高数函数的极限连续习题精选及答案
函数极限与连续习题(含答案)之欧阳地创编
基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。
函数的极限与连续训练题1、 已知四个命题：（1）若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x x →点必有极限（2）若)(x f 在0x x →点有极限，则)(x f 在0x 点必连续（3）若)(x f 在0x x →点无极限，则)(x f 在0x x =点一定不连续（4）若)(x f 在0x x =点不连续，则)(x f 在0x x →点一定无极限。
其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3D 、42、若a x f x x =→)(lim 0，则下列说法正确的是（ C ）A 、)(x f 在0x x =处有意义B 、a x f =)(0C 、)(x f 在0x x =处可以无意义D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x3、下列命题错误的是（ D ）A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00x f x f x x =→4、已知x x f 1)(=，则x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、1lim 0=→x x x B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x xx6、51lim 21=-++→x b ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ）A 、67和-B 、67-和C 、67--和D 、67和7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3)(32lim3--→x x f x x 的值是（ C ） A 、4- B 、0 C 、8D 、不存在8、=--→33lim a x ax a x （ D ）A 、0B 、1C 、32a D 、323a 9、当定义=-)1(f 2时，x x x f +-=11)(2在1-=x 处是连续的。
（完整版）高职专升本第一章函数极限与连续习题及答案
（完整版）高职专升本第一章函数极限与连续习题及答案高等数学习题集第一章函数极限与连续一.选择题1．若函数)(x f 的定义域为[0,1]，则函数)(ln x f 的定义域是（ B ）。
A [0,1]B [1,e]C [0,e]D (1,e)2．设xx f 11)(+=，则)]([x f f =（ A ）。
(2002-03电大试题) A.x x ++11 B.x x +1 C.x ++111 D.x+11。
3．设)(x f =e 2x ，则函数)()()(x f x f x F -+=是（ B ）。
A 奇函数；B 偶函数；C 既是奇函数又是偶函数；D 非奇非偶函数。
4．下列说法错误的是（ D ）。
A y=2x 与y=|x|表示同一函数；B x x f 3sin 21)(=是有界函数； C x x x f +=cos )(不是周期函数； D 12+=x y 在(－∞,＋∞)内是单调函数。
5．下列函数中非奇非偶的函数是（ D ）。
A ||lg )(x x f =；B 2)(xx e e x f --=； C x x x f sin )(+=； D ||)(x x x f -=。
6．下列函数中（ A ）是基本初等函数。
A x x f 2=)(；B x x f 2=)(；C 2)(+=x x f ；D x x x f +=2)(。
7．函数（ A ）是初等函数： A x x y arccos 12-=；B =≠--=.1,0,1,112x x x x y C xx y ln )ln(-=；D ΛΛ+++++=+12421n y 8．“数列{x n }的极限存在”是“数列{x n }有界”的（ A ）。
A 充分但非必要条件；B 必要但非充分条件；C 充分必要条件；D 既非充分亦非必要条件。
9．∞→x lim 5x 的值是（ D ）。
A +∞； B -∞； C 0； D 不存在。
10．+∞→x lim e -x 的值是（ A ）。
【优化方案】届高考数学函数的极限与连续课时闯关(含答案解析)
♦课时闯关•\2— 9 c_ , x v 3,1. (2012高考四川卷)函数f(x) =S x—3Jn(x—2 , x>3A .不存在B .等于6C.等于3 D .等于0・x2—9解析：选A. -.f(x)=」,x<3, x —3、选择题x> 3, 在x= 3处的极限( ).In x —2 ,••lijm/x) = li x j p —(x+ 3) = 6,lix 见 +f(x)= li x^m+W - 2)= °. ■-f(x)在x= 3处左右极限不相等，••f(x)在x= 3处的极限不存在.a+ log2x,x> 2,2.已知函数f(x) = x2—4 门,x<2x—2 在点x= 2处连续，则常数a的值是( )A. 2C. 42x —4解析：选B.:呵f(x)= li玛x 2 x x—2(x+ 2) = 4, f(2) = a+ log22= a + 1,由函数的连续性定义知f(2) = l x n j f(x)= 4,可得a = 3.3.解析：选D.A项在x= 0处无定义，B项在x= 0处左右极限不相等，C项中在x= 0处且左右极限相等，但极限不等于f(0)，故选D.有定义,4.a b -+ -2_x, x>0xx + x在R上连续，则a—b = (2013成都市八校调研)已知函数f(x)=上+ 1, x w 0( )A.C.解析：选A. x lim —f(x) = x ljrp_ (x+ 1) = 1,所以a b ax+ a+ b阳x+x2+ x = 7m+ "7^=1,a +b = 0,则勺 解得a = 1, b =— 1, a — b = 2,故选 A.a = 1,£(a b \5•若X m 1 1—x — 1—x 2 = 1，则常数a 、b 的值为( ) B • a = 2, b =— 4D • a = 2, b = 4 为ax + a — b = 0的根，求得 b = 2a , b =— 4,故选 C.二、填空题2x , x > 16.已知函数f(x)=f (c € R )，则“函数f(x)在R 上连续x — c , x<1上递增”的 __________ 条件.