椭圆离心率常见求法整理归纳

1.设行

4 = 1G∕>∕7>O)的左.右焦点，若椭圆上

存在点A ,使Cr Iy

Z斤AF2 =90」且|4可=3PlE则椭圆的离心率为____________________ .

2.设椭圆C：) + * = l (a>b>0)的左、右焦点分别为斤,巧，P是C上的点,

P巧丄F1F2, ZP斥竹=30。，则椭圆C的离心率为 _____________________ .

3.设斤、耳分别是椭圆C± + ?^ = l(">b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线

段PF∣的中点在y轴上，若ZPF I F2 = 30 ,则椭圆的离心率为___________________ .

7 7

4.已知椭圆—+ —= 1 (a>b>0)的两个焦点为F r F,,以斥只为边作正三角形，若椭

Cr Zr

圆恰好平分正三角形的另外两条边，且闪可=4,则"等于 ______________________ .

2 2

5.椭圆丄τ + =τ = l(α>b>0)的左、右顶点分别是A, B,左、右焦点分别是U F=?若

Cr b~

I AF I 1,1 F1F21,1斤Bl成等比数列，则此椭圆的离心率为____________ .

6.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D , 且BF=2FD,则C的离心率为_________________ .

7.设椭圆C:* +沪l(">b>0)的左右焦点为F lf F2,作竹作X轴的垂线与C交于

A, B两点，F0与y轴交于点￡>,若AD丄F1B,则椭圆C的离心率等于_____________________ .

8.过点M(Ij)作斜率为一丄的直线与椭圆C：二+二=1(。>〃>0)相交于43,若M

2 Cr Zr

是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 _______ ?

9.椭圆c： 4+4=

Cr Iy

= ?(a>b>0)左右焦F1,F2,若椭圆C上恰有4个不同的点P,使

得ΔPF I F2为等腰三角形，则C的离心率的取值范用是______________

10. 设椭圆C ：4 + ^T = l(?>^>0)的两个焦点分别为F C F 2,过片且斜率为2的直线

交椭圆C 于P 、0两点，若厶PF x F 2为直角三角形，则椭圆C 的离心率为 _____________ .

11. 直线y = Ox 与椭圆二+ = = l(α>b>O)相交于A 、3两点，过点A 作X 轴的垂线,

2 6Γ Ir

垂足恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率是 ______________ .

12. 设椭圆(7:卡+ 沪1(。>〃>0)的两个焦点分别为F 1, F 2 ,点P 在椭圆上，且

PF ； PF ； = O, tan APF^=―,则该椭圆的藹心率为 ^ 3

------

2 2

13. 设椭圆C:^ +話=IW >”>0)的左，右焦点分别为片，竹，P 为椭圆C 上任一点, ^?PF l ?-?PF 2?的最大值的取值范用是[2C 2,3C 2],则椭圆C 的离心率的取值范囤是

4

两点，连接AF , BF ,若IABI = I0, IAFI = 6, COS ZABF =-,则该椭圆的离心率

是 __________ .

15?设椭圆Cl-T + p = ?(a>b>0)的中心.右焦点、右顶点依次分别为O, F 、G,

16?在椭圆二+ ? 4 = l(α>b>0)中，左焦点为F ,右顶点为A ,短轴上方端点为3,若 Cr ZABF = 90°.则该椭圆的离心率为 _________________ ?

14?已知椭圆C:

?÷? =1 (α > Z? > 0)的左焦点为F ,过原点的直线与该椭圆交于AB

且直线X =—与兀轴相交于点H C

最大时椭圆的离心率为 ___________

2 Z /C

17.已知椭圆C:= +二=l(α>∕7>0)的藹心率为「与过右焦点F且斜率为k Cr b二\ 2

4>0)的直线相交于4、B两点.若AF = 3FB,则斜率R是 _____________________ ?

交点在X轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为____________ ?

r2 V2Z

⑼已知椭圆Cι-τ + ^r = ?(a>b>O)的左、右焦点分别为片，朽，若以耳为圆心，b-c

则椭圆的离心率的取值范围是 __________ ?

