,2π]上，sin02t≥，故这一拱摆线长为 : 2π2π02sin d 4cos 8.22t t s a t a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰练习：作业：教学总结：。

高职数学的定积分概念教学设计论文

高职数学的定积分概念教学设计论文高职数学的定积分概念教学设计论文摘要：很多高职院校的学生觉得高职数学难，尤其是积分学的部分。

本文从定积分的概念、几何意义出发，阐述定积分教学内容、教学目标、教学方法、教学重难点的设计以及在教学中应注意的问题。

关键词：高职数学；定积分；几何意义；教学设计高职数学的学习，是为了使学生初步掌握必须、够用的数理理论、知识、方法以及培养学生的逻辑思维能力、科学理论理解能力、量化解决相关专业问题能力，提高继续深造的学习与自主学习能力等。

近些年，由于高职院校的扩招，学生素质参差不齐，高考数学分数也较低，缺乏学习的自信心等原因，导致高职数学的教学越来越难。

相对于微分学来说，学生觉得积分学更难。

不能很好地理解概念，不能准确地掌握解题方法，致使学习效果很不理想。

即便实际情况很复杂，在高职学生中也不乏有上课认真听讲，对于教师讲解过的概念能有较好的理解并能独立解决一些问题，这让我很欣慰。

积分学的基础是微分学，相关计算之间关系密切。

而不定积分的计算更是定积分计算的基础，通过不定积分的求解方法：直接积分法、换元积分法以及分部积分法，结合牛顿———莱布尼兹公式，即可得出定积分的计算方法。

本文中定积分的概念是连接不定积分与定积分计算的关键部分，只有学生准确掌握其概念，才能更好地运用其运算并解决相关问题。

而教学经验说明，定积分概念掌握较好的学生，定积分的计算及其应用学起来较容易且效果较好。

一、教学内容设计教学过程中，由矩形、梯形面积问题，引出曲边梯形面积求解问题。

给出引例：曲边梯形的面积问题，求由ｙ＝ｆ（ｘ）（ｘ≥０）与ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ，ｘ轴所围成的图形的面积，强调引例的特殊性———图形的位置及形成过程。

设计问题：１．规则图形求面积如矩形，梯形，三角形等可以借助公式进行求解，曲边梯形的面积怎么求解？２．能不能求出曲边梯形面积的近似值（用什么图形代替）？３．怎么能让误差变小？４．曲边梯形面积表达式是什么？５．定积分解决图形面积问题中的关键表达式是什么？二、教学目标设计定积分概念的.学习，准确理解定积分的概念：乘积求和取极限的表达式。

高等数学融入思政元素——以定积分为教学案例

高等数学融入思政元素——以定积分为教学案例1 教学过程1.1 背景的介绍为了探究圆的面积问题，我国古代杰出的数学家刘徽于公元263年创立了“割圆术”，利用已掌握的圆内接正多边形的面积，求得圆的面积。

也就是说我不会求圆的面积，但会求正多边形的面积，这时候我就考虑以直代曲，用正多边形代替圆，其作法是：首先作圆的内接正六边形得到面积A1，其次作圆的内接正十二边形形得到面积A2，用同样的方法继续作圆的内接正二十四边形得到面积A3，等等，圆的内接正6×2n-1邊形的面积An。

当n无限地增大时，圆内接正多边形越来越接近于该圆面积，误差也越来越小，为了减小误差我们取极限，则（圆的面积）。

在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的面积的极限是圆面积。

1.2 数学问题的提出在此阶段让学生体会到现实生活中遇到问题时，不要害怕惊慌，努力用自己掌握的知识来解决问题。

为达到此目的，给出一个以现有知识水平无法解决的问题作为引例，吸引学生与教师一起分析和探究，例如。

问题：我们中学没有现成的计算公式，而现在我们要解决这个问题。

自然而然的要用已经掌握的知识来求这个曲边三角形的面积。

仿照着割圆术的思想，以直代曲。

1.3 概念的建立通过图形如此下去会发现随着曲边梯形的分割，误差越来越小，为了减少误差取极限。

同理我们取最左侧（最小）的函数值作为高第二步将上述解决问题的方法提炼出来，得到定积分的定义。

1.4 知识巩固通过两个具体的例题，让学生进一步理解和掌握定积分的概念。

具体过程如下：例1计算由抛物线y=x2+1，两直线x=a，x=b（b>a）及x轴所围成的图形的面积。

例2已知自由落体运动的速度υ与时间t的关系为υ=gt（g为重力加速度）。

我们来计算从时刻t=8s到t=10s通过的路程。

1.5 课后思考练习题：用定积分表示下列极限2 教学效果的评价1）定积分是已经学习了微分和不定积分之后的知识内容，通过介绍刘徽“割圆术”，让学生感受到民族的自豪感和对中国文化的认同感，对比近代数学的落后又会激起学生学习的热情，增强他们的内忧外患意识，激起强烈的民族责任感。