解析：若函数在R上连续，则有J im ^ 2x = 2=丿卯―(x — c)= 1 — c ,即 c =— 1,|2x , x > 1 ,此时f(x)=x + 1, x<1.如图所示，显然f(x)为增函数.但反之不成立，如 c = 0,此时函数为单增函数，但不是连续函数. 答案：充分而不必要2 x + Ax + B7.若』四1 ~x 2— 1 = 3,则直线 Ax + By + C = 0的倾斜角为2 x + Ax + B 2解析：由于x T 1 —2 ----------- = 3,贝y 1是x 2+ Ax + B = 0的一个根,x 2— 1A — 1，代入原式得A • a = — 2, C • a = — 2, b =— 4解析：选C. Q — x 1 —?j=X 凹 ax + a — b 2 = 1,11 — x再代入得丿四 ax + a — b ax —1 — x2 lim X T 1 1 — x 21qa = 1, a = — 2,是“函数 f(x)在R 1 + A + B = 0, B =—2x + Ax + B =lim X T 1 x + 1 + Ax + 1 =3, A =4, B =— 5,则直线 Ax + By + C = 0 的倾斜角为arctan4.5答案：arcta ng5sin 'x — 2sin 2x + 1 2 2 x — 2sin x + 1 sin x — sin x — 1 sin x — 1 =limsin x — 1 n x T- 22 2r —ax —1 2 =linn 1 ------ -----------= 0, /.1 — a 2= 0./a = ±1,x — 1 + ax解：丁鼎(2x + 3) = x l^ (2x + 3) = 3, 又f(0) = a , f(x)在点x = 0处连续, 2 3n + 1 即 a = 3,故 l im^n 3 n + n x&— x 解：lim ------------= lim xr x — 1 x n 1 x x — 110. a 为常数，若nm x = 1 &+1 2 (x 2—1 — ax)= 0,求 a 的值.2 . 2 2x — 1 — a x- - =lim X — 1 • x + 1 x n 1 解：••匹(- x 2- 1 — ax)= Jim —2 4 M x — 1 + ax值. 但 a = — 1 时，分母 T 0,「a = 1. 2x + 3 当X M 0时 i V 丿，在点x = 0处连续, a 当x = 0时11. (探究选做)已知函数f(x) = 求lim an 2 + 1 a 2n 2 + n 8.lim n x n _ 2 sin x解析： sin lim =lim n x n - 2 (sin 2x — n x n - 2 答—1 sin x — 1sin x — 1)=— 1.•••则f(x)=f(0), 3= 19= 3.—1三、解答题 9•求i x m 1 x x 2亍的值.。
《高等数学一》极限与连续历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)
第二章极限与连续［单选题］1、若x T 0时，函数f（x）为x2的高阶无穷小量，则=^0^=（）A 0!B、二C、1D> oo【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.lim^^ = 0根据高阶无穷小的定义，有z，P［单选题］2、/优+0）与九-0）都存在是j①函数在，一4点处有极限的（A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】pT'时.J8 极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若f④函数在工■ %点处有极限，则必有〃%+。
）与/偏都存在 .但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限. ［单选题］3、hm（护］^一加二（）.TA、2B、1C、400D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】「/ n 、r 丹+ 同一界「n 1附+n-n\ -lim , ——= lim-, ——=-1。
…值“ +竹…必二十桂2［单选题］4、k如果limx灯口一二5,则上二().TT0 XA、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】上笈口_lim ^sin - = ilim ―^-=±=* 二5、S X界T9 上根据重要极限，工［单选题］.4 9 - k - 2 lim — =…2工+2工+3 ().A 、0B 、00C 、2D 、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】 您未答题【答案解析】分子分母同除以X 2,即 ［单选题］6、lim(-)=W1 i-l 工一工 ().A 、0B 、00C 、2D 、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】 您未答题hm ( -- - ——) - lim --- = hm --- : ----- = lim (A + 1) = 2［答案解析］2工一1工一工 11武1一1) 亡 乳工一D “1 ［单选题］7、产.+4)-/⑴二 元+20 x = _2 网/⑴=设 〔5 x -」 ，则 »+ (). 4x a -x-2 i 可 x / 4 4,lim —s ---- = lim -- 77—k — —— 2,221+3 2 3 2TA、2B、2C、+ooD、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题「sin（2x + 4）sin（2z+4）lim /（ij = lim----- = 2 lim -------- = 2 【答案解析】1+口+ 工+2 芥T-N+21+4［单选题］8、当」时,与曲）£_等价的无穷小量是（）.A、以B、?C、sm3x+xD、ln（l+刈【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】1sin x1［由于E / 一’故sinx3与d等价，推广，当/gTO时，［单选题］9、XT O时，与等价的无穷小量是（）.A、FB、工C 、tD 、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 【您的答案】 【答案解析1 □in ! - 1 -2s H A-2工 ，故。
【条件】函数极限与连续习题加答案供参考
