极值的概率分布
logit模型极值分布
logit模型极值分布
Logit模型的极值分布具有S型曲线的特点，即开始时概率变化较为缓慢，然后在接近0和1的边界时变化急剧。
Logit模型是最早的离散选择模型，也是目前应用最广的模型。
Logit模型是Luce（1959）根据IIA特性首次导出的；Marschark（1960）证明了Logit模型与最大效用理论的一致性；Marley（1965）研究了模型的形式和效用非确定项的分布之间的关系，证明了极值分布可以推导出Logit形式的模型；McFadden（1974）反过来证明了具有Logit
形式的模型效用非确定项一定服从极值分布。
此后Logit模型在心理学、社会学、经济学及交通领域得到了广泛的应用，
并衍生发展出了其他离散选择模型，形成了完整的离散选择模型体系，如Probit模型、NL模型（Nest Logit model）、Mixed Logit模型等。
以上信息仅供参考，建议查阅专业书籍或者咨询专业人士。
标准极值分布
标准极值分布标准极值分布是一种常用的概率分布，在经济学、气象学、海洋学、工程学等领域得到广泛应用。
它适用于描述具有极端事件发生的可能性较大的情形。
本文将介绍标准极值分布的定义、性质、参数估计以及应用。
一、定义标准极值分布是由弗里谢·费舍尔(Frèchet)于1927年提出的。
其概率密度函数为：f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{\beta}(\dfrac{x-\alpha}{\beta})^{-1-\dfrac{1}{\xi}}\mathrm{e}^{-(\dfrac{x-\alpha}{\beta})^{-\xi}}&x>\alpha\\0&x\leqslant\alpha\end{cases}其中，α、β、ξ均为常数，α为最小观测值，β为尺度参数，ξ为形状参数，且满足ξ>0。
标准极值分布的累积分布函数为：F(x)=\mathrm{e}^{-(\dfrac{x-\alpha}{\beta})^{-\xi}}二、性质1. 标准极值分布的期望、方差以及一些高阶矩存在的条件为ξ>1，即形状参数大于1时，分布的平均值、方差以及偏度都存在。
2. 当ξ=1时，标准极值分布退化为指数分布，即：f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{\beta}\mathrm{e}^{-(\dfrac{x-\alpha}{\beta})}&x>\alpha\\0&x\leqslant\alpha\end{cases}3. 标准极值分布的中位数为α+β(ln2)1/ξ，即随着形状参数的增大，中位数逐渐接近最小观测值。
三、参数估计在实际应用中，需要对标准极值分布的参数进行估计。
根据最大似然估计原理，可以得到标准极值分布的参数估计公式如下：α=\min\{x_i\}\ \ \ \beta_s=(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\alpha)^{-\xi})^{-1/\xi}\ \ \ \xi_m=-\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ln(\dfrac{x_i-\alpha}{\beta_s})其中，α为最小观测值，βs为尺度参数的初始估计值，ξm为形状参数的初始估计值，n为样本容量，xi为第i个观测值。
极值分布：即极大值,极小值的分布
例2 X,Y 相互独立, X ,Y ~ 参数为0.5的0-1分布
求M = max{X ,Y }的概率分布
解 pij X 1
0
Y
1
0.25 0.25
0
0.25 0.25
max{X ,Y } 1
0 min{X ,Y } 1
0
P
0.75 0.25
P
0.25 0.75
对于连续型随机变量， 设 X ,Y 相互独立, X ~ FX (x), Y ~ FY (y), U = max{X ,Y }, V = min{X ,Y }, 求 U , V 的分布函数.
z 0, z 0,
2 xex , x 0
0,
x0
可以证明，X 1+ X 2 与 X 3 也相互独立，故
f X1X2X3 (x) f X1X2 (t) f X3 (x t)dt
2 x2
2!
e x
,
0,
x0 x0
归纳地可以证明，
f
X
(
x)
(x)n1
(n 1)!
