人教版数学高一论文古典概率模型中的巧思妙解
浅析古典概型
古 典概率 模型是 在封 闭系统 内 的模 型， 一旦系统 内的某个事件 的概率在 其他 概率确定前被确定 ， 其他事件概率也会跟
即借 助组合计算可以简化计算过程 。
例如 ， 掷一 次硬 币的实验 （ 质 地均 匀
经过 这几年对 概率论 与数理 统计 的 的硬 币） ， 只可 能出现正 面或反 面 ， 由于硬 着发生改变。 概率模型会 由古典概型转变
思路 ， 掌握 创新 的方法。
四、 成功 的创造体验 。 予以激励评价 “ 在人的心灵深处都有一种根深蒂 固
创新教 学 已成 为我们教 育教学 改革 接点。另一方面 ， 学生都有着不 同程 度的
刻不容缓 的重要任务。 小学数学课堂教学 学习积极性 和一定的生活经验 ， 这就给学 的需要 ，就是希望 自己是一个 发现 者、 研 中创新教 育是小学 生学 习数学基础 知识 生创新提供 了可能。因此 ， 利 用学生 已建 究者、 探 索者 ， 而在儿童 的精神世界 中 ， 这
的知识经验 ， 进行重新 排列组 合 ， 联想迁 探 求 欲 望 ， 而 且 要 让 学 生 在 自主 学 习 中获 更复杂的知识结构 。
三、 创 新教 学必须 依据 儿童 的认 识规律
、
创设 良好的课 堂氛 围， 培 养创新 移 ， 经过 同化 和顺应 ， 从 而创造 出新 的或 得 创造成功的情感体 验。 因为只有让学 生 在 自主学 习创造 中获 得成 功 ， 才会有真正 的、 内在的、 高层 次的愉悦 ， 产生强大 的内
学 习与教学 ，我对概 率论 中最为基 础的 理解。
币的对称性 ， 总认为 出现正 面或反 面的可 为几何概型。
众所 周知 ， 古典概型起源于赌博 ， 所 以
10.1.3古典概型(第2课时)2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
新知探究
第一次
1
2
3
4
5
1
×
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
2
(1,2)
×
(3,2)
(4,2)
(5,2)
第二次
3
(1,3)
(2,3)
×
(4,3)
(5,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
×
(5,4)
8 2
（1） =“第一次摸到红球”； (1) P( A)
况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有
15种情况，其中数字之积为4的倍数的有
6种情况，故概率为
练习巩固
19国2-4. 生物实验室有5只兔子, 其中只有 3只测量过某项
指标, 若从这 5只兔子中随机取出3只, 则恰有 2只测量过该
指标的概率为( B )
2
3
2
1
A.
B.
C.
（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
(1)设第一次抽取的人记为1,第二次抽取的人记为2,
则可用数组（1, 2）表示样本点.
新知探究
例4:从两名男生(记为1和2)、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人.
有放回简单随机抽样的样本空间Ω1 是古典概型
Ω1 = ｛（1, 1）, （1, 2）, （1, 1）, （1, 2）, （2, 1）, （2, 2）,
（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）
不记号，则不能区分抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如(1,2)和(2,1)的
玩转古典概型 (学生版) --高一数学微专题
微专题玩转古典概型【题型归纳目录】题型一：“放回”与“不放回”问题题型二：概率模型的多角度构建题型三：“正难则反”思想，利用对立事件求概率题型四：古典概型的综合应用【方法技巧与总结】古典概型求概率问题在考试中经常出现，在解决这类问题时，首先要审题，正确理解样本点与事件的关系，求某个事件包含的样本点的常用方法是列举法(画树状图、列表)．注意做到不重不漏，对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率．【典型例题】题型一：“放回”与“不放回”问题1(2024·高二·广东佛山·期中)下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放回地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，其中游戏公平的是()游戏1游戏2游戏3袋子中球的数量和颜色1个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取球规则取1个球依次取出2个球依次取出2个球获胜规则取到红球→甲胜两个球同色→甲胜两个球同色→甲胜取到白球→乙胜两个球不同色→乙胜两个球不同色→乙胜A.游戏1和游戏3B.游戏2C.游戏1和游戏2D.游戏32(2024·高一·甘肃武威·阶段练习)一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为m，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为n．(1)列出试验的样本空间；(2)求“mn>4”的概率．3(2024·高一·河南平顶山·期末)某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖.每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中.甲､乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖.(1)若m=60，求这两人中奖的概率；(2)若m=240，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率.【方法技巧与总结】抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．题型二：概率模型的多角度构建1口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率.2(2024·高三·天津南开·阶段练习)甲、乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各一次，则至少出现一个5点或6点的概率是；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为.3(2024·高一·辽宁·期末)一只口袋有形状大小质地都相同的4只小球，这4只小球上分别标记着数字1,2,3,4.