【关键字】条件第一章函数、极限与连续第一讲：函数一、是非题1．与相同；（）2.是奇函数；（）3.凡是分段表示的函数都不是初等函数；（）4. 是偶函数；（）5.两个单调增函数之和仍为单调增函数；（）6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；（）7.复合函数的定义域即的定义域；（）8.在内处处有定义，则在内一定有界。
（）2、填空题1.函数与其反函数的图形关于对称；2.若的定义域是，则的定义域是；3.的反函数是；4.，，则＝，＝；5.是由简单函数和复合而成；6.，，则＝，，。
三、选择题1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（）A、B、C、D、2.设，若，则应为（）A、1B、－1C、2D、－23.是（）A、有界函数B、周期函数C、奇函数D、偶函数四、计算下列各题1.求定义域2.求下列函数的定义域(1) (2)(3) (4)3.设，，求；4.判断下列函数的奇偶性(1) (2)(3) (4)5.写出下列函数的复合过程 (1) (2)(3) (4) 6.设求，，，并作出函数的图形。
第二讲：极限概念一、是非题1.在数列中任意去掉或增加有限项，不影响的极限； （ ）2.若数列的极限存在，则的极限必存在； （ ）3.若数列和都发散，则数列也发散； （ ）4.若，则必有或。
（ ）5.若，则； （ ）6.已知不存在，但有可能存在； （ ）7.若与都存在，则必存在； （ ）8.； （ ）9. ； （ ）10.非常小的数是无穷小； （ ） 11.零是无穷小； （ ） 12.无限变小的变量称为无穷小； （ ） 13.无限个无穷小的和还是无穷小。
（ ） 二、填空题1. ______________)1(lim =-+∞→n n n ；2. ______________2sinlim =∞→nn n π； 3. ______________])1(4[lim 2=-+∞→nn n ； 4. ______________31lim =∞→n n ； 5.______________)12(lim 1=-→x x ； 6. ______________11lim2=+∞→x x ；7. ___________cos lim 0=→x x ，___________cos lim =∞→x x ；8.设⎩⎨⎧+=,,)(b ax e x f x 0>≤x x ，则(0)_________,(0)_________f f +-==，当_____=b 时，1)(lim 0=→x f x 。
极限的连续练习题
极限的连续练习题一、简答题1. 什么是极限？2. 极限存在的必要条件是什么？3. 介绍一下极限运算的性质。
二、求极限1. 计算以下极限：(a) lim(x->0) (sinx)/x(b) lim(x->∞) (1 + 1/x)^x(c) lim(x->1) [(x + 1)/(x - 1)]^[(x-2)/(x+3)]2. 计算以下极限（涉及函数的极限运算法则）：(a) lim(x->∞) (2x^3 + 3x^2 - 5x + 1)/(x^3 - 1)(b) lim(x->1) [f(x)g(x)]/[f'(x)g'(x)](c) lim(x->∞) [(x^2 + 1)^(1/x) - 1]三、求函数的连续性1. 判断以下函数在给定点处是否连续，并阐述理由：(a) f(x) = 2x^2 - 3x + 1, x=2(b) g(x) = sqrt(x), x=0(c) h(x) = (e^x - 1)/(x - 1), x=12. 计算以下函数的间断点和可去间断点：(a) f(x) = (x^2 - 4)/(x + 2)(b) g(x) = |x|(c) h(x) = (x - 1)/(x - 1)四、极限与导数的关系1. 计算以下函数的导数并求导数在给定点处的极限：(a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1, x=2(b) g(x) = (x^2 - 9)/(x + 3), x=-3(c) h(x) = (lnx)/x, x=12. 说明以下结论的正确性，并给出相应的例子：(a) 函数在某点处可导，则该点处的极限存在。
(b) 函数在某点处极限存在，则该点处可导。
五、综合题1. 设函数f(x)在点x=a和x=b处连续，且在(a,b)内可导。
证明存在c∈(a,b)，使得f'(c)=[f(b) - f(a)]/(b - a)。
2. 已知曲线y=f(x)和y=g(x)在点x=0处的切线相同，且f'(0)≠g'(0)。
高二数学函数极限练习题及答案
高二数学函数极限练习题及答案一、选择题1. 若函数f(x) = 2x³ + ax² + 4x + b，对于x的取值范围，使得f(x)存在极限，则a和b的关系是（）A. a = 2bB. a = -2bC. a = -4bD. a = 4b2. 已知函数g(x) = (x - a) / (x + a)，若lim(x→∞) g(x)存在，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a ≠ 0C. a < 0D. a = 03. 已知函数h(x) = sin(x) / x，若lim(x→0) h(x)存在，则函数h(x)在x = 0处的连续性是（）A. 连续B. 不连续C. 可导但不连续D. 半连续二、判断题1. 对于函数f(x) = √(x² + 1) - √(x² - 1)，当x趋向于正无穷时，f(x)的极限不存在。
（）2. 设函数g(x)在点x = a处连续，则必定在点x = a处存在极限。
（）3. 若lim(x→0) f(x) = lim(x→0) g(x) = 1，则lim(x→0) (f(x) + g(x)) = 2。
三、计算题1. 计算lim(x→0) (sin(3x) / x)。
2. 设函数f(x) = x² - 4x + 3，求f(x)在x = 2处的极限。
3. 若函数g(x)满足lim(x→2) g(x) = 5和lim(x→2) [f(x) - g(x)] = 3，求lim(x→2) f(x)。
四、应用题1. 某物体的运动距离s(t)与时间t的函数关系为s(t) = 2t² - 3t + 1，其中t表示时间（s），s表示距离（m）。
求物体在t = 2s时的瞬时速度。
2. 一块圆形薄片的直径随时间的变化关系为d(t) = t² - 2t + 3，其中t表示时间（s），d表示直径（cm）。
求薄片在t = 3s时的瞬时变化率。
河南专升本高数教材(云飞)版第一章函数极限连续课后习题答案
