高三下学期第三次周考数学理试题含答案
高三数学下学期第三次质量检测试题重点班理 试题
高三重点班第三次质量检测理科数学试题第一卷一、选择题(60分){}{}2|111,|1A x x B x x =-<-<=<，那么A B =〔 〕A ．{}|1x 1x -<<B ．{}|01x x <<C ．{}|1x x <D ．{}|02x x <<()4z a i a R =+∈，且()2i z -为纯虚数，那么a = 〔 〕A ．-1B ． 1C ． 2D ．-23. 以下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，那么此点取自黑色局部〔7环到9环〕的概率是〔 〕 A ．320 B ．325π C ．325 D ．20π 4. 函数()f x 满足332x f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，那么函数()f x 的图象在1x =处的切线斜率为〔 〕 A ．0 B ． 9 C. 18 D ．275．某方案在周一至周四的艺术节上展演?雷雨??茶馆??天籁??马蹄声碎?四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧?雷雨?不能在周一和周四上演，?茶馆?不能在周一和周三上演，?天籁?不能在周三和周四上演，?马蹄声碎?不能在周一和周四上演，那么以下说法正确的选项是〔 〕A. ?雷雨?只能在周二上演B. ?茶馆?可能在周二或者周四上演C. 周三可能上演?雷雨?或者?马蹄声碎?D. 四部话剧都有可能在周二上演6．我国古代数学名著?九章算术·均输?中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？〞其意思为“甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得一样，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？〞〔“钱〞是古代一种重量单位〕.这个问题中，等差数列的通项公式为〔〕A.1766n-+〔*,5n N n∈≤〕 B.1362n+〔*,5n N n∈≤〕C. 1766n+〔*,5n N n∈≤〕 D.1362n-+，〔*,5n N n∈≤〕7．我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，那么积不容异〞.其中“幂〞是截面积，“势〞是几何体的高，意思是两等高立方体，假设在每一等高处的截面积都相等，那么两立方体的体积相等，某不规那么几何体与如下图的几何体满足“幂势同〞，那么该不规那么几何体的体积为〔〕A. B. C. D.8．如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算•AB AD=〔〕A. 10B. 11C. 12D. 139. 在如下图的框图中，假设输出360S=，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是A ．2?k >B ．2?k <C ．3?k >D ．3?k <10．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-a y y x y x 41，目的函数y x z 23-=的最小值为4-，那么a 的值是 A ．1B ．0C ．1-D ．1211．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ， 1AA l ⊥于点1A ，假设四边形1AA CF 的面积为123，那么准线l 的方程为A ．2x =-B ．22x =-C ．2x =-D ．1x =-12．A ，B 是函数2e ,()()(2),()x a x a f x f a x x a -⎧-≥=⎨-<⎩〔其中常数0a >〕图象上的两个动点，点(),0P a ，假设PA PB ⋅的最小值为0，那么函数()f x 的最大值为〔 〕A ．21e - B ．1e-C ．2e e -D ．e e-第II 卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.13. 假设a=2xdx ⎰,那么在(x-a x)7的展开式中，x 3的系数是_____.(用数字答题)14．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值4，1a +1b 的最小值为__________15.以下说法：①线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过〔,x y 〕； ②命题“x ≥1,x 2+3≥4”的否认是“x<1,x 2+3<4”③相关系数r 越小，说明两个变量相关性越弱；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2=13.079,那么有99%的把握认为这两个变量间有关系； 其中正确．．的说法是_____________________(把你认为正确的结论都写在横线上) 此题可参考HY 性检验临界值表：16. 如图，AC=2，B 为AC 中点，以AB ，AC 为直径在AC 同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点，〔不含端点A ，B ，C 〕，且BM ⊥BN ，那么AM CN ⋅的最大值为_____三、解答题(70分)17．〔12分〕在平面直角坐标系xOy 中，假设角α的始边为x 轴的非负半轴，其终边经过点()2,4P .〔1〕求tan α的值；〔2〕求()22sin 2122sin 4cos απαπα-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18〔12分〕．ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假设()()cos ,cos ,2,m n B C a c b →=→=+，且m n→⊥→.(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)假设7,8b a c =+=,求ABC 的面积.19.〔12分〕 数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>2211n n n S a S λ++=-,其中λ为常数.(1)证明: 12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,假设存在,求出λ;假设不存在,说明理由.20. 〔12分〕在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形，60,BAD PA PD ∠==.(1)证明: BC PB ⊥；(2)假设,PA PD PB AB ⊥=,求二面角A PB C --的余弦值.21．〔12分〕函数()2xf x e x =-.(Ⅰ)求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(Ⅱ)求证：当0x >时， ()21ln 1x e e x x x+--≥+.22．〔10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 的极坐标为4π⎫⎪⎭，，直线l 的极坐标方程为cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且l 过点A ，曲线1C 的参数方程为2cos ,{,x y θθ== (θ为参数).(Ⅰ)求曲线1C 上的点到直线l 的间隔 的最大值；(Ⅱ)过点()1,1B -与直线l 平行的直线1l 与曲线 1C 交于,M N 两点，求BM BN 的值.23.〔本小题满分是10分〕选修4—5：不等式选讲函数12)(-++=x m x x f 〔0>m 〕. (Ⅰ)当1=m 时，解不等式2)(≥x f ；(Ⅱ)当]2,[2m m x ∈时，不等式1)(21+≥x x f 恒成立，务实数m 的取值范围.①④ 16. 1417.【答案】〔1〕2；〔2〕53. 【解析】试题分析：〔1〕直接根据任意角三角函数的定义求解即可．〔2〕利用诱导公式化解，“弦化切〞的思想即可解决．试题解析：(1)由任意三角函数的定义可得： 4tan 22α==. (2)()22sin 2cos 124απαπα-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭原式2sin cos 2tan 1415sin cos tan 1213αααααα+++====+++18.【答案】〔1〕23π；〔2.【解析】试题分析：〔1〕利用向量数量积的定义结合两角和的正弦化简可得2cos sin sin B A A =-，结合B 的范围可得B 的值；〔2〕将余弦定理和()2222a c a c ac +=+-相结合可得ac 的值，故而可得三角形面积. 试题解析：(1)∵m n ⊥(),cos 2cos 0B a c C b ∴++=,cos (2sin sin )cos sin 0B A C C B ∴++⋅= ()()2cos sin sin cos cos sin sin sin B A C B C B B C A ∴=-+⋅=-+=-,12cos ,23B B π∴=-∴=. (2)根据余弦定理可知222222ccos ,49b a c a B a c ac =+-∴=++, 又因为()222a c 8,64,264,ac 15a c a c ac +=∴+=∴+-=∴=,那么115S ac sin 2B ==. 19. 【解析】 〔1〕11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，()2211n n n n S S S S λ++∴=--()1120n n n S S S λ++∴--= 10,0n n a S +∴>∴>， 120n n S S λ+∴--=； 12n n S S λ+∴-+〔2〕12n n S S λ+=+，()122n n S S n λ+=+≥，相减得：()122n n a a n +=≥，{}n a ∴从第二项起成等比数列， 212S S λ=+即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-， ()21,12,n n a λ-⎧⎪∴=⎨+⎪⎩,1,,2n n =≥ 假设使{}n a 是等比数列 那么2132a a a =，()()2211λλ∴+=+ 1λ∴=经检验得符合题意．20. 【解析】 证明：〔1〕取AD 中点为E ，连结,,PE BE BDPA P = PE A ⊥底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠=ABD ∴∆为等边三角形， BE A ∴⊥,PE BE ,PE BE ⊂平面PBEAD P ∴⊥,AD BC BC PB ∴⊥∥.〔2〕设2AB =2AD PB ==，2BE =,PA A E ⊥为AD 中点 1PE ∴=22PE BE P +=PE B ∴⊥.以E 为坐标原点，分别以,,EA EB EP 所在直线为,,x y z 轴建立如下图的空间直角坐标系，相关各点的坐标为()()1,0,0,A B ()(),0,0,1,P C -()AB ∴=-，()1,0,1AP =-，()0,BP =，()2,0,0BC =-.设PAB 的法向量为()1222,,n x y z =2200n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222020z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩令21y =-得220,x z ==(10,1,n =-12122n n n n ⋅∴=-⋅设二面角A PB C --的平面为θ，由图可知，θ为钝角，那么cos θ=21.【答案】〔Ⅰ〕()2 1.y e x =-+；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析：〔1〕那么导数的几何意义可求得曲线()f x 在1x =处的切线方程。
2021-2022年高三下学期第三次模拟检测数学(理)试题 含答案
2021-2022年高三下学期第三次模拟检测数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数对应的点在复平面内位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限2.若，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件3.设为等差数列的前项和，若，则该数列的首项等于（）A. B. C. D.4.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的则输出（）A. B. C. D.5.双曲线的渐近线与圆相切，则正数的值为（）A. B. C. D.6.在如图所示的正方形中随机投掷1000-个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A. B. C. D.附：若，则()()0.6826,220.9544P X P X μδμδμδμδ-<<+=-<<+=7.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.8.已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.9.在中，2,1AB AC AM AM +==,点在上且满足，则等于（ ）A. B. C. D.10.已知二次函数的导数，，且的值域为，则的最小值为（ ）A. B. C. D.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点使1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.12.已知函数()()2102x f x x e x =+-<与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.二项式的展开式中常数项为 .14.若变量满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且的最大值为，最小值为，则的值是 .15.我们知道，在边长为a 的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长a 为的正四面体内任意一点到其四个面的距离之和为定值，则此定值为 .16.设数列满足12212,6,220n n n a a a a a ++==-+-=，若表示不超过的最大整数，则122016201620162016a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 三、解答题：本大题共6小题，满分70份.