4.3.3余角和补角

所以∠2＝∠4.
1、性质检测 （1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， 则_____＝ ______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿
（2）若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余， 且∠1= ∠3， 则_____＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿
(3)若∠1与∠2互补，∠3与∠1互补，则_____＝______， 根据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
1 2 180 (1 180 2)

性质
同角或等角的 余角相等
同角或等角的 补角相等
注意点
1
互余、互补是两角之间的数量关系，只 与他们的度数和有关，与位置无关。 互余、互补概念中的角是成对出现的。
角 的余角是 90 ，补角是180 ,
2
3
4
同一个锐角的补角比余角大 90。 90 。 只有锐角才有余角。
2、图中给出的各角中，哪些互为余角？ 哪些互为补角？
一、余角和补角的概念： （1）如果两个角的和是一个直角，称这两个锐角是互 为余角，简称互余. 其中一个角是另一个角的余角.
数量关系为： ∵∠α+ ∠β=90°，
∵ ∠α和 ∠β互余，
∴∠α和 ∠β互余. ∴∠α+ ∠β=90°. （2）如果两个角的和是一个平角，称这两个角为 互为补角简称互补. 其中一个角是另一个角的补角.
二、余角与补交的性质
１、同角或等角的余角 ２、同角或等角的补角 。 。
预习检测：1、找 的余角和补角 的余角 的补角
80 10 100
45


45
'

135
'

70 39
19 21

109 21

'

90
180
注意：1、只有锐角有余角； 2、一个角的余角与它的补角相差90°.
问题3：互为余角、互为补角的两个角是否一定有 演示实验 公共顶点？
互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的度数和有关，与 位置无关。
问题4：①互余的两个角分别是什么角？ 锐角 ②互补的两个角分别是什么角？
一个为锐角，另一个为钝角或两个都是直角
课堂练习
1、填空
（1）若∠1与∠2互补，则∠1+ ∠2=________. 180°
4.3 角 4.3.3 余角和补角(1)
课时目标：
(1)认识一个角的余角和补角,并会求一个角的余角和补角. (2)掌握余角和补角的性质，并能用它解决相关问题.
(3)通过余角、补角性质的推导和应用，初步掌握图形语 言与符号语言之间的相互转化.初步接触和体会演绎推理的 方法和表述，进一步提高学生的抽象概括能力，识图能力， 发展空间观念.
∴ ∠2= ∠3
同 角的补角相等
等 (2)已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若 角 ∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？ 的 补 3 角 1 2 4 相 解：由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2=180º ， 等 所以 ∠2＝180º －∠1. 由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º , 所以∠4=180º －∠3. 又因为∠1＝∠3，180º －∠1＝180º －∠3，
重点：余角、补角的概念和性质 难点：性质的推理、图形中余角、补角的识别
一、互为余角与互为补角
一、余角和补角的概念
（１）互余：两个角的和等于 （直角），就说这 两个角互为 ，简称互余。如果∠1+∠2 = 90°， 则称∠1与 ∠2 互为 。 （２）互补：两个角的和等于180°（平角），就说 这两个角互为 ，简称互补。如果 ∠1+∠2= ，则称∠1与∠2互为补角。
又因为∠α=∠β 1=2 所以
用文字表述：
所以1=2
同(等) 角的余角相等
（二）、补角的性质 (1)已知∠1与∠2， ∠1 与∠3都互为补角.那么 ∠2和∠3的大小有什么关系？为什么？
1
解：∵ ∠1 +∠2=180°， ∠3 +∠2=180°
3
2
∴ ∠2=180°－∠1 ， ∠3=180°－ ∠1
5
同角的余角（补角）相等； 等角的余角（补角）相等。
四、拓展延伸，布置作业
1、解答下列问题题
(1)、一个角是70º39’,求它的余角和补角。
解：它的余角是90º －70º 39′=19º 21′， 它的补角是180º －70º 39′=109º 21′.
（2）∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？
2、判断下列说法是否正确，并说明理由.
√（1）一个锐角的补角一定是钝角；
（2）如果两个角互补，那么这两个角中，一个 是锐角，另一个是钝角；
√（3）如果一个角的余角和补角都存在，那么这
个角的余角一定比这个角的补角小.
3、看图作答：如图，O是直线AB上一点，OC 是∠AOB的平分线 ∠DOB ①∠AOD的补角是____________ ∠COD ②∠AOD的余角是____________ ∠AOD ③∠DOB的补角是____________
1 ＝ (∠AOC+ ∠BOC) 2
＝90° 所以， ∠COD 和∠COE互为余角， 同理， ∠AOD +∠BOE， ∠AOD +∠COE ， ∠COD +∠BOE也互为余角.
1 1 ∠AOC+ ∠BOC 2 2
小结
互余
互补