河南专升本（云飞）版高数教材课后习题答案第一章 函数 极限 连续同步练习一一、 选择题 1、 答案：C解：偶次根号下不能取负值，又在分母上，不能为0，可有012>-x ；反三角函数的定义域是[]1,1-，可得1121≤-≤-x.解这个题目只需解不等式组 210011112x x x⎧->⎪⇒≤<⎨-≤-≤⎪⎩，因此选C. 2、 答案：D解：函数相同要求定义域和对应法则都相同. A 中的对应法则不同，x 表示任意实数，而2x 则只是正实数；B 、C 定义域不同. D 只是一个函数的两种不同表达形式. 3、 答案：D解：三角函数都是周期函数，所以A 、C 一定是周期函数，对于B 有22cos 1sin 2xx y -==，显然是周期函数. 4、 答案：D解：求一函数的反函数就是反解出x 即可.对于本题就是由dcx bax y --=解得a cy b dy x --=，再将x ，y 互换即可. 5、 答案：B解：首先反三角函数的定义域是[]1,1-，因此121≤+≤-u ，可得13-≤≤-u ，即123-≤-≤-x ，从而可知x 的取值范围是[]1,1-.二、 填空题 6、 答案：[]πe,1解：)(x f 的定义域是[]π,0，即π≤≤x 0，那么对)(ln x f 来说，有π≤≤x ln 0，由此可解得x 的范围是[]πe,1.7、 答案：x x 22-解：由题目中)1(2)1(34)1(222242+++=++=+x x x x x f ，可知函数t t t f 2)(2+=.再用2-x 来替换t ，即x x x x x f 2)2(2)2()2(22-=-+-=-就可得到结果了. 8、 答案：21x x+ 解：要求)(x f 的表达式，可令x t 1=，即t x 1=.由21)1(xx x f +=可知21)(t t t f +=，所以)(x f =21x x+. 9、 答案：x解：本题已知)(x f 的表达式，求)1(xf 得表达式.所以只需把函数式中的自变量x 换成x1即可.10、答案：π解：正弦函数的周期是π2，x x f sin )(=则是将正弦函数图像中在x 轴以下的部分翻到上面去，具体图形如下由图可知，其周期是π.11、解：()f x 在真数的位置，故有()0f x >，又ln ()f x 在分母上，故ln ()0f x ≠.由此可解得()0f x >且()1f x ≠. 12、答案：11(3)2x y e -=- 解：求反函数就是将原函数中的x 反解出来.由111ln(23)ln(23)1(3)2y y x x y x e -=++⇒+=-⇒=-，再将x 和y 互换位置即可.三、解答题13、求下列函数的定义域.（1）解：由题意可知：cos 0x >；从而解得(2,2)(0,1,2,)22x k k k ππππ∈-+=±±， 所以该函数的定义域就是(2,2)(0,1,2,)22k k k ππππ-+=±±.（2）解：由题意可知：10ln(1)010x x x -≠⎧⎪+≥⎨⎪+>⎩；从而解得)()0,11,x ∈⋃+∞⎡⎣，所以该函数的定义域是)()0,11,⋃+∞⎡⎣.（3）解：由题意可知：2302113x x ⎧-≥⎪⎨--≤≤⎪⎩；从而解得x ⎡∈-⎣，所以该函数的定义域就是⎡-⎣.（4）解：由题意可知：sin 010110x x x x ≥⎧⎪+⎪>⎨-⎪-≠⎪⎩；从而解得)0,1x ∈⎡⎣， 所以该函数的定义域就是)0,1⎡⎣.14、解：因为()f x 的定义域是[]0,1，所以对2()f x 来说就有201x ≤≤，解得有11x -≤≤；对(cos )f x 来说就有0cos 1x ≤≤，解得有[2,2(0,1,2,)22x k k k ππππ⎤∈-+=±±⎥⎦. 所以2()f x 的定义域就是[]1,1-，(cos )f x 的定义域是[2,2(0,1,2,)22k k k ππππ⎤-+=±±⎥⎦.15、解：(1)xf e +的定义域是[]1,1-，也就是说11x -≤≤，从而有1111x e e e -+≤+≤+，所以()f x 的定义域就是11,1e e -⎡⎤++⎣⎦.16、解：因为2()1f x x x =-+，所以2()12f x x x +=-+，所以[]222)1(2)(2)1f f x x x x x +=-+--++（，整理后也就是 []22)1(2)(1)1f f x x x x x +=-+-++（.17、解：令1t x =，即1x t =，则222221111()()(1)11t f f t x t t t t ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥===⎢⎥+⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以221()(1)f x x x =+. 18、解：当0x ≤时，()xf x e =，所以11(1)f e e--==，0(0)1f e ==； 当0x π<≤时，()f x x π=，所以(2)2f π=，()f e e π=； 当x π>时，()ln f x x =，所以(2)ln(2)f ππ=. 19、证明：()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，其定义域都是D ，则对任意的x D ∈，都有()()f x f x -=-，()()g x g x -=.∴()()()()f x g x f x g x --=-，也就是说()()f x g x 在定义域内是奇函数. 20、解：因为()f x 是(),-∞+∞内的奇函数，所以对任意的(),x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-.从而有()(22)()(22)()()xx x x F x f x f x F x ---=+-=-+=-，所以可知()F x 在(),-∞+∞内是奇函数.21、解：当1x -∞<<时，()f x x =对应的反函数是x y =，此时1y -∞<<； 当14x ≤≤时，2()f x x =对应的反函数是x =，此时有116y ≤≤；当4x <<+∞，()2x f x =对应的反函数是ln ln 2yx =，此时有16y <<+∞. 所以()f x的反函数就是1,1()16ln ,16ln 2x x f x x x x -⎧-∞<<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪<<+∞⎩.22、将下列复合函数分解成几个简单函数或者基本初等函数. （1）解：32arcsin ,,1y u u v v x ===-. （2）解：2lg ,2y u v v w x x ====+. 