不定方程—解答
不定方程
不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些
限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.
1．几类不定方程
(1) 一次不定方程
在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程
)0,0(,0≠>=++b a c by ax ①通常称之为二元一次不定方程。一次不定方程解的情况有如下定理。
定理1．二元一次不定方程ax by c +=(,,a b c 为整数)有整数解的充分必要条
件是c b a |),(。
定理2．若(,)1a b =，且00,x y 为①之一解，则方程①全部解为0x x bt =+， 0y y at =-，其中t 为整数。
(2) 佩尔)(pell 方程
形如122=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数）的方程称为佩尔方程。能
够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的解，则其全部正整数解如下：
111111111[()()]2)()]n n n n n n x x x y x x ?=++????=+-??
(1,2,3,)n =。 ①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解。
②n n y x ,
满足的关系：1(n
n x y x y +=+；11211222n n n n n n x x x x y x y y ----=-??=-? 。 (3) 勾股方程222z y x =+
这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(=y x 的解，此时易知
z y x ,,实际上两两互素。这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。容易看出y x ,一奇一偶，无妨设y 为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。
定理3．方程222z y x =+满足1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表
为2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且1),(=b a 的任意整数。
(4) 不定方程zt xy =
这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出：
设a z x =),(，则ad z ac x ==,，其中1),(=d c ，故acy adt =，即cy dt =，因
(,)1c d =。
所以bc t bt y y d ==则设,,|. 因此方程zt xy =的正整数解可表示为
d c b a bc t ad z bd y ac x ,,,.,,,====都是正整数，且1),(=d c 。反过来，易知
上述给出的t z y x ,,,都是解。
也可采用如下便于记忆的推导： 设d c d c y t z x 这里,==是既约分数，即1),(=d c . 由于z
x 约分后得出d c ，故ad z ac x ==,，同理.,ab y cb t ==
2．不定方程一般的求解方法
(1) 奇偶分析法；
(2) 特殊模法；
(3) 不等式法；
(4) 换元法；
(5) 因式分解法；
(6) 构造法（构造出符合要求的特解或一个求解的递推关系，证明解无数
个）；
(7) 无穷递降法。
对无穷递降法的理解：以下面的问题为例：
证明：方程442x y z +=无正整数解。
证明：假设442x y z +=存在正整数解，其中z 最小的解记为0z 。因为
()()22222x y z +=，根据勾股方程的通解公式有2222220,2,x a b y ab z a b =-==+，其中,a b 一奇一偶，(),1a b =。从222x a b =-可以得到a 为奇数，b 为偶数，令
2b s =，224y ab as ==，
其中(),1a s =，所以22,,(,)1a t s q t q ===。由222x a b =-得2444x t q =-，即2444x q t +=，又可以通过勾股方程的通解公式
222222,22,,(,)1x l m q lm t l m l m =-==+=，注意到2q lm =，所以2200
,l l m m ==，24400
t l m =+，而420z t b t =+>，与0z 的最小性矛盾。所以原方程组无正整数解。
例1． (1) 求不定方程3710725x y +=的所有解；
(2) 求不定方程719213x y +=的所有解。
(1) 解：先求110737=+y x 的一组特解，为此对37，107运用辗转相除法：
33372107+?=，433137+?=， 18433+?=
将上述过程回填，得：
378)372107(9378339)3337(93749374843748331?-?-?=?-?=-?-=?-=?--=?-=9107)26(3737261079?+-?=?-?=
由此可知，9,2611=-=y x 是方程110737=+y x 的一组特解，于是我们可以得
到650)26(250-=-?=x ，2259250=?=y 是方程2510737=+y x 的一组特解，因此原方
程的一切整数解为：???-=+-=t
y t x 37225107650。 (2) 解：213197y x -=，可以取353027
y x y -=-+，此时可以得到2y =。从而得到一个特解。
点评：这个两个方法是基本方法。
例2. 若4(mod9)n ≡，证明不定方程
333x y z n ++= ①
没有整数解。
证明: 若方程①有整数解，则①模9也有整数解。由于完全立方数模9同余于0,1，1-之一，因而
3330,1,2,3,6,7,8(mod9)x y z ++≡
但4(mod9)n ≡，所以①模9无解，故方程①无整数解。
例3. 求所有这样的2的幂，将其（十进制表示中的）首位删去后，剩下的数仍是一个2的幂。
证明: 问题即求方程
2210n k m a =+? ①
的全部正整数解(,,,)n k m a ，其中1,2,,9a =???。将①变形为
2(21)10k n k m a --=? ②
首先证明1m =。因为若1m >，则由②式右边被25整除，从而25|(21)n k --。又易知，2模25的阶是20（注意所说的阶整除2(5)20?=，及10221(mod5)≡-），因此，20整除n k -，从而2021-整除②式左边，但205421(2)1-=-有因子52131-=，而31不整除②式右边，矛盾！因此1m =。
现在只需为二位数的2的幂中，检验符合要求的解，易知只有32和64。
例4. 求所有正整数1x >，1y >，1z >，使得
1!2!!z x y ++???+= ①
解: 关键一步是证明当8x ≥时必有2z =。因为①式左边被3整除，故3|z y ，
从而3|y 。于是①式右边被3z 整除。另一方面，1!2!8!46233++???+=被23整除，不被33整除；而对9n ≥，有33|!n 。所以，当8x ≥时，①式左边被23整除，但不被33整除，从而①式右边也如此，即必须有2z =。
现在进一步证明，当8x ≥时方程①无解。当8x ≥时
1!2!!1!2!3!4!3(mod5)x ++???+≡+++≡
又已经证明此时有2z =，故①式右边
20,1(m o d 5)
z ≡± 矛盾！从而，当8x ≥时方程①无解。
最后，当8x <时，不难通过检验求得方程①的解：3x =，3y =，2z =。
例5. 已知c b a 、、为两两互质的正整数，且233()a b c +，233()b a c +，233()c a b +，求c b a 、、的值。
解: 由题设可得到：2333()a a b c ++，2333()b a b c ++，2333()c a b c ++，又因为c b a 、、两两互质，所以)(333222c b a c b a ++。不妨设c b a ≥≥，所以
332
22
223333c b a c b a c b a a ≥?≥++≥。 又4443
