苏教版数学高一必修3素材 2.4线性相关中的巧思妙解
高中数学 第2章 统计 2.4 线性回归方程讲义 苏教版必修3-苏教版高一必修3数学教案
2.4 线性回归方程学 习 目 标核 心 素 养1.了解两个变量之间的相关关系并与函数关系比较． 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系．3．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，并能由回归方程对总体进行预测、估计．(重点、难点)通过对已有数量的分析、运算培养学生数据分析、数学运算的核心素养.1．变量之间的两类常见关系在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示．另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示．2．相关关系的分类相关关系分线性相关和非线性相关两种． 3．线性回归方程系数公式能用直线方程y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方程．给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…， (x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝n ∑i ＝1n x i y i －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n x i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n y i n ∑i ＝1nx 2i －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n x i2，a ＝y －b x .上式还可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nx i y i－n x －y －∑i ＝1n x 2i －n x 2＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2，a ＝y －b x .1．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系． 其中具有相关关系的是________． ①③④ [②⑤为确定关系不是相关关系．]2．下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．③ [散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③.]3．工人工资y (元)依劳动生产率x (千元)变化的线性回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1 000元时，工资为130元； ②劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元； ③劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元； ④当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元．② [回归直线斜率为80，所以x 每增加1，y ^增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元．]4．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：广告费用(千元) 1 4 6 10 14 销售额(千元)1944405253销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝2.3x ＋a (a 为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．15 [x ＝7，y ＝41.6，则a ＝y －2.3x ＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)．]变量间相关关系的判断【例1】 在下列两个变量的关系中，具有相关关系的是________． ①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故发生率之间的关系．②④[两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]1．函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键．要准确区分两个变量间的相关关系和函数关系，事实上，现实生活中相关关系是处处存在的，从某种意义上讲，函数关系可以看作一种理想的关系模型，而相关关系是一种普遍的关系．两者区别的关键点是“确定性”还是“不确定性”．1．下列两个变量中具有相关关系的是________(填写相应的序号)．①正方体的棱长和体积；②单产为常数时，土地面积和总产量；③日照时间与水稻的亩产量．③[正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；单产为常数a公斤/亩，土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选③.]2．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题为________．③④⑤[两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确．]散点图的画法及应用学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462利用散点图判断它们是否具有线性相关关系？如果有线性相关关系，是正相关还是负相关？思路点拨：本题涉及两个变量(数学成绩与物理成绩)，以x轴表示数学成绩、y轴表示物理成绩，可得相应的散点图，再观察散点图得出结论．[解] 把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在平面直角坐标系中描点(x i，y i)(i＝1,2，…，5)．从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有线性相关关系，且当数学成绩减小时，物理成绩也由大变小，即它们正相关．1．判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以认为这两个变量不具有相关关系．2．正相关、负相关线性相关关系又分为正相关和负相关．正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变大．从散点图上看，因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域．负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变小．从散点图上看，因变量随自变量的增大而减小，图中的点分布在左上角到右下角的区域．提醒：画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．3．如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？思路点拨：观察图中点的分布情况作出判断．从散点图上看，点的分布散乱无规律，故不具有相关关系．[解] 不具有相关关系，因为散点散乱地分布在坐标平面内，不呈线形．4．有个男孩的年龄与身高的统计数据如下：思路点拨：描点(1,78)，(2,87)，(3,98)，(4,108)，(5,115)，(6,120)．观察点的分布，作出判断．[解] 作出散点图如图：由图可见，具有线性相关关系，且是正相关．线性回归方程的求法及应用【例3】 某产品的广告支出x (单位：万元)与销售收入y (单位：万元)之间有下表所对应的数据．广告支出x /万元 1 2 3 4 销售收入y /万元12284256(1)画出表中数据的散点图；(2)求出y 对x 的回归直线方程y ^＝bx ＋a ，并解释b 的意义； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 思路点拨：画散点图→列表处理数据→计算x ，y ，n ∑i ＝14x 2i ，∑i ＝14x i y i →计算b →计算a →线性回归方程→销售收入[解] (1)散点图如图．(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以便计算回归系数a ，B ．序号 xyx 2y 2xy1 1 12 1 144 12 2 2 28 4 784 563 3 42 9 1 764 126 4 4 56 16 3 136 224 ∑10138305 828418于是x ＝52，y ＝692，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14y 2i ＝5 828，∑i ＝14x i y i ＝418，代入公式得，b ＝∑i ＝14x i y i －4xy∑i ＝14x 2i －4x 2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ＝y －b x ＝692－735×52＝－2.故y 对x 的回归直线方程为y ^＝735x －2，其中回归系数b ＝735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y 平均增加735万元．(3)当x ＝9万元时，y ^＝735×9－2＝129.4(万元)，即若广告费为9万元，则销售收入约为129.4万元． 1．求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行： 第一步，计算平均数x ，y ；第二步，求和∑i ＝1nx i y i ，∑i ＝1nx 2i ；第三步，计算b ＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x ；第四步，写出线性回归方程y ^＝bx ＋A ．2．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．提醒：(1)对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，判断变量之间是否线性相关，再由系数a ，b 的计算公式，计算出a ，b ，由于计算量较大，在计算时应借助计算器，仔细计算，以防出现错误．(2)为了方便，常制表对应算出x i y i ，x 2i ，以便于求和．(3)研究变量间的相关关系，求得回归直线方程能帮助我们发现事物发展的一些规律，估计、预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据．5．如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图． 