2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编_ 三角函数
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编5.4解斜三角形
第五章 平面向量四 解斜三角形【考点阐述】正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 【考试要求】（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． 【考题分类】（一）选择题（共7题）1.（安徽卷文5）在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ ） A ．23π B ．56π C ．34π D ．3π 解：由余弦定理2225371cos 2532BAC +-∠==-⨯⨯，23BAC π∠=2.（北京卷文4）已知ABC △中，a =b =60B = ，那么角A 等于（ ）A ．135B ．90C ．45D ．30【解析】由正弦定理得:sin sin a b A B A B ==== 45a b A B A <⇒<∴=【答案】C3.（福建卷理10文8）在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B ,则角B 的值为 A.6π B.3π C.6π或56πD.3π或23π解： 由222(a +c -b 得222(a +c -b )cos =22sin B ac B 即cos cos = 2sin BB Bsin B ∴,又在△中所以B 为3π或23π4.（海南宁夏卷理3）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 A.185B.43 C.23D. 87解：设顶角为C ，因为5,2l c a b c ===∴，由余弦定理222222447cos 22228a b c c c c C ab c c +-+-===⨯⨯5.（山东卷文8）已知a bc ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B，的大小分别为（ ） A ．ππ63，B ．2ππ36，C ．ππ36，D ．ππ33，解析：本小题主要考查解三角形问题。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷数学参考答案
【分析】根据向量的坐标运算求出a b λ+a b μ+再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为()()1,1,1,1a b ==-所以(1,1a b λλ+=+-(1,1a b μμ+=+()()a b a b λμ+⊥+可得()()0a b a b λμ+⋅+= )()()()11110λμλμ+++--=整理得：1λμ=-．故选：D ． Df x得ex>上单调递减在12e,-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增OE AC E=∠则tan CAC1Rt ABF 中914,AF a =12cos F AF ∠=所以在12AF F △因为2223F A F B =-所以(又11F A F B ⊥所以1183F A F B c ⎛⋅= ⎝又点A 在C 上则2222254991c t a b -=所以22222225169c b c a a b -=即25整理得422550c c -）3A B +=即π4C =sin sin(B ==2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=-2222B C A D ∴∥又2222B C A D ，不在同一条直线上2222B C A D ∥.（2）设(0,2,)(0P λλ则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C =--=--设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 2z =得3,1y x λλ=-=- (1,3,n λλ∴=--设平面222A C D 的法向量(,,m a b =则22222202m A C a c m D C a ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-⎪⎩1a =得1,=b c (1,1,2)m ∴=cos ,6n m n m n m⋅==化简可得2430λλ-+= 解得1λ=或3λ=(0,2,1)或(0,2,3)P0fx则(f x 时()f x 在R 上单调递减；在(),ln a -∞-上单调递减）2133a a =13()6d a +=）{}n b 为等差数列13b b =+即2311)a -=1d >0n a ∴>又9999S T -50502550a a ∴-当12a d =16n p ++=本题第一问直接考查全概率公式的应用后两问的解题关键是根据题意找到递推式然1⎛⎫32.11⎛⎫。
2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考1卷)数学含答案解析(原卷版)
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考1卷）数学副标题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 四 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若集合M ={x|√x <4}，N ={x|3x ≥1}，则M ∩N =( ) A. {x|0≤x <2} B. {x|13≤x <2} C. {x|3≤x <16}D. {x|13≤x <16}2. 若i(1−z)=1，则z +z = A. −2B. −1C. 1D. 23. 在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3m⃗⃗⃗ −2n ⃗ B. −2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ C. 3m⃗⃗⃗ +2n ⃗ D. 2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km 2;水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为(√7≈2.65)( )A. 1.0×109m 3B. 1.2×109m 3C. 1.4×109m 3D. 1.6×109m 35. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 16B. 13C. 12D. 236. 记函数f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T <π，且y =f(x)的图像关于点 (3π2,2)中心对称，则f(π2)=( )A. 1B. 32C. 52D. 37. 设a =0.1e 0.1，b =19，c =−ln0.9，则( ) A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. a <c <b8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π，且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A. [18,814]B. [274,814]C. [274,643]D. [18,27]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
2003年高考数学试题(全国文)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） （A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ）（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）（A （B （C （D6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）（A ）lg 2 （B ）lg32 （C ）1lg32（D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） （A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）（A （B ）2 （C 1 （D 1 10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（ ） （A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）若40P P 与重合，则tg θ= （ ） （A ）31 （B ）52 （C ）21（D ）1 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13x <的解集是____________________.14．92)21(xx -的展开式中9x 系数是 ________ .15．在平面几何里，有勾股定理：“设222,,ABC AB AC AB AC BC +=的两边互相垂直则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD-的三个侧面A B C A C 、、两两互相垂直，则______________________________________________.” 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种_______________________（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知正四棱柱111111112ABCD A B C D AB AA E CC F BD -==，，，点为中点，点为点中点 （Ⅰ）证明11EF BD CC 为与的公垂线 （Ⅱ）求点1D BDE 到面的距离 18．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z . 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1111,3(2).n n n a a a n --==+≥ （Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）证明312n n a -=20．（本小题满分12分）已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；()y f x =在（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象 21．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中(cos 10θθ=方心位于城市O （如图）的东偏南EDBACBD CAFMx向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 22．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DA DC CD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．]