2014年北京市高考数学试卷(文科)
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)最新修正版
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
数学_2014年北京市某校高考数学模拟试卷(一)(文科)(含答案)
2014年北京市某校高考数学模拟试卷（一）（文科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合P ={x|x 2≤1}，M ={a}．若P ∪M =P ，则a 的取值范围是（ ） A (−∞, −1] B [1, +∞) C [−1, 1] D (−∞, −1]∪[1, +∞)2. 若角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点P(−4, 3)为其终边上一点，则cosα的值为（ ）A 45 B −35 C −45 D ±353. 下列函数中，既是偶函数又在区间(−∞, 0)上单调递增的是（ ） A y =x 2 B y =x 3 C y =tanx D y =1|x|4. 设a =20.5，b =0.32，c =log 20.3，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A a <b <c B b <a <c C c <b <a D b <c <a5. “m =12”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m −2)x +(m +2)y −3=0相互垂直”的( )A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件6. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的体积是（单位：m 3）（ ）A 4+2√6B 4+√6C 23D 437. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ） A 60件 B 80件 C 100件 D 120件8. 动圆C 经过点F(1, 0)，并且与直线x =−1相切，若动圆C 与直线y =x +2√2+1总有公共点，则圆C 的面积( )A 有最大值8πB 有最小值2πC 有最小值3πD 有最小值4π二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 复数(a 2−1)+(a 2+2a −3)i 为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 的值为________． 10. 设变量x 、y 满足约束条件{y ≥0,x −y +1≥0,x +y −3≤0,则z =2x +y 的最大值为________．11. 计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．12.函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)=________．13.如图所示，菱形ABCD 的边长为√3，∠ABC =60∘，点P 为对角线BD 上任意一点，则BP →⋅(PA →−PC →)=________；BP →⋅(PA →+PC →)的取值范围是________． 14. 已知函数f(x)={4−x −1(x ≤0)f(x −1)(x >0).则f(2014.5)=________；若关于x 的方程f(x)=x +a有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cosB =−12． （1）若a =2，b =2√3．求△ABC 的面积； （2）求sinA ⋅sinC 的取值范围．16. 某市规定，高三毕业生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据为样本，按时间段[75, 80),[80, 85),[85, 90),[90, 95),[95, 100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示． （1）求a 的值；（2）若该市高三毕业生共有10万人，利用抽取的样本试估计全市毕业生社区服务不合格的人数；（3）按时间段将不少于90小时的数据分为[90, 95),[95, 100]两层，利用分层抽样的方法从样本中抽取8个数据，再从这8个数据中随机抽取2个，求抽取的两个数据至少有一个在[95, 100]的概率．17. 四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ABC =45∘，AB =2，BC =2√2，PA =PB =PC =√3，点O 是BC 中点，点M 是PD 的中点．（1）求证：PB // 平面AMC ； （2）证明：PO ⊥平面ABCD ．18. 设函数f(x)=x 2+ax −lnx(a ∈R)． （1）若a =1，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(0, 1]上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）过坐标原点O 作曲线y =f(x)的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1． 19. 已知椭圆G:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√33，长轴长为2√3． （1）求G 的方程；（2）直线y =kx +1与椭圆G 交于不同的两点A ，B ，若存在点M(m, 0)，使得|AM|=|BM|成立，求实数m 的取值范围．20. 对于函数y =f(x)与常数a ，b ，若f(2x)=af(x)+b 恒成立，则称(a, b)为函数f(x)的一个“P 数对”；设函数f(x)的定义域为R +，且f(1)=3．（1）若(a, b)是f(x)的一个“P 数对”，且f(2)=6，f(4)=9，求常数a ，b 的值； （2）若(1, 1)是f(x)的一个“P 数对”，求f(2n )(n ∈N ∗)；（3）若(−2, 0)是f(x)的一个“P 数对”，且当x ∈[1, 2)时f(x)=k −|2x −3|，求k 的值及f(x)在区间[1, 2n )(n ∈N ∗)上的最大值与最小值．2014年北京市某校高考数学模拟试卷（一）（文科）答案1. C2. C3. D4. C5. B6. D7. B8. D9. −1 10. 6 11. 300 12. 2sin π4x 13. 0,[−9, 98] 14. 1,(−∞, 1)15. 解：（1）∵ cosB =−12，∴ sinB =√32，由三角形正弦定理可得：2sinA =2√3sinB，sinA=12，∴ A=π6，C=π6...S△ABC=12absinC=√3…（2）sinA⋅sinC=sin(π3−C)⋅sinC=12sin(2C+π6)−14…∵ C∈(0,π3)∴ 2C+π6∈(π6,5π6)∴ sin(2C+π6)∈(12,1]…则sinA⋅sinC∈(0,14]…16. 解：（1）由已知得：(0.005+0.040+0.075+a+0.020)×5=1，解得：a=0.060；...3分（2）根据题意，参加社区服务时间在时间段[75, 80)小时的学生人数为200×0.005×5= 5（人），所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间在时间段[75, 80)的学生人数5人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不合格的概率估计为：P=5 200=140，由此估计全市毕业生社区服务不合格的人数为：100000×140=2500．…8分（3）参加社区服务时间在时间段[90, 95)小时的学生人数为200×0.060×5=60（人），参加社区服务时间在时间段[95, 100]小时的学生人数为200×0.020×5=20（人），利用分层抽样的方法从样本中抽取8个，则在时间段[90, 95)的有6个，分别记为a、b、c、d、e、f在时间段[95, 100]的有2个，分别记为A、B，从中任取2个，不同的取法是：ab，ac，ad，ae，af，aA，aB，bc，bd，be，bf，bA，bB，cd，ce，cf，cA，cB，de，df，dA，dB，ef，eA，eB，fA，fB，AB，共有28种，其中至少有一个在[95, 100]的不同取法是：aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，eA，eB，fA，fB，AB，共13种，所以，抽取的两个数据至少有一个落在[95, 100]的概率为1328．