高考文科数学一轮复习第九章立体几何第二节空间图形的基本关系与公理课件
Ppt课件立体几何
空间几何的计算问题
总结词
需要掌握常见的计算方法和技巧
详细描述
解决空间几何计算问题需要学生掌握常见的计算方法和技巧，如代数运算、三角 函数、平面几何等。学生需要了解这些方法的适用范围和运用技巧，以便在计算 过程中能够灵活运用，提高计算效率和准确性。
06
立体几何的发展趋势
立体几何与其他学科的交叉研究
归纳解题技巧
根据不同的题型，归纳出相应的 解题技巧，以便更快地找到解题
方法。
强化练习
通过大量的练习，可以更好地掌 握解题方法，提高解题效率。
05
立体几何的难点解析
空间几何的作图问题
总结词
空间想象能力要求高
详细描述
立体几何的作图问题需要学生具备较高的空间想象能力， 能够准确地将二维平面图形转化为三维空间图形。这需要 学生不断练习，提高自己的空间感知和想象能力。
曲面立体中，有些面是曲面，有 些面是平面。
曲面立体中，曲面之间可能相交 或平行，也可能呈弧形相切。
立体图形的对称性
立体图形具有对称性，即存在 一个或多个对称轴或对称中心 。
对称轴将立体图形分为两个或 多个相等的部分。
对称中心将立体图形旋转180 度后与原图重合。
03立体几何的应用Fra bibliotek立体几何的应用
空间几何体的性质
空间几何体具有对称性、 重心、表面积和体积等性 质。
点、线、面的关系
点与直线的关系
一个点在直线上，或者在 直线外。
点与平面的关系
一个点在平面上，或者在 平面外。
直线与平面的关系
直线在平面上，或者与平 面平行，或者与平面相交 。
空间几何的度量关系
01
02
03
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第二节 两条直线的位置关系
与距离有关的问题
典例突破
例4.(1)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:x+ny-3=0之间的距离是√5 ,
则m+n=(
)
A.0
C.-2
B.1
D.-1
(2)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则实数a的取值范围
为
.
答案 (1)A
解析
(2)[0,10]
1
(1)由两直线平行,得1
)
记 P 的轨迹为 E,则(
A.E 是一个半径为√5的圆
B.E 是一条与 l 相交的直线
C.E 上的点到 l 的距离均为√5
D.E 是两条平行直线
答案 (1)C
(2) C
解析(1)因为直线 x-y-m=0 与直线 mx+y-4=0 平行,所以
m≠0,且 1
=
1
-1
≠
-4
,解
-
得 m=-1,即两直线为直线 x-y+1=0 与直线 x-y+4=0,所以它们之间的距离为
式.
2 -1
提示
· = -1,
2 -1
1 +2
2
=
1 +2
·
+ .
2
常用结论
1.两种求直线方程的设法
(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线可设为Bx-Ay+m=0.
(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线可设为Ax+By+n=0.
2.六种常见的对称点
(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).
2020年高考数学大一轮复习第九章立体几何初步49平面的性质与空间直线的位置关系课件文
• AD变，如式B图D，，CAD∈共l，面B．∈l，C∈l，D∉l，求证：直线 • 【解答】因为D∉l，所以过(点变式D及) 直线l可确定一个平
面α .因为A∈l，B∈l，C∈l，所以A，B，C∈α ，所 以直线AD，BD，CD共面于α .
两平面交线的画法
• ABC例D3A如1B图1(C11)，D1在中棱，长M为，aN的分正别方是体AA1，D1C1的 中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相 交于直线l.
• 因为b∥c，所以过b，c可确定一个平面β.
