数列题型及解题方法归纳总结
数列题型及解题方法
数列题型及解题方法数列是数学中常见的一种数学对象，它是按照一定的规律排列的一组数的集合。
在数学中，数列是一个非常重要的概念，它不仅在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也有着重要的地位。
数列题型及解题方法是数学学习中的一个重要内容，下面我们就来详细介绍一下数列的相关知识和解题方法。
一、数列的基本概念。
数列是按照一定的规律排列的一组数的集合，它可以用一个通项公式来表示。
数列中的每一个数称为该数列的项，数列中的第一个数称为首项，数列中的最后一个数称为末项。
数列中的相邻两项之间的差称为公差，如果数列中的相邻两项之间的比值是一个常数，则称这个数列是等比数列，否则称为等差数列。
二、等差数列的求和公式。
对于等差数列来说，如果已知它的首项a1、末项an和项数n，那么可以利用等差数列的求和公式来求出这个等差数列的和。
等差数列的求和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示等差数列的和，n表示项数，a1表示首项，an表示末项。
利用这个公式可以很方便地求出等差数列的和，从而简化计算过程。
三、等比数列的求和公式。
对于等比数列来说，如果已知它的首项a1、末项an和项数n，那么可以利用等比数列的求和公式来求出这个等比数列的和。
等比数列的求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示等比数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
利用这个公式可以很方便地求出等比数列的和，从而简化计算过程。
四、数列题型及解题方法。
1. 求等差数列的和，对于已知的等差数列，如果要求它的和，可以利用等差数列的求和公式来求解。
首先要确定等差数列的首项、末项和项数，然后代入求和公式即可得到结果。
2. 求等比数列的和，对于已知的等比数列，如果要求它的和，可以利用等比数列的求和公式来求解。
首先要确定等比数列的首项、末项和项数，然后代入求和公式即可得到结果。
3. 求等差数列的通项公式，对于已知的等差数列，如果要求它的通项公式，可以利用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d来求解。
完整版数列题型及解题方法归纳总结
完整版数列题型及解题方法归纳总结标题：数列题型及解题方法综述摘要：本文总结了完整版数列题型及解题方法，为了方便学生理解和应用。
首先，我们介绍数列的基本概念和常见数列类型，包括等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的混合题型等。
接着，我们详细描述了每种题型的解题方法和技巧，并通过实例进行解析和演示。
最后，我们总结了数列题目中容易出错的地方，并提供了避免错误的建议和注意事项。
第一节：引言数列是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握数列的概念和解题方法对学生在数学学习中具有重要意义。
本文将以完整版数列题目为基础，介绍数列的基本概念和解题方法，帮助读者更好地理解和应用数列知识。
第二节：数列的基本概念1.1 数列的定义数列是按一定顺序排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
1.2 数列的表示方法数列可以使用通项公式、递推公式或者递归定义来表示。
1.3 数列的性质数列可以有有限项或无限项，可以是有序的或无序的。
1.4 数列的常见类型（1）等差数列：相邻两项之差相等的数列，通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）等比数列：相邻两项之比相等的数列，通项公式为an=a1*r^(n-1)。
（3）等差数列与等比数列的混合题型：数列中既有等差数列又有等比数列的题型。
第三节：等差数列的解题方法2.1 确定公式通过观察数列的前几项，确定数列的公式an=a1+(n-1)d。
2.2 确定项数根据公式an=a1+(n-1)d中的已知量，确定要求的项数n。
2.3 求和公式根据等差数列求和公式Sn=n/2[a1+an]，计算数列的和。
2.4 实例分析通过实例分析，详细说明等差数列的解题思路和步骤。
第四节：等比数列的解题方法3.1 确定公式通过观察数列的前几项，确定数列的公式an=a1*r^(n-1)。
3.2 确定项数根据公式an=a1*r^(n-1)中的已知量，确定要求的项数n。
3.3 求和公式根据等比数列求和公式S=n(a1-an*r)/(1-r)，计算数列的和。
数列求和公式的常见题型及解题方法
数列求和公式的常见题型及解题方法1. 等差数列的求和公式等差数列是指数字之间的差等于一个常数的数列。
求等差数列的和常用的公式是：$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$其中 $S_n$ 是数列的前 $n$ 项和，$a_1$ 是首项，$a_n$ 是末项。
2. 等比数列的求和公式等比数列是指数字之间的比等于一个常数的数列。
求等比数列的和常用的公式是：$$ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} $$其中$S_n$ 是数列的前$n$ 项和，$a_1$ 是首项，$r$ 是公比。
3. 平方数列的求和公式平方数列是指数列中的每一项都是前一项的平方。
求平方数列的和常用的公式是：$$ S_n = \frac{a_1^2(1 - r^{2n})}{1 - r^2} $$其中$S_n$ 是数列的前$n$ 项和，$a_1$ 是首项，$r$ 是公比。
4. 斐波那契数列的求和公式斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和。
求斐波那契数列的和常用的公式是：$$ S_n = F_{n+2} - 1 $$其中 $S_n$ 是数列的前 $n$ 项和，$F_n$ 是斐波那契数列的第$n$ 项。
5. 其他数列的求和方法除了常见的等差数列、等比数列、平方数列和斐波那契数列外，还有许多其他数列的求和方法。
对于这些数列，我们需要根据其特定的规律和性质来求和，例如算术-几何数列、调和数列、幂次数列等。
以上是数列求和公式的常见题型及解题方法的概述。
在解题过程中，我们应该根据题目给定的数列类型，选择相应的求和公式，并结合数列的特点进行求解。
根据等差数列知识点总结及题型归纳
根据等差数列知识点总结及题型归纳
等差数列是数学中常见的数列，也是初中数学中的基础概念之一。
以下是关于等差数列的知识点总结及题型归纳。
等差数列的定义
等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数的差值都相等的数列。
通常用字母 a 表示首项，d 表示公差，数列的通项公式为 an = a + (n-1)d。
等差数列的性质