e
x
,
0,
x0 x0
例4设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
例3 设系统 L 由相互独立的 n 个元件组成，连 接方式为
(1) 串联； (2) 并联； (3) 冷贮备(起初由一个元件工作，其它 n – 1
个元件做冷贮备，当工作元件失效时， 贮备的元件逐个地自动替换)；
如果 n 个元件的寿命分别为 X1, X 2,, X n 且
Xi ~ E(), i 1,2,,n
其它
ex , x 0,
1
FX i
(
x)
1,
x0
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。
以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。
4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。
5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。
6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。
分布里极值
分布里极值
极值是概率分布的一种特殊值，它们表示该分布的最高或最低点。
概率分布的极值位置可
以用几何绘图表示，从而使用户更直观地展示数据的分布情况。
极值的出现主要是由于概率分布的参数，也就是μ和σ的影响，μ指样本平均分布的中心，σ指样本分布的离散程度，只有掌握了这两个值，才能找出极大值和极小值。
极值决定了概率分布的形状，也就是其中最大值和最小值的位置。
因此，要判断出极值，
应先判断参数μ和σ，然后再按公式计算出极大值和极小值的位置。
有了概率分布的极值，就能知道此分布的最大值和最小值的位置，从而能够更准确地表示
数据的分布情况，从而使用户可以更清楚地研究数据，从而做出更正确的决策。
总之，极值的确定是概率分布的关键之步，通过计算参数和判断位置，可以分析出数据统
计的分布规律，从而为用户提供可靠准确的分布图信息。
广义极值分布的母分布-概述说明以及解释
广义极值分布的母分布-概述说明以及解释1.引言1.1 概述广义极值分布是一类重要的概率分布，用于描述随机变量的极端值分布。
它可以被用来分析自然界、金融领域、工程技术等许多领域中出现的极端事件。
广义极值分布因其在极端值分布问题上的广泛适用性和重要性而备受关注。
在实际应用中，广义极值分布可以用来评估极端天气事件的概率，分析股市在极端情况下的波动等。
对广义极值分布的研究不仅有助于更好地理解极端事件的概率分布规律，也为预测和风险管理提供了重要的参考依据。
本文将深入探讨广义极值分布的定义、特点以及在实际中的应用，并对其重要性进行总结。
最后，我们将讨论未来广义极值分布的研究方向，以期为相关领域的研究和实践提供指导和启示。
1.2 文章结构：本文共分为三个部分：引言、正文和结论。
引言部分将从概述广义极值分布的概念和重要性入手，介绍文章的主题及目的。
接下来进入正文部分，将详细探讨广义极值分布的定义、特点以及在实际中的应用，为读者提供全面的了解和知识储备。
最后，结论部分将总结广义极值分布的重要性，并探讨未来可能的研究方向，以期为相关领域的研究和实践提供参考。
通过这样的结构安排，本文旨在为读者提供清晰、系统的学习体验，使其对广义极值分布有更深入的认识和理解。
1.3 目的本文旨在探讨广义极值分布的母分布，通过对广义极值分布的定义、特点以及在实际中的应用进行分析，总结其重要性并展望未来研究方向。
通过本文的研究，旨在为相关领域的研究者提供参考，并促进广义极值分布理论的进一步发展和应用，从而推动该领域的学术和实践进步。
"3.3 结论":{}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 广义极值分布的定义广义极值分布是一种概率分布，它被用来描述在一定条件下的最大值或最小值的分布情况。
广义极值分布可以分为三种类型：Gumbel分布、Frechet分布和Weibull分布。
这三种类型的广义极值分布分别对应着极端的正态、指数和威布尔情况。
广义极值分布
广义极值分布
极值理论（EVT）是概率的一个分支，涉及大样本中极值的极限定律。
重点用于开发金融风险因子极端行为的模型。
今天我们先介绍广义极值分布（GEV）。
首先，考虑一个代表金融损失的独立同分布的随机变量序列。
这些损失可能有不同的原因，比如操作损失、保险损失以及固定时间内信用组合的损失。
然后，放松独立性假设，认为随机变量形成相关损失的严平稳时间序列。
可能是投资于单一股票、指数或投资组合的收益。
其次，来看看随机变量和的收敛性。
广义极值分布在极值理论中的作用相当于正态分布在随机变量求和的中心极限理论中的作用。
假设一组基础随机变量
是独立同分布且有限方差的，那么前n个随机变量的和可以写作。
中心极限理论认为，当n趋近于无穷时，适当的标准化和
在分布上收敛到标准正态分布。
标准化会用到常数序列
和
，其中
，
，用数学公式表示
接着看看极大值的收敛性。
经典的EVT关心的是标准化极大值的极限分布。
把n个独立同分布随机变量
的极大值表现为
，也把它叫做n区间极大数。
当n趋近于无穷大时，标准化极大值唯一可能的非退化的极限分布在广义极值分布族(GEV famliy)。
混合韦伯分布的四阶矩解析方法
韦伯分布是一种常用的概率分布，通常用来描述极值分布。
它的概率密度函数可以写成如下形式：\[ f(x;\alpha, \beta) = \frac{\alpha}{\beta}(\frac{x}{\beta})^{\alpha-1}e^{-(\frac{x}{\beta})^\alpha} \]其中，$\alpha$ 和 $\beta$ 是两个形状参数。