定积分的应用教案

定积分的应用教案教案标题：定积分的应用教案目标：1. 理解定积分的概念和性质。

2. 掌握定积分的计算方法。

3. 学会运用定积分解决实际问题。

教学重点：1. 定积分的定义和性质。

2. 定积分的计算方法。

3. 定积分在实际问题中的应用。

教学难点：1. 将实际问题转化为定积分的形式。

2. 运用定积分解决实际问题。

教学准备：1. 教学课件。

2. 教材《高等数学》相关章节。

3. 计算器和白板。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入定积分的概念，通过提问和讨论激发学生对定积分的兴趣和思考。

2. 回顾不定积分的概念和性质，为学生理解定积分做铺垫。

二、概念讲解（15分钟）1. 讲解定积分的定义和性质，包括积分上限、下限的含义、可加性、线性性等。

2. 通过示例演示定积分的计算方法，如基本初等函数的定积分、换元积分法等。

三、定积分的计算（20分钟）1. 给出一些简单的定积分计算题目，引导学生运用所学的计算方法进行解答。

2. 对于较复杂的题目，引导学生分步骤进行计算，并注意化简和变形的技巧。

四、定积分的应用（25分钟）1. 介绍定积分在实际问题中的应用，如面积计算、物理问题中的质量、速度、功率等计算。

2. 给出一些实际问题，引导学生将问题转化为定积分的形式，并进行求解。

3. 强调解决实际问题时需注意问题的分析和建立数学模型的能力。

五、拓展与巩固（10分钟）1. 给学生一些拓展题目，要求他们运用所学的知识解决更复杂的问题。

2. 总结定积分的应用领域和方法，并鼓励学生在实际生活中运用所学知识。

六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生独立完成，并在下节课前交作业。

2. 鼓励学生积极思考、互相讨论，提高问题解决能力。

教学反思：本节课通过引导学生理解定积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法，并运用定积分解决实际问题，旨在培养学生的数学思维和应用能力。

教学过程中，通过示例演示和实际问题的引导，帮助学生理解和掌握定积分的应用。

高职建筑类专业高等数学教学内容改革初探

高职建筑类专业高等数学教学内容改革初探
计划时，安排一些课时让学生学习数学软件 Matlab，将数学实验融入具体的实际教学当中，把一些抽象的难以理解的概念和分析^p 过程在计算机上以动态方式显示给学生。

同时，通过数学软件的学习，使学生学会借助计算机进行数学学习和计算，利用数学软件在电脑中求导、求积分、解微分方程等。

四、结语
做好上述工作，是一项需要教师长期摸索、不懈努力并进行实践的艰巨任务，它需要教师转变教学观念，改变教学方法。

分析^p 建筑类专业对数学的需求，与专业课教师共同研究数学在建筑类专业中的应用，还要求数学教师自身学习一定的专业知识，花费一定的时间，投入一定的精力，工作量是比较大的。

但通过这些工作，不仅可以使我们搞好教学，而且也可以提高自身的业务水平，有利于搞好自己的科研工作，真正做到“教学相长”。

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关于《高等数学》教学改革的几点思考

关于《高等数学》教学改革的几点思考高等数学作为大学本科的一门重要课程，一直以来都是学生们的一大难点。

对于很多理工科的学生来说，高等数学更是他们的痛点之一。

随着教育改革的不断深入，越来越多的教育工作者开始思考如何对高等数学进行改革，以提高学生的学习兴趣和学习效果。

本文将从课程设置、教学方法、考试评价等方面进行几点思考，以期为高等数学教学改革提供一些参考。

一、课程设置高等数学的课程设置一直以来是比较单一的，主要包括微积分、线性代数、概率统计等内容。

这些内容虽然对学生的思维能力和数学基础有很大的锻炼作用，但也存在一些问题。

微积分和线性代数的内容过于抽象，对于一些非数学专业的学生来说很难理解和接受；再概率统计的实际应用并没有得到很好的体现。

我们有必要对高等数学的课程内容进行一定的调整和完善。

我们可以将微积分和线性代数的内容进行适当的整合，以便学生更好地理解这两门课程的内在联系，从而提高学生的学习效果。

我们可以根据学生的专业特点，增加一些与实际专业应用相关的数学知识，比如工程数学、金融数学等，以帮助学生更好地将数学知识与实际应用相结合，提高他们的学习兴趣和学习动力。