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)设函数()21sin 2cos 24f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）若，求的单调递增区间；（2）在锐角三角形中，角A,B,C的对边分别为，若，求面积的最大值.18.(本小题满分12分)某超市从xx甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[](](](](]0,10,10,20,20,30,30,40,40,50分组，得到频率分布直方图如下：假设甲乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.（1）写出频率分布直方图（甲）中的值，记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差为，试比较的大小（只需写出结论）；（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的日销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（3）设表示在未来的3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望.19.(本小题满分12分)在直三棱柱中，12,22,90,AC BC AA ACB M ===∠=是的中点，是的中点.（1）求证：平面;（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的平面角的余弦值的大小.20.(本小题满分12分)设抛物线的方程为为直线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.（1）当的坐标为时，求过三点的圆的标准方程，并判断直线与此圆的位置关系；（2）当变化时，试探究直线上是否存在点，使？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分)设函数()()1.1x ax f x e x x =->-+（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，设在处取得最小值，求证：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，AC是弦，的平分线AD交圆O于点D，，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.（1）求证：DE是圆O的切线；（2）若，求的值.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种1曲线；（2）若曲线与曲线交于A,B两点，求的最大值和最小值.24.(本小题满分10分)不等式选讲已知函数，且的解集为（1）求的值；（2）设为正数，且，求的最大值.30522 773A 眺C26865 68F1 棱21061 5245 剅g33925 8485 蒅31692 7BCC 篌UE32139 7D8B 綋30968 78F8 磸38390 95F6 闶30353 7691 皑。
数学高三下学期理数第三次模拟考试试卷
数学高三下学期理数第三次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·邹城期中) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·浙江模拟) 已知i为虚数单位，复数，则＝（）A . 1B . 2C .D . 53. （2分）(2018·广东模拟) 空气质量指数（简称：）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照大小分为六级：为优，为良，为轻度污染，为中度污染，为重度污染，为严重污染.下面记录了北京市天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（）A . 在北京这天的空气质量中，按平均数来考察，最后天的空气质量优于最前面天的空气质量B . 在北京这天的空气质量中，有天达到污染程度C . 在北京这天的空气质量中，12月29日空气质量最好D . 在北京这天的空气质量中，达到空气质量优的天数有天4. （2分）(2019·浙江模拟) 双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .5. （2分）已知程序框图如图所示，则输出的s为（）A . 22013-2B . 22013-1C . 22014-2D . 22014-16. （2分）若的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为（）A . 6B . 7C . 8D . 97. （2分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=（）A . -B .C . -8. （2分）已知向量，并且满足关系：,则的最大值为（）A .B .C .D .9. （2分）如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A . ④③②B . ②①③C . ①②③D . ③②④10. （2分）椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， A,B是C上两点，，∠BAF2=90°，则椭圆C的离心率为（）A .B .D .11. （2分）在棱长为1正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为DD1 ， BD，BB1的中点，则EF，CG 所成角的余弦值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·德惠期中) 若函数在区间内是减函数，，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·永州模拟) 中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给出了1~6的纵、横两种表示法：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示628为________.14. （1分）(2017·昆明模拟) 实数x，y满足则的最小值为________．15. （1分）(2017·上海模拟) 将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，则m的最小值为________．16. （1分）已知等比数列的前n项和为，若，，则 ________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2016高二上·银川期中) 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=a（Sn﹣an+1）（a为常数，且a ＞0），且a3是6a1与a2的等差中项．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=anlog2an，求数列{bn}的前n项和Tn．18. （10分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 如图，三棱柱中，侧面底面，,且 ,O为中点．（1）证明：平面；（2）直线与平面所成角的正弦值.19. （10分）(2020·陕西模拟) 2019年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手A ， B ， C ， D ， E依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立.赛会釆用5局3胜制，先赢3局者获得胜利.（1）在决赛中，中国队以3∶1获胜的概率是多少？（2）求比赛局数的分布列及数学期望.20. （10分） (2018高二上·牡丹江期中) 已知椭圆的离心率为，短轴长为，右焦点为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线经过点且与椭圆有且仅有一个公共点，过点作直线交椭圆于另一点①证明：当直线与直线的斜率，均存在时， . 为定值；②求面积的最小值。
2023年陕西省安康市高考数学第三次质检联考试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年陕西省安康市高考数学第三次质检联考试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B.C.D.2. 若复数满足为纯虚数，则( )A.B.C.D. 23. 已知等差数列的前n 项和为，，则( )A. 6B. 12C. 18D. 244. 已知向量，若与共线，则( )A.B. C. D. 55. 党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2023年3月1至5月31日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年3月1日至3月5日时段的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台专营店购物人数单位：万人的数据如表：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日第x 天12345人数单位：万人75849398100依据表中的统计数据，经计算得y 与x 的线性回归方程为请预测从2023年3月1日起的第58天到该专营店购物的人数单位：万人为( )A.440B. 441C. 442D.4436.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为6cm ，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为( )A.B.C. D.7. 在的展开式中，下列说法正确的是( )A. 所有项的二项式系数和为1B. 第4项和第5项的二项式系数最大C. 所有项的系数和为128D. 第4项的系数最大8. 已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则( )A. 8B. 12C. 16D. 209. 已知正三棱锥的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为( )A. B. C. D.10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，，点到直线的距离为，则椭圆C的离心率为( )A. B. C. D.11. 定义在R上的函数满足，且为奇函数，则( )A. B. C. 2022 D. 202312. 若，则( )A. B. C. D.13. 已知x，y满足约束条件，则的最大值是______ .14. 已知函数，则______ .15. 已知函数的图象关于点对称，且在区间单调，则的一个取值是______ .16. 《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离记为d，双曲线C的两条渐近线与直线，以及双曲线C的右支围成的图形如图中阴影部分所示绕y轴旋转一周所得几何体的体积为其中，则双曲线C的离心率为______ .17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求A；若，，求的面积.18. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图.现从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生中恰有1名学生获奖的概率；估计这100名学生的竞赛成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78分的学生人数结果四舍五入到整数附：若随机变量X服从正态分布，则，，19. 如图1，四边形ABCD是梯形，，，M是AB 的中点，将沿DM折起至，如图2，点N在线段上.若N是的中点，证明：平面平面；若，二面角的余弦值为，求的值.20. 已知函数若，求函数的极值；若恒成立，求m的取值范围.21. 已知抛物线C：的焦点为求抛物线C的方程；过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，M为抛物线C上的点，且，，求的面积.22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；若射线其中，且，与曲线C在x轴上方交于点M，与直线l交于点N，求23. 已知函数求不等式的解集；若，，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解：联立A与B中的方程得：，消去y得：，即，解得：或，把代入得：；把代入得：，方程组的解为，，则，故选：联立A与B中两方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出A与B的交集．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：为纯虚数，，故选：将代入化简，然后根据其为纯虚数，可求出结果．本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由等差数列的性质，可得，所以故选：根据等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解．本题主要考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由题意可得，与共线，，解得，故选：根据平面向量共线的坐标公式求出x，再根据向量的模的坐标公式即可得解．本题主要考查向量模公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意，，，将代入，可得，解得，线性回归直线方程为，将代入上式，故选：由表格数据得出中心点代入计算出回归方程，然后预测即可．本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为，由相似得，即，可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为故选：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，求出小圆锥的母线长后可得展开图圆心角．本题主要考查旋转体的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：对选项A：展开式所有项的二项式系数和为，错误；对选项B：展开式共有8项，故第4项和第5项二项式系数最大，正确；对选项C：令得所有项的系数和为，错误；对选项D：，，系数小于0，，系数大于0，D错误．