2018学年高中人教数学B版必修1课时作业与单元检测：第二章 函数 第14课时 函数奇偶性的概念 含解析
(必考题)高中数学必修一第二单元《函数》检测(含答案解析)(5)
一、选择题1．若关于x 的不等式342xx a+-在[0x ∈，1]2上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，1]2-B ．(0，1]C ．1[2-，1]D ．[1，)+∞2．已知函数()21f x mx mx =++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．04m ≤≤B ．04m <≤C ．04m ≤<D ．04m <<3．已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+．设()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =（其中{}max ,p q 表示p ，q中较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中较小值），记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=（ ） A ．16-B ．16C ．8aD ．816a -4．已知函数()31,03,0x x x f x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则()()232f x f x ->的解集为（ ）A ．()(),31,-∞-⋃+∞B ．()3,1-C ．()(),13,-∞-+∞ D ．()1,3-5．函数sin y x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（ ） A ．[]4,-+∞B ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,47．已知函数224()3f x x x =-+，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．以上都不对8．设f (x )､g (x )､h (x )是定义域为R 的三个函数，对于以下两个结论:①若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均为增函数，则f (x )､g (x )､h (x )中至少有一个增函数; ②若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均是奇函数，则f (x )､g (x )､h (x )均是奇函数， 下列判断正确的是（ ） A ．①正确②正确B ．①错误②错误C ．①正确②错误D ．①错误②正确9．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式()0f x >的解集为( )A ．()()2,02,∞-⋃+B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()(),20,2∞--⋃D ．()()2,00,2-⋃10．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 11．若函数()()12311ax f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2018 B ．2019 C ．4036D ．4038二、填空题13．已知函数()31f x ax bx =-+，若()25f =，则()2f -=______．14．关于函数()f x =_________.①()f x 的定义域为[-1，0)∪(0，1]； ②()f x 的值域为R ； ③在定义域上是减函数； ④()f x 的图象关于原点对称.15．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()g x =的定义域是______．16．已知函数()()1f x a =-[]0,2上是减函数，则实数a 的取值范围是_____.17．设函数2222,0(),0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩，若(())2f f a =，则a =___________.18．已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有1()2f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则12020f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是______________. 19．若233()1x x f x x -+=-，()2g x x =+，求函数()()y f g x =的值域________.20．已知函数()4f x x a a x=-++，若当[]1,4x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数()221x mf x x +=+，x ∈R 是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）讨论函数()f x 在[]2,3上的单调性，并求函数()f x 在[]2,3上的最大值和最小值. 22．已知函数()f x 为二次函数，满足()()139f f -==，且()03f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()()g x f x mx =-在[]1,3上是单调函数，求实数m 的取值范围． 23．已知函数()222f x x ax =++，[]5,5x ∈-．（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数． （3）求函数()f x 的最小值()g a 的表达式，并求()g a 的最大值． 24．已知函数()x af x x+=（a 为常数），其中()0f x <的解集为()4,0-. （1）求实数a 的值；（2）设()()g x x f x =+，当()0x x >为何值时，()g x 取得最小值，并求出其最小值. 25．已知函数()bf x ax x=+的是定义在()0,∞+上的函数，且图象经过点()1,1A ，()2,1B -.（1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：函数()f x 在()0,∞+上是减函数； （3）求函数()f x 在[]2,5的最大值和最小值. 26．已知二次函数2()1()=-+∈f x x kx k R ．（1）若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围； （2）若()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论. 【详解】解：由题意知，342xx a +-在(0x ∈，1]2上恒成立，设3()42x f x x =+-，则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上为增函数，∴当12x =时，()12max 113()4211222f x f ==+-=-=， 则1a ， 故选：D . 【点睛】 关键点睛：本题的关键是将已知不等式恒成立问题，通过参变分离得到参数的恒成立问题，结合函数的单调性求出最值.2．C解析：C 【分析】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立，然后分0m =和0m ≠，结合题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立. 当0m =时，则有10>，合乎题意； 当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<. 综上所述，04m ≤<.故选：C. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩；③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩.3．A解析：A 【分析】根据()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+，由()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =，得到max ()412B g x a ==-+，min ()44A f x a ==--求解.【详解】因为函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+， 所以()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+， 如图所示：当2x a =+时，()()44f x g x a ==--， 当2=-x a 时，()()412f x g x a ==-+， 因为max ()412g x a =-+，所以()()2max ()412H x g x g x a ≤≤=-+，因为min ()44f x a =--，所以()()1min ()44H x f x f x a ≥≥=--， 所以44,412A a B a =--=-+， 所以16A B -=-， 故选：A 【点睛】方法点睛：(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．4．B解析：B 【分析】先分析分段函数的单调性，然后根据单调性将关于函数值的不等式转化为关于自变量的不等式，从而求解出解集. 【详解】 因为313y x =在R 上单调递增，所以313y x =在(),0-∞上单调递增， 又因为x y e =在R 上单调递增，所以x y e =在[)0,+∞上单调递增，且0311003e =>=⋅，所以()f x 在R 上单调递增，又因为()()232f x f x ->，所以232x x ->，解得()3,1x ∈-，故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解求解关于函数值的不等式的思路： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.5．A解析：A 【分析】先判断函数奇偶性，排除CD ，再结合函数在()0,π的正负选出正确答案 【详解】设()sin y f x x x ==，求得()sin f x x x -=，故函数为偶函数，排除CD ，由三角函数图像特征可知在()0,π时sin 0x >，故在()0,π时()0f x >，故A 正确 故选：A【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．B解析：B 【分析】结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点，则2,3也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解 【详解】因为函数()()()21f x x x x ax b =+++有两个零点1-，0，又因为其图象关于直线1x =对称，所以2，3也是函数()f x 的两个零点，即()()()()123f x x x x x =+⋅--，所以()()()22223f x x x x x =---，令()222111t x x x =-=--≥-，则()()223933124y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝，所以94y ≥-，即()f x 的值域为9,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：（1）若函数对称轴为x a =，则有()()f a x f a x +=-； （2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.7．C解析：C 【分析】根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案. 【详解】解：∵[1x ∈，∴2[1,3]x ∈， ∴224()3[1,2]f x x x =-∈+． 当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，所以只需满足：12k <-+，解得01k <<； 当0k =时，()2g x =．满足题意．当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++，所以只需满足：122k <+，解得102k >>-．∴1,12k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．8．D解析：D 【分析】可举出反例判断①错误；根据奇偶性的性质可判断②正确，结合选项可得答案． 【详解】①错误，可举反例：21()31xx f x x x ⎧=⎨-+>⎩，230()30121x x g x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪>⎩，0()20x x h x x x -⎧=⎨>⎩，均不是增函数；但()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数； 故①错误； ②()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是奇函数； ()()()()[()()]2()f x g x f x h x g x h x f x ∴+++-+=为奇函数；()f x ∴为奇函数；同理，()g x ，()h x 均是奇函数； 故②正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义与性质，知道()f x 和()g x 均是奇函数时，()()f x g x ±也是奇函数．