1. 首项与末项之和等于中间项之和的两倍（也即数列的平均值）：a + an = 2 * (a + (n-1)d)。
2. 求和公式：等差数列前 n 项和 Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d)。
3. 最后一项的值可以通过首项、末项和公差求得：an = a + (n-1)d。
4. 任意一项的值可以通过首项、公差和项数求得：ak = a + (k-1)d。
等差数列的题型归纳
1. 求等差数列的第 n 项的值。
2. 求等差数列的前 n 项和。
3. 求等差数列中缺失的项或差值。
4. 求等差数列中满足一定条件的项数。
5. 求等差数列中满足一定条件的和。
示例题目
1. 已知等差数列的首项 a = 3，公差 d = 2，求第 5 项的值和前5 项的和。
2. 一个等差数列的首项 a = 1，公差 d = 3，已知数列中缺失了第 4 项，求第 4 项的值。
3. 已知等差数列的首项 a = 2，公差 d = 5，求该等差数列中满足大于 20 的项数。
以上是对于等差数列的知识点总结及题型归纳，希望对你有所帮助。
如有需要，可以参考相应的解题方法和公式。
五年级等差数列题型及解题方法
五年级等差数列题型及解题方法一、等差数列的基本概念1. 定义等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
例如数列1,3,5,7,9,·s，公差d = 2。
2. 通项公式a_n=a_1+(n 1)d，其中a_n表示第n项的数值，a_1表示首项，n表示项数，d表示公差。
例如：已知一个等差数列a_1=3，d = 2，求第5项a_5。
解析：根据通项公式a_n=a_1+(n 1)d，将a_1=3，n = 5，d = 2代入公式，得到a_5=3+(5 1)×2=3 + 8=11。
3. 求和公式S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}或S_n=na_1+(n(n 1))/(2)d例如：求等差数列1,3,5,·s,99的和。
解析：方法一：首先求项数n，根据通项公式a_n=a_1+(n 1)d，这里a_1=1，d = 2，a_n=99。
由99 = 1+(n 1)×2，99=1 + 2n-2，2n=100，解得n = 50。
再根据求和公式S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}，将n = 50，a_1=1，a_n=99代入，得到S_50=(50×(1 + 99))/(2)=2500。
方法二：直接用S_n=na_1+(n(n 1))/(2)d，n = 50，a_1=1，d = 2，则S_50=50×1+(50×(50 1))/(2)×2=50+50×49=2500。
二、常见题型及解题方法1. 求项数题目：在等差数列3,7,11,·s,43中，项数是多少？解析：已知a_1=3，d = 4，a_n=43。
根据通项公式a_n=a_1+(n 1)d，则43=3+(n 1)×4。
首先展开式子得到43=3 + 4n-4，即43 = 4n-1。
高二数列题型及解题方法
高二数学数列题型及解题方法
一、数列的概念和分类
数列是指按照一定规律排列的一组数，其中每一个数称为这个数列的项。
按照项之间的关系，数列可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
二、等差数列
等差数列是指每一项与它的前一项之差相等的数列。
等差数列的通项公式为 an=a1+(n-1)d，其中 a1 是首项，d 是公差，n 是项数。
解题方法：
1. 根据题意，确定等差数列的首项和公差。
2. 利用通项公式求出第 n 项。
3. 根据题意，求出数列的前 n 项和。
三、等比数列
等比数列是指每一项与它的前一项之比相等的数列。
等比数列的通项公式为 an=a1*r^(n-1),其中 a1 是首项，r 是公比，n 是项数。
解题方法：
1. 根据题意，确定等比数列的首项和公比。
2. 利用通项公式求出第 n 项。
3. 根据题意，求出数列的前 n 项和。
四、斐波那契数列
斐波那契数列是指每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为 an=a1+(n-1)*(a1+a2)/2，其中 a1 是首项，a2 是
第二项。
解题方法：
1. 根据题意，确定斐波那契数列的首项和第二项。
2. 利用通项公式求出第 n 项。
3. 根据题意，求出数列的前 n 项和。
五、解题技巧
1. 认真审题，确定数列类型和题目要求。
2. 利用通项公式和前 n 项和公式求解。
3. 注意数列的性质，如公比为 1 的等比数列就是等差数列。
4. 熟练运用数学公式和技巧，提高解题效率。
数列知识点总结和题型归纳
数列知识点总结和题型归纳一、数列的定义和性质数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每个数叫做数列的项，用an表示第n个项。
1. 等差数列等差数列是指一个数列中相邻两项之差都是相等的。
公差d是等差数列中相邻两项的差值。
2. 等比数列等比数列是指一个数列中相邻两项之比都是相等的。
公比q是等比数列中相邻两项的比值。
二、数列的通项公式和前n项和公式1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则该等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。
3. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
4. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则该等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。
三、数列的常见题型1. 求等差数列的第n项已知等差数列的首项a1和公差d，求该等差数列的第n项an，则可以利用等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d进行计算。
2. 求等差数列的前n项和已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，求该等差数列的前n项和Sn，则可以利用等差数列的前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2进行计算。
3. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a1和公比q，求该等比数列的第n项an，则可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)进行计算。
4. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a1、公比q和项数n，求该等比数列的前n项和Sn，则可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)进行计算。