韦伯分布具有很好的数学性质，可以很容易地计算其各阶矩。
然而，有时实际情况可能并不完全符合韦伯分布的假设。
在这种情况下，我们可能需要考虑到混合韦伯分布，即将多个韦伯分布进行混合以适应实际数据的情况。
混合韦伯分布可以写成如下形式：\[ f(x) = \sum_{i=1}^{n} w_i f(x;\alpha_i, \beta_i) \]其中，$w_i$ 是混合系数，$\alpha_i$ 和 $\beta_i$ 是第 $i$ 个分量的参数。
对于混合韦伯分布，我们需要考虑如何计算其各阶矩，特别是四阶矩。
在这篇文章中，我们将讨论混合韦伯分布的四阶矩解析方法。
我们将首先介绍混合韦伯分布的定义和性质，然后介绍计算各阶矩的一般方法，最后给出计算混合韦伯分布四阶矩的具体步骤。
混合韦伯分布的定义和性质混合韦伯分布是指将多个韦伯分布进行线性组合而得到的分布。
在实际应用中，我们可能会发现数据不完全符合单一的韦伯分布，而是由多个韦伯分布组合而成。
这种情况下，我们可以采用混合韦伯分布来更好地描述数据的概率分布特性。
混合韦伯分布的概率密度函数可以写成如下形式：\[ f(x) = \sum_{i=1}^{n} w_i f(x;\alpha_i, \beta_i) \]其中，$w_i$ 是混合系数，表示第 $i$ 个韦伯分布在混合中的比例；$f(x;\alpha_i,\beta_i)$ 是第 $i$ 个韦伯分布的概率密度函数，$\alpha_i$ 和 $\beta_i$ 分别是该分布的形状参数。
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试求 X(n) 的渐近CDF与PDF并作图。
解: F ˆ ( x ) e n1 x / a 0 x a M
n(1 x / a ) ˆ f M ( x) ne /a 0 x a
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26
例1.8 总体X服从标准正态分布, 其PDF为:
( x)
1 2
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一般地，对极值变量
X (1) min X i , X ( n ) max X i
1 i n 1 i n
及其函数的统计估计、统计分析及其应 用，统称为极值统计。
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4
一
极值的确切分布
X1 , X 2 , , Xn
设来自总体 X~F(x) 的一个简单样本为 则 1) 它们相互独立; 2) 具有相同的分布
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18
1 样本的极大值的渐近分布
对于任意的分布 令转换变量为
Zn n 1 F ( X ) ( n )
1 F ( X ) 则 FZn ( z ) P Z n z P n ( n ) z
PX
P F ( X (n) ) 1 z / n
0 x 1
图形见 P158
14
0 x 1
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其样本的极小值的确切分布为:
FN ( x) 1 [1 F ( x)]
1 1 x
n
n
0 x1
n1
f N ( x) n(1 x)
0 x 1
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15
例1.4 总体X的PDF与CDF为标准正态分布:
6
N X (1) min X i 的确切分布: 1 i n
FN ( x ) P X (1) x P min X i x
1 i n
1 P X1 x, X 2 x,
, X n x P X n x
1 P X1 x P X2 x
n ( x FMy exp e
exp e
n ( x un )
x
un )
仍为重指数型
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2 样本的极小值的渐近分布 对于任意的分布 令转换变量为 则
Z1 nF ( X(1) )
FN ( x) 1 [1 F ( x)]
n
n
1 1 ( x )
f N ( x) n(1 ( x)) ( x)
n1
图形见 P159
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17
二
极值的渐近分布
探讨极值的渐近分布的意义在于: 1) 极值的确切分布比较复杂; 2) 极值的确切分布依赖与总体分布, 若分 布未知时,统计中无法应用
1 i n
P X1 x, X 2 x,
, X n x P X n x
n
P X1 x P X2 x
F ( x )F ( x )
n
F ( x) F ( x)
n1
f M ( x) [F ( x)] nF
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( x) f ( x)
1 FZ n n 1 F ( x ) 1 FZn g ( x )
其中
g( x) n1 F ( x) 0
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得样本的极大值的渐近CDF与PDF
n1 F ( x ) n1 F ( x ) ˆ FM ( x ) 1 1 e e
k k 0
n
k k x n
n( n 1) 2 x e 2!