9．A解析：A【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．10．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 123a--=，x 2=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；11．C解析：C 【分析】由函数是R 上的减函数，列出不等式，解出实数a 的取值范围． 【详解】因为()f x 是R 上的减函数，故023033a a a a>⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2334a <≤，故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题．12．A解析：A 【分析】根据函数解析式可验证出()()12f x f x +-=，采用倒序相加法可求得结果. 【详解】()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，令122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=. 故选：A . 【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定()()1f x f x +-为常数.二、填空题13．【分析】根据题意令从而得到得到为奇函数整理得到将代入求得的值【详解】设则即为奇函数故即即【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题解题方法如下：（1）构造奇函数；（2）利用奇函数的性质得到进 解析：3-【分析】根据题意，令()()31g x f x ax bx =-=-，从而得到()()3g x ax bx g x -=-+=-，得到()g x 为奇函数，整理得到()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦，将()25f =代入求得()2f -的值.【详解】设()()31g x f x ax bx =-=-，则()()3g x ax bx g x -=-+=-，即()g x 为奇函数，故()()22g g -=-，即()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦， 即()()222523f f -=-+=-+=-. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题，解题方法如下： （1）构造奇函数()()31g x f x ax bx =-=-；（2）利用奇函数的性质得到()()22g g -=-，进而求得()()222f f -=-+，得到结果.14．①②④【分析】求出函数的定义域值域判断①②根据单调性的定义判断③根据奇偶性的定义与性质判断④【详解】函数满足解得或故函数的定义域为故①正确当时当时所以函数值域为故②正确③虽然时函数单调递减当时函数单解析：①②④ 【分析】求出函数的定义域，值域判断①②，根据单调性的定义判断③，根据奇偶性的定义与性质判断④． 【详解】函数()f x =满足21011x x ⎧-⎪⎨+≠⎪⎩，解得10x -<或01x <，故函数的定义域为[1-，0)(0⋃，1]．故①正确．当[1x ∈-，0)时(][)(]2211,(),00,1x f x x ∈+∞⇒===-∞∈⇒，当(0x ∈，1]时，(][)220,,111x x ∈∈⇒+∞⇒()[0f x ===，)+∞，所以函数值域为R ，故②正确．③虽然[1x ∈-，0)时，函数单调递减，当(0x ∈，1]时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误．④由于定义域为[1-，0)(0⋃，1]，()f x ==()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故④正确．故答案为：①②④． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、值域、函数的定义域与对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.15．【分析】根据抽象函数的定义域的求法结合函数列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数满足解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数的定义域为求复合函数的定义解析：31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据抽象函数的定义域的求法，结合函数()g x =. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域是[0,2]，即02x ≤≤， 则函数()g x =满足021210x x ≤-≤⎧⎨->⎩，解得312x <≤，即函数()g x =的定义域是31,2⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数()f x 的定义域为[],a b ，求复合函数()[]f g x 的定义域时：可根据不等式()a g x b ≤≤解得x ，则x 的取值范围即为所求定义域；已知复合函数()[]f g x 的定义域为[],a b ，求函数()f x 的定义域，求出函数()y g x =([,])x a b ∈的值域，即为()y f x =的定义域.16．【分析】根据f （x ）定义在02上且4﹣ax≥0即可得出a≤2然后讨论：①1＜a≤2时满足条件；②a=1时不合题意；③0＜a ＜1时不合题意；④a=0时不合题意；⑤a ＜0时满足条件这样即可求出实数a 的取 解析：012a a <<≤或【分析】根据f （x ）定义在[0，2]上，且4﹣ax≥0，即可得出a≤2，然后讨论：①1＜a≤2时，满足条件；②a=1时，不合题意；③0＜a ＜1时，不合题意；④a=0时，不合题意；⑤a ＜0时，满足条件，这样即可求出实数a 的取值范围． 【详解】∵f （x ）定义在[0，2]上；∴a ＞2时，x=2时，4﹣ax ＜0，不满足4﹣ax≥0； ∴a≤2；①1＜a≤2时，a ﹣1＞0；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ②a=1时，f （x ）=0，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠1；③0＜a ＜1时，a ﹣1＜0； ∵[0，2]上是减函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是增函数； ∴0＜a ＜1不合题意；④a=0时，f （x ）=﹣2，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠0；⑤a ＜0时，a ﹣1＜0；[0，2]上是增函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ∴综上得，实数a 的取值范围为012a a <<≤或． 故答案为012a a <<≤或． 【点睛】考查函数定义域的概念，函数单调性的定义及判断．17．【分析】先令则求解的值然后再分类讨论求解的值【详解】令则当时有无解当时有解得或所以或当时故无解；当时若则得若则即无解综上所述：故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用考查根据函数值求参难度一般解答时【分析】先令()f a t =，则()2f t =，求解t 的值，然后再分类讨论，求解a 的值. 【详解】令()f a t =，则()2f t =，当0t >时，有22t -=，无解， 当0t ≤时，有2222t t ++=，解得0t =，或2t =-， 所以()0f a =或()2f a =-，当()0f a =时，()2222110a a a ++=++>，20a -<，故 ()0f a =无解；当()2f a =-时，若0a >，则22a -=-，得a =若0a ≤，则2222a a ++=-，即2240a a ++=，无解，综上所述：a =【点睛】本题考查分段函数的应用，考查根据函数值求参，难度一般，解答时注意分类讨论思想的运用.18．2021【分析】由已知条件利用换元法求出f （x ）然后代入计算即可求解【详解】已知函数f （x ）在定义域（0+∞）上是单调函数且对任意x ∈（0+∞）都有ff （x ）﹣＝2可设f （x ）﹣＝c 故f （x ）＝+c解析：2021 【分析】由已知条件，利用换元法求出f （x ），然后代入计算即可求解． 【详解】已知函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且对任意x ∈（0，+∞），都有f [f （x ）﹣1x]＝2， 可设f （x ）﹣1x ＝c ，故f （x ）＝1x +c ，且f （c ）＝c +1c＝2（c ＞0），解可得c ＝1，f （x ）＝1x+1， 则f （12020）＝2021． 故答案为：2021 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求函数值，函数解析式的求法，注意函数性质的合理应用，属于中档题．19．【分析】将代入得到的解析式然后利用换元法求出值域【详解】要使函数成立则即将函数代入得：令则所以又或故函数的值域为故答案为：【点睛】求解复合函数的值域的一般方法如下：（1）若函数的形式比较简单可先将的 解析：(][),31,-∞-+∞【分析】将()2g x x =+代入，得到()()y f g x =的解析式，然后利用换元法求出值域． 【详解】要使函数()()y f g x =成立，则21x +≠，即1x ≠-，将函数()2g x x =+代入233()1x x f x x -+=-得： ()()()()222323111x x x x y f g x x x +-++++===++，令1x t ，则1x t =-，所以22(1)111t t t t y t t t t-+-+===-+，又111t t -+≥或113t t -+≤-，故函数()()f g x 的值域为(][),31,-∞-+∞.故答案为：(][),31,-∞-+∞.【点睛】求解复合函数()()f g x 的值域的一般方法如下：（1）若函数()g x 的形式比较简单，可先将()()f g x 的解析式表示出来，然后设法求出其值域，解答时注意定义域；（2）采用换元法，令()g x t =，计算()g x 的值域即t 的取值范围，然后计算()f t 的值域．20．【分析】对分段讨论去绝对值计算求解【详解】当时可得当时符合题意；当时则不符合题意；当时此时不符合题意综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题解题的关键是对分段讨论求解 解析：(],1-∞【分析】对a 分段讨论去绝对值计算求解. 【详解】当1a ≤时，()44f x x a a x x x=-++=+，可得当[]1,4x ∈时，()45f x ≤≤，符合题意；当14a <<时，()42,14,4a x x a xf x x a x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，则()1325f a =+>，不符合题意；当4a ≥时，()42f x a x x=-+，此时()13211f a =+≥，不符合题意， 综上，a 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是对a 分段讨论求解.三、解答题21．（1）0m =；（2）函数()221x f x x =+在[]2,3上单调递减；最大值45，最小值35. 【分析】（1）根据奇函数性质()00f =求解计算即可；（2）用单调性的定义证明函数的单调性，由单调性即可证明函数在闭区间上的最值. 【详解】 （1）∵()22,1x mf x x R x +=∈+是奇函数，所以()00f m ==， 检验知，0m =时，()221xf x x =+，x ∈R 是奇函数，所以0m =； （2）[]12,2,3x x ∀∈，且12x x <，有()()()()()()()()()()2212211212121222222212121221212122111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++， ∵1223x x ≤<≤，∴12120,1x x x x -<>，即1210x x -<，又()()2212110x x ++>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()221xf x x =+在[]2,3上单调递减， 所以当2x =时，()f x 取得最大值45；当3x =时，()f x 取得最小值35. 【点睛】本题主要考查奇函数的性质，以及定义法证明函数单调性，最值的求法，属于中档题. 22．（1）()2243f x x x =-+；（2）8m ≥或0m ≤．【分析】（1）设函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），代入已知条件解得,,a b c ，得解析式；（2）由对称轴不在区间内可得． 【详解】（1）设函数()2f x ax bx c =++（0a ≠）∵()()139f f -==，且()03f = ∴99313a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得243a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴()2243f x x x =-+．（2）由（1）()()2243g x x m x =-++，其对称轴为4144m mx +==+ ∵()()g x f x mx =-在[]1,3上单调函数，∴134m +≥，或114m+≤，解得：8m ≥或0m ≤． 【点睛】方法点睛：本题考查求二次函数的解析式，二次函数的单调性．