(例2)
• 因为A∈a，B∈b，C∈c，且A，B，C∈l，
• 所以l⊂α，l⊂β，所以存在两条相交直线b，l既在α内
又在β内，所以由公理3及推论知α ，β必重合，
• 所以直线Biblioteka 与直线a，b，c共面．• 【精要点评】证明几条线共面的方法：①先由有关元 素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平 面内；②先由部分点线确定平面，再由其他点线确定
• 3. 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有 一个平面．
• 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只 有一个平面．
• 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
• 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
• 4. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互
相
．
平行
• 5. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边
• 【备考策略】
• 1. 由于立体几何知识点、定理和方法较多，所以复 习时主要从一条主线 “线线→线面→面面”进行梳 理和总结，即两个关系(平行与垂直)，其中包括三个 平行(线线平行、线面平行、面面平行)，三个垂直(线 线垂直、线面垂直、面面垂直)．
高三一轮复习7.2空间图形的基本关系与公理
3.两种判定方法 异面直线的判定方法 (1)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平 面内不经过该点的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可 能共面，从而可得两直线异面．
考点自测
1．下列命题是真命题的是 A．空间中不同三点确定一个平面 B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面 ( )．
公理1
公理2
若A、B、C三点不共 有且只有 一 线,则_________ 个平面α 使A∈α , B∈α ,C∈α
文字语言
如果两个不重合的 平面____________, 有一个公共点 那么它们_________ 有且只有 一条通过这个点的 公共直线
图形语言
符号语言
公理3
若A∈α ,A∈β , α ∩β =l且A∈l 则______________
有 公共点. ②相交平面：两个平面不重合，并且_____
2.空间中点、线、面之间关系
直线与直线 平行 关系 图形 符号 相交 图形 符号 独有 图形 a∩b＝A a∩α ＝A α ∩β ＝l a∥b a∥α α ∥β 直线与平面 平面与平面
关系
关系
符号
a，b是异面直线
a
α
3.空间图形的公理及等角定D
( )．
3．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为 A．0 B．1 C．0或1 D．1或3 答案 D
4．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为（ ）. A．60° 解析 答案 D B．120° C．30° D．60°或120°
由等角定理可知β＝60°或120°.
5．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二 条棱中共有异面直线________对．
高考数学一轮复习第九章解析几何2两条直线的位置关系课件新人教A版文
的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系
数之间的关系得出结论.
-17考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练1(1)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线l2为
为x=0,l1不平行于l2;
当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不平行
于l2;
当 a≠1,且 a≠0 时,两条直线的方程可化为
1
x-(a+1),
1-
1
- 2 = 1- ,
l1∥l2⇔
l2:y=
由
解得 a=-1.
-3 ≠ -( + 1),
综上可知,当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.
-1.( × )
|1 +|
(3)点 P(x1,y1)到直线 y=kx+b 的距离为
2
.( × )
1+
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距
离.(
)
(5)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2
为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.(
l1⊥l2⇔
.
-4知识梳理
双基自测
1
2
3
2.两条直线的交点
唯一解
无解
无穷多解
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
高三数学总复习 第五篇 第二节 空间图形的基本关系与公理课件 文科 新人教
5·
＝ 2
10
，选 C.
【答案】 C
3．(2009年宁夏、海南高考如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的 棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝ ，则下列结论 中错误的是( )
A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A－BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
【答案】 ①④⑤
1．有关空间基本性质的问题，常借助现实生活中的实物和 正方体这些模型，使抽象的思维形象化，降低思考的难度．
2．共面、共点、共线问题通过比较分析同类题目的特征及 思考方式，达到举一反三的效果．
3．结合题设条件，灵活地作出异面直线所成的角，是求异 面直线所成角的破冰之举，而忽略异面直线所成角的范围，是“ 会而不全”的具体表现．
公共点
有无数个 公共点
有且只有一个公 共点
没有 公共点
符号表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
4.两个平面的位置关系
位置关系
图示
表示法
公共点个数
5.平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ． 6．定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 ．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 •18 、 人 自 身 有 一 种 力 量 ， 用 许 多 方 式 按 照 本 人 意 愿 控 制 和 影 响 这 种 力 量 ， 一 旦 他 这 样 做 ， 就 会 影 响 到 对 他 的 教 育 和 对 他 发 生 作 用 的 环 境 。 2022/1/162022/1/16
高中数学第九章-立体几何
