中美数学教育的比较分析
中美两国课程标准中高中函数内容的比较
中美两国课程标准中高中函数内容的比较严卿;胡典顺;汪钰雯;纪静萍;黄舒娴【摘要】美国于2010年颁布了《共同核心州立数学标准》,其高中函数部分的内容与中国《普通高中数学课程标准(实验)》相比,二者的知识点都有比较清晰、具体的要求,都重视函数的应用以及与信息技术的结合;而在课程实施的灵活性、内容编排的逻辑性与具体知识点的要求等多方面都有一定的区别.比较中美两国数学课程标准的高中函数内容,可以得到不少启示,在未来的课程改革中要处理好数学课程标准中函数内容的限定与自主的关系,函数知识的理解与应用的关系,函数知识与其它数学知识的关系.【期刊名称】《数学教育学报》【年(卷),期】2015(024)004【总页数】6页(P19-24)【关键词】共同核心州立数学标准;函数;中美比较【作者】严卿;胡典顺;汪钰雯;纪静萍;黄舒娴【作者单位】华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079;华中师范大学教师教育学院,湖北武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079【正文语种】中文【中图分类】G40-059.3长期以来，美国认识到如果不提高基础教育，特别是数学教育的质量，美国就会失去全球化竞争力.强烈的危机感以及学生在第三次国际数学与科学教育研究（TIMSS），国际学生评估计划（Program for International Student Assessment，简称PISA）等国际比较项目中表现不佳，促使美国数学教育界不断地反思、比较，以改进自己的数学教育[1].近年来，全美数学教师理事会（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）公布了一系列的数学课程与数学标准，如《学校数学的原则和标准》（2000）、《课程焦点》（2006）、《高中数学焦点：推理与意义建构》（2009）等.这些课程与标准的出台旨在提高美国学生的数学成绩，建立具有国际竞争力的全美统一的优质数学教育.2010年，全美州长协会（National Governors Association，NGA）和各州教育长官理事会（The Council of Chief State School Officers，CCSSO）共同推出了《共同核心州立数学标准》（Common Core State Standards for Mathematics，简称CCSSM），标准的出台在美国引起了很大的反响[2~4].进入新世纪，中国也相继成立了义务教育和普通高中课程标准研制小组.2003年4月，出台了《普通高中数学课程标准（实验）》.纵观两国数学课程标准，可以找到许多值得相互借鉴的地方.在《共同核心州立数学标准》中就明确指出借鉴了中国的课程标准；而在《普通高中数学课程标准（实验）》中虽然没有专门注明，但注重提供知识的实际背景、对于活动过程与问题解决的重视等都能看出对于美国数学教育的借鉴.以上也就体现了东西方教育“相向运动”的态势[5].目前，国内学者关于美国数学教育的研究有不少成果[6~14]，中美两国数学课程标准的比较及其相关研究也是研究的热点问题之一[15~19].显然，借鉴美国经验，既能为解决中国当前数学教育的问题提供参考，又能给课程改革以启示.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.通过函数的学习，学生可以理解数学知识来源于生活、而又应用于现实生活，能够加深对于数学本质的认识.和《美国学校数学教育的原则和标准》（NCTM，2000）相比，《共同核心州立数学标准》中的函数部分脱离了代数而单独列出，足见其所受到的重视.中国《普通高中数学课程标准（实验）》中，函数也占据着重要的地位.在编排顺序上，函数是必修数学1中的主要内容，数学1又是其它内容的基础，且专门提到“函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终”[20].距离《普通高中数学课程标准（实验）》颁布已有10年，其中函数部分的相关内容始终是研究关注的重点领域[21~24].以中美两国课程标准中的“函数”内容为例，对中国《普通高中数学课程标准（实验）》（2003）（以下简称“中国《标准》”）和美国《共同核心州立数学标准》（2010）（以下简称“美国《标准》”）进行比较.希望通过比较研究能给中国数学课程标准的修订与教学改革提供一些参考.美国《标准》函数部分的内容标准分为4大板块：（1）理解函数；（2）建立函数；（3）线性函数，二次函数，指数函数模型；（4）三角函数.中国《标准》关于函数的内容来自数学1中函数概念与基本初等函数Ⅰ以及数学4中的三角函数.主要内容包括：（1）函数；（2）指数函数；（3）对数函数；（4）幂函数；（5）函数与方程；（6）函数模型及其应用；（7）实习作业；（8）三角函数等8个部分，以及“说明与建议”部分中相应内容的补充.下面以美国《标准》的划分维度为依据进行比较.2.1 理解函数理解函数见表1.美国《标准》中的“理解函数”部分涵盖内容很广，既包含了函数的概念、性质等，又涉及从线性函数、二次函数到指数函数、对数函数等各初等函数的性质.与此同时，美国《标准》中没有专门涉及各初等函数的板块.因此，在这里把中国《标准》中（1）至（5）板块都归入该维度.从而，这种结构上的不同带来的一个主要区别即是对于具体初等函数要求的不同.以指数函数为例，中国《标准》中包括引入，概念、性质以及解决简单实际问题，强调连贯、全面学习指数函数.而在《美国》标准中，则有“会画指数函数图象，会求截距和极端情况”“会根据指数的性质去理解指数函数的意义”等，主要侧重于对于指数函数特点的分析.此外，美国《标准》将各初等函数的分析放在同一板块中，有利于对其进行比较.对于函数特点的分析，美国《标准》的要求更加丰富、具体.