甲乙丙三名学生约定：(i)每个不放回地随机摸取一个球；(ii)按照甲乙丙的次序一次摸取；(iii)谁摸取的球的数字最大，谁就获胜.用有序数组a,b,c表示在一次试验中，甲摸取的是数字1，乙摸 表示这个试验的基本事件，例如：1,4,3取的是数字4，丙摸取的是数字3；3,1,2表示在一次实验中，甲摸取的是数3，乙摸取的是数字1，丙摸取的是数字2.(Ⅰ)列出基本事件，并指出基本事件的总数；(Ⅱ)求甲获胜的概率；(Ⅲ)写出乙获胜的概率，并指出甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是否有关？4(2024·高一·河南商丘·期末)某班同学利用春节进行社会实践，对本地[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．序号分组(岁)本组中“低碳族”人数“低碳族”人数在本组所占的比例1[25, 30)1200.62[30, 35)195p3[35, 40)1000.54[40, 45)a0.45[45, 50)300.36[55, 60)150.3(一)人数统计表 (二)各年龄段人数频率分布直方图(1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出n、p、a的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求[45,50)岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．【方法技巧与总结】当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果以便于模型的建立与解答．题型三：“正难则反”思想，利用对立事件求概率1(2024·高一·山西·期末)已知不透明的袋中装有3个红球、2个白球，这些球除颜色外没有其他差异，从中不放回地依次随机摸出2个球.(1)求摸出的两球都是红球的概率；(2)求摸出的两球至少有一个红球的概率.2(2024·高一·全国·课后作业)现有7名学生，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛.(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1至多有一个被选中的概率.3(2024·高一·河南周口·期末)甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，从甲、乙两袋中各摸出1个球.(1)求这两个球为1个红球和1个白球的概率；(2)求这两个球颜色相同的概率.4(2024·高一·全国·单元测试)将一枚均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上的点数为x ，第二次向上的点数为y ，求x 2+y 2≥15的概率．【方法技巧与总结】在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P (A 1∪A 2∪⋯∪A n )=P A 1 +P A 2 +⋯+P A n 求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式P (A )=1-P (A)求得．题型四：古典概型的综合应用1(2024·高一·福建厦门·期末)为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球3个，白球2个(红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”)取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为m 获胜(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；(2)一名同学先玩了游戏一，试问m 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．2(2024·高一·宁夏石嘴山·期末)法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们(书籍的作者)一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求频率分布直方图中a的值；(2)求样本每天阅读时间的第75百分位数；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[70,80)和90,100的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[70,80)的概率.3(2024·高二·广东清远·期末)人类的四种血型与基因类型的对应为O型的基因类型为ii,A型的基因类型为ai或aa,B型的基因类型为bi或bb,AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因，且各基因类型是等可能的．(1)若甲的父亲血型是A型，母亲的血型基因类型为bi，求甲血型是A型的概率；(2)若乙的血型基因类型为bi，其母亲血型是B型，求其父亲血型是B型的概率．4(2024·高一·河南南阳·期末)某学校开设了街舞、围棋、武术三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：社团街舞围棋武术人数484230为调查社团活动开展情况，学校社团管理部采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本，已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社团抽取的同学少1人.(1)求三个社团分别抽取了多少同学；(2)已知从围棋社团抽取的同学中有2名女生，若从围棋社团被抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督的职务，求至少有1名女同学担任监督职务的概率.【方法技巧与总结】游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平．(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．【过关测试】1某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则，规则一：投掷1枚质地均匀的硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均匀的2个红球与2个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有质地均匀的3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公平的发球规则是()A.