故选：展开式所有项的二项式系数和为，A错误，展开式共有8项，第4项和第5项二项式系数最大，B正确，令得C错误，第4项系数小于0，第3项系数大于0，D错误，得到答案．本题主要考查二项式定理，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设方程的四个根由小到大依次为，，，，不妨设的一根为1，则另一根为27，所以，由等比数列的性质可知，所以，，所以等比数列，，，的公比为，所以，，由韦达定理得，可得故选：设方程的四个根由小到大依次为，，，，不妨设的一根为1，则另一根为27，求得，再由等比数列的性质得到，，求得公比，进而求得，，进而得到，即可求解．本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，设点Q为的中心，则平面ABC，，，球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，则，，在中，，解得，球O的表面积为故选：作出图形判断外接球球心的位置，先求出相关线段的长度，然后利用勾股定理求出外接球半径，代入球的表面积公式即可求解．本题考查三棱锥的外接球问题，勾股定理的应用，化归转化思想，属中档题．10.【答案】A【解析】解：如图，设于M，则由题意得，，，，由椭圆定义可得，，在中，由勾股定理得：，故选：设于M，则由已知条件可求出，，再利用椭圆的定义可求出，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率．本题考查椭圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．11.【答案】D【解析】解：，关于对称，为奇函数，由平移可得关于对称，且，，即，，，，上两式比较可得，函数是以4为周期的周期函数．，，，故选：利用抽象函数的轴对称与中心对称性的性质，得出函数的对称轴和中心对称点及周期，利用相关性质得出具体函数值，即可得出结果．本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由，可得，，，比较a和b，构造函数，当，，在上单调递增，故，即同理比较b和c，构造函数，当，，在上单调递增，，即综上，故选：根据等式解出a、b、c的值，利用作差法，再通过构造函数，通过函数单调性判断作差后的两式大小，最后作出比较．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，数值大小的比较，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：作出可行域如图阴影部分所示，当直线平移至点B时，z取得最大值，由，解得，即点B的坐标为，所以故答案为：根据可行域和目标函数的几何意义即可求解．本题主要考查简单的线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：故答案为：根据分段函数和，利用转化为求解．本题主要考查了分段函数的应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．15.【答案】1或3或5或写出其中一个即可【解析】解：因为函数的图象关于对称，可得，解得，所以，，又因为在区间上单调，可得，结合余弦函数的性质，可得，解得，所以或3或5或故答案为：1或3或5或写出其中一个即可由的图象关于对称，求得，，再结合三角函数的性质，求得的范围，即可求解．本题主要考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题意知渐近线方程为，右焦点为，所以，由，得，由，得，所以截面面积为，由题知，阴影部分绕y轴转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，，即，所以，即，，解得，所以故答案为：先利用条件求出d，直线与渐近线及双曲线的交点，从而求出截面积，再利用题设所给信息建立等量关系，从而求出结果．本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题．17.【答案】解：，或，，，或，解得或，，，由知，，由正弦定理得，由余弦定理得，即，整理得，由得，【解析】利用诱导公式或者直接展开计算，再根据倍角公式化简即可；利用正弦定理进行角化边，再根据余弦定理求出c边，最后利用正弦定理的三角形面积公式计算即可．本题主要考查三角恒等变换，正余弦定理的应用，三角形面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖，从该样本中随机抽取的2名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的2名学生中恰有1名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为，每个基本事件出现的可能性都相等，，即抽取的2名学生中恰有1名学生获奖的概率为由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值由题意所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，，，故参赛学生中成绩超过分的学生数为【解析】由古典概型计算即可；由样本频率分布直方图计算样本平均数的估计值即可；根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解；本题主要考查正态分布的对称性，考查转化能力，属于基础题．19.【答案】证明：取DM中点O，连接，CO，CM，且M为AB的中点，可得，，在四边形ABCD中，，可得AMCD为菱形，，又，且，平面，平面，平面，，又，且N为的中点，，，且DN，平面DMN，平面DMN，又平面，平面平面解：由，可得，，，，以O为坐标原点，分别以OD，OC，所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，设，则，，，设平面DMN的一个法向量为，则，令，则，又由平面CDM，可得CDM的一个法向量为，设二面角的平面角为，由图可得为锐角，则，解得或舍去，【解析】取DM中点O，证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，再由，证得平面DMN，进而证得平面平面DMN；以O为坐标原点，分别以OD，OC，所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设，分别求得平面DMN和平面CDM的一个法向量为和，结合向量的夹角公式列出方程，即可求解．本题主要考查面面垂直的证明，面面角的计算，空间想象能力的培养，空间向量及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：当时，，其定义域为，，令，得，当时，；当时，，在单调递增，在单调递减，的极大值为，无极小值；由得，在上恒成立，令，则，令，易知在单调递增，，，，使得，即，当时，；当时，；在单调递减，在上单调递增，，由，可得，，，，的取值范围是【解析】当时，对函数求导，判断单调区间，即可得到极值；采用分离参数的方式得到，令，对函数求导判断单调性，求得的最小值，进而可得到m的取值范围．本题考查参变量分离求解恒成立问题，构造函数并利用导数研究函数的最值，化归转化思想，属中档题．21.【答案】解：由已知可得，解得，所以拋物线C的方程为；如图所示：设，，，若轴，由得，，或，，此时不满足，所以不满足题意；设直线AB的方程为，直线MF的方程为，将代入抛物线方程得，，所以，将代入抛物线方程得，所以①，直线AM的斜率为，同理直线BM的斜率为，因为，所以，所以，即②，由①②解得，将其代入①可得，解得或，当时，直线AB的方程为，，，因为，满足，所以，，所以，所以，同理可得，当时，直线AB的方程为，，，因为，满足，所以，，所以，所以，所以的面积为【解析】由题意可知，从而即可得答案；先分析轴时，不满足题意；再设直线AB的方程为，直线MF的方程为，分别代入抛物线方程，结合韦达定理可得直线AM的斜率、线BM的斜率，再由，可求得m的值及M点的纵坐标，再根据弦长公式及三角形的面积公式求解即可．本题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合，考查方程思想与运算求解能力，属于难题．22.【答案】解：由，得，即故直线l的普通方程是由得，代入公式，得，，故曲线C的直角坐标方程是由其中，且，，得，将射线代入曲线C的极坐标方程，可得，直线l的极坐标方程为，将代入直线l的极坐标方程可得，，【解析】采用代入消参方法可得直线l的普通方程，结合可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；分别联立射线与曲线C及直线l的极坐标方程，得到，，即可求得本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：，①当时，，解得；②当时，，解得；③当时，，无解，不等式的解集为，，，由知在递减，递增，递增，，，，解得，故a的取值范围为【解析】根据x的不同的取值范围分类讨论后可求不等式的解；求出的最小值后利用公式可求参数的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．。
2024届河南省商开大联考高三下学期三调考试数学试题理试题
2024届河南省商开大联考高三下学期三调考试数学试题理试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ） A ．0B ．1C ．-1D ．2log 32．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++成立，则2414a a a +++=（ ）A ．0B ．5C ．7D ．133．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=，13PF =，24PF =，则双曲线C 的离心率为 A ．102B ．5C ．52D ．54．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）A ．52B ．522C ．52D ．545．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤 B ．少1斤 C ．多13斤 D ．少13斤 6．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知[]2240a b a b +=⋅∈-，，，则a 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，2]D ．[0，2]8．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．79．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3-10．将函数()3sin 2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根11．1023112x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中有理项有（ ） A ．3项B ．4项C ．5项D ．7项12．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(含答案与解析)
“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第三次大联考数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答案均写在答题纸上，满分150分，时间2.答卷前将答题卡上的学校､姓名､班级填写清楚，并检查条形码是否完整､信息是否准确.3.答卷必须使用0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整､笔迹清晰.并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效.第I 卷（选择题共60分）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合2{|34},{|280},M x x N x x x =-≤<=--≤则（ ） A. M ∪N =RB. M ∪N ={x |-3≤x <4} C M ∩N ={x |-2≤x ≤4}D. M ∩N ={x |-2≤x <4}2. 已知复数z 满足()224i z z z z -+⋅=+，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（ ） A. 1i --B. 1i +C. 1i -+D. 2i -+3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ） A. 0.495%B. 0.9405%C. 0.99%D. 0.9995%4. 已知等比数列{}n a 的前2项和为2424,6a a -=，则8a =（ ） A. 1B.12C.14D.185. 已知p ：0x y +>，q：))ln ln0x y ->，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件.的6. 将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ） A.32B. 2C. 3D.7. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）A.12B.23C.34D.568. 已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a ”，则以下命题为真命题的是（ ）A. p q ∨B. p q ∧C. ()p q ∨⌝D. ()()p q ⌝∧⌝9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C.D.10. 设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（ ） A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<11. 已知定点()2,0D ，直线l ：()()20y k x k =+>与抛物线24y x =交于两点A ，B ，若90ADB ∠=︒，则AB =( )A. 4B. 6C. 8D. 1012. 已知函数()1f x +是偶函数，且()()2f x f x +=-．