二次根式1
1.1二次根式1
常见题型：
1.当x ≥ 2 时， x 2 在实数范围内有意义。
2.若 x 2 是二次根式，则x必须满足的条件是 x≥ 2 。
x≥ 2 。 3.使 x 2 在实数范围内有意义的x的取值范围是
（2011年中考题）
练习
P3. 2. 当a为怎样的实数时，下列各式有意义？
1
a 1
2
2
2a 3
（1）二次根式的概念
（2）根号内字母的取值范围
1.若 (a 5) 2 (2b 3) 2 =0，则 ab 2 =_____。
2.已知a.b为实数，且满足
a 2b 1 1 2b 1 ，你能求出a及 a+b 的值吗？
1 3、已知 有意义,那A(a, a
a )在 二 象限.
复习：
1.如果x2 =0, 则x= 0
.
2.如果x2 =4, 则x= ±2 . 3.如果x2 =4, 且x为正数，则x= 2 回顾：1.什么叫做一个数的平方根？ 如果一个数的平方等于a，那么 这个数就叫做a的 平方根 ,记作 2.什么叫做一个数的算术平方根？ 正数a的正的平方根叫做它的 算术平方根，记作 .
x 1 6 x2
3
a
4
5a
5 x 3 补充：
解：
7
1 2x 3
1 (8) x
（ 1）
如果几个非负数相加等于0， 那么每一个都是0.
1 、若 x 1 则x
y 3 0，
2
-1 , y 3
2、已知 x 5 6 3 y z 2 0 求xyz的值。
4.当x分别取下列值时， 求二次根式 4 2x 的值： (1) x=0 (2) x=1 (3) x=‐1 变式练习:若二次根式 求x的值.
八年级数学下册 1.1 二次根式课件(1) (新版)浙教版
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那
么这个数叫做a的平方根。
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
用 a (a 0)表示.
50米 ?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米。
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x
(5) x3
x0
(6)
1 x2
x0
x0
求下例二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2
(2) 1 1 2a
解:由题意得,
3a 2 0
a2 3
解:由题意得,
1 1 2a
0
1 2a 0
1 2a 0
?
若a.b为实数,且 | 2 a | b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值。
解: 2 a 0, b 2 0
?
而 2a b2 0
2 a 0, b 2 0
a 2, b 2
原式 a2 b 12 a2 b 12 2 1 3
1.若 (a 5)2 (2b 3)2 =0，则 ab2 =_____。
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3, 1
2
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
求x的值.
二次根式及性质1
二次根式及性质
【学习目标】
1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论： a≥0，（a≥0），（a≥0），（a≥0），并利用它们进行计算和化简． 【知识要点】 一、 二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式， “”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 【典型例题】 1、下列各式中，一定是二次根式的有（ ）个． A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】 B 【解析】解：2231x，-，一定是二次根式，故选：B． 【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0． 2. x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）1yx； （2）y=2x－32x； 【答案与解析】 （1）1x≥0，所以x≥1. （2）2x≥0,32x≥0,所以2≤x≤32； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零. 举一反三： 1、下列式子中二次根式的个数有（ ）.
（1）13；（2）3；（3）21x；（4）38； （5）21()3； （6）1x（1x） A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B. 2、下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. A. 23 B. 20.3 C. 2 D. x 【答案】B. 练习： 1、当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）1x； （2）1x； （3）11x； （4）1
1x
．
2、求下列函数解析式中自变量x的取值范围： （1）2yx－32x； （2）yx－11x；
（3） 21||2xyx； （4）222yxx． 3、已知cba,,为三角形的三边，化简：222()()()abcbcabca
3.1二次根式(1)
根指数为2.
3.说一说下列哪些是二次根式？
1
35
2
10
3
3
b
5
6
3
4 9
a 2
2
概念延伸
4．(1) 当a＜0时， a 有意义吗？为什么？ _________________. 你得到的结论是：要使 a 有意义,那么 a______0. （2）当a≥0时， 可能为负数吗？为什 a 么？_________________. 你得到的结论是：______0. 2 (3)试一试：若 x 1 y 2 ，求 0 x+y的值.
2 (1.5) 1.5 3 x 1, x 1 0
2
x 1
2
x 1
自主展示
1.快速抢答
1
0.3 0.3; 2
2
1 2 ( ) 7
1 1 2 7 ; 3 10 10
3
( )
2
; 4 (1 2 )2
a 先开方,后平方 2.从取值范围来看:
2
a 先平方,后开方
a2
2
a
2
a≥0
a取任何实数 a (a≥ 0)
3.从运算结果来看:
a =a
2
a
2
=∣ a ∣ =
-a (a＜0)
自主合作
例3：计算
1
2
3
4
( 1.5)
2
( x 1) ( x 1)
2
自主合作
2 解： 1 4 2 2
3.1 二次根式（1）
1. a 表示什么? 2.a需要满足什么条件?为什么? 当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a
二次根式知识点归纳 (1)
精品文档 . 第十六章二次根式知识点归纳 一、形如（a≧0）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≧0是 为二次根式的前提条件， 二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“ √ ”； 第二，被开方数是正数或0。 二、取值范围： 1、二次根式 有意义的条件：a≧0. 2、 二次根式 无意义的条件：
a﹤0.