中国《标准》中所涉及的特点包括定义域、值域、单调性、最大（小）值、奇偶性、特殊点，美国《标准》中则多出了截距、正（负）区间、对称性、极端情况（当x趋向于无穷时的情况）、周期性、指定区间上的平均变化率、渐近线等.对于函数的表征，两国《标准》都强调了绘制函数图象以及利用图象研究函数性质.中国《标准》明确要求会画指数函数和对数函数的图象，美国《标准》除此之外还要求会画平方根、立方根、分段函数、多项式函数、有理函数等的图象.此外中国《标准》只是提出“根据需要选择恰当方法表示函数”.美国《标准》指出运用因式分解、配方等方法研究函数性质，并“会比较两个使用不同形式表征的函数的性质”，这就要求能够熟练地在不同表征间转换和转译，要求更加具体也更高.在结合实际方面，中国《标准》强调通过实例引出函数及初等函数内容，并利用实例帮助理解概念和性质.美国《标准》则侧重于实际背景下函数的运用，例如“在实际问题中根据实际意义确定函数的定义域”.最后，在与相关数学知识的联系方面，两国《标准》都提到了函数与一元二次方程的关系，美国《标准》简单指出二者图象上的关系，中国《标准》则专门利用一个板块，介绍利用函数零点来判断方程根的情况，以及根据图象，利用二分法求解方程.此外，美国《标准》还通过函数引出了数列的基本内容.2.2 建立函数建立函数见表2.美国《标准》中“建立函数”板块主要包括函数的运算、复合、变换以及反函数等.中国《标准》中相关内容较少，在此仅把“说明与建议”部分中反函数相关要求归入本维度.反函数是高中数学中的难点概念之一[25]，对于该部分的内容，中国《标准》只是要求“以具体函数为例进行解释和直观理解”，与之相比，美国《标准》具体列出了关于反函数的几条标准，例如求反函数在特定点的值、反函数的存在条件等，并要求能求已知函数的反函数.两国《标准》都提到了指数函数与对数函数这一对重要反函数，美国《标准》还要求会将其用于解决现实问题.美国《标准》要求会进行函数间的运算与复合，对于函数的变换要求会识别当解析式变化时图象的变化情况，并利用计算机研究参数改变时函数图象的变化.从“*”标记的情况与所给例子来看，美国《标准》这一板块的内容很重视函数与现实情境的联系.现实世界中的问题如果要转化为函数模型，往往不可能由某一种函数简单描绘，因此函数的运算、复合乃至变换就十分重要.此外，虽然中国《标准》在数列部分提到了其与函数的联系，但数列安排在了数学5中.而美国《标准》继“理解函数”部分提出数列概念后，这里又进一步涉及了等差数列和等比数列的通项公式.数列既是函数在数学领域中的应用、又是函数在现实中的应用，美国《标准》很好地诠释了这一点.2.3 线性函数二次函数指数函数模型线性函数，二次函数，指数函数模型见表3.美国《标准》中该板块要求在现实情境中，根据需要，在理解线性、二次和指数模型增长情况的前提下能够选择并利用合适的函数模型，重点在于能够识别这几种函数模型增长的差异.相应的，中国《标准》中“（6）函数模型及其应用”也包含了指数函数、对数函数等增长差异的比较以及初等函数应用等内容，故归入此维度. 两国《标准》都注意到了对几种增长型函数进行比较分析的必要性，也都认识到这种比较是基于实际应用中的需要，其中美国《标准》在这一板块的标题上直接标注了“*”，开宗明义地指出了这部分就是为函数模型服务的，例如“根据具体情境理解线性函数和指数函数中参数的意义”，正是由于现实情境的千差万别，导致会面对同种函数不同参数的情况，因此安排该知识点正是考虑到了函数的实际运用，与此同时，这种结合具体情境的安排对于学习者来说也是十分合理的，否则学习者恐怕难以理解为何要研究参数变化的情况.类似的，中国《标准》也提到“结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义”.具体到条目中的要求，美国《标准》的表述更加详细.例如，对于线性函数和指数函数的区别，要求证明二者在相等区间长度上函数值增长情况的不同；会在给定图象、关系描述或数据的情况下建立线性函数或指数函数模型；能够从图象或数表观察函数增长情况的区别.既有严格证明方面的要求，又要会识别图象或数据信息.相对而言，中国《标准》中只是简单提出要“比较差异”、“体会不同增长的含义”，没有具体说明要比较几种函数的哪些方面，要求不明确.“收集函数模型实例、了解函数的广泛应用”作为一条标准，很难界定需要怎样执行才算达到要求.2.4 三角函数三角函数见表4.在美国《标准》中，三角函数是唯一单独列出的初等函数，中国标准中更是将其安排在了数学4中，体现了对其特殊性的认识与重要性的认可.就具体内容来说，两国《标准》都由弧度制的定义入手，借助单位圆理解三角函数并推导出诱导公式，对于同角三角函数的关系式也做出了类似要求.对于三角函数的性质，两国《标准》共同关注的都有周期性.此外中国《标准》强调了单调性、最值以及图象与x轴的交点，美国《标准》则更重视三角函数的对称性、奇偶性.中国《标准》要求利用计算机画出三角函数图象，并研究参数变化时对函数图象变化的影响.美国《标准》对反三角函数提出了明确要求，能够求解反三角函数，并使用计算器求出数值.美国《标准》包含了和角与差角公式，相关内容中国《标准》则安排在了三角恒等变换中，由向量数量积引出.在三角函数的应用方面，美国《标准》要求能根据给定周期现象的特点选择合适的三角函数模型，根据具体情境列出三角方程；中国《标准》只提到用三角函数解决简单实际问题，缺乏更加细致的要求.中美《标准》中“函数”部分内容有很多相似之处，主要表现在以下几个方面：（1）知识点的要求都比较清晰、具体.中国《标准》中体现在“指数函数”、“对数函数”以及“函数与方程”部分的内容比较细致，美国《标准》在函数的表征、函数的运算与复合函数、反函数、初等函数比较等方面都有十分详尽的要求.另外，两国标准都提供了一些具体例子来配合说明，例如，美国《标准》在谈到数列是定义在整数子集上的特殊函数时联系了斐波那契数列的例子，中国《标准》在“运用函数图象理解和研究函数的性质”时也附加了一个关于变速跑步的参考案例. （2）都很重视函数的应用.