2 2

20.如图，已知椭圆G* + ^ = 1("M>O)的左焦点为F,右顶点为A,点〃在椭圆

上，且3F丄兀轴，直线AB交y轴于点P ?若'AP = IPB ,则椭圆的离心率是 __________________ ?

21.已知片，耳是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足PF1=2PFc, ZPF斤=30° ,

则椭圆的离心率为 _________ .

,> 7 ,>

X"V" a^

22 ?设斤，代分別是椭圆—+ -^=l(a>b>O)的左、右焦点，若在直线X=—上存在点Cr Iy C P.使线段PF:的中垂线过点F=,则椭圆的离心率的取值范围是 _______________ .

2 2

23.在平而直角坐标系中，有椭圆^ + τ^=l(a>b>O)的焦距为2c,以0为圆心，a为半

24 ?椭圆Cl^+ ^ = ↑(a>b>O)的左，右焦点分别为F ?F,焦距为玄，若直线

Cr Zr

y = √3(x + c)与椭圆C 的一个交点M 满足ZM 斤F I = IAMF 2F 1,则该椭圆的离心率

为 __________________ ?

2 2

25 ?椭圆Cι^ + ^ = ?(a>b> 0)的左、右焦点分别为F ：, F ：,焦距为2c.若直线y= √3 (x+c)

犷 Zr

与椭圆r 的一个交点满足ZMF I F ==2ZMF^1,则该椭圆的离心率等于 ____________ .

2 2

26?已知斤，化分别是椭圆C:. +二= l(α>b>0)的左、右焦点，以原点0为圆心0F, a~ b~

为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于A,B 两点,若AF 2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率等 于 .

2 2

27?椭圆C:二+二=1(“>〃>0)的左.右焦点分别是斤，Fl 过人作倾斜角为45°的 Z?-

直线与椭圆的一个交点为"，若‘莎垂直于X 轴，则椭圆的离心率为 ______________ .

2 2

28.在平面直角坐标系Ry 中，以椭圆 C + L = 1(G >">0)上的一点为圆心的圆与 Cr b~

X 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于万、C 两点，若△遊是锐角三角形，则该椭圆的 离心

率的取值范围是 _______________ .

2 2

29?椭圆C:二+ L = l(α">O)的左、右焦点分别是宀Fr 过几作倾斜角为120°的 Cr D

直线与椭圆的一个交点为M,若MF,垂直于X 轴，则椭圆的离心率为 ______________ ?

30. 已知直线y = -x + l 与椭圆4 + 4 = lG∕>^>0)相交于人3两点，且线段AB 的中

Cr Zr

点在直线X —2y = 0上，则此椭圆的离心率为 _________

2 2

31. 已知椭圆2 + L = l(α>">0)上一点A 关于原点O 的对称点为5F 为其右焦点，若

作圆的两切线互相垂直，则离心率

e =

AF丄3F,设ZABF = a.且Qe -A .则椭圆离心率的取值范用是

12 4

X?r

32.已知椭圆E的方程为- + - = ?(a>b>0)9 AB是它的一条倾斜角为135

的弦，且Cr

M(2,l)是弦AB的中点，则椭圆E的离心率为 ________________

Y- V*

33?已知椭圆- + 7^ = ?(a>h>O)的左右焦点为斥(一「0)、代(c,0),若存在动点Q, Cr o

满足IT^I= 2a.且厶F X QF I的面积等于，，则椭圆离心率的取值范用是 ____________________ .

34.过椭圆C：4 + 4- = 1(" >b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆于另一个点B , Cr Zr

且点轴上的射影恰好为右焦点F,若∣<∕c<∣,则椭圆离心率的取值范围是

35?已知点P是以F r F l为焦点的椭圆(+匚=1 (α>b>0)上的任意一点，若Cr Ir

ZPF l F2=a , APF2F.=β ,且COSa = ￡, sin(α + 0) = °,则此椭圆的离心率5 5

为 _________ ?

36.设F p F I是椭圆C：二+ = = l(α>b>O)的两个焦点，若在C上存在一点P,使PF,

■Cr Zr

丄PF”且ZPF I FF30° ,则C的离心率为 _____________________ .