x
( 1) e
n
n x
FM ( x ) exp ne
x0
图形见 P156
10
即分布近似为重指数型
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其样本的极小值的确切分布仍为指数分布:
FN ( x) 1 [1 F ( x)] 1 e
FZ1 ( z ) P Z1 z P nF ( X (1) ) z
P X F ( z / n) F F ( z / n)
x0 x0
其样本的极大值的确切分布为
FM ( x) F ( x) (1 e
n
x n
)
x0 x0
9
f M ( x) n (1 e
x n1 x
)
e
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易见:
FM ( x ) (1 e
1 ne
x
x n
) (1) C e
z
n
又有
lim(1 z / n ) e
n n
所以当n足够大时,应有
FZn ( z ) 1 e
FZn ( z) 0
z
z0
z0
20
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所以当n足够大时,应有
e f Zn ( z ) 0
z
z0 z0
1 F ( X ) 再由 Z n n ( n )
N X (1) min X i , M X ( n ) max X i
1 i n 1 i n
由概率论可得极值的确切分布:
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5
M X ( n ) max X i 的确切分布: 1 i n
FM ( x ) P X ( n) x P max X i x
n1 F ( x ) ˆ f M ( x ) ne f ( x)
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23
例1.5 总体X服从指数分布,其PDF为:
e x x 0 f ( x) x0 0
试求 X(n) 的渐近CDF与PDF并作图。
解: F ˆ ( x) e M
x n 1 (1 e )
Probability density function
分布函数= CDF Continuous distribution function
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8
例1.1 总体X具有指数式PDF与CDF:
e f ( x) 0
x
x0 x0
1 e F ( x) 0
x
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28
Cramer给出上式中X(n)的渐近解:
X ( n ) 2ln n ln ln n ln 4 2 2ln n ln Z n 2ln n
令 un 2ln n
ln ln n ln 4 2 2ln n
， n 2ln n
得:
1 X ( n) un ln Z n n
30
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对于一般的正态分布: X ~ N ( , )
2
因为
得上述结果, 则有X的渐近分布为:
Y
X
~ N (0,1)
FMx ( x ) P X ( n )
X (n) x x P
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31
x FMx ( x ) P Y( n )
e
x2 2
试求 X(n) 的渐近CDF与PDF并作图。
解:
1 F ( X ) 注意: Z n n ( n )
2
n
X( n )
e
t2 2
1 ( )( te dt 2 X( n ) t
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n
t2 2
)dt
27
1 ( )d (e 2 X( n ) t
f ( x) F ( x)
1
2 x 1
e
x2 2
( x) dx ( x )
2
n
e
x2 2
其样本的极大值的确切分布为
FM ( x) F ( x) ( x)
n
f M ( x) n
n1
( x) ( x)
16
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其样本的极小值的确切分布为:
k n 1 (1 1/ x ) 解: ˆ n / xk FM ( x ) e e
x1
ˆ ( x ) nke f M
n / xk
/x
k 1
x 1
25
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例1.7 总体X服从标准分布, 其PDF为:
1/ a f ( x) 0
0 xa 其它
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李裕奇
1
一 极值的确切分布 二 极值的渐近分布 三 对称原理
利用样本的最大值、最小值对总体 作出判断的统计方法，统称为极值方法， 即极值统计方法。 极值统计方法应用于研究变量观察值 的极端情况，并对将来极端情况作出科学 预报。例如： 1）某地区地震的最大震级情况 2）某河流的最高水位与最低水位情况
n
t2 2
)
t2 2
n 1 e t 2
t2 2
|
X( n )
1 e 2 X( n ) t
dt
1 e 2 X ( n )
n
X (2n ) 2
1 1 O 2 X ( n)
1 [1 F ( x )][1 F ( x )] [1 F ( x )]
1 [1 F ( x)]
n
n1 f N ( x ) 1 [1 F ( x )] n[1 F ( x)] f ( x)