…13分．17. 证明：（1）连结BD，设BD∩AC=N，∵ 底面ABCD为平行四边形，∴ N是BD的中点，又点M是PD的中点，∴ PB // MN，∵ MN⊂平面AMC，PB⊄平面AMC，∴ PB // 平面AMC；…6分（2）∵ PB=PC，点O是BC中点，∴ PO ⊥BC ，连结AO ，在△AOB 中，AB =2，BO =12BC =√2，∠ABC =45∘，∴ AO =√AB 2+BO 2−2AB ⋅BOcos45∘=√2． ∵ PB =PC ，点O 是BC 中点， ∴ PO ⊥BC ，在△POB 和△POA 中，PA =PB ，AO =BO ，PO =PO ， ∴ △POB ≅△POA ，∴ PO ⊥OA ，BO ∩AO =O ，AO ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ， ∴ PO ⊥平面ABCD ． …13分． 18. 解：（1）a =1时，f(x)=x 2+ax −lnx(x >0)， ∴ f′(x)=2x +1−1x=(2x−1)(x+1)x，又∵ x ∈(0,12)，f′(x)<0，x ∈(12,+∞)，f′(x)>0， f(x)的单调递减区间为(0,12)，单调递增区间为(12，+∞)．（2）∵ f′(x)=2x +a −1x又∵ f(x)在区间(0, 1]上是减函数， ∴ f′(x)≤0对任意x ∈(0, 1]恒成立， 即2x +a −1x ≤0对任意x ∈(0, 1]恒成立， ∴ a ≤1x −2x 对任意x ∈(0, 1]恒成立， 令g(x)=1x −2x ，∴ a ≤g(x)min ，易知g(x)在(0, 1]单调递减， ∴ g(x)min =g(1)=−1． ∴ a ≤−1．（3）设切点为M （t, f(t)），f′(x)=2x +a −1x ， ∴ 过M 点的切线方程为：y −f(t)=f′(t)(x −t)， 即 y −(t 2+at −lnt)=(2t +a −1t )(x −t)又切线过原点，所以，0−(t 2+at −lnt)=(2t +a −1t)(0−t)，即t 2+lnt −1=0，显然t =1是方程t 2+lnt −1=0的解， 设φ(t)=t 2+lnt −1，则φ′(t)=2t +1t >0恒成立，φ(t)在(0, +∞)单调递增，且φ(1)=0， ∴ 方程t 2+lnt −1=0有唯一解1．∴ 过坐标原点O 作曲线y =f(x)的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．19. 解：（1）由已知条件得{2a =2√3e =c a =√33a 2=b 2+c 2，解得{a =√3c =1b =√2，∴ G 的方程是x 23+y 22=1．（2）设A ，B 两点坐标分别为A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，A ，B 中点为N(x 0, y 0)．①当k =0时，直线y =kx +1即为y =1，显然，M(m, 0)为坐标原点，符合题意，得m =0；②当k ≠0时，由{y =kx +1x 23+y 22=1，得(3k 2+2)x 2+6kx −3=0，易知△>0，由韦达定理得x 1+x 2=−6k3k 2+2，则x 0=x 1+x 22=−3k3k 2+2，从而y 0=kx 0+1=23k 2+2，∴ MN 斜率k MN =y 0x0−m=23k 2+2−3k3k 2+2−m ．又∵ |AM|=|BM|，∴ AB ⊥MN ， ∴23k 2+2−3k3k 2+2−m =−1k ，得 m =−k 3k 2+2=−13k+2k．当k >0时，3k +2k ≥2√3k ⋅2k =2√6，则−√612≤−13k+2k<0，即−√612≤m <0；当k <0时，−(3k +2k )≥2√(−3k)⋅2−k =2√6，则0<−13k+2k≤√612，即0<m ≤√612．即k ≠0时，m ∈[−√612，0)∪(0,√612]． 综合①、②知，m 的取值范围是[−√612，√612]． 20. 解：（1）由题意知{af(1)+b =f(2)af(2)+b =f(4)，即{3a +b =66a +b =9，解得：{a =1b =3；…3分（2）由题意知f(2x)=f(x)+1恒成立，令x =2k (k ∈N ∗)， 可得f(2k+1)=f(2k )+1，∴ {f(2k )}是公差为1的等差数列， 故f(2n )=f(20)+n ，又f(20)=3，故f(2n )=n +3． …8分 （3）当x ∈[1, 2)时，f(x)=k −|2x −3|，令x =1，可得f(1)=k −1=3，解得k =4，…10分所以，x ∈[1, 2)时，f(x)=4−|2x −3|，故f(x)在[1, 2)上的取值范围是[3, 4]． 又(−2, 0)是f(x)的一个“P 数对”，故f(2x)=−2f(x)恒成立，当x ∈[2k−1, 2k )(k ∈N ∗)时，x2k−1∈[1,2)，f(x)=−2f(x2)=4f(x4)=...=(−2)k−1f(x2k−1)，…9分故k为奇数时，f(x)在[2k−1, 2k)上的取值范围是[3×2k−1, 2k+1]；当k为偶数时，f(x)在[2k−1, 2k)上的取值范围是[−2k+1, −3×2k−1]．…11分所以当n=1时，f(x)在[1, 2n)上的最大值为4，最小值为3；当n为不小于3的奇数时，f(x)在[1, 2n)上的最大值为2n+1，最小值为−2n；当n为不小于2的偶数时，f(x)在[1, 2n)上的最大值为2n，最小值为−2n+1．…13分．。
2014年高考北京文科数学各区模拟试题分类汇编——导数 (1)
1.已知函数()ln af x x x =-，其中a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．2.设函数()ln f x x =，()1g x a x =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()F x 的单调区间； （Ⅲ）当0a>时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围．3.已知函数2()ln af x x x =+，a ∈R ． （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）若函数()f x 的图象上的点都在直线2y =的上方，求a 的取值范围．4.已知函数()(1)ln a f x a x x x =-++，其中R a ∈. （Ⅰ）若曲线()yf x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[1,e ](e 2.718)=上的最小值.5.已知函数321()43f x x a x x b =+++，其中,a b ∈R 且0a≠. （Ⅰ）求证：函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与()f x 总有两个不同的公共点； （Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,1)-上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围.6．已知函数32()4f x x a x =-+-()a ∈R ，（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值； （Ⅱ）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()0f x ＞，求a 的取值范围.7.已知函数2e()1x f x a x x =++，其中a ∈R .（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值； （Ⅱ）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明.8. 已知曲线()x f x a x e =-(0)a >. （Ⅰ）求曲线在点（0,(0)f ）处的切线； （Ⅱ）若存在实数0x 使得0()0f x ≥，求a 的取值范围.9. 已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[1]e ，上没有零点，求实数a 的取值范围．10. 已知函数()e (1)x f x x =+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若对于任意的(,0)x ∈-∞，都有()f x k >，求k 的取值范围.11. 已知函数2()4ln (1).f x a x x a R =--∈（I ）当a=12时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标Ⅰ卷,含解析)
