高一数学课后强化练习：3.2.1 第2课时 积、商、幂的对数(人教B版必修1)
人教版数学高一-人教B版必修一规范训练 3.2.1对数及其运算(一)
双基达标 (限时20分钟)1．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )． A ．a >5或a <2 B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a >0a －2>0且a －2≠1得2<a <5且a ≠3. 答案 C2．( )． A ．－4 B ．－3C ．3D ．4 解析 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝16，∴2－x ＝24，∴－x ＝4，∴x ＝－4.答案 A3．已知log x 16＝2，则x ＝( )．A ．±4B ．4C ．256D ．2 解析 ∵log x 16＝2，∴x 2＝16，∴x ＝±4，又x >0，∴x ＝4. 答案 B4．方程log 4(1－2x )＝1的解x ＝________.解析 由1－2x ＝4得：x ＝－32.答案 －325．解析 原式＝5－4＝1.答案 16．求下列各式中x 的值：(1)log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1；(2)log 2 003(x 2－1)＝0.解 (1)∵log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3，∴1－2x ＝27，即x ＝－13.(2)∵log 2 003(x 2－1)＝0，∴x 2－1＝1，即x 2＝2，∴x ＝±2.综合提高 (限时25分钟)7．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( )． A ．log 310 B ．lg 3C ．103D ．310 解析 方法一：令10x ＝t ，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg 3.方法二：令10x ＝3，则x ＝lg 3，∴f (3)＝lg 3. 答案 B8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 3x x >02x x ≤0则f (f (19))＝( )． A ．4 B.14C ．－4D ．－14解析 f (19)＝log 319＝－2，f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14. 答案 B9．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________．解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. 答案 1210．若log 3(log 2x )＝0，则x －12＝________.解析 由log 2x ＝1，∴x ＝2，答案 2211．求下列各式中x 的值：(1)log x (3＋22)＝－2；(2)log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1.解 (1)∵log x (3＋22)＝－2， ∴x －2＝3＋22，∴1x 2＝3＋22，∴x 2＝13＋22， 又∵x >0且x ≠1，∴x ＝13＋22＝2－1. (2)∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1， ∴⎩⎨⎧ x 2＋3x ＝x ＋3，①x 2＋3x >0，②x ＋3>0且x ＋3≠1，③解x 2＋2x －3＝0得，x ＝－3或x ＝1. 当x ＝－3时，不满足②和③， 当x ＝1时，满足②③，故x ＝1.12．(创新拓展)已知：x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x的值． 解 由x ＝log 23得2x ＝3,2－x ＝13.∴23x －2－3x2x －2－x ＝22x ＋2－2x ＋1 ＝(2x )2＋(2－x )2＋1＝9＋19＋1＝919.。
2018-2019学年高中数学人教B版必修一练习：3.2.1 对数及其运算 第1课时 对数的概念、常用对数 Word版含解析
3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算第1课时 对数的概念、常用对数【选题明细表】知识点、方法题号对数概念2,9指数式与对数式的互化1,3,6对数性质应用8,10,11对数恒等式4,5,71.把对数式x=lg 2,化成指数式为( A )(A)10x=2(B)x10=2(C)x2=10(D)2x=10解析:lg 2=log102,即对数式为x=log102,故指数式为10x=2.2.在对数式lo=b中,下列对a,b,N的限制条件中正确的是( C )(A)a>1,N≥0,b∈R(B)a>1且a≠2,N≥0,b>0(C)a>1且a≠2,N>0,b∈R(D)a>1且a≠2,N>0,b>0解析:①>0且≠1,所以a>1且a≠2;②>0,所以N>0;③b∈R.故选C.3.若log x=z,则( B )(A)y7=x z(B)y=x7z(C)y=7·x z(D)x=z7y解析:由log x=z得x z=,两边同时7次方得(x z)7=()7,即y=x7z.故选B.4.4log22+等于( A )(A)(B)-1(C)9(D)解析:4log22+=4+()-1=4+=.5.计算+= .解析:原式=23×+=23×3+=24+27=51.答案:516.如果f(10x)=x,则f(3)等于( B )(A)log310 (B)lg 3(C)103 (D)310解析:令10x=3,则x=log103=lg 3,即f(3)=lg 3.7.已知log a3=,则a的值为( B )(A)2(B)3(C)8(D)9解析:因为=30=1,所以log a3=1,所以a=3.8.已知f(x)=则f(-2)+f(2)的值为( B )(A)6(B)5(C)4(D)3解析:由题意得f(-2)+f(2)=(1+log24)+2=5.故选B.9.函数y=log2x-1的定义域是( A )(A)(,1)∪(1,+∞)(B)(,1)∪(1,+∞)(C)(,+∞) (D)(,+∞)解析:要使函数有意义,则解此不等式组可得x>且x≠1且x>,因此函数的定义域是(,1)∪(1,+∞),故选A.10.(2018·河南省平顶山市、许昌市、汝州高一上学期期中联考)若log3(x-2)=log4(2y-1)=1,则= .解析:由log3(x-2)=1可得x-2=3,所以x=5,由log4(2y-1)=1可得2y-1=4,所以y=,据此可得==2.答案:211.使方程(lg x)2-lg x=0的x的值为 .解析:由lg x(lg x-1)=0得lg x=0或lg x=1,即x=1或x=10.答案:10或112.已知M={0,1},N={11-a,lg a,2a,a},是否存在实数a使M∩N={1}?解:若M∩N={1},则1∈N,(1)若11-a=1,则a=10,于是lg a=1,这与集合中元素的互异性矛盾;(2)若lg a=1,则a=10,于是11-a=1,这与集合中元素的互异性矛盾;(3)若2a=1,则a=0,这与a>0矛盾;(4)若a=1,则11-a=10,lg a=0,2a=2,N={10,0,2,1},于是M∩N={0,1},这与M∩N={1}矛盾.综上可知,不存在实数a使M∩N={1}.。
【K12小初高学习】高中数学人教B版必修一练习：3.2.1 对数及其运算 第1课时 对数的概念、常用对数