中国《标准》中函数、初等函数的概念强调了解其实际背景，对于指数函数具体给出了几个背景实例如细胞分裂等，对于指数函数、分段函数、三角函数等也都要求能够简单应用，并且安排了“函数模型及其应用”板块，要求收集函数模型实例，体会其广泛应用.美国《标准》直观上通过“*”标记了大量与函数模型有关的内容，并且在涉及这些内容的地方安排了具体实例，如在复合函数部分安排了这样一个例子：随着时间变化的气球温度的函数由随着时间变化的高度函数与随着高度变化的温度函数合成.这种例子的安排能够帮助学生了解该知识点是如何应用于实际的.（3）都强调利用信息技术帮助理解和分析函数性质.例如美国《标准》要求“会使用计算机绘制复杂函数的图象，并会从图象中得到函数的主要特征”、“会使用计算机来验证和解释参数对于函数图象的影响”以及使用计算器求解反三角函数；中国《标准》中也有“能借助计算器或计算机画出具体指数函数、对数函数的图象，探索并理解指数函数、对数函数的单调性与特殊点”、“利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异”以及借助计算机研究参数对于三角函数图象变化的影响等.两国《标准》“函数”部分内容也有很多不同之处，主要表现在以下几个方面：（1）标准实施中的灵活程度不同.美国《标准》虽然规定了函数部分的内容及要求，但并没有限定哪一个年级必须执行哪些知识点，课程设置有一定的自由度.中国《标准》则把除三角函数外的内容都列入了数学1中.数学1是数学2至数学5的基础，这样一来，函数课程的开设时间就相对被限定了.（2）板块（或内容）间的逻辑关系不同.两国《标准》中三角函数部分都被相对独立地安排，其余板块以及之间联系都有很大不同.美国《标准》“理解函数”部分侧重整个函数内容基础知识的学习，之后的“建立函数”与“线性函数，二次函数，指数函数模型”则是在此基础上的深入，且明显立足于函数的实际应用，即这3个板块体现了从学习知识到应用知识的递进过程，反映了由理解知识到在现实中应用知识，并在应用中加深理解的构想.与之不同，中国《标准》将几种基本初等函数单独设立了板块，前4个板块都主要强调函数的理解，第五板块“函数与方程”是函数在数学中的一个应用，其后才又专门设置了“函数模型及其应用”.（3）知识点的广度、深度不同.广度上，主要体现在美国《标准》相比中国《标准》多出了函数的运算、复合及变换这部分的内容，以及在绘制函数图象方面，要求能画平方根、立方根、多项式函数等的图象；中国《标准》则多出了用二分法求相应方程近似解.另外，美国《标准》没有涉及映射的概念.深度方面，美国《标准》在反函数与表征方面有较高要求，如求已知函数的反函数（包括反三角函数）以及比较两个使用不同形式表征的函数的性质等.而中国《标准》则在对数函数、函数与方程等内容上有更高的要求.4.1 处理好函数内容的限定与自主的关系美国《标准》是基于当前各州教育水平参差不齐，内容广而浅的现状而制定.要通过一部标准解决这些问题，对于标准中的知识点做出多大程度上的限定是关键.针对教育水平参差不齐的现状，《标准》中知识点呈现十分具体、详细的特点；针对内容浅显的问题，《标准》中很多知识点的要求也都有一定的难度.这样一来，内容比较固定，内容上允许的自由度较小.与此同时，美国《标准》并没有规定该部分内容在课程实施中的时间、顺序，就这一点来说，又留出了一定的自主空间，使得各州可以灵活安排实施.而在中国《标准》中，内容上同样比较固定，但相比美国《标准》多了按照模块划分的限制.函数所在的数学1作为其它必修内容的基础，被限定在高中数学课程的最开始，相关内容则分散在不同模块中，给教学带来了一些问题.例如，不等式是函数的基础，但却被安排在数学5，因此不得不提前给学习者讲授这一部分的内容[26].又如，三角函数和三角恒等变换安排在数学4中，而解三角形则被安排在数学5中，和数列、不等式放在一起，而数列也由此与函数分割开.归根结底，模块化的安排是为了让知识编排呈现螺旋形上升，帮助学习者逐步理解.然而，根据美国《标准》的附录A——《基于共同核心州立标准的高中数学课程设计》（Designing High School Mathematics Courses Based on the Common Core State Standards）所给出的4种课程编排模式，单是“理解函数”部分的知识点就被分散到了不同年级的内容当中[27]，螺旋上升的程度相比中国《标准》有过之而无不及.既然如此，又何必要作出模块化的限定呢？4.2 处理好函数知识的理解与应用的关系重视函数模型是两国《标准》共同的特点，如何贯彻这一点，处理好知识理解与应用的关系，两国《标准》的方式有所不同，主要体现在“结论”部分所指出的两国《标准》板块间逻辑关系的区别上.美国《标准》的编排从总体上看呈现由理解知识到应用知识的递进过程，具体到其中侧重于应用的两个部分（“建立函数”，“线性函数、二次函数、指数函数模型”），也体现了知识理解与应用的结合——由实际情境中运用函数的需求引出了复合函数、初等函数的比较等知识点，详细而有条理，内容充实，而不是空谈应用.中国《标准》在理解函数的内容中并没有忽视应用，强调由实例引出函数和初等函数的概念，这是该《标准》的一个特点，但落脚点仍在帮助学生更好地理解函数的概念与性质.至于之后安排的“函数模型及其应用”部分，其一内容太少，涉及的现实问题单一；其二缺乏具体相关知识点支撑，难以达到一定深度；其三该部分被放到最后，与其它内容割裂，容易流于形式.据此，建议联系具体函数知识点，适当增加现实情境中运用函数的内容，并力求详细、清晰，从而为函数模型的深入学习与运用创造条件.4.3 处理好函数知识与其它数学知识的关系函数的思想方法贯穿了高中数学中的许多知识点.F·克莱因曾提出，用函数的思想方法统领数学教育的内容.联系函数与相关数学知识，不仅对后者的学习有所帮助，也能加深对函数本身的理解.美国《标准》把“数列”的内容纳入函数中，此外还涉及了导数、方程等内容，并用“（+）”标明了与高等数学（如微积分，高级统计学，离散数学等）有联系的部分.相对而言，中国《标准》只是安排了“函数与方程”这一板块.