二次函数解析式有三种形式：（1）一般式：2()f x ax bx c =++；（2）顶点式：2()()f x a x h m =-+；（3）交点式（两根式）：12()()()f x a x x x x =--． 23．（1）最大值为37，最小值为1；（2）(][),55,-∞-+∞；（3）()22710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，()max 2g a =.【分析】（1）利用二次函数的基本性质可求得函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值和最小值； （2）分析二次函数()y f x =图象的开口方向和对称轴，然后对函数()y f x =在区间上为增函数或减函数两种情况分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；（3）对实数a 的取值进行分类讨论，分析二次函数()f x 在区间[]5,5-上的单调性，进而可求得()g a 关于a 的表达式，并求出a 在不同取值下()g a 的取值范围，由此可得出()g a 的最大值.【详解】（1）当1a =-时，()()222211f x x x x =-+=-+.所以，函数()f x 在区间[]5,1-上为减函数，在区间[]1,5上为减函数， 当[]5,5x ∈-时，()()min 11f x f ==，()517f =，()537f -=，所以，()()max 537f x f =-=；（2）二次函数()222f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-.①若函数()y f x =在区间[]5,5-上是增函数，则5a -≤-，解得5a ≥； ②若函数()y f x =在区间[]5,5-上是减函数，则5a -≥，解得5a ≤-. 综上所述，实数a 的取值范围是(][),55,-∞-+∞；（3）二次函数()222f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-. ①当5a -≤-时，即当5a ≥时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为增函数，则()()52710g a f a =-=-，此时()23g a ≤-； ②当55a -<-<时，即当55a -<<时，函数()y f x =在区间[)5,a --上为减函数，在区间(],5a -上为增函数， 则()()22g a f a a =-=-，此时()(]2223,2g a a =-∈-；③当5a -≥时，即当5a ≤-时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为减函数，则()()52710g a f a ==+，此时()271023g a a =+≤-.综上所述，()22710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，()max 2g a =.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.24．（1）4a =；（2）当2x =时，()g x 取得最小值为5. 【分析】（1）利用不等式的解集，推出对应方程的根，然后求解a ． （2）化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的最值即可． 【详解】（1）因为()00x af x x+<⇔<的解集为()4,0-， 故()0x af x x+==一个根为-4， 404a-+=- 得4a =（2）()()441x g x x f x x x x x+=+=+=++ 因为0x >，所以4115x x ++≥=， 当且仅当4x x=，即2x =时取等号； 所以当2x =时，()g x 取得最小值为5. 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 25．（1）()()20f x x x x=-+≠；（2）证明见解析；（3）()max 1f x =-，()min 235f x =-. 【分析】（1）将点坐标代入解析式，求出,a b 的值；（2）设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，判断()()12f x f x >即可； （3）利用函数的单调性，将端点值代入，即可得答案； 【详解】（1）由()f x 的图象过A 、B ，则1212a b ba +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ()()20f x x x x=-+≠. （2）证明：设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，∴()()()12122112122222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2121122112122=2x x x x x x x x x x x x --+-+=由1x ，()20,x ∈+∞，得120x x >，1220x x +>. 由12x x <，得210x x ->. ()()12 0f x f x ∴->，即()()12f x f x >. ∴函数()f x 在()0,∞+上为减函数.（3）由（2）知函数为减函数，∴()()max 21f x f ==-，()()min 2355f x f ==-. 【点睛】利用待定系数法求函数的解析式，利用定义证明函数的单调性注意取值的任意性，及作差、因式分解、判断符号的步骤. 26．（1）4k ≤；（2）k 2≤. 【分析】（1）解不等式22k≤即得解； （2）化为1≤+k x x 在(0,)x ∈+∞恒成立，令1()g x x x=+，求出函数()g x 的最小值即可. 【详解】（1）若()f x 在(2,)x ∈+∞单调递增，则22k≤，所以4k ≤； （2）因为()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立， 所以210-+≥x kx 在(0,)x ∈+∞恒成立， 即1≤+k x x在(0,)x ∈+∞恒成立令1()g x x x =+，则1()2=+≥=g x x x ，当且仅当1x =时等号成立 所以k 2≤. 【点睛】方法点睛：处理参数的问题常用的方法有：（1）分离参数法（先分离参数转化为函数的最值）；（2）分类讨论法（对参数分类讨论求解）.。
2018-2019学年人教B版必修一 第二章 函数 单元测试 (1)
2018-2019学年人教B 版必修一 第二章 函数 单元测试 (1)一、选择题1．下列函数中随x 的增大而增长速度最快的是( ) A ．v ＝1100·e xB ．v ＝100ln xC ．v ＝x 100D ．v ＝100×2x答案：A2．(2018·开封质检)用长度为24(单位：米)的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( ) A ．3米 B ．4米 C ．6米D ．12米 解析：设隔墙的长为x (0＜x ＜6)米，矩形的面积为y 平方米，则y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，y 取得最大值． 答案：A3．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期\”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11[解析] 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N )个“半衰期”后的含量为⎝⎛⎭⎫12n ，由⎝⎛⎭⎫12n <11000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.[答案] C4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得的一组实验数据如下表所示：( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)[解析] 直线是均匀分布的，故选项A 不符合要求；指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x是单调递减的，也不符合要求；对数函数y ＝log 2x 的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D 中的函数，基本符合要求．[答案] D5．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：件)应为( ) A ．4 B ．5.5 C ．8.5D ．10解析：由题意可设定价为x 元/件，利润为y 元，则y ＝(x －3)[400－40(x －4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值，故选C. 答案：C6．(2018·济南模拟)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( ) A ．200只 B ．300只 C ．400只D ．500只解析：∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100， ∴y ＝100log 3(x ＋1)，∴当x ＝8时，y ＝100 log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A.答案：A7．(2017·陕西西安模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y 元．要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝(x －50)2＋500B ．y ＝10x 25＋500 C ．y ＝11000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)][解析] 由题意知，函数应满足单调递增，且先慢后快，在x ＝50左右增长缓慢，最小值为500，A 是先减后增，不符合要求；B 由指数函数知是增长越来越快，不符合要求；D 由对数函数知增长速度越来越慢，不符合要求；C 是由y ＝x 3经过平移和伸缩变换而得，最符合题目要求，故选C.[答案] C8．(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟[解析] 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4，0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． [答案] B 二、填空题9.(2016·江西六校联考)A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km/h ，B 的速度是16 km/h ，经过 小时，AB 间的距离最短．[解析] 设经过x h ，A ，B 相距为y km ， 则y ＝(145－40x )2＋(16x )2⎝⎛⎭⎫0≤x ≤298，求得函数的最小值时x 的值为258. [答案]25810．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x ，八月份销售额比七月份递增x ，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是 ．解析：七月份的销售额为500(1＋x )，八月份的销售额为500(1＋x )2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x )＋500(1＋x )2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x )＋500(1＋x )2]≥7 000，即25(1＋x )＋25(1＋x )2≥66，令t ＝1＋x ，则25t 2＋25t －66≥0，解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x ≥65，解得x ≥20.答案：2011．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(v20)2km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是 h(车身长度不计)．解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了(36×⎝⎛⎭⎫v202＋400) km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v202＋400v ≥12，当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取“＝”．故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.答案：1212．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－b t(cm 3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －b t ＝18a ，e －b t ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min. [答案] 16 三、解答题13. (2018·重庆巴蜀中学模拟)某市近郊有一块大约500米×500米的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，要建设如图所示的一个总面积为3 000平方米的矩形场地，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米． (1)分别用x 表示y 和S 的函数关系式，并给出定义域； (2)怎样设计能使S 取得最大值，并求出最大值．