2 2

37.已知仆只是椭圆4÷^=Ka>b>0)的左右焦点，P是椭圆上一点，ZF1PF2=90O,

?Cr Ir

求椭圆离心率的最小值为 ______________

38.设巧，E是椭圆C： 4 + 4 = 1 (a>b>O)的左.右焦点，过F,的直线/与C交于A, B

Cr Iy

两点.若AB丄AU AB : AFJ=3：4,则椭圆的离心率为 _______________ ?

2 2

39.过椭圆C:二+二=1(G > “ > 0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B ,

且点B在X轴上的射影恰为右焦点F ,若k = -.则椭圆的离心率￡的值是 _______________________ .

2

2 2

40?已知椭圆丄v + ? = l(">b>0)的左.右焦点分别为斤(一。0),尺(U0),若椭圆上存Cr Ir

在点P使一=-~~丄= > 则该椭圆的离心率的取值范囤为_______________ S In Zrr I F2S In ZrF2 F1

41.任等边AABC中，若以为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率为

2 2

42.如图，已知过椭圆* + *? = l(">b>0)的左顶点A(-r∕,0)作直线/交y轴于点P ,

交椭圆于点0,若MOP是等腰三角形，且PQ = 2QA.则椭圆的离心率为_______________________ ?

43.P 为椭圆C上一点，斤,F Z为两焦点,IP^l=I3JPfζ I= 15,tan=—,则椭

圆C的离心率C= ___________ ?

2 2

44.设椭圆二+ L = l(d>b>O)的四个顶点A、B、C. D,若菱形ABCD的内切圆恰好经过

Cr Ir

椭圆的焦点，则椭圆的离心率为 _____________l--?

X2 V2

45.已知椭圆- + - = ?(a>b>O)的左顶点为A,上顶点为〃，右焦点为F ?设线段AB

的中点为M , ^2ΛM?MF+BF2≥O,则该椭圆离心率的取值范围为_________________________ . 46.以椭圆的右焦点竹为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于点* N,

若过椭圆左焦点林的直线MF,是圆F?的切线，则椭圆的离心率为 __________________

47.椭圆—+ — = 1的离心率e = -t则R的值是

Z:+8 9 2 -----------

48.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则其离心率为 ____________________ .

49.已知H、N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PH、PN的斜率分别为k’、k：(?≠0),若比I + I&I的最小值为1,则椭圆的离心率为 __________________________ o

2 2

50.已知点F和直线/分别是椭圆二+二= I(G >b>O)的右焦点和右准线.过点F作

U- b~

斜率为、庁的宜线，该直线与/交于点人，与椭圆的一个交点是8,且AF = IFB .则椭圆的

离心率￡ = ____________ ?

2 2

51.过椭圆二+ L = l(α>b>O)的左焦点Fl作X轴的垂线交椭圆于点P,化为右焦点,

Cr b~

若ZF1PF2=60°,则椭圆的离心率为 ___________________________ .

2 2

52.已知椭圆^ + ^τ = l(a>b>O)的左右焦点分别为F“ F：, P是椭圆上一点。APF品为

U- b~

以F：P为底边的等腰三角形，当60° < ZPF1FcZ 120° ,则该椭圆的离心率的取值范囤是—53.在MBC中，满足丄AC, AB = AC = 2.若一个椭圆恰好以C为一个焦点，另

一个焦点在线段AB上，且A, B均在此椭圆上，则该椭圆的离心率为 _____________ .

2 2

54?如图，在平而直角坐标系Xoy中，点A为椭圆二+二=l(α>b>O)的左顶点，B, Cr Zr

C在椭圆E上,若四边形OABC为平行四边形,且ZOAB=30° ,则椭圆E的离心率等于. y

(第12题)

55.椭圆—+ —= 1的离心率为巫，则实数加的值为.