高中数学第九章-立体几何考试内容平面与其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理与其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角与其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求〔1〕掌握平面的基本性质,会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想像它们的位置关系．〔2〕掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理,掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离．〔3〕掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理与其逆定理．〔4〕掌握两个平面平行的判定定理和性质定理,掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．〔5〕会用反证法证明简单的问题．〔6〕了解多面体、凸多面体的概念,了解正多面体的概念．〔7〕了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图．〔8〕了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图．〔9〕了解球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积、体积公式．9〔B〕．直线、平面、简单几何体考试内容：平面与其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理与其逆定理．两个平面的位置关系．空间向量与其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角与其平面角．两个平面垂直的判定和性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求：〔1〕掌握平面的基本性质.会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系．〔2〕掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理与其逆定理．〔3〕理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘．〔4〕了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算．〔5〕掌握空间向量的数量积的定义与其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．〔6〕理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．〔7〕掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．〔8〕了解多面体、凸多面体的概念.了解正多面体的概念．〔9〕了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图．〔10〕了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质.会画正棱锥的直观图．〔11〕了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式．〔考生可在9〔A 〕和9〔B 〕中任选其一〕§09. 立体几何知识要点一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.〔①两个平面平行,②两个平面相交〕3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.〔①三条直线在一个平面内平行,②三条直线不在一个平面内平行〕[注]：三条直线可以确定三个平面,三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.〔X 、Y 、Z 三个方向〕二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.〔×〕〔可能两条直线平行,也可能是点和直线等〕 ②直线在平面外,指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面,a 平行于平面α,b 与α的关系是相交、平行、在平面α内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.〔×〕〔射影不一定只有直线,也可以是其他图形〕⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.〔×〕〔并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段〕 ⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段,若b a =,则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.〔不在任何一个平面内的两条直线〕3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等〔如下图〕. 〔二面角的取值X 围[) 180,0∈θ〕〔直线与直线所成角(] 90,0∈θ〕〔斜线与平面成角() 90,0∈θ〕〔直线与平面所成角[] 90,0∈θ〕〔向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角〔或直角〕相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交〔共面〕垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ,过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有,但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. 〔1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面〕三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.〔"线线平行,线面平行〞〕[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行,则a ∥α. 〔×〕〔平面外一条直线〕②直线a 与平面α内一条直线相交,则a 与平面α相交. 〔×〕〔平面外一条直线〕③若直线a 与平面α平行,则α内必存在无数条直线与a 平行. 〔√〕〔不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之〕④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. 〔×〕〔可能在此平面内〕⑤平行于同一直线的两个平面平行.〔×〕〔两个平面可能相交〕12方向相同12方向不相同⑥平行于同一个平面的两直线平行.〔×〕〔两直线可能相交或者异面〕⑦直线l 与平面α、β所成角相等,则α∥β.〔×〕〔α、β可能相交〕3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.〔"线面平行,线线平行〞〕4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α,a ⊥AO ,得a ⊥PO 〔三垂线定理〕, 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ,但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面.〔"线线垂直,线面垂直〞〕直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 推论：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.〔×〕〔可能相交,垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行〕 ②垂直于同一直线的两个平面平行.〔√〕〔一条直线垂直于平行的一个平面,必垂直于另一个平面〕③垂直于同一平面的两条直线平行.〔√〕5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.〔×〕]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,哪么这两个平面平行.〔"线面平行,面面平行〞〕推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行.〔"面面平行,线线平行〞〕4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.〔"线面垂直,面面垂直〞〕注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直,则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三平面.证明：如图,找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l , 因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=〔θ为锐角取加,θ为钝取减,综上,都取加则必有⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πθ〕 7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=〔1θ为最小角,如图〕⑵最小角定理的应用〔∠PBN 为最小角〕简记为：成角比交线夹角一半大,且又比交线夹角补角一半长,一定有4条.