虽然在选修与必修中的大量内容（方程、不等式、线性规划、数列、算法、信息安全与密码、优选法与试验设计等）中都蕴含了函数的思想方法，但由于模块化的安排所限，难以及时、灵活地与函数相关内容进行互动.因此，在函数内容中，对于这些部分，不妨做出适当引申，简单指出其与相关知识的联系.此外，由于这些内容相比函数本身往往更加接近现实情境，也可以结合函数的应用来一并考虑.【相关文献】[1]聂必凯，郑庭曜，孙伟，等.美国现代数学教育改革[M].北京：人民教育出版社，2010.[2]曹一鸣，王立东，Paul Cobb.美国统一州核心课程标准高中数学部分述评[J].数学教育学报，2010，19（5）：8-11.[3]廖运章.美国《州共同核心数学标准》的内容与特色[J].数学教育学报，2012，21（4）：68-72.[4]胡典顺，汪钰雯.美国《共同核心州立数学标准》中“高中代数”内容解读及启示[J].数学通讯，2013，（3）：1-5.[5]童莉，黄翔.寻求课程的一致性——对美国数学课程焦点的分析与思考[J].数学教育学报，2007，16（3）：79-82.[6]周莹，蔡金法.美国综合大学中学数学教育专业的课程设置探析——以美国特拉华大学为例[J].数学教育学报，2011，20（5）：70-73.[7]东洪平，张维忠.美国《成功的基础》评介及其对数学课程改革的启示[J].数学教育学报，2011，20（5）：74-76.[8]霍雨佳，黄翔.发掘数学教材的评价功能——对美国加州小学数学教材的分析与启示[J].数学教育学报，2011，20（3）：76-79.[9]刘玉波，汤大林，马仲立.关于美国微积分改革的思考[J].数学教育学报，2011，20（3）：80-82.[10]吕世虎，高丽.美国《中学数学教与学》教材的特点及其对中国数学教师教育的启示[J].数学教育学报，2010，19（2）：90-93.[11]吴俊利，郜舒竹.美国明尼苏达州数学学业标准的变化[J].数学教育学报，2010，19（4）：63-65.[12]李善良.美国中小学数学教育的现状及思考[J].数学教育学报，2012，21（1）：68-72.[13]方勤华，宋晓梅，孙名符.美国中小学数学教师数学知识素养要求及其问题与启示[J].数学教育学报，2009，18（5）：75-78.[14]王兆云.追寻优质的数学教育——一所综合了东西方教育理念的美国高中学校简介[J].数学教育学报，2011，20（6）：48-50.[15]胡典顺.美国学校数学教育中的“表征”及其启示[J].数学教育学报，2009，18（5）：72-74.[16]张伟平.TIMSS测试的认知诊断评价标准下中美学生数学能力比较[J].数学教育学报，2010，19（4）：66-69.[17]吴仲和.国际数学成就比较和教材评价[J].数学教育学报，2008，17（1）：20-29.[18]何小亚.教育战争与数学教育的出路[J].数学教育学报，2008，17（1）：70-74.[19]孙名符，丁玮.对20世纪以来美国中学数学教育目标变迁的再思考[J].数学教育学报，2007，16（2）：82-86.[20]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.[21]吕世虎，刘鹏飞.《标准》与《大纲》中函数内容难度的比较研究[J].数学教育学报，2010，19（3）：63-66.[22]钟志敏，李士锜.高一学生函数对应关系的理解的研究[J].数学教育学报，2010，19（1）：33-36.[23]李祥兆，王小杭.高一学生对函数奇偶性的认知研究[J].数学教育学报，2010，19（3）：50-52.[24]李耀光，何小亚.新课程数学概念“螺旋式”上升编排的认知审视[J].数学教育学报，2010，19（4）：12-14.[25]阮晓明，王琴.高中数学十大难点概念的调查研究[J].数学教育学报，2012，21（5）：29-33.[26]张永超.关于《普通高中数学课程标准（实验）》适用性和科学性的几点思考[J].数学教育学报，2008，17（2）：61-64.[27]廖运章.美国基于CCSSM的高中数学课程设计模式[J].课程·教材·教法，2012，（9）：113-121.。
中美数学教材设计的一项比较研究——以“勾股定理及其逆定理”为例
中 图分 类号 ：Ｇ ６ ２ ４
中小学 数学 教材 中对 知识 的设计 和 处理方 式 既是教 师解 读 教材 的基础 ，也是 学 生 数学 学 习 的引 导．数
学 教材 中对 知识 的设 计 以实现 教学 目标 为 目的 ，服 务课 程 目标 ．透 过 教 材设 计 ，比较 探 析 数学 教 学 差 异 ，
材 设计 上 的差异 ，以发 现两 者各 自特 点 ，供教 学研 究者 相互 参考 、 借 鉴．
１ 教 材 设 计 比较
以“ 勾 股定 理及 其逆定 理 ” 为例 ， 从 知识 整体 结构 、数学 活 动 、问题情 境 、内容 可 读性 、有 关数 学 文化 、 演 绎 推理 与合情 推理 ６ 个 方 面对《 发现 几何 》 与人 教版《 初 中数 学 》 进 行 比较分 析．
作者简介 ： 李 金 富 （ １ ９ ７ ５ 一 ） ，男 ，四 川 普 格 人 ， 博 士 ，讲 师 ，主 要 从 事 数 学 教 育 研 究 通信作者 ： 李 金 富 ．
第 ６期
李金 富，等 ：中关数 学教 材设计 的一项 比较研 究—— 以“ 勾股定 理及其逆 定理 ” 为例
１ ７ ５
的探求 ，是一 种解 析 的思想 ，同时将勾 股定 理 与无 理数 相联 系 ，突 出数 与形结 合 的思想 ．
表 １ 初 中数 学 教 材 知 识 整 体 结 构 设 计 发 现 几 何
表示 和原命 题 与逆命 题《 发现 几何 》 未涉 及 ．总 体上 《 发现几何》 与 人 教版 《 初 中数 学 》 涉 及 内 容均 比较 丰 富 ，
知识 量及 知识 结构无 明显差 异 ，都 突 出了 以下 特点 ：①活 动性 ：均 以数 学 活动 的形 式探 求 勾 股定 理 及 其 逆