当(]0,1x ∈时，()1cos f x x x=，则下列说法的正确的是（ ） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点 C. ()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点 第II 卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）13.已知(1,a a b =+= ，则a 与b的夹角为__________.14. ()4221x x -+的展开式中3x 项的系数为___________.15. 如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．16. 已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11,n n n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的N n *∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为________．三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，已知13,4,cos 3AC BC A ===-. （1）求角B 的值； （2）求边长AB 的值.18. 如图，四棱锥P ABCD -中，，AB CD AB AD ⊥∥，且24260，，AB AD CD PA PAB =====∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30，，E F 分别是BC 和PD 的中点.（1）证明：EF 平面PAB ；（2）求平面PAB 与平面PAD 夹角的余弦值.19. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． （1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P （μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．20. 已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长． （1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 内一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB 的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>P 也在1E 上，求证：直线AB 与1E 相切．21. 已知函数()e 21xf x ax =+-，其中a 为实数，e 为自然对数底数，e=2.71828 ．（1）已知函数x ∈R ，()0f x ≥，求实数a 取值的集合； （2）已知函数()()2F x f x ax =-有两个不同极值点1x 、2x ．①求实数a 的取值范围；②证明：)12123x x x x +>．请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 选修4-4：坐标系与参数方程选讲.的22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为11x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:π0l θρ=≥和射线2ππ:0,022l θαρα⎛⎫=+≥≤< ⎪⎝⎭分别与曲线C 交于A 、B 两点，求AOB 面积最大值. 选修4-5：不等式选讲.23. 设,,R,,,1a b c a b c ∈-均不为零，且1a b c ++=． （1）证明：(1)(1)0ab b c c a +-+-<； （2）求222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值．参考答案一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合2{|34},{|280},M x x N x x x =-≤<=--≤则（ ） A. M ∪N =R B. M ∪N ={x |-3≤x <4} C. M ∩N ={x |-2≤x ≤4} D. M ∩N ={x |-2≤x <4}【答案】D 【解析】 【分析】先求集合N ，再求两个集合的并集和交集，判断选项.【详解】2280x x --≤，解得：24x -≤≤，即{}24N x x =-≤≤，{}34M x x =-≤<，{}34M N x x ⋃=-≤≤， {}24M N x x ⋂=-≤<.故选：D2. 已知复数z 满足()224i z z z z -+⋅=+，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（ ） A. 1i -- B. 1i +C. 1i -+D. 2i -+【答案】C 【解析】的【分析】依题意设i z a b =+()0,0a b <>，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可.【详解】设i z a b =+()0,0a b <>，则i z a b =-，因为()224i z z z z -+⋅=+， 所以()()()2i i i i 24i a b a b a b a b +-+++⋅-=+，所以224i 24i b a b ++=+，所以22244a b b ⎧+=⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩或11b a =⎧⎨=⎩（舍去），所以1i z =-+. 故选：C3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ） A. 0.495% B. 0.9405%C. 0.99%D. 0.9995%【答案】A 【解析】【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解.【详解】记感染新冠病毒为事件A ,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件,B 则()0.5%,()99%P A P B A ==,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为()()()P AB P A P B A ==0.5%99%0.495%⨯=，故选：A4. 已知等比数列{}n a 的前2项和为2424,6a a -=，则8a =（ ） A 1B.12C.14D.18【答案】D 【解析】【分析】首先根据题意得到()()121224112416a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨-=-=⎪⎩，解方程组得到12q =，116a =，再求8a 即可. 【详解】因为246a a -=，所以1q ≠，由题知：()()121224112416a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨-=-=⎪⎩， .所以()141q q =-，解得12q =，所以111242a a +=，即116a =， 所以78111628a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选：D5. 已知p ：0x y +>，q ：))ln ln0x y ->，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】令)()ln,R f x x x =+∈,结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立.【详解】令)()ln ,R f x x x =+∈，(0)0f =，且))()()ln ln ln10f x f x x x +-=++-==，故)()ln f x x =+为奇函数，0x >x +递增，则)()ln f x x =+也递增，又()f x 为奇函数，则()f x 在R 上递增，p q ⇒，若0x y +>，则x y >-，则()()f x f y >-，即))ln lnx y >即))lnln0x y +-->；p q ⇐，若))lnln0x y ->，则等价于))ln ln x y +>，即()()f x f y >-，由()f x 在R 上递增，则x y >-， 即0x y +>， 故p 是q 的充要条件， 故选：C.6. 将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ）A.32B. 2C. 3D.【答案】B 【解析】【分析】先求出()g x ，又因为()y g x =在ππ[,]64-上为增函数，则ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤，即可求出ω最大值.【详解】函数π()2sin(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象， 则()ππ2sin 2sin 33g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又因为()y g x =在ππ[,64-上为增函数，所以ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤， 解得：2ω≤，故ω的最大值为2. 故选：B.7. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）A.12B.23C.34D.56【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.【详解】依题意得所拨数字共有1244C C 24=种可能． 要使所拨数字大于200，则：若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，有1224C C 12=种； 若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠， 有1123C C 6=种，则所拨数字大于200的概率为1263244+=， 故选：C ．8. 已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a ”，则以下命题为真命题的是（ ）A. p q ∨B. p q ∧C. ()p q ∨⌝D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】A 【解析】【分析】根据线面的关系判断命题p 的真假，根据正四面体外接球的表面积公式计算判断命题q 的真假，结合复合命题真假的判断方法即可求解. 【详解】命题p ：若//a α，α//β，则//a β或a ⊂β，故命题p 为假命题；命题q ，所以外接球的表面积为223π4π2a =，故命题q 为真命题.所以命题p q ∨为真命题，命题()()()p q p q p q ∧∨⌝⌝∧⌝、、为假命题. 故选：A.9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由双曲线定义可得21,MF MF ，根据平行关系可知12cos aF F M c∠=，由余弦定理可构造齐次方程求得离心率. 【详解】设:bl y x a=，则点M 位于第四象限， 由双曲线定义知：1222222MF MF MF MF MF a -=-==，14MF a ∴=； 设过点2F 且与l 平行直线的倾斜角为α，则tan ba α=，cos a cα∴==， 12cos aF F M c∴∠=； 在12F F M △中，由余弦定理得：222122112122cos 2F F MF MF F F M F F MF +-∠=⋅，即22244168a c a a c ac +-=，整理可得：225c a =，e ∴==故选：C.10. 设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（ ） A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. b c a <<【答案】A 【解析】【分析】通过构造函数()e 1xf x x =--，利用导数研究函数单调性，证得e 1x x >+，则有,a c b c >>，再通过作商法比较,a b .【详解】设()e 1x f x x =--，因为()e 1xf x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减， 当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增， 所以当R x ∈，且0x ≠时，()()00f x f >=，即e 1x x >+. 所以()0.33e30.31 2.1a --+>=⨯=，0.6e 0.61 1.6b =>+=，所以 1.6c =最小，又因为0.60.90.3e e e 13e 33b a -==<<，所以b a <.综上，c b a <<. 故选：A11. 已知定点()2,0D ，直线l ：()()20y k x k =+>与抛物线24y x =交于两点A ，B ，若的90ADB ∠=︒，则AB =( )A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与抛物线方程，求得12x x +，12x x ，12y y ，由90ADB ∠=︒可得0DA DB ⋅=，从而可求k 的值，根据弦长公式即可求AB ．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，()()22222244404y k x k x k x k y x⎧=+⇒+-+=⎨=⎩， 由题知，0∆>，故21212244,4k x x x x k-+==， 则()()()222121212122882224448k y y k x k x k x x x x k k ⎛⎫-⎡⎤=+⋅+=+++=++= ⎪⎣⎦⎝⎭， 由()()1212900220ADB DA DB x x y y ∠=⇒⋅=⇒--+=，即()121212240x x x x y y -+++=，即()224142840k k --⋅++=，解得213k=，则12443813x x -+==，则28AB x =-===．故选：C ． 12. 已知函数()1f x +是偶函数，且()()2f x f x +=-．