3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算第1课时对数的概念、常用对数【选题明细表】1.把对数式x=lg 2,化成指数式为( A )(A)10x=2 (B)x10=2(C)x2=10 (D)2x=10解析:lg 2=log102,即对数式为x=log102,故指数式为10x=2.2.在对数式lo=b中,下列对a,b,N的限制条件中正确的是( C )(A)a>1,N≥0,b∈R(B)a>1且a≠2,N≥0,b>0(C)a>1且a≠2,N>0,b∈R(D)a>1且a≠2,N>0,b>0解析:①>0且≠1,所以a>1且a≠2;②>0,所以N>0;③b ∈R.故选C.3.若log x=z,则( B )(A)y7=x z(B)y=x7z(C)y=7·x z(D)x=z7y解析:由log x=z得x z=,两边同时7次方得(x z)7=()7,即y=x7z.故选B.4.4log22+等于( A )(A) (B)-1(C)9 (D)解析:4log22+=4+()-1=4+=.5.计算+= .解析:原式=23×+=23×3+=24+27=51.答案:516.如果f(10x)=x,则f(3)等于( B )(A)log310 (B)lg 3(C)103 (D)310解析:令10x=3,则x=log103=lg 3,即f(3)=lg 3.7.已知log a3=,则a的值为( B )(A)2 (B)3(C)8 (D)9解析:因为=30=1,所以log a3=1,所以a=3.8.已知f(x)=则f(-2)+f(2)的值为( B )(A)6 (B)5(C)4 (D)3解析:由题意得f(-2)+f(2)=(1+log24)+2=5.故选B.9.函数y=log2x-1的定义域是( A )(A)(,1)∪(1,+∞) (B)(,1)∪(1,+∞)(C)(,+∞) (D)(,+∞)解析:要使函数有意义,则解此不等式组可得x>且x≠1且x>,因此函数的定义域是(,1)∪(1,+∞),故选A.10.(2018·河南省平顶山市、许昌市、汝州高一上学期期中联考)若log3(x-2)=log4(2y-1)=1,则= .解析:由log3(x-2)=1可得x-2=3,所以x=5,由log4(2y-1)=1可得2y-1=4,所以y=,据此可得==2.答案:211.使方程(lg x)2-lg x=0的x的值为.解析:由lg x(lg x-1)=0得lg x=0或lg x=1,即x=1或x=10.答案:10或112.已知M={0,1},N={11-a,lg a,2a,a},是否存在实数a使M∩N={1}? 解:若M∩N={1},则1∈N,(1)若11-a=1,则a=10,于是lg a=1,这与集合中元素的互异性矛盾;(2)若lg a=1,则a=10,于是11-a=1,这与集合中元素的互异性矛盾;(3)若2a=1,则a=0,这与a>0矛盾;(4)若a=1,则11-a=10,lg a=0,2a=2,N={10,0,2,1},于是M∩N={0,1}, 这与M∩N={1}矛盾.综上可知,不存在实数a使M∩N={1}.。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2.1 对数与对数函
3．2.1 对数与对数函数第1课时对数概念与常用对数1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．(重点)2．理解对数的底数和真数的范围．(易混点)3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(难点)[基础·初探]教材整理1 对数的概念阅读教材P95～P96，完成下列问题．1．在指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)中，幂指数x，又叫做以a为底y的对数．2．一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数．3．对数恒等式a log a N＝N.4．对数与指数间的关系a b＝N⇔b＝log a N(a>0，a≠1)．5．常用对数以10为底的对数叫做常用对数，通常把log10N记作lg_N.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样．( )(3)对数的运算实质是求幂指数．( )【解析】(1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×.log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√.由对数的定义可知(3)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 对数的性质阅读教材P 96“第6行”～P 96“例1”以上内容，完成下列问题． 1．负数和零没有对数． 2．log a 1＝0(a ＞0，a ≠1)． 3．log a a ＝1(a ＞0，a ≠1)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为1a＝1，所以log 11＝a .( ) (2)log (－2)(－2)＝1.( )(3)任何一个指数式都可化为对数式．( )【解析】 (1)×.因为对数的底数a 应满足a >0且a ≠1，所以(1)错； (2)×.因为对数的底数a 应满足a >0且a ≠1，真数应大于0，所以(2)错；(3)×.只有满足底数大于0且不等于1的指数式才能化为对数式，如(－2)4＝16就不能化为对数式，故(3)错．【答案】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]对数的概念(1)对数式lg(2x －1)中实数x 的取值范围是________； (2)对数式log (x －2)(x ＋2)中实数x 的取值范围是______．【精彩点拨】 根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解．【自主解答】 (1)由题意可知对数式lg(2x －1)中的真数大于0，即2x －1>0，解得x >12，所以x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －2>0，x －2≠1，解之得x >2，且x ≠3，所以实数x 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (2)(2,3)∪(3，＋∞)根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式组，可求得对数式中字母的取值范围.[再练一题]1．对数式log (2x －3)(x －1)中实数x 的取值范围是______.【导学号：60210079】【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －3>0，2x －3≠1，解之得x >32，且x ≠2，所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)指数式与对数式的互化(1)将下列的对数式化为指数式或将指数式化为对数式：【精彩点拨】 (1)根据a x＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1，N >0)求解；(2)由于a ，b 是对数，所以可考虑用指数式表示出a ，b ，再把它们代入式子中． 【自主解答】 (1)①因为43＝64， 所以log 464＝3.②因为log x 3＝2，所以x 2＝3.④因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.(2)∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b＝7， ∴3a －b＝3a3b ＝107.1．指数式与对数式的互化互为逆运算，在利用a x＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1，N >0)互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．2．在对数式、指数式的互化求值时，要注意灵活运用指数的定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．[再练一题]2．已知log a x ＝log a c ＋b ，求x 的值． 【解】[探究共研型]对数的基本性质探究1 【提示】 负数和0没有对数．探究2 根据对数的定义及对数与指数的关系，你能求出log a 1，log a a 分别等于什么吗？ 