233318922c b c b b a c b b ≤?≥?≥+≥。 当12≤?≥b c ，与c b ≥矛盾。所以1=c 。显然)1,1,1(是一组解。
当2≥b 时，c b a >>.由212)1(2
2
23333322b a b a b a a b a b a ≥?≥++≥?++ 又由41)1(4
2
332b a b b a ≥≥+?+。当5>b 时，无解；经验证，2=b ，3=c 。所以满足条件正整数为)1,1,1(，)3,2,1(，)2,3,1(，)3,1,2(，)1,3,2(，)1,2,3(，)2,1,3(。
例6.（1981，联赛）证明：对于任何自然数n 和k ，数1042),(3++=k k n n k n f 都不能分解成若干个连续的正整数之积。
证明：因
333(,)33103(3)(1)(1)1k k k k k k k k k f n k n n n n n n n n n =+-++=++--++33|3(3)k k n n ++，3|(1)(1)k k k n n n -+，而3不整除1，故3不整除),(k n f ，因而),(k n f 不能分解成三个或三个以上的连续自然数的积。
再证),(k n f 不能分解成两个连续正整数的积。 由上知，)(13),(N q q k n f ∈+=，因而只需证方程：)1(13+=+x x q 无正整数解。而这一点可分别具体验算3x r =，31r +，32r +时，)1(+x x 均不是13+q 形的数来说明。
故),(k n f 对任何正整数n 、k 都不能分解成若干个连续正整数之积。
例7．求方程44422222222224x y z x y x z y z ++=+++的全部整数解。
解：对原方程进行变形、因式分解
44422222222222424x y z x y x z y z y z ++--+=+
222222()424x y z y z -++-=
222222(2)(2)24x y z yz x y z yz -+++-++-= ()()()()24y z x y z x y z x y z x +++--+--=
因为四个括号内奇偶性相同，而32423=?为偶数，故括号内每个都为偶数，则应出现42，矛盾。所以原方程无整数解。
点评：将所有字母项放在一起，进行因式分解，再与另一侧数字项对比讨论，推出矛盾。
例8．求满足7|512|=-n m 的全部正整数n m ,。
解：如果7125=-m n ，两边4mod ，得)4(mod 31≡，这是不可能的。
如果7512=-n m ，而n m ,中有一个大于1，则另一个也大于1，3mod 得)3(mod 1)1(≡--n ，故n 为奇数，8mod ，得)8(mod 15-≡-n ，而)8(mod 152≡，n 为奇数，从而)8(mod 15-≡-，矛盾！
所以1==n m 为唯一解。
例9．证明：不定方程532x y -=仅有正整数解1x y ==。
解：方程显然有解1x y ==。方程两边4mod ，知y 为奇数。若1y >，将方程模9得，
52(mod9)x ≡ ①
不难求得对1,2,x =???，5x 模9周期地为5，7，8，4，2，1。故由①知x 必有形式65k +。再将原方程模7，易验证，对奇数y ，有
33,5,6(mod 7)y ≡
而65x k =+时，由费马小定理知651(mod 7)≡，故
6555553(mod 7)x k +=≡≡
从而原方程两边模7不等，因此它没有1y >的解，故仅有的正整数解为1x y ==。
例10．证明：不定方程!!!x y z ?=有无穷多组正整数解,,x y z ，且x y z <<。 解：方程可变形为
!!(1)!
x y z z ?=?- 令x n =，!1y n =-，!z n =即可。
例11． (2006，IMO 预选) 求所以整数对(,)x y ，使得212122x x y +++=。 证明: 如果(,)x y 是方程的解，则0x ≥，(,)x y -也是方程的解。
当0x
=时，显然有解(0,2)，(0,2)-。 若0x
>，我们考虑0y >， 122(12)1(1)(1)x x y y y ++=-=-+，所以121x y l -=±，l 是奇数。
(1) 当121x y l -=+，l 是奇数时，得到222(8)x l l -=-1-，1l =不成立，
即3l >，左边0<，右边0>，显然不成立。 (2) 当121x y l -=-，l 是奇数时，得到22+=2(8)x l l --1，1,2x =无解，
所以3x ≥，222+=2(8)2(8)x l l l --≥-1，解出3l ≤，1l =，不成立，所以3l =，
即4,23x y ==，或4,23x y ==-，于是所有解(0,2)，(0,2)-，(4,23)，(4,23)-。
例12．(2010，江苏复赛) 求滿足下列条件的所有正整数,x y ，滿足
(1) x 与1y -互质；
(2) 231x x y -+=。
解：1x =，1y =滿足要求，对于1x >，1y >，方程2(1)(1)(1)y y y x x -++=-，显然x y >，又(,1)1x y -=，可知x 是21y y ++的因数，设21y y kx ++=，k 为正整数，得到1(1)x k y -=-，有x y >，得到2k ≥，消去x ，得到221(1)y y k y k ++=-+，所以22(1)(1)(1)3y y k y k -+-=-+-，推出(1)(3)y k --，若3k >则13y k -≤-，即2y k +≤，根据221(1)y y k y k ++=-+推出
222(1)1(2)1k y k y y k k -+=++<+-+，所以
10y -=，1y =，与1x >，1y >矛盾，所以3k ≤，进而2,3k =，得到19,7x y ==，所以(,)(1,1)x y =，(19,7)。
例13. 求所有正整数m ，n ，满足n m -2整除2n m +，且m n -2整除2n m +。 分析：由对称性，我们不妨设m n ≥，并估计n 的大体范围。
解：不妨设m n ≥则=-+m m 2)1(2)1(m m ++。显然22n m n m ->+对于
1+>m n 成立。因此，1+>m n 时，满足条件的整数m ，n 不存在，我们只要考虑m n =与1n m =+。
假设m n =，则n n -2整除n n +2。若3>n 则n n n n n n +>-?>222)(23。显然n n -2
假设1n m =+。我们求12--m m 整除231m m ++的m 。若6≥m ，则22(5)32(1)31m m m m m m ->?-->++。
又22131m m m m --<++，所以12--m m 不整除231m m ++。则对于5,4,3,2,1=m 逐一验证得：1=m 或2m =。
综上所述，解为(,)(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)m n =。
例14.(2012，联赛) 试证明：集合{}22,2,,2,n A =满足
(1) 对每个a A ∈，及b N *∈，若21b a <-，则(1)b b +一定不是2a 的倍数；
(2) 对每个a A ∈（其中A 表示A 在Ｎ 中的补集），且1a ≠，必存在b N *∈，21b a <-，使(1)b b +是2a 的倍数。
(1) 证明：对任意的a A ∈，设2k a =，k N *∈，则122k a +=，如果b 是任意一个小于21a -的正整数,则121b a +≤-。由于b 与1b +中，一个为奇数，它不含素因子2，另一个是偶数，它含素因子2的幂的次数最多为k ，因此(1)b b +一定不是2a 的倍数。
若a A ∈，且1a ≠，设2k a m =?，其中k 为非负整数，m 为大于1的奇数，则122k a m +=?。
(2) 证法1： b mx =，112k b y ++=，消去b 得121k y mx +-=。
由于1
(2,)1k m +=，这方程必有整数解；1002k x x t y y mt +?=+??=+??，其中00,(,)t z x y ∈为方
程的特解。把最小的正整数解记为(,)x y **，则12k x *+<，故21b mx a *=<-，使(1)b b +是2a 的倍数。
(2) 证法2：由于1(2,)1k m +=，由中国剩余定理知，同余方程组
10(mod 2)1(mod )k x x m m +?=?=-?