4,2( 14．221-15．2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++ 16．72 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线 （II ）解：连结ED 1，有V由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的距离为d ，则S △DBC ·d=S △DCD 1·EF. ∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD 23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S 故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18．解：设z=2),60sin 60(cos r z i r 的实邻为则复数+ 2,r z z r z z ==+∴由题设|2||||1|2-⋅=-z z z即||)1)(1(=--z z 42122+-=+-r r r r r12120122--=-==-+r r r r 解得（舍去） 即|z|=12-19．（I ）解∵1343,413,12321=+==+=∴=a a a（II ）证明：由已知故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.213133321-=++++--n n n所以213-=n n a20．解（I ）x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.故函数)(x f y =在区 间]2,2[ππ-上的图象是21．解：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向. 在时刻：t （h ）台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-，其中10)(=t r t+60，若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x即,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 即0288362≤+-t t ， 解得2412≤≤t .答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭22．解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到定点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤===k k DADCCD CF BC BE ， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）.直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ， ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a . ②从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a ， 整理得1)(21222=-+a a y x .当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点),21(),,21(22a a a a ---的距离之和为定值2.当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ，），（的距离之和为定值a 2.。
2023年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(文史类)全解全析
2023年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试卷卷（文史类）数学试卷卷(文史类)共5页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,务必将自己地姓名、准考证号填写在答题卡规定地位置上。
2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目地解析标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他解析标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将解析书写在答题卡规定地位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试卷卷上答题无效。
5.考试结束后,将试卷卷和答题卡一并交回。
参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A 、B 相互独立,那么P(A ·B)=P(A)·P(B).如果事件A 在一次试验中发生地概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次地概率 P n (K)=k m P k (1-P)n-k一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个备选项中,只有一项是符合题目要求地.(1)已知｛a n ｝为等差数列,a 2+a 8=12,则a 5等于(A)4 (B)5(C)6(D)7【解析】C【解析】本小题主要考查等差数列地性质。
由285212a a a +==得:56a =,故选C 。
(2)设x 是实数,则"x ＞0"是"|x |＞0"地 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】A【解析】本小题主要考查充要条件地判定。
由0x >||0x ⇒>充分 而||0x >0x ⇒>或0x <,不必要,故选A 。
(3)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)地普通方程为(A)(x -1)2+(y +1)2=1(B) (x +1)2+(y +1)2=1(C) (x -1)2+(y -1)2=1(D) (x -1)2+(y -1)2=1【解析】C【解析】本小题主要考查圆地参数方程。
2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)_文科数学_解析版
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,4,2,5M N ==，则U N M =ð（）A.{}2,3,5 B.{}1,3,4 C.{}1,2,4,5 D.{}2,3,4,5【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,4}M =，所以{}2,3,5U M =ð，又{2,5}N =，所以{2,3,5}U N M = ð，故选：A.2.()()()351i 2i 2i +=+-（）A.1- B.1C.1i- D.1i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】()()351i 51i 1i(2i)(2i)5+-==-+-故选：C.3.已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A.117B.17C.55D.255【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得()(),,a b a b a b a b +-+⋅-，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则a b a b +==-== ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()cos ,17a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==+-.故选：B.4.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】D 【解析】【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有24C 6=件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有1122C C 4=，所以这2名学生来自不同年级的概率为4263=.故选：D.5.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（）A.25 B.22 C.20D.15【答案】C 【解析】【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列{}n a 的公差和首项，再根据前n 项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列{}n a 的公差，再根据前n 项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，依题意可得，2611510a a a d a d +=+++=，即135a d +=,又()()48113745a a a d a d =++=，解得：11,2d a ==，所以515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=．故选：C.方法二：264210a a a +==，4845a a =，所以45a =，89a =，从而84184a a d -==-，于是34514a a d =-=-=，所以53520S a ==．故选：C.6.执行下边的程序框图，则输出的B =（）A .21B.34C.55D.89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行即可解出．【详解】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=；当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=；当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=；当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.7.设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅=（）A.1B.2C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为120PF PF ⋅= ，所以1290FPF ∠=，从而122121tan 4512FP F S b PF PF ===⨯⋅，所以122PF PF ⋅=．故选：B.方法二：因为120PF PF ⋅= ，所以1290FPF ∠= ，由椭圆方程可知，25142c c =-=⇒=，所以22221212416PF PF F F +===，又122PF PF a +==2212121221620PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．故选：B.8.