二、教学方法传统的高等数学教学方法主要以讲授为主，缺乏互动性和启发性。

这种教学方法虽然能够使学生获取知识，但是很难激发学生的学习兴趣和学习动力。

我们有必要对高等数学的教学方法进行一定的改革。

我们可以引入一些互动式教学方法，比如案例教学、问题解决式教学等，以激发学生的学习兴趣和主动性。

我们可以引入一些多媒体教学手段，比如PPT、视频等，以帮助学生更直观地理解和掌握数学知识。

我们可以引入一些实验教学的内容，以帮助学生更好地将数学知识与实际应用相结合，提高他们的学习效果。

三、考试评价高等数学教学改革是一项系统工程，需要我们从课程设置、教学方法、考试评价等方面进行全面考虑和调整。

只有这样，我们才能更好地激发学生的学习兴趣和学习动力，提高他们的学习效果和竞争力。

《高等数学》课堂教学中融入课程思政案例——以《定积分的概念》为例

科技教育DOI：10.16661/ki.1672-3791.2010-5042-9427《高等数学》课堂教学中融入课程思政案例①——以《定积分的概念》为例范慧玲* 曹鸣宇袁玉萍张丽(黑龙江八一农垦大学理学院黑龙江大庆 163319)摘要：寻找每个知识点的课程思政元素是改变传统数学课的闪光点，其可以给枯燥的理论课堂带来生机，活跃学生的学习热情，使得学生在学习理论的同时树立正确的三观。

该文以高等数学中的定积分的概念为例，在设计课堂教学的过程中以问题导入的形式，引导学生思考、分析问题，将知识点和哲学思想联系在一起，以提高学生分析、解决问题的能力，逐步培养他们理论联系实际的能力。

关键词：高等数学课程思政定积分教学反思中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2021)03(b)-0158-03Advanced Mathematics Classroom Teaching IncorporatesCurriculum Ideology and Politics Cases——Take The Concept of Definite Integral as an ExampleFAN Huiling* CAO Mingyu YUAN Yuping ZHANG Li(The College of Science of Heilongjiang Bayi Agricultural University, Daqing, Heilongjiang Province,163319 China)Abstract: Finding the ideological and political elements of the curriculum for each knowledge point is the shining point of changing the traditional mathematics class. It can bring vitality to the boring theory class, activate the students' enthusiasm for learning, and enable students to establish correct three views while learning theories. Taking the definition of definite integral as an example, this paper takes the form of asking problems during the teaching processes, it can guide the students to think and analyse problems, to link the topic with philosophical thoughts, it can improve the capacity of the students in analyzing and solving problems. It can cultivate the ability to combine theory with practice.Key Words: Advanced Mathematics; Ideological and political elements of the curriculum; Definite integral；Ref lection on teaching为了将教师思政和课堂思政以及专业思政加以落实，教师必须在高校课程方面做到对于思想政治工作①基金项目：黑龙江八一农垦大学教学研究课题《融入课程思政理念的高等数学课程改革探索与实践》（项目编号：NDJY1925）；黑龙江省教育科学规划重点课题《“反思性实践”理念下高校教师教学评价体系研究》阶段性成果(项目编号：GJB1319098)；黑龙江省哲学社会科学研究规划项目《老龄化背景下黑龙江省医养结合养老产业模式与实施优化策略的研究》(项目编号：19RKE283z)。

谈课程思政之定积分的实践教学设计

谈课程思政之定积分的实践教学设计摘要：本文对课程思政之定积分的应用进行了教学设计，并通过案例进行了分析。

关键词：课程思政；定积分的应用；教学设计定积分的应用（一）教学目的、要求：（１）巩固定积分的几何意义及计算；（２）掌握用定积分（微元法）求直角坐标系下平面图形面积的方法；（３）综合运用知识分析解决问题，培养学生思维能力和应用数学的能力；（４）通过引导学生观察、思考、总结，培养学生的数学思维及逻辑推理能力，进一步提高学生的数学素养，提高学生利用数学解决实际问题的能力。