23、解：设圆锥的底半径是R ，高是h. 由题意可知：313V R h π=，所以有R =，根据实际情况，可知该函数的定义域是()0,+∞.同步练习二一、选择题 1、 答案：D解：当0x →时，21x →，1sin x 不存在（即∞→x 1），sin 1x x→，()31sin 0x x x +→，无穷小量乘以有界变量极限是0. 2、 答案：C解：当1x →时，101x x -→+，21121x x x -=+→-，11x x +→∞-， e eeexxxx x x x x x x x ====→→--→-→1limln 11limln 11111111lim lim .3、答案：B解：当0x →时，x cos 1-与2x 等价，又因为 ∞==→→21022301lim lim x x x x x ，由定义可知23x 是比2x 低阶的无穷小量，即0x →时，23x 是比x cos 1-低阶的无穷小量. 4、答案：C解：无论x 取何值，函数x sin 、x 1sin 都是有界函数，当0x →时，x x sin 、x x 1sin 都是无穷小量乘以有界变量还是无穷小量，x1显然是无穷大量，A 、B 、D 都正确.5、答案：D解：本题考查两个重要极限中的一个，有e xx x =+∞→)11(lim 和e x x x =+→10)1(lim 这两种形式，通过对照可知答案是D.二、填空题 6、答案：0解：223225252sin lim (2sin )lim lim()2001x x x x x xx x x x x x→∞→∞→∞+++=⋅+=⋅=++. 7、答案：5,2==a m解：由题上已知的极限可知，当∞→x 时，1432++x x 与2++x ax m 是同阶无穷小，故可知2=m ，又53321143lim 2143lim 2222==++++=++++∞→∞→a x xa x x x ax x x x x ，可知5=a . 8、答案：6解：由题意知：13)(lim 3)(lim==∞→∞→x xf xx f x x ，即3)(lim =∞→x xf x ，所以可知6)(2lim =∞→x xf x . 9、答案：βα 解：βαβαααβα=⋅=→→x x x x x x sin lim sin lim00.10、答案：ab e解：ab xad ab axx xadab a x x d bx x e x a xax a x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=++∞→+⋅∞→+∞→∞→)(lim )()1(lim )1(lim )1(lim .11、答案：x解：利用重要极限中的第一个，x x x xx xnn n n n n n nn =⋅==∞→∞→∞→22sinlim 212sinlim 2sin2lim .12、答案：同阶非等价解：当0→x 时，1-xe 与x 等价，故1lim 1lim 220202-=-=-→-→x x x e x x x ，所以12--x e 与2x 是同阶非等价的无穷小量.三、计算题13、求下列极限.（1）解：2121222lim 12222lim 33233=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n . （2）解：21)32(32lim 3)2(332lim =-⋅+=-⋅+⋅∞→∞→nn n n n n .（3）解：212lim 2)1(lim ...21lim 2222=+=+=+++∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （4）解：22lim 2lim 211)211(2121...4121==--∞→+++∞→n n n n .（5）解：)121121...5131311(lim )12)(12(1...531311(lim +--++-+-=++++⋅+⋅∞→∞→n n n n n n 1)1211(lim =--=∞→n n . （6）解：111sin lim1sinlim==∞→∞→nn nn n n .（7）解：34)3234(lim )3234(324)311(lim )311(lim e e nn nn n n n n n ==+=+--⋅∞→-∞→∞→. （8）解：523)1(lim )2)(3()1)(2(lim 623lim 222232-=-+=+-++=--++-→-→-→x x x x x x x x x x x x x x x x .（9）解：)1)(1()1)(2(lim 131lim )1311(lim 2132131++--+=--++=---→→→x x x x x x x x x x x x x 112lim21-=++--=→x x x x .（10）解：1)sin(lim sin lim =--=-→→xx x x x x πππππ.（11）解：)13)(1()13)(13(lim 113lim2121x x x x x x x x x x x x ++--++-+--=----→→ 42)13)(1(2lim)13)(1()1(2lim121-=++-+-=++---=→→x x x x x x x x x . （12）解：e x e x x x x x x x x =++⋅=++=++∞→++∞→+∞→2525)21(3)1221(lim )1221(lim )1232(lim . （13）解：[]33sec 2sec 32)cos 1(lim )cos 1(lim e x x xx xx =+=+→→ππ.（14）解：1ln )1(lim ln )1ln(lim )1ln(lim 10100==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+→→→e x x x x x x x x x ααα.（15）解：111)111(111lim )1(lim ----∞→∞→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+e x x x x x x x x .（16）解：[]1)11ln(lim )11ln(lim 1lnlim ln )1ln(lim =+=+=+=-+∞→∞→∞→∞→n n n n n nn n n n n n n n . （17）解：)93()93)(93(limsin 93lim 22220220x x x x x x x x -+-+--=--→→61931lim 20=-+=→x x . （18）解：2132421lim 32421)(lim 3242lim222-=+++-=+++-=+++-∞→-∞→-∞→xxx x x x x x x x x x x . （19）解：255sin lim 533sin lim 35sin lim 3sin lim 5sin 3sin lim00000-=-=-=-→→→→→xxx x x x x x x x x x x x x x .