当(]0,1x ∈时，()1cos f x x x=，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点 C. ()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点 的【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，由()1f x +是偶函数，故()()11f x f x -+=+，结合()()2f x f x +=-，推导出()()f x f x -=-，A 正确；B 选项，求出()f x 的一个周期为4，从而只需求()f x 在区间12π1,ππ-⎛⎫⎪⎝⎭上的零点个数，结合函数性质得到2220ππf f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；C 选项，求导得到()111cos sin f x x x x'=+，换元后得到()cos sin h t t t t =+，15π1,6t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，再次求导，得到()h t 的单调性，结合()10h >，5π06h ⎛⎫⎪⎝⎭>，得到()0h t >在5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，得到()f x 在6,15π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；D 选项，与C 选项一样得到()h t 的单调性，结合零点存在性定理得到隐零点，进而得到()f x 的单调性，求出()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点. 【详解】函数()1f x +是偶函数，故()()11f x f x -+=+，因为()()2f x f x +=-，所以()()11f x f x +=--， 故()()11f x f x -+=--，将x 替换为1x +，得到()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，A 正确； 因为()()2f x f x +=-，故()()42f x f x +=-+，故()()4f x f x +=， 所以()f x 的一个周期为4， 故()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫ ⎪⎝⎭上的零点个数与在区间12π1,ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上的相同，因为22πcos 20ππf ⎛⎫==⎪⎝⎭，而()()()2f x f x f x +=-=-，故2220ππf f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2212π1,2,ππππ-⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 故()f x 在区间12π1,ππ-⎛⎫⎪⎝⎭至少有2个零点，B 错误； 6,15πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos f x x x =，则()111cossin f x x x x'=+，令1t x =，()cos sin h t t t t =+，当5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，所以()sin sin cos cos h t t t t t t t '=-++=，当π1,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=>，()h t 单调递增， 当π5π,26t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=<，()h t 单调递减， 又()1cos1sin10h =+>，0cos si 5π5π5π5π2n 5π66661h ⎛⎫==⎪⎝⎭=>+， 故()0h t >在5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以()0f x ¢>在6,15πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，故()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确； D 选项，1,1πx ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1cos f x x x =，故()111cossin f x x x x '=+，令1t x=，()cos sin h t t t t =+，当()1,πt ∈时， 则()cos h t t t '=， 当π1,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=>，()h t 单调递增， 当π,π2t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=<，()h t 单调递减， 因为()1cos1sin10h =+>，πππππ02222cos 2sin h ⎪=⎛⎫=+⎝⎭>，()0cos s n πππ1i πh =-+<=， 由零点存在性定理，0π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃，使得()00h t =，当()01,t t ∈时，()0h t >，当()0,πt t ∈时，()0h t <，011,πx t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，01,1x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增， 所以()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点，D 正确. 故选：ACD【点睛】设函数()y f x =，x ∈R ，0a >，a b ¹．（1）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （2）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （3）若()()1f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （4）若()()1f x a f x +=，则函数()f x 的周期为2a ； （5）若()()f x a f x b +=+，则函数()f x 周期为a b -；（6）若函数()f x 的图象关于直线x a =与x b =对称，则函数()f x 的周期为2b a -；（7）若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2b a -； （8）若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4b a -；（9）若函数()f x 是偶函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a ； （10）若函数()f x 是奇函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a .第II 卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）13.已知(1,a a b =+= ，则a 与b的夹角为__________.【答案】30 【解析】【分析】首先根据题意得到a b += ，从而得到32a b ⋅= ，再根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅求解即可.【详解】因为(a b +=，所以a b +== ，所以()22223127a ba b a b a b +=++⋅=++⋅=，即32a b ⋅= .所以cos ,a b a b a b⋅===⋅， 因为0,180a b ≤≤，所以a 与b 的夹角为30 .故答案为：3014. ()4221x x -+的展开式中3x 项的系数为___________.的【答案】56- 【解析】【分析】先整理二项式为()81x -，由此即可求解. 【详解】解：二项式()()()442822111x x x x ⎡⎤=⎣⎦-+-=-， 所以展开式中含3x 的项为()55338156C x x ⋅-=-，所以3x 项的系数为56-， 故答案为：56-.15. 如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．【解析】【分析】易证得//OC BD ，由异面直线所成角定义可知所求角为SCO ∠，由长度关系可求得结果. 【详解】设圆锥底面圆心为O ，连接,,OC OD OS ，,C D 为弧AB 的两个三等分点，π3COD BOD ∴∠=∠=， 又OB OD =，OBD ∴△为等边三角形，π3ODB COD ∴∠=∠=，//OC BD ∴， SCO ∴∠即为异面直线SC 与BD 所成角，SO ⊥ 平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，SO OC ∴⊥，SO == ，122a OC AB ==，tan SO SCO OC ∴∠=== 即SC 与BD16. 已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11,nn n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的N n *∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为________．【答案】(),48-∞ 【解析】【分析】利用,n n a S 的关系求出数列{}n a 的通项公式，再用裂项相消法求得n T ，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数λ的取值范围. 【详解】当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦， 当1n =时，111a S ==满足上式， 所以32,N n a n n *=-∈. 所以111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以1111111111(1)(()(1)343473323133131n T n n n n n =-+-++-=-=-+++ ， 由93n T n λ<+，可得9331n n n λ<++，即23(31)13(96)n n n nλ+<=++， 因为函数19y x x =+在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增， 所以当1n =时，19n n+有最小值为10， 所以13(96)48n n++≥，所以48λ<， 所以实数λ的取值范围为(),48∞-. 故答案为：(),48-∞.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，已知13,4,cos 3AC BC A ===-. （1）求角B 的值； （2）求边长AB 的值. 【答案】（1）π4（2）1 【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系及正弦定理可求解； （2）利用两角差的余弦公式结合余弦定理求解. 【小问1详解】在ABC 中，由1cos 3A =-，()22cos sin 1,0,πA A A +=∈,得sin A =.由正弦定理得，sin sin a b A B=3sin B =，故sin B =又因为A 为钝角，所以π4B = 【小问2详解】在ABC 中，()1cos cos sin sin cos cos 3C A B A B A B =-+=-=+=由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅()2223423491=+-⨯⨯=-=-所以1AB =-18. 如图，四棱锥P ABCD -中，，AB CD AB AD ⊥∥，且24260，，AB AD CD PA PAB =====∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30，，E F 分别是BC 和PD 的中点.（1）证明：EF 平面PAB ；（2）求平面PAB 与平面PAD 夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 的中点G ，连接EG FG ，，通过证明平面GEF 平面PAB ，可得EF 平面PAB ；（2）点A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由260，PA PAB ==∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30 ，可得P 坐标，后利用向量法可得平面PAB 与平面PAD 夹角的余弦值. 【小问1详解】取AD 的中点G ，连接,EG FG ，F 是PD 的中点，GF AP ∴∥，AP ⊂ 平面,PAB FG ⊄平面PAB ，GF ∴ 平面PAB ，同理可得GE 平面PAB ，，GE GF G GE =⊂ 平面，GEF GF ⊂平面GEF ，∴平面GEF 平面PAB ，EF ⊂ 平面GEF ，//EF ∴平面PAB ；【小问2详解】以点A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,2,4,0A B D C ，()()400040,,，,,AB AD ==.设(),,P x y z ，因2PA =，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30 ，则2sin 301z == . 又因60,PAB =∠ 则点P 的横坐标2cos 601x == . 又2PA =2=，结合题图可知y =，的则()P，()11,AP =.设()111,,m x y z =r 是平面PAB的一个法向量，则111140m AB x m AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令11y =，则(10,1,z m ==.设()222,,n x y z =r 是平面PAD的一个法向量，则222240n AD y n AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩令11x =，则()111,0,1，z n =-=-.又因两平面夹角范围为π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设平面PAB 与平面PAD 夹角为θ，cos =cos ,m n m n m n θ⋅===，∴平面PAB 与平面PAD19. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． （1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P （μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．