两角间 的数量 关系 对应 图形
1 2 90

(1 90 2)
图中哪些角相等？ ∠2=∠4，∠1=∠3
。
∠BOD 图中有与∠3互补的角吗?_________.
D C E 1 A 2 3 4 O
B
性质的理解与运用
例 2、 如图，A，O，B在同一直线上,
射线OD和射线OE分别平分∠AOC和
∠BOC，图中哪些角互为余角？
性质的理解与运用
解：因为A，O，B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分别 平分∠AOC与∠BOC， 所以∠COD +∠COE＝
(4)若∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1＝∠3, 则_____＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
性质的理解与运用 例1、看图填空
例1、如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则
∠2 ,∠4 图中与∠3互余的角是_________, ∠3 ,∠1 图中与∠4互余的角是_________,
解：由180º ∠α=3 ∠α， － 解得∠α=45º .
(3)∠α的余角是它的3倍，∠α是多少度？
解：由90º ∠α=3 ∠α，解得∠α=45º － .
2、看图回答：
D
C
A
O
B
∠AOD ∠DOC （1）图中互余的角是__________与___________. ∠AOD ∠BOD ∠AOC ∠BOC (2)图中互补的角是_______与_______;_______与______. ∠AOC ∠BOC (3)图中相等的角是________与_________.
互为补角 (2) ∠1= 180°- ∠2,则∠1与∠2的关系为___________.
互为余角 (3) ∠1=90º－∠2,则∠1与∠2的关系为___________.
60° 150° (4) 30°的余角是_____,补角是______;若一个角的度数是x， 90°- x 180°- x 则它的余角的度数和补角的度数分别是__________,_________.
D
3、找出图中互余及相等的角.
C
1 2
A
A
B
C
1
B
2
E
互余的角: ∠A与∠1,∠1与∠2， ∠A与∠1，∠1与∠2， ∠2与∠B, ∠A与∠B. ∠2与∠D, ∠A与∠D. 相等的角:
∠A与∠2， ∠1与∠B.
∠A与∠2， ∠1与∠D.
D
F
1
A
返回
例1 用代数方法解决几何问题是常用 的一种策略。 若一个角的补角等于它的余角的4倍，
求这个角的度数。
你能想出方法吗？
解：设这个角是x °，则它的补角是（180-x） °,余角是(90-x) ° 。
根据题意得:（180-x） °= 4 (90-x) °
解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
二、探究：余角、补角的性质
数量关系为：
∵∠α+ ∠β=180°， ∴∠α和 ∠β互补.
∵ ∠α和 ∠β互补， ∴∠α+ ∠β=180°.
理解定义，巩固运用：小组合作讨论
问题1：以上定义中的“互为”是什么意思 ？ 互余、互补概念中的角是成对出现的。 问题2：若 1 2 3 180 、∠3互为补角吗？ ，那么∠1、∠2
（一）余角的性质
A
C
1
α21来自OBα
2
β
D (1)图中∠α与∠1互余，∠2与∠α互余， (2)图中∠α与∠1互余，∠2 与∠ β互余，且 ∠α=∠ 与∠2的大小有什么关系？为什么？ 则∠1 β，则∠1与 ∠2的大小有什么关系？ 为什么？ - 因为1=90 ； 2= 90- 因为1=90 - ； 2= 90