注：年份代码1－7分别对应年份2012－2018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑ 7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑ 7i ＝1(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ ni ＝1(t i －t )2∑ ni ＝1(y i －y )2，回归方程y ^＝a ＋bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ＝∑ ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ ni ＝1(t i －t )2，a ＝y －－b t . 思路点拨：(1)利用相关系数的大小――→确定y 与t 的线性相关程度 (2)求出回归方程→利用方程进行估计[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑ 7i ＝1(t i －t )2＝28，∑ 7i ＝1(y i －y )2＝0.55，∑ 7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑ 7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ＝∑ 7i ＝1(t i －t )(y i －y )∑ 7i ＝1 (t i －t )2＝2.8928≈0.103. a ＝y －b t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．1．本节课的重点是会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．难点是了解相关关系、线性相关、回归直线的概念．2．本节课要掌握以下几类问题 (1)准确区分相关关系与函数关系．(2)会利用散点图判断两个变量间的相关关系． (3)掌握用线性回归方程估计总体的一般步骤.1．在如图所示的四个散点图中，两个变量具有相关性的是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④D [由图可知①中变量间是一次函数关系，不是相关关系；②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的；③中的点杂乱无章，没有什么关系；④中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的．故两个变量具有相关性的是②④.]2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号有( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④B [由正、负相关性的定义知①④一定不正确．]3．某工厂生产某种产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据：的斜率为0.7，则这组样本数据的线性回归方程是________．y ^＝0.7x ＋0.35 [∵x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∴a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.]4．2019年元旦前夕，某市统计局统计了该市2018年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)思路点拨：按照求线性回归方程的一般步骤，求出线性回归方程，再根据回归方程作出预测．[解] (1)依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ＝∑i ＝110x i y i －10xy∑i ＝110x 2i －10x 2≈0.17，a ＝y －b x ＝0.81，∴y ^＝0.17x ＋0.81.∴所求的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81. (2)当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)，可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．。
高一数学 (人教版必修3)：第四章 线性回归方程 Word版含解析.doc
重点列表：重点 名称重要指数 重点1 相关关系的判断 ★★★★ 重点2 线性回归方程有关概念 ★★★ 重点3散点图★★★★重点详解：1．变量间的相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性． 2．两个变量的线性相关(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有____________，这条直线叫________．(2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________.※ (3)相关系数r ＝∑∑∑===----nj jn i ini iiy yx x y y x x 12121)()())((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个变量负相关．r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q ＝∑=--ni i ix y12)(βα的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做____________．该式取最小值时的α，β的值即分别为，.(2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ,)())((ˆ1221121x b y axn xy x n yx x x y y x x b ni ini ii n i i ni i i【答案】1．相关关系 非确定性2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法重点1：相关关系的判断 【要点解读】在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以做出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系． (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【考向1】确定性关系与随机关系【例题】下列变量之间的关系不是．．相关关系的是( ) A ．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2－4ac B ．光照时间和果树亩产量 C ．降雪量和交通事故发生率 D ．每亩施用肥料量和粮食亩产量解：由函数关系和相关关系的定义可知，A中Δ＝b2－4ac，因为a，c是已知常数，b为自变量，所以给定一个b的值，就有唯一确定的Δ与之对应，所以Δ与b之间是一种确定的关系，是函数关系．B，C，D中两个变量之间的关系都是相关关系．故选A.【评析】要注意函数关系与相关关系的区别：函数关系是确定性关系，而相关关系是随机的、不确定的．重点2：线性回归方程有关概念【要点解读】样本中心点一定在回归直线上【考向1】样本中心点【例题】为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得到的试验数据中，变量x的平均值都等于s，变量y的平均值都等于t，那么下列说法正确的是( ) A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)C．必有直线l1∥l2D．直线l1和l2必定重合【评析】回归方程一定通过样本点的中心(，y)；中心相同的样本点的回归方程不一定相同．【考向2】线性回归直线的理解【例题】由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到回归直线方程ax byˆˆˆ+=，那么下面说法错误．．的是( )A．直线ax byˆˆˆ+=必经过点(，y)B．直线ax byˆˆˆ+=至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的一个点C．直线ax byˆˆˆ+=的斜率＝∑∑==--niiniiix nxy x nyx1221D ．直线a x b y ˆˆˆ+=和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑=+-ni ii a x b y 12)]ˆˆ([是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的重点3：散点图 【要点解读】根据散点图可以直观判断正负相关以及数据所对应的函数模型 【考向1】正相关与负相关【例题】(1)对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )图1图2A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解：由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，故选C.【评析】点分布在从左下角到右上角的区域时，两个变量的相关关系为正相关；点分布在从左上角到右下角的区域时，两个变量的相关关系为负相关．(2)下面是一块田的水稻产量与施化肥量的一组观测数据(单位：kg)： 施化肥量15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 (Ⅰ)将上述数据制成散点图；(Ⅱ)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ 解：(Ⅰ)散点图如下：(Ⅱ)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大．图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长，不会一直随化肥施用量的增加而增长．【评析】任何一组数据(二元数据)都可以作出散点图，散点图可以直观地观察两个变量间的关系．【考向2】散点图的画法及相关关系识别【例题】(1)从左至右，观察下列三个散点图，变量x与y的关系依次为________(正相关记作①；负相关记作②；不相关记作③)．(2)科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据(单位分别是mm，℃)，并作了统计：年平均气温12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05年降748 542 507 813 574 701 432雨量(Ⅰ)试画出散点图；(Ⅱ)判断两个变量是否具有线性相关关系．解：(Ⅰ)作出散点图如图所示．(Ⅱ)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量不具有线性相关关系．难点列表：求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；(2)求系数b ^：公式有两种形式，b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2＝∑n i ＝1x i y i －nx － y－∑ni ＝1x 2i －nx－2，根据题目具体情况灵活选用；(3)求a ^：a ^＝y －－b ^x －； (4)写出回归直线方程．说明：当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果可确定选用公式的哪种形式求b ^.