离散数学-2005`2006(2)-试卷A参考答案及评分细则
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化(共6小题，每小题3分，共计18分)1. 用命题逻辑把下列命题符号化a) 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b) 我今天进城，除非下雨。
c) 仅当你走，我将留下。
2. 用谓词逻辑把下列命题符号化a) 有些实数不是有理数b) 对于所有非零实数x,总存在y使得xy=1。
c) f是从A到B的函数当且仅当对于每个a€ A存在唯一的b € B ,使得f(a)=b.二、简答题(共6道题，共32分)1. 求命题公式(P T(Q T R)).r(R T(Q T P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
(5分)2. 设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值(4分)a) -x y(x+y=4)b) y -x (x+y=4)3. 求-x(F(x) T G(x)) T ( xF(x) T-I X G(X))的前束范式。
(4 分)4. 判断下面命题的真假，并说明原因。
(每小题2分，共4分)a) (A _.B)—C=(A-B) (A-C)b) 若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A| < |B|5. 设A是有穷集，|A|=5，问(每小题2分，共4分)a) A上有多少种不同的等价关系？b) 从A到A的不同双射函数有多少个？6. 设有偏序集<A, < >，其哈斯图如图1,求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)7. 已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数K IS;P(S);N,N ；P(N);R,R X R,{o,1}(写出即可)(6 分)三、证明题(共3小题，共计40分)1. 使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
(每小题5分，共10分)a) A T (B A C),(E T—F) T—C, B T (A A ~S)二B T Eb) -x(P(x) T—Q(x)), -x(Q(x) V R(x)) , x—R(x)二x~P(x)2. 设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A工._且B =_,关系R满足：<<X1,y1>,<X2,y2>>€ R，当且仅当< x 1, X2> € R1 且<y 1,y2> € R2。
离散数学样卷参考答案
参考答案试卷一一、选择填空1.C2.A3.D4.D5.A6.A7.B8.C9.D 10.B二、填空1.主合取范式)()(q p q p ⌝∨∧∨⌝.前束范式))()((x G x F x →∀或))()((y G x F y x →∀∀ 2. n-k,93.=)(A ρ{Φ,{1}，{2}，{1，2}}，B A ⨯={〈1,a 〉,<1,b>,<2,a>,<2,b>}4. [b]R ={1,2,3}, X/R={{1,2,3},{4},{5}}.5． ,,G y x ∈∀ )()()(y f x f y x f *= 。
6.=-)(1R r { <2,1>,< 4,2>,<1,1>,<3,3>,<2,2>}，=S R {<1,4>,<2,2>}。
7.15，12.8. =τσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42134321 =(132) =-1στ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41324321=(123) 9．0, 45 10．2,0三 1.× 2.√ 3. √ 4.× 5.×四.1．一棵树具有3个2度结点，2个3度结点，2个4度结点，其余为叶。
试求其共有多少个结点？多少片叶？解: 设该树其有x 片叶,则顶点数为x+7, 根据树的性质知,该树有x+6边,由握手定理有:3*2+2*3+2*4+x*1=2(x+6), 得x=8故该树共有15个结点,8 片叶 .2.已知X={a,b,c},给出X 上的所有等价关系。
解:X 的划分其有五种:S 1={{a,b,c}}, S 2={{a,b},{c}}, S 3={{a,c},{b}}, S 4={{a},{b,c}},S 5={{a},{b},{c}},因为X 上划分与等价关系一一对应,故x 上共有五个等价关系，它们是：R 1＝{<a,b>,<b,a>,<a,c><c,a>,<b,c>,<c,b>}X I ⋃R 2＝{<a,b>,<b,a>}X I ⋃, R 3＝{<a,c><c,a>}X I ⋃R 4＝{<b,c>,<c,b>}X I ⋃, R 5＝X I3.．画一棵权为2，3，3，4，5，6，7，8 的最优二叉树，并计算出它的树权。
往届离散数学考题A
2006级离散数学（2）期终考试试题（A 卷）2008年1月12日一、判断题（每题2分，共20分）（ ）1. 若A - B = ∅，则A = B 。
（ ）2. 若A ⊆ B ，则P (A) ⊆ P (B)，其中P (A) 为A 的幂集。
（ ）3. 若集合A 上的二元关系R 是反对称的，则R 2也是反对称的。
（ ）4. 若R 是集合A 上的二元关系，则st (R) = ts (R)。
（ ）5. 良序关系的逆关系必为良序关系。
（ ）6. 有限集A 上的满射f : A → A 必为双射。
（ ）7. 自然数的幂集P (N) 的基数等于实数 R 的基数。
（ ）8. 任何图均有偶数个奇结点。
（ ）9. 无向图G 有欧拉闭路 当且仅当 G 是欧拉图。
（ ）10. 若T 为阶大于2的树，则T 至少有一个结点的度数大于等于2。
二、设A = {a ，b ，c ，d} 上的二元关系1R 和2R 定义如下： （16分）R 1 = {<a, b>, <b, c>, <c, d>, <d, a>}R 2 = I A ∪ {<a, b>, <b, a>, <c, d>, <d, c> }i ） 试分别指出1R 和2R 所具有的性质（即是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性这五种性质）。
ii ） 试求出R 12，21R R 和R 2+。
三、设R 为集合A 上的二元关系，证明： （16分）1）若R 既是自反的，又是传递的，则R 2 = R 。
2）若R 是传递的，则R 2 也是传递的。
四、设〈A ，≤ 〉为偏序结构，函数f ：A → P (A) 定义如下： （16分）f (a) = { x | x ∈A 且x ≤ a }， 其中 a ∈A证明：1）f 为单射；2）对任意a, b ∈A ，若a ≤ b ，则f (a) ≤ f (b)。