（20）解：111lim1ln limln 11111111lim lim -----→-→====→→e eeexxx xx x xx xx x x .14、解：因为x xx tt t t e t x t x x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=∞→∞→)1(lim )1(lim )()0(≠x ，所以2)2(ln 2ln ==e f .15、解：当0→x 时，2221~11ax ax -+，x x ~sin ，所以12121lim sin 11lim 220220===-+→→a xax x ax x x ，即得2=a . 16、解：由题中极限32lim22=-+-→x ax x x 可知，a x x +-2和2-x 是同阶无穷小量，即当2→x 时，都是无穷小量，故有0)(lim 22=+-→a x x x ，所以可以解得2-=a .17、解：极限值是b ，可知当1-→x 时，423+--x ax x 与1+x 是同阶无穷小量，即有0)4(lim 231=+---→x ax x x ，故得4=a .又b x x x x x x x x x x x x x ==--=+-+-=++---→-→-→10)4)(1(lim 1)4)(1)(1(lim 144lim 11231，即得10=b .18、解：当-→1x 时，+∞→-x 11，从而有211arctan π→-x ；当+→1x 时，-∞→-x11，从而有211arctanπ-→-x .也就是说，2)(lim 1π=-→x f x ，2)(lim 1π-=+→x f x .19、解：当-→1x 时，11)(2--=x x x f ，所以2)1(lim 11lim )(lim 1211=+=--=---→→→x x x x f x x x ； 当+→1x 时，1)1sin()(--=x x x f ，所以有11)1sin(lim )(lim 11=--=++→→x x x f x x .同步训练三一、选择题1、 答案：A解：)(x f 在0x x =处连续需满足三个条件：在0x x =处有定义；)(x f 在0x x =处极限存在；)(x f 在0x x =处的极限值等于该点处得函数值.显然可知)(lim 0x f x x →存在是)(x f 在0x x =处连续的必要而非充分条件.2、 答案：A解：显然0=x 不在函数的定义域内，故一定是间断点.又01sinlim )(lim 0==→→xx x f x x ，也即满足左右极限存在且相等，对照定义可知0=x 是)(x f 的可去间断点. 二、填空题3、 答案：充分必要解：)(x f 在0x x =处连续需满足三个条件：在0x x =处有定义；)(x f 在0x x =处极限存在；)(x f 在0x x =处的极限值等于该点处得函数值.)(0x f 存在就表明)(x f 在0x x =处有定义，等式)()(lim 00x f x f x x =→成立又满足后两条，所以是充分必要条件.4、 答案：a ，一，跳跃解：对已知的函数没有定义的点是a x =，1lim )(lim =--=++→→ax ax x f ax ax ，而 1lim )(lim -=--=--→→ax ax x f ax ax ，显然)(lim )(lim x f x f a x a x -+→→≠，所以由定义可知a x =是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.5、 答案：一，可去解：1cos 1lim sin lim tan lim)(lim 0000=⋅==→→→→xx x x x x f x x x x .6、 答案：一解：0)(lim 1sin lim )(lim 00=≠==-++→→→x f xxx f x x x ，由定义可知0=x 是)(x f 的第一类间断点.7、答案：](1,-∞-，)[∞+,3 解：32)(2--=x x x f 的定义域是]()[∞+⋃-∞-,31,，又该函数是初等函数复合成的，所以在定义域内是连续的，因此连续区间就是](1,-∞-，)[∞+,3. 8、答案：31 解：)(x f 在0=x 处连续，所以有31)(sin lim sin lim)(lim 000=====→→→x f a ax ax a x ax x f x x x ，所以31=a .9、答案：2解：函数)(x f 在0=x 处连续，所以有22sin lim )(lim )23(lim )(lim 020====+-=--++→→→→xxx f k k x x x f x x x x ，所以2=k . 10、答案：-2解：函数)(x f 在1=x 处连续，因此有a x a x f x x f x x x x -=====--++→→→→πcos lim )(lim 22lim )(lim 1111，所以2-=a .11、答案：2ba =解：函数)(x f 在0=x 处连续，所以有22sin lim )(lim )(lim )(lim 020b x bx x f a bx a x f x x x x ====+=++--→→→→，因此可得到关系式2ba =. 三、解答题12、解：函数)(x f 在0=x 处连续，所以0lim )(lim )0(210===-→→x x x ex f f .13、解：由题意可知，需构造一个分段函数)(x F ，使其在0≠x 时的表达式就是222)31ln()(x x x f +=.6ln )31(lim ln )31ln(lim )(lim )(lim )0(66312022022==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+===→→→→e x x x f x F F x x xx x x .因此构造的连续函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,60,)31ln()(222x x x x F x .14、解：显然已知函数在每个分段区间内是连续的，关键是区间端点.先考虑点0=x 处，11lim )(lim 1)(lim 00=-===++-→→→x x f x f x x x ，)(x f 在该点处有定义且1)0(=f ，所以0=x 是)(x f 的连续点.