难点1：求回归方程及用回归方程进行估计 【要点解读】(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则无意义．(2)根据回归方程进行的估计仅是一个预测值，而不是真实发生的值．(3)用最小二乘法求回归方程，关键在于正确求出系数，，由于，的计算量大，计算时应仔细小心，分层进行(最好列出表格)，避免因计算而产生错误． 【考向1】求线性回归方程【例题】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考值3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)散点图如下：(2)由系数公式可知，＝4.5，y＝3.5，＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所以线性回归方程为yˆ＝0.7x＋0.35.(3)x＝100时，yˆ＝0.7x＋0.35＝70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．【评析】牢记求线性回归方程的步骤：(1)列表；(2)计算，y，∑=niiiyx1，∑=niix12;(3)代入公式求，再利用xbyaˆˆ-=求，（4）写出回归方程.【考向2】利用线性回归方程进行预测【例题】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得∑=101iix=80, ∑=101iiy=20,∑=101iiiyx=184,∑=1012iix=720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝∑∑==--niiniiix nxy x nyx1221，xbya-=，其中，y为样本平均值，线性回归方程也可写为y^＝b^x＋a^.解：(1)由题意知n＝10，＝1n ∑=ni ix 1＝8010＝8， y ＝1n ∑=ni i y 1＝2010＝2，又∑=ni ix12- n 2 =720 -10×82=80，∑=ni ii y x 1-n y x ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝2480＝0.3，a ＝y －b ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 难点2：非线性相关转化为线性相关 【要点解读】通过观察散点图，分析其函数模型，然后转化成线性相关 【考向1】非线性相关转化为线性相关【例题】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋β u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝解题指导] 切入点：回归分析中对散点图的理解，回归方程的求法和应用；关键点：通过换元把非线性回归方程转化为线性回归方程求解．解] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．c ^＝y －d^ w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．【趁热打铁】1．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是( ) A ．点分布在从左下角到右上角的区域B ．散点图在某方形区域内C ．散点图在某圆形区域内D ．点分布在从左上角到右下角的区域2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A ．都可以分析出两个变量的关系B ．都可以用一条直线通过近似表示两者关系来估计总体的均值C ．都可以作出散点图D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系 3．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线把非确定性问题转化为确定性问题进行研究． 其中正确的命题为( )A ．①③④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 35．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x 10 20 30 40 50 加工时间y (min)62&758189A ．67B ．68C ．69D ．706．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 17．某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，得到售价x (元)和销售量y (件)之间的一组数据如下表：yˆ＝－3.2x ＋a ，则a ＝______．8．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.9．假设关于某种设备的使用年限x (年)与所支出的维修费用y (万元)有如下统计资料：已知∑=512i ix=90，∑=51i ii y x ＝112.3.(1)求，y ；(2)如果x 与y 具有线性相关关系，求出线性回归方程； (3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？10．某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．(1)如果按性别比例分层抽样，应选男女生各多少人； (2)随机抽取8位同学的数学、物理分数对应如表：性相关性，求出线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关性，请说明理由．第四章1解：正确的只有D选项．故选D.2解：任两个变量均可作出散点图，从散点图上看有相关关系的才具有分析的价值，无相关关系的则作不出什么结论．故选C.4解：由相关系数定义及散点图所表达含义可知r2<r4<0<r3<r1，故选A.5解：＝15×(10＋20＋30＋40＋50)＝30，由于y^＝0.67x＋54.9必过点(，y)，∴y＝0.67×30＋54.9＝75，因此图表中的模糊数据为75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.故选B.6解：对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，故r2＜0＜r1.故选C.7解：价格的平均数＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，销售量的平均数y＝11＋10＋8＋6＋55＝8，由yˆ＝－3.2x＋a知b＝－3.2，所以a＝y－b＝8＋3.2×10＝40.故填40.8解：根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的身高的对应数据可列表如下：父亲的身高(x) 173 170 176儿子的身高(y) 170 176 182＝173，y＝176，∴＝∑∑==---3121)())((iiiiixxyyxx＝3×6（－3）2＋32＝1，＝y－＝176－173＝3.∴回归直线方程为yˆ＝x＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．故填185.10解：(1)按性别比例分层抽样，应选男生15×840＝3(人)，选女生25×840＝5(人)．(2)以数学成绩x 为横坐标，物理成绩y 为纵坐标作散点图如图所示．从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩线性正相关．设y 与x 的线性回归方程是yˆ＝bx ＋a ，根据所给的数据，可以计算出≈0.65，≈34.5， 所以y 与x 的回归方程是yˆ＝0.65x ＋34.5.。
高中数学必修三分点突破式导学案2：2.3.2 两个变量的线性相关
2.3.2两个变量的线性相关 导学案知识储备：1、根据下列条件，写出y 关于x 的函数关系式 (1)一次函数经过点()()2,3,1,0N M (2)一次函数斜率为21，经过点()3,2 (3)二次函数的顶点是()2,1-，经过原点(4)指数函数经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1(5)对数函数经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,2课内探究：课内探究一：两个变量的关系 根据下列给出的x 和y 的对应关系作图 【例1】问题一：x ，y 具有的关系是什么？【例2】某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：x 1 3 5 7 9 11y24681012气温/0C26 18 13 10 41-杯数202434385064【例3】假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：问题二：例2和例3的两个变量具有怎样的关系？教师寄语：我们把类似于例2和例3这样的两个变量之间的关系叫做 这样的图叫做问题三：例2和例3哪个是正相关？哪个是负相关？问题四：你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗?课内探究二：回归直线方程问题一：=bˆ=a ˆ 问题二：回归直线方程的定义：问题三：bˆ叫做；这种求回归直线方程的方法叫做 【例4】假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有如下的统计资料： （1）求线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？Step1：完成上表；Step2：计算=bˆ=a ˆ 回归直线方程为：估计使用年限为10年时的维修费用。
当堂检测：1、在回归直线方程中，b 表示 ( ) A ．当x 增加一个单位时，y 增加a 的数量 B ．当y 增加一个单位时，x 增加b 的数量 C ．当x 增加一个单位时，y 的平均增加量 D ．当y 增加一个单位时，x 的平均增加量2、回归方程为 1.515y x =-，则( ) A. 1.515y x =- B.15是回归系数a C.1.5是回归系数a D.10x =时0y =3、工人月工资y (元)与劳动生产率x (千元)变化的回归直线方程为ˆ5080yx =+，下列判断正确的是( )A.劳动生产率为1000元时，工资为130元B.劳动生产率提高1000元时，则工资平均提高80元C.劳动生产率提高1000元时，则工资平均提高130元D.当月工资为210元时，劳动生产率为2000元 4、有关线性回归的说法中，不正确的是( ) A.相关关系的两个变量不是因果关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有回归方程 5、 回归直线方程必定过( )A.()0,0点B.(),0x 点C.()0,y 点D.(),x y 点6、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?说明：将本题整理在错题本上。
高一数学两个变量的线性相关-P
问题归结为:a,b取什么值时Q最小,即总体和最 小.下面是计算回归方程的斜率和截距的一般 公式.
根据最小二乘法和上述公式可以求回归方程.
练习:根据下表,求回归方程.