曲线e 1=+xy x 在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A.e 4y x =B.e 2y x =C.e e 44y x =+ D.e 3e24y x =+【答案】C 【解析】【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()e 12y k x -=-，因为e 1xy x =+，所以()()()22e 1e e 11x xxx x y x x +-'==++，所以1e|4x k y ='==所以()e e124y x -=-所以曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为e e 44y x =+.故选：C9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A.B.C.355D.455【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e =，则22222215c b a a==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离5d ==，所以弦长45||5AB ===.故选：D10.在三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为2的等边三角形，2,PA PB PC ===，则该棱锥的体积为（）A.1B.C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】证明AB ⊥平面PEC ，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB 得解.【详解】取AB 中点E ，连接,PE CE ，如图，ABC 是边长为2的等边三角形，2PA PB ==，,PE AB CE AB ∴⊥⊥，又,PE CE ⊂平面PEC ，PE CE E = ，AB ∴⊥平面PEC ，又322PE CE ==⨯=，PC =故222PC PE CE =+，即PE CE ⊥，所以11121332B PEC A PEC PEC V V V S AB --=+=⋅=⨯⨯=△，故选：A11.已知函数()2(1)e x f x --=．记,,222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.b c a>> B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，因为4112222⎛⎫+---= ⎪ ⎪⎝⎭，而22491670+-=+-=->，所以41102222⎛⎫---=-> ⎪ ⎪⎝⎭，即1122->-由二次函数性质知63)22g g <，因为62624112222⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭，而22481682)0-=+==<，即621122-<-，所以62)22g g >，综上，263222g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选：A.12.函数()y f x =的图象由cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为________．【答案】12-【解析】【分析】先分析1q ≠，再由等比数列的前n 项和公式和平方差公式化简即可求出公比q .【详解】若1q =，则由6387S S =得118673a a ⋅=⋅，则10a =，不合题意.所以1q ≠.当1q ≠时，因为6387S S =，所以()()6311118711a q a q qq--⋅=⋅--，即()()638171q q ⋅-=⋅-，即()()()33381171q q q ⋅+-=⋅-，即()3817q ⋅+=，解得12q =-.故答案为：12-14.若()2π(1)sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________．【答案】2【解析】【分析】根据常见函数的奇偶性直接求解即可.【详解】()()()222π1sin 1cos (2)1cos 2f x x ax x x ax x x a x x ⎛⎫=-+++=-++=+-++ ⎪⎝⎭ ，且函数为偶函数，20a ∴-=，解得2a =，故答案为：215.若x ，y 满足约束条件323,2331,x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为________．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322zy x =-+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：1516.在正方体1111ABCD A B C D -中，4,AB O =为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为R .当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R '为体对角线长1AC =，即2R R ''==，故max R =；分别取侧棱1111,,,AA BB CC DD 的中点,,,M H G N ，显然四边形MNGH 是边长为4的正方形，且O 为正方形MNGH 的对角线交点，连接MG ，则MG =MNGH 的外接圆，球的半径达到最小，即R 的最小值为.综上，R ∈.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．（1）求bc ；（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．【答案】（1）1（2）4【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】因为2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc A bc A A+-===，解得：1bc =．【小问2详解】由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A B a B b A c A B B A C ---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B B A B A B A B ---=-==+++，变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=，而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以sin 2A =，故ABC 的面积为1133sin 12224ABC S bc A ==⨯⨯=△．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥平面,90ABC ACB ∠=︒．（1）证明：平面11ACC A ⊥平面11BB C C ；（2）设11,2AB A B AA ==，求四棱锥111A BB C C -的高．【答案】（1）证明见解析.（2）1【解析】【分析】(1)由1A C ⊥平面ABC 得1A C BC ⊥，又因为AC BC ⊥，可证BC ⊥平面11ACC A ，从而证得平面11ACC A ⊥平面11BCC B ；(2)过点1A 作11A O CC ⊥，可证四棱锥的高为1AO ,由三角形全等可证1A C AC =，从而证得O 为1CC 中点，设1A C AC x ==，由勾股定理可求出x ，再由勾股定理即可求1AO .【小问1详解】证明：因为1A C ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ,所以1A C BC ⊥,又因为90ACB ∠= ，即ACBC ⊥，1,A C AC ⊂平面11ACC A ，1AC AC C ⋂=,所以BC ⊥平面11ACC A ，又因为BC ⊂平面11BCC B ,所以平面11ACC A ⊥平面11BCC B .【小问2详解】如图，过点1A 作11A O CC ⊥，垂足为O .因为平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，1A O ⊂平面11ACC A ，所以1A O ⊥平面11BCC B ，所以四棱锥111A BB C C -的高为1AO .因为1A C ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ,所以1A C BC ⊥,1A C AC ⊥,又因为1A B AB =，BC 为公共边，所以ABC 与1A BC 全等，所以1A C AC =.设1A C AC x ==，则11A C x =，所以O 为1CC 中点，11112OC AA ==,又因为1A C AC ⊥,所以22211A C AC AA +=,即2222x x +=，解得x =，所以11A O ==，所以四棱锥111A BB C C -的高为1．19.一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表m<m≥对照组试验组（ⅱ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【答案】（1）19.8（2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能【解析】【分析】（1）直接根据均值定义求解；（2）（i ）根据中位数的定义即可求得23.4m =，从而求得列联表；（ii ）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】试验组样本平均数为：1(7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.220+++++++++++39621.622.823.623.925.128.232.336.5)19.820++++++++==【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为18.8，后续依次为19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6, ，故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以23.223.623.42m +==，故列联表为：m<m≥合计对照组61420试验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.20.已知函数()2sin π,0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 0f x x +<，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减（2）0a ≤【解析】【分析】（1）代入1a =后，再对()f x 求导，同时利用三角函数的平方关系化简()f x '，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）法一：构造函数()()sin g x f x x =+，从而得到()0g x <，注意到()00g =，从而得到()00g '≤，进而得到0a ≤，再分类讨论0a =与a<0两种情况即可得解；法二：先化简并判断得2sin sin 0cos xx x-<恒成立，再分类讨论0a =，a<0与0a >三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得0a >时不满足题意，从而得解.