成角比交线夹角一半大,又比交线夹角补角小,一定有2条.成角比交线夹角一半大,又与交线夹角相等,一定有3条或者2条.P OA a 图1θθ1θ2图2P αβθM A B O成角比交线夹角一半小,又与交线夹角一半小,一定有1条或者没有.五、 棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =〔C 为底面周长,h 是高〕该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积：l C S 1=〔1C 是斜棱柱直截面周长,l 是斜棱柱的侧棱长〕该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}.{直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全．等的矩形．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. 〔×〕〔直棱柱不能保证底面是钜形可如图〕②〔直棱柱定义〕棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．,并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,,则1cos cos cos 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,,则2cos cos cos 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.〔×〕〔斜四面体的两个平行的平面可以为矩形〕②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.〔×〕〔应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行〕 ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.〔×〕〔只能推出对角线相等,推不出底面为矩形〕④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. 〔两条边可能相交,可能不相交,若两条边相交,则应是充要条件〕2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.〔不是等边三角形〕ii. 正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形〔即侧棱相等〕；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =〔底面周长为C ,斜高为'h 〕 ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =〔侧面与底面成的二面角为α〕 附： 以知c ⊥l ,b a =⋅αcos ,α为二面角b l a --.l abc则l a S ⋅=211①,b l S ⋅=212②,b a =⋅αcos ③⇒①②③得αcos 底侧S S =. 注：S 为任意多边形的面积〔可分别多个三角形的方法〕.⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等〔它叫做正棱锥的斜高〕. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球,球心0是各条棱的中垂面的交点,此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球,球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点,到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.〔×〕〔各个侧面的等腰三角形不知是否全等〕 ii. 若一个三角锥,两条对角线互相垂直,则第三对角线必然垂直.简证：A B ⊥CD,AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令b AC c AD a AB ===,, 得c a c b AD BC c AD a b AB AC BC -=⋅⇒=-=-=,,已知()()0,0=-⋅=-⋅c a b b c a0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC . iii. 空间四边形OABC 且四边长相等,则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等,则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取AC 中点'O ,则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等,则EFGH FG EF ⇒=为正方形.3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. ⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P.②经度：地球上B A ,两点的经度差,是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数,特别地,当经过点A 的经线是本初子午线时,这个二面角的度数就是B 点的经度.附：①圆柱体积：h r V 2π=〔r 为半径,h 为高〕②圆锥体积：h r V 231π=〔r 为半径,h 为高〕 ③锥形体积：Sh V 31=〔S 为底面积,h 为高〕 4. ①内切球：当四面体为正四面体时,设边长为a,a h 36=,243a S =底,243a S =侧 O rOR得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧ACD B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体,可如图建立关系式.六. 空间向量.1. 〔1〕共线向量：共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：①若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线.〔×〕 [当0=b 时,不成立] ②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.〔×〕 [可能异面] ③若a ∥b ,则存在小任一实数λ,使b a λ=.〔×〕[与0=b 不成立] ④若a 为非零向量,则00=⋅a .〔√〕[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]〔2〕共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ,a ∥b 的充要条件是存在实数λ〔具有唯一性〕,使b a λ=. 〔3〕共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内,则a 与α的关系是平行,记作a ∥α.〔4〕①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线,则向量P 与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．,则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ABC 四点共面的充要条件.〔简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面〕注：①②是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．,那么对空间任一向量P ,存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ,使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 OC z OB y OA x OP ++=<这里隐含x+y+z≠1>.注：设四面体ABCD 的三条棱,,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心,则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=3. 