【提示】 因为a 0＝1，所以log a 1＝0；因为a 1＝a ，所以log a a ＝1. 探究3 你能推出对数恒等式a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)吗？ 【提示】 因为a x ＝N ，所以x ＝log a N ，代入a x＝N 可得a log a N ＝N .A ．10B ．13C ．100D ．±100(2)求x 的值：【精彩点拨】 (1)利用对数恒等式a log a N ＝N 求解；(2)利用“底数”的对数为1，“1”的对数为0，由外到内逐层求解． 【自主解答】 (1)由＝25，得2x －1＝25，所以x ＝13.【答案】 B得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋2x －1＝2x 2－1，3x 2＋2x －1>0，2x 2－1>0且2x 2－1≠1，解得x ＝2.②∵log (2－1)13＋22＝x ，∴(2－1)x＝13＋22＝12＋12＝12＋1＝2－1，∴x ＝1.对数恒等式是利用对数的定义推导出来的，要注意其结构特点：1它们是同底的；2指数中含有对数的形式；3其值为对数的真数.)[再练一题]3．已知log 2(log 3(log 4x ))＝log 3(log 4(log 2y ))＝0，求x ＋y 的值． 【解】 ∵log 2(log 3(log 4x ))＝0， ∴log 3(log 4x )＝1，∴log 4x ＝3. ∴x ＝43＝64. 同理求得y ＝16. ∴x ＋y ＝80.1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．e 0＝1与log e 1＝0 B ．8－13＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．log 77＝1与71＝7【解析】 由指数、对数互化的关系：a x＝N ⇔x ＝log a N 可知A ，B ，D 都正确；C 中log 39＝2⇔9＝32.【答案】 C2．已知log x 8＝3，则x 的值为( ) A.12 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由log x 8＝3，得x 3＝8，∴x ＝2. 【答案】 B3．若对数log (x －1)(4x －5)有意义，则x 的取值范围是( ) A.54≤x ＜2 B.52＜x ＜2 C.54＜x ＜2或x ＞2 D ．2≤x ≤3【解析】 x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0，x －1>0，x －1≠1，∴x >54，且x ≠2.【答案】 C 4．计算＝________.【解析】 ＝22·＝4×5＝20.【答案】 205．求下列各式中的x . 【导学号：97512045】 (1)log 2x ＝－23；(2)log 5(log 2x )＝0. 【解】 (1)x ＝2－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223.(2)log 2x ＝1，x ＝2.第2课时 对数的运算1．理解对数的运算性质．(重点)2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．[基础·初探]教材整理1 对数的运算性质阅读教材P 98至P 98“例4”以上部分，完成下列问题． 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；log a (N 1·N 2·…·N k )＝log a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k (N i ＞0，i ＝1,2，…k ) (2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n＝n log a M __(n ∈R )．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a xy ＝log a x ·log a y .( ) (3)log a (－2)3＝3log a (－2)．( )【解析】 (1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确； (2)×.根据对数的运算性质可知log a xy ＝log a x ＋log a y ； (3)×.公式log a M n＝n log a M (n ∈R )中的M 应为大于0的数． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 换底公式与自然对数阅读教材P 100至P 101“例6”以上部分，完成下列问题． 1．对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．2．自然对数：ln N ＝lg Nlg e⇒ln N ≈2.3026_lg_N .计算：log 29·log 34＝________.【解析】 由换底公式可得log 29·log 34＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.【答案】 4[小组合作型]对数运算性质的应用求下列各式的值： (1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2； (3)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72；(4)2log 32－log 3329＋log 38－52log 53.【精彩点拨】 当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．【自主解答】 (1)原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.(2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＋2lg 2＝2lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 3＝12.(3)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154.(4)原式＝2log 32－(log 325－log 39)＋3log 32－5log 532＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9＝2－9＝－7.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[再练一题]1．求下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25. 【解】 (1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1.(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.对数运算的实际应用抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)【精彩点拨】 根据题中的已知条件建立不等关系式，然后利用对数来解不等式． 【自主解答】 设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%，原先容器中的空气体积为a .则a (1－60%)n<0.1%a ，即0.4n<0.001，两边取常用对数，得n ·lg 0.4<lg 0.001， ∴n >lg 0.001lg 0.4＝－32lg 2－1≈7.5.故至少需要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.解对数应用题的步骤[再练一题]2．