《数学美育教育探析国内外文献综述4500字》
数学美育教育研究国内外文献综述1国外数学美育研究现状西方国家很早就有对数学中存在美的思想认识。
古希腊的毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前572-公元前497)首创“美在形式”的理论，宇宙的本质在于数学美的数量和意蕴。
此后，西方学者延续了数学美的研究传统，包括数学美在数学教育中的地位和作用的研究。
从资料发现，国外在这方面的研究似乎还没有得到国内全面而深入的研究，主要侧重于数学思维的启发作用，即数学美作为一种方法论。
目前，学生兴趣普遍缺乏，认为数学是枯燥的或无用的数学学习，许多外国学者已经意识到重视数学的审美价值，以改善情况。
例如，Howard Gardne1认为审美因素对学习很重要，各种智力需要审美支持，数学也不例外。
通过数学美育，可以提高学生的逻辑思维水平，有助于保持直觉的审美方式，并与逻辑思维能力相协调。
此外，数学美感也是情感教育的一部分，“可以促进学生的学习，生活和周围的积极情绪体验，形成独立和健全的个性和个性特征”。
Eisne2认为一种用审美视觉理解现实的认识方式。
该方法与其他认知方式，如科学探索（科学思维）是同样重要的是，“审美认知感知学科知识与现实生活提供了不同的观点，从而忽视它，无疑会降低人们的生活体验和对世界的解释能力。
此外，他还列举了审美认知的几个功能：情感激励、权威挑战、内在力量的生成和事物整体的获得。
一般来说，对数学教育中的美的应用，国外学者主要集中在通过审美经验和直觉思维能力和创造能力提高的学生，并与数学本身的美，激发学生的兴趣和爱好。
从20世纪80年代末开始，世界主要发达国家对数学教育的发展历程进行了全面总结，提出了一系列数学教育发展纲要和数学课程改革蓝图。
在各个国家数学课程的分析，发现各国数学课程目标放在突出地位的文化素养，是数学课程应重视人类文化的发展，注重提高学生的数学素养和良好的情感体验。
英国的《考克罗夫特(Cockcroft)报告》中指出，“数学内在的趣味性和它对许多儿童和成人1Howard Gardner. Blending art and geometry with precision[J].Arts & Activities, 130(1):462E.Eisner. Aesthetic modes of knowing[M]. In E.Eisner Learning and teaching the ways of knowing:Eighty-fourth yearbook of the Society for the Study of Education (Chicago: University of Chicago),1985:23-36.所产生的吸引力”是实施数学教育的基础之一；新出台2000年课程标准(Curriculum2000)中认为:“……数学是一门创造性的学科，它能在学生第一次解决一个问题，发现更优美的解法或是突然领悟内在联系时，激发他们的愉悦和.惊喜。
中美高校微积分教材比较
中美高校微积分教材比较孙保炬傅宇辰陈怡沈喆摘要：本文选用了同济大学出版的《高等数学》第七版与由叶其孝、王耀东等翻译的《Thomas Calculus》译本第十版进行比较分析。
对于两本教材的内容、排版、结构、习题进行初步分析，为我国微积分课程的教学提供指导意见。
关键词：高等数学;教材比较;内容分析微积分是一门研究微分、积分及其相关概念的一门学科，属于数学大类。
自然科学的发展离不开数学的发展，几百年来微积分理论对自然科学的进步提供了巨大的动力，为解释一些自然现象提供了有力的理论依据。
微积分促进了理学、工学、农学、医学、经济学等学科发展，直到今日我们仍能从中受益，这也是许多高校的理工科专业开设微积分为必修课的原因。
微积分课程的教学质量既关系到学生今后的发展，也关系到本科学生读研深造，然而微積分课程的教学质量与其选用的教材息息相关。
随着全球化的持续推进，我们不能仅仅拘泥于本国原有的教材和教学方法，需要开拓国际化视野。
众所周知，美国是世界上本科教育质量最高的国家之一。
故本文我们将对其采用的微积分教材进行比较探究，并在最后提出几点对我国目前本科微积分教学的建设性意见。
以下文章中所提到的《微积分》即指《Thomas Calculus》，《高等数学》即指同济版《高等数学》。
一、教材知识点比较1.教材知识容量《微积分》的知识依次包含：预备知识、极限、一元微分学、一元积分学、微分方程、级数、向量、多元微分学、多元积分学，共计14个章节;《高等数学》的知识依次包括：极限、一元微分学、一元积分学、微分方程、空间向量、多元微分学、多元积分学、级数，共计12章。
两本书的知识点几乎都是重合的，只是在知识排版和顺序上有所不同。
特别的是，《微积分》中有预备知识这一章节，很好的衔接了高中和大学，给了大学生一段从高中的初等数学过渡到高等数学的时间。
当然也可能是中国和美国的高中教育的差异导致了美国学生学习高等数学时需要过渡。
但同时对中国高中阶段一些知识漏洞的补充也有帮助：例如反函数和参数方程内容，由于中国各省份的高考试卷考纲有些不一致，所以对反函数和参数方程进行细化讲解很有必要。
中美两国义务教育阶段数学课程中统计与概率内容的比较研究
养 的一 部分 。从 １ ３ 年 苏联 数 学 家 柯 尔 莫哥 洛 夫 学 》上 曾有 文 介 绍 “ 疑 数 学 ” ，概 率 则称 “ ９３ 决 或 然 率 ” 。２ 世纪 ３ 年 代 ，中 国有 一 本 使用 很广 的 ０ ０
高 中 教 材 《 氏大 代 数 》 ，其 中列 有 “ 率 ”的 范 概
国成立 初期 ， 《 氏大 代 数 》 曾作 为 必修 教 材 使 范
用 ，但 ２ 世纪 ５ 年 代 山于 学 习 苏联 的数 学教 育 ， ０ ０ 概 率 统 计被 排 除在 中学 数 学 课 程 之外 。 １６ 年 ， ９０