四、数列的应用数列在数学中有广泛的应用，特别是在数学建模和实际问题的解决中常常用到。
高中数列知识点、解题方法和题型大全
一 高中数列知识点总结1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=（5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n Snd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-.二 解题方法1 求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122nn a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ ［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nSS +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……·（2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n n a na a n +==+，，求n a解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭ （5）倒数法如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+(附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)2 求数列前n 项和的常用方法 (1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………， （2）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nxS xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=……（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦(附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
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数列题型及解题方法归纳总结
The following text is amended on 12 November 2020. 知识框架 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数） 例1、 已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。 例1、解 ∵an+1-an=2为常数 ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列 ∴an=1+2（n-1） 即an=2n-1 例2、已知{}na满足112nnaa，而12a，求na= （2）递推式为an+1=an+f（n） 例3、已知{}na中112a，12141nnaan，求na. 解： 由已知可知)12)(12(11nnaann)121121(21nn 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1） ★ 说明 只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。 (3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数） 例4、{}na中，11a，对于n＞1（n∈N）有132nnaa，求na. 解法一： 由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1） 因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4 ∴an+1-an=4·3n-1 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3n-1 即 an=2·3n-1-1 解法二： 上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2， 把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为an+1=p an+q n（p，q为常数） )(3211nnnnbbbb 由上题的解法，得：nnb)32(23 ∴nnnnnba)31(2)21(32 (5)递推式为21nnnapaqa 思路：设21nnnapaqa,可以变形为：211()nnnnaaaa， 想 于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。 求na。 (6)递推式为Sn与an的关系式 关系；（2）试用n表示an。 ∴)2121()(1211nnnnnnaaSS
∴11121nnnnaaa ∴nnnaa21211 上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。 ∴2nan= 2+（n-1）·2=2n
数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果na等差，nb等比，那么nnab叫做差比数列）
即把每一项都乘以nb的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于数列11nnaa和11nnaa（其中na等差）
可裂项为：111111()nnnnaadaa，1111()nnnnaadaa 等差数列前n项和的最值问题： 1、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最大值。
（ⅰ）若已知通项na，则nS最大100nnaa； （ⅱ）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大； 2、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最小值 （ⅰ）若已知通项na，则nS最小100nnaa； （ⅱ）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小； 数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知nS（即12()naaafn）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。
