圆锥曲线的综合应用

圆锥曲线的综合应用

一、基本知识概要：

1知识精讲：

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.

2重点难点：

正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进一步体会分类讨论、等价转化等数学思想的运用.

3思维方式：数形结合的思想，等价转化，分类讨论，函数与方程思想等.

4特别注意：

要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整。

二、例题：

例1. A ，B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点）求证：

（1）A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植；

（2）直线AB 经过一个定点

证明：（1）设0

,,

2,2),,(),,(21212221212211=+∴⊥==y y x x OB OA px y px y y x B y x A 则 两式相乘得2212214,4p x x p y y =-=

)

0,2),0,2),2(2).(2,2,),(2)2(212

112112*********p x x p p x y y p y x x y y p y y AB y y p k x x x x p y y AB 时，显然也过点（当过定点（化简得的方程所以直线当=-+=-+=-+=

≠-=- 所以直线AB 过定点(2p,0)

例2、如图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b )0,0(≠>b a ，且交抛物线）（），（于22112,N ,M )0(2y x y x p px y >=两点。

（1） 写出直线l 的截距式方程

（2） 证明：b

y y 11121=+ （3） 当p a 2=时，求MON ∠的大小。（图见教材P135页例1）

解：（1）直线l 的截距式方程为

1=+b y a x 。 （1） （2）、由（1）及px y 22=消去x 可得0222=-+pab pay by （2）

点M ，N 的坐标21,y y 为（2）的两个根。故.2,22121pa y y b

pa y y -=?-=+ 所以.12211212121b

pa b pa

y y y y y y =--=+=+ （3）、设直线OM 、ON 的斜率分别为.,,,2

2211121x y k x y k k k ==则 当p a 2=时，由（2）知，,42221p pa y y -=-=

,44)4(4)(,4)(,2,2222

2222121212

22122212

1p p p p y y x x x x p y y px y px y ======相乘得由因此?∠⊥-=-==90MON ON OM .14422

212121＝，即所以p

p x x y y k k 。 说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。

例3、已知椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，双曲线122

22=-b

y a x 的两条渐近线为21,l l ，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上而下依次为A 、B 。（图见教材P135页例2）

（1） 当21l l 与夹角为?60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程

（2） 当P A A F λ=时，求λ的最大值。

解：（1） 双曲线的渐近线为x a b y ±=，两渐近线的夹角为?60，又1

b ， .13

C .1,3,4.33330tan ,30222222=+==∴=+=?===∠∴??y x b a b a b a a b POx 的方程为故椭圆又即 （3） 由已知,,P ),(:2）（解得与c ab c a x a b y c x b a y l =-=

由P A A F λ=得)1,1(2λ

λλλ+?+?+c ab c a c A ，将A 点坐标代入椭圆方程得 2222222242222)1()(,)1()(λλλλλλ+=++∴+=++e e c a a a c

。

－的最大值为12.223322)2(2222242

λλ∴-≤+??????-+--=--=∴e e e e e 说明：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用。解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想。本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题。

例4、A ，F 分别是椭圆112

)1(16)1(2

2=-++x y 的一个上顶点与上焦点，位于x 轴的正半轴上的动点T （t,0）与F 的连线交射线OA 于Q ，求：

（1） 点A ，F 的坐标及直线TQ 的方程;

（2） 三角形OTQ 的面积S 与t 的函数关系式及该函数的最小值

（3） 写出该函数的单调递增区间,并证明.

解:(1)由题意得A(1,3),F(1,1)

直线TQ 得方程为x+(t-1)y-t=0

(2)射线OA 的方程y=3x 2

3),0(-=≥t t x TQ x Q 的方程，得代入 时取等号）当则得由34(344

93)(,32,49)431(43)321(21)

23(2321)(,233,32,0222

==≥∴>+--=-=-==∴-=>>t t S t t t t t t OT y t S t t y t x Q Q Q 所以S(t)的最小值为3

4 (3)S(t)在???

????+∞,34

上是增函数 )3

2)(32(94)32)(32()(21)()(,342121122121--??????----?==-<≤t t t t t t t S t S t t 那么设 )()(,,3

232,32)32(,34.122112t S t S t t t t >∴>-≥-∴≥>

所以该函数在上是增函数??????+∞,34

三、课堂小结：

1、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。

2、对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解。