为 中小 学数 学 教学 的必修 内容 。在 基 础 教育 阶段 在 大跃 进 思潮 影 响 下 的教 育 改革 ，把概 率 统 计 内 就 非 常注 重 学 生概 率 统 计 知 识 的获 得 和 概 率 统计 容 放进 了中学 教 材 。但 山于在 理 论上 要求 过 高 过 观 念 的发 展 。美 国在 ２ 世 纪 ８ 年 代 明 确提 出 ，把 深 ，在 联 系 实 际上 又 脱 离 中学 生 的生 活 ，使 得 教 ０ ０ 概 率 统 计 内容 的教 学 延伸 至幼 儿 园 ，提 倡概 率统 师 难 以教 、 学生 难 以学 ，只在 少数 学 校试 验 后 不 计 教 学 的 早 期教 育 ， １ ８ 年 ＮＣ Ｍ （ 美 数 学 教 久 就退 出 了教 育舞 台 。从 １７ 年 开始 ，历次 数 学 ９９ Ｔ 全 ９８
师理 事 会 ） 的 《 国学 校 数学 课 程 与评 价标 准 》 美 的 原则 和标 准 》 更 是强 化 了这 种 理念 ，把 概 率 统
教 学 大 纲 改革 都 规 定 了在 初 中３ 级 学 习 统 计初 年
是这 种 理念 的具体 体 现 ，２０ 年 《 国学校 教 育 步 ，但 在执 行 过 程 中 ，统 计 教 学 并没有 取 得 理想 ００ 美 的效 果 。 在 新 一 轮 基 础 教 育 课 程 改 革 的 大 背 景
中美两国教育制度十大差异
中美两国教育制度十大差异1.教育目标：中美两国教育的目标略有不同。
中国教育注重学生的智力发展和应试能力培养，强调知识的灌输和记忆。
而美国教育强调学生的创造性思维、批判性思维和解决问题的能力。
2.学制和年级：中国的学制是6+3+3，分为小学、初中和高中，共九年义务教育。
而美国的学制是K-12，即从幼儿园到高中，共12年。
3.教育管理：在中国，教育系统由政府集中管理。
学校的管理以规范为主，注重纪律和秩序。
而在美国，教育系统由联邦、州和地方政府共同管理。
学校有更大的自主权，注重个性化和多元化。
4.评价制度：中国的教育评价制度以高考为主，注重考试成绩的综合评价。
学生的命运很大程度上受制于考试成绩。
而在美国，评价制度更加综合，包括考试成绩、课堂表现、作业完成情况和参与课外活动等。
5.选修课程：中国的教育课程主要以文科和理科为主，学生在高中时选择文科或理科方向。
而在美国，学生有更多的选修课程选择，可以根据自己的兴趣和职业目标选择不同的课程。
6.教育资源：中国的教育资源分配不均衡，城市和发达地区的教育资源更为丰富。
而美国的教育资源相对均衡，公立学校和私立学校共存，家长可以根据自己的经济状况和教育理念选择学校。
7.学术压力：中国的教育系统存在较大的学术压力，学生需要背诵大量的知识和应对高强度的考试。
而美国的教育系统相对较轻松，注重学生的全面发展和个性培养。
8.教育质量：中国的教育质量在国际比较中相对较高，特别是在数学和科学方面。
美国的教育质量有一定的差异，优质的教育资源主要集中在一些富裕地区和私立学校。
9.教师角色：在中国，教师在课堂上一般充当知识传授者和学生管理者的角色。
而在美国，教师更像是学生学习的引导者和合作伙伴，注重培养学生的自主学习能力。
10.社会认可度：在中国，教育的社会认可度相对较高，学历对就业和社会地位具有重要影响。
而在美国，教育的社会认可度相对较低，注重个人能力和实践经验。
综上所述，中美两国教育制度存在许多差异。
中美课堂差异比较
基于个案研究的中美课堂差异比较研究背景作为世界上的超级大国，美国在经济没文化等领域上具有相当的领先优势和值得借鉴的优良习惯。
最为复兴中的古老强国，中国既要坚持自己的文化传统，也要对外国优势之处进行借鉴和发扬。
我国许多教育工作者在学习美国教育领域的先进领域的经验和理解的同时，也对中美在课堂教学之间的差异性产生了巨大的兴趣。
但是在研究时往往停留在经验介绍，课堂形式，课堂活动，课堂目标等方面的比较上，而对课堂背后的价值观差异和国家文化的差异探究较少。
但是事实上，只有针对中美两国在文化维度上的巨大差异性进行深刻的分析，才能真正理解美国教育形式的意义，从而针对我们文化背景下的教育工作进行改革和发展。
研究目的本文希望通过对于中美课堂上具体形式包括教学环境安排，师生关系态度，教学方法的比较来总结和反思在这背后的文化差异所起到的具体影响。
通过对于中美两国文化上的差异性的比较和借鉴，依据我国国情，不简单照搬美国教学模式，为有效的开展教育工作提供理论依据，为我国的教育改革和教育质量的提升提供参考。
中美课堂差异比较—以中美小学数学课堂为例之文献综述一、搜索对象和范围以“中美数学课堂差异”“中美课堂差异”“中美数学课堂比较”“美国小学数学课堂”等为关键词在CNKI中国知网上进行搜索，搜索范围约100篇文献，其中与本研究主题关系密切的文献30余篇。
文献在研究主体和研究情境方面类型多样，涉及到高校硕士学位论文，发表到学术类期刊上的学术论文，高校研究所工作人员的量化研究，国内优秀教师的国外观察报告以及对教育专家的访谈等。
文献发表时间集中在2005年～2012年，属于近年比较新的研究成果，对本问题的研究有较强的借鉴意义。
二、文献形式主题归类从文献的形式上看，既有偏重理论的分析研究，也有较为广泛的调查分析，还有基于案例的比较研究；有基于中美课堂差异的某个方面（如教师提问方式）的研究，也有对中美课堂较为全面的比较分析；既有突出数学学科特征的研究，也有淡化学科的总体特征比较。
中美数学课程标准：比较与阐释
稿 ） ［ ， 记 为 Ｃ ． 在 美 国 数 学 课 程 标 准 存 在 多 种 版本 ， 同州 就 有 不 同 的课 程 标 准 ， 了 与 我 国数 学课 》］简 ２ ＭＳ 而 不 为 程 标 准 在 政 治 地位 上 相 称 ， 们 选 择 了 由全 美数 学 教 师 理 事 会 编 著 的 《 国 学 校 数 学 教 育 的 原 则 和 标 准 》］ 我 美 ｌ， ３
引导和预防， Ｃ 而 ＭＳ 重 视 知 识 ， 视有 形 的可 测 物 ， 则 重 忽视 无 形 的 不可 测 物 ， 形 式 上 看 仍有 “ 学 大纲 ” 影 子． 从 教 的 关 键 词 ： 程标 准 ； 课 比较 ； 擎 ； 库 ； 学 大 纲 引 仓 教