规则一和规则二B.规则二和规则三C.规则一和规则三D.只有规则一2(2024·高一·湖南·阶段练习)有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为()A.310B.15C.25D.123将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)，先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m ，n ，记向量a=2m -3,n -1 ，b =1,-1 的夹角为θ，则θ为钝角的概率是()A.518B.13C.1336D.11364(多选题)(2024·高一·江西南昌·期末)某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是()A.首选科目为历史的学生样本容量为20B.所有样本的均值为87分C.每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为25D.首选科目为历史的学生的成绩的标准差为135(多选题)(2024·高一·贵州遵义·期末)不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球，2个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件M：取出的两个球是一个红球一个白球，事件N：两个球中至少一个白球，事件K：两个球均是红球，则下列结论正确的是()A.P M=35B.P MN=2150C.P M+K=910D.P M=P N +P K6(多选题)(2024·高二·新疆喀什·期末)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是()A.取出的两个球上标号为不同数字的概率为49B.取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为59C.取出的两个球上标号为相同数字的概率为13D.甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为137(2024·高一·广东深圳·期末)某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.(1)由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数(精确到0.1)；(2)现从技术参数位于区间[40，50)，[50，60)，[60，70)的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A=“这3件产品中技术参数位于区间[40，50)内的产品至多1件”，事件B=“这3件产品中技术参数位于区间[50，60)内的产品至少1件”，求事件A∩B的概率.8(2024·全国·模拟预测)2023年11月10日，第六届中国国际进口博览会圆满闭幕，在各方的共同努力和大力支持下，本届进博会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献．本届进博会优化了志愿者服务，为展客商提供了更加准确、细致的服务．为了解参会的展客商对志愿者服务的满意度，组委会组织了所有的展客商对志愿者服务进行评分(满分100分)，并从评分结果中随机抽取100份进行统计，按照50,60进行分组，,90,100,60,70,80,90,70,80得到如图所示的频率分布直方图：(1)求n的值，并以样本估计总体，求所有展客商对志愿者服务评分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)在这100份评分结果中按照分层抽样的方法随机抽取20份，再从其中评分在60,70的评和90,100分结果中随机抽取2份，求这2份评分结果均不低于90分的概率．9(2024·高二·宁夏·期中)某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；(2)若从打分区间在[60,70)的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间[65,70)的概率.10(2024·高一·辽宁辽阳·阶段练习)辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动．公益课堂共开设24期，近200名少年儿童受益．从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查(满分100分)，将问卷调查结果按68,72，88,92，，84,88，72,76，76,80，80,8492,96，96,100分成八组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．(1)求a的值，并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若从样本中问卷调查结果在88,92内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童，求随机抽取的和96,100这2名少年儿童在同一组的概率．11(2024·全国·模拟预测)甲、乙两射击队(每队有7名队员)进行射击比赛，每名队员均射击20次且每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分．假设所有队员的得分相互独立．现统计每队队员的得分情况如下：甲队：14,13,10,15,12,16,11．乙队：17,15,16,12,14,13,m．(1)现从甲、乙两队各随机选1人，甲队选出的队员记为A，乙队选出的队员记为B，若m=20，求队员A的得分不少于队员B的得分的概率．(2)是否存在m m∈N*使得甲、乙两队队员的得分的方差相等．若存在，请写出m的值，不用说明理由；若不存在，请说明理由．。
高一下学期数学人教A版必修第二册10.1.3古典概型课件
（1）第一次摸到红球的可能结果有8种：
P(A) 8 2 20 5
（2）第二次摸到红球的可能结果也有8种：
P(B) 8 2 20 5
（3）事件AB包含2个可能结果，即AB=｛(1,2),(2,1)｝
P(AB) 2 1
1
20 10
10
知识梳理
[规律方法] 求解古典概型概率的“四步”法：
已知某多项选择题的正确答案是AC.某某同学不会做该题,他只想 得2分,就按单项选择题处理,随机填写了一个答案,求他得2分的概率.