在区间1(0,2)k m +上有解x b =，即存在21b a <-，使(1)b b +是2a 的倍数。
(2) 证法3：由于(2,)1m =，总存在(,1)r r N r m *∈≤-，使21(mod )r m =取t N *∈，使1tr k >+，则21(mod )tr m =，存在1(21)(2)0tr k b q m +=--?>，q N ∈，使021b a <<-。此时m b ，121k m ++，因而(1)b b +是2a 的倍数。
练1. (2008,高中联赛) 若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为5642cm ，求这三个正方体的体积之和。
解：设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，
22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >。故
610c ≤<．c 只能取9,8,7,6。
若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =。
若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5。若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解。此时无解。
若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =。
若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解。
综上，共有两组解2,3,9a b c =??=??=?或3,6,7.a b c =??=??=?
体积为3331239764V =++=3cm 或3332367586V =++=3cm 。
练2. 求所有的正整数n 、m ，满足5
471m n n 。 解：原方程等价于3
2(1)(1)7m n n n n 。显然，1n ≠。 当2n ≥时，3
221(1)()11,11n n n n n n n 。 设3217,17a b n n n n ，其中,a b N +∈。于是，
2(1)(71)(1)()71b a n n n n
因此，(71)|(71)b a ，即(71,71)
71a b b 。 又因为(,)(71,71)71a
b a b ，得到(,)b a b ，即()a kb k N +=∈。 则3
2177(1)a kb k n n n n 。 当1k 时，有3211n n n n ，2n 。
当2k ≥时，有
32322432(1)(1)(1)(1)330k n n n n n n n n n n n n -+-++≤-+-++=----<
矛盾。
综上所述，2,2n m 是原方程的唯一一组解。
练 3. (2008，北方竞赛) 设n 是正整数，整数a 是方程4232230n x ax ax ++-?=的根，求所有滿足条件的数对(,)n a 。
解: 因为整数a 是方程4232230n x ax ax ++-?=的根，所以
4323223n a a a ++=? ①
得到2(1)(2)23n a a a ++=?，显然0,1,2a ≠--，若a 是偶数，有①左边是4
的倍数，右边不是，矛盾。当a 是奇数，则2a a +、只有一个是3的倍数，若a 是3的倍数，则21a +=，即1a =-（舎），3-，当3a =-时，①可知2n =，若2a +是3的倍数，则1a
=，1n =，所以(,)(2,3),(1,1)n a =-。
练4. 求3
31x y -=的非负整数解.
解: 0,0x y ==是方程的解，23(1)1)x y y y =+-+（，可知21,1y y y +-+都是3的幂，2
1(1)(2)3y y y y -+=+-+，211(2)133y y y y -++=?-+，所以21,1y y y +-+一定有一个是3，所以2y =，2x =，所以(0,0)、(2,2)是方程的解。
练5.求满足方程11112
x y -=且使y 是最大的正整数解(,)x y 。 解:将原方程变形得12144121212x y x x
==-+-- 。 由此式可知，只有12x -是正的且最小时，y 才能取大值。又12x -应是144的约数，所以，121x -=，11x =，这时132y =。
故满足题设的方程的正整数解为(,)(11,132)x y =。
练6. (2003，爱尔兰) 求方程223()()()m n m n m n ++=+的所有整数解。
解: 展开222233mn m n m n mn +=+，整理得(331)0mn mn m n --+=，
所以0mn =或3310mn m n --+=。
若0mn =，则(,)(0,)(,0)m n k k =、
。 若3310mn m n --+=，则(3)(3)8m n --=，解为
(,)(5,2)(1,1)(1,-1)(2,-5)(4,11)(5,7)(7,5)(11,4)m n =--、、、、、、、。
练7. 求所有满足方程81517x y z +=的正整数解。
解: 首先从同余的角度可以发现y 必须为偶数，81517x y z +=，又15y 的个位数必须为5，而8x 的个位数为2，4，或6，17z 的个位数为3，9，1，所以0,2(mod 4)x ≡，对应的0,2(mod 4)z ≡。这样可以令2y k =，2z l =，可以得到
2281715(1715)(1715)x l k l k l k =-=-+，注意到17,15l k 均为奇数，两个的和和差必
定是一个单偶，一个双偶，从而311715217152
l k l k x -?-=??+=??，目标集中于17152l k -=，观察有解()(),1,1l k =。当2k ≥时，两边取模17可以得到()(1)2mod9k -≡矛盾。所以仅有解()2,2,2。
练8. (2006，德国竞赛) 求证：方程33224(1)x y x y xy +=++没有正整数解。 证明：方程化为3()7()4x y xy x y +=++可知3()4(mod7)x y +≡，因为 3333(7)0(mod7)(71)1(mod7)(72)1(mod7)(73)1(mod7)()k k k k k z ≡±≡±±≡±±≡∈、、、，所以
3()4(m o d 7)
x y +≡没有整数解。
练9 (2007，克罗地亚竞赛) 求方程33311x y +=的全部整数解。 解：显然y x ＞，原方程等价于33332211()()x y x y x y xy x +=-=-++，因为11是质数，所以231,11,11,11y x -=。