【小问1详解】因为1a =，所以()2sin π,0,cos 2x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()()22432cos cos 2cos sin sin cos 2sin 11cos cos x x x x xx xf x xx--+'=-=-()3333222cos cos 21cos coscos 2cos cos x x xx x xx---+-==，令cos t x =，由于π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1t x =∈，所以()()()23233222cos cos 22221211x x t t t t t t t t t +-=+-=-+-=-++-()()2221t t t =++-，因为()2222110t t t ++=++>，10t -<，33cos 0x t =>，所以()233cos cos 20cos x x f x x +-'=<在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】法一：构建()()2sin πsin sin 0cos 2x g x f x x ax x x x ⎛⎫=+=-+<< ⎪⎝⎭，则()231sin πcos 0cos 2x g x a x x x +⎛⎫'=-+<< ⎪⎝⎭，若()()sin 0g x f x x =+<，且()()00sin 00g f =+=，则()0110g a a '=-+=≤，解得0a ≤，当0a =时，因为22sin 1sin sin 1cos cos x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1x <<，0cos 1x <<，则211cos x>，所以()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<，满足题意；当a<0时，由于π02x <<，显然0ax <，所以()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<，满足题意；综上所述：若()sin 0f x x +<，等价于0a ≤，所以a 的取值范围为(],0-∞.法二：因为()2232222sin cos 1sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x---===-，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1x <<，0cos 1x <<，故2sin sin 0cos x x x-<在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以当0a =时，()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<，满足题意；当a<0时，由于π02x <<，显然0ax <，所以()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<，满足题意；当0a >时，因为()322sin sin sin sin cos cos x xf x x ax x ax x x+=-+=-，令()32sin π0cos 2x g x ax x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()22433sin cos 2sin cos x x xg x a x +'=-，注意到()22433sin 0cos 02sin 000cos 0g a a +'=-=>，若π02x ∀<<，()0g x '>，则()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，注意到()00g =，所以()()00g x g >=，即()sin 0f x x +>，不满足题意；若0π02x ∃<<，()00g x '<，则()()000g g x ''<，所以在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上最靠近0x =处必存在零点1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x '=，此时()g x '在()10,x 上有()0g x '>，所以()g x 在()10,x 上单调递增，则在()10,x 上有()()00g x g >=，即()sin 0f x x +>，不满足题意；综上：0a ≤.【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论0a >这种情况的关键是，注意到()00g '>，从而分类讨论()g x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的正负情况，得到总存在靠近0x =处的一个区间，使得()0g x '>，从而推得存在()()00g x g >=，由此得解.21.已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，AB =（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，,M N 为C 上两点，且0FM FN ⋅=，求MFN △面积的最小值．【答案】（1）2p =（2）12-【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；（2）设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,,M x y N x y 利用0MF NF ⋅=，找到,m n 的关系，以及MNF 的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设()(),,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px-+=⎧⎨=⎩可得，2420y py p -+=，所以4,2A B A B y y p y y p +==，所以A B AB y ==-==即2260p p --=，因为0p >，解得：2p =．【小问2详解】因为()1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,M x y N x y ，由24y x x my n ⎧=⎨=+⎩可得，2440y my n --=，所以，12124,4y y m y y n +==-，22161600m n m n ∆=+>⇒+>，因为0MF NF ⋅=，所以()()1212110x x y y --+=，即()()1212110my n my n y y +-+-+=，亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=，将12124,4y y m y y n +==-代入得，22461m n n =-+，()()22410m n n +=->，所以1n ≠，且2610n n-+≥，解得3n ≥+或3n ≤-．设点F 到直线MN 的距离为d，所以d =12MN y y =-=1==-，所以MNF的面积()2111122S MN d n =⨯⨯=-=-，而3n ≥+或3n≤-，所以，当3n =-时，MNF的面积(2min 212S =-=-【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到,m n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知点()2,1P ，直线2cos ,:1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B ，且4PA PB ⋅=．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ραρα+-=【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<，令0x =，12cos t α=-，令0y =，21sin t α=-，所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±，即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ，因为ππ2α<<，所以3π4α=．【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，由cos ,sin x y ραρα==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ραρα+-=．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知()2||, 0 f x x a a a =-->．（1）求不等式()f x x <的解集；（2）若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【答案】（1）,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭（2）263【解析】【分析】（1）分x a ≤和x a >讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若x a ≤,则()22f x a x a x =--<,即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤,若x a >,则()22f x x a a x =--<,解得3x a <,即3a x a <<,综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】2,()23,x a x af x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩.画出()f x 的草图,则()f x 与坐标轴围成ADO △与ABCABC 的高为3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a所以21132224OAD ABC S S OA a AB a a +=⋅+⋅== ,解得263a =。
2022年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)数学(理科)含答案解析(原卷版)