【答案】（1）总样本的均值为17，方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23（2）0.004 【解析】【分析】（1）根据均值方差的计算公式代入计算即可求解； （2）利用正态分布的性质和所给数据即可求解计算. 【小问1详解】把男性样本记为12120,,,x x x ，其平均数记为x ，方差记为2x s ；把女性样本记为1290,,,y y y ，其平均数记为y ，方差记为2y s ．则2214,6;21,17x y x s y s ====．记总样本数据的平均数为z ，方差为2s ．由14,21x y ==，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得总样本平均数为120901209012090z x y =+++．120149021210⨯+⨯=17,=根据方差的定义，总样本方差为()()12090222111210i i i i s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()1209022111,210i i i i x x x z y x y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑ 由()120120111200iii i x x x x ==-=-=∑∑可得()()120120112()2(0iii i x x x z x z x x ==--=--=∑∑同理，()()9090112()2()0iii i y y y z y z y y ==--=--=∑∑，因此，()()12012090902222211111()()210i i i i i i s x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ {}22221120(90(,210x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦ 所以{}22211206(1417)9017(2117)23210s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-≈⎣⎦⎣⎦， 所以总样本的均值为17，方差为23，并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23． 【小问2详解】由（1）知223σ=，所以()17,23X N ~4.8≈， 所以()()12.221.817 4.817 4.80.6827P X P X ≤≤=-≤≤+≈，()1(12.2)10.68270.15865,2P X <≈⨯-= 因为()3,0.15865X B ~，所以()3333C 0.158650.004P X ==⨯≈． 所以3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004．20. 已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 内的一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB 的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>P 也在1E 上，求证：直线AB 与1E 相切． 【答案】（1）2214x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据菱形1122F B F B 的周长和面积可构造方程组求得,b c ，进而得到椭圆方程；（2）设:AB y kx t =+，与椭圆E 方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可求得P 点坐标；将AB 与椭圆1E 联立，可得1∆，由P 在椭圆1E 上可得等量关系，化简1∆可得10∆=，由此可得结论.【小问1详解】菱形1122F B F B 的周长为8，面积为122248b c a ⎧⋅⋅=⎪∴⎨⎪=⎩222a b c =+，1b c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩或1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，又椭圆E 的焦距大于短轴长，即22c b >，1b c =⎧⎪∴⎨=⎪⎩24a ∴=，则椭圆E 的方程为：2214x y +=. 【小问2详解】由题意知：直线AB 的斜率必然存在，可设其方程为：y kx t =+， 由2214x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222148440k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2216140k t ∆=+->，即2214<+t k ，122814kt x x k ∴+=-+，21224414t x x k-=+， 21212228221414k t t y y kx t kx t t k k∴+=+++=-+=++，224,1414kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭； 椭圆1Ee ∴==224=m n ， 2221:44E x y n ∴+=，由22244x y n y kx t⎧+=⎨=+⎩得：()2222148440k x ktx t n +++-=， ()()()22222222216441444164k t k t n k n n t ∴∆=-+-=+-，P 在椭圆1E 上，()()2222222216441414k t t n k k ∴+=++，整理可得：()22241t n k =+， ()222222116440k n n k n n ∴∆=+--=，∴直线AB 与1E 相切.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆位置关系的证明问题，解题关键是能够利用点在椭圆上得到变量之间所满足的等量关系，将等量关系代入判别式中进行化简整理即可得到直线与椭圆的位置关系. 21. 已知函数()e 21x f x ax =+-，其中a 为实数，e 为自然对数底数，e=2.71828 ． （1）已知函数x ∈R ，()0f x ≥，求实数a 取值的集合；（2）已知函数()()2F x f x ax =-有两个不同极值点1x 、2x ． ①求实数a 的取值范围；②证明：)12123x x x x +>．【答案】（1）12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭（2）① 212e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭，；②证明见解析 【解析】【分析】（1）利用不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，通过对a 的讨论，求出()f x 在给定区间的最值即可求出a 的值；（2）①由函数()F x 有两个不同的极值点1x ，2x 得，()e 22x F x ax a '=-+有两个不同零点，通过参数分离有112e x x a -=，构造函数()1e x x x ϕ-=，确定()1ex x x ϕ-=的单调性和极值，进而可求a 的取值范围； ②由已知得21211e e 1x x x x -=-，取对数得()()2121ln 1ln 1x x x x -=---，通过换元111x t -=，221x t -=，构造函数()ln u t t t =-，讨论函数()ln u t t t =-的单调性，确定12t t ，的不等关系，再转化为1x ，2x 的关系即可证明．【小问1详解】由()e 21x f x ax =+-，得()e 2xf x a '=+， 当0a ≥时，因为()11120e f a ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，不合题意； 当a<0时，当()()ln 2x a ∈-∞-，时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()()ln 2x a ∈-+∞，时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()()()min ()ln 222ln 21f x f a a a a =-=-+--，要()0f x ≥，只需()min ()22ln 210f x a a a =-+--≥，令()ln 1g x x x x =--，则()ln g x x '=-， 当()01x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，则由()()222ln 210g a a a a -=-+--≥得21a -=， 所以12a =-，故实数a 取值的集合12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭． 【小问2详解】 ①由已知()2e 21x F x ax ax =-+-，()e 22x F x ax a '=-+，因为函数()F x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以()e 22xF x ax a '=-+有两个不同零点， 若0a ≤时，则()F x '在R 上单调递增，()F x '在R 上至多一个零点，与已知矛盾，舍去；当0a >时，由e 220x ax a -+=，得112e x x a -=，令()1ex x x ϕ-=所以()2ex x x ϕ-'=，当()2x ∈-∞，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增； 当()2x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 所以max 21()2e x ϕϕ==（）， 因为(1)0ϕ=，1lim 0e x x x →+∞-=，所以21102e a <<，所以22e a >， 故实数a 的取值范围为21e 2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，． ②设12x x <，由①则1212x x <<<，因为()()120x x ϕϕ==，所以11e 22x ax a =-，22e 22x ax a =-， 则21211e e 1x x x x -=-，取对数得()()2121ln 1ln 1x x x x -=---， 令111x t -=，221x t -=，则2121ln ln t t t t -=-，即221112ln ln (01)t t t t t t -=-<<<，令()ln u t t t =-，则()()12u t u t =，因为()1tu t t '=-，所以()ln u t t t =-在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增， 令()()112ln v t u t u t t t t⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 则()22(1)0t v t t-'=≥，()v t 在()0+∞，上单调递增， 又10v =（），所以当()01t ∈，时，()10v t v <=()，即()1u t u t ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 因为21t >，121t ->，()ln u t t t =-在()1+∞，上单调递增，所以211t t <， 所以21111x x -<-，即1212x x x x <+，所以))12121212x x x x x x x x <+<+<+，故)12123x x x x <+成立．请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.选修4-4：坐标系与参数方程选讲.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为11x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:π0l θρ=≥和射线2ππ:0,022l θαρα⎛⎫=+≥≤< ⎪⎝⎭分别与曲线C 交于A 、B 两点，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）2sin 2cos ρθθ=-（21+【解析】【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，由普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线C 的极坐标方程；（2）求出OA 、OB ，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换可得π214AOB S α⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△，结合π02α≤<可求得AOB S 的最大值. 【小问1详解】解：由11x y θθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩可得()()))2222112x y θθ++-=+=，即22220x y x y ++-=，故曲线C 的普通方程为22220x y x y ++-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 0ρρθρθ+-=，即2sin 2cos ρθθ=-.【小问2详解】解：由题意知2sin π2cos π2OA =-=，ππ2sin 2cos 2cos 2sin 22OB αααα⎛⎫⎛⎫=+-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()21π·sin π2cos 2sin cos 2cos sin222AOB S OA OB αααααα⎡⎤⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin2cos21214ααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 因为π02α≤<，则ππ5π2444α≤+<，所以当242ππα+=，即当π8α=时，AOB 1+. 选修4-5：不等式选讲.23. 设,,R,,,1a b c a b c ∈-均不为零，且1a b c ++=．（1）证明：(1)(1)0ab b c c a +-+-<；（2）求222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用三数和的完全平方公式变形，再结合放缩法证明作答. （2）利用柯西不等式求解最小值作答.【小问1详解】依题意，(1)0a b c ++-=，且,,(1)a b c -均不为零， 则22221(1)(1){[(1)][(1)2]}ab b c c a a b c a b c +-+-=++--++-2221[(1])02a b c =-++-<， 所以(1)(1)0ab b c c a +-+-<.【小问2详解】因为2222222](111[(2)(2)1()))[112(2)(2(2)]a b c a b c ⨯-++++-+++++≥⨯⨯+2(2)9a b c =+++=， 当且仅当222111a b c -++==，即3,1,1a b c ==-=-时取等号，因此222(2)(2)(2)3a b c -++++≥， 所以222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值为3.。