2014年高招全国课标1（文科数学解析版）第Ⅰ卷选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}13M x x =-<<， {}21N x x =-<<，则M N =（ ）)1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(- 【答案】：B 【解析】： 在数轴上表示出对应的集合，可得MN = (-1,1),选B若0tan >α，则0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 【答案】：C【解析】：由tan0可得:kk2π(k Z )，故2k 2 2k(k Z )，正确的结论只有sin 20. 选C设i iz ++=11，则=||z A.21B. 22C. 23D. 2【答案】：B【解析】：11111222i z i i i i -=+=+=++，2z ==，选B（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 25D. 1 【答案】：D【解析】：由双曲线的离心率可得2a=，解得1a =，选D.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是)()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数 【答案】：C【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBAD B.12AD C. 12BC D.【答案】：A【解析】：()()EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+ =()111222AB AC AB AC AD +=+=, 选A.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③ 【答案】：A【解析】：由cos y x =是偶函数可知cos 2cos2y x x == ，最小正周期为π， 即①正确；y| cos x |的最小正周期也是，即②也正确；cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭最小正周期为π,即③正确；tan(2)4y x π=-的最小正周期为2T π=,即④不正确.即正确答案为①②③，选A8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B9.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .158【答案】：D【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = . 选D.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，xF A 045=，则=x（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 【答案】：A 【解析】：根据抛物线的定义可知001544AF x x =+=，解之得01x =. 选A.11.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3 【答案】：B 【解析】：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示. 在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点 A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a 5或a3.但a5时，z 取得最大值，故舍去，答案为a3. 选B.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)学生版
2014 年全国一致高考数学试卷（文科） （新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的1．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）已知会合M={ x| ﹣1＜x ＜3} ，N={ x| ﹣2＜x ＜1} ，则 M ∩N=（）A ．（﹣ 2，1）B ．（﹣ 1，1）C ．（1，3）D ．（﹣2，3）2．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）若 tan α＞0，则（）A ．sin α＞ 0B ．cos α＞ 0C ．sin2 α＞ 0D ．cos2 α＞0．（ 分）（ 2014? 新课标Ⅰ）设 z= +i ，则 | z| =（ ）3 5A ．B ．C ．D ．24．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）已知双曲线﹣=1（a ＞0）的离心率为 2，则实数 a=（ ）A ．2B ．C ．D ．15．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）设函数 f （x ），g （x ）的定义域都为 R ，且 f （x ）是奇函数， g （x ）是偶函数，则以下结论正确的选项是（）A ．f （ x ） ?g （x ）是偶函数B ．| f （ x ） | ?g （x ）是奇函数C ．f （ x ） ?| g （x ） | 是奇函数D ．| f （ x ） ?g （x ）| 是奇函数6．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）设 D ，E ，F 分别为△ ABC 的三边 BC ，CA ，AB 的中点，则+ =（）A ．B ．C ．D ．7．（ 5 分）（ 2014?新课标Ⅰ）在函数①y=cos| 2x| ，② y=| cosx| ，③y=cos （2x+），④y=tan （ 2x ﹣ ）中，最小正周期为 π的所有函数为（）A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③8．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）如图，格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（ 5 分）（ 2014?新课标Ⅰ）履行如图的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输出的 M=（）A．B．C．D．10．（ 5 分）（2014?新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2 =x 的焦点为 F，A（ x0，y0）是 C 上一点， AF=| x0| ，则 x0=（）A．1B．2C．4D．8．（分）（新课标Ⅰ）设，知足拘束条件且 z=x+ay 的最小11 52014?x y值为 7，则 a=（）A．﹣ 5B．3C．﹣5 或 3D．5 或﹣ 312．（ 5 分）（2014?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ax3﹣ 3x2+1，若 f（ x）存在独一的零点 x0，且 x0＞ 0，则实数 a 的取值范围是（）A．（ 1， +∞）B．（ 2， +∞）C．（﹣∞，﹣ 1）D．（﹣∞，﹣ 2）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分13．（ 5 分）（2014?新课标Ⅰ）将2 本不一样的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为．14．