补充两个计数原理
分类加法计数原理是指完成一件事有几类不同的方案， 在第1类方案中有m1种不同的的方法， 在第2类方案中有m2种不同的的方法…… 在第n类方案中有mn种不同的的方法， 那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种方法。
例1 一枚质地均匀的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4， 将该正四面体先后抛掷两次，观察两次出现的与桌面接触面的点数 情况．
(1)求一共有多少个基本事件； (2)求“出现的点数之和大于5”包含几个基本事件数．
基本事件的计数问题
[规律方法]
1．在列出基本事件时，应先确定基本事件是否与顺序有关．写 基本事件时，一定要按一定顺序写，这样不容易漏写．
（3，1） （3，2） （3，3）
高一数学古典概型课件
目录
• 古典概型的定义与特点 • 古典概型的概率计算公式 • 古典概型的应用 • 古典概型的概率性质 • 古典概型的经典问题 • 古典概型的练习题与解析
01 古典概型的定义与特点
定义
定义
古典概型是一种概率模型，其中 每个样本点发生的可能性是相等 的，并且样本空间是有限的。
描述
独立性
在古典概型中，如果两个试验相互 独立，则它们的概率也是独立的。
古典概型与几何概型的区别
样本空间
古典概型的样本空间是有限的，而几何概型的样本空间是无限的。
概率计算
在古典概型中，概率计算公式为$P(A) = frac{m}{n}$，其中$m$是事件A包含的 样本点个数，$n$是样本空间中样本点的个数；而在几何概型中，概率计算公式 为$P(A) = frac{长度（或面积、体积）}{总长度（或总面积、总体积）}$。
。
概率问题的实际应用
保险业
保险公司根据不同险种的概率 来制定保险费率。
医学研究
通过临床试验和数据分析来研 究疾病的发生概率和治疗方案 的有效性。
统计学
在数据分析和预测中，概率是 一个重要的工具。
游戏开发
游戏中的随机事件和概率设置 对于游戏的平衡性和趣味性至
关重要。
04 古典概型的概率性质
概率的加法性质
古典概型也被称为等可能概型， 它是一种最简单、最直观的概率 模型，常用于描述一些离散、随 机事件。
特点
样本空间有限
古典概型的样本空间是有限的， 即样本点数量是确定的。
等可能性
在古典概型中，每个样本点发生的 可能性是相等的，即每个样本点的 概率都是$frac{1}{n}$，其中$n$ 是样本空间中样本点的个数。
古典概率模型分析例题和知识点总结
古典概率模型分析例题和知识点总结在概率论的领域中，古典概率模型是一个重要的基础概念。
它为我们理解和解决许多概率问题提供了有力的工具。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨古典概率模型，并对相关的知识点进行总结。
一、古典概率模型的定义和特点古典概率模型是指在一个试验中，所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
例如，掷一枚均匀的骰子，其结果有 1、2、3、4、5、6 六种，且每种结果出现的概率都是 1/6。
古典概率模型具有以下特点：1、有限性：试验的可能结果是有限的。
2、等可能性：每个结果出现的可能性相等。
二、古典概率的计算公式若一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，则事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
三、例题分析例 1：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解：总的取法有 C(5, 2) ＝ 10 种（C 表示组合数）。
取出 2 个红球的取法有 C(3, 2) ＝ 3 种。
所以取出 2 个球都是红球的概率为 3 ／ 10 。
例 2：一个盒子里有 5 个黑球和 3 个白球，从中任意取出 2 个球，求至少取出 1 个黑球的概率。
解：总的取法有 C(8, 2) ＝ 28 种。
取出的 2 个球都是白球的取法有 C(3, 2) ＝ 3 种。
所以至少取出 1 个黑球的概率为 1 3 ／ 28 ＝ 25 ／ 28 。
例 3：在一次抽奖活动中，有 100 个号码，其中只有 10 个号码能中奖。
某人随机抽取一个号码，求他中奖的概率。
解：因为总共有 100 个号码，中奖号码有 10 个，所以中奖的概率为 10 ／ 100 ＝ 1 ／ 10 。
四、常见的古典概率模型1、摸球问题：如上述的从口袋或盒子中摸球的问题。
2、抽奖问题：像上述的抽奖活动。
3、掷骰子问题：计算掷骰子出现特定点数或特定点数组合的概率。
考点38 古典概型的计算(掷骰子模型)-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(解析版)
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1
在掷硬币试验中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在掷骰子试验中，随机事件
“出现偶数点”由基本事件“2点”“4点”和“6点“共同组成．相对于基本事件，由两个以上基本事件组成的随机事件称为复杂事件．
【例】一个正四面体的玩具，各面分别标有1，2，3，4中的一个数字，甲、乙两同学玩游戏，每人抛掷一次，朝下一面的数字和为奇数甲胜，否则乙胜，则甲胜的概率为（ ） A ．13
B ．12
C ．
23
D ．
34
【答案】B
则(,)x y 的所有可能结果如下表：
1
2
3
4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
共有基本事件16个，其中和为奇数的基本事件有（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共8个，∴所求概率为
81162
． 第二
结果
第一次。
人教版高中数学必修三 第三章 概率 《古典概型》课例分析
《古典概型》课例分析一、教学设计思路与理论依据：本节课以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生目前所掌握的知识背景，挖掘生活中与之相关的小问题，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。
教材是精心选择的课程资源，但教材仅是教师在教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我根据学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理。