地震的震级R 与震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生强度至少为4.7级的地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．【解析】 设9.0级地震所释放的能量为E 1,5.0级地震所释放的能量为E 2.由9.0＝23(lgE 1－11.4)，得lg E 1＝32×9.0＋11.4＝24.9.同理可得lg E 2＝32×5.0＋11.4＝18.9，从而lg E 1－lg E 2＝24.9－18.9＝6.故lg E 1－lg E 2＝lg E 1E 2＝6，则E 1E 2＝106＝1 000 000，即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1 000 000倍． 【答案】 1000 000[探究共研型]对数换底公式的应用探究1 假设2log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x＝5，进一步可以得到什么结论？【提示】 进一步可以得到x ＝log 35，即log 35＝log 25log 23.探究2 由探究1，你能猜测log c blog c a 与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？【提示】log c b log c a ＝log a b .假设log c b log c a＝x ，则log c b ＝x log c a ，即log c b ＝log c a x，所以b ＝a x，则x ＝log a b ，所以log c b log c a＝log a b .(1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值．【精彩点拨】 (1)中两对数的底数不同，可用换底公式换成常用对数，为便于发现关系，可将真数都化为质数进行计算．(2)中各个对数的底数都不相同，需先统一底数再化简求值．【自主解答】 (1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a2alg 3.∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝43－a 3＋a.(2)法一 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28·log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13.法三 原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13.1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ，log am b n＝nmlog a b ，log a a n＝n ，lg 2＋lg 5＝1等，将会达到事半功倍的效果．[再练一题]3．求值：log 225·log 3116·log 519＝________.【解析】 原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－4lg 2lg 3·－2lg 3lg 5＝16.【答案】 161．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c【解析】 利用对数的换底公式进行验证， log a b ·log c a ＝log c blog c a ·log c a ＝log c b ，则B 正确．【答案】 B2．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( )A ．lg 2B ．lg 3C ．lg 4D ．lg 5【解析】 法一：lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝(lg 25－lg 16)－2(lg 5－lg 9)＋(lg 32－lg 81)＝2lg 5－4lg 2－2lg 5＋4lg 3＋5lg 2－4lg 3＝lg 2法二：lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A.【答案】 A3．下列结论正确的是( ) A ．log a (x －y )＝log a x －log a y B.log a xlog a y＝log a x －log a y C ．log a x y＝log a x －log a y D ．log a x y ＝log a xlog a y【解析】 由对数的运算性质，知A ，B ，D 错误，C 正确． 【答案】 C4．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. 【解析】 原式＝(lg 2)2＋lg 2·(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2. 【答案】 25．已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645. 【解】 ∵log 189＝a,18b＝5，即log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×5log 1818×2＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b2－a.。
【成才之路】高中数学 3.2.1 第1课时 对数的概念及常用对数课后强化作业 新人教B版必修1
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.1 第1课时 对数的概念及常用对数课后强化作业 新人教B 版必修1一、选择题1．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．0＜a ＜12且a ≠1B ．0＜a ＜12C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＜12[答案] B[解析] 由对数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1＞0a ＞0a ≠1，解得0＜a ＜12.2．在下列四个命题中，属于真命题的是( ) ①若log 2x ＝3，则x ＝9； ②若log 36x ＝12，则x ＝6；③若log x 5＝0，则x ＝5； ④若log 3x ＝－2，则x ＝19.A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④[答案] B[解析] ①中x ＝8，排除A ；③中x 的值不存在，排除C 、D ，故选B.3．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( ) A.13 B ．123 C.122D ．133[答案] C[解析] ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x －12 ＝8－12 ＝122.4．如果点P (lg a ，lg b )关于x 轴的对称点为(0，－1)，则( ) A ．a ＝1，b ＝10 B ．a ＝1，b ＝110C ．a ＝10，b ＝1D ．a ＝110，b ＝1[答案] A[解析] 点P (lg a ，lg b )关于x 轴的对称点为(lg a ，－lg b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧lg a ＝0－lg b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝10.5．若f (10x)＝x ，则f (3)的值为( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103D ．310[答案] B[解析] ∵f (10x)＝x ，令10x＝t ，∴x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，∴f (3)＝lg3. 