高三数学下学期第三次周考模拟试题
塘栖中学2021届高三数学下学期第三次周考模拟试题一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分． 1.假设全集,UR =集合{}(){}22|20,|log 3,A x x x B y y x x A =+-≤==+∈，那么集合()U AC B =〔 〕A. {}|20x x -≤<B. {}|01x x ≤≤C. {}|32x x -<≤-D. {}|3x x ≤- 2.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，那么“1k =〞是“OAB ∆的面积为12〞的〔 _A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是边,,a b c，且2,1,B A a b ===那么c =〔 〕A. 214.设,,αβγ 是三个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，以下正确的选项是〔 〕 A. 假设,αββγ⊥⊥，那么α∥γ B. 假设,l αβ⊥∥β，那么l α⊥ C. 假设,m n αα⊥⊥，那么m ∥n D. 假设m ∥α，n ∥α，那么m ∥n5.函数()()sin 036f x A x A ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的间隔 是5，A =( )A. 1B. 2C. 4D. 86．函数)1,0(3)1(log ≠>+-=a a x y a 所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{n a }的第二项与第三项，假设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前项和为n T ，那么10T = 〔 〕 A ．911B ．1011C ．1D ．1112 7.双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,P 为双曲线上任意一点， 12PF PF •的最小值的取值范围是223,42c c ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，那么双曲线的离心率的范围是〔 〕A. (2B. 2,2⎡⎤⎣⎦C. (2D. [)2,+∞8.假设,a b 是单位向量，0a b •=，且25,c a c b -+-=那么2c a +的范围是〔 〕 A. []1,3 B. 22,3⎡⎤⎣⎦ C. 65,225⎡⎤⎢⎥⎣ D. 655⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、 填空题: 本大题一一共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 一共36分． 9.函数()sin cos f x x x =+的单调递增区间为 ；3sin ,5α=且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么12f πα⎛⎫-=⎪⎝⎭. 10.设公差不为零的等差数列{}n a 满足：143,5a a =+是25a +和85a +的等比中项，那么n a = ；{}n a 的前n 项和n S = .11.某几何体三视图〔cm 〕，那么其体积是 3cm ；外表积是 2cm . 12.变量,x y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，动点(),x y 对应区域的面积为 ；22x y xy+的取值范围为 .13. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .假设线段FA 的中点B 在抛物线上，那么B 到该抛物线准线的间隔 为__________________ .14．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,假设2015120aBC bCA cAB ++=,那么ABC ∆的最小角的正弦值等于 。
高三数学下学期第三次模拟考试6月试题 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校金山2021届高三数学下学期第三次模拟考试〔6月〕试题理本卷须知：1．答卷前，、准考证号填写上在答题卡上，2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在套本套试卷上无效。
3．在在考试完毕之后以后，将答题卡交回。
第一卷一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． U A B =⋃，{1,2,3,4,5}A =，{B =10以内的素数}，那么)(B A C u ⋂〔〕A.{}2,4,7B.φC.{}4,7D.{1,4,7}2．a 是实数，i i a -+1是纯虚数，那么a 等于〔〕 A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．2-3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 3＋a 6＝23，S 5＝35，那么{a n }的公差为()A ．2B ．3C ．6D ．94．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯构造，它的外观是如下列图的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．假设正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器〔容器壁的厚度忽略不计〕，那么该球形容器外表积的最小值为〔〕A ．41πB ．42πC ．43πD ．44π5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征，函数f 〔x 〕的图象如下列图，那么函数f 〔x 〕的解析式可能是〔〕A ．||)44()(x x f x x -+=B ．||log )4-4()(2x x f x x -= C ．||log )44()(21x x f x x -+=D ．||log )44()(2x x f x x -+=6．数列}{n a 中，n a a a n n +==+11,1，假设如下列图的程序框图是用来计算该数列的第2020项，那么判断框内的条件是()A ．n ≤2018B ．n ≤2021C ．n >2021D ．n <20217．设a ＝2020log 2019，b ＝1920log 2020，c ＝202012019，那么a ，b ，c 的大小关系是()A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a8．公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供效劳，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案一共有〔〕A ．90种B ．180种C ．270种D ．360种9．F 1，F 2分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，线段F 2P 的垂直平分线过坐标原点O ，假设|PF 1|＝2|PF 2|，那么双曲线的离心率为〔〕A ．2B ．3C ．2D ．510．点P 是△ABC 所在平面上一点，假设AC AB AP 5352+=，那么△ABP 与△ACP 的面积之比是〔〕 A ．53 B ．25 C ．23 D ．32 11．关于函数|2|cos |cos |)(x x x f +=有以下四个结论：①)(x f 的值域为[﹣1，2]；②)(x f 在]2,0[π上单调递减；③)(x f 的图像关于直线43π=x 对称；④)(x f 的最小正周期为π．上述结论中，〕A.①B ②C ③D ④ax ae e x x f x x +--=221)1()(只有一个极值点，那么实数a 的取值范围是〔〕A.),21[0],+∞⋃∞-（B.),31[0],+∞⋃∞-（C.),41[0],+∞⋃∞-（D.),[0]31,+∞⋃-∞-（ 第二卷二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分．13．曲线f (x )＝＋3x 在点(1，f (1))处的切线方程为________．14.)()21(2020202022102020R x x a x a x a a x ∈++++=- 那么2019531a a a a ++++ 的值是．15.正四棱锥S ABCD -底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥外表上运动，并且总保持0PE AC ⋅=，那么动点P 的轨迹的周长为.16．数列}{n b 的前n 项和为n T ，且22+=n n T b ，那么数列}{n b 的通项公式为数列}{n a 的前n 项和为n S ，且⎩⎨⎧-=为偶数）奇数（n b n n a n n (,),4，假设使122-m m S S 恰为}{n a 中的奇数项，那么所有正整数m 组成的集合为〔第一空2分，第二空3分〕三、解答题〔一共70分〕：第17-21题各12分，选做题10分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．如图，在△ABC 中，M 是边BC 的中点，cos ∠BAM ＝1475，cos ∠AMC ＝772-．〔1〕求∠B 的大小；〔2〕假设AM ＝7，求△ABC 的面积．18．四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PB ⊥AD ，△PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点．〔1〕求证：PA ∥平面MDB ；〔2〕求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．19、2021年春节期间，新型冠状病毒(2019−nCoV)疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻全国人民众志成城，一共克时艰，为疫区助力．我国SQ 一共100家商家及个人为缓解抗疫消毒物资压力，募捐价值百万的物资对口输送H ．(1)现对100家商家抽取5家，其中2家来自A 地，3家来自B 地，从选中的这5家中，选出3家进展调研，求选出3家中1家来自A 地，2家来自B 地的概率．(2)该一商家考虑增加先进消费技术投入，该商家欲预测先进消费技术投入为49千元的月产增量．现用以往的先进技术投入x i (千元)与月产增量y i (千件)(i =1，2，3，…，8)的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y =a +b √x 的附近，且x =46.6，y =563，t =6.8，∑(x i −x)28i=1=289.9，∑(8i=1t i −t)2=1.6，∑(8i=1x i −x)(y i −y)=1469，∑(t i −t)8i=1(y i −y)=108.8，其中t i =√x i ，t =18∑t i 8i=1，根据所给的统计量，求y 关于x 回归方程，并预测先进消费技术投入为49千元时的月产增量．〔附：对于一组数据(u 1,v 1)(u 2,v 2)，其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为β̂=i −u)(v i −v)n i=1∑(u −u)2n ，α̂=v −β̂u ．〕 20.函数)(2ln )(R a ax e x f x ∈--=（1）讨论函数)(x f 的单调性（2）当2=a 时，求函数2ln cos )((+-=x x f x g ）在),2(+∞-π上的零点个数21．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点1(F ，点(1,)2Q 在椭圆C 上 （1） 求椭圆C 的HY 方程；（2） 经过圆22:5O x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为,A B ，直线,PA PB 分别与圆O 相交于异于点P 的,M N 两点〔i 〕求证：OM ON +=0〔ii 〕求OAB 的面积的取值范围请考生在22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分． 22．(本小题总分值是10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 22223(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为θρsin 52=(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)假设点P 坐标为(3，)，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求|PA |＋|PB |的值．23．(本小题总分值是10分)选修45：不等式选讲函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|.(1)求f (x )的最小值m ；(2)假设a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：＋＋≥3.2021级高三校模〔三〕理科数学试题参考答案DBBADBCBDCCA13．x －y ＋4＝0142312020-15.23+.16、2n 〔2分〕{}2〔3分〕17.〔1〕在△ABC 中，M 是边BC 的中点，cos ∠BAM ＝，cos ∠AMC ＝﹣． 利用同角三角函数的关系式，解得，． 