若1y x -=时，得到33(1)1111(mod3)x x +=-≡，不可能。
若11y x -=时，22211y xy x ++=，得到(,)(0,11)(11,0)x y =-。
若211y x -=，则2211y xy x ++=，可知22224331111y xy x x x ++=+?+，得到11是x 的倍数，令11x z =，得到23131131111z z =?+?+，所以不可能。
若311y x -=，则221y xy x ++==22261331111y xy x x x ++==+?+无解，所以方程所有正整数解(,)(0,11)(11,0)x y =-。
练10. 求所有素数p ，使得23p p +为一个整数的(2)k k ≥次幂。 解：显然2,5p =均不合要求。设素数2p >且5p ≠。由二项式定理知
1111232(52)55
252p p p p p p p p p p C C ---+=+-=-?+???+
21552p u p -=+?，u 为一个整数。 故5||(23)p p +，从而23p p +不能是一个整数的(2)k k ≥次幂。
人教版初中数学《第21章不定方程》竞赛专题复习含答案
第21章 不定方程 §21.1 二元一次不定方程 21.1.1★求不定方程2x y -=的正整数解． 解析 因为312-=，422-=，532-=，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是 2, ,x n y n =+?? =? 其中n 可以取一切正整数． 21.1.2★求11157x y +=的整数解． 解析1 将方程变形得 71511 y x -= ． 因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得02x =，01y =-是这个方程的一组整数解， 所以方程的解为 215, 111,x t y t =-?? =-+? t 为整数． 解析2 先考察11151x y +=，通过观察易得 ()()1141531?-+?=， 所以 ()()114715377?-?+??=， 可取028x =-，0 21y =．从而 2815, 2111,x t y t =--?? =+? t 为整数． 评注 如果a 、b 是互质的整数，c 是整数，且方程 ax by c += ① 有一组整数解0x 、0y ．则此方程的一切整数解可以表示为 00, ,x x bt y y at =-?? =+? 其中0t =，±1，±2，±3，…． 21.1.3★求方程62290x y +=的非负整数解． 解析 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得 31145x y +=． ① 由观察知，14x =，11y =-是方程 3111x y += ② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为
()00 454180, 45145,x y =?=??? =?-=-?? 所以方程①的一切整数解为 18011, 453.x t y t =-?? =-+? 因为要求的原方程的非负整数解，所以必有 180110,4530.t t -?? -+? ≥③ ≥④ 由于t 是整数，由③、④得15≤t ≤16，所以只有t =15，t =16两种可能． 当t =15时，x =15，0y =；当t =16时，x =4，y = 3．所以原方程的非负整数解是 15,0, x y =?? =?4, 3.x y =??=? 21.1.4★求方程719213x y +=的所有正整数解． 解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小，最后再用观察法求解． 用方程 719213x y +=① 的最小系数7除方程①的各项，并移项得 213193530277 y y x y --= =-+ ．② 因为x 、y 是整数，故 357 y u -=也是整数，于是有573y u +=．再用5除此式的两边得 373255 u u y u --= =-+ ．③ 令 325 u v -= (整数)，由此得 253u v +=．④ 由观察知1u =-，1v =是方程④的一组解．将1u =-代入③得2y =．2y =代入②得x =25．于 是方程①有一组解025x =，02y =，所以它的一切解为 2519, 27.x t y t =-?? =+? 0,1,2,t =±±L 由于要求方程的正整数解，所以 25190, 270.t t ->?? +>? 解不等式，得t 只能取0，1．因此得原方程的正整数解为 25,2, x y =?? =?6, 9.x y =??=?
二元一次不定方程及其解
２０１３年第·１期 太原城市职业技术学院学报 Journal of TaiYuan Urban Vocational college 期 总第１３８期 Ｊａｎ２０１３ ［摘要］不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中的一个十分重要的研究课题，我国古代对不 定方程的研究很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不可忽视的地位。论文重点探讨了二元一次不定方程及其解。[关键词]通解； 特解；观察法；辗转相除法；整数分离法；同余法［中图分类号］O15［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３－００４６（２０１３）１－０１６１－０２浅析二元一次不定方程及其解 韩孝明 （吕梁学院汾阳师范分校，山西吕梁０３２２００） 不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中一个十分重要的研究课题，我国古代对不定方程的研究很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不可忽视的地位。如《张丘建算经》中的“百钱买百鸡”问题、《九章算术》中的“五家共井”问题等等，中外驰名，影响甚远。在公元３世纪初，古希腊数学家丢番图曾系统研究了某些不定方程问题，因此不定方程也叫做丢番图方程。 一、不定方程定义所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程的个数且其解受到某种条件的限制的方程或方程组。 不定方程领域中的基本问题是：不定方程有无整数解，有多少整数解，如何求出整数解。