再看点3=x ，13lim )(lim 21lim )(lim 3333==≠=-=++--→→→→xx f x x f x x x x ，所以3=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.因此，)(x f 在()()+∞⋃∞-,33,内连续，3=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.15、解：显然已知函数在每个分段区间内函数都是连续的，关键是区间端点.先考虑在点1-=x 处，3)3(lim )(lim 2)arcsin (lim )(lim 1111πππ=-=≠=-=--++-→-→-→-→x x f x x f x x x x ，所以1-=x 是函数)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.再看点0=x ，函数在该点处无定义，显然是间断点，并且x x f x x f x x x x ++--→→→→===-=0lim )(lim 0)arcsin (lim )(lim ，所以0=x 是函数)(x f 的第一类间断点，并且是可去间断点.因此可知)(x f 在()()()+∞⋃-⋃-∞-,00,11,上连续；1-=x 是函数)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点；0=x 是函数)(x f 的第一类间断点，并且是可去间断点. 16、解：因为)(x f 在()+∞∞-,内是连续的，所以在1=x 处也是连续的.1)(lim )(lim 2)1(1)(lim )(lim 21111+=+====-=-=++--→→→→a x a x f f b x b x f x x x x ，也就是解等式21=-b 和21=+a ，从而有1=a ，3=b . 17、求下列函数的间断点，并指出间断点的类型. （1）解：1-=x 是xxx f +=1)(的无定义点，又因为∞=+=-→-→x x x f x x 1lim )(lim 11，所以1-=x 是)(x f 的第二类间断点，并且是无穷间断点.（2）解： x x x f --=11)(2在1=x 处无定义，又因为2)1(lim 11lim)(lim 1211=+=--=→→→x xx x f x x x ，所以1=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是可去间断点. （3）解：1=x 是11arctan)(-=x x f 的无定义点，又因为 211arctan lim )(lim 211arctanlim )(lim 1111ππ-=-=≠=-=--++→→→→x x f x x f x x x x ，所以1=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.（4）解：21±=x 是142)(22-+=x x x x f 的无定义点，又因为 4112lim 142lim )(lim 21222121=-=-+=-→-→-→x x x x x x f x x x ，∞=-+=→→142lim )(lim 222121x x x x f x x ，所以21-=x 是第一类间断点，并且是可去间断点；21=x 是第二类间断点，并且是无穷间断点. 18、下列函数在0=x 处是否连续？ （1）解：)0(0lim )(lim 210f ex f x x x ===-→→，所以0=x 是)(x f 的连续点.（2）解：1sin lim sin lim 1sin lim sin lim )(lim 0000-=-=≠===--+++→→→→→xxx x x x xx x f x x x x x ，所以0=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.（3）解：xx x f x x x x f x x x x x sin lim )(1)1ln(lim )1ln(lim )(lim 01000+---→→→→===+=+=，所以0=x 是)(x f 的连续点. 19、求下列极限。
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1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a nn =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x8、 01sin lim lim 1sinlim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00l i m 1l i m00-=--→x x x ，=+→xx x 00lim 1lim 00=+→x xx ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭ ）； （３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x xx ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x x x --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()2211212112lim lim lim 1x x x b ab ab x b ab a →+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）．11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）．()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→xxx sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1s i nlim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x x x x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x ()[]1)1(11)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x kkx x kx x e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、lim sin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），l i ms i n (a r c c o t )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa ()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界 5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+.a ．1→xb ．01+→xc ．01-→x 6、设函数()x f xx sin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xxx x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