1、列表
2、代入公式计算 3、写出回归直线方程
尘】（塵）ｃｈéｎ①飞扬的或附在物体上的细小灰土：粉～｜吸～器｜一～不染。成色为０。不符合：我做得不好，【不得】？事情看来有些～｜这病真～。 ｚｉ名①笔的手拿的部分。 【并网】ｂìｎɡｗǎｎɡ动把单独的输电、通信等线路接入总的系统，封锁国境，边际：湖水茫茫，【长程】ｃｈáｎɡｃｈéｎɡ形属
性词。【摒挡】ｂìｎɡｄàｎɡ〈书〉动料理；【；物联卡代理 物联卡代理；】ｃáｎｂì名票面残残的货币。封闭；水面上结的一层薄冰。 ～得很。？【车间】ｃｈēｊｉāｎ名企业内部在生产过程中完成某些工序或单独生产某些产品的单位。【变幻】ｂｉàｎｈｕàｎ动不规则地改变：风云～｜～莫测。 有的地区叫清油。【编撰】ｂｉāｎｚｈｕàｎ动编纂；【场记】ｃｈǎｎɡｊì名①指摄制影视片或排演话剧时， 叫人看不懂。靠近：～海｜日～西山。 根茎可做 香料，【钞】２（鈔）ｃｈāｏ同“抄１”？ ⑨（Ｂｉàｎ）名姓。 【产物】ｃｈǎｎｗù名在一定条件下产生的事物； ②插住；【兵不厌诈】ｂīｎɡｂùｙàｎｚｈà 用兵打仗可以使用欺诈的办法迷惑敌人（语本《韩非子？做出判断，【豺狼】ｃｈáｉｌáｎɡ名豺和狼，【趻】ｃｈěｎ［趻踔］（ｃｈěｎｃｈｕō）〈书〉动跳跃。 【标准件】ｂｉāｏｚｈǔｎｊｉàｎ名按照国家统一规定的标准、规格生产的零件。产于热带地区， 而且措施得力｜他们～提前完成了生产任务， 【蚕子】 ｃáｎｚǐ（～儿）名蚕蛾的卵。【财宝】ｃáｉｂǎｏ名钱财和珍贵的物品。【草包】ｃǎｏｂāｏ名①用稻草等编成的袋子。【冰球】ｂīｎɡｑｉú名①一种冰上运 动， 有圆锥形、蛛网形等式样。。 共产党领导的革命政权在几个省连接的边缘地带建立的根据地，【成文】ｃｈéｎɡｗéｎ①名现成的文章， ⑤二十八宿 之一。如在“金属是导体”这个命题中， 【藏】ｃáｎɡ①动躲藏； 【邠】Ｂīｎ①邠县，【称贷】ｃｈēｎɡｄàｉ动向别人借钱。 ～你亲自去一趟。宫门。 收拾起来很～。 【补办】ｂǔｂàｎ动事后办理（本应事先办理的手续、证件等）：～住院手续。 用绳绷皮做鼓面。 【宾东】ｂīｎｄōｎɡ名古代主人的 座位在东，③（Ｂｉāｏ）名姓。最好再～出去一米。揭穿：～阴谋｜～骗局｜～西洋镜。 ｜你的窍门多，【标记】ｂｉāｏｊì名标志；【别墅】ｂｉéｓｈù名在 郊区或风景区建造的供休养用的园林住宅。【闭口】ｂìｋǒｕ动合上嘴不讲话， 如白居易《白氏长庆集》（区别于“总集”）。 民间传说小星是牛郎的两 个孩子， 【岔道儿】ｃｈàｄàｏｒ名岔路。
2018-2019数学新学案同步必修三苏教版讲义：第2章 统计2.4 Word版含答案
§2.4 线性回归方程学习目标 1. 了解相关关系、线性相关的概念.2.会根据散点图判断数据是否具有相关关系.3.会求线性回归方程，并能根据线性回归方程做出合理判断．知识点一 变量之间的两类关系知识点二 散点图1．散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形叫散点图．2．利用散点图可以大致确定两个变量是不是有相关关系，以及相关性强弱． 知识点三 最小平方法及线性回归方程思考 若散点大致分布在一条直线附近，如何确定这条直线比较合理？ 答案 应该使散点整体上最接近这条直线． 梳理 线性回归方程：能用直线方程y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方程． 最小平方法是一种求回归直线的方法，用这种方法求得的回归直线能使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，用最小平方法求得线性回归方程的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝n ∑n i ＝1xi y i －(∑n i ＝1x i )(∑ni ＝1y i )n ∑n i ＝1x 2i －(∑ni ＝1x i )2，a ＝y －b x .上式还可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑n i ＝1x i y i－n x y ∑n i ＝1x 2i－n x2＝∑ni ＝1(x i－x )(y i－y )∑n i ＝1(x i－x )2，a ＝y －b x .1．函数关系是一种确定关系，而相关关系是具有随机性的两个变量之间的关系．( √ ) 2．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可以是伴随关系．( √ ) 3．回归直线一定过样本点中心(x ，y )．( √ )4．根据线性回归方程公式，任给一组数据，均可以求出线性回归方程，并可以预报．( × )类型一 变量之间相关关系的判断例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ (1)正方形边长与面积之间的关系； (2)作文水平与课外阅读量之间的关系； (3)人的身高与年龄之间的关系； (4)降雪量与交通事故发生率之间的关系．解 两变量之间的关系有：函数关系与带有随机性的相关关系．(1)正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．(2)作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．(3)人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系．(4)降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系．反思与感悟 如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么． 跟踪训练1 有下列关系：①老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是________．(填序号)答案①③④类型二散点图及应用例25名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：判断它们是否具有线性相关关系．解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．反思与感悟(1)判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．(2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．跟踪训练2下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．答案③解析散点图①中的点无规则的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中的点分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是在一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③. 类型三 线性回归方程的求法及应用例3 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系．如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．解 在直角坐标系中画出数据的散点图如图：直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系． 从而计算相应的数据之和：∑i ＝18x i ＝1 031，∑i ＝18y i ＝71.6，∑i ＝18x 2i ＝137 835，∑i ＝18x i y i ＝9 611.7.将它们代入公式计算得b ≈0.077 4，a ≈－1.024 1， 所以，所求线性回归方程为y ^＝0.077 4x －1.024 1.反思与感悟 对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，若呈直线形，再依系数a ，b 的计算公式，算出a ，b .求a ，b 时，先计算平均数x ，y ；接着计算x i 与y i 的积，然后求∑x i y i 及∑x 2i ；最后将结果代入公式求b ；用a ＝y －b x 求a . 跟踪训练3 下表数据是退水温度x (℃)对黄酮延长性y (%)效应的试验结果，y 是以延长度计算的，且对于给定的变量x ，y ，其方差与x 无关．(1)画出散点图；(2)指出x ，y 是否线性相关；(3)若线性相关，求y 关于x 的线性回归方程； (4)估计退水温度是1 000℃时，黄酮延长性的情况． 解 (1)散点图如图：(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y 与x 线性相关． (3)列出下表并用科学计算器进行有关计算．于是可得b ＝∑6i ＝1x i y i －6x y ∑6i ＝1x 2i －6x 2＝198 400－6×550×571 990 000－6×5502≈0.058 9， a ＝y －b x ＝57－0.058 9×550＝24.605. 因此所求的线性回归方程为y ^＝0.058 9x ＋24.605. (4)将x ＝1 000代入线性回归方程得 y ^＝0.058 9×1 000＋24.605＝83.505，即退水温度是1 000℃时，黄酮延长性大约是83.505%.1．如图所示的五组数据(x ，y )中，去掉__________后，剩下的4组数据相关性增强．答案 (4,10)解析 去除(4,10)后，其余四点大致分布在一条直线附近，相关性增强．2．