围绕这些问题，至今存在着大量的未解决问题，因此不定方程仍是一个很 活跃的数学领域。 中小学的数学竞赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题。 二、二元一次不定方程及其解形如ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈ｚ，ａｂ≠０）的方程称为二元一 次不定方程。 求其整数解的问题叫做解二元一次不定方程。 由于方程的解ｘ、ｙ可以是正整数，也可以是负整数，或者零，所以我们可以只讨论ａ、ｂ都是正整数的情 况。例如， ３ｘ－２ｙ＝１与３ｘ＋２ｙ＝１的解相比较，ｙ的值只差一个负号。 当ｃ＝０时，如果（ａ，ｂ）＝ｄ（ａ、ｂ的最大公约数为ｄ），那么在方程的两边同时除以ｄ，使ｘ、ｙ的系数互质。因此不妨假设（ａ，ｂ）＝１，解方程得ｘ＝－，由于（ａ，ｂ）＝１，因此当ｙ能被ａ整除时，方程ａｘ＋ｂｙ＝０才有整数解。所以可令ｙ＝ａｔ（ｔ为任意整数），这时ｘ＝－ｂｔ，即方程ａｘ＋ｂｙ＝０的一切整数解为 （其中ｔ为任意整数） 当ｃ≠０时，实际上也只需要讨论ｃ＞０的情况。因 为当ｃ＜０时，我们可以在方程两边同时乘以－１，这样方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的右边就成为正整数了。因此对于二元一次不定方程，可以只讨论ａ＞０、ｂ＞０、ｃ＞０的情况。 现在我们研究二元一次不定方程在什么条件下才有整数解。先考察下面几个方程有没有整数解：２ｘ＋ｙ＝１０，４ｘ＋２ｙ＝２０，４ｘ＋２ｙ＝２５。对于方程２ｘ＋ｙ＝１０，通过 观察可以知道，ｘ＝１，ｙ＝８是这方程的整数解，因此这个方 程有整数解。 对于方程４ｘ＋２ｙ＝２０，方程两边同时除以２，得２ｘ＋ｙ＝１０，因此这个方程也有整数解。 对于方程４ｘ＋２ｙ＝２５，由于４ｘ＋２ｙ＝２（２ｘ＋ｙ）为偶数，而２５是奇数，因此这个方程没有整数解。 对于方程２ｘ＋ｙ＝１０来说，ｘ、ｙ的系数互质，上面已经指出这个方程是有解的；对方程４ｘ＋２ｙ＝２０来说，虽然ｘ、ｙ的系数不互质，但它们的最大公约数２能整除２０，这是方程也有解；对方程４ｘ＋２ｙ＝２５来说，ｘ、ｙ的系数不互质，且它们的最大公约数２不能整除常数项２０，这时方程无解。这些特点虽然是从一些具体的不定方程归纳出来的，但是它对一般不定方程也是适用的。我们有下面定理： 定理１：二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈Ｎ＊）有整数解的充要条件是ｄ│ｃ（其中ｄ＝（ａ，ｂ）。 证明：一是必要性。如果方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ有整数解ｘ＝ｘ０， ｙ＝ｙ０，则ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ，因为ｄ│ａ，ｄ│ｂ，所以ｄ│（ａｘ０＋ｂｙ０），即ｄ│ｃ。 二是充分性。因为ｄ│ｃ，所以ｃ＝ｄｑ，由裴蜀恒等式可以知道，存在两个整数x ０，y ０， 使ａx ０＋ｂy ０＝ｄ。在上式两边同时乘以ｑ，得ａx ０ｑ＋ｂy ０ｑ＝ｄｑ即ａx ０ｑ＋ｂy ０ｑ＝ｃ。 因此方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ有整数解ｘ＝x ０ｑ，ｙ＝y ０ｑ。由上述定理可知，如果ｃ不能被ａ、ｂ的最大公约数整除，那么方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ无解，且可在ａｘ＋ｂｙ＝ｃ两端都约去ｄ，使得（ａ，ｂ）＝１。所以通常二元一次不定方程的解是在ａ、ｂ互质的情况下讨论的。 判断出一个二元一次方程有解以后，如何求出它的一切整数解呢？我们有下面的结论： 定理２：如果二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ［（ａ，ｂ） ＝１］有整数解ｘ＝ｘ０， ｙ＝ｙ０，则此方程一切解可以表示为 （ｔ是整数） 证明：先证明 是方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的整数解。 因为ｘ＝ｘ０，ｙ＝ｙ０是方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的整数解，所以ａｘ０ ＋ｂｙ０＝ｃ，又因为ａ（ｘ０－ｂｔ）＋ｂ（ｙ０＋ａｔ）＝ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ。 161··
六年级奥数考点：不定方程问题
考点：不定方程问题 一、知识要点 当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有： x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6 y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3 如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。 解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。 对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。 二、精讲精练 【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。 先将原方程变形，y＝23－3x 4 。可列表试验求解： 所以方程3x+4y＝23的自然数解为 X=1 x=5
Y=5 y=2 练习1 1、（课后）求3x+2y＝25的自然数解。 2、求4x+5y＝37的自然数解。 3、求5x－3y＝16的最小自然数解。 【例题2】求下列方程组的正整数解。 5x+7y+3z＝25 3x－y－6z＝2 这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。 5x+7y+3z＝25 ① 3x－y－6z＝2 ② 由①×2+②，得13x+13y＝52 X+y＝4 ③ 把③式变形，得y＝4－x。 因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3. 当x＝1时，y＝3 当x＝2时，y＝2 当x＝3时，y＝1 把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。 x＝2，y＝2时，z也无正整数解。 x＝3时，y＝1时，z＝1.