解析：(1)由已知xy ＝3 000，得y ＝3 000x ，其定义域是(6,500)．S ＝(x －4)a ＋(x －6)a ＝(2x －10)a ， ∵2a ＋6＝y ，∴a ＝y 2－3＝1 500x－3，∴S ＝(2x －10)·⎝⎛⎭⎫1 500x －3＝3 030－⎝⎛⎭⎫15 000x ＋6x ，其定义域是(6,500)． (2)S ＝3 030－⎝⎛⎭⎫15 000x ＋6x ≤3 030－26x ·15 000x＝3 030－2×300＝2 430，当且仅当15 000x ＝6x ，即x ＝50∈(6,500)时，等号成立，此时，x ＝50，y ＝60，S max ＝2 430.∴设计x ＝50米，y ＝60米，a ＝27米时，运动场地面积最大，最大值为2 430米．14．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． [解] (1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40， 因此f (x )＝6x ＋20·C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2(6x ＋10)8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．15．(2017·吉林长春模拟)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m (1≤m ≤4且m ∈R)克的药剂，药剂在血液中的含量y (克)随着时间x (小时)变化的函数关系式近似为y ＝m ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧104＋x ，0≤x <6，4－x2，6≤x ≤8.(1)若病人一次服用3克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(2)若病人第一次服用2克的药剂，6个小时后再服用m 克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值．[解] (1)因为m ＝3，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧304＋x ，0≤x <6，12－3x 2，6≤x ≤8.当0≤x <6时，由304＋x ≥2，解得x ≤11，此时0≤x <6；当6≤x ≤8时，由12－3x2≥2，解得x ≤203，此时6≤x ≤203.综上所述，0≤x ≤203.故若一次服用3克的药剂，则有效治疗的时间可达203小时．(2)当6≤x ≤8时，y ＝2×⎝⎛⎭⎫4－12x ＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤104＋(x －6)＝8－x ＋10m x －2， 因为8－x ＋10mx －2≥2对6≤x ≤8恒成立，即m ≥x 2－8x ＋1210对6≤x ≤8恒成立，等价于m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－8x ＋1210max,6≤x ≤8.令g (x )＝x 2－8x ＋1210，则函数g (x )＝(x －4)2－410在[6,8]上是单调递增函数，当x ＝8时，函数g (x )＝x 2－8x ＋1210取得最大值为65，所以m ≥65，所以所求的m 的最小值为65.。
2018版高中数学 第二章 函数 2.2.1 一次函数的性质与图象学业分层测评 新人教B版必修1
一次函数的性质与图象(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若函数y ＝ax 2＋x b －1＋2表示一次函数，则a ，b 的值分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1B.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2【解析】 若函数为一次函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b －1＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.b ＝2.【答案】 C2．一个水池有水60 m 3，现将水池中的水排出，如果排水管每小时排水量为3 m 3，则水池中剩余水量Q 与排水时间t 之间的函数关系是( )A ．Q ＝60－3tB ．Q ＝60－3t (0≤t ≤20)C ．Q ＝60－3t (0≤t <20)D ．Q ＝60－3t (0<t ≤20)【解析】 ∵每小时的排水量为3 m 3，t 小时后的排水量为3t m 3，故水池中剩余水量Q ＝60－3t ，且0≤3t ≤60，即0≤t ≤20.【答案】 B3．两条直线y 1＝ax ＋b 与y 2＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )【解析】 对于A ，y 1中a >0，b <0，y 2中b <0，a >0，y 1和y 2中的a 、b 符号分别相同，故正确；对于B ，y 1中a >0，b >0，y 2中b <0，a >0，故不正确； 对于C ，y 1中a >0，b <0，y 2中b <0，a <0，故不正确；对于D ，y 1中a >0，b >0，y 2中b <0，a <0，故不正确． 【答案】 A4．过点A (－1,2)作直线l ，使它在x 轴，y 轴上的截距相等，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条【解析】 当直线在两个坐标轴上的截距都为0时，点A 与坐标原点的连线符合题意，当直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时，只有当直线斜率为－1时符合，这样的直线只有一条，因此共2条．【答案】 B5．已知一次函数y ＝(a －2)x ＋1的图象不经过第三象限，化简a 2－4a ＋4＋a 2－6a ＋9的结果是( )A ．2a －5B ．5－2aC ．1D ．5【解析】 ∵一次函数y ＝(a －2)x ＋1的图象不过第三象限，∴a －2<0，∴a <2. ∴a 2－4a ＋4＋a 2－6a ＋9＝|a －2|＋|a －3| ＝(2－a )＋(3－a ) ＝5－2a . 故选B. 【答案】 B 二、填空题6．一次函数f (x )＝(1－m )x ＋2m ＋3在[－2,2]上总取正值，则m 的取值范围是________.【导学号：97512020】【解析】 对于一次函数不论是增函数还是减函数，要使函数值在[－2,2]上总取正值，只需⎩⎪⎨⎪⎧f －，f即⎩⎪⎨⎪⎧2m －2＋2m ＋3>0，2－2m ＋2m ＋3>0.解之，得m >－14.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 7．已知函数y ＝x ＋m 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为25，则m ＝________. 【解析】 函数与两坐标轴的交点为(0，m )，(－m,0)， 则S △＝12m 2＝25，∴m ＝±5 2. 【答案】 ±5 28．已知关于x 的一次函数y ＝(m －1)x －2m ＋3，则当m ∈________时，函数的图象不经过第二象限．【解析】 函数的图象不过第二象限，如图．所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，－2m ＋3≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥32，故m ≥32.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 三、解答题9．某航空公司规定乘客所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图222所示的一次函数确定，求乘客可免费携带行李的最大质量．图222【解】 设题图中的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，其中y ≥0. 由题图，知点(40,630)和(50,930)在函数图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧630＝40k ＋b ，930＝50k ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝30，b ＝－570.∴函数解析式为y ＝30x －570. 令y ＝0，得30x －570＝0，解得x ＝19. ∴乘客可免费携带行李的最大质量为19 kg. 10．已知函数y ＝(2m －1)x ＋2－3m ，m 为何值时： (1)这个函数为正比例函数； (2)这个函数为一次函数；(3)函数值y 随x 的增大而减小；(4)这个函数图象与直线y ＝x ＋1的交点在x 轴上.【导学号：97512021】【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≠0，2－3m ＝0；得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠12，m ＝23.即m ＝23；(2)当2m －1≠0时，函数为一次函数，所以m ≠12；(3)由题意知函数为减函数， 即2m －1<0，所以m <12；(4)直线y ＝x ＋1与x 轴的交点为(－1,0)，将点的坐标(－1,0)代入函数表达式，得－2m ＋1＋2－3m ＝0，所以m ＝35.[能力提升]1．已知kb <0，且不等式kx ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－bk ，则函数y ＝kx ＋b 的图象大致是( )A B C D【解析】 由kb <0，得k 与b 异号，由不等式kx ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－bk ，知k >0，所以b <0，因此选B.【答案】 B2．如图223所示，在平面直角坐标系xOy 中，▱OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点B 的坐标为(6,4)．若直线l 经过点(1,0)，且将▱OABC 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数解析式是( )【导学号：60210048】图223A ．y ＝x ＋1B ．y ＝13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝x －1【解析】 设D (1,0)，∵直线l 经过点D (1,0)，且将▱OABC 分割成面积相等的两部分， ∴OD ＝BE ＝1，∵顶点B 的坐标为(6,4)， ∴E (5,4)，设直线l 的函数解析式是y ＝kx ＋b ， ∵直线过D (1,0)，E (5,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝0，5k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.∴直线l 的解析式为y ＝x －1.故选D. 【答案】 D3．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为________．【解析】 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)当k >0时，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝1，2k ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝53.∴f (x )＝23x ＋53.当k <0时，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝3，2k ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－23，b ＝73，∴f (x )＝－23x ＋73.∴f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋73.【答案】 f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋734．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝x －3，y ＝－x －4，y ＝－2三个函数中的最大者，用分段函数的形式写出f (x )的解析式，并求f (x )的最小值．【解】 在同一坐标系中作出函数y ＝x －3，y ＝－x －4，y ＝－2的图象，如图所示． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －4，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，即A (－2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，即B (1，－2)．根据图象，可得函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －4，x <－2，－2，－2≤x ≤1，x －3，x >1.由上述过程及图象可知，当－2≤x ≤1时，f (x )均取到最小值－2.。
2018-2019学年高中数学人教B版必修一情境导学：2.1.4 函数的奇偶性
精选中小学试题、试卷、教案资料
2.1.4 函数的奇偶性
【情境导学】
雄奇伟丽的大好河山,赏心悦目的名人字画,绮丽绵长的乐曲等都给人以美的享受.但你从中是否体会到了数学美?数学是全人类智慧的结晶,数学图形的对称性蕴涵着比诗画更美的意义.