中 图分 类 号 ： ４ ． Ｇ６ ２ ４ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ０ ９８ ２ （ ０ ９ ０ 一 １ ９ Ｏ １ ０ — ２ ４ ２ ０ ） ６Ｏ １ 一 ４
第 ２ ７卷第 ６期 ２０ ０ ９年 １ １月
泉 州 师 范 学 院学 报 （ 自然 科 学 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｕ ｎ ｈ ｕ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＱ ａ ｚ ｏ ｒ ｌＵｎｖ ｒ ｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ）
Ｖｏ１２７ ＮＯ ６ ． ．
选 择 和课 程 标 准 的 作 用 等 的 区 分 何 在 ， 而 为 我 国 数 学课 程标 准 深 化研 究 得 以 借 鉴 ． 进
２ 内容 比较
《 日制 义 务 教 育 数 学 课 程 标 准 （ 验 稿 ） 和 《 国数 学 教 育 的 原 则 和 标 准 》 本 书 总 体 上 看 ， 括 “ 言 全 实 》 美 两 包 前
中西方教育文化差异案例(3篇)
第1篇一、引言随着全球化的发展，中西方文化的交流日益频繁。
教育作为文化交流的重要组成部分，也呈现出越来越多的差异。
本文将以美国与中国为例，从教育观念、教育方式、教育内容等方面，探讨中西方教育文化的差异。
二、教育观念的差异1. 美国教育观念美国的教育观念强调培养学生的创新能力和实践能力。
美国教育认为，教育应该尊重学生的个性，关注学生的全面发展。
在美国，学生从小就被鼓励独立思考、勇于尝试，这种教育观念有助于培养学生的创新精神。
2. 中国教育观念中国的教育观念强调知识传授和应试教育。
在中国，教育被视为改变命运的关键途径，因此，家长和学生对教育的期望很高。
这种观念导致学生在学习过程中过分注重分数，忽视了综合素质的培养。
三、教育方式的差异1. 美国教育方式美国的教育方式注重启发式教学，教师通过提问、讨论等方式引导学生主动学习。
美国课堂上，学生可以自由发表意见，师生互动频繁。
此外，美国教育还强调实践活动，如实验、实习等，使学生将所学知识应用于实际。
2. 中国教育方式中国的教育方式以教师为中心，教师负责传授知识，学生被动接受。
中国课堂上，学生很少有机会发表意见，师生互动较少。
此外，中国教育注重考试，学生在学习过程中往往以考试为导向，忽视了自主学习。
四、教育内容的差异1. 美国教育内容美国的教育内容注重培养学生的批判性思维和创新能力。
美国课程设置灵活，学生可以根据自己的兴趣选择课程。
美国教育还强调跨学科学习，如科技、艺术、人文等，以培养学生的综合素质。
2. 中国教育内容中国的教育内容以应试教育为主，注重知识的传授。
中国课程设置较为固定，学生很难根据自己的兴趣选择课程。
此外，中国教育注重传统文化的传承，如诗词、历史等。
五、案例分析以数学课程为例，中美两国在教学内容、教学方法和教学评价等方面存在显著差异。
1. 教学内容美国数学课程注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
美国数学教材中，抽象概念和实际问题相结合，使学生能够将所学知识应用于实际。
中美义务教育阶段数学课程标准基本理念研究的启示
炼 数学思 想 方法 ［ ， 都是 中 国数 学 教 育 的 １’ ］等
优 良传统 ， 就需 要 我 们 在继 承 中 国 数 学 教 这 育 优秀传 统 的 同时 ， 要 在 教学 实 践 中 不 断 还
地 体悟 、 展 、 发 创新 这 些 优 良传 统 ， 以适 应 新 时 期数学 教育 的发展 ； 次我 们 需 要 深 入研 其
几 点 启示 ． １ 我 国的 基础 教 育数 学 课 程 改革 应在 继 承
多 样 的教 学方 法 ， 借 助 先进 的信 息 技 术 进 并
行 辅助教 学 ， 而激 发学生 兴趣 ， 养 学生数 从 培 学 思维 和创新 意 识 ， 且适 当地 根 据 每 个 学 生 的能力差 异进行 因材施 教 ； 次 ， 制定 出更 其 应
Ｅ ｍａｌｗｕ ５ ９ ３ ８ ６ ＠ １ ３ ∞ ｍ － ｉ ｌ １ Ｏ ５ ７ ９ １ ６．
第３ Ｏ卷 第 ７ 期
２１ ０ １年 ７月
数 学 教 学 研 究
５ １
能真 实 反应学 生 数 学 水平 的 评 价 制 度 ， 学 对
生进 行全 面 、 观 、 客 正确 的评 价 ， 学 生 在 学 让
５ ０
数 学 教 学研 究
第３ Ｏ卷第 ７期
２１ ０ １年 ７月
中美义务教育阶段数学课程标准基本理念研究的启示
武 芳如 金 鸿文
（ 北 师 范大 学 教 育学 院 ，甘 肃 兰 州 ７ ０ ７ ） 西 ３ ０ ０
摘
要： 通过 对 中 国《 日制 义 务 教 育数 学课 程 标 准 （ 全 实验 稿 ） 的 基 本 理 念 与 美 国《 》 学校 数 学 的 原 则
美 义 务 教育 阶 段 的 数 学 课 程 标 准 进 行 了 比 较 ， 出中国《 准 》 得 标 的六 条 “ 本 理 念 ” 美 基 与 国《 准 》 标 的六个 “ 原则 ” 反映 的 内容 及 思 想 所 具 有 内在 的一 致 性 ， 也得 到 了许 多 有 价 值 的
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一、当今美国教育的理念
当今美国的教育理念主要基于人本主义教育学，其最主要的观点如下:
①追求教育公平和教育机会平等的理念。
②教育的目标是培养合格公民的理念。
③人文精神是教育之魂的理念。
④独立思考、质疑一切的理念。
⑤教育是社会自由保证的理念。
二、中美数学教育理念上的差异
（一）注重理论与注重真实背景的差异