6．的值为( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52[答案] B二、填空题7. 的值为________．[答案] 48．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －2b＝________.[答案]1049三、解答题9．将下列对数式与指数式互化． (1)2－4＝116；(2)53＝125； (3)lg a ＝2； (4)log 0.10.001＝3； (5)log 232＝5.[解析] (1)log 2116＝－4.(2)log 5125＝3. (3)102＝a . (4)0.13＝0.001. (5)25＝32.一、选择题1．log 7(log 3x )＝－1，则x 的值为( ) A. 17 B ．13 C ．317 D ．713[答案] C[解析] ∵log 7(log 3x )＝－1，∴log 3x ＝7－1＝17，∴x ＝317 .2．若f (4x)＝x ，则f (2)等于( ) A ．42 B ．24C. 12D ．2[答案] C[解析] 令4x＝2，则x ＝12，故选C.3．下列语句正确的是( )①对数式log a N ＝b 与指数式a b＝N (a ＞0，且a ≠1)是同一关系式的两种不同表示方法； ②若a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)，则a log aN＝N 一定成立；③对数的底数为任意正实数；④log a a b＝b ，对于一切a ＞0且a ≠1恒成立． A ．①②③④ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④[答案] B[解析] ③错，对数的底数不能为1，排除A 、C 、D ，故选B. 4．若log 3[log 4(log 5a )]＝log 4[log 3(log 5b )]＝0，则ab等于( ) A ．4 B ．5 C ．3 D ．15[答案] B[解析] ∵log 3[log 4(log 5a )]＝log 4[log 3(log 5b )]＝0， ∴log 4(log 5a )＝1，log 3(log 5b )＝1，∴log 5a ＝4，log 5b ＝3， ∴a ＝54，b ＝53，∴a b＝5. 二、填空题5．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. [答案] －3[解析] 由对数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞01－x ≠1＋x2≠0＋x 2＝1－x，解得x ＝－3.6．若log x (2＋3)＝－1，则x ＝________. [答案] 2－ 3[解析] ∵log x (2＋3)＝－1，∴x －1＝2＋3， ∴1x ＝2＋3，∴x ＝12＋3＝2－ 3. 三、解答题7．求下列各式中的x 值： (1)log 2(x 2－2)＝0； (2)log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1.[解析] (1)∵log 2(x 2－2)＝0，∴x 2－2＝1，∴x 2＝3， ∴x ＝± 3.(2)∵log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋2x －1＞02x 2－1＞02x 2－1≠13x 2＋2x －1＝2x 2－1，解得x ＝－2.8．解方程3lg x －2－3lg x ＋4＝0.[解析] 设3lg x －2＝a ≥0，则3lg x ＝a 2＋2， ∴原方程化为a －a 2＋2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2.∵a ≥0，∴a ＝2.∴3lg x －2＝2， ∴3lg x －2＝4，∴lg x ＝2，x ＝100. 经检验知，x ＝100是原方程的根．9．设M ＝{0,1}，N ＝{11－a ，lg a,2a，a }，是否存在实数a ，使得M ∩N ＝{1}? [解析] 若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，此时与集合元素的互异性矛盾； 若2a＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义；若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0,1}，与条件不符；若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性相矛盾． 所以，不存在实数a 使M ∩N ＝{1}成立．。
数学人教B版必修1学案学习导航 3.2.1对数及其运算 Word版含解析
对数与对数函数对数及其运算自主整理.对数的概念()如果(>,且≠)的次幂等于，就是，那么数称为以为底的对数，记作，其中称为对数的底，称为真数;(）以为底的对数称为常用对数，记作；(）以无理数( …)为底的对数称为自然对数，记作..对数的性质(）真数为正数（负数和零无对数）.(）.(）.(）对数恒等式：.()运算性质：如果>≠>>,则①();②;③(∈)..对数的换底公式一般地,我们有(>≠>≠>),这个公式称为对数的换底公式.通过换底公式可推导:(）·；(）.高手笔记.对数的运算法则助记口诀：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前..对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子..证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义..使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：（）（）存在，但（），（）不存在，（）存在，但（）不存在等.因此不能得出（）（）（）（），（）（）..换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若＞，＞，，则.名师解惑.对数式与指数式有何关系？在对数符号中，为什么规定＞，≠，＞呢？我们的口号是：渴望找到真理就是功绩，即使在这条道路上会迷路。
——利希顿堡剖析：对数的概念是这么说的：一般地，如果（＞且≠）的次幂等于，即，那么就称是以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.从定义不难发现无论是指数式，还是对数式都反映的是、、三数之间的关系.在对数符号中，若＜，则为某些值时，不存在，如（）不存在.若＝，则不为时，不存在；为时，可以为任何正数，不唯一.若＝，则不为时，不存在；为时，可以为任何实数，不唯一.因此规定＞且≠.因为＝＝，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此＞..式子表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？剖析：一般不能，比如,而≠.但有类似的性质，这个性质是.证明如下：令,则.所以.而·，所以.与的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的.讲练互动【例题】（）将下列指数式写成对数式：①；②；③；④.（）将下列对数式写成指数式：①；②；③；④.分析:应用指数式与对数式的等价关系求解.解：（）①＝；②＝；③＝；④＝.（）①＝；②＝；③＝；④＝.绿色通道指数式与对数式之间的换算，就是利用＝＝.变式训练.已知，，则.解析：∵，，∴，.∴.。
3.2.1 对数及其运算(二) 学案(人教B版必修1)