函数图象有很多种对称,其中有一种是轴对称,还有一种是中心对称.你能举几个关于轴对称和中心对称的函数图象吗?
提示:(1)正比例函数y=kx(k≠0),反比例函数y=(k≠0)等,它们的图象关于原点成中心对称.
(2)二次函数y=ax2(a≠0)的图象关于y轴成轴对称.。
人教B高中数学必修一课时跟踪检测：第二章 函数阶段性测试题2 含解析
阶段性测试题二第二章 函 数(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 4与y ＝(x )4B ．y ＝3x 3与y ＝x2xC ．y ＝x 2＋x 与y ＝x ·x ＋1D ．y ＝1|x |与y ＝1x2解析：A 中y ＝x 4的定义域为R ，y ＝(x )4的定义域为[0，＋∞)，不是同一函数； B 中y ＝3x 3的定义域为R ，y ＝x 2x 的定义域为{x |x ≠0}，不是同一函数； C 中y ＝x 2＋x 的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，y ＝x ·x ＋1的定义域为[0，＋∞)，不是同一函数，故选D ． 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x ＞1，则f (2)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：f (2)＝－2＋3＝1，故选C ． 答案：C3．设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则f (x )( ) A ．既是奇函数，又是增函数 B ．既是偶函数，又是增函数 C ．既是奇函数，又是减函数 D ．既是偶函数，又是减函数解析：f (－x )＝－x |－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，∴f (x )在R 上是增函数，故选A ． 答案：A4．对于集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则由下列图形给出的对应f 中，能构成从A 到B 的函数的是( )解析：根据函数的定义，逐个考察各选项：对于A ：不能构成，因为集合A 中有一部分元素(靠近x ＝2)并没有函数值，所以不符合函数定义；对于B ：不能构成，因为集合A 中的一个元素(如x ＝2)与集合B 中的两个元素对应，不符合函数定义；对于C ：不能构成，因为集合A 中的一个元素(如x ＝1)与集合B 中的两个元素对应，不符合函数定义；对于D ：能够构成，因为集合A 中的每个元素都只与集合B 中某一个元素对应，符合函数定义，故选D ．答案：D5．设函数f (x )对任意x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (2)＝4，则f (－1)等于( )A ．－2B ．±12 C ．±1D ．2解析：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0.令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )．因为f (2)＝f (1＋1)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)＝4，所以f (1)＝2，所以f (－1)＝－2.答案：A6．如果奇函数y ＝f (x )(x ≠0)在x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x ＋1，那么使f (x －2)<0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，0)∪(0,3)D ．(－∞，1)∪(2,3)解析：由题可得f (x )的图象如图示：∴x －2<－1或0<x －2<1，即x <1或2<x <3，故选D ． 答案：D7．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )解析：由1－x 2≠0，得x ≠±1，定义域关于原点对称， f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x2＝f (x )，∴f (x )是偶函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋1x 21－1x 2＝x 2＋1x 2－1＝－f (x )． 答案：C8．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么( ) A ．f (2)＜f (1)＜f (4) B ．f (1)＜f (2)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1)解析：由f (2＋t )＝f (2－t )知f (x )关于x ＝2对称， 又f (x )的图象开口向上， ∴f (2)＜f (1)＜f (4)，故选A ． 答案：A9．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (3)＝0，则不等式f (x )－f (－x )＞0的解集为( )A ．(－3,0)∪(0,3)B ．(－3,0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析：∵f (x )是奇函数，∴f (x )－f (－x )＝2f (x )＞0，∵f (x )在(0，＋∞)为增函数，f (3)＝0， ∴当x ＞3时，f (x )＞0， ∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－3)＝0，且f (x )在(－∞，0)上为增函数， ∴当－3＜x ＜0时，f (x )＞0，∴使不等式f (x )－f (－x )＞0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)，故选B ． 答案：B10．已知定义域在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)＜0，则a 的取值范围是( )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2,3)解析：由f (a －3)＋f (9－a 2)＜0 得f (a －3)＜f (a 2－9)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a －3＜1，－1＜a 2－9＜1，a －3＞a 2－9，即⎩⎪⎨⎪⎧2＜a ＜4，8＜a 2＜10，a 2－a －6＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＜a ＜4，22＜a ＜10或－10＜a ＜－22，－2＜a ＜3，∴22＜a ＜3，故选A ． 答案：A11．如下图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当P 沿着A —B —C —M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积为y 的函数，则y ＝f (x )的图象形状大致是( )解析：△APM 的面积y 为路程x 的分段函数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x (0<x ≤1)，34－14x (1<x ≤2)，54－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2<x ≤52.答案：A12．对于实数m ，n 定义运算“⊕”：m ⊕n ＝⎩⎨⎧－m 2＋2mn －1，m ≤n ，n 2－mn ，m >n ，设f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116解析：由题意可知 当x ≤0时，2x －1≤x －1，f (x )＝－(2x －1)2＋2(2x －1)(x －1)－1＝－2x ， 当x >0时，2x －1>x －1，f(x)＝(x－1)2－(2x－1)(x－1)＝－x2＋x.故f(x)的图象如图所示：若f(x)＝a恰有三个互不相等的实根，则0<a<14，当a＝14时，－2x＝14，x＝－18，∴－18<x1<0,0<x2<12，12<x3<1，∴x1x2x3为负数，排除C、D，当x1→－18时，x2→12，x3→12，x1x2x3→－132，故x1x2x3∈⎝⎛⎭⎪⎫－132，0.故选A．答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷卡的相应位置上)13．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.解析：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，若f(x)为偶函数，则a－4＝0，a＝4.答案：414.用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．解析：设f(x)＝x3－6x2＋4，显然f(0)＞0，f(1)＜0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4＞0，∴下一步可断定方程的根所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，115．(2018·浙江卷)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x －4<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－4x ＋3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4)．当λ>4时，f (x )＝x －4>0，此时由f (x )＝x 2－4x ＋3＝0得，x ＝1或3，即在(－∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，由f (x )＝x －4＝0得，x ＝4，由f (x )＝x 2－4x ＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4，＋∞)．答案：(1,4) (1,3]∪(4，＋∞)16．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝b ，当a ＜b 时，a ⊕b ＝a ，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．解析：当－2≤x ≤1时，1⊕x ＝x,2⊕x ＝x ， ∴f (x )＝x 2－x .当x ＝－2时，f (x )max ＝6， 当1＜x ≤2,1⊕x ＝1,2⊕x ＝x ， ∴f (x )＝0.∴f (x )在[－2,2]的最大值为6. 答案：6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝x ＋1x －2，x ∈[3,7]．