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（理科）副标题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若z =−1+√3i ，则zzz−1=( ) A. −1+√3iB. −1−√3iC. −13+√33iD. −13−√33i2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则( )A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70％B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85％……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3. 设全集U ={−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={−1,2},B ={x ∣x 2−4x +3=0}，则∁U (A ∪B)=( )A. {1,3}B. {0,3}C. {−2,1}D. {−2,0}4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为( )A. 8B. 12C. 16D. 205. 函数y =(3x −3−x )cosx 在区间[−π2,π2]的图象大致为( )A.B.……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C.D.6. 当x =1时，函数f(x)=alnx +bx 取得最大值−2，则f′(2)=( ) A. −1B. −12C. 12D. 17. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知B 1D 与平面ABCD 和平面AA 1B 1B 所成的角均为30∘，则( )A. AB =2ADB. AB 与平面AB 1C 1D 所成的角为30∘C. AC =CB 1D. B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角为45∘8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB ⌢是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在AB ⌢上，CD ⊥AB.“会圆术”给出AB ⌢的弧长的近似值s 的计算公式：s =AB +CD 2OA.当OA =2,∠AOB =60∘时，s =( )A. 11−3√32B. 11−4√32C. 9−3√32D. 9−4√32……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙.若S 甲S乙=2，则V甲V 乙=( )A. √5B. 2√2C. √10D. 5√10410. 椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP,AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( )A. √32B. √22C. 12D. 1311. 设函数f(x)=sin (ωx +π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )A. [53,136)B. [53,196)C. (136,83]D. (136,196]12. 已知a =3132,b =cos 14,c =4sin 14，则( ) A. c >b >aB. b >a >cC. a >b >cD. a >c >b第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角的余弦值为13，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=3，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ = ． 14. 若双曲线y 2−x 2m2=1(m >0)的渐近线与圆x 2+y 2−4y +3=0相切，则m = ．15. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 16. 已知▵ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB =120∘,AD =2,CD =2BD.当ACAB取得最小值时，BD = ．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分。
2020普通高等高等学校统一招生(新课标I)(文数)(含详细答案及解析)(全国1卷高考数学真题)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A. {4,1}-B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}【答案】D 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若312i i z =++，则||=z （ ） A. 0 B. 1C.2D. 2【答案】C 【解析】【分析】先根据21i =-将z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出． 【详解】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A.514- B.512- C.514+ D.512+ 【答案】C 【解析】【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab-=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得154b a +=（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4.设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. 15B.25 C.12D. 45【答案】A 【解析】【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=.故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A. y a bx =+ B. 2y a bx =+C. e x y a b =+D. ln y a b x =+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP =-+-=根据弦长公式得最小值为229||2982CP -=-=.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9 B. 7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C 【解析】【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 8.设3log 42a =，则4a -=（ ）A.116B.19C.18D.16【答案】B 【解析】【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =，所以有149a-=，故选：B .【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9.执行下面的程序框图，则输出的n =（ ）A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足135100n ++++>的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出．【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =．故选：C. 【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题． 10.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q qq ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．11.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ）A.72B. 3C.52D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由12F F P 是以P 为直角直角三角形得到2212||||16PF PF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2PF PF -=，联立即可得到12||||PF PF ，代入12F F P S =△121||||2PF PF 中计算即可. 【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，因为121||1||2OP F F ==， 所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，所以12F F P S =△121||||32PF PF = 故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.12.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.【答案】1 【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14.设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅=， 又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=， 即5m =， 故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 15.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.【答案】2y x = 【解析】 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.16.数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = ______________.【答案】7 【解析】 【分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=， 17a ∴=故答案为：7.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 【答案】（1）甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】 【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择． 【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为400.4100=，乙厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为280.28100=； （2）甲分厂加工100件产品的总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元， 所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题． 18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a =3c ，b =27，求ABC 的面积； （2）若sin A +3sin C =2，求C . 【答案】（1）3；（2）15︒. 【解析】 【分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论； （2）将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,23,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 32S ac B ==； （2）30A C +=︒，sin 3sin sin(30)3sin A C C C ∴+=︒-+132cos sin sin(30)2C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 19.