5 In 5

56.已知椭圆C ：二→g r = iα>b>O)的长轴两端点为A y B t 若椭圆C 上存在点Q ,

a b

使得ZAeB = I20°,求椭圆C 的离心率0的取值范围

57?已知椭圆4 + 4 = l(?>0.b>0)的左.右焦点分别为,0), F√c,0),若椭 Cr Iy

圆上存在点P (异于长轴的端点)，使得CSinZPF i F 2=asinZPF 2F^则该椭圆离心率的 取值范国是

r" V"

58.已知椭圆- + - = ↑(a>h> 0)的左右焦点分别为％ F 2.离心率为e,若椭恻上存在点P.使 Cr Ir

得鼻L

= e ，则该离心率e 的取值范困是

PF 2

B 、 D 、

A

C

【解析】

试题分析:根据椭圆的定义 IAF l I+ IAF 21= 2αz V AF 1 =31 AF 2I, AF 2I=-t

2

lAf ； I=—,

2

V ZF I AF'2= 90°f .?.勾股定理得(^)2+(±)2=(2C )2 ,化简得5tΓ =8c 2

,即? = -,

2 2

cι~ 8

考点：①椭圆的立义和性质；②勾股龙理.

2. T.

【解析】 试题分析：

RtSPF i F

2 φ ,

ZPF I F

2 = 30

°

2a = PF l +PF 1=-c + -c = C e

= - = ~

结合椭圆定义得： 3

3 ,所以 G 3?

考点：由椭圆的标准方程求几何性质.

“ ￡

可得 IPF l Hy P I=—,所以由 tan 3O o

=

= A 得，3∕+2j‰-3 = O ,解得

CI

I F 1F 21 2c

/7

e = -,e = ->j3 (舍去)?

3

考点：椭圆的几何性质.

4. √3 + l ( 丁4 + 2巧不扣分)

【解析】

试题分析：以F i F 2为边作正三角形PF x F 2,设线段PF 】与椭圆的交点为M ,则点M 为边PF X

1.

√10 ~4^

参考答案

【解析】试题分析：由已知, Pg 轴'所以将Z 代入C 手烽

= l(α>b>O)

所以离心率e = - =

3

的中点，连接MF?,则M朽丄,由于△ P片耳是边长为4的正三角形，所以I I= 2, IMFζl=2√3,由椭圆的泄义可知M=IM￡I + IM鬥l=2+2λ∕5,即有6∕ = l + √3. 考点：椭圆的左义及性质.

5.亜

5

【解析】

试题分析：由题意可知,?AF i?=a-c ,?F i F2?= 2c,?F l B?=a + c ,又?t?AF i?i? F i F2?J F i B \ 成

等比数列，???4c2 = (a -c)(α+c) ? = ￡ =遁.

a 5

考点：椭圆离心率的计算.

6.逅

3

【解析】设椭圆C的焦点在X轴上,如图所示，则B(0, b), F(c,0), D(X D, yj,则BF =

(C, —b), FD =(X D—Cf y D) f

——— [c = 2(x n-c)

9：BF =2 FD. :.< V D 7

Γb = 2儿

3c

??P

? ?

b

P=-I

7.迺

3

【解析】

试题分析：因为OD平行于F2B ,所以D为F0中点，又AD丄F l B ,所以

AF I=AB = 2AF2i设AF2 = in,贝∣]Aξ =2w,∕j JΛ =√3w, 因此

_ c _ 2c _ F1F2 _ ?∣3m _

a 2a AF l + AF2 2m + In 3

考点：椭圆的离心率

8.匹

2

【解析】

2 2 2 2

试题分析：设A(X P y I)则由? + ? = L? + ? = l,两式相减变形得：Cr Zr Cr Ir

-x2-

Sf))+(廿兀)卩+儿)=0,即Λ÷-^2=0, √=2∕r,从而Cr Iy Cr Ir

a2=2c2,e = ^ ?

2

考点：点差法，椭圆离心率

9.(I t I)U(I f I)

3 2 2

【解析】

试题分析：分两种情况：第一种情况，当点P与短轴的顶点重合时，AFHP构成以F：F：为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰AFFf;第二种情况，当AFFP构成以FiF：为一腰的等腰三角形时，以F：P作为等腰三角形的底边为例，VF I F==F1P, Λ点P在以人为圆心，半径为焦距2c的圆上，因此，当以Fi为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点

时，存在2个满足条件的等腰ZXFiFP 此时a-c<2c,解得a<3c,所以藹心率e>i,当

3

e 二丄时，AFFP 是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠l,同理，当F&为等腰三角 2 2 形的底边时，在e>-且eH 丄时也存在2个满足条件的等腰AFFP 这样，又因为椭圆C 上 3 2

恰有4个不同的点P,使得NP F.F 1为等腰三角形，故第一种情况不成立，综上所述，离心 率的取值范围是：e∈ (1, i) U (1, 1).