教学重点：（１）微元法的基本思想和步骤；（２）利用定积分求解平面图形的面积。

教学难点：（１）微元法的理解；（２）适当选择积分变量利用定积分求解平面图形的面积。

教学方法：分组讨论法、讲练结合法、行为引导法、分层教学法。

课前准备：学习通上上传数学家牛顿、莱布尼兹等数学家的简介及在微积分领域、微元法的研究和贡献。

课堂教学程序：（１）分组讨论线上预习视频：数学家莱布尼兹和牛顿的在微积分中的研究简介、微元法简介；（２）介绍用定积分的几何意义、微元法求解求平面图形面积的方法及公式；（３）举例；（４）课堂讨论、小结；（５）线上线下作业布置。

１分组讨论预习内容同学们分组讨论学习通中观看视频会对微积分、微元法的理解，以及对两位数学家的评价。

课程思政元素：莱布尼茨与牛顿流数术的运动背景不同，莱布尼茨对微积分的研究是从几何方面进行的，他在研究不规则曲线的切线和不规则曲线所围的面积时开始了对微积分的研究。

我们现在使用的积分符号就是求和“ｓｕｍ”的首写字母“Ｓ”拉长后得到的。

除此之外，还有很多数学符号都是莱布尼茨引入的，如微积分中的ｄｘ、ｄｙ等符号，这些符号简洁、方便，一直沿用至今。

尽管牛顿与莱布尼茨各自从不同的方向创立了微积分但殊途同归，他们对微积分的创立和现代数学的发展做出了巨大的贡献，在优先权问题上我们不做过多评价和论述，我们认为他们的贡献是相同的。