(1)判断函数f (x )的单调性，并用定义加以证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)f (x )在[3,7]上为减函数，证明：在[3,7]上任意取两个数x 1和x 2，且设x 1＜x 2， 则Δx ＝x 2－x 1＞0，∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋1x 2－2－x 1＋1x 1－2＝(x 1－2)(x 2＋1)－(x 1＋1)(x 2－2)(x 2－2)(x 1－2)＝3(x 1－x 2)(x 2－2)(x 1－2)， ∵x 1，x 2∈[3,7]，且x 1<x 2，∴x 1－x 2＝－Δx ＜0，x 2－2＞0，x 1－2＞0， ∴Δy ＜0，即得函数f (x )在[3,7]上为减函数．(2)由(1)证明结论：函数f (x )在[3,7]上为减函数，得f (x )max ＝f (3)＝4；f (x )min ＝f (7)＝85.18．(12分)已知集合A ＝{x |a －1＜x ＜2a ＋1}，函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且f (2x ＋1)＝4x ＋1.(1)求f (x )；(2)若集合B ＝{x |1＜f (x )＜3}，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (2x ＋1)＝4x ＋1，∴a (2x ＋1)＋b ＝4x ＋1,2ax ＋a ＋b ＝4x ＋1， ∴⎩⎨⎧ 2a ＝4，a ＋b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1， ∴f (x )＝2x －1.(2)由1＜f (x )＜3，∴1＜2x －1＜3，∴1＜x ＜2，∴B ＝(1,2)，∵B ⊆A ，∴⎩⎨⎧a －1≤1，2a ＋1≥2，∴12≤a ≤2.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.19．(12分)已知非空数集A ＝{y |y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8，x ∈R }，B ＝[0，＋∞)，且A ⊆B .(1)求实数m 的取值范围；(2)当m 变化时，若集合A 中y 的最小值为f (m )，求f (m )的值域． 解：(1)由题意得mx 2－6mx ＋m ＋8≥0对任意的x ∈R 恒成立． ①m ＝0时，8≥0，符合题意，②m ≠0时，⎩⎨⎧m >0，Δ＝(－6m )2－4m (m ＋8)≤0. 解得0<m ≤1. 综合①②，0≤m ≤1. (2)①m ＝0，y ＝8；②0<m ≤1，y min ＝f (m )＝4m (m ＋8)－(－6m )24m ＝－8m ＋8∈[0,8)．综上①②，f (m )的值域为[0,8]．20．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ， (1)求f (－1)的值； (2)画出f (x )图象． 解：(1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－(1－2)＝1. (2)当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (－x )＝x 2＋2x ， ∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x . ∴f (x )的图象如图所示．21．(12分)设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，并且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1. (1)求f (1)的值；(2)若存在实数m ，使得f (m )＝2，求m 的值；(3)如果f (x －2)>2，求x 的取值范围．解：(1)令x ＝y ＝1则f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2， ∴m ＝19.(3)∵f (x －2)>2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2>0，x －2<19，则2<x <199.22．(12分)已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )为二次函数，且满足f (x )的最小值f (3)＝－4，且f (1)＝0.(1)求函数f (x )在R 上的解析式；(2)作出f (x )的图象，并根据图象指出关于x 的方程f (x )－c ＝0(c ∈R )根的个数分别为3个，4个时，c 的值或范围．解：(1)依据题意，当x ＞0时，设f (x )＝a (x －1)(x －5)(a ≠0)，∵f (x )过(3，－4)，∴a ＝1，∴x ＞0时，f (x )＝(x －1)(x －5)，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－6(－x )＋5]＝－x 2－6x －5，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－6x ＋5(x ＞0)，0(x ＝0)，－x 2－6x －5(x ＜0).(2)f (x )的图象如下图所示．f (x )＝c 的根的个数为： ①3个根：c ＝4或c ＝－4， ②4个根：－4＜c ＜4且c ≠0.。
2017-2018学年高中数学(人教B版)1课时跟踪检测(十)函数的奇偶性缺答案
课时跟踪检测（十) 函数的奇偶性层级一学业水平达标1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（)解析:选B 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.2．已知y＝f(x），x∈(－a，a)，F（x）＝f（x）＋f（－x),则F （x）是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：选B F(－x)＝f(－x）＋f（x）＝F(x）．又x∈（－a，a)关于原点对称,∴F（x）是偶函数．3．函数f(x）＝错误!－x的图象（)A．关于y轴对称B．关于直线y＝x对称C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称解析:选C ∵f(x）的定义域为(－∞，0）∪（0,＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－1x－(－x)＝x－错误!＝－f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称．4．如果奇函数f（x)的区间[－7,－3］上是减函数且最大值为5，那么函数f（x）在区间［3,7]上是（)A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5解析：选C f(x）为奇函数，∴f（x）在［3,7］上的单调性与[－7，－3］上一致，且f（7）为最小值．又已知f(－7）＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5,选C。
5．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递增，则f(－2)，f（－π),f（3）的大小顺序是（）A．f(－π）>f（3)>f(－2）B．f（－π）>f(－2）〉f(3）C．f(3)〉f（－2)〉f(－π)D．f（3）>f（－π)〉f（－2）解析：选A ∵f（x)是R上的偶函数，∴f(－2）＝f(2),f(－π)＝f（π），又f(x)在[0,＋∞)上单调递增,且2〈3〈π，∴f(π）>f（3）<f(2）,即f（－π)〉f(3）>f(－2）．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,f(x）＝x2＋1,则f(－2）＋f(0)＝________.解析：由题意知f(－2)＝－f（2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0）＝－5。
2018-2019学年人教版a版数学高一必修1第14课时函数奇偶性的简单应用-附解析
当x∈(－∞，0)时，x－1<－1，即x<0.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数且f(x)<0.问F(x)＝ 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论．
第14课时 函数奇偶性的简单应用
课时目标
1.能利用奇偶函数的图象特征求函数的单调区间及函数的解析式．
2．能综合应用函数的单调性、奇偶性解决一些简单的数学问题．
识记强化
1．奇函数⇔函数图象关于原点对称．
2．偶函数⇔函数图象关于y轴对称．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
B．f(4)＜f(3)＜f(－1)
C．f(3)＜f(4)＜f(－1)
D．f(－1)＜f(4)＜f(3)
答案：D
解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(4)＝－f(0)＝0.又f(x)＝－f(－x)且f(x－4)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)．又f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)＞f(0)，即f(1)＞0，所以f(－1)＝－f(1)＜0，f(3)＝f(1)＞0，于是f(－1)＜f(4)＜f(3)．
1．下列函数中既是奇函数又在定义域上为增函数的是()
A．f(x)＝3x＋1 B．f(x)＝
C．f(x)＝1－ D．f(x)＝x
答案：D
解析：A.f(x)＝3x＋1在定义域R上是增函数但不是奇函数．B.f(x)＝ 是奇函数但不是增函数．C.f(x)＝1－ 不是奇函数且在定义域上不是增函数，只有D符合．
高中数学 第一章 集合与函数概念 第14课时 函数奇偶性