中国的数学老师在讲授新的知识点的时候，非常强调概念的重要性，学生在掌握了数
学定义、定理之后，再通过大量的习题的训练。而美国的数学教育则把看似简单的数学定理、
公式，都放在了实际的生活问题中去学习，课堂氛围及其轻松，师生互相讨论，虽然只是一
个极其简单的数学知识点，但是美国的老师总是和实际的例子联系起来讲授。
（二）注重应试与注重实际应用的差异
中国的老师在教数学的时候，往往对一个知识点要延伸出若干个知识点，若干种变化
形式，若干种考法。反观美国的数学教育，老师在讲授的时候，很少提及考试，都是联系生
活中的实际问题讲授的
（三）注重严谨、规范与注重创造、开放的差异
中国的数学教育讲究方法的正统性，对于解题的过程，要求严谨、规范。美国的数学
老师在讲授数学知识点的时候，相对于知识点本身的深层次理解，更加注重知识点的运用以
及解决实际问题的能力的培养。
（四）注重逻辑推理、严谨证明、精确计算与注重举例、反证、疑问的差异
美国的中学数学教学中并不强调训练学生的运算能力，他们的许多数学试题都只需要
学生做出判断，而并不需要证明、计算，即使有计算，试题也会准备好若干计算结果来让学
生选择。中国的中学数学教学则重视对学生逻辑推理能力的培养，重视几何问题中作图、证
明、计算的训练，但是中国的学生举例、反证能力不强，缺乏疑问精神，思维不够发散。
三、中美中小学数学教学实施的差异
在教学目标上，更多的中国教师把思维作为学习的主要目标，而美国教师则把掌握技
能作为主要的任务。
在课堂容量上，美国显著多于中国，美国平均每节课包含的课题数多于中国。
从课题的分类上看，美国课堂中包含有关概念的课题的数量低于中国，而有关应用的
课题的平均数，美国则高于中国。
在概念的教学方式上，美国课堂上数学概念更多的是陈述的，也即由教师或者学生简
单地提出，不作解释和推导;而中国的课堂更多的是探究的，也即由教师、或者教师和学生
一起去解释和推导概念，目的是增加学生对概念的理解。
在解题方法上，美国在出现多种解法的课堂中，更多的是由教师提供的，而不同解法
的数量上，中国远远多于美国。
在数学证明方面，中国比美国更为重视。中国课堂包含证明的百分比远远超过美国。
在课堂作业的复杂程度上，美国课堂作业以单步骤任务居多，而中国以多步骤任务居
多的课堂。
在教学内容的数学水平上，根据数学专家小组的界定，美国有89%的课属于低水平。
四、产生中美数学教育差异的原因分析
首先，中美两国有着极为不同的教育传统。中国数学教育注重知识的积累和灌输，注
重培养学生对知识的本身的掌握，注重培养学生求同思维。而美国则注重培养学生运用知识
进行解决实际问题的能力，注重培养学生对知识的拓展和创新，注重培养学生批判性思维和
发散性思维。可以看出，中国的数学教育侧重于知识的静态接受，而美国的数学教育则侧重
于知识的动态掌握;中国是一种模式化教育，而美国则是一种精英式的教育。
其次，不同的国家对数学教育的基础有不同的理解。我国教育界历来认为，基本概念
和基本运算是数学的基础，因此我们中小学阶段需要去记大量的公式和定理。而美国则认为
知道去哪里去寻找这些定理和公式更为重要，他们认为可以查到这些公式和定理，就无需伤
神费力地去记忆，人脑完全可以省下来去思考其他的东西，比如这个定理有应用价值吗?我
是否有必要去学?等等。因此，当凭借课堂成绩拿奖学金的时候，美国学生往往比不上中国
学生，但在可以充分利用信息工具，在具体的实践领域搞一些具体的研究性工作时，中国学
生往往就比不过美国学生。
第三，在价值取向上中美两国存在着不同，美国的基础教育是从个人主义本位出发，
个人至上是其传统的价值追求，美国基础教育注重培养学生的个性和创造性。中国的基础教
育则是从社会本位出发，集体主义和爱国主义的价值观念是其传统上的价值追求，这就决定
了中国基础教育所进行的个人能力和创造能力的培养也都是和价值观念相关的。这与美国的
个人主义至上的教育有着根本的区别的’。
最后，除了上面几种差异外，还存在着其它的差异，比如说中国的数学教育重视扎实
性，而美国教育重视多元性;中国的数学教育注重纵向的深度，而美国的教学则注重广度;美
国的教学注意培养学生的自信和自立的精神，中国的数学教育注意培养学生严格和严谨的治
学态度。相应地，美国有宽松、自由的氛围，能够充分照顾每个学生的兴趣和爱好;而中国
的数学教育则沉闷得多了。
五、基于文化的视角分析产生中美教育理念差异的原因。
答：第一，中国有着五千多年的悠久历史，中国的教育中一直有着一种传统、中庸的
风格，这就导致了中国的教育在很大程度上都是传承性的，缺乏创新的激情与动力; 而美国
是一个年轻的国家，在其多民族融合的文化中，更注重不同的文化、不同的主张之间的碰撞，
有了碰撞才有创新的激情与动力，因此，与其说在美国教育中渗透了批判式精神，到不如说
美国的教育中有着更多的开拓进取的精神。
第二，中国的教育文化中更多地传递了一种“精确、不能出错”的信息，这使得中国
的学生很小心谨慎地去接受所学习的知识，一般都是停留在重复的机械式训练和以检查为目
标的考试层面，因此很少有机会能够将所学的知识应用在解决实际问题上，更不用谈创新与
创造了;而美国的教育文化则更多的传递了一种“理解应用—怀疑疑问—创新释疑”的信息，
在教与学的过程中，老师和学生都在不停地对以往的知识进行理解和新的应用，甚至对于心
中的疑问通过自己的实际努力去释疑，而不是通过翻教科书去解答，这样的教育理念和教育
模式使得美国的学生解决实际问题的能力远远超过中国的学生”。
第三，中国是一个官本位的国家，因此教育价值更多的体现在了功名利禄方面，中国
的学生，尤其是读书好的学生，占绝大多数的学生都是以“将来找一份高薪工作”为奋斗目
标的，因此在这样在教育价值的驱动下，中国的学生很自然地就会忽略社会实际问题的解决
能力的培养和训练，而更注重自我价值的实现;美国则不一样，美国的价值更多的体现在个
人上，美国的教育观点认为，一个人的成功与否，并不是看他的受教育程度，而是取决于他
的个人价值和对社会的价值，因此美国人在教育过程中很注重培养学生解决社会实际问题的
能力，因为他们注重的是个人对社会的价值。