要以开放、包容的心态去看待事物，在待人接物时要有一颗海纳百川的心。

《高职应用数学》教案第27课定积分的应用

第27课定积分的应用匀量”等方法．微元法是一种实用性很强的数学方法和变量分析方法，在工程实践、经济管理和科学技术中有着广泛的应用．【教师】借助直观的几何图形，讲解利用定积分求平面图形的面积的方法设平面图形是由区间[]a b ，上的连续曲线()y f x =，()y g x =(()())g x f x 及直线x a x b ==，围成的，如图5-15所示．取x 为积分变量，在变化区间[]a b ，上任取一小区间[d ]x x x +，，其所对应的面积微元为d [()()]d S f x g x x =-．由微元法可知，该平面图形的面积为[()()]d baS f x g x x =-⎰．若平面图形是由区间[]c d ，上的连续曲线()()(()())x y x y y y ϕψψϕ==，及直线y c y d ==，围成的，如图5-16所示，那么该平面图形的面积为[()()]d dc S y y y ϕψ=-⎰．图5-15 图5-16计算由两条抛物线22y x y x ==，所围成图形的面积．解（1）先解方程组22y x y x ⎧=⎨=⎩，，确定图形所在的范围，得交点坐标为(00)，及(11)，，如图5-17所示．取x 为积分变量，从而图形在直线01x x ==，之间，即积分区间为[01]，．（2）在区间[01]，上任取一小区间[d ]x x x +，，对应的窄条面积近似于以2x x -为高，d x 为底的小矩形的面积，从而例1图5-17得面积微元2d ()d S x x x =-．（3）所求面积为13123200211()d 333S x x x x x ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰．（例2、例3详见教材）【教师】借助直观的几何图形，讲解利用定积分求空间立体的体积的方法1）旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内的一条直线旋转一周而成的立体，这条直线称为旋转体的轴．球体、圆柱体、圆台、圆锥、椭球体等都是旋转体．类型1 若一旋转体是由连续曲线()y f x =、直线x a x b ==，及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的，如图5-21所示，求它的体积．取横坐标x 为积分变量，积分区间为[]a b ，，用过点x ([]x a b ∈，)且垂直于x 轴的平面截旋转体，得到截面半径为|()|f x 的圆盘，其面积为2()π[()]S x f x =，于是体积微元为2d π[()]d V f x x =．从而所求体积为2π()d bx a V f x x =⎰．类型2 若旋转体是由连续曲线()x y ϕ=、直线y c y d ==，及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的，如图5-22所示．同理可求得其体积，即2π()d dy c V y y ϕ=⎰．图5-21 图5-22求由21010y x y x x =+===，，，所围平面例4图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．解如图5-23所示，所求旋转体的体积为1122420π(1)d π(21)d V x x x x x=+=++⎰⎰1530228ππ5315x x x ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦．（例5详见教材）2）平行截面面积为已知的立体体积设一立体位于平面x a =与()x b a b =<之间，如图5-25所示，用任意一个垂直于x 轴的平面截此物体所得的截面面积()S x 是[]a b ，上的连续函数，在[]a b ，上取一小区间[d ]x x x +，，其相应薄片体积的近似值是底面积为()S x 、高为d x 的柱体体积．于是该立体的体积微元为d ()d V S x x =．将其在[]a b ，上积分，即得该立体的体积为()d ba V S x x =⎰．在实际应用时，()S x 通常情况下需要通过求解得到．为了修建水库，需要拦河修筑土坝，若某段河床的横向坡度（坡面的垂直高度和水平距离的比）为1∶100，土坝的顶宽为4 m ，横断面为等腰梯形，边坡为1∶2，一端的坝高为10 m ，求修筑100 m 长的土坝所需的土方量．解建立直角坐标系（见图5-26），则过(010)C ，和(10011)D ，两点的直线方程为 110100y x =+，从而垂直于x 轴的横截面面积为21()[4(422)]422S x y y y y =++⨯⨯=+211410210100100x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2111240500025x x =++．例6图5-25所需的土方量为1002111240d 500025V x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰100323011124026267(m )1500050x x x ⎡⎤=++≈⎢⎥⎣⎦．图5-26【教师】借助直观的几何图形，讲解利用定积分求平面曲线的弧长的方法现在来计算曲线()y f x =上x 从a 到b 的一段弧的长度，如图5-27所示．取横坐标x 为积分变量，其变化区间为[]a b ，．若函数()y f x =具有一阶连续导数，则曲线()y f x =上任意一小区间[d ]x x x +，上一段弧的长度微元可用该曲线在点(())x f x ，处切线上相应的长度近似代替，而切线上这一小段的长度为222d (d )(d )1d s x y y x '=+=+，从而曲线的弧长为21[()]d b as f x x '=+⎰．若曲线的方程为参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，，其中αtβ，取参数t 为积分变量，其变化区间为[]αβ，，则任意一小区间[d ]t t t +，上一段弧的长度近似为2222d (d )(d )[()][()]d s x y t t t ϕψ''=+=+．于是，所求曲线长为22[()][()]d βαs t t t ϕψ''=+⎰．计算曲线3223y x =上x 从0到2的一段弧长．例7图5-27解因为y x '=，所以所求曲线长为 322222221d 1d (1)2333s x x x x x =+=+=+=-⎰⎰．【学生】理解定积分的微元法，了解定积分在几何上的应用第二节课讲授新课（20 min ）【教师】借助实际案例，讲解定积分在物理上的应用1．变力做功如果一个物体在恒力F 的作用下，沿力F 的方向移动距离s ，则力F 对物体所做的功是W Fs =．如果一个物体在变力()F x 的作用下做直线运动，不妨设其沿Ox 轴运动，那么当物体由Ox 轴上的点a 移动到点b 时，变力()F x 对物体所做的功是多少呢？我们仍然采用微元法，所求功W 对区间[]a b ，具有可加性．设变力()F x 是连续变化的，分割区间[]a b ，，任取一个小区间[d ]x x x +，，由()F x 的连续性可知，物体在d x 这一小段路径上移动时，()F x 的变化很小，于是可以得到功的微元d ()d W F x x =．将微元从a 到b 积分，得到整个区间上力所做的功为()d ba W F x x =⎰．如图5-28所示，某空气压缩机的活塞面积为S ，在等温压缩过程中，活塞由1x 处压缩到2x 处，求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功．解建立数轴Ox ，一定量的气体在等温条件下，压强p 与体积V 的乘积为常数k ，即pV k =．由题意可知，体积V 是活塞面积S 与任意一点位置x 的乘积，即V Sx =，因此k k p V Sx ==．于是气体作用于活塞上的力为k k F pS S Sx x===．学习定积分在物理和经济上的应用。