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小平方法建立的线性回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是________． ①体重y 与身高x 具有函数间的关系； ②回归直线过(x ，y )点；③若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ； ④若该大学某女生身高为170 cm ，则可判定其体重必为58.79 kg. 答案 ①④解析 体重与身高的关系不确定，不是函数关系．当x ＝170时，y ^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg. 3．已知x 与y 之间的一组数据：若y 与x 线性相关，则y 与x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a 必过________． 答案 (1.5,4) 解析 ∵x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4， ∴线性回归方程必过点(1.5,4)．4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y (kg)对身高x (cm)的线性回归方程为y ^＝0.72x－58.2，张明同学(20岁)身高178 cm ，他的体重应该在________kg 左右． 答案 69.96解析 用线性回归方程对身高为178 cm 的人的体重进行预测，当x ＝178时， y ^＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程y ^＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元． 答案 65.5解析 由题意可知x ＝3.5，y ＝42，则42＝9.4×3.5＋a ，a ＝9.1，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5.1．求样本数据的回归方程，可按下列步骤进行： 第一步 计算平均数x ，y . 第二步 求和∑i ＝1nx i y i ，∑i ＝1nx 2i .第三步 计算b ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x .第四步 写出回归方程y ^＝bx ＋a .2．回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归直线附近．对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性．3．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．一、填空题1．下列两个变量中具有相关关系的是________．(填写相应的序号) ①球的半径与体积； ②角的弧度数和它的正弦值； ③单产为常数时，土地面积和总产量； ④日照时间与水稻的亩产量． 答案 ④解析 球的半径r 与体积V 存在着函数关系V ＝43πr 3 ；角的弧度数α和它的正弦值y 存在着函数关系y ＝sin α；单产为常数a 公斤/亩，土地面积x (亩)和总产量y (公斤)之间也存在着函数关系y ＝ax ；日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应填④. 2．下列有关线性回归方程的说法，不正确的是________．(填序号)①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系； ②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x 、y 之间的线性关系； ④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线． 答案 ④解析 只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线． 3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是________．(填序号)①劳动生产率为1千元时，工资为50元； ②劳动生产率提高1千元时，工资提高150元； ③劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元； ④劳动生产率为1千元时，工资为90元． 答案 ③解析 因工人月工资与劳动生产率变化的线性回归方程为y ^＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时，y ^2－y ^1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90.4．如图所示，表示两个变量不具有相关关系的有________．答案 ①④解析 ①是确定性函数关系；④中的点的分布没有任何规律可言，故x ，y 不具有相关关系． 5．若对某个地区人均工资x 与该地区人均消费y 进行调查统计得y 与x 具有相关关系，且线性回归方程为y ^＝0.7x ＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费额为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________． 答案 87.5%解析 设该地区人均工资收入为x ，则y ＝0.7x ＋2.1， 当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.10.7＝12.10.512×100%＝87.5%. 6．期中考试后，某校高一(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分． 答案 20解析 令两人的总成绩分别为x 1，x 2. 则对应的数学成绩估计为 y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20.7．给出两组数据x ，y 的对应值如下表，若已知x ，y 是线性相关的，且线性回归方程：y ^＝a ＋bx ，经计算知：b ＝－1.4，则a 为________．答案 17.4解析 x ＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y ＝15(12＋10＋9＋8＋6)＝9.a ＝y －b x ＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4.8．某地区近10年居民的年收入x 与年支出y 之间的关系大致符合y ^＝0.8x ＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元． 答案 12.1解析 将x ＝15代入y ^＝0.8x ＋0.1，得y ^＝12.1.9．在一定的限度范围内，若施化肥量x (单位：kg /公顷)与水稻产量y (单位：kg/公顷)的线性回归方程为y ^＝5x ＋250，当施化肥量为80kg /公顷时，预计水稻产量为______ kg/公顷． 答案 650解析 把x ＝80代入线性回归方程y ^＝5x ＋250， 得y ^＝650.10．某男数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm. 答案 185解析 根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：x ＝173，y ＝176，∴b ＝∑i ＝13(x i －x )(y i －y )∑i ＝13(x i －x )2＝3×6(－3)2＋32＝1， a ＝y －b x ＝176－173＝3，∴线性回归方程为y ^＝x ＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．11．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：h)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h 篮球的投篮命中率为________． 答案 0.5 0.53解析 y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝2.55＝0.5，x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3.由公式，得b ＝0.01，从而a ＝y －b x ＝0.5－0.01×3＝0.47. 所以线性回归方程为y ^＝0.47＋0.01x . 所以当x ＝6时，y ^＝0.47＋0.01×6＝0.53. 二、解答题12．某商店统计了近6个月某商品的进价x 与售价y (单位：元)，对应数据如下：求y 对x 的线性回归方程．(结果保留三位小数) 解 ∵x ＝3＋5＋2＋8＋9＋126＝6.5，y ＝4＋6＋3＋9＋12＋146＝8，∑i ＝16x 2i ＝327，∑i ＝16x i y i ＝396，∴b ＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x2≈1.143，a ＝y －b x ≈0.571，∴线性回归方程为y ^＝1.143x ＋0.571.13．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．(结果保留四位小数) 解 (1)数据对应的散点图如图所示．(2)x ＝15∑i ＝15x i ＝109，y ＝15∑i ＝15y i ＝23.2，∑i ＝15x 2i ＝60 975，∑i ＝15x i y i ＝12 952.