值为0的条件：a=0 . 3、二次根式
4、式子 ab 有意义的条件：a﹥0.
5、式子 ab 有意义的条件: b≥0,且a≠0 . 6、式子 ab 有意义的条件: b≥0,且a＞0 .
三、二次根 （a≧0）的双重非负性： 1、被开方数a≧0非负。 2、 的值非负。
aa
aaa
aa精品文档
. 四、二次根式的化简 1、化简 2a 时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数或0. a （a是正数） 2a=∣a∣= 0 （a是0）
－a （a是负数）
2、 2a=a (a≥0). 3、被开方数是乘积用 4、被开方数是商的形式用 5、分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身。构成化去分母中的根号。
五、最简二次根式应满足的条件： （1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式； （2）被开方数中的因数或因式不能再开方。
2
a
《二次根式》培优专题一
二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1. 二次根式：形如,a （其中a _______ ）的式子叫做二次根式。
2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含_____ 。
3. 同类二次根式：二次根式化成_____________ 后，若____________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：（1）（,a）2= ______ （其中a ____ ）（2）a2〉（其中 a ____ ）5. 二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。
届= _______________ （其中a^_ b _______ ）；J a= _____________ （其中a^_ b ______ ）.V b（4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如3的有理化因式就是3 ,.8的有理化因式可以是也可以是2 , b 的有理化因式就是弋a -乜b.（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式.6. 双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。
双重二次根式化简的方法是：设x 0, y 0, a 0, y 0,且x y 二a, xy 二b，贝Ua 2、b =（x y） 2xy = （ . x）2（. y）2 2、x y =（ x . y）2如：要化简.5 —2一6，: 2 • 3 =5, 2 3=6 /• .5 —鸟一6 =.（一2 —一3）2= J3 —, 2 但要注意最后的结果是正数，所以不能是■ 2—、3二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（）A. . 45 B • 、、3-7 C•、、14 D 2、二次根式孕1有意义时的X的取值范围是x-43、已知：y = •. x • 2 x「2 • 1,贝U （x y）2001 = ___ 。
二次根式及其性质1
第十二章 第五节 二次根式及其性质（1） 一、教学目标： 1、了解二次根式的概念． 2、掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题．
3、明确二次根式a 是非负的，体验应用算术平方根概念推导)0(2aaa）（ 的过程，并能解决有关计算问题． 二、教学重难点 教学重点：二次根式的定义及二次根式中字母的取值范围． 教学难点：运用二次根式 三、学习过程： （一）、创设情境，复习引入
1、如果)0(2aax ，那么x 叫做a 的 ． 2、 正数a 的正的平方根叫做a 的 ，记做 ，0的算术平方根是 ． 想一想：
a 表示什么？要使a 有意义，a 需要满足什么条件？在a有意义的条件下，a 一定是正数吗？如果不是应该是什么数？根据平方根的意义，它的平方又是多少？ 三个非负数 （二）课上探究： 二次根式的定义 一般地，式子 叫做二次根式．其中的 叫被开方数，根指数是 ，省略不写．
1、请说出下列二次根式的被开方数：
64 )248xx（ 32x 2)(yx 2、判断下列式子那些是二次根式：21 7.0 4 3 32x
34 x
解：是二次根式的有：
阶段小结1： （1）判断二次根式的依据是：式子中含有 并且被开方数a必须 ．
（2）二次根式)0(aa是a的 ，因此a )0(a． 2、二次根式定义的应用 例1、实数x在什么范围内取值时，下列各式有意义？ 321x）（ x42)2( 122)3(x （4）32x
分析：以321x）（为例回答下列问题： 该式子的被开方数是什么？要使这个式子有意义，被开方数应该满足什么条件？如何用数学式子表示这个条件？上述得到的是什么样的式子？怎样可以得到x的取值范围？ 解：（1）23,032xx得由，有意义时，所以，当3223xx （2） （3） 3、实数x在什么范围内取值时，下列各式有意义？
52)1(x 23)2(x 11)3(x 解： 阶段小结2： 要使一个二次根式有意义，一定要满足 ． 3、二次根式的基本性质2)(a )0(a．
3.1二次根式(1)
二次根式3.1(1) 二次根式【学习目标】：1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式2、理解二次根式有意义的条件，会判断被开方数中字母的取值范围。
【重点难点】：二次根式有意义的条件 【预习指导】我们已经学习了平方根的意义,知道了式子16、2、a 的含义。
同样地，我们也能理解2c 、πS、g2h等式子的实际意义。
这些式子有什么共同特征？ 【基本概念】1、已知x 2= a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。
2、式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
3、一般地，式子)0(0≥≥a a 叫做 ，a 叫做 。
4、计算 ： (1) 2)4(= (2) =（3）2)5.0( = （4）2)31(= 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。
5、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式中，字母a 必须满足 ,才有意义。
【典型例题】例1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a，12+x2)3(________)(2=a例2、x 是怎样的实数时，式子5-x 在实数范围内有意义？【课堂练习】1、x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？ （1）5x +（2）4x 3-（3）1x 5+（4）x 101-（5）1x 2+（6）2x -2、计算： （1）213）（ （2）273）（（3）28）（+22）（ （4）222b a ）（+ 【知识梳理】1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