3 2 2

考点：直线与椭圆的位宜关系.

10

? f

【解析】

试题分析：设PF l = I l n y 则由于tanP 斥竹=2,所以PFl =IKF.F 1 =^m.因为 2a = PF^PF I = 3心所以椭圆E 的离心率为 考点：椭圆的是义

11.-

2

【解析】 试题分析：依题意可设A(C y -C).所以∣c = -,A- = ^ - = -2 (舍去)?所以禽心率为

2 2 Ua 2 a

￡

--■ 2

考点：1 ?椭圆的性质?2?解方程的能力.

12? 浙-1?

【解析】由邂?呢=O 知，PE 丄PF 2

.

由tan "耳爲=晳知’乙PF ?% = 30

° ?

在RtZ1PEF2 中，IP 巧I = IF 迟ICOS 30。，『爲I = ^ISln 30。， ^?PF 1?A-?PF 2 I=I F 1F 21

(CO S 30

n

+ sin 30°) = (√3 + l)c= 2a ，

2C = √5

茲 Γβ

13

［翔

【解析】???∣尸坷∣?Fκ∣的最大值为屮, ???由题意知2∕≤∕兰充2,

?? y∣2c ≤a≤ ?∣3c 9

试题分析：由题意，得 AF 2 = AB 2 ÷ BF 2, Λ (a + c)2 = Cr +b 2+b 2+c 2. Va 2=b 2+c 2

,

Λ Cr - e 2 = ac ,? °.-I=O, .: e = '±^ .又 */ 0 < e < 1, .,. e = —_ .

2 2

考点：椭圆的离心率.

17. k=√2

【解析】圧点F 分线段AB 成比例，从而分别可以得出A 、B 两点横坐标之间关系式.纵坐标

???椭圆离心率e 的取值范围是

［祭］

14. ?

7

【解析】由余弦定理? 62

= ∣^∣2

+102

-2X 10×∣5^,

∣×∣

点的距离也是8,由椭圆立义：2a = 6+8 = 14>又2c = 10?所以e = l

?7

15. 1

2

【解析】 根据已知 0(0, 0), F(c, 0), G(a, 0), H(盼,0), 所以四=畔=等=… ?p∏? 乞 幺

C

+再删当闕最大％丄

所以A 到右焦

【解

析】

之间关系式，再把A、B点的坐标代入椭圆方程二+二=1,四个方程联立方程组，解出根, 得岀A、B两点的坐标，进而求岀直线AB的方程.

山E七rFF=孕所以mb,

2 C X V Q

所以-肩心帀椭圆方程戸产】变为厂+心.

设A(X I f y i), B(XAyJ ,又AF =3 FB ?

C-X1=3(Λ?-c) 所以(c—X1，—yj=3(x=-c,兀)，所以｛

「儿=3儿，x∣~l~

3Λ)=4C,

y1+3y2=O,

Q 3

-x12 +3y12=c% (D- xl+3>?=c% ②

4 4 '

3. 3

①一9X②,得一(x i÷3x s) (xι—3x a) + 3(yι÷3y2) (y,-3yj=-8<Λ 所以一X4C(XL3X J=

4 4

—8c?Q

所以Xi-3氐=一一c,所以

3

X I=-C, X：= —C.从而y1=--C

3 9 3

"c,

9

所以A(Ic,_B伴c,糾,故7.

/异/>2 I)1—

_(_)【解析】由题意易知两交点的横坐标为一C、G纵坐标分别为一一、一，所以由一—

Cl a C _(_C)

=至得2b==√2ac = 2(a=-c=),即2e5+√2e-2=0,解得亡=亘或e = -√Σ(负根舍

2 2

去)?