3.2.1 对数及其运算(二)自主学习学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝________________；(2)log a M N＝________； (3)log a M n ＝________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________.3．自然对数(1)以________________为底的对数叫做自然对数，log e N 通常记作________．(2)自然对数与常用对数的关系：ln N ≈____________.对点讲练知识点一 正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④知识点二 对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.规律方法 (1)对于同底的对数的化简常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．(3)对于含有多重对数符号的对数的化简，应从内向外逐层化简求值．变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.知识点三 换底公式的应用例3 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ；(2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1).课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 2．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝__________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝__________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.3．2.1 对数及其运算(二)答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a3．(1)无理数e ＝2.718 28… ln N(2)2.302 6lg N对点讲练例1 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．]变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]例2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.例3 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010 ＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。
高中数学 3.2.1 对数及其运算同步课件 新人教B版必修1
(3)并非任何指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能
直接写成log－39，只有符合a＞0，a≠1且N＞0时，才有ax＝N⇔x＝
logaN. 2．正确运用对数的运算性质
(1)在运算过程中避免出现以下错误：
loga(MN)＝logaM·logaN.
logaNn＝(logaN)n.
logaM±logaN＝loga(M±N)． (2)要特别注意它的前提条件：a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，尤其是
3．若a＞1，则x＞0时，ax ＞ 1，x＜0时，ax ＜ 1； 若0＜a＜1，则x＞0时，ax ＜ 1，x＜0时，ax ＞ 1.
对任意x∈R，当a＞0且a≠1时，都有ax ＞ 0.
填不等号
1．对数概念
b (1)定义：一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即 a ＝N ，
那么b叫做 ， 记作b＝logaN ，其中a叫做底数 ，N叫做真数 ， 以a为底N的对数 读作 b等于以a为底N的对数 2 对数性质 ．
① 0和负数 没有对数，即 N＞0 ； ②1的对数为0，即 loga1＝0 ； ③底的对数等于1，即 logaa＝1 .
(3)对数恒等式： alogaN＝N 2．对数的运算性质
.
3.换底公式
4．常用对数、自然对数
1
以10为底的对数 常用对数：
叫作常用对数，N的常用对数
log10N简记为 lgN . 2
将下列指数式写成对数式：
(1)210＝1 024； (2)10－3＝
(3)0.33＝0.027； (4)e0＝1.
【思路点拨】 利用对数的定义进行变形．
【解析】 (1)∵210＝1 024，∴10＝log21 024. (2)∵10－3＝ ，∴－3＝log10 ＝lg . (3)∵0.33＝0.027，∴3＝log0.30.027. (4)∵e0＝1，∴0＝loge1＝ln1. logaN＝b与ab＝N a＞0且a≠1，N＞0 是等价 的，表示a，b，N三者之间的同一种关系．可以利用其中两个量表 示第三个量． 1.求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lgx)＝1. 【解析】 (1)∵log2(log5x)＝0， ∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
高中数学 3.2.1.1 对数及其运算(一)活页练习 新人教B版必修1
【创新设计】2013-2014学年高中数学 3.2.1.1 对数及其运算(一)活页练习 新人教B 版必修1双基达标限时20分钟1．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )．A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0a －2>0且a －2≠1得2<a <5且a ≠3.答案 C 2． ( )．A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝16，∴2－x ＝24，∴－x ＝4，∴x ＝－4. 答案 A3．已知log x 16＝2，则x ＝ ( )．A ．±4B ．4C ．256D ．2解析 ∵log x 16＝2，∴x 2＝16，∴x ＝±4，又x >0，∴x ＝4. 答案 B4．方程log 4(1－2x )＝1的解x ＝________. 解析 由1－2x ＝4得：x ＝－32.答案 －325．解析 原式＝5－4＝1. 答案 16．求下列各式中x 的值：(1)log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1；(2)log 2 003(x 2－1)＝0. 解 (1)∵log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x9＝3， ∴1－2x ＝27，即x ＝－13. (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0， ∴x 2－1＝1，即x 2＝2， ∴x ＝± 2.综合提高限时25分钟7．如果f (10x)＝x ，则f (3)等于( )．A ．log 310B ．lg 3C ．103D ．310解析 方法一：令10x＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg 3.方法二：令10x＝3，则x ＝lg 3，∴f (3)＝lg 3. 答案 B8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x >02xx ≤0则f (f (19))＝( )．A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析 f (19)＝log 319＝－2，f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14.答案 B9．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n的值为________．