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO 23π，求三棱锥P −ABC 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得PA PB PC ==，进而有PAC ≌PBC ，可得90APC BPC ∠=∠=，即PB PC ⊥，从而证得PC ⊥平面PAB ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC 边长，在等腰直角三角形APC 中求出AP ，在Rt APO 中，求出PO ，即可求出结论.【详解】（1）连接,,OA OB OC ，D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC ≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为3,3rl rl ππ==2222OD l r =-=，解得1,3r l ==2sin 603AC r ==，在等腰直角三角形APC 中，2622AP AC ==， 在Rt PAO 中，2262142PO AP OA =-=-=， ∴三棱锥P ABC -的体积为112363332P ABC ABC V PO S -=⋅=⨯=△.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.20.已知函数()(2)xf x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞.【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，将其转化为2x e a x =+有两个解，令()(2)2x eh x x x =≠-+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当1a =时，()(2)xf x e x =-+，'()1x f x e =-，令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >， 所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞； （2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2xe a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得2x <-或21x -<<-，所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 且当2x <-时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e+∞.【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线xy e =和直线(2)y a x =+有两个交点，利用过点(2,0)-的曲线xy e =的切线斜率，结合图形求得结果.21.已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【解析】 【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a +=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+ 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共10分。
2003年高考.全国卷.理科数学试题及答案
（B）（ 1， ） （D）（ ， 1） （1， ）
（）
（A）1 2
（B） 2 1
（C） 2
（D）2
5．已知圆 C： (x a) 2 ( y 2) 2 4 （ a 0 ）及直线 l ： x y 3 0 ，当直线 l 被 C 截
得的弦长为 2 3 时，则 a
如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求 c 的取值范围
20．（本小题满分 12 分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前
台 风 中 心 位 于 城 市 O（ 如 图 ） 的 东 偏 南
2 ） 方 向 300km 的 海 面 P 处 ， 并 以 ( arccos 10
20km/h 的速度向西偏北 45 方向移动，台风侵袭的范
2 5
，
2 3
）
11．
lim
n
C 22
n(C
1 2
C32 C31
C 42 C 41
Cn C2n1 )
（）
（A）3
（B） 1 3
（C） 1 6
（D）6
12．一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）
（A） 3 （B） 4
（C） 3 3
（D）
6
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
（）
（A） 2
（B） 2 2
（C） 2 1
（D） 2 1
6．已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是
（）
（A） 2 R 2
（B） 9 R 2 4
（C） 8 R 2 3
2023-2024学年(北京卷)普通高学招生全国统一考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年（北京卷）普通高学校招生全国统一考试数学模拟试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4},{0,1,2,3}M N ==，则有（）A ．M N ⊆B ．N M⊆C ．{1,2,3}M N = D ．{1,2,3}M N = 【正确答案】C根据集合的基本运算性质可得答案.【详解】集合{1,2,3,4},{0,1,2,3}M N ==，则{1,2,3}M N = ，故选：C .本题考查了集合的基本运算、集合间的基本关系，属于基础题.2．复数z =（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C利用复数的除法法则将复数z 化为一般形式，进而可求得复数z 的共轭复数，由此可得出复数z 的共轭复数在复平面对应的点所在的象限.【详解】2111222z i ---=-=-+ ，则122z =--，因此，复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，考查了复数的除法法则和共轭复数概念的应用，考查计算能力，属于基础题.3．设等比数列{}n a 的前6项和为6，且1a a =，22a a =，则=a （）A ．221B ．17C ．421D ．521【正确答案】A【分析】先求得等比数列{}n a 的公比，然后根据等比数列前n 项和公式列方程，解方程求得a 的值.【详解】由题意可得公比212a q a ==，则()661263612a S a -===-，即221a =.故选：A本小题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.4．已知||||1a b ==，向量a 与b 的夹角为60︒，则|34|a b -= （）A ．5B ．13C ．D【正确答案】D【分析】利用向量的数量积去求|34|a b -的值.【详解】|34|a b -故选：D5．设()f x 是定义在R 上的增函数，()()()F x f x f x =--，那么()F x 必为（）A ．增函数且是奇函数B ．增函数且是偶函数C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数【正确答案】A【分析】可求得()()F x F x -=-，根据奇偶性的定义可知()F x 为奇函数；设21x x >，则21x x -<-，根据()f x 单调性可证得()()210F x F x ->，根据单调性定义可知()F x 为增函数，从而得到结果.【详解】()()()()F x f x f x F x -=--=- ()F x ∴为定义在R 上的奇函数设21x x >，则()()()()()()212211F x F x f x f x f x f x -=---+-21x x > 21x x ∴-<-()f x 为定义在R 的增函数()()21f x f x ∴>，()()12f x f x ->-()()()()()()2121120F x F x f x f x f x f x ∴-=-+--->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()F x ∴为定义在R 上的增函数综上所述：()F x 必为增函数且为奇函数本题正确选项：A本题考查利用定义判断函数的奇偶性和单调性，考查学生对于函数性质定义的掌握，属于基础题.6．已知焦点为F 的抛物线2:4C x y =的准线是直线l ，点P 为抛物线C 上一点，且PQ l ⊥垂足为Q ，点()2,0G 则PQ PG +的最小值为（）A B ．2C D ．【正确答案】A【分析】连接PF ，由抛物线的定义可知PF =PQ ，然后结合图形可得答案【详解】连接PF ，由抛物线的定义可知PF =PQ ，所以PQ PG PF PG FG +=+≥=故选A.7．函数()()2sin 1x xf x x x ππ=-≤≤+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】根据函数奇偶性排除,A D ，由02f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭排除C ，由此得到结果.【详解】()()()()22sin sin 11x x x xf x f x x x ---===+-+ ，()f x \为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除,A D ；22sin22202414f ππππππ⎛⎫==≠ ⎪+⎝⎭+，可排除C .故选.B本题考查函数图象的识别问题，解决此类问题通常采用排除法，排除依据为奇偶性、特殊位置符号、单调性等，属于常考题型.8．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的离心率为75，则双曲线C 的一条渐近线的斜率可能是（）A ．57B ．75C．D．【正确答案】D【分析】由双曲线的性质求解【详解】双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线为a y x b =±，而双曲线C 的离心率为75，所以75c a =，即2224925a b a +=，得12a b =，故选：D9．已知函数2232,1()22,1x ax x f x ax x x ⎧+-≤⎪=⎨⎪+>⎩则“0a ≤”是“()f x 在R 上单调递减”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】求得()f x 在R 上单调递减时a 的取值范围，从而判断出充分、必要条件.【详解】若2232,1()22,1x ax x f x ax x x ⎧+-≤⎪=⎨⎪+>⎩在R 上单调递减，则14011432212aa a a a ⎧-≥⎪⎪<⎪⎪⎨-≤⎪⎪⎪+-≥+⎪⎩，解得4a ≤-.