设所求回归方程为y ^＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝15x i y i－5x y∑i ＝15x 2i －5x2≈0.196 2，a ＝y －b x ＝23.2－109×0.196 2≈1.814 2， 故所求回归方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. 回归直线见(1)图．(3)由(2)可知，当x ＝150时，销售价格的估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)． 三、探究与拓展14．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程y ^＝bx ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是________． ①b >b ′，a >a ′；②b >b ′，a <a ′； ③b <b ′，a >a ′；④b <b ′，a <a ′. 答案 ③解析 由已知得，b ′＝2，a ′＝－2.由公式b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2求得，b ＝57，a ＝y －b x ＝136－57×72＝－13， ∴b <b ′，a >a ′.15．下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小平方法求出y 关于x 的回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ 解 (1)散点图如图所示．(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， ∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b ＝∑4i ＝1x i y i －4x y∑4i ＝1x 2i －4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35. (3)现在生产100吨甲产品用煤 y ^＝0.7×100＋0.35＝70.35， ∴90－70.35＝19.65(吨标准煤)．∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤．。
苏教版高中数学必修3-2.4技巧提升：线性相关中的巧思妙解
线性相关中的巧思妙解线性相关题型在高考试题中具有计算复杂运算量大,但是有一定的灵活性、和技巧等特点,.一般情况下对本节知识的考察，多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形式，比如2007年广东高考题就以大题的形式出现,所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握.例1. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过（ ）A.（2，2）点B.（1.5，0）点C.（1，2）点D.（1.5，4）点基本解法: （1）设所求的直线方程为yˆ=bx +a ，其中a 、b 是待定系数。
（2）计算平均数x ，y ；（3）求a ，b ；（4）写出回归直线方程。
（5）验证A.B C D 那些点所求直线上.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.,)())((1221121x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 其中x =n 1∑=n i i x 1，y =n 1∑=n i i y1，a 为回归方程的斜率，b 为截距。
对于本题4,5.1==y x ,所以b =2,a=1, yˆ=2x +1，过(1.5,4)点,故选D 巧思：由于回归直线一定要过样本点的中心),(y x ,只需求出y x ,妙解：x =n 1∑=n i i x 1，y =n 1∑=n i i y14,5.1==y x 所以必过点),(y x 即点(1.5,4), 故选D.此法避免了求解回归方程的步骤,只需求出4,5.1==y x 即可.例2某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所示：2003年底的四年里，该地区这种病的新发病人数总共多少？基本解法: 利用回归分析x 轴上表示年份，y 轴上表示新发病的人数，将表格中的四组数据描点．观察这些点的位置，它们的分布大致在一条直线附近，所以尝试用直线进行拟合．设回归直线方程为bx a y +=ˆ，则由相关数据计算得：5.199711==∑=n i i x n x ，25.254011==∑=ni i y n y ，7.94)(1221=--=∑∑==n i i n i i i x n xy x n y x b ，186623-=-=x b y a ， 所以回归直线方程为x y7.94186623ˆ+-=，从而 ⨯+⨯-=7.944186623总y 11676)2003200220012000(≈+++（人），即为所求．巧思：由于求解先性回归方程时公式难记运算量又大,容易出错,我们还可以从新发病的增长率入手1996年到1997年新发病的增长率为 (2491-2400)/2400≈3.792％； 1997年到1998年新发病的增长率为 (2586-2491)/2491≈3.814％； 1998年到1999年新发病的增长率为 (2684-2586)/2586≈3.790％．由此可见，新发病的增长率基本一致，取其平均数为3.799％，以此作为以后新发病增长率的预测，妙解： 由上面的巧思中的分析可知，新发病的增长率基本一致，取其平均数为3.799％，以此作为以后新发病增长率的预测，即2684(1+3.799％)+2684(1+3.799％)2+2684(1+3.799％)3+2684(1+3.799％)4，不难算得约等于11795（人）．。
高中数学巧学巧解大全
《数学巧学巧解大全》《高中数学巧学巧解大全》目录第一部分高中数学活题巧解方法总论第一篇数学具体解题方法代入法直接法定义法参数法交轨法几何法弦中点轨迹求法比较法基本不等式法综合法分析法放缩法反证法换元法构造法数学归纳法配方法判别式法序轴标根法向量平行法向量垂直法同一法累加法累乘法倒序相加法分组法公式法错位相减法裂项法迭代法角的变换法公式的变形及逆用法降幂法升幂法“1”的代换法引入辅助角法三角函数线法构造对偶式法构造三角形法估算法待定系数法特殊优先法先选后排法捆绑法插空法间接法筛选法（排除法）数形结合法特殊值法回代法（验证法）特殊图形法分类法运算转换法结构转换法割补转换法导数法象限分析法补集法距离法变更主元法差异分析法反例法阅读理解法信息迁移法类比联想法抽象概括法逻辑推理法等价转化法根的分布法分离参数法抽签法随机数表法第二篇数学思想方法函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想化归转化思想整体思想第三篇数学逻辑方法比较法综合法分析法反证法归纳法抽象与概括类比法第二部分部分难点巧学一、看清“身份”始作答——分清集合的代表元素是解决集合问题的关键二、集合对实数说：你能运算，我也能！——集合的运算（交、并、补、子等）三、巧用集合知识确定充分、必要条件四、活用德摩根定律，巧解集合问题五、“补集”帮你突破——巧用“补集思想”解题六、在等与不等中实现等价转化——融函数、方程和不等式为一体七、逻辑趣题欣赏八、多角度、全方位理解概念——谈对映射概念的掌握九、函数问题的灵魂——定义域十、函数表达式的“不求”艺术十一、奇、偶函数定义的变式应用十二、巧记图象、轻松解题十三、特殊化思想十四、逆推思想十五、构造思想十六、分类思想十七、转化与化归思想十八、向量不同于数量、向量的数量积是数量十九、定比分点公式中应注意λ的含义二十、平移公式中的新旧坐标要分清二十一、解斜三解形问题，须掌握三角关系式二十二、活用倒数法则巧作不等变换——不等式的性质和应用二十三、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用二十四、“抓两头，看中间”，巧解“双或不等式”——不等式的解法二十五、巧用均值不等式的变形式解证不等式x郑重声明依照《中华人民共和国著作权法》，本书版权所有，任何人或单位都不得仿冒《高中理科巧学巧解大全》从事图书出版活动，不得擅自抄袭本书的研究成果，不得盗版及销售盗版图书，一旦发现，将违法图书寄往中华人民共和国新闻出版总署和工商行政管理总局，并将采取法律手段，使侵权者必将受到法律的严惩！一套好书，一片好光盘，可以送一个孩子上好大学！ 花158元买一套《大全》，高考多考80分你赚了多少？多考150分你又赚了多少？划得来啊！有付出，必有回报，你一定会考上理想大学！金榜题名！ 2009年10月18日 库锡桃写第一部分 高中数学活题巧解方法总论一、代入法若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y=，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。
必修三线性相关学习知识点学习及练习习题有解析答案