教学中避免学生在用列举法求概率问题时出现“重”、“漏”问题，也为本节课的学习降低了难度。
二、教学内容分析本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修3》第三章中的第3.2.1节古典概型，它安排在随机事件的概率之后，几何概型之前。
古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率准确值，同时古典概型也是后面学习其它概率的基础。
在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率必不可少的内容，同时有利于理解概率的概念，能解释生活中的一些问题，也有利于计算一些事件的概率，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。
本节教材主要是学习古典概型，教学安排是2课时，本节是第一课时。
教学中让学生通过生活中的实例与数学模型理解基本事件的概念和古典概型的两个特征，通过具体的实例来推导古典概型下的概率公式，并通过当堂练习和典型例题加以引申，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型问题。
三、学情分析学生已经了解了概率的意义，掌握了概率的基本性质，知道了互斥事件和对立事件的概率加法公式，学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强.四、教学目标分析：知识目标：正确理解基本事件的概念，准确求出基本事件及其个数；在数学建模的过程中，正确理解古典概型的两个特点；推导和掌握古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。
1.3古典概型 一等奖创新教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
1.3古典概型一等奖创新教学设计-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册古典概型教学设计一教学内容分析1.本节内容在高中教材中的地位和作用《古典概型》是高中数学人教A版必修2第十章第一大节的第三课时的内容，教学安排是2课时，本节课是第一课时。
古典概型是在学生初中阶段学习了概率初步，在高中阶段学习了随机事件的概率（随着试验次数的增加，频率稳定于概率），初步了解了概率的意义之后学习的内容。
古典概型是一种特殊的数学模型，它承接着前面学过的随机事件的概率及其性质，它的引入能使概率值的存在性易于被学生理解，也能使学生认识到重复实验在有些时候并不是获取概率值的唯一方法。
同时古典概型也是后面学习条件概率的基础，起到承前启后的作用，在概率论中占有相当重要的地位。
教学目标分析1.知识与技能目标：会判断古典概型，会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数和试验中样本空间;能够利用概率公式求解一些简单的古典概型的概率。
2.过程与方法目标：教学生掌握列举法，学会处理概率计算类问题。
通过从实际问题中抽象出数学模型的过程，提升从具体到抽象，从特殊到一般的分析问题的方法，理解、掌握古典概型的基本特点。
3.情感态度与价值观目标：通过各种有趣的、贴近学生生活的素材（生活中的猜拳游戏、掷骰子游戏等），激发学生学习数学的热情和兴趣，培育学生的探索精神，促使学生自觉培养创新意识。
在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。
三、教学重难点1.重点：古典概型定义的理解与掌握，能以古典概型为基础展开随机事件的概率计算。
2.难点：如何判断一个试验是否是古典概型;分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。
四、教法与学法分析1.教法分析：教学方法为引导发现、归纳概括，基于提出问题、分析问题、解决问题的思路，对古典概型的定义与概率公式进行归纳概括、观察比较，而后通过实际问题的提出与处理，激发学生的学习兴趣，提升学生的学习主动性。
人教版数学高一教学设计古典概型(二)
3.2.1 古典概型(二)12(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．解 (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2， a 1)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A ＝{}(a 1，b )，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2).因为事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23. (2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)， (a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{}(a 1，b )，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2).事件B 由4个基本事件组成，因而P (B ) ＝49. [类题通法]解决有序和无序问题应注意两点(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a 1，b )，(b ，a 1)不是同一个基本事件．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．[活学活用]一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ＜m ＋2的概率．解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和 4,2和3,2和4,3和4，共6个，从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为P ＝26＝13. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以，满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316， 故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.[例2](1)头两位数字都是8的概率；(2)头两位数字都不超过8的概率．解 电话号码每位上的数字都可以由0,1,2，…，9这十个数字中的任意一个数字组成，故试验基本事件总数为n ＝108.