解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m＝2，a n＝3，∴a 2m ＋n＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.答案 1210．若log 3(log 2x )＝0，则x －12＝________.解析 由log 2x ＝1，∴x ＝2，答案2211．求下列各式中x 的值： (1)log x (3＋22)＝－2； (2)log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1. 解 (1)∵log x (3＋22)＝－2， ∴x －2＝3＋22， ∴1x2＝3＋22，∴x 2＝13＋22，又∵x >0且x ≠1， ∴x ＝13＋22＝2－1.(2)∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＝x ＋3，①x 2＋3x >0，②x ＋3>0且x ＋3≠1，③解x 2＋2x －3＝0得，x ＝－3或x ＝1. 当x ＝－3时，不满足②和③， 当x ＝1时，满足②③，故x ＝1.12．(创新拓展)已知：x ＝log 23，求23x－2－3x2x －2－x 的值．解 由x ＝log 23得2x ＝3,2－x＝13.∴23x－2－3x2x －2－x ＝22x ＋2－2x ＋1 ＝(2x )2＋(2－x )2＋1＝9＋19＋1＝919.。
人教B版数学高一版必修1课堂探究3.2.1对数及其运算
课堂探究探究一对数式与指数式的互化由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其关系如下表：10(2)log39＝2⇔32＝9；(3)log210＝x⇔2x＝10；(4)e3＝x⇔log e x＝3，即ln x＝3.答案：(1)lg 1 000＝3(2)32＝9(3)2x＝10(4)ln x＝3探究二对数基本性质的应用1．对数恒等式a log a N＝N的应用(1)能直接应用对数恒等式的求值．(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．2．利用对数的基本性质求值时经常用到两个关键的转化(1)log a x＝1⇔x＝a(a>0，且a≠1)．(2)log a x＝0⇔x＝1(a>0，且a≠1)．我们常用其来实现一些较复杂的指数式的转化．【典型例题2】(1)若log3(lg x)＝1，则x＝__________；(2)求值：4221(log 9log 5)2－＝__________.解析：(1)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3. ∴x ＝103＝1 000.(2)原式＝2(log 29－log 25)＝22log 9log 522＝95.答案：(1)1 000 (2)95点评 在对数的相关运算中，除了对数的定义外，应灵活应用如log a 1＝0，log a a ＝1，a log a M ＝M 等常用性质，另外要特别注意真数与底数的取值要求，做到及时检验． 探究三 对数运算法则的应用对数运算法则的使用技巧及注意事项：1．“收”：同底的对数式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂等，然后化简求值，如log 24＋log 25＝log 220.2．“拆”：将式中真数的积、商、幂等运用对数的运算法则把它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值，如log 295＝log 29－log 25. 3．各字母的取值范围即字母的取值必须保证底数大于0且不等于1，真数大于0. 4．注意“同底”这个化简的方向，因为同底的对数才可能利用对数的运算法则． 5．要保证所得结果中的对数与化简过程中的对数都有意义． 【典型例题3】化简下列各式： (1)4lg2＋3lg5－lg15；(2)lg8lg1.2-；(3)2log 32－log 3329＋log 38－55log 3. 思路分析：利用对数的运算法则，将所给式子转化为积、商、幂的对数．解：(1)原式＝lg 432515⨯＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4；(2)原式＝33lg 33lg 222lg 32lg 21+-+-＝()3lg321lg 212lg32lg 21+-+-＝32； (3)原式＝2log 32－(5log 32－2)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.点评 (1)注意对数运算法则的正用和逆用；(2)综合运用对数运算法则时应注意掌握变形技巧，如化为最简形式或统一底数等． 探究四 对数换底公式的应用1．应用换底公式表示已知对数的两个策略2．利用换底公式进行化简求值的技巧及常见处理方式(1)技巧：“化异为同”，即将不同底的对数尽量化为同底的对数来计算．(2)常见的三种处理方式：①借助运算性质：先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底求解．②借助换底公式：一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值． ③利用对数恒等式或常见结论：有时可熟记一些常见结论，这样能够提高解题效率． 【典型例题4】(1)计算lg12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 98的值； (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解：(1)原式＝lg 1525282⎛⎫÷⨯⎪⎝⎭－lg 9lg 8·lg 8lg 9＝lg10－1＝0. (2)方法一：∵log 189＝a,18b ＝5， ∴log 18 5＝b . 于是log 36 45＝1818log 45log 36＝()()1818log 95log 182⨯⨯＝81818log 9log 51log 2++＝18181log 9a b ++＝2a ba+-. 方法二：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝()18218log 9518log 9⨯＝18181818log 9log 52log 18log 9+-＝2a ba +-.方法三：∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg 9＝a lg18，lg 5＝b lg18. ∴log 36 45＝lg 45lg 36＝()2lg 9518lg 9⨯＝lg 9lg 52lg18lg 9+-＝lg18lg182lg18lg18a b a +-＝2a ba +-. 点评 在解题过程中，根据问题的需要将指数式转化为对数式，或者将对数式转化为指数式，这正是数学转化思想的具体体现，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用．探究五易错辨析易错点忽视底数的限制条件而致误【典型例题5】已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值．错解：由对数的性质，可得x2＋3x＝x＋3，解得x＝1或x＝－3.错因分析：错解中忽视了对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1.正解：由对数的性质，知22333030,31x x xx xx x⎧+=+⎪+⎨⎪++≠⎩且解得x＝1，故实数x的值为1.点评由对数的定义可知，对数log a N的底数a>0，且a≠1，真数N>0，因此我们在解题时一定要注意这些限制条件，如果忽视了这些条件，则很容易出错．。
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3.2.1 第2课时 积、商、幂的对数
一、选择题
1．lg8＋3lg5＝( )
A．lg16 B．3lg7
C．6 D．3
[答案] D
[解析] lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3lg10＝3.