离散数学考试试题(A、B卷及答案)
离散数学考试试题(A、B卷及答案)离散数学考试试题(A卷及答案）一、证明题（10分）1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)⇔ (A∧(P↔Q))→C。
P<->Q=(p->Q)合取（Q->p）证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)⇔(⌝P∨⌝Q∨⌝A∨C)∧(⌝A∨P∨Q∨C)⇔((⌝P∨⌝Q∨⌝A)∧(⌝A∨P ∨Q))∨C反用分配律⇔⌝((P∧Q∧A)∨(A∧⌝P∧⌝Q))∨C⇔⌝(A∧((P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)))∨C再反用分配律⇔⌝( A∧(P↔Q))∨C⇔(A∧(P↔Q))→C⇔(⌝P∨Q∨R)∧(((⌝P∨Q)∧(⌝P∨R))∨(⌝Q∧⌝R))分配律⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝Q)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨R∨⌝Q)∧(⌝P∨R ∨⌝R)⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)⇔4M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为0所赋真值，即100，二进制为4⇔0m∨1m∨2m∨3m∨7m所以，公式(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
真值表法：P Q R Q↔R P→(Q∨R)⌝P∨(Q↔R) (P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 111111111111111 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 11111111由真值表可知，公式(P→(Q∨R))∧(⌝P ∨(Q↔R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
三、推理证明题（10分）1）⌝P∨Q，⌝Q∨R，R→S P→S。
证明：(1)P附加前提(2)⌝P∨Q P(3)Q T(1)(2)，I（析取三段论）(4)⌝Q∨R P(5)R T(3)(4)，I（析取三段论）(6)R→S P(7)S T(5)(6)，I（假言推理）(8)P→S CP2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明（1）∃xP(x)(2)P(a)(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))(4)P(a)→Q(y)∧R(a)(5)Q(y)∧R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a)(9)P(a)∧R(a)(10)∃x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))五、已知A、B、C是三个集合，证明(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C) （10分）证明：因为x∈(A∪B)－C⇔x∈(A∪B)－C⇔x∈(A∪B)∧x∉C⇔(x∈A∨x∈B)∧x∉C⇔(x∈A∧x∉C)∨(x∈B ∧x∉C)⇔x∈(A－C)∨x∈(B－C)⇔x∈(A－C)∪(B－C) 所以，(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)。
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、填空题1 设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝; ρ(A) - ρ(B) ＝.2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = .3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A 到B 的所有映射是, 其中双射的是.4.已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G 的主析取范式是.5.设G 是完全二叉树，G 有7 个点，其中4 个叶点，则G 的总度数为，分枝点数为.6 设A、B 为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝; A⋃B＝;A－B＝.7.设R 是集合A 上的等价关系，则R 所具有的关系的三个特性是,, .8.设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G 为真的解释有，, .9. 设集合 A＝{1,2,3,4}, A 上的关系 R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 =,R2•R1 = , R12= .10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = .11 设A,B,R 是三个集合，其中R 是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = , B-A = ,A∩B = , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R 是A 上的整除，则R 以集合形式(列举法)记为.14.设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G 的前束范式是.15.设G 是具有8 个顶点的树，则G 中增加条边才能把G 变成完全图。
16.设谓词的定义域为{a, b},将表达式∀xR(x)→∃xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是.17. 设集合 A＝{1, 2, 3, 4}，A 上的二元关系 R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷（A 卷）一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分）1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕⋃)(为(C )。
A 、{1,2}B 、{2,3}C 、{1,4,5}D 、{1,2,3}2、下列语句中哪个是真命题 ( A )A 、如果1+2=3，则4+5=9；B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。