(1)记“头两位数字都是8”为事件A ，则若事件A 发生，头两位数码都只有一种选法，即只能选8，后六位各有10种选法，故事件A 包含的基本事件数为m 1＝106.所以由古典概型概率公式，得P (A )＝m 1n ＝106108＝1100＝0.01. (2)记“头两位数字都不超过8”为事件B ，则事件B 的头两位数码都有9种选法，即从0～8这9个数字中任选一个，后六位各有10种选法，故事件B 所包含的基本事件数为m 2＝81×106.所以由古典概型概率公式，得P (B )＝m 2n ＝81×106108＝0.81. [类题通法]解决数字型问题(1)电话号码及密码问题中，每个数字在各个位置出现的机会是相等的，且首位也可以为0.(2)由于此类问题的基本事件数目较大，且很难一一列举，常借助整数的有关性质求解．[活学活用]储蓄卡的密码是一种六位数字号码，每位上的数字可以从0到9这10个数字中任取．(1)如果某人拾到储蓄卡一张，随意按下六位号码正好按对密码的概率是多少？(2)若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字，随机按下两位数字正好按对密码的概率是多少？解(1)由储蓄卡的密码是六位数字号码，且每位上的数字都有从0到9共10种取法，故这种号码共有106个，由于随意按下一个六位号码，无论按下哪个号码的可能性都是均等的，故正好按对密码的概率P ＝1106. (2)按六位号码的后两位数字共有10×10＝100种按法，随意按下后两位数字，每一种按法机会均等，故按对的概率为P ＝1100.[例3] 抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解 (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3种．所以P (B )＝315＝15. [类题通法]使用古典概型的概率公式的两个关键点(1)审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键(关键词：不重不漏)．(2)编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，可以使问题得以简单地表示，这是解决古典概型问题时主要的解题技巧(关键词：简单的数字和字母)．[活学活用]编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．解(1)由得分记录表，从左到右应填4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 10)，(A 3，A 11)，(A 3，A 13)，(A 4，A 5)，(A 4，A 10)，(A 4，A 11)，(A 4，A 13)，(A 5，A 10)，(A 5，A 11)，(A 5，A 13)，(A 10，A 11)，(A 10，A 13)，(A 11，A 13)，共15种．②从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，将“这2人得分之和大于50”记为事件B ，则事件B 的所有可能结果有：(A 4，A 5)，(A 4，A 10)，(A 4，A 11)，(A 5，A 10)，(A 10，A 11)，共5种，所以P (B )＝515＝13. 古典概型与其他知识的交汇问题[典例] 设集合A ＝{}1，2，B ＝{}1，2，3，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N)，求使事件C n 的概率最大的n 的所有可能取值．[解题指导] 点P 的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．若点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n (2≤n ≤5)上，则：当n ＝2时，点P 只能是(1,1)；当n ＝3时，点P 可能是(1,2)，(2,1)；当n ＝4时，点P 可能是(1,3)，(2,2)；当n ＝5时，点P 只能是(2,3)．故事件C 3，C 4的概率最大，所以n 可取3或4.[多维探究]古典概型是高考考查的重点和热点之一，考查的主要内容是事件发生的概率的求解，且常与其他相关知识交汇命题，如本例就是将古典概型与解析几何进行的交汇命题，而本课时例3是古典概型与统计的交汇问题．另外，古典概型还常与函数、方程等问题相结合命题．[角度一] 古典概型与方程相结合问题设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ＞0，b ＞0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根意味着Δ＝(2a )2－4b 2≥0，即a ≥b .基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个．其中第1个数表示a 的取值，第2个数表示b 的取值．而事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. [角度二] 古典概型与函数相结合问题袋里装有五个球，号码依次为1,2,3,4,5，设号码为x 的球重(x 2－5x ＋30)克，这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出．若同时从袋内任意取出两球，则它们质量相等的概率是多少？解设质量相等的两球的号码分别是m ，n ，m ≠n ，则有m 2－5m ＋30＝n 2－5n ＋30，解得m ＋n ＝5.而五个球中任意取两球的基本事件共有10种，符合题意的只有2种，即两球的号码分别是{}1，4或{}2，3，所以P ＝210＝15. [角度三] 古典概型与新定义相结合问题“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2 578)，在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是________．【解析】十位是1的“渐升数”有8个，十位是2的“渐升数”有7个，…，十位是8的“渐升数”有1个；所以二位的“渐升数”有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，以3为十位比37大的“渐升数”为2个，分别以4、5、6、7、8为十位的“渐升数”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15个，所以比37大的“渐升数”共有2＋15＝17个，故在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是1736. 