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高等数学课程中定积分及其应用教学改革初探
作者：赵侯宇
来源：《中小企业管理与科技·下旬刊》2014年第05期
摘要：定积分及其应用在整个高等数学课程中占据着重要位置，可看作微分部分的后续课程，对培养学生进一步学习和研究的能力具有不可替代的作用。

文章针对定积分及其应用的特点和当前教学中存在的问题，通过几道题目阐释了教学改革中应注意的一些问题。

关键词：高等数学教学改革
定积分作为高等数学的重要组成部分占据着重要位置，这部分内容的几何意义比较明确，解题方法灵活多样.因此在教学中如何引导学生通过做练习的方式去自己体会、总结解题规律，特别是应用已学过的知识和已解决过的问题来处理未知问题就显得尤为重要。

下面通过几个例子来说明解题经验积累的重要性。

例1 求■■cos（πt2）dt
分析：该题的上下限都是函数，而在课堂上老师教给学生的一般都只是变上限函数，即形如■f（t）dt，而对于这种上下都是变化的函数时，显然需要引导学生去总结。

针对此题，如果学生知道了变上限函数该如何求导，再应用定积分的性质即可得到答案。

解：原式=■■cos（πt2）dt+■■cos（πt2）dt
=-■■cos（πt2）+■■cos（πt2）dt
=-cos（πsin2x）cosx-cos（πcos2x）sinx。

例2 求极限limx→0■
分析：经过观察可发现当x→0时，这是一个■型的问题，并且可用洛必达法则进行计算，此外，该题也考察了变上限函数的求导公式，如果学生对这些掌握熟练的话，相信很快便能写出答案。

解：原式=limx→0■=limx→0■
=limx→0■=2。

例3 求■e2xcosxdx
分析：如果教师在课堂上介绍了一类特殊定积分的求法，即■excosxdx，学生对此类习题经过一些练习后，会很快想到用类似方法进行计算。

例4 求由下列曲线所围成的图形的面积：y=ex，y=e-x及直线x=1。

分析：此题考查学生对定积分在几何上的应用。

教师在课堂上对平面图形面积的求法进行细致的分析，通过元素法使学生懂得平面图形面积的求法，那么此题即可解决。

解：先求出这几条曲线的交点，易求得交点为（1，e），（1，■），（0，1），取横坐标x为积分变量，它的变化区间为[0，1]，相应于[0，1]上任一小区间[x，x+dx]的窄条的面积近似于高为ex-e-x、底为dx的窄矩形的面积，从而得到面积元素：dA=（ex-e-x）dx
以（ex-e-x）dx为被积表达式，在闭区间[0，1]上作定积分，便得所求面积为：A=■（ex-e-x）dx=e+■-2。

例5 求下列曲线所围成的图形绕x轴旋转所产生的旋转体的体积。

y=arcsinx，x=1，y=0
分析：本题考察利用定积分求旋转体的体积，与上一题类似，学生需要知道通过体积元素来求得结果，对此需要将该旋转体的体积元素找到，才能进行运算。

解：首先求得几条曲线的交点为（0，0），（1，0），（1，■）。

取横坐标为积分变量，它的变化区间为[0，1]，该旋转体中任一小区间[x，x+dx]的薄片体积近似于底半径为arcsinx，高为dx的扁圆柱体的的体积，即体积元素：
dV=π[arcsinx]2dx
于是所求旋转体体积为：
V=■π[arcsinx]2dx=π■t2cotdt=■π3-2π。

定积分及其应用作为高等数学的重要部分，相对来说易于理解，但由于解法的技巧性很强，导致学生经常无法做出答案，如何让学生更好的掌握教师交给的知识，在解题时熟练的应用是老师们一直在思考的问题。

本文用几个例子说明了在高等数学的教学过程中，多加练习积累经验的重要性。

笔者认为对于数学学科来说，只有多做练习才能使学生更好的掌握所学的抽象知识，加深对所学知识的理解，还可以帮助他们开阔思维、拓展视野、培养兴趣、增加学习积极性。

在整个教学过程中，教师可以通过习题课培养学生自觉联系所学知识，使他们对课程产生兴趣
和学习的主动性，逐步提高该课程的教学质量和教学效果。

参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2012.
[2]薛志纯，余慎之，袁洁英.高等数学[M].北京：清华大学出版社，2008.
[3]张建国.《高等应用数学》定积分的教学探索[J].价值工程，2011（27）.。