由于∠AMC ＝∠BAM +∠B ，所以cos ∠B ＝cos 〔∠AMC ﹣∠BAM 〕＝cos ∠AMC •cos ∠BAM +sin ∠AMC •sin ∠BAM ＝， 由于0＜∠B ＜π．所以B ＝． 〔2〕在△ABM 中，利用正弦定理，得因为M 是边BC 的中点，所以S △AMC ＝S △ABM ，所以． 18〔1〕证明：连结AC ，交BD 于O ，由于底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点又M 为PC 的中点，∴MO ∥PA ，又MO ⊂平面MDB ，PA ⊄平面MDB ，∴PA ∥平面MDB ．〔2〕解法一：过P 作PE ⊥AD ，垂足为E ，由于△PAD 为正三角形，E 为AD 的中点．由于侧面PAD ⊥底面ABCD ，由面面垂直的性质得PE ⊥平面ABCD ．取PB 的中点N ，连结NM 、NA ，由于AP ＝AB ＝2，∴AN ⊥PB ，又MN 为△PBC 的中位线，MN ∥BC ，BC ∥AD ，PB ⊥AD ，∴MN ⊥PB ，∴∠MNA 是二面角A ﹣PB ﹣C 的平面角． 在，∴由AD ⊥PE ，AD ⊥PB ，得AD ⊥平面PEB ，在RT △AEN 中，由于MN ∥AD ，∴∠MNA 与∠NAE 互补，∴所求二面角的余弦值为． 解法二〔坐标法，略〕20题22．解：(1)由得直线l 的普通方程为x ＋y －3－＝0.由ρ＝2sin θ且θρθρsin ,cos ==y x 得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 即x 2＋(y －)2＝5. (2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得5)22()223(22=+-t t ，即t 2－3t ＋4＝0. 由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t 1、t 2是上述方程的两实数根，所以t 1＋t 2＝3，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3.23．解：(1)当x <－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)； 当－1≤x <2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3，6)；当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)．综上，f (x )的最小值m ＝3.(2)证明：a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3，因为＋＋＋(a ＋b ＋c ) ＝)(2a a b +)()(22c c a b b c ++++c ca b b c a a b ⨯+⨯+⨯≥222222 ＝2(a ＋b ＋c )．(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取“＝〞)所以＋＋≥a ＋b ＋c ，即＋＋≥3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
淮北一中2017届高三下学期第三次周考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z 满足(1)2i z i +=-，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设集合{}2230A x x x =--<，{}|2|2B x x =-≤，则AB =（ ）A. (1,0]-B. [0,3)C. (3,4]D. (1,3)-3. 已知变量,x y 呈现线性相关关系，回归方程为ˆ12yx =-，则变量,x y 是（ ） A ．线性正相关关系 B ．由回归方程无法判断其正负相关关系 C ．线性负相关关系 D ．变量x 每增加1个单位，变量y 必减少2个单位 4. 若直线l 过三角形ABC 内心，则“直线l 平分三角形ABC 周长”是“直线l 平分三角形ABC 面积”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 5. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数()2N N ≥和实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ）A ．A +B 为1a ，2a ，…，N a 的和B ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最大的数和最小的数C ．2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 D ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最小的数和最大的数6. 已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若不等式)()(x f a f ≥对任意[1,2]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]1,(-∞B ．]1,1[-C ．]2,(-∞D ．]2,2[- 7. 若一个空间几何体的三视图如右图所示，且已知该几何体的体积为 3，则其表面积为（ ） A. 332π+32π C. 3234π+334π+8. 已知实数,x y 满足||1x y ≤+，且11≤≤-y ，则2z x y =+的最大值（ ）俯视图侧视图正视图3r 2rrA ．2B ．4C ．5D ．6 9. 已知函数()sin()4f x x ππ=+和函数()cos()4g x x ππ=+在区间57[,]44-上的图像交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积是（ ）A.22B.3242 D.52410. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差,0>d 0))((5958<--S S S S ，则（ ） A ．78||||a a > B ．78||||a a < C ．78||||a a = D ．70a =11. 我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道 :“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。
”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方体1111D C B A ABCD - ，求图中四分之一圆柱体1111D AA C BB -和四分之一圆柱体11B AA 11C DD -公共部分的体积V ，若图中正方体的棱长为2，则=V （ ）（在高度h 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为1S ，截得正方体所得面积为2S ，截得锥体所得面积为3S ，221h R S -= ，22R S =312S S S =-⇒）A ．163 B ． 83C ．8D ．83π12. 设A 、B 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，则21ln ||ln ||2||b a m n a b mn ++++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）2366二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13．二项式6312x x的展开式中第四项的系数为 ． 14．如右图所示矩形ABCD 边长1,4AB AD ==，抛物线顶点为边AD 的中点E ，且,B C 两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边BC 围成的封闭区域（包含边界上的点）内的概率是 ．EDCBA15. 已知向量,a b 满足：||||1a b ==，且12a b ⋅=，若c xa yb =+，其中0,0x y >>且2x y +=，则||c 最小值是 ．16．已知锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足：22b a ac -=，2c =，则a 的取值范围是 ．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）数列{}n a 满足121,5a a ==，2121n n n a a a ++=-+．（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列，并求{}n b 的通项公式； （2）设1tan tan n n n c b b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18.（本小题满分12分）2017年3月1日在淮北市举行了首届淮北国际马拉松赛事，赛后某机构用“10分制”调查了很多人（包括普通市民，运动员，政府官员，组织者，志愿者等）对此项赛事的满意度.现从调查人群中随机抽取16名，如上茎叶图记录了他们的满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于9.5分，则称该被调查者的满意度为“极满意”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极满意”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极满意”的人数，求ξ的分布列及数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，在棱台ABC FED -中，DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC ⊥平面BCDE ，四边形BCDE 为直角梯形，,1BC CD CD ⊥=，点G 为ABC ∆的重心，N 为AB 中点，(,0)AM AF R λλλ=∈>，（1）当23λ=时，求证：GM //平面DFN ； （2）若直线MN 与CD 所成角为3π，试求二面角M BC D --的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆222:1(03)9x y C b b+=<<的左右焦点分别为,E F ，过点F 作直线交椭圆C 于,A B两点，若FB AF 2=且0.AE AB ⋅= （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O 为原点，圆)0()3(:222>=+-r r y x D 与椭圆C 交于N M ,两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PN PM ,与x 轴分别交于点,,S R 求证：||||OR OS ⋅为常数. 21.（本小题满分12分）若,x D ∀∈总有()()(),f x F x g x <<则称()F x 为()f x 与()g x 在D 上的一个“严格分界函数”.（1）求证：xy e =是1y x =+和212x y x =++在(1,0)-上的一个“严格分界函数”；（2）函数1(2)21x h x e x +=-+，若存在最大整数M 使得()10M h x >在(1,0)x ∈-恒成立，求M 的值.（2,718e =132 1.414,2 1.260≈≈）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设点M 的极坐标为（4,2π），过点M 的直线 与曲线C 相交于,A B 两点，若||2||MA MB =，求AB的弦长．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()11f x x x =-++，（x R ∈） （1）求证：()2f x ≥；（2）若不等式211()b bf x b+--≥对任意非零实数b 恒成立，求x 的取值范围.淮北一中2017届高三第三次周考数学（理科）试卷参考答案一、选择题1-5: DBCCB 6-10: BACCB 11、12：AD12.详解：解析：设点00(,)P x y 则00(,)Q x y -，所以0000,APBQ y y m k n k x a x a -====+-，即2022y m n a x ⋅=-，又2200221x y a b -=，即2222002()b y x a a=-，所以22b m n a⋅=-，则2222212ln ||ln ||ln 2||2b a b a a b m n a b mn a b b a ++++=+++b a =则222221ln ln 22b a a b x a b b a x+++=++，考查函数1()ln 2f x x x=+，由21)(21)'()2x f x x -=，知1(0,)2x ∈时()f x 单调递减，1(,)2x ∈+∞时()f x 单调递减，所以当12x =时，()f x 取得唯一极小值即为最小值，此时2212b a =，所以2e ==二、填空题13. 20 14.2316. 12a << 16.详解：由22222,2cos b a ac a c b ac B -=+-=⋅得2cos c a a B =+⋅，则sin sin 2sin cos C A A B =+⋅，所以sin()sin 2sin cos A B A A B +=+⋅，可化为sin()sin B A A -=， 则2B A =，又ABC ∆为锐角三角形，所以(,)64A ππ∈，又sin sin b aB A=，所以2cos b a A =，则222224cos 2b a a A a a -=-=，所以222123cos 244a a A a +<=<， 解得12a <<三、解答题17.解：（1）由2121n n n a a a ++=-+，得211()()1n n n n a a a a +++---=，即11n n b b +-=，所以{}n b 为等差数列，且1(1)13n b b n n =+-⨯=+······················5(分) （2）因为111tan tan tan()tan11tan tan n nn n n nb b b b b b +++--==+，··················8(分)所以1tan(4)tan(3)tan tan 1tan1n n n n n c b b ++-+=⋅=-， 则tan(4)tan 4tan1n n S n +-=-·······12(分)18.解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 ····················2(分) （2）由茎叶图可知，满意度为“极满意”的人有4人。