（ 5 分）（2014?新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到能否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（ 5 分）（ 2014?新课标Ⅰ）设函数 f（x）=，＜，则使得 f（x）≤2 成，立的 x 的取值范围是．16．（ 5 分）（ 2014?新课标Ⅰ）如图，为丈量山高MN，选择 A 和另一座的山顶 C 为丈量观察点，从 A 点测得 M 点的仰角∠ MAN=60°，C 点的仰角∠ CAB=45°以及∠ MAC=75°；从 C 点测得∠ MCA=60°，已知山高 BC=100m，则山高MN= m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（ 12 分）（ 2014?新课标Ⅰ）已知 { a n} 是递加的等差数列， a2， a4是方程 x2﹣5x+6=0 的根．（ 1）求 { a n } 的通项公式；（ 2）求数列 {} 的前 n 项和．18．（ 12 分）（2014?新课标Ⅰ）从某公司生产的产品中抽取100 件，丈量这些产品的一项质量指标值，由丈量结果得以下频数散布表：质量指标值[ 75，85）[ 85，95）[ 95，105） [ 105，115） [ 115，125）分组频数62638228（ 1）在表格中作出这些数据的频次散布直方图；（2）预计这类产质量量指标的均匀数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）依据以上抽样检查数据，可否定为该公司生产的这类产品切合“质量指标值不低于 95 的产品起码要占所有产品 80%”的规定？19．（ 12 分）（2014?新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣ A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， B1C 的中点为 O，且 AO⊥平面 BB1C1C．（1）证明： B1 C⊥ AB；（2）若 AC⊥AB1，∠ CBB1=60°，BC=1，求三棱柱 ABC﹣A1B1C1的高．20．（ 12 分）（2014?新课标Ⅰ）已知点 P（2，2），圆 C：x2+y2﹣ 8y=0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点．（1）求 M 的轨迹方程；（2）当 | OP| =| OM| 时，求 l 的方程及△ POM 的面积．21．（ 12 分）（2014?新课标Ⅰ）设函数 f（x）=alnx+x2﹣bx（ a≠1），曲线 y=f （x）在点（ 1，f（ 1））处的切线斜率为 0，（1）求 b；（ 2）若存在 x0≥1，使得 f（ x0）＜，求a的取值范围．请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题(文科)解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题(文科)解析版D8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】：B【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B9.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A.203 B .165 C .72 D .158【答案】：D【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===； 4n =时：输出158M = . 选D.10.已知抛物线C ：xy=2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】：A【解析】：根据抛物线的定义可知001544AF xx =+=，解之得01x =. 选A.11.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a = （A ）-5（B ）3 （C）-5或3（D ）5或-3 【答案】：B【解析】：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示.在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点 A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a = -5或a = 3.但a = -5时，z 取得最大值，故舍去，答案为a = 3. 选B.（12）已知函数32()31f x axx =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x>，则a 的取值 范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞- 【答案】：C【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x axx'=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。
2014年全国高考文科数学试题及答案-新课标1
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科含答案） 1.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A.21 B. 22 C. 23 D. 2 （4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+A. ADB.AD 21 C. BC 21D. BC （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱（9）执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203B.72C.165D.158（10） 已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A,是C 上一点，xF A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =A ．-5 B. 3 C ．-5或3 D. 5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
2014年全国高考数学卷文科卷1试题及答案解析
2014 年全国高考数学卷文科卷 1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释）1．已知集合M x | 1 x 3 , N x| 2 x 1 ，则M N （）A. ( 2 ,1)B. ( 1, 1)C. (1, 3)D. ( 2 ,3)2．若tan 0，则A. sin 0B. cos 0C. sin 2 0D. cos2 01 ，则| z|3．设iz1 iA. 1B.22 C.23 D. 222 2x y 的离心率为2，则a 4．已知双曲线1( 0)a2a 3A. 2B. 6C.2 5 D. 1 25．设函数 f ( x), g( x) 的定义域为R，且f (x) 是奇函数，g( x) 是偶函数，则下列结论中正确的是A. f ( x)g( x) 是偶函数B. | f ( x) | g (x) 是奇函数C. f (x) | g( x) | 是奇函数D. | f (x) g( x) |是奇函数6．设D, E, F 分别为ABC的三边BC, CA, AB 的中点，则EB FC1 C. 1 BC D. BCA. ADB. AD2 27．在函数①y cos | 2x |，②y | cosx | ，③)y , ④)cos(2 x tan( 2xy 中，最小6 4正周期为的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）试卷第 1 页，总 6 页A.三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱9．执行右面的程序框图，若输入的a,b,k 分别为1,2,3 ，则输出的M ( )A. 203 B. 72C. 165D. 158510．