已知12()naaafn求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnfnanfn。 ⑶已知条件中既有nS还有na，有时先求nS，再求na；有时也可直接求na。 ⑷若1()nnaafn求na用累加法：11221()()()nnnnnaaaaaaa 1a(2)n。 ⑸已知1()nnafna求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。 ⑹已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。 特别地，（1）形如1nnakab、1nnnakab（,kb为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na；形如1nnnakak的递推数列都可以除以nk得到一个等差数列后，再求na。 （2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。 （3）形如1knnaa的递推数列都可以用对数法求通项。 （7）（理科）数学归纳法。 （8）当遇到qaadaannnn1111或时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。 数列求和的常用方法： （1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。 （2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。 （3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）. （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①111(1)1nnnn； ②1111()()nnkknnk； ③2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn ；⑤11(1)!!(1)!nnnn； ⑥2122(1)2(1)11nnnnnnnnn 二、解题方法： 求数列通项公式的常用方法： 1、公式法 2、nnaS求由 3、求差（商）法 解：naa1122151411时，，∴ ［练习］ 4、叠乘法
解：aaaaaannaannnn213211122311·……·……，∴ 5、等差型递推公式 ［练习］ 6、等比型递推公式 ［练习］ 7、倒数法 2．数列求和问题的方法 （1）、应用公式法 等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。 1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2 【例8】 求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。
解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=)1(21nn个奇数，
∴最后一个奇数为：1+[21n(n+1)-1]×2=n2+n-1 因此所求数列的前n项的和为 （2）、分解转化法 对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。 【例9】求和S=1·（n2-1）+ 2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2） 解 S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3） （3）、倒序相加法 适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。
例10、求和：12363nnnnnSCCnC
例10、解 0120363nnnnnnSCCCnC• ∴ Sn=3n·2n-1 （4）、错位相减法 如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和． 例11、 求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．
解 设Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1． ① (2)x=0时，Sn=1． (3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，② ①-②，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn． (5)裂项法： 把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法：
例12、求和1111153759(21)(23)nn•••
注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。 在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。 二、常用数学思想方法 1．函数思想 运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。 【例13】 等差数列{an}的首项a1＞0，前n项的和为Sn，若Sl=Sk（l≠k）问n为何值时Sn最大 此函数以n为自变量的二次函数。∵a1＞0 Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函数的图像开口向下 ∵ f（l）=f（k） 2．方程思想 【例14】设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。 分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。 解 ∵依题意可知q≠1。 ∵如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。 ∵q≠1 整理得 q3（2q6-q3-1）=0 ∵q≠0 此题还可以作如下思考： S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6）， ∴由S3+S6=2S9可得2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=0 3．换元思想 【例15】 已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且 求证：a，b，c顺次成等比数列。 证明 依题意令ax=by=cz=k ∴x=1ogak，y=logbk，z=logck ∴b2=ac ∴a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0） 数学5（必修）第二章：数列 一、选择题