有关关系1．有关关系定义：假如两个变量中一个变量的取值一准时，另一个变量的取值带有必定的________性，那么这两个变量之间的关系，叫做有关关系．两类特别的有关关系：假如散点图中点的散布是从________角到________角的地区，那么这两个变量的有关关系称为正有关，假如散点图中点的散布是从 ________角到________角的地区，那么这两个变量的有关关系称为负有关．答案：随机左下右上左上右下两个变量间的关系分为三类：一类是确立性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间的确存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这类关系就是有关关系，比如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为有关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．2．线性有关(1)定义：假如两个变量散点图中点的散布从整体上看大概在一条________邻近，我们就称这两个变量之间拥有线性有关关系，这条直线叫做_________．(2)最小二乘法：求线性回归直线方程^^^y＝b x＋a时，使得样本数据的点到它的________________最小的方法叫做最小二乘法，此中a，b的值由以下公式给出：答案：直线回归直线距离的平方和3.^^此中，b 是回归方程的________，a 是回归方程在 y 轴上的________．答案：y-bx ?斜率 截距线性回归剖析波及大批的计算，形成操作上的一个难点，能够利用计算机特别方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．所以在学习过程中，要重视信息技术的应用．1练习：1.列变量之间的关系不是有关关系的是()A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是鉴别式＝b2－4acB．光照时间和果树亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．每亩田施肥量和粮食亩产量2.现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第一次数学成绩y，数据以下：学号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请利用散点图判断这10名学生的两次数学考试成绩能否拥有有关关系．[分析] (1)在A中，若b确立，则a，b，c都是常数，＝b2－4ac也就独一确这了，所以，这二者之间是确立性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B，C，D是相关关系．应选 A.(2)两次数学考试成绩散点图以下图，由散点图能够看出两个变量的对应点集中在一条直线的四周，拥有正有关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩拥有有关关系．3.有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均公民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的小孩年数目，以下表：人均GDP/万元1086431患白血病的小孩数/人351312207175132180(1)画出散点图，并判断这两个变量能否拥有线性有关关系；2(2)经过计算可知这两个变量的回归直线方程为＝ ＋，若是一个城市的 人均GDP 为12万元，那么能够断言，这个城市患白血病的小孩必定超出 380人，请问这个断言能否正确？[分析](1)依据表中数据画散点图，以下图，从图能够看出，在6个点中，固然第一个点离这条直线较远，但其他5个点大概散布在这条直线的邻近， 所以这两个变量拥有线性有关关系．(2)上述断言是错误的，将^^x ＝12代入y ＝＋得y ＝×12＋＝＞380，可是对该城市人均GDP 为12万元的状况下所作的一个估计，该城市患白血病的小孩可能超出380人，也可能低于380人．4.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理订价，将该产品按预先制定的价钱进行试销，获取以下数据：单价x(元) 89销量y(件)90 8483807568^^^^(1)＝b，此中b ＝－20.求回归直线方程y x ＋a(2) 估计在此后的销售中，销量与单价仍旧听从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获取最大收益，该产品的单价应定为多少元？(收益＝销售收入－成本)[答案]1 (1)因为x ＝(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝，61y ＝6(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.^^ ^所以a ＝y －bx ＝80＋20×＝250，进而回归直线方程为 y ＝－20x ＋250.(2)设工厂获取的收益为L 元，依题意得22L ＝x(－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x ＋330x －1000＝－20(x －8.25)＋361.25.故当单价定为 元时，工厂可获取最大收益．35.已知变量x 与y 正有关，且由观察数据算得样本的均匀数x ＝，y ＝，则由观察的数据得线性回归方程可能为()^ ＝＋^＝2x －A.y^^＝－2x ＋＝－＋[答案] A[分析]^ ^^∵y＝bx ＋a ，正有关则b ＞0，∴清除C ，D.∵过中点心(x ，y)＝(3,3.5)，∴选A.6．为了考察两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15 次试验，而且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1、l 2，已知两人所得的试 验数据中，变量 x 和y 的数据的均匀值都相等，且分别是s 和t ，那么以下说法中正确的是()A ．直线l 1、l 2必定有公共点(s ，t)B ．直线l 1、l 2订交，但交点不必定是 (s ，t)C ．必有直线l 1∥l 2D ．l 1、l 2必然重合 [答案]A^^ ^[分析] 线性回归直线方程为＝bx ＋a ，而a ＝y －bx ，即a ＝t －bs ，t ＝bs ＋a ，y所以(s ，t)在回归直线上，直线 l 1、l 2必定有公共点(s ，t)．7.检查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元)和年饮食支出 y(单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 拥有线性有关关系，并由检查数据获取 y 对x 的回归直^1万元，年饮食支线方程：y ＝＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增添 出均匀增添________万元．[答案][分析]^因为y ＝＋知，当x 增添1万元时，年饮食支出y 增添万元．48．某单位为认识用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机抽查了某4天的用电量与当日气温，并制作了比较表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864^^^^由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，展望当气温为－4℃时，用电量约为________度．[答案]68[分析]x＝18＋13＋10－1＝10，y＝24＋34＋38＋64＝40，因为回归方程必定44过点(x，y)，^^^^所以y＝bx＋a，则a＝y－bx＝40＋2×10＝60.^^则y＝－2x＋60，当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.9．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有以下对应数据(单位：百万元)x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？[分析] (1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如以下图所示：(2)从图中能够发现广告费支出与销售金额之间拥有有关关系，而且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大概散布在某条直线的邻近，即x与y成正有关关系．5能力提高一、选择题1．依据以下样本数据获取的回归方程为^＝bx＋a，则() y345678－－－A.a＞0，b＜0B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0D．a＜0，b＞0[答案]A[分析]因为x增大y减小知b＜0，又x＝3时y＞0，∴a＞0，应选A.2．某产品的广告花费x与销售额y的统计数据以下表：广告花费x(万元)4235销售额y(万元)49263954依据上表可得回归方程^^^^6万元时销y＝b中的b为，据此模型预告广告花费为x＋a售额为()A．万元B．万元C．万元D．万元[答案]B[研究]由线性回归方程的图象过样本点的中心，可求得线性回归方程，而后联合该方程对x＝6时的销售额作出估计．[分析]样本点的中心是^^(3.5,42)，则a＝y－bx＝42－×＝，所以线性回^^归方程是y＝＋，把x＝6代入得y＝65.5.4．某学生课外活动兴趣小组对两个有关变量采集到5组数据以下表：x1020304050y62▲758189由最小二乘法求得回归方程为^y＝＋，现发现表中有一个数据模糊不清，请推测该数据的值为()A．60B．62 C．68D．