〔1〕空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴〔对应为横坐标〕,y 轴是纵轴〔对应为纵轴〕,z 轴是竖轴〔对应为竖坐标〕.①令a =<a 1,a 2,a 3>,),,(321b b b b =,则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥D B)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==<a a =⇒⋅=> ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.〔2〕法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作α⊥a ,如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.〔3〕用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图,设n 是平面α的法向量,AB 是平面α的一条射线,其中α∈A ,则点B 到平面α||n ②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量,则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小〔21,n n 方向相同,则为补角,21,n n 反方,则为其夹角〕.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α,α∈⋅∈⋅D C a B A ,,且CDE 三点不共线,则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.〔常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕,若μλ,不存在,则直线AB 与平面相交〕.II. 竞赛知识要点一、四面体.1. 对照平面几何中的三角形,我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点,这一点叫做此四面体的外接球的球心；②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点,这一点叫做此四面体的内接球的球心；③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点,这一点叫做此四面体的重心,且重心将每条连线分为3︰1； ④12个面角之和为720°,每个三面角中任两个之和大于另一个面角,且三个面角之和为180°.2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体,相当于平面几何的直角三角形. 〔在直角四面体中,记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径与侧面上的高〕,则有空间勾股定理：S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2△ACD.3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体,好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体,反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.〔在等腰四面体ABCD 中,记BC = AD =a,AC = BD = b,AB = CD = c,体积为V,外接球半径为R,内接球半径为r,高为h 〕,则有 ①等腰四面体的体积可表示为22231222222222c b a b a c a c b V -+⋅-+⋅-+=； ②等腰四面体的外接球半径可表示为22242c b a R ++=；③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等,且可表示为22232c b a m ++=； ④h = 4r.O A B CD二、空间正余弦定理.空间正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D 空间余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D立体几何知识要点一、知识提纲〔一〕空间的直线与平面⒈平面的基本性质⑴三个公理与公理三的三个推论和它们的用途．⑵斜二测画法．⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．⑴公理四〔平行线的传递性〕．等角定理．⑵异面直线的判定：判定定理、反证法．⑶异面直线所成的角：定义〔求法〕、X围．⒊直线和平面平行直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．⒋直线和平面垂直⑴直线和平面垂直：定义、判定定理．⑵三垂线定理与逆定理．5.平面和平面平行两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．6.平面和平面垂直互相垂直的平面与其判定定理、性质定理．〔二〕直线与平面的平行和垂直的证明思路〔见附图〕〔三〕夹角与距离7.直线和平面所成的角与二面角⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角．⑵二面角：①定义、X围、二面角的平面角、直二面角．②互相垂直的平面与其判定定理、性质定理．8.距离⑴点到平面的距离．⑵直线到与它平行平面的距离．⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线与其性质、公垂线段．〔四〕简单多面体与球9.棱柱与棱锥⑴多面体．⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法．10.多面体欧拉定理的发现⑴简单多面体的欧拉公式．⑵正多面体．11.球⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离．⑵球的体积公式和表面积公式．二、常用结论、方法和公式1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC,若∠AOB=∠AOC,则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角M －AB －N 中,AE ⊂ M,BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ,异面直线AE 与BF 所成的角为θ,则;cos cos cos 21θθθ=3.立平斜公式：如图,AB 和平面所成的角是1θ,AC 在平面内,BC 和AB 的射影BA 1成2θ,设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ； 4.异面直线所成角的求法：〔1〕平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线；〔2〕补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段与斜线段在平面上的射影.通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键；6.二面角的求法〔1〕定义法：直接在二面角的棱上取一点〔特殊点〕,分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性；〔2〕三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 〔3〕垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直；〔4〕射影法：利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小,此法不必在图形中画出平面角； 特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法〔尤其要考虑射影法〕.7.空间距离的求法〔1〕两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算； 〔2〕求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解；〔3〕求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为θ,则S 侧cos θ=S 底；9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα因此有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2;10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F －E=2；并且棱数E ＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；12.柱体的体积公式：柱体〔棱柱、圆柱〕的体积公式是V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.13.直棱柱的侧面积和全面积S 直棱柱侧= c <c 表示底面周长, 表示侧棱长> S 棱柱全=S 底+S 侧14．棱锥的体积:V 棱锥=Sh 31,其中S 是棱锥的底面积,h 是棱锥的高. BC AD A 1α。