2．下列计算正确的是( )
A．log26－log23＝log23 B．log26－log23＝1
C．log39＝3 D．log3(－4)2＝2log3(－4)
[答案] B
[解析] log26－log23＝log263＝log22＝1，故选B.
3．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么( )
A．x＝a＋3b－c B．x＝3ab5c
C．x＝ab3c5 D．x＝a＋b3－c3
[答案] C
[解析] ∵lgx＝lga＋3lgb－5lgc
＝lga＋lgb3－lgc5＝lgab3c5，
∴x＝ab3c5.
4．当a＞0且a≠1，x＞0，y＞0，n∈N*时，下列各式不恒成立的是( )
A．logaxn＝nlogax
B．logax＝nloganx
C．xlogax＝x
D．logaxn＋logayn＝n(logax＋logay)
[答案] C
[解析] 要使式子xlogax＝x恒成立，
必须logax＝1，即a＝x时恒成立．
5．方程2log3x＝14的解是( )
A.33 B．3
C．19 D．9
[答案] C
[解析] ∵2 log3x＝14＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝19.
6．(2013～2014学年度云南玉溪一中高一期中测试)(lg5)2＋lg2·lg5＋lg20的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] (lg5)2＋lg2·lg5＋lg20
＝lg5(lg5＋lg2)＋lg20
＝lg5＋lg20＝lg100＝2.
二、填空题
7．(2013·四川文)lg5＋lg20的值是________．
[答案] 1
[解析] lg5＋lg20＝lg(5×20)＝lg10＝1.
8．log63＝0.6131，log6x＝0.3869，则x＝________.
[答案] 2
[解析] log6x＝0.3869＝1－0.6131＝1－log63
＝log66－log63＝log663＝log62，∴x＝2.
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)12lg3249－43lg8＋lg245；
(2)lg2＋lg3－lg10lg1.8.
[解析] (1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝
1
2
(lg2＋lg5)＝12.
(2)原式＝12lg2＋lg9－lg10lg1.8＝12lg1.8lg1.8＝12.
一、选择题
1．log(2＋1)(3－22)的值为( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
[答案] B
[解析] log(2＋1)(3－22)＝log(2＋1)12＋12
＝log(2＋1)(2＋1)－2＝－2.
2．已知|lga|＝|lgb|，(a＞0，b＞0)，那么( )
A．a＝b B．a＝b或a·b＝1
C．a＝±b D．a·b＝1
[答案] B
[解析] ∵|lga|＝|lgb|；∴lga＝±lgb.
∴lga＝lgb或lga＝lg1b，∴a＝b或a＝1b.
3．某企业的年产值每一年比上一年增长p%，经过n年产值翻了一番，则n等于( )
A．2(1＋p%) B．log(1＋p%)2
C．log2(1＋p%) D．log2(1＋p%)2
[答案] B
[解析] 由题意得1·(1＋p%)n＝2，
∴n＝log(1＋p%)2.
4.2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝lg4＋lg3lg10＋lg0.6＋lg2＝lg12lg12＝1.
二、填空题
5．已知log32＝a，则2log36＋log30.5＝________.
[答案] 2＋a
[解析] 2log36＋log30.5＝log336＋log30.5＝log3(36×0.5)＝log318＝log39＋log32＝log332＋
log32＝2＋a.
6．方程lgx2－lg(x＋2)＝0的解集是________．
[答案] {－1,2}
[解析] ∵lgx2－lg(x＋2)＝0，
∴ x≠0x＋2＞0x2＝x＋2，解得x＝－1或x＝2.
∴方程lgx2－lg(x＋2)＝0的解集为{－1,2}．
三、解答题
7．(2013～2014学年度湖南长沙一中高一期中测试)计算：2723 －2log23×log218＋2lg(3＋5
＋3－5)．
[解析] 2723 －2 log23×log218＋2lg(3＋5＋3－5)
＝(33) 23 －3×log22－3＋lg(3＋5＋3－5)2＝9＋9＋lg10＝19.
8．(1)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)设x＝log23，求22x＋2－2x＋22x＋2－x的值．
[解析] (1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝(aloga2)2·a loga3＝4×3＝12.
(2)22x＋2－2x＋22x＋2－x＝2x＋2－x22x＋2－x
＝2x＋2－x
＝2 log23＋(2 log23)－1
＝3＋13＝103.
9．计算下列各式的值：
(1)log2748＋log212－12log242；
(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
[解析] (1)原式＝log2748＋log212－log242
＝log2748×142×12
＝log216×8×16×12
＝log228＝log22－12 ＝－12.
(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(1＋lg2)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)
＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.