已知抛物线C：y2 x 的焦点为 F , A x y0,是C上一点，AF x40 （），则xA. 1B. 2C. 4D. 811．已知函数 3 2f (x) ax 3x 1，若 f (x) 存在唯一的零点x0 ，且x0 0 ，则a 的取值范围是（A）2, （B）1, （C）, 2 （D）, 1试卷第 2 页，总 6 页二、填空题（题型注释）12．设x ，y 满足约束条件x y a, 且z x ay 的最小值为7，则ax y 1,（A）-5 （B）3 （C）-5 或3 （D）5 或-313．将2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为________.14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.15．设函数 f xx 1e ,x1,则使得 f x 2成立的x 的取值范围是________.13x , x 1,16．如图，为测量山高MN ，选择A和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得M 点的仰角MAN 60 ，C 点的仰角CAB 45 以及MAC 75 ；从C 点测得MCA . 已知山高BC 100m，则山高MN ________m .60三、解答题（题型注释）试卷第 3 页，总 6 页17．已知a是递增的等差数列，a2，a4是方程n2560x x的根。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(全国一卷)
2014年全国统一高考数学试卷（文科） （新课标I ）、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的8. （5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三 视图，则这个几何体是（）(5 分)已知集合 M={x| - 1v x v 3}, N={x| - 2v x v 1}，则 M n N=( 2. 3. 4. 5. 6. 7. A . (- 2，1)(5 分) A . sinB . (- 1,1)若 tan a 0,贝U( )B . cos a 0C. C. (1, 3)sin2 a 0 D . D . 设z= — 1+i(-2, 3)cos2 a 0A .二B . —L C.D . 22 22=1 （a > 0）的离心率为 则实数a=（）A . 2B .2D . 1设函数f （x ）, g （x ）的定义域都为 (5 分) A . f (x ) ?g (x )是偶函数 C. f (x ) ?| g (x ) | 是奇函数C.2R ,且f (x )是奇函数，g (x )B. D . （5分）设D , E, F 分别为△ ABC 的三边BC, A .1 ---- *B.—(5 分)在函数① y=cos| 2x| ,②y=| cosx , 中，最小正周期为n 的所有函数为（ A .①②③B .①③④|f (x ) |?g (x )是奇函数 |f (x ) ?g (x ) |是奇函数CA AB 的中点，贝｝，+」= （ C •②④D .D .①③(5 分) +i ，则 |z|=()(5 分) 已知双曲线2, 21s 2,④y=tan (2x--g)\\\A.三棱锥B.三棱柱9. (5分)执行如图的程序框图，若输入的M=( )C.四棱锥D.四棱柱a, b, k分别为1, 2, 3,则输出的A.20TB. C.16T10. (5分)已知抛物线C: y2=x的焦点为F, A(x o, y o)是C上一点,AF=^x o| ,则X o=( )A. 1B. 2C. 4D. 811. (5分)设x, y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7, J则a=( )x-yC-1C.- 5 或3D. 5 或-312. (5分)已知函数f (x) =ax3- 3x2+1，若f (x)存在唯一的零点x o,且x o>0,A.- 5B. 3一幵始Ai=a-^1&则实数a的取值范围是( )A. (1, +x)B. (2, +x)C. (-x,- 1)D. (-x,- 2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13. _______________________ (5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为.14. (5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A, B, C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为.k , x<i15. (5分)设函数f (x)=丄，贝U使得f (x)< 2成立的x的取值范围是 ______ .16. (5分)如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角/ MAN=6° , C点的仰角/ CAB=45以及/ MAC=7° ;从C点测得/ MCA=6°，已知山高BC=100m 则山高MN= ________ m.三、解答题：解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17. (12分)已知｛a n｝是递增的等差数列，a2, a4是方程x2- 5x+6=0的根.(1) 求｛a n｝的通项公式；(2) 求数列｛—｝的前n项和.(1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表)；(3) 根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合质量指标值 不低于95的产品至少要占全部产品80%的规定？18. (12分)从某企业生产的产品中抽取 值，由测量结果得如下频数分布表：100件，测量这些产品的一项质量指标 质量指标值分组 [75, 85) [85, 95) [95, 105) [ 105，115)[115，125)频数6 26 382219. (12分)如图，三棱柱ABC- A1B1C1中，侧面BBiGC为菱形，B i C的中点为0,且A0丄平面BBGC.(1) 证明：BC丄AB;(2) 若AC 丄ABi,Z CBB=60° BC=1,求三棱柱ABC- A1B1C1 的高.20. (12分)已知点P (2, 2),圆C: x2+y2-8y=0,过点P的动直线I与圆C交于A, B两点，线段AB的中点为M , 0为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当| OP =| 0M|时，求I的方程及厶P0M的面积.21. (12 分)设函数f (x) =alnx+十 x2- bx (a^ 1),曲线y=f (x)在点(1, f(1))处的切线斜率为0,(1)求b;(2)若存在x o> 1,使得f (x o)v—，求a的取值范围.日■丄请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1 :几何证明选讲】22. (10分)如图，四边形ABCD是。
2014年北京市西城区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2014年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝{x|0＜x＜2}，集合A＝{x|0＜x≤1}，则集合∁U A＝（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，2）D．[1，2）2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，3），那么||等于（）A．5B．C．D．133．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．C．4D．55．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 6．（5分）设a＞0，且a≠1，则“函数y＝log a x在（0，+∞）上是减函数”是“函数y＝（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．78．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+y﹣2＝0上，则p＝；C的准线方程为．11．