高考数学压轴题突破训练——圆锥曲线(含详解)

14. 已知双曲线 的左右两个焦点分别为 ,点P在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P的坐标为 时, ,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若 ,求双曲线离心率 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
15. 若F 、F 为双曲线 的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足； .
（1）求该双曲线的离心率；
（Ⅱ）若直线 与（Ⅰ）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，
且 ，求△FOH的面积的取值范围。
18. 如图所示，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中 。
（1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；
（2）D分有向线段 的比为 ，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，
当 ―5≤ ≤ 时，求椭圆的离心率e的取值范围．
29.在直角坐标平面中， 的两个顶点 的坐标分别为 ， ，平面内两点 同时满足下列条件：
① ；② ；③ ∥
（1）求 的顶点 的轨迹方程；
（2）过点 的直线 与（1）中轨迹交于 两点，求 的取值范围
由 消去 得： ①
，
而
由方程①知 ＞ ＜
， ＜ ＜ ， .
7.解：解：令
则 即
即
又∵ ∴
所求轨迹方程为
（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为
则
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB
∴ 得
所求直线方程为 …
8.解：（I）由题意，抛物线顶点为（－n，0），又∵焦点为原点∴m＞0
高考数学压轴题突破训练：圆锥曲线
1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.
(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．
(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足：
（1）求椭圆 的方程；
（2）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点A、B时，在线段 上取点 ，
满足 ，证明：点 总在某定直线上。
25. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，
－2），点C满足 、
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线 交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证： .
（2）设ΔOFG的面积 ，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G，求当 取最小值时椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，若点P的坐标为 ，C、D是椭圆上的两点，且 ，求实数 的取值范围。
17. 已知点C为圆 的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
答案：
1.解：(Ⅰ) 以A点为坐标原点，l1为x轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，设M（x，y），
则N（x，0）.
∵|BN|=2|DM|，
∴|4－x|=2 ,
整理得3x2+4y2=12,
∴动点M的轨迹
方程为 .
(Ⅱ)∵
∴A、D、G三点共线，即点G在x轴上；又∵ ∴H点为线段EF的中点；又∵ ∴点G是线段EF的垂直平分线GH与x轴的交点。
设l：y=k(x－1)(k≠0)，代入3x2+4y2=12得
(3+4k2)x2－8k2x+4k2－12=0，由于l过点D(1，0)是椭圆的焦点，
∴l与椭圆必有两个交点，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF的中点H的坐标为（x0，y0），
∴x1+x2= ，x1x2= ，
x0= = ，y0=k(x0－1)= ，
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求实数p的取值范围；
（Ⅲ）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方程．
9.如图，椭圆的中心在原点，长轴AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲线交椭圆于C、D、D1、C1四点，且|CD|＝ |AA1|.椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设 ，当 时，求双曲线的离心率e的取值范围.
（1）若F为左焦点，则c=x＞0，b=|y|
∴a2=b2+c2=x2+y2
依左准线方程有 即y2=2x （x＞0）
（2）若F为右焦点，则x＜0，故c=－x，b=|y|
∴a2=b2+c2=x2+y2依左准线方程有
即 化简得2x2+2x+y2=0
即 （x＜0，y≠0）
9.解：建立如原题图所示的坐标系，则AB的方程为 由于点P在AB上，可设P点的坐标为 则长方形面积
26. 设 ， 、 分别为 轴、 轴上的点，且 ，动点 满足： .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过定点 任意作一条直线 与曲线 交与不同的两点 、 ，问在 轴上是否存在一定点 ，使得直线 、 的倾斜角互补？若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由
27. 如图，直角梯形ABCD中，∠ ，AD∥BC，AB=2，AD= ，BC=
（1）求椭圆的方程
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点 问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由
6. 在直角坐标平面中， 的两个顶点 的坐标分别为 ， ，平面内两点 同时满足下列条件：
① ；② ；③ ∥
（1）求 的顶点 的轨迹方程；
（2）过点 的直线 与（1）中轨迹交于 两点，求 的取值范围
（2）经过点O的直线l与直线AB成60°角，当c＝2，a＝1时，动点P的轨迹记为E，设过点B的直线m交曲线E于M、N两点，且点M在直线AB的上方，求点M到直线l的距离d的取值范围。
19.设O为坐标原点,曲线 上有两点P、Q满足关于直线 对称，又以PQ为直径的圆过O点.
（1）求 的值;（2）求直线PQ的方程.
求点G的横坐标的取值范围．
2.设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 轴上，离心率 ，已知点 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.
3. 已知椭圆 的一条准线方程是 其左、右顶点分别
是A、B；双曲线 的一条渐近线方程为3x－5y=0.
（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若 .求证：
∴线段EF的垂直平分线为
y－y0=－ (x－x0)，令y=0得，
点G的横坐标xG= ky0+x0= + =
= － ，
∵k≠0，∴k2>0，∴3+4k2>3，0< < ，∴－ <－ <0，
∴xG= － (0， ）
∴点G的横坐标的取值范围为(0， ）.
2.解：∵ ，∴
由 得
∴设椭圆的方程为 （ ）
即 （ ）
(1) 设点 分有向线段 所成的比为 ，证明: ;
(2) 设直线 的方程是 ，过 两点的圆 与抛物线在点 处有共同的切线，求圆 的方程.
12.已知动点P（p，-1），Q（p， ），过Q作斜率为 的直线l，P Q中点M的轨迹为曲线C.
（1）证明：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；
（2）若（1）中的其中一个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线；
消去y0得 解之得
由此可得P（10，
当P为（10， 时 PB： 即
代入
MN⊥x轴 即
4.解：（1）由题意可知 所以椭圆方程为
设 ，将其代入椭圆方程相减，将
代入 可化得
（2）若2<tg <3，则
5.解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意 解得
∴ 椭圆方程为
（2）假若存在这样的k值，由 得
20.在平面直角坐标系中，若 ，且 ，
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）已知定点 ，若斜率为 的直线 过点 并与轨迹 交于不同的两点 ，且对于轨迹 上任意一点 ，都存在 ，使得 成立，试求出满足条件的实数 的值。
21. 已知双曲线 （a>0,b>0）的右准线 一条渐近线 交于两点P、Q，F是双曲线的右焦点。
准线方程 且有m=4n.
∵准线与直线 交点在x轴上，交点为
又Байду номын сангаас与x轴交于（－2，0），∴m=4，n=1
∴抛物线方程为y2=4（x+1）
（II）由
∴－1＜k＜1且k≠0
∴AB的中垂线方程为
得
∴p∈（2，+∞）
（III）∵抛物线焦点F（0，0），准线x=－2
∴x=－2是Q的左准线
设Q的中心为O′（x，0），则短轴端点为（±x，y）
∴ ①
设 ， ， ，则 ②
而
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则 ，即
∴ ③
将②式代入③整理解得 经验证， ，使①成立
综上可知，存在 ，使得以CD为直径的圆过点E
6.解：（1）设
， 点在线段 的中垂线上
由已知 ；又 ∥ ，
又
， 顶点 的轨迹方程为 .
(2)设直线 方程为： ， ，
椭圆F以A、B为焦点，且经过点D，
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆F的方程；
（Ⅱ）是否存在直线 与 两点，且线段 ，若存在，求直线 的方程；若不存在，说明理由.
28. 如图所示，B（– c，0），C（c，0），AH⊥BC，垂足为H，且 ．
（1）若 = 0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率；
23.如图，在直角坐标系中，点A（-1，0），B（1，0），P（x，y）（）。设与x轴正方向的夹角分别为α、β、γ，若。