3 ... 一√2

19. -WeV -----

5 2

【解析】因为PT=J昭-(b—莎(b>c),而PF=的最小值为a-c.所以PT的最小值为

(b~~c)2 .依题意有，?∣(a~c)2- {b r~c? ≥ ~- (a—c),

2

所以(a —c)2≥4(b -c)% 所以 a —c≥2 (b_c),所以 a÷c≥2b,所以(a÷c)2≥4 (a :—c =), 所以 5c z

+2ac-

3a 2^0* 所以 5e 3

÷2e -3?0 ①.

又 b>O,所以 b=>c 5,所以 a 2-c 2

>c=,

所以2e=

5

2

20.

21.

【解析】HAPFE 中，由正弦左理得SinZPFxF 1 = E 即ZPFzF 1=设PF==I,则PF 1=2,

2

F ：F ：=JJ ，所以离心率e=—=—.

2a 3

【解析】设P 仔，J ，线段F&的中点Q 的坐标为 则直线FlP 的斜率kF l P=

F r ，当直线QF ：的斜率存在时，设直线QF ：的斜率为kQF ：= . rV

η

(b 2

-2c s

≠0),由 Cr +c'

Ir - 2c

Ca 2+c 2}(2c 2~b 2)

kF 1P ? kQF ：=一1 得 b= ----- MO,但注意到 b 2-2c 3≠0?故 2c 2-b 2

>0,即

中点.由?-c=2c 得e=f,综上得容≤ev.

【解析】如图，由BF 丄X 轴，知χs =-c, yB =

—9 设 P (0? t),

b 2

V AP =2 PB, ：. (-a, t)=2 -c y --t

at 9 ∕? a = 2c, ?°?e=—

=— a 2

3c=→>0, HPe=>∣,?

√3

3

【解析】如题图，PA. PB与圆O相切，由于切线PA、PB互相垂直，所以四边形OAPB为正方形，0P=√2 0A,这样就得到一个关于基本量a、C的齐次方程，从而求解岀比值￡(e) a

2

的值.由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以0P=√2 0A,所以匕=√∑s解得￡ = C a

24.√3-l

【解析】

试题分析：直线y = √3(x + c)ii点、片,且倾斜角为60°,所以ZM斥竹=60。，从而ZMF2F1=30°,所以Mf；丄M巧，在RtAMF i F2中，I MF； l=c,l M佗I=JI?,所以该椭圆的离心率E = — = —

2“L = 1?

2a C+ √3c

考点：椭圆的离心率.

25.>/3 ~1

【解析】直线y=√3 (x+c)ii点F：(-c,0)且倾斜角为60° ,

所以ZMF I FC=60o , ZMFzF l=30° ,

所以ZFMX90° ,

所以F i M丄F丸

在RtΔFΛ∏7c 中，

MF I I =c, MFd = √3 C1

26?e二存1

【解析】因为AB是等边三角形,所以A(W芋C)在椭圆→?1上,所以??=1,因为

2 2a2 b2?4a2 4b2?

c2=a-b?所以,4a-8a2c3+c=0,即e -8e2+4=0,

所以,e3=4±2√J, e=√5-l 或e=√5+l (舍).

【误区警示】本题易岀现答案为百-1或商+1的错误，其错误原因是没有考虑椭圆离心率的范围.

27. √2 -1

【解析】过尺作倾斜角为45°的直线y=A÷c,由?匹垂直于X 轴得M 的横坐标6所以纵

2 -4 Z 4 2

坐标 2c,代入椭鬪方程得一TH --- =1, .??e r + —7 -- =1> Λ (1-e^)-=4e",∣ Λe=>∕2-

(广 Ir Cr

A- /1 z ?