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x0）＝2，则实数x0＝；函数f（x）的最大值为．12．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为．13．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是．14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝2，P为线段AD（含端点）上一个动点．设＝x，＝y，记y ＝f（x），则f（1）＝；函数f（x）的值域为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求a的值．16．（13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值．17．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝2AB，SA ＝SD，SA⊥AB，N是棱AD的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面SCD；（Ⅱ）求证：SN⊥平面ABCD；（Ⅲ）在棱SC上是否存在一点P，使得平面PBD⊥平面ABCD？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆W：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为﹣1，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W的方程．（Ⅱ）设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为S k，证明：S1＝S2．20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等比数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个6项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+c4+c5+c6≤．2014年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝{x|0＜x＜2}，集合A＝{x|0＜x≤1}，则集合∁U A＝（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，2）D．[1，2）【解答】解：∵全集U＝（0，2），集合A＝（0，1]，∴∁U A＝（1，2）．故选：C．2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，3），那么||等于（）A．5B．C．D．13【解答】解：∵＝（2，﹣1）+（1，3）＝（3，2），∴＝＝．故选：B．3．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：∵双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2a，∴c＝＝，∴e＝＝．故选：D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．C．4D．5【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，斜边为，高是1，梯形的上底为：3﹣＝1，棱柱的高为2，∴四棱柱的体积是：＝4，故选：C．5．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 【解答】解：对于任意x∈R，f（x）满足f（x）＝f（﹣x），则函数f（x）是偶函数，选项中，A，B显然是奇函数，C，D为偶函数，又对于任意x∈R，f（x）满足f（x﹣π）＝f（x），则f（x+π）＝f（x），即f（x）的最小正周期是π，选项C的最小正周期是2π，选项D的最小正周期是＝π，故同时满足条件的是选项D．故选：D．6．（5分）设a＞0，且a≠1，则“函数y＝log a x在（0，+∞）上是减函数”是“函数y＝（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数y＝log a x在（0，+∞）上是减函数，则0＜a＜1，此时2﹣a＞0，函数y＝（2﹣a）x3在R上是增函数，成立．若y＝（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，即a＜2，当1＜a＜2时，函数y＝log a x在（0，+∞）上是增函数，∴函数y＝log a x在（0，+∞）上是减函数不成立，即“函数y＝log a x在（0，+∞）上是减函数”是“函数y＝（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分而不必要条件，故选：A．7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设该设备第n年的营运费为a n万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n＝2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n＝＝n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n＝11n﹣（n2+n）﹣9＝﹣n2+10n﹣9＝﹣（n﹣5）2+16，∴当n＝5时，S n取得最大值16，故选：B．8．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个【解答】解：符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6＝10．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．【解答】解：∵，又＝x+yi，∴，∴，则x+y＝．故答案为：．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+y﹣2＝0上，则p＝4；C 的准线方程为x＝﹣2．【解答】解：直线x+y﹣2＝0，令y＝0，可得x＝2，∵抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+y﹣2＝0上，∴＝2，∴p＝4，准线方程为x＝﹣＝﹣2．故答案为：4，x＝﹣2．11．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x0）＝2，则实数x0＝﹣1；函数f（x）的最大值为3．【解答】解：x≤0，x+3＝2，∴x＝﹣1；x＞0，＝2，x＝﹣（舍去）；x≤0，x+3≤3；x＞0，0＜＜1，∴函数f（x）的最大值为3．故答案为：﹣1，3．12．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为256．【解答】解：若a＝2，则log3a＝log32＞4不成立，则a＝22＝4，若a＝4，则log3a＝log34＞4不成立，则a＝42＝16，若a＝16，则log3a＝log316＞4不成立，则a＝162＝256若a＝256，则log3a＝log3256＞4成立，输出a＝256，故答案为：25613．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是（3，5）．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y＝a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a＝3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a＝1+4＝5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝2，P为线段AD（含端点）上一个动点．设＝x，＝y，记y ＝f（x），则f（1）＝1；函数f（x）的值域为[，4]．