C 、如果1+2=3，则4+5≠9；D 、1+2=3仅当4+5≠9。
3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。
A 、)*(y y x y x =∀∀B 、)4*(=∃∀y x y xC 、)*(x y x x =∃D 、)2*(=∃∃y x y x4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。
A 、自反性B 、反自反性C 、对称性D 、传递性5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。
A 、单射函数B 、满射函数C 、既不单射也不满射D 、双射函数二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分）1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ⋃B)|=128，则|A ⋂B|=ˍˍ2ˍˍˍ.2、公式)(Q P Q ⌝∨∧的主合取式为 。
3、对于公式))()((x Q x P x ∨∃，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为ˍˍˍ1ˍˍˍ。
4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有ˍˍˍ15ˍˍˍˍ个等价关系。
5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。
三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分）1、“这个语句是真的”是真命题。
（ F ）2、“刚和小强是同桌。
”是复合命题。
（ F ）3、))(()(r q q p p ∧⌝∧→⌝∨是矛盾式。
（ T ）4、)(T S R T R S R ⋂⋅⊆⋅⋃⋅。
2004-2005学年第2学期考试试题A卷答案
哈尔滨理工大学2004－2005学年第 2 学期考试试题答案 A 卷考试科目： 离散数学 试卷总分100分一、（第1小题6分，第2小题5分，第3小题 4分，共15分） 1、证明 ,,,a L a a a a ρρ∀∈∈因为整除所以，因此是自反的。
122112,,a a a a a a ρρ∈=1221设有，，即a 整除a ，a 整除a ，则，因此是反对称的。
122313,,a a a a a a ρ∈1223设有，，即a 整除a ，a 整除a ，则整除，13,a a ρρ∈即,因此是传递的。
综上，ρ是L 上的偏序关系。
2、偏序集,L ρ<>的哈斯图如右图所示。
3、①是 ②是③是 ④不是二、求布尔函数的析取范式和合取范式（10分）方法1 推导法 析取范式为：°123122323(,,)()()()E x x x x x x x x x =∧∨∧∨∧ °°°°°°123323112311123123123123(()())(()())(()()()()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =∧∧∨∨∧∧∨∨∧∧∨=∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧°°°°°°°°123123123123123123123()()()()()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∨∧∧∨∧∧=∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧合取范式为：°°123123123123(,,)()()()E x x x x x x x x x x x x =∨∨∧∨∨∧∨∨装订线方法2 列函数表法布尔表达式对应的函数表为：f<0,0,0> <0,0,1> <0,1,0> <0,1,1> <1,0,0> <1,0,1> <1,1,0> <1,1,1>0 1 0 1 0 1 1 1析取范式为：°°°°°123123123123123123(,,)()()()()()E x x x x x x x x x x x x x x x x x x =∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧ 合取范式为：°°123123123123(,,)()()()E x x x x x x x x x x x x =∨∨∧∨∨∧∨∨ 三、画图(每小题3分，共12分)因为答案不唯一，所以答案略。
离散数学试卷及参考答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.一个连通的无向图G ，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G 是连通简单平面图，G 中有11个顶点5个面，则G 中的边是( )A.10B.12C.16D.143.在布尔代数L 中，表达式(a ∧b)∨(a ∧b ∧c)∨(b ∧c)的等价式是( )A.b ∧(a ∨c)B.(a ∧b)∨(a ’∧b)C.(a ∨b)∧(a ∨b ∨c)∧(b ∨c)D.(b ∨c)∧(a ∨c)4.设i 是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G 的子群是( )A.<{1},·>B.〈{-1},·〉C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉5.设Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A.〈Z ，+，/〉B.〈Z ，/〉C.〈Z ，-，/〉D.〈P(A)，∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.〈Q ，*〉Q 是全体有理数集，*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n 阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.〈Z ， Z 是整数集， 定义为x xy=xy,∀x,y ∈ZD.〈Z ，+〉，Z 是整数集，+是数的加法运算7.设A={1,2,3}，A 上二元关系R 的关系图如下：R 具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( )A.R ∪I AB.RC.R ∪{〈c,a 〉}D.R ∩I A9.设X={a,b,c},Ix 是X 上恒等关系，要使Ix ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等价关系，R 应取( )A.｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉}C.{〈c,a 〉，〈b,a 〉}D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉}10.下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅11.设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x<y.下列公式在R 下为真的是( )A.( ∀ x)( ∀y)( ∀z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))B.( ∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B13.谓词公式(∀x)(P(x,y))→(∃z)Q(x,z)∧(∀y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q15.以下命题公式中，为永假式的是( )A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐pC.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)二、填空题(每空1分，共20分)16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为______，称为树根，其余结点的入度均为______。
《离散数学》试题及答案
一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝{3} ; ρ(A) - ρ(B)＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = 22n.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是α3, α4 .4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是(P∧⌝Q∧R)5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝{4} ; A⋃B＝{1,2,3,4};A－B＝{1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0)9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1∙R2 ={(1,3),(2,2),(3,1)} , R2∙R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _R12 ={(2,2),(3,3).10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = .11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x∈R} ,A∩B ={x | 0≤x≤1, x∈R} , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是∃x(⌝P(x)∨Q(x)) .15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21 条边才能把G变成完全图。
离散数学-2006`2007(2)-试卷B参考答案及评分细则
西南科技大学2006——2007学年第2学期《离散数学J》期末考试试卷（B卷）(3 分)图（2）不能一笔画出，（1 分）因为图（1）中奇度数顶点数为4。
（2 分）二、解：图（1）存在哈密尔顿回路，比如：v1-v2-v3-v4-v5-v6-v7-v8-v1。
（3 分）图（2）不存在哈密尔顿回路，（1 分）因为，取V'={v2,v6}，则连通分支数w(G-V')＝3＞|V'|＝2，因而该图不是哈密尔顿图。
(2 分) 三、（4 分）四、解：由握手定理知，图G 中所有顶点度数之和为边数的两倍，（2 分）第1页共7页西南科技大学2006——2007学年第2学期《离散数学J》期末考试试卷（B卷）图G 中所有顶点度数之和为2×3＋3×4＋4×5＝38 （1 分）因此G 中共有19 条边。
（1 分）五、解：最优二元树参考如下图：（4分）W(T)＝1×4＋2×4＋5×3＋3×3＋3×3＋6×2＋7×2＝71 （1 分）六、解：前序遍历：∧∨P∧┐PQ∧∨┐P Q┐R（3分）中序遍历：P∨┐P∧Q∧┐P∨Q∧┐R（3分）后序遍历：P P┐Q∧∨P┐Q∨R┐∧∧（3分）七、解：列公式┐(Q→P)∧P和┐((P∧Q)→P)的真值表如下（真值表共8分，每项2分）：（2 分）第2页共7页西南科技大学2006——2007学年第2学期《离散数学J》期末考试试卷（B卷）八、解：A×B ＝{<a,a>,<a,b>,<a,d>,<c,a>,<c,b>,<c,d>} （4分）r(R)={<a,b>,<b,d>,<a,a>,<b,b>,<d,d>} （a分）s(R)={<a,b>,<b,d>,<b,a>,<d,b>}（a分）t(R)={<a,b>,<b,d>,<a,d>}（2分）九、解：设参加英语学习小组用集合A1表示，参加数学学习小组用集合A2表示。
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西南科技大学试题 (A卷)
计算机学院： 课程名称：《离散数学》课程代码：14314032 ：命题单位：信息教研室
学院：计算机学院 专业班级： 学号：□□□□□□□□ 命题共3页第1 页
答案及评分参考（A卷）
1.①是命题。(1分)用p表示“李平聪明”，q表示“李平用功”，则符号化为
p∧﹁q。(1分)
②是命题。(1分)可表示为(p∨q) r(1分)，
其中p：你陪伴我，q：你代我雇车，r：
我去
2.①设O(x)：x是奇数，N(x)：x是偶数，E(x)：x是偶数，D(x)：x能被2整
除。则原句可符号化为：(2分)
))()(())()(())()()((xDxOxxDxExxExOxNx
②取论域为实数域，可设L(x,y)：x小于y，f(x)：x的平方。则可符号化为：
)0),((xfLx(2分)
3.①ρ(A)={φ，{φ}，{{φ}}，{φ,{φ}}}(2分)
②ρ(B)={ φ，{{φ,a}},{{φ}},{{φ,a},{a}}}(2分)
4. g ◦ g(x)=g(g(x))＝2(2x＋1)＋1=4x＋3；(1分)
h ◦ f(x)＝h(f(x))＝1/2(x+3)；(1分)
g ◦ h(x)＝g(h(x))＝2·x/2＋1＝x＋1；(1分)
f ◦ h(x)＝f(h(x))＝x/2＋3；(1分)
f ◦ h ◦ g(x)＝f(h(g(x)))=(2x+1)/2＋3＝x＋7/2； (2分)
5.