不定方程的求解方法汇总
不定方程的求解方法汇总 行测数量运算的考查中，不定方程是计算问题的常考题型，难度不大，易求解。但是想要快速正确的求解出结果，还是需要一些技巧和方法的。专家认为，掌握了技巧和方法，经过大量练题一定可以实现有效的提升，不定方程的题目必定成为你的送分题。 一、不定方程的概念 在学习之前，首先了解一下不定方程的概念：指对于一个方程或者方程组，未知数的个数大于独立方程的个数，便将其称为不定方程或者不定方程组。 在这里解释一下独立方程。看个例子大家便可以明白了: 4x+3y=26①,8x+6y=52② 因为①×2=②，相互之间可以进行转化得到，所以①、②两个式子并不是两个独立的方程，。 二、求解不定方程的方法 1、奇偶性 奇数+奇数=偶数奇数×奇数=奇数 偶数+偶数=偶数偶数×偶数=偶数 奇数+偶数=奇数奇数×偶数=偶数 性质：奇偶奇 7x为奇数，x也为奇数。x可能的取值有1、3、5。当x=1时，y=9，满足题干要求，凳子数量大于桌子数量，其余情况不符合要求，故答案选择B。
2、尾数法 当看到未知数前面的系数为0或者5结尾时，考虑尾数法。任何正整数与5的乘积尾数只有两种可能0或5。 性质：奇偶奇 5x 为奇数，则其尾数必定为5，则4y的尾数为4，y可能为1、6、11，这三种可能。但已知乙部门人数超过10人，则y=11,求得x=3,故答案选择C。 3、整除法 当未知数前面的系数与和或差有除1之外的公因数时，考虑用整除法。 4、特值法 当题目考察不定方程组，且一般情况下，求解(x+y+z)之和时考虑特值法。不定方程组拥有无数组解，而(x+y+z)的结果是唯一的，那么我们便可以随便找一组解代入即可。同时要使计算相对简单，便可以将系数较为复杂的未知数设为特值0，简化运算。
初中数学竞赛专题：不定方程
初中数学竞赛专题：不定方程 §21.1 二元一次不定方程 21.1.1★求不定方程2x y -=的正整数解． 解析 因为312-=,422-=,532-=,…,所以这个方程的正整数解有无数组,它们是 2, ,x n y n =+?? =? 其中n 可以取一切正整数． 21.1.2★求11157x y +=的整数解． 解析1 将方程变形得 71511 y x -= ． 因为x 是整数,所以715y -应是11的倍数．由观察得02x =,01y =-是这个方程的一组整数解, 所以方程的解为 215, 111,x t y t =-?? =-+? t 为整数． 解析2 先考察11151x y +=,通过观察易得 ()()1141531?-+?=, 所以 ()()114715377?-?+??=, 可取028x =-,0 21y =．从而 2815, 2111,x t y t =--?? =+? t 为整数． 评注 如果a 、b 是互质的整数,c 是整数,且方程 ax by c += ① 有一组整数解0x 、0y ．则此方程的一切整数解可以表示为 00, ,x x bt y y at =-?? =+? 其中0t =,±1,±2,±3,…． 21.1.3★求方程62290x y +=的非负整数解． 解析 因为(6,22)=2,所以方程两边同除以2得 31145x y +=． ①
由观察知,14x =,11y =-是方程 3111x y += ② 的一组整数解,从而方程①的一组整数解为 ()00 454180, 45145,x y =?=??? =?-=-?? 所以方程①的一切整数解为 18011, 453. x t y t =-?? =-+? 因为要求的原方程的非负整数解,所以必有 180110,4530.t t -?? -+? ≥③ ≥④ 由于t 是整数,由③、④得15≤t ≤16,所以只有t =15,t =16两种可能． 当t =15时,x =15,0y =；当t =16时,x =4,y = 3．所以原方程的非负整数解是 15, 0, x y =?? =?4, 3.x y =??=? 21.1.4★求方程719213x y +=的所有正整数解． 解析 这个方程的系数较大,用观察法去求其特殊解比较困难,碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小,最后再用观察法求解． 用方程 719213x y +=① 的最小系数7除方程①的各项,并移项得 213193530277 y y x y --= =-+ ．② 因为x 、y 是整数,故 357 y u -=也是整数,于是有573y u +=．再用5除此式的两边得 373255 u u y u --= =-+ ．③ 令 325 u v -= (整数),由此得 253u v +=．④ 由观察知1u =-,1v =是方程④的一组解．将1u =-代入③得2y =．2y =代入②得x =25．于
个例独解：“不定方程”解题思路
个例独解：“不定方程”解题思路 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的一个(或几个)方程组成的方程(组)。 不定方程的解一般有无数个，而在这无数个解中要找出一个适合题意的解，则是行测出题 的思路。根据不定方程的这一特点可知，由题干条件推出结论的推理方式比较费时费力， 采用代入法则是不定方程的一般解法。代入法也分为选项代入法、特殊值代入法两种。 某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均分给各个老师带领刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都 是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )(2012年国家 考试行测第68题) A. 36 B.37 C.39 D.41 读题之后可以看出题干中存在两个明显的等量关系，而也没有其他较简单的做法，则考虑 列方程组，设每名钢琴教师带领x名学员，每名拉丁舞教师带领y名学员; 该方程组有三个未知数，只有两个方程，属于不定方程，用代入法较好。采用特殊值代入 法较好。用第一个方程：5x+6y=76，用奇偶性分析可得x应该为偶数，根据“每位老师所 带的学生数量都是质数”可得x只能为2，又可求的Y=11.再把X=2，Y=11代入方程二可 得4x+3y=41。 该题先列出方程组，再根据题干给出的特殊信息--奇偶性和质数特性，采用特殊值代入的 方式解题。 三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。 如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的列为B等，仅有一位专家投票的 作品列为C等，则下列说法正确的是( )(2012年 考试 第72题) A、A等和B等共6幅 B、B等和C等共7幅 C、A等最多有5幅 D、A等比C等少5幅 读题之后可以看出题干中存在两个明显的等量关系，即画的张数是10，投票数总共为50. 则考虑列方程组，设A等、B等、C等作品的幅数分别为x、y、z张。可得方程组为： 化简得：2x+y=5，可得x=2，y=1，z=7，答案选D。或者得答案x=1，y=3，z=6，无答案，答案选D。
不定方程的解法与应用
摘要 不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明． 关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题
Abstract The integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples. Key words: i ndeterminate equation; two element indefinite equation; Mathematics contest; civil service examination.