【解析】由题意得，圆半径r=—,因为△磁是锐角三角形，所以cosO>cos- = -> a 2

r

29. 2-√3

【解析】不妨设∣ΛΛ∣=1. V 直线娠的倾斜角为120° , ΛZ^Λ=60o

, Λ ?MF z =2, Ml =>∕3 ,

2a=!.莎丨+ MFZ =2+石，2c= ∣ΛΛ∣ =1∣ Λ/3 .

a 30. —

2

【解析】

2 1 2 1

试题分析：直线y = -x + l 与x-2y = 0的交点为Λ∕(-,-)f 点M(二,―)即为43中点，

3

2 2

设y = -X +1与+ = 1的交点分别为A(X I 5 y 1 X B(X y , ,所以

Ir

4 2

xι+x2=-,y ι+y 2=- 6将点A(X p y I X B(X^y 2)代入椭圆方程，两式相减整理可得

( V l

-.x 2)?( A 1-V l )==_/r ,即 2J J21 = -∑L ,由直线方程 y = -χ + l 可知 (x∣ -X 2) (X I +X 2) GJ X \ ~x

2 X 仏 B=上二丄? = -l,所以 I = M 即 b 2

=-a 2

o 因为 a 2

=b 2

+c 2

,所以 a 2

= 2c 2

,即 X I -X 2

2

28.

z

(√6-√2)炉1 2 2

“￥<* Vi,所以 ￥<冷<1,

即返V 丄

2 1一0 VI,解得e∈

COS ——

4

5

考点：1点差法解中点弦问题：2椭圆的离心率。

【解析】 试题分析：左焦点为FI ?连结AF V BF x 可得四边形AF X BF 是矩形,所以AO = OF = OB = C.

所以 AB = Ic 又 AF 丄3F,所以.AF = 2csinα,BF = 2ccosα ?又因为 AF l =BF ,

C ? I

AF } + AF = 2a ?所以 2csin a + 2i cos a = 2cι ?即一= ------------------ = -------------- ?因

Ci

Sina+ cos α √2sin(α÷^)

4

考点：1.直线与圆的位置关系? 2?椭圆的性质?3?椭圆的定义.

【解析】

2 *>

4+4=ι ,,,,

",[ ,两式相减得土二^ +卫〔生=0, 4÷4=1 " b

'

a b

E + 七呼 f ） + （X + 兀呼一比）=0亠,+ j = 0-/ = 2Fne 返. Cr

b 2 a 2 b 1 2

考点：椭圆.

33. [?∣2-?Λ）

【解析】

试题分析：设0（忑刃，则Vl 斥01=加，???（x + c ）2 + y2=4/,所以?y ?≤2a. ?.?存在

动

—×2c× I y I= b 2 , .,

.l y ?=- ,

2 ? C a 2 -C 2 ≤2ac , :Λ-e 1 ≤2e 即 e 2 +2e-

?≥0 , .?e≥y∕2-? 或 e ≤-近,又

???0VEV 1,所以√Σ-l≤wv 1.

31.

r>∕∑ ?∕61 ,τ,τl

弊屁如和妊所以乎煌令存￡ ?故填

试题分析：设 A(X P y I ),B(x 2,y 2),贝IH

.2

—≤ Ia 即

点Q ,使得△ F x QF 2的而积等于庆 —,所以

4

考点：椭圆的标准方程及其几何性质.

1 2、

"(冷

【解析】

试题分析：如下图所示，设/FAB = B , ‰y 0),其中c 2

=a 2

-b 2

(c>O),将点3的坐

考点：1 ?直线的倾斜角与斜率：2?椭圆的性质.

35. 迺

7

【解析】

￠2

2

2 b 4

b

2

标代入椭圆的方程可得—+ τV = l ,解得y 02

= (l--) = —=> ?=±-,不妨取 a

b 2 Jo =~ 9

所以 k = tan θ = 1ΔLJ. = _

I AF I a + c

Cr -C' 1

- ---- > — tΓ +ac 3

Cr -c" 1 - ---- < — I/ +ac 2

3C 2

+ ac - 2a 2

<0

3e 2

+e-2<0

=> S => <

2C 2

+ac- a 2

>0 2e^ + ￡ — 1 > O

b 2

a 2 -C -

1 Z 1 ,ill — < Zr < — >

可得

Cr + ac Cr +ac

3 2

即

?

2

-Ivev-

2

3

1

] ^2 ￡>-或 ￡<一1

3

2

3 厉丄

4 2√5

11√

5

Cr Ir