R＝IA{<0,1>,<1,0>,<0,2>,<2,0>,<0,3>,<3,0>,<0,4>,<4,0>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>}
(2分)
易知，R具有自反性(2分)和对称性(2分)。
6.图G中边数m=10，由握手定理可知，G中各顶点度数之和为20，4个3度
顶点占去12度，还剩8度，若其余全是2度顶点，还需要4个顶点来占用这
8度，所以G至少有8个顶点。(4分)
7. (3)为欧拉图(1分)；(2)，(3)，(4)是哈密尔顿图。(3分)
8.*运算是封闭的，因为表中每个元素都属于A。(1分)
*运算可交换，因运算表关于主对角线对称。(1分)
*运算不等幂，因运算表主对角线有的元素与所在行列表头元素不同。(1分)
*运算有零元c，因为c所在行列中的元素都是与它相同。(1分)
*运算有幺元a，因为a所在行列中的元素依次与表头行列一致。(2分)
a和b均以自身为逆元，因为a、b所在行和列交汇处的元素为幺元。(2分)
9.
AB(A→B)∧(B→A)
(┐A∨B)∧(┐B∨A) (2分)
(┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A) (2分)
(A∧B)∨(┐A∧┐B) (2分)
(注：此题证法不唯一，用其他方法也可)
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10．解 把原命题公式记为A，则
(2分)
。(2分)
A
的所有成假赋值为011，100，101，110。(2分)
11.),()(),())((),()(yxyGxFxyxyGxxFyxyGxxF
(3分)
)),()((),()(yzGxFyxyzyGxFx
(3分)
12.哈斯图如下：
(2分)
(1)集合A无最大元，最小元是1，极大元是4、5、6，极小元是1。(2分)
(2)集合B的上界是6，下界是1，最小上界是6，最大下界是1。(2分)
13.
所求最小生成树如下图所示
图2
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(4分)
W(T)=18 (2分)
14. 证明：设p：今天是星期三。q：我有一次离散数学测验。
r：我有一次数字逻辑测验。s：离散数学课老师有事。
该推理就是要证明：p→(q∨r)，s→q，p∧sr (2分)
⑴p∧s P (1分)
⑵p T⑴化简律(1分)
⑶s T⑴化简律(1分)
⑷s→q P(1分)
⑸q T⑶⑷假言推理(1分)
⑹p→(q∨r) P(1分)
⑺q∨r T⑵⑹假言推理(1分)
⑻r T⑸⑺析取三段论(1分)
15．设会打排球、网球、篮球的学生集合分别为A，B和C，则
|A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|S|＝25，|A∩C|=6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|=2。
｜A∩B｜＝3(5分)
(5分)
16.解：将所有的频率都乘100，所得结果按从小到大顺序排列：(2分)
，，，，，，。
以以上各数为权，用Huffman算法求一棵最优树，见下图所示。(2分)
对照各个权可知各字母的前缀码如下：(4分)
a：10，b：01，c：111，d：110，e：001，f：0001，g：0000，
于是，a，b的码长为2，c，d，e的码长为3，f，g的码长为4。
(各分支点的权之和)，是传输100个按给定频率出现的字母所
用的二进制数，因而传输个按上述频率出现的字母要用个
二进制数字。(2分)