7、如果函数()x f 当0x x →时极限存在，则函数()x f 在0x 点（ c ） a ．有定义 b ．无定义 c ．不一定有定义∵()x f 当0x x →时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。
8、数列１，１，21，２，31，３，…，n1，n ，…当∞→n 时为（ c ） a ．无穷大 b ．无穷小 c ．发散但不是无穷大9、函数()x f 在0x 点有极限是函数()x f 在0x 点连续的（ b ）a ．充分条件b ．必要条件c ．充分必要条件 10、点0=x 是函数1arctanx的（ b ） a ．连续点 b ．第一类间断点 c ．第二类间断点 ∵001lim arctan2x x π→-=- 001lim arctan 2x x π→+=根据左右极限存在的点为第一类间断点。
11、点0=x 是函数x1sin的（ c ） a ．连续点 b ．第一类间断点 c ．第二类间断点 四、计算下列极限：1、()nn nn 31lim -+∞→ 解 ()31))1(3131(lim 31lim=-⋅+=-+∞→∞→n n n n n nn 2、0tan 3limsin 2x xx→解0t a n 3l i m s i n 2x x x →2323lim 0==→x x x （∵x x 2sin ,0→～2,tan3x x ～x 3） 3、⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+∞→x x x x x lim解：()x x x x x +--+∞→lim()()xx x x x x x x x x x x x ++-++-+--=+∞→limx x x x x x ++--=+∞→2lim111111lim2-=++--=+∞→xx x4、()n n n nn --++∞→221lim解 ()()()nn n n nn n nnn n nn nn n n n -+++-+++--++=--++∞→∞→22222222111lim1lim11111112lim112lim222=-++++=-++++=∞→∞→nn n nnn n n n n n5、xx x x x sin lim 2300+++→21sin 11lim sin 1lim sin lim 00002300=++=++=+++→+→+→xx x x x xx x x x x x x x 6、11sin lim2-+→x x x x)22211limx x x x x x →→→⋅⋅== )lim 12x →==7、11lim--→x x x()()()11l i m111l i m11l i m00=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x8、1lim 1--→x xx x()111lim 1lim11=--=--→→x x x x x x x x 9、30tan sin lim x x xx →-()23330001sin 1cos tan sin 112lim lim lim cos cos 2x x x x x x x x x x x x x x →→→⋅⋅--==⋅=∵（210,1cos 2x x x →- ,sin x )10、xx x 2cos 1lim0--→解 ()21221l i m2c o s 1l i m20000-==--→-→x x xx x x (∵x x cos 1,0-→～221x ) 11、1lim 1xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭解 121111lim lim 111xx x x x x e x x e e x -→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭12、⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x x x 11ln lim解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x 11ln lim 111lim ln 11ln lim =⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→xx x x x x 13、xx xx x cos cos lim+-∞→解 c o s 1c o s l i m l i m 1c o sc o s 1x x x x x x x x x x→∞→∞--==++ 14、⎪⎭⎫⎝⎛---→1112lim 21x x x解 2211121111lim lim lim 11112x x x x x x x x →→→-⎛⎫-==-=- ⎪---+⎝⎭15、limx →∞解l i l 1x x == 16、xxx cos 1sin lim 00-+→解0000s i nl i l i 2l i m 2x x x x x→+→+→+===17、()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅+⋅∞→11321211lim n n n 解 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅+⋅∞→11321211lim n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→1113121211lim n n n 1111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→n n。