第14课时 函数奇偶性的简单应用课时目标1.能利用奇偶函数的图象特征求函数的单调区间及函数的解析式． 2．能综合应用函数的单调性、奇偶性解决一些简单的数学问题．识记强化1．奇函数⇔函数图象关于原点对称． 2．偶函数⇔函数图象关于y 轴对称．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列函数中既是奇函数又在定义域上为增函数的是( )A ．f (x )＝3x ＋1B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝1－1xD ．f (x )＝x答案：D解析：A.f (x )＝3x ＋1在定义域R 上是增函数但不是奇函数．B.f (x )＝1x是奇函数但不是增函数．C.f (x )＝1－1x不是奇函数且在定义域上不是增函数，只有D 符合．2．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( ) A ．(a ，f (－a )) B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a )) D.⎝⎛⎭⎪⎫a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a答案：C解析：∵f (－a )＝－f (a )，∴C 正确，故选C.3．若函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．对任意实数a ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．对任意实数a ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．存在实数a ，使f (x )是偶函数D ．存在实数a ，使f (x )是奇函数答案：C解析：对于A ，取a ＝4.5，则f (1)＝12＋4.51＝5.5，f (1.5)＝1.52＋4.51.5＝5.25，显然f (1)>f (1.5)，所以A 错误；对于B ，取a ＝0，则f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数，所以B错误；对于C ，取a ＝0，则f (x )＝x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，则f (x )是偶函数，所以C 正确；对于D ，假设存在实数a 使得f (x )是奇函数，则f (－1)＝－f (1)，又f (－1)＝1－a ，f (1)＝1＋a ，－f (1)＝－1－a ，显然f (－1)≠－f (1)，即假设不成立，所以D 错误．故选C.4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2－12x ，则f (1)＝( )A ．－32B ．－12C.32D.12 答案：A解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－32.5．若f (x )＝(x －a )(x ＋3)为R 上的偶函数，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－6 D ．6 答案：B解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x －a )(－x ＋3)＝(x －a )(x ＋3)，化简得(6－2a )x ＝0. 因为x ∈R ，所以6－2a ＝0，即a ＝3.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－1)＜f (3)＜f (4)B ．f (4)＜f (3)＜f (－1)C ．f (3)＜f (4)＜f (－1)D ．f (－1)＜f (4)＜f (3) 答案：D解析：因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，则f (4)＝－f (0)＝0.又f (x )＝－f (－x )且f (x －4)＝－f (x )，所以f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)．又f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)＞f (0)，即f (1)＞0，所以f (－1)＝－f (1)＜0，f (3)＝f (1)＞0，于是f (－1)＜f (4)＜f (3)．二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．已知函数f (x )为偶函数，且当x ＜0时，f (x )＝x ＋1，则x ＞0时，f (x )＝________. 答案：－x ＋1解析：当x ＞0时，－x ＜0，∴f (－x )＝－x ＋1，又f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x ＋1. 8．已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域均为[－2,2]，且它们在x ∈[0,2]上图象如图所示，f (x )>g (x )的解集是________．答案： [－2,0)∪(0,1)解析：做出函数f (x )，g (x )在[－2,2]上的图象．若f (x )>g (x )，f (x )图象应位于g (x )图象上方，结合图象，f (x )>g (x )解集为[－2,0)∪(0,1)．9．若奇函数f (x )(x ≠0)在x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则满足不等式f (x －1)<0的x 的取值范围是________．答案：(1,2)∪(－∞，0)解析：方法一：当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x －1. 又函数为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x ＋1，x ∈(－∞，0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，x ＋1，x <0.所以f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >1，x ，x <1.)则f (x －1)<0时，有1<x <2或x <0，此即为x 的取值范围．方法二：由于当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x －1，所以f (1)＝0，且函数在(0，＋∞)上为增函数，又函数为奇函数，所以f (－1)＝0，且函数在(－∞，0)上也为增函数，于是f (x －1)<0转化为f (x －1)<f (1)或f (x －1)<f (－1)．当x ∈(0，＋∞)时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －1<1，即1<x <2.当x ∈(－∞，0)时，x －1<－1，即x <0.三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数且 f (x )<0.问F (x )＝1f x在(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论．解：F (x )在(－∞，0)上是增函数，证明过程如下： 设x 1<x 2<0，则－x 1>－x 2>0.F (x 1)－F (x 2)＝1f x 1－1f x 2＝f x 2－f x 1f x 1f x 2.∵f (x )是奇函数，∴－f (x 1)<－f (x 2)， 即f (x 2)－f (x 1)<0.∵f (x )在(0，＋∞)上总小于0，－x 1>－x 2>0， ∴f (x 1)＝－f (－x 1)>0，f (x 2)＝－f (－x 2)>0. ∴f (x 1)f (x 2)>0，∴F (x 1)－F (x 2)<0. 即F (x 1)<F (x 2)．∴F (x )在(－∞，0)上是增函数．11．(13分)奇函数f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，若f (m －1)＋f (3－2m )＜0，求实数m 的取值范围．解：原不等式化为f (m －1)＜－f (3－2m )．因为f (x )是奇函数，所以f (m －1)＜f (2m －3)． 因为f (x )是减函数，所以m －1＞2m －3，所以m ＜2. 又f (x )的定义域为(－1,1)，所以－1＜m －1＜1且－1＜3－2m ＜1， 所以0＜m ＜2且1＜m ＜2，所以1＜m ＜2. 综上得1＜m ＜2.故实数m 的取值范围是(1,2)．能力提升12．(5分)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案：B解析：∵f (x )是R 上的奇函数 ∴f (0)＝0.f (2)＝－f (0)＝0. f (4)＝－f (2)＝0.f (6)＝f (4＋2)＝－f (4)＝0.13．(15分)已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝ax ＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即a －x ＋b 1＋－x 2＝－ax ＋b1＋x2，求得b ＝0.又f (12)＝25，即12a 1＋122＝25，求得a ＝1.故所求函数解析式为f (x )＝x1＋x2(x ∈(－1,1))．(2)当x ＝0时，f (0)＝0；当x ≠0时，f (x )＝x 1＋x2＝1x ＋1x令u (x )＝x ＋1x，x ∈(－1,1)，且x ≠0，设任意的x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，则u (x 1)－u (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)．因为0＜x 1＜x 2＜1，所以0＜x 1x 2＜1,1－1x 1x 2＜0.又x 1－x 2＜0，所以u (x 1)－u (x 2)＞0，即u (x 1)＞u (x 2)，故u (x )在(0,1)上单调递减． 同理可得u (x )在(－1,0)上单调递减．所以当x ∈(－1,0)时，u (x )＜u (－1)＝－2,0＞f (x )＞－12；当x ∈(0,1)时，u (x )＞u (1)＝2,0＜f (x )＜12.又x ＝0时，f (0)＝0，所以当x ∈(－1,1)时，函数f (x )的值域为(－12，12)．。
高中数学人教B版必修1学业分层测评14 函数的应用(Ⅰ) Word版含解析
学业分层测评(十四) 函数的应用(Ⅱ)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题.某厂日产手套总成本(元)与手套日产量(副)的函数解析式为＝＋，而手套出厂价格为每副元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )副副副副【解析】由＋≤，解得≥，即日产手套至少副时才不亏本.【答案】.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )－【解析】设年平均增长率为，则有(＋)(＋)＝(＋)，解得＝－.【答案】.某种细胞在正常培养过程中，时刻(单位：分)与细胞数(单位：个)的部分数据如下表：( )【解析】由表中数据可以看出，与的函数关系式为＝，令＝，则＝，而＝，所以繁殖到个细胞时，时刻最接近分钟，故应选.【答案】.根据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间(单位：分钟)为()＝错误! (，为常数).已知工人组装第件产品用时，组装第件产品用时，那么和的值分别是( )【解析】由题意知，组装第件产品所需时间为＝，故组装第件产品所需时间为＝，解得＝.将＝代入＝，得＝.【答案】.一个人以的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车时，交通灯由红变绿，汽车以的加速度匀加速开走，那么( ) .此人可在内追上汽车.此人可在内追上汽车.此人追不上汽车，其间距最少为.此人追不上汽车，其间距最少为【解析】设汽车经过行驶的路程为，则＝，车与人的间距＝(＋)－＝－＋＝(－)＋.当＝时，取得最小值.【答案】二、填空题.某市出租车收费标准如下：起步价为元，起步里程为(不超过按起步价付费)；超过但不超过时，超过部分按每千米元收费；超过时，超过部分按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附加费元.现某人乘坐一次出租车付费元，则此次出租车行驶了.【解析】设出租车行驶时，付费元，则＝(\\(，<≤，＋(－(＋，<≤，＋×＋(－(＋，>，))由＝，解得＝.【答案】已知长为，宽为的矩形，若长增加，宽减少，则面积最大，此时＝，面积＝.【解析】根据题目条件＜＜，即＜＜，所以＝(＋)＝－(－－)＝－(－)(＜＜).故当＝时，取得最大值.【答案】.国家规定个人稿费纳税办法为：不超过元的不纳税；超过元而不超过元的按超出元部分的纳税；超过元的按全稿酬的纳税.某人出版了一书共纳税元，这个人的稿费为元.【解析】若这个人的稿费为元时，应纳税( －)×＝(元).又∵＜，∴此人的稿费应在到之间，设为，∴(－)×＝，解得＝元.。