所以“0a ≤”是“()f x 在R 上单调递减”的必要而不充分条件.故选：B10．设集合(){,|0,2,2}A x y x y ax y x ay =-≥+≥-≤，则（）A ．当1a =时，()1,1A ∉B ．对任意实数a ，()1,1A ∈C ．当a<0时，()1,1A ∉D ．对任意实数a ，()1,1A∉【正确答案】C【分析】依据选项将点()1,1代入验证即可.【详解】当1a =时，(){,|0,2,2}A x y x y x y x y =-≥+≥-≤，将()1,1代入A 得：110112112-≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩成立，故()1,1A ∈，即A 错误；若0a =时，此时将()1,1代入12ax y +=≥不成立，即B 错误；当a<0时，此时将()1,1代入12ax y a +=+≥不成立，即C 正确；若2a =时，此时将()1,1代入A 得110212122-≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩成立，即D 错误；故选：C.二、填空题11．若52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=________【正确答案】1-【分析】0x =，求得0a ，令1x =，求得012345a a a a a a +++++，即可得解.【详解】解：令0x =，则01a =，令1x =，则0123450a a a a a a +++++=，所以123451a a a a a ++++=-故答案为.1-12．下列命题中：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③若奇函数2()21x f x a =-+，则实数1a =；④图象过原点的奇函数必是单调函数；⑤函数22x y x =-的零点个数为2；⑥互为反函数的图象关于直线y x =对称.上述命题中所有正确的命题序号是________.【正确答案】③⑥【详解】试题分析： 可举反例21y x =+来说明其错误； 当奇函数在0x =处无定义的时候，图象就不通过原点，比如1y x=； 奇函数2()21xf x a =-+在0x =处有意义，所以(0)10,1f a a =-=∴=； 若图象过原点的奇函数在()0,+∞单调时，其在定义域内必是单调函数，而当过原点的奇函数在()0,+∞不单调时，它在定义域内就不是单调函数，比如3()f x x x =-； 函数22x y x =-的零点即函数2x y =与2y x =的交点，作出图象可以发现它们在y 轴左侧有一个交点，右侧有()2,4,(4,16)两个交点，所以函数22x y x =-的零点个数为3； 结合反函数的定义可知原函数的反函数互为逆运算，所以原函数图象若过点()00,x y ，则点()00,y x 必定在反函数的图象上，即它们的图象关于直线y x =对称.函数奇偶性的图象与性质，函数与方程及互为反函数的函数图象之间的关系.【方法点晴】多选题往往在一套试卷中对要考查的知识点起着补充作用，内容比较零碎，需要对每个命题都要做出准确的判断方能得分，正是这一要求导致其得分率比较低.在判断的过程中思维一定要考虑全面，从正、反两个方面进行考虑，特别是从正面不好直接判断时，可以从命题的反面看能否找出反例进行排除，比如在本题中 是用反例来进行否定， 则是从正面直接判断.13．若函数()f x 的图象关于点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且关于直线1x =对称，则()f x =______（写出满足条件的一个函数即可）.【正确答案】()sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，【分析】由于三角函数既有中心对称又有轴对称，故选三角函数即可得解.【详解】易知三角函数的图像既有中心对称点，又有对称轴，由()sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足此条件，故答案为.()sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14．三棱锥A BCD -中，ABC 是边长为2的正三角形，4,BD CD BD AB ==⊥，若该三棱锥的每个顶点均在球O 的表面上，则球O 的体积是________【分析】根据球的截面圆外心与球心连线垂直于截面所在的平面，分别寻找ABC 、ABD 的外接圆圆心，进一步找到分别垂直于这两个截面的垂线，其交点即为外接球球心.【详解】如图所示，在BCD 中，4,2BD CD BC ===，所以222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥,又BD BA ⊥，得BD ⊥平面ABC ，设,AB AD 的中点分别为,E F ，连接,CE EF ，因为FE BD ∥，所以EF ⊥平面ABC ，由BD ⊥平面ABC ，得BD CE ⊥，由ABC 是边长为2的正三角形，所以CE AB ⊥，所以CE ⊥平面ABD ，过F 作OF ⊥平面ABD ，则OF CE ∥，设ABC 的中心为G ，过G 作GO EF ∥，交OF 于O 点，则OG ⊥平面ABC ，所以O 点即为三棱锥A BCD -外接球的球心，在Rt ABD 中，4,2BD AB ==，所以AD ==在Rt ODF 中，R =====所以三棱锥A BCD -的体积为33443327V R πππ===.故答案为三、双空题15．已知55sin ,cos 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是角α的终边上一点，则cos α=______，角α的最小正值是______.【正确答案】125π3根据三角函数的定义，求得cos α的值，进而确定角α的最小正值.【详解】由于55sin ,cos 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是角α的终边上一点，所以cos α=5πsin 65π1sin62==.由于5π15πsin0,cos 06262=>=<，所以P 在第四象限，也即α是第四象限角，所以π2π3k α=-，当1k =时，α取得最小正值为5π3.故（1）12；（2）5π3本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题.四、解答题16．已知函数()2sin 22cos 16f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调增区间；(2)在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()11,2,2a b c f A =+==，求ABC 的面积.【正确答案】(1)(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z(2)4【分析】（1）利用倍角公式及两角和与差正弦化简()f x 化为()sin y A x B ωϕ=++，利用整体法可求函数的单调增区间.（2）先根据()12f A =，求出角A ,再根据一角三边关系，利用余弦定理求1bc =，最后代入面积公式计算即可.【详解】（1）()21sin 22cos 1sin 2cos 2cos 6π222f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭1πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，其中k ∈Z ，解得ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z .∴函数()f x 的单调递增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，其中k ∈Z .（2）()11,sin 2262πf A A ⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭ .又ππ13π0π,2666A A <<∴<+<.π5π266A ∴+=，故π3A =.在ABC 中，π1,2,3a b c A =+==，()22212cos 3b c bc A b c bc =+-=+-∴，即143bc =-，1bc =∴,1sin 2ABC S bc A ==△∴.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为AB ，PD 的中点．(1)求证：EF //平面PBC ；(2)若AD =E FC D --的大小为45︒，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求PD 的长．条件①：DE PC ⊥；条件②：PB PC =．【正确答案】(1)证明见解析(2)12.【分析】（1）通过证明四边形MBEF 是平行四边形，进而由线线平行得出线面平行；（2）分别选择条件，设PD 边长，建系应用二面角余弦值求参数即得.【详解】（1）取PC 的中点M ，连接,MF MB ，∵M ，F 分别为,PC PD 的中点，∴MF 是PCD 的中位线，∴//MF CD 且12MF CD =，又E 为AB 的中点，∴//BE CD 且12BE CD =，∴//MF BE 且MF BE =，∴四边形MBEF 是平行四边形，∴,EF MB EF ⊄//平面,PBC MB ⊂平面PBC ，∴//EF 平面PBC .（2）选择条件①：DE PC ⊥,PD ⊥平面ABCD ，DE PD ⊥,PC ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD,DE ⊥平面PCD,DE CD ∴⊥,DE AB ⊥∴,底面ABCD 为菱形，E 为AB 的中点．DA DB ∴=,ABD △是等边三角形，以DP 为z 轴，DC 为y 轴,DE 为x 轴，建立空间直角坐标系，设2PD t =,则()()()()0,0,0,0,,0,0,,3,0,0D C F tE ,设平面FCD 法向量为()1,0,0n =r,设平面FEC 法向量为(),,m x y z =,()3,0,EF t =-,()3,EC =- ,3030x tz x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,令y=则6 mt⎛⎫= ⎪⎝⎭,二面角E FC D--的大小为45︒∴cos45°2=，23678,6,212t tt+=∴==,12PD∴=选择条件②：PB PC=．PD⊥平面ABCD，BC PD⊥,PB PC=,取BC的中点O，PO BC∴⊥,PD⊂平面PDO，PO⊂平面PDO,BC⊥平面PDO,,//BC DO AD BC∴⊥ ,DA DO∴⊥,底面ABCD为菱形，O为BC的中点．DC DB∴=,CBD△是等边三角形，以DP为z轴，以DA为x轴，以DO为y轴设2PD t=,则()()()30,0,0,,0,0,,,,022D C F t E⎛⎫⎪⎪⎝⎭,设平面FCD法向量为()1111,,n x y z=,()0,0,DF t=,()DC=,11130tzy=⎧⎪⎨+=⎪⎩,令1111,0,y x z===则)1n=,设平面FEC的法向量为()1222,,m x y z=,3,2EF t⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭,3,02EC⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,222223022302x y tzx y⎧--+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,令2223,y x zt===,则m t⎛=⎝⎭,二面角E FC D--的大小为45︒∴cos45°2=，24328496,6,212t tt+=∴==,12PD∴=18．