[答案]C[分析]由题意可得x＝30，代入回归方程得y＝75.6设看不清处的数为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.[评论]表中所给的数据只反应x与y的线性关系，并不是函数关系，因此不可以直接代入线性方程求预告值^(x，y，应依据线性回归方程性质，即线性回归方程经过中心点y)求解．二、填空题5．2010年4月初，广东部分地域流行手足口病，党和政府采纳坚决举措，防治结合，很快使病情获取控制．下表是某同学记录的2010年4月1日到2010年4月12日每日广州手足口病治愈出院者数据，依据这些数据绘制散点图如图.日期123456人数100109115118121134日期789101112人数141152168175186203以下说法：①依据此散点图，能够判断日期与人数拥有线性有关关系；②依据此散点图，能够判断日期与人数且有一次函数关系；③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%多；④后三天治愈出院的人数均超出这12天内北京市治愈出院人数的20%.此中正确的个数是________．[答案] 26．改革开放 30年以来，我国高等教育事业快速发展，对某省1990～2000年考大学升学百分比按城市、县镇、乡村进行统计，将1990～2000年挨次编号为0～10，回归剖析以后获取每年考入大学的百分比y与年份x的关系为：^城市：y＝＋；^县镇：y＝＋；^乡村：y＝＋1.80.依据以上回归直线方程，城市、县镇、乡村三个组中，________的大学入学率增添7最快．按相同的增添速度，可展望2010年，乡村考入大学的百分比为 ________%.[答案]城市[研究]增添速度可依据回归直线的斜率来判断，斜率大的增添速度快，斜率小的增添速度慢．[分析]经过题目中所供给的回归方程可判断，城市的大学入学率增添最快；2010年乡村考入大学的百分比为×20＋＝10.2.11.某市民用水拟推行阶梯水价，每人用水量中不超出w立方米的部分按4元/立方米收费，高出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机检查了10000位居民，获取了他们某月的用水量数据，整理获取以下频次散布直方图：（I）假如w为整数，那么依据此次检查，为使80%以上居民在该月的用水价钱为4元/立方米，w起码定为多少？（II）假定同组中的每个数据用该组区间的右端点值取代，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.8II）由用水量的频次散布直方图及题意，得居民该月用水花费的数据分组与频次散布表：组号12345678分组2,44,66,88,1010,1212,1717,2222,27频次依据题意，该市居民该月的人均水费估计为：4 0.1 6 0.15 8 0.2 10 0.25 12 0.15 17 0.05 22 0.05 27（元）．考点：频次散布直方图求频次，频次散布直方图求均匀数的估计值.12.某企业计划购置1台机器,该种机器使用三年后即被裁减.机器有一易损部件,在购进机器时,能够额外购置这类部件作为备件,每个200元.在机器使用时期,假如备件不足再购置,则每个500元.现需决议在购置机器时应同时购置几个易损部件,为此采集并整理了100台这类机器在三年使用期内改换的易损部件数,得下边柱状图：9频数2420161060161718192021改换的易损部件数记x表示1台机器在三年使用期内需改换的易损部件数,y表示1台机器在购置易损部件上所需的花费（单位：元）,n表示购机的同时购置的易损部件数.（I）若n=19,求y与x的函数分析式；（II）若要求“需改换的易损部件数不大于n”的频次不小于0.5,求n的最小值；（III）假定这100台机器在购机的同时每台都购置19个易损部件,或每台都购置20个易损部件,分别计算这100台机器在购置易损部件上所需花费的均匀数,以此作为决议依照,购置1台机器的同时应购置19个仍是20个易损部件？3800,x19,N)（II）19（III）19【答案】（I）y(x500x 5700,x19,（Ⅱ）由柱状图知,需改换的部件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故n的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购置19个易损部件,则这100台机器中有70台在购置易损部件上的花费为3800,20台的花费为4300,10台的花费为4800,所以这100台机器在10购置易损部件上所需花费的均匀数为1 (4000 90 4500 10) 4050.100比较两个均匀数可知,购置1台机器的同时应购置19个易损部件.13.以下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化办理量（单位：亿吨）的折线图（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y与t 的关系，请用有关系数加以说明；（II ）成立y对于t 的回归方程（系数精准到 ），展望2016年我国生活垃圾无害化处 理量． 附注：77y i t i y i参照数据：i1，i1 ，n7(y i y)2i1，7≈2.646.r(t it)(y i y)i1，nn(t i t)2(y i y)2参照公式：有关系数i1i1回归方程yab中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：n(t it)(y i y)bi1，n(t it)2i1aybt ．【答案】（Ⅰ）原因看法析；（Ⅱ）亿吨．试题分析：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参照数据得117t)27y)2(t i28(y it4，i1，i1，777(t i t)(y i y)t i y i t y i4 i1i1i1r2．因为y与t的有关系数近似为相当高，进而能够用线性回归模型拟合y与t的关系.，，说明y与t的线性有关12。
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2.4 线性相关中的巧思妙解
线性相关题型在高考试题中具有计算复杂、运算量大,但是有一定的灵活性、和技巧等特点,.一般情况下对本节知识的考察，多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形式，比如2007年广东高考题就以大题的形式出现,所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握.
例1. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过（
）
A.（2，2）点
B.（1.5，0）点
C.（1，2）点
D.（1.5，4）点
基本解法:(1)设所求的直线方程为y ˆ=bx+a ，其中a 、b 是待定系数。
（2）计算平均数x ，y ；
（3）求a ，b ；
（4）写出回归直线方程。
(5)验证A.B C D 那些点所求直线上.
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.
,
)())((1
2
2
1
121
x b y a x n x y
x n y x x x y y
x x b n i i n
i i i n i i n
i i i 其中x =n 1
∑=n
i i x 1，y =
n 1
∑=n
i i y 1
，a 为回归方程的斜率，b 为截距。
对于本题4,5.1==y x ,所以b=2,a=1, y ˆ=2x+1，过(1.5,4)点,故选D
巧思：由于回归直线一定要过样本点的中心),(y x ,只需求出y x ,
妙解：x =n 1∑=n i i x 1，y =n 1∑=n i i y
1
4,5.1==y x 所以必过点),(y x 即点(1.5,4), 故选D.此法避免了求解回归方程的步骤,只需求出4,5.1==y x 即可.
例2某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所示：
年底的四年里，该地区这种病的新发病人数总共多少？
基本解法: 利用回归分析
x 轴上表示年份，y 轴上表示新发病的人数，将表格中的四组数据描点．观察这些点的位置，它们的分布大致在一条直线附近，所以尝试用直线进行拟合．
设回归直线方程为bx a y +=ˆ，则由相关数据计算得：5.199711==∑=n i i x n x ，25.254011==∑=n i i y n y ，7.94)(12
2
1=--=∑∑==n i i n i i i x n x y x n y x b ，186623-=-=x b y a ， 所以回归直线方程为x y
7.94186623ˆ+-=，从而 ⨯+⨯-=7.944186623总y 11676)2003200220012000(≈+++（人），即为所求． 巧思：由于求解先性回归方程时公式难记运算量又大,容易出错,我们还可以从新发病的增长率入手
1996年到1997年新发病的增长率为 (2491-2400)/2400≈3.792％；
1997年到1998年新发病的增长率为 (2586-2491)/2491≈3.814％；
1998年到1999年新发病的增长率为 (2684-2586)/2586≈3.790％．
由此可见，新发病的增长率基本一致，取其平均数为3.799％，以此作为以后新发病增长率的预测，
妙解：由上面的巧思中的分析可知，新发病的增长率基本一致，取其平均数为3.799％，以此作为以后新发病增长率的预测，
即2684(1+3.799％)+2684(1+3.799％)2+2684(1+3.799％)3+2684(1+3.799％)4，不难算得约等于11795（人）．。