2018版高中数学人教B版必修一学案第二单元 第2课时 映射与函数 Word版含答案
第课时映射与函数
学习目标.了解映射、一一映射的概念.了解映射与函数间的关系.会判定一些对应法则是否为映射或一一映射．
知识点一映射
思考设＝{三角形}，＝，对应法则是：每一个三角形对应它的周长．请问：中的元素与中的元素有什么关系？
梳理映射的概念
()映射的定义
设，是两个集合，如果按照某种对应法则，对中的元素，在中元素与对应，则称是集合到集合的映射，记作．
提醒：映射：→中，集合，可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序．()象、原象的概念
给定一个集合到集合的映射，若集合中的元素与集合中的元素相对应，则称是在映射作用下的，记作()，称作的．
知识点二一一映射
思考映射：＝是＝{}→＝{}的映射；
映射：＝是＝{}→＝{}的映射，问映射与映射有什么不同？
梳理一一映射的定义
如果映射是集合到集合的映射，并且对于集合中的任意一个元素，在集合中都原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在关系，并把这个映射叫做从集合到集合的一一映射．
知识点三映射和函数的关系
思考一个映射是否一定是一个函数？函数能看成一个映射吗？
梳理.映射下的函数定义
设，是两个，是到的一个映射，那么映射：→就叫做到的函数．
．映射和函数的关系
函数是数集到数集的，即映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．
类型一映射的概念。
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第14课时 函数奇偶性的概念
课时目标
1.掌握利用函数的奇偶性定义判断函数奇偶性的方法和步骤．
2．掌握奇偶函数的图象的对称性，并能利用其正确作出奇偶函数的草图．
识记强化
1．奇(偶)函数的概念．
(1)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)
就叫做偶函数．
(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)
就叫做奇函数．
(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说f(x)具有奇偶性．
2．奇(偶)函数的图象特点．
(1)奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这
个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这
个函数是偶函数．
(3)若当x＝0时奇函数f(x)有意义，则f(0)＝0.
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列说法错误的个数为( )
①图象关于原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过坐标原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交．
A．4 B．3
C．2 D．1
答案：C
解析：由奇、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f(x)＝1x，x∈(－∞，0)∪(0，
＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如f(x)＝1x2，x∈(－
∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以④说法错误．故选C.
2．函数f(x)＝1x－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
答案：C
解析：∵f(x)＝1x－x是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，故选C.
3．奇函数f(x)的定义域为R，则有( )
A．f(x)＜f(－x) B．f(x)≤f(－x)
C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)＞0
答案：C
解析：f(x)为奇函数，f(x)f(－x)＝f(x)－f(x)]＝－f(x)]2≤0.
4．下列函数不具备奇偶性的是( )
A．y＝－x B．y＝－1x
C．y＝x－1x＋1 D．y＝x2＋2
答案：C
解析：y＝－x与y＝－1x都是奇函数，y＝x2＋2是偶函数，y＝x－1x＋1的定义域为{x∈R|x≠
－1}，不关于原点对称，故选C.
5．函数f(x)＝ax2＋bx＋2a－b是定义在a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝( )
A．－13 B.13
C．0 D．1
答案：B
解析：由偶函数的定义，知a－1,2a]关于原点对称，所以2a＝1－a，解得a＝13.又f(x)
为偶函数，则b＝0. 所以a＋b＝13.
6．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，那么g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
答案：A
解析：由f(x)为偶函数，得b＝0，则g(x)＝ax3＋cx(a≠0)为奇函数．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．函数f(x)＝ax2＋bx＋3x＋b是偶函数，且其定义域为a－1,2a]，则2a＋3b＝________.
答案：－253
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以(a－1)＋2a＝0，所以a＝13.
因为偶函数的图象关于y轴对称，
所以－b＋32a＝0，所以b＝－3.
故2a＋3b＝－253.
8．设奇函数f(x)的定义域为－5,5]，若当x∈0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)
＜0的解集为________．
答案：(－2,0)∪(2,5]
解析：由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f(x)在－5,0)的图象，由图象可以看出，
不等式f(x)＜0的解集是(－2，0)∪(2,5]，如图所示．本题主要考查函数的奇偶性及数形结合
的思想方法．
9．已知f(x)、g(x)是R上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上的最大
值为5，则F(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
答案：－1
解析：奇偶性的应用，由图象特征知在某一区间存在最值，则其关于原点对称的区间也
存在最值．
设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)．
∵f(x)、g(x)是R上的奇函数，
∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－af(x)－bg(x)＋2＝
－af(x)＋bg(x)]＋2.
又∵F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上的最大值为5，
∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－af(x)＋bg(x)]＋2≤5.
∴af(x)＋bg(x)≥－3.
∴af(x)＋bg(x)＋2≥－1.
则F(x)在(－∞，0)上的最小值为－1.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x－1|－|x＋1|；
(2)f(x)＝ x＋2，x＜－10，|x|≤1－x＋2，x＞1.
解：(1)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称．
因为f(－x)＝|－x－1|－|－x＋1|＝|x＋1|－|x－1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称．
当x＜－1时，－x＞1，f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
当|x|≤1时，|－x|≤1，f(－x)＝0＝f(x)；
当x＞1时，－x＜－1，f(－x)＝(－x)＋2＝－x＋2＝f(x)．
所以对一切x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数．
11．(13分)已知函数f(x)＝(a－b)2x3－(a2－b2)x2＋(a－b)x－(a＋b)2.试问：当a、b满足
什么条件时，f(x)是奇函数或偶函数．
解：①当f(x)是奇函数时，有f(－x)＝－f(x)，即
－(a－b)2x3－(a2－b2)x2－(a－b)x－(a＋b)2＝－(a－b)2x3＋(a2－b2)x2－(a－b)x＋(a＋b)2，
也就是(a2－b2)x2＋(a＋b)2＝0对一切实数x恒成立．
a2－b2＝0，
a＋b2＝0.
解得a＋b＝0.
②当f(x)是偶函数时，类似可求得a－b＝0.
能力提升
12．(5分)已知函数f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋3，g(－7)＝10，则g(7)＝( )
A．4 B．－4
C．7 D．－7
答案：B
解析：g(－7)＝f(－7)＋3＝10，∴f(－7)＝7，f(x)为奇函数，f(7)＝－f(－7)＝－7，∴g(7)
＝f(7)＋3＝(－7)＋3＝－4.
13．(15分)函数f(x)的图象关于y轴对称，且x≥0时f(x)＝x2－2x.求满足f(x－1)<3的x
取值范围．
解：∵f(x)图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数
x≥0时，x2－2x＝3，x＝3或x＝－1(舍去)即f(3)＝3.
∵f(x)为偶函数， ∴f(x)＝f(|x|)结合图象f(x－1)<3，f(|x－1|)