2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：班号1234人数30402010该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.(1)求各班参加竞赛的人数；(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为X，求X的分布列及数学期望；(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为13，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率.【正确答案】(1)3,4,2,1(2)分布列见解析，2.8(3)217729【分析】（1）根据分层抽样计算可得；（2）根据超几何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；（3）计算1班每位同学获奖的概率，然后根据二项分布求解即可.【详解】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为110，故14-班分别抽取130310⨯=（人），140410⨯=（人），120210⨯=（人），110110⨯=（人）.（2）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4，1373410C C 71(1)C 21030P X ====,2273410C C 2133(2)C 21010P X ⨯====,3173410C C 3531(3)C 2102P X ⨯====,4073410C C 351(4)C 2106P X ====,所以X 的分布列为：X 1234P 1303101216131114()1234 2.83010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯==（3）由题意，1班每位同学获奖的概率为343444121811C C 33381819P ⎛⎫⎛⎫=⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设1班获奖人数为Y ，则1(3,)9Y B ，所以至少1人获奖的概率为0033182171(0)1C ()()99729P Y -==-=.19．已知函数()x f x e x =-.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）设函数()()g x f x m =-，若对[]1,1x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）(1)0e x y --=；（2）[)1,e -+∞.【分析】（1）求出函数的导函数()f x ¢，再分别求出()()11,f f '，根据倒数的几何意义，()1f '即为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率，从而可得答案；（2）由对[]1,1x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，即[]max (),1,1m f x x ≥∈-恒成立，求出函数()y f x =的单调区间，从而求得函数()y f x =在[]1,1x ∈-上的最大值，即可得出答案.【详解】解：（1）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.所以() 1.1f e '=-又(),11f e =-所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)(1),y e e x --=--即(1)0e x y --=.（2）由题意知：[]max (),1,1m f x x ≥∈-()e x f x x =- ，()e 1x f x ∴=-'.由()e 10x f x '=-=，解得0x =，故当10x -≤<时，()0f x ¢<，()f x 在[)1,0-上单调递减；当01x <≤时，()0f x ¢>，()f x 在(]0,1上单调递增.所以()()min 01f x f ==.又1(1)1,(1)1,f f e e -=+=-1(1)(1)20f f e e--=-->max ()1,1f x e m e ∴=-∴≥-所以实数m 的取值范围为[)1,e -+∞.20．已知椭圆2222:10)x y C a b a b+=>>（的长轴长是短轴长的2倍，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，且OAB ∆的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线AM 与y 轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值．【正确答案】（1）2214x y +=．（2）见解析【分析】（1）由长轴长是短轴长的2倍，OAB ∆的面积，构建方程组，求得ab ，代入椭圆方程得答案；（2）设0(()0)M m n m n >>，，有2244m n +=，分别表示直线BM 和AM 的方程，从而表示c x 与D y ，可得||AC 与||BD 长度关系式，进而可以表示ABCD S ，化简即证..【详解】（1）∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，∴2a b =．∵OAB ∆的面积为1，∴112ab =，2ab =，解得2a =，1b =．∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）由（1）可知(20)A -，，1(0)B -，，设0(()0)M m n m n >>，，，则2214m n +=，即2244m n +=．则直线BM 的方程为11n y x m+=-．令0y =，得1c m x n =+，即||21m AC n =++．同理，直线AM 的方程为(2)2n y x m =++，令0x =，得22D n y m =+，即2||12n BD m =++．∴11212222||||212212212ABCD m n m n m n S AC BD n m n m ++++=⨯⨯=⨯+⨯+=⋅⋅++++()222221144448222222m n m n mn m n mn m n mn m n +++++++=⋅=⋅++++++因为2244m n +=且00m n >>，，则原式()4221448812222222mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++=⋅=⋅=++++++．∴四边形ABCD 的面积为定值2．本题考查椭圆问题的综合问题，涉及求由abc 表示椭圆的标准方程已经平面图形的面积为定值问题，属于难题.21．已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足()*1112n n A A n n N n +-=+∈，且11a =，数列{}n b 满足()*2120n n n b b b n N ++-+=∈，32b =，其前9项和为36.（1）当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1a ，1b ，2b ，2a ，3a ，3b ，4b ，4a ，5a ，5b ，…，求该数列的前n 项和n S ；（2）设1n n nc a b =+，对于任意给定的正整数()2k k ≥，是否存在正整数l 、()m k l m <<，使得k c 、l c 、m c 成等差数列？若存在，求出l 、m （用k 表示），若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）222,243,4141,414n n n kn S n k n n k ⎧=⎪⎪+⎪==-⎨⎪⎪-=-⎪⎩，*k ∈N ；（2）存在；21l k =-，2452m k k =-+.【分析】（1）根据通项公式与求和公式的关系求出n a n =，利用等差数列基本量运算求得1n b n =-，利用分类讨论思想求出结果．（2）由（1）可知：121n c n =-，若对于任意给定的正整数(2)k k 存在正整数l ，()m k l m <<，使得k c ，l c ，m c 成等差数列，利用分类讨论思想和整除问题，结合反证法可得结果．【详解】（1）因为1112n n A A n n +-=+，于是数列{n A n 是首项为1，公差为的等差数列，所以1122n A n n =+，则：(1)2n n n A +=，当2n 时，1n n n a A A n -=-=，又因为11a =，所以n a n =，又因为2120n n n b b b ++-+=，于是数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，由于95936B b ==，则：54b =，由于：32b =，则：5322d b b =-=，解得：1d =．所以：2(3)1n b n n =+-=-；当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1a ，1b ，2b ，2a ，3a ，3b ，4b ，4a ，5a ，5b ，⋯，则：数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n B -=．当2n k =时，22(1)(1)22n k k k k k k k S S A B k +-==+=+=．当43n k =-时，2432122(21)(23)(1)463n k k k S S A B k k k k k k ---==+=-+--=-+．当41n k =-时，241212(21)(21)42n k k k S S A B k k k k k k --==+=-+-=-；进一步整理得：222(2)463(23)42(41)n k n k k k n k S k k n k ⎧=⎪-+=-⎪=⎨-=-⎪⎪⎩．（2）由（1）可知：121n c n =-，若对于任意给定的正整数(2)k k 存在正整数l ，()m k l m <<，使得k c ，l c ，m c 成等差数列．则：2l m k c c c =+，即：211212121l k m =+---，解得：222(21)1421421kl k l k m k k l k l +--==-+----，即：2(21)1421k m k k l -=+---．则对于任意的正整数(2)421k k k l --能整除2(21)k -，且4210k l -->．由于当2k 时，21k -中存在多个质数．所以：421k l --只能取1和21k -或2(21)k -．若4211k l --=时，则21l k =-，2452m k k =-+．于是，2473(43)(1)0m l k k k k -=-+=-->，符合k l m <<．若42121k l k --=-时，k l =出现矛盾，则舍去．若2421(21)k l k --=-，则：2m k +=，于是0m ，出现矛盾，故舍去．综上所述：当2k 时，存在正整数21l k =-，2452m k k =-+，满足k l m <<，使得k c ，l c ，m c 成等差数列．本题考查的知识要点：通项公式与求和公式的关系，等差数列基本量运算，整除问题，以及分类讨论思想和反证法的应用，同时考查了运算求解能力与转化思想，属于综合题．。