二元一次不定方程的解法总结与例题
探究二元一次不定方程 （Inquires into the dual indefinite equation） 冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。 The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution. 【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解 （Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution） 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式； ②具有两个未知数；③未知项的次数是1。 如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。 定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 [1] 二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。 通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。 定理2.方程有解的充要是；[2] 若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成： （t为任意整数）
11不定方程专题练习题
七下（不定方程专题练习题） 一、填空题 1．若正整数x、y满足2004x =15y，则x+y的最小值为． 2．某校收到李老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，总价值约330元．这三种球的价格分别是：足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有个． 3．唐太宗传令点兵，若一千零一卒为一营，则剩一人；若一千零二卒为一营，则剩四人．此次点兵至少有人． 4.已知两列数3、7、11、15、…和5、8、11、14、…有许多相同的数，如11是它们第一个相同的数，那么它们的第20个相同的数是． 5．某单位在一快餐店订了22盒盒饭，共花费140元，盒饭有甲、乙、丙三种，它们的单价分别为8元、5元、3元，那么，可能的不同订餐方案有种． 6.某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，则此人家的电话号码是． 二、简答题 7．三元一次方程x+y+z =1999的非负整数解的个数有多少个
8．如图17-1是一个六位数乘上一个一位数的竖式，各代表一个数（不一定相 同），则a+b+c+ d+e+f等于多少 9．四月天宾馆共有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住，某旅行团26人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，那么租房方案共有( ) 10．电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( ) 11．一艘船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入了一些水，如果以12 个人舀水，3h可以舀完；如果以5个人舀水，l0h才能舀完．现在要想在2h内舀完，至少需要多少人 12．如图17-2，在高速公路上从3km处开始，每隔4km设一个速度限制标志，而且从10km 处开始，每隔9km设一个测速照相标志，则刚好在19km处同时设置这两种标志，问下一个同时设置这两种标志的地点的km数是( ) 三、解答题 13．求方程2x -5y =4的全部整数解．
2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题
2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题知识框架 数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。不定方程问题是计算问题中算式计算里面的一种。 公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。解答不定方程时，一定要找出题中明显或隐含的限制条件，从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解题思路，掌握解题方法，就能轻松搞定不定方程问题。 核心点拨 1、题型简介 未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。通常只讨论它的整数解或正整数解。
在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。 2、核心知识 形如，，的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。这些方程的解是不确定的，我们通常研究： a.不定方程是否有解？ b.不定方程有多少个解？ c.求不定方程的整数解或正整数解。 （1）二元一次不定方程 对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理1： 二元一次不定方程， A.若其中，则原方程无整数解； B.若，则原方程有整数解； C.若，则可以在方程两边同时除以，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为B的情形。 如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解。 定理2： 若不定方程有整数解，则方程有整数解，此解称为特解。
方程的所有解（即通解）为（k为整数）。 （2）多元一次不定方程（组） 多元一次不定方程（组）可转化为二元一次不定方程求解。 例： ②－①消去x得y+2z=11 ③ ③的通解为，k为整数。 所以x=10－y－z=4－k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5。 （3）其他不定方程 3、核心知识使用详解 解不定方程问题常用的解法： （1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； （2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； （3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； （4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； （5）无穷递推法。 （6）特殊值法：已知不定方程（组），在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。 夯实基础
不定方程及不定方程组
不定方程及不定方程组集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第二十七讲 不定方程、方程组 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定． 对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有： 设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题： (1)若(a ，b)=d ，且d 卜c ，则不定方程c by ax =+没有整数解； (2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，则为整数） t at y y bt x x (00???-=+=是方程的全部整数解(称通解)． 解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等． 举例 【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6，则m 的最大值为 ． (新加坡数学竞赛题) 思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整系数法)．再结合整除的知识，求出m 的最大值． 注：求整系数不定方程c by ax =+的整数解。通常有以下几个步骤： （1）判断有无整数解；(2)求一个特解；(3)写出通解；(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组)，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解． 分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论． 【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )． A ．32千米 B ．37千米 C ．55千米 D ．90千米 (河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解． 【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解． (2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解． (莫斯科数学奥林匹克试题) (3)求方程 6 5 111=++z y x 的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)
第六节不定方程
第六节 不定方程 所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。 基础知识 1．不定方程问题的常见类型： （1）求不定方程的解； （2）判定不定方程是否有解； （3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 2．解不定方程问题常用的解法： （1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； （2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； （3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； （4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； （5）无穷递推法。 以下给出几个关于特殊方程的求解定理： （一）二元一次不定方程（组） 定义1.形如c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 定理1.方程c by ax =+有解的充要是c b a |),(； 定理2.若1),(=b a ，且00,y x 为c by ax =+的一个解，则方程的一切解都可以表示成 ??? ????-=+=t b a a y y t b a b x x ),(),(00t (为任意整数)。 定理3.n 元一次不定方程c x a x a x a n n =+++Λ2211，(N c a a a n ∈,,,,21Λ)有解的充要条件是c a a a n |),,,(21Λ. 方法与技巧： 1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求c by ax =+一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减
专题06不定方程