【解答】解：如图，建立直角坐标系；设点P（a，b），则﹣2≤a≤﹣1；∴＝（a+2，b），＝（1，2）；＝（﹣a，﹣b），＝（﹣a，2﹣b）；又∵＝x，∴，即，（其中0≤x≤1）；∴•＝（﹣a，﹣b）•（﹣a，2﹣b）＝a2﹣b（2﹣b）＝（x﹣2）2﹣2x•（2﹣2x）＝5x2﹣8x+4；即y＝f（x）＝5x2﹣8x+4，其中0≤x≤1；∴当x＝1时，y＝f（1）＝5﹣8+4＝1；当x＝﹣＝时，y取得最小值f（）＝，当x＝0时，y取得最大值f（0）＝4；∴f（x）的值域是．故答案为：1，．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2＝a2+bc，即b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝，又∵A∈（0，π），∴A＝；（Ⅱ）∵cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝＝，由正弦定理＝，得a＝＝＝3．16．（13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，得a＝＝0.15，b＝200﹣（10+30+70+60）＝30，c＝＝0.3．（Ⅱ）设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A．由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为．（Ⅲ）由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60：100：40＝3：5：2．所以按分层抽样法，购买灯泡数n＝3k+5k+2k＝10k（k∈N*），所以n的最小值为10．17．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝2AB，SA ＝SD，SA⊥AB，N是棱AD的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面SCD；（Ⅱ）求证：SN⊥平面ABCD；（Ⅲ）在棱SC上是否存在一点P，使得平面PBD⊥平面ABCD？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是矩形，∴AB∥CD，又∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD．（Ⅱ）证明：∵AB⊥SA，AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，又∵SN⊂平面SAD，∴AB⊥SN．∵SA＝SD，且N为AD中点，∴SN⊥AD．∴SN⊥平面ABCD．（Ⅲ）解：如图，连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作FP∥SN交SC 于点P，连接PB，PD．∵SN⊥平面ABCD，∴FP⊥平面ABCD．又∵FP⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．在矩形ABCD中，∵ND∥BC，∴＝＝．在△SNC中，∵FP∥SN，∴＝＝．则在棱SC上存在点P，使得平面PBD⊥平面ABCD，此时＝．18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，∴，∴k＝f′（1）＝3，又∵f（1）＝﹣2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣5＝0；（Ⅱ）由f（x）＞﹣x+2，得，即a＜xlnx+x2﹣2x，设函数g（x）＝xlnx+x2﹣2x，则g′（x）＝lnx+2x﹣1，∵x∈（1，+∞），∴lnx＞0，2x﹣1＞0，∴当x∈（1，+∞）时，g′（x）＝lnx+2x﹣1＞0，∴函数g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）＝﹣1，∵对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2成立，∴对于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立，∴a≤﹣1．19．（14分）已知椭圆W：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为﹣1，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W的方程．（Ⅱ）设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为S k，证明：S1＝S2．【解答】（Ⅰ）解：由题意得椭圆W的半焦距c＝1，右焦点F（1，0），上顶点M（0，b），∴直线MF的斜率为，解得b＝1，由a2＝b2+c2，得a2＝2，∴椭圆W的方程为．（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y＝kx+m，其中k＝1或2，A（x1，y1），B（x2，y2）．由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，∴△＝16k2﹣8m2+8＞0，（*）由韦达定理，得，．∴＝．∵原点O到直线y＝kx+m的距离，∴＝≤＝，当且仅当m2＝2k2﹣m2+1，即2m2＝2k2+1时取等号．与k的取值无关系，因此S1＝S2．20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等比数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个6项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+c4+c5+c6≤．【解答】解：（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列：，，．…（2分）（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，所以d＝b2﹣b1＜0．…（4分）因为b5＝b1+4d，b1≤1，b5＞0，所以4d＝b5﹣b1＞0﹣1＝﹣1，解得．所以．…（7分）（Ⅲ）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则．因为{c n}为{a n}的一个6项子列，所以q为正有理数，且q＜1，．…（8分）设，且K，L互质，L≥2）．当K＝1时，因为，所以，所以．…（10分）当K≠1时，因为是{a n}中的项，且K，L互质，所以a＝K5×M（M∈N*），所以＝．因为L≥2，K，M∈N*，所以．综上，．…（13分）。
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2014年北京市高考数学试卷（文科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．（5分）（2014•北京）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（ ） A． {0，1，2，3，4} B． {0，4} C． {1，2} D． {3}
2．（5分）（2014•北京）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ） A． y=e﹣x B． y=x C． y=lnx D． y=|x|
3．（5分）（2014•北京）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（ ） A． （5，7） B． （5，9） C． （3，7） D． （3，9）
4．（5分）（2014•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A． 1 B． 3 C． 7 D． 15 5．（5分）（2014•北京）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（ ） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
6．（5分）（2014•北京）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ） A． （0，1） B． （1，2） C． （2，4） D． （4，+∞）
7．（5分）（2014•北京）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（ ） A． 7 B． 6 C． 5 D． 4