2．式子)0(≥a a 的取值是非负数。
【课后练习】1、下列各式中，正确的是（ ）。
二次根式1
___
；2、 ( 7)2 =
； 4、 (2 3)2 =
。
0 ；(2) ( a ) 2 ＝
2
=
8、若 a 3 3 a 有意义，则 a 的值为___________． 9、若 x 在实数范围内有意义，则 x 为（ ） 。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
10、计算： (1) (3 5)2 ； (2) - (5 2)2 ； (3)
(3 1.732 ) 2 。
14、化简： (1)
( m n) 2 ( m n)
(2)
a 2 4a 4 (a 2) ；
(3)
m 2 10m 25(m 5) ；
(4)
1 4b 2 4b 1(b ) 2
15、(1)已知 y= 2 x + x 2 +5，求 (2)若 a 1 + b 1 =0，求 a
(8) 2 ；
(4)
。 16x 2 （x<0）
11、.若 b<0，化简 ab3 =
。
12、若|2007- a |+
a 2008 =a，求 a 20072 的值。
13、化简： (1)
(14 15) 2 ； ( 2 )
1 1 ( )2 ； 3 4
(3)
(3.14 ) 2 ；
(4)
6、计算探究： 2 2 ＝
概括：当 a ≥0 时， a 2 ＝__ 也就是说， a 2 ＝_____ 7、计算：1、 ( 5)2 = 概括：当 a ≥0 时，(1) a
2 ； ( 2) ＝
； 32 ＝
2 ； (3) ＝
；
____；当 a ＜0 时， a 2 ＝___ ____ ；3、 (2 2)2 = ； （3） b a
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九上数学导学案 编号 01 编写 任新红 审核领导 赵明志 班级 姓名
1
22.1 二次根式(1)
一、学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0aa和)0()(2aaa
二、学习重点、难点
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
难点：综合运用性质)0(0aa和)0()(2aaa。
三、学习过程
（一）复习引入：
（1）已知x2 = a，那么a是x的______; x是a的________, 记为______,
a一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；
正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；
式子)0(0aa的意义是 。
（二）提出问题
1、式子a表示什么意义?
2、什么叫做二次根式？
3、式子)0(0aa的意义是什么？
4、)0()(2aaa的意义是什么？
5、如何确定一个二次根式有无意义？
（三）自主学习(自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：)
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
3
，16，34，5，)0(3aa，12x
2、计算 ：
4
自我评价 小组评价 教师评价 使用时间
2
(1) 2)4( (2)
（3）2)5.0( （4）2)31(
根据计算结果，你能得出结论： ，其中0a,
)0()(2aaa
的意义是 。
3、当a为正数时指a的 ，而0的算术平方根是 ，负
数 ，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a必
须满足 , 才有意义。
（四）合作探究(学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习) ：
1、 x取何值时，下列各二次根式有意义？
①43x ②223x ③
2、（1）若33aa有意义，则a的值为___________．
（2）若 在实数范围内有意义，则x为（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
（五）展示反馈 (学生归纳总结)
1．非负数a的算术平方根a(a≥0)叫做二次根式.
二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方
数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。
2．式子)0(aa的取值是非负数。
（六）精讲点拨
1、二次根式的基本性质(a)2=a成立的条件是a≥0，利用这个性质可以求二次根
式的平方，如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2.
2
)3(
________)(2a
x2
1
x
九上数学导学案 编号 01 编写 任新红 审核领导 赵明志 班级 姓名
3
2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。
（七）拓展延伸
1、(1)在式子xx121中，x的取值范围是____________.
(2)已知42x+yx2＝0，则x-y＝ _____________.
(3)已知y＝x3+23x,则xy= _____________。
2、由公式)0()(2aaa，我们可以得到公式a=2)(a ,利用此公式可以把任意
一个非负数写成一个数的平方的形式。
(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：
5 0.35
(2)在实数范围内因式分解
72x
4a2-11
（八）达标测试
A组
(一)填空题：
1、 =________;
2、 在实数范围内因式分解：
（1）x2-9= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)
（2） x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)
（二）选择题：
1、计算 （ ）
A. 169 B.-13 C±13 D.13
2、已知
2
5
3
的值为2)13(
30,xx则为（ ）
自我评价 小组评价 教师评价 使用时间
4
A. x>-3 B. x<-3 C.x=-3 D x的值不能确定
3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A. 3= 2)3( B 0.5=2)5.0(
C .2)3.0(=0.3 D 2)75(=35
B组
（一）选择题：
1、下列各式中，正确的是（ ）。
A. B
C D
2、 如果等式2)(x= x成立，那么x为（ ）。
A x≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x≥0
（二）填空题:
1、 若230ab，则 2ab= 。
2、分解因式：x4 - 4X2 + 4= ________.
3、当x= 时，代数式45x有最小值，
其最小值是 。
4949
4994
2424
6
53625