专题06 不定方程 考点一二元一次不定方程的整数解问题 考点点拨 典例精选 1．（新编）方程27x+81y＝9999的整数解有几组（） A．0B．1C．2D．多于2 【点拨】将原式化简，变为x+3y=1111 3，利用反证法，假设左侧有整数解，则与右侧不是整数相矛盾， 得出此题无整数解． 【解析】解：显然，方程两边同时除以9，得到：3x+9y＝1111 等式的两边同时除以3，得到： x+3y=1111 3， 要是有整数解时，方程左边是整数，右边因1111不能被3整除必不能是整数，矛盾． 因此整数解0组． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，关键是利用“整数”这个条件和二元一次方程有无数组解，进行推理． 2．（新编）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买1
本，10元钱刚好用完），则不同买法的总数是 266 ． 【点拨】先根据组合公式求出都买2元的有多少种情况，再求出1元的2本，2元的就得4本共多少种情况，相加即可． 【解析】解：首先，都买2元的，就是从8本书中任意选5本这样就有： C 85= 8×7×6×5×4 5×4×3×2×1 =56种， 其次，买1元的2本，2元的就得4本，这样就是从3本1元的里面选2本出来然后又从8本2元的里面选4本出来： C 32?C 84= 3×2×12×1×8×7×6×5 4×3×2×1 =210种． ∴56+210＝266种． 故答案为：266． 【点睛】此题考查了组合数公式的应用，难度不答大，要知道，不仅涉及组合数公式，还要用到乘法原理． 3．（新编）求方程6x +22y ＝90的非负整数解． 【点拨】首先对原方程进行化简，先根据一组解求得原方程整数解的表示形式，再求原方程的非负整数解即可． 【解析】解：因为6，22都能被2整除，所以方程两边同除以2得： 3x +11y ＝45．① 由观察知，x 1＝4，y 1＝﹣1是方程3x +11y ＝1② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 {x 0=45×4=180 y 0=45×(?1)=?45 由定理，可得方程①的一切整数解为 {x =180?11t y =?45+3t （t 为整数）， 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 180﹣11t ≥0 ③， ﹣45+3t ≥0 ④， 由于t 是整数，由③，④得15≤t ≤16，所以只有t ＝15，t ＝16两种可能． 当t ＝15时，x ＝15，y ＝0；当t ＝16时，x ＝4，y ＝3． 所以原方程的非负整数解是
10秒钟解不定方程的方法
10秒钟解不定方程的方法 一、不定方程常用解法汇总 1、利用奇偶性求解 自然数分为奇数和偶数，而加和、做差和乘积也存在一定规律： 奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数;奇数+偶数=奇数; 奇数×奇数=奇数;偶数×偶数=偶数;奇数×偶数=偶数。 例题1：x，y为自然数，2x+3y=22，求y=? A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】B。解析：22是偶数，2x是偶数，偶数加偶数才能得到偶数，所以3y一定是偶数，又因为3是奇数，所以只能是y为偶数，答案选B。 2、利用尾数法求解 适用环境：一个未知数系数尾数是5或0。 例题2：现有139个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装，已知大袋每袋装17个苹果，小袋每袋装10个苹果。每个袋子都必须装满，则需要大袋子的个数是? A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C解析：设需要大袋子x个，小袋子y个，得到17x+10y=139，由于小袋子每袋装10个苹果，所以无论有多少个小袋子，所能装的苹果数的尾数永远为0，即10y的尾数为0;而大袋每袋装17个苹果，17x的尾数为9，所以x的尾数为7，选C。 3、利用整除特性求解 适用环境：等式右边的常数和某个未知数系数能被同一个数整除(1除外)，即有除了1以外的公约数。 例3：x，y为自然数，3x+4y=129，求y=? A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】B。解析：发现129和x的系数3都能被3整除，所以4y也必定被3整除，而4不能被3整除，所以只能y被3整除，答案选B。 二、真题演练 1、超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个? A.3 B.4 C.7 D.13 【答案】D解析：此题条件比较单一，没有直接可以利用的数量关系。因此，要优先考虑方程法，利用方程来理清数量间的特殊关系。 设大包装盒有x个，小包装盒有y个，则12x+5y=99，其中x、y之和为十
2021年数列中不定方程问题的几种解题策略
数列中不定方程问题的几种解题策 略 欧阳光明（2021.03.07） 王海东 （江苏省丹阳市第五中学，212300） 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位．数列中不定方程的整数解问题逐渐成为一个新的热点，在近年来的高考模拟卷中，这类问题屡见不鲜，本文中的例题也都是近年来大市模考题的改编．本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨，以期给同学们的学习带来帮助。 题型一：二元不定方程 双变量的不定方程，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解，方法较灵活，下面介绍3种常用的方法。 方法 1.因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干个因式的乘积，再由题意分类讨论求解。 题1（2014·浙江卷）已知等差数列{}n a 的公差d ＞0.设{}n a 的前 n 项和为n S ，11=a ，3632=?S S . (1)求d 及S n ； (2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得65...21=+++++++k m m m m a a a a . 解析(1)略(2)由(1)得2,12n S n a n n =-=(n ∈N *) 所以65)1)(12(=+-+k k m ，由m ，k ∈N *知1112>+≥-+k k m
65151365?=?=，故???=+=-+5 11312k k m 所以???==45k m 点评 本题中将不定方程变形为()()135112?=+?-+k k m ,因为分解方式是唯一的，所以可以得到关于k m ,的二元一次方程组求解。 方法 2.利用整除性质 在二元不定方程中，当其中一个变量很好分离时，可分离变量后利用整除性质解决． 题2.设数列{}n b 的通项公式为2121n n b n t -=-+，问：是否存在正整数t ， 使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由． 解析：要使得12,,m b b b 成等差数列，则212m b b b =+ 即：312123121m t t m t -=+++-+ 即：431 m t =+- ∵,m t N *∈，∴t 只能取2，3，5 当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =． 点评 本题利用t 表示 m 从而由431 m t =+-得到14-t 是整数，于是1-t 是4的约数，从而估计出可能的所有取值，再逐一检验即可，当然，本题也可以利用m 表示t 来处理. 方法 3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围，再分别求解。如转化为()()n g m f =型，利用()n g 的上界或下界来估计()m f 的范围，通过解不等式得出m 的范围，再一一验证即可。 题3：已知n n n b 3=,试问是否存在正整数q p , (其中q p <<1)，使 q p b b b ,,1成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若 不存在，说明理由． 解析：假设存在正整数数组(p ，q )，使成等比数列，则
不定方程练习题
、填空题 ☆ 1.已知△和☆分别表示两个自然数，并且一 一, 5 11 2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里 有乒乓球 个. 3.某班同学分成若干小组去值树，若每组植树n 棵,且n 为质数，则剩下树苗20棵;若每组植树9棵, 则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组. 4.不定方程2x 3y 7z 23的自然数解是 5.王老师家的电话号码是七位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 9063;将前三位组 成的数与后四位组成的数相加得 2529.王老师家的电话号码是 . 6.有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为a |b 6，c |.已知a ，b ，c 都小于10 ，a ，b ，c 依次 7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶 ，并且李明喝了全部牛奶（若干碗）的-和全部咖啡（若干碗） 4 1 8.某单位职工到郊外植树，其中-的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树,女职工每人种10 3 棵,每个孩子种6棵,他们共种了 216棵树,那么其中有女职工 9.将一个棱长为整数（单位：分米）的长方体6个面都涂上红色，然后把它们全部切成棱长为1厘米的 小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的 有 块.原来长方体的体积是 ______________ 立方分米. 10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数 字看倒置了（例如，把12.34元看成34.12元），并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后，发现其 余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 ________________ 元. 二、解答题 11. 一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车； 如果有一辆汽车空车开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人, 求起初有多少辆汽车？有多少旅客？ 12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200 分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否 实现自己 、不定方程（二） 年级 姓名 得分 37 55 △ +☆= 的-.那么,全家有 6 口人. 人.
不定方程的解法
基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠 久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969 年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2 发展历史编辑本段
希腊的丢番图早在公元3 世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus ，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus 方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189 个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何”。设x，y，z 分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3 常见类型编辑本段