8．（5分）（2014•北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A． 3.50分钟 B． 3.75分钟 C． 4.00分钟 D． 4.25分钟 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）（2014•北京）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x= _________ ．
10．（5分）（2014•北京）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为 _________ ．
11．（5分）（2014•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 _________ ．
12．（5分）（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= _________ ；sinA= _________ ． 13．（5分）（2014•北京）若x，y满足，则z=x+y的最小值为 _________ ． 14．（5分）（2014•北京）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间 原料 粗加工 精加工
原料A 9 15 原料B 6 21 则最短交货期为 _________ 个工作日．
三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）（2014•北京）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．
16．（13分）（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示． （Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．
17．（14分）（2014•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点． （Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1； （Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE； （Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．
18．（13分）（2014•北京）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 排号 分组 频数 1 [0，2） 6 2 [2，4） 8 3 [4，6） 17 4 [6，8） 22 5 [8，10） 25 6 [10，12） 12 7 [12，14） 6 8 [14，16） 2 9 [16，18） 2 合计 100 （Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值； （Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）
19．（14分）（2014•北京）已知椭圆C：x2+2y2=4． （Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
20．（13分）（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围； （Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 2014年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．（5分）（2014•北京）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（ ） A． {0，1，2，3，4} B． {0，4} C． {1，2} D． {3}
考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 直接利用交集的运算得答案． 解答： 解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}， ∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}． 故选：C． 点评： 本题考查交集及其运算，是基础题．
2．（5分）（2014•北京）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ） A． y=e﹣x B． y=x C． y=lnx D． y=|x|
考点： 函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论． 解答： 解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件． B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件． C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件． D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件． 故选：B． 点评： 本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．
3．（5分）（2014•北京）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（ ） A． （5，7） B． （5，9） C． （3，7） D． （3，9）
考点： 平面向量的坐标运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案． 解答： 解：由=（2，4），=（﹣1，1），得：
2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）． 故选：A． 点评： 本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．
4．（5分）（2014•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） A． 1 B． 3 C． 7 D． 15 考点： 程序框图． 专题： 计算题；算法和程序框图． 分析： 算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．
解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，
∵跳出循环的k值为3， ∴输出S=1+2+4=7． 故选：C． 点评： 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．
5．（5分）（2014•北京）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（ ） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 分析： 本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解． 解答： 解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a
2
＞b2”的不充分条件； 反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件． 故选D 点评： 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． ⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．
6．（5分）（2014•北京）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ） A． （0，1） B． （1，2） C． （2，4） D． （4，+∞）
考点： 函数零点的判定定理．