高中数学复习第九章《直线、平面、简单几何体和空间向量》PPT课件(578页)
下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图
形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括 _正__视__图__、__侧__视__图__、_俯__视__图___．
4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本
步骤是：
(1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交 于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、y′轴， 两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平 行于 x 轴、y 轴的线段在直观图中平行于 x′轴、y′轴； 已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度_不__变__， 平行于 y 轴的线段，长度变为_原__来__的__一__半___． (2)画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于平面 xOy，在 直观图中对应的 z′轴，也垂直于平面 x′O′y′，已知图 形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z′轴且 长度__不__变___．
[知识体系]
理解以下判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行，那么该直线与此平面平行． 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都 平行，那么这两个平面平行． 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，那么该直线与此平面垂直． 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两 个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明之： 如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任 一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行． 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线互相平行． 垂直于同一个平面的两条直线平行． 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们 交线的直线与另一个平面垂直．
[解析] 由斜二测画法的规则知与 x′轴平行的线段其长度不变以及因为 O′A′＝a cm， 所以原图形中 OA＝O′A′＝a cm， 对角线 O′B′＝ 2a cm，则原图形中 OB＝2O′B′＝2 2 a cm ， 且 △OBC 为 直 角 三 角 形 ， 则 OC ＝
高考数学复习课件 9.1 空间几何题的结构特征及三视图和直观图 理 新人教版
二、空间几何体的三视图和直观图 1．空间几何体的三视图是_指__正__视__图_、_侧__视__图_、_俯__视__图_． 2．三视图的排列规则是_俯__视__图__放在正视图的下方，长度与 正视图一样， _侧__视__图__放在正视图的右面，高度与正视图一 样，宽度与俯视图的宽度一样．
3．三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从_正__前__方_、 _正__上__方__ 、 _正__左__方__观察同一个几何体，画出的空间几何体 的图形． 4．球的三视图都是圆，长方体的三视图都是_矩__形__． 5．圆柱的正视图、侧视图都是_全__等__的__矩__形_，俯视图是圆．
【案例 4】 面积为 3的等边三角形绕其一边中线旋转 所得圆锥的侧面积是________．
关键提示：先求出等边三角形的边长，再利用公式求 圆锥的侧面积．
解析：设等边三角形的边长为 l，则旋转所得的圆锥的
母线长为 l，底面圆的半径为2l ，如图 a，图 b.
因为 S ＝ 正三角形 3，所以 43l2＝ 3，即 l＝2.
13．理解直线的方向向量与平面的法向量． 14．能用向量语言表达直线与直线、直线与平面、平 面与平面的垂直、平行关系． 15．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一 些定理． 16．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平 面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几 何问题中的应用．
同侧时，所求距离为 52－32－ 52－42＝1；
异侧时，所求距离为 52－32＋ 52－42＝7.
答案：C
4．圆柱：以_矩__形__的一边所在的直线为旋转轴，其余三边 旋转形成的曲__面___所围成的几何体叫做圆柱． 5．圆锥：以_直__角__三__角__形__的_一__条__直__角__边__所在的直线为旋 转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆 锥． 6．圆台：用一个_平__行__于__圆锥底面的平面去截圆锥，底面 与截面之间的部分叫做圆台． 7．球：以_半__圆__的_直__径__所在直线为旋转轴，_半__圆__面__旋转 一周形成的几何体叫做球．
立体几何-空间图形的基本关系与公理1
空间图形的基本关系与公理研究对象：点、线、面的关系 三种语言：文字语言、符合语言、图形语言（看图说话）点线关系：点在线上、点在线外 点面关系：点在面上、点在面外 线线关系：平行、相交、异面线面关系：线面平行、线面相交、线在面内 面面关系：面面平行、面面相交公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：不共线的三点，可以确定一个平面。
推论1：直线和直线外的一点可以确定一个平面 推论2：两条平行直线可以确定一个平面。
推论3：两条相交直线可以确定一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行（平行的传递性）。
等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所组成的锐角（或直角）相等。
异面直线a 、b 所成角：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a 、b 的平行线1l 、2l ()12//,//a l b l ，这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a 、b 所成角。
如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作a b ⊥。
论证点、线共面的通法之一，即证部分元素确定一个平面，再证余下元素也在平面内。
论证点、线共面的通法之二，即根据确定平面的条件，先证各部分元素分别确定平面，再证这些平面有相同的确定平面的条件，即重合。
点共线、线共点：依据是公理3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。
证明多点共线：通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点在两个相交平面内，然后根据公理2就得到这些点在两个平面的交线上。
证明多线共点：可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上。