【答案】1736[随堂即时演练]1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12 【解析】由log 2x y ＝1，得2x ＝y ，其中x ，y ∈{}1，2，3，4，5，6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6共3种情况， 所以P ＝336＝112，故选C. 【答案】C2．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{}1，2，3，4，5，6，若a ＝b 或a ＝b －1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.736B.14C.1136D.512【解析】由于甲、乙各记一个数，则基本事件总数为6×6＝36个，而满足a ＝b 或a ＝b －1的共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)11个．∴概率P ＝1136. 【答案】 C3．有一个表面都涂有红颜色的正方体，被均匀地锯成了1 000个小正方体，将这些小正方体混合后，放入一个口袋，现从口袋中任意取出一个正方体，恰有两个面涂有红色的概率是________．【解析】正方体有12条棱，每条棱上有8个两个面涂色的小正方体，故两面涂色的小正方体共有8×12＝96个，所以所求概率P ＝961 000＝12125. 【答案】121254．如图所示，a ，b ，c ，d ，e 是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是________．【解析】“任意闭合其中的两个开关”所包含的基本事件总数是10，“电路接通”包含6个基本事件，所以电路接通的概率P ＝35. 【答案】355．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如下所示.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．解(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179 cm之间，而乙班身高集中于170～180 cm 之间，因此乙班平均身高高于甲班．(2)设身高为176 cm的同学被抽中的事件A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm的同学的身高，则所有的基本事件有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，∴P(A)＝4 10＝25，即身高为176 cm的同学被抽中的概率为25.。
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古典概率模型中的巧思妙解
古典概型在高考试题中具有一定的灵活性、机动性.一般对随机事件的考察，常常结合
选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形
式，所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握.
例1.甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，
甲、乙二人一次各抽取一题，问：甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？
解：甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9=90；
基本解法：利用分类计数原理
只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4=24；只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4=24；
甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5=30；
故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是151390302424.
巧思：基本解法利用的是分类计数原理，从正面入手，考虑情况比较多，“正难则反”，不妨
换个角度，考虑其反面即利用其对立事件反而会简单明了。
妙解：利用对立事件
事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是
对立事件.
事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3=12；
故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是1513152190121.
例2.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品,如果从中一次取3件，
求3件都是正品的概率?
解: 基本解法：这种抽取可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结
果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），
（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，
按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，
因此P(B)= 12056≈0.467．
巧思：对于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺
序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致
错误.上面就是按无顺序抽样进行的，那有顺序抽样是否会简单一些呢？
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妙解：把上面的抽样看作是不放回有顺序抽样
可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），
则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，
所以试验的所有结果为10×9×8=720种．
设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336,
所以P(B)= 720336≈0.467．