【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件：第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性
【走向高考】(春季发行)高三数学第一轮总复习 2-3函数的奇偶性与周期性课件 新人教A版
(2012· 广东文，4)下列函数为偶函数的是( A．y＝sinx B．y＝x3 C．y＝ex D．y＝ln x2＋1
)
解析：本题考查偶函数概念及对基本初等函数的理解． y＝sinx是奇函数，y＝x3是奇函数，y＝ex为非奇非偶函 数．对于D项，由f(x)＝ln x2＋1 得f(－x)＝ln －x2＋1 ＝
考点典例讲练Βιβλιοθήκη 判断函数的奇偶性[例1]
(2011· 北京西城一模)下列给出的函数中，既不是 ) B．y＝x2－x D．y＝x3
奇函数也不是偶函数的是( A．y＝2|x| C．y＝2x
分析：给出函数的解析式判断奇偶性，先看定义域是否 关于原点对称，再验证f(－x)＝± f(x)是否成立．
解析：四个函数的定义域都是R，y＝2|x|是偶函数，y＝ 2x是奇函数，y＝x3是奇函数，y＝x2－x既不是奇函数也不是 偶函数．
(2)图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断． (3)复合函数奇偶性的判断 若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若 干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．
2．函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式． 抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充 分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． (2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性求参数， 常常采用待定系数法，由f(x)± f(－x)＝0产生关于x的恒等式， 利用对应项系数相等或赋值法求得字母的值．
走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
函 数
第二章
第三节 函数的奇偶性与周期性
基础梳理导学
3
考点典例讲练
2016届高考数学(理)一轮热点训练2-3函数的奇偶性与周期性
第三节 函数的奇偶性与周期性1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )A ．y ＝2|x|B ．y ＝lg(|x|＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝ln 1x －1解析：因为y ＝ln 1x －1的定义域为{x|x ＞1}，不关于原点对称，所以y ＝ln 1x －1是非奇非偶函数．故选D.答案：D2．设函数f(x )(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x ＋2)＝f(x)，则函数y ＝f(x)的图象可能是( )解析：由f(－x)＝f(x)得y ＝f(x)是偶函数，所以函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由f(x ＋2)＝f(x)得y ＝f(x)是周期为2的周期函数，选项D 的图象的最小正周期是4，不符合，选项B 的图象的最小正周期是2.故选B.答案：B3．已知函数y ＝f(x)＋x 3为偶函数，且f(10)＝10，若函数g(x)＝f(x)＋4，则g(－10)＝( )A ．2 012B ．2 013C ．2 014D ．2 015解析：因为y ＝f(x)＋x 3是偶函数，所以f(－x)＋(－x)3＝f(x)＋x 3，即f(－x)＝f(x)＋2x 3，所以g(－10)＝f(－10)＋4＝f(10)＋2·103＋4＝2 014.故选C.答案：C4．已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a 的值为( ) A ．－35 B.35 C ．－34 D.34解析：由题意得函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)单调递减．因为f(1－a)＝f(1＋a)且1－a≠1＋a ，所以1－a ，1＋a 应分别在分段函数的两段上，则当a ＜0时，因为1－a ＞1＋a ，所以f(1－a)＝f(1＋a)⇒2(1＋a)＋a ＝－(1－a)－2a ⇒a ＝－34；当a ＞0时，1－a ＜1＜1＋a ，所以f(1－a)＝f(1＋a)⇒2(1－a)＋a ＝－(1＋a)－2a ⇒a ＝－32(不符合题意，舍去)，综上所述，a ＝－34，故选C. 答案：C5. 函数f(x)＝|x 3＋1|＋|x 3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是( )A ．(－a ，－f(a))B ．(a ，f(－a))C ．(a ，－f(a))D ．(－a ，－f(－a))解析：函数的定义域为R ，且满足f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数．∴f(a)＝f(－a)．而点(a ，f(a))在函数图象上，∴(a ，f(－a))也在函数图象上．故选B.答案：B6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f(－a)＋f (a)≤2f(1)，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0) B ．[0，1] C ．[－1，1] D ．[－2，2]解析：依题意得f(1)＝3，当a ＝0时，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)成立；当a≠0时，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，2（a 2＋2a ）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，2（a 2－2a ）≤6，由此解得0＜a≤1或－1≤a＜0.综上所述，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)的解集是[－1，1]，故选C.答案：C7．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________． 解析：由已知等式得f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(6)＝f(2)，由f(x ＋2)＝－f(x)得f(2)＝－f(0)，因为f(x)是R 上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(6)＝0.答案：08．已知函数f(x)是R 上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x ＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为________．解析：函数的周期为2，∴f(－2 013)＋f(2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(0)＝log 2(1＋1)＋log 2(0＋1)＝1.答案：19．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋2），x ＜2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＞2， 则f(－3)的值为________．解析：f(－3)＝f(－1)＝f(1)＝f(3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18. 答案：1810．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数 a 的取值范围．解析：(1)易知f(1)＝1，f(－1)＝1－m ，又∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴1－m ＝－1.∴m ＝2.故实数m 的值为2.(2)要使f(x)在[－1，a －2]上单调递增，结合f(x)的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1. ∴1＜a≤3.故实数a 的取值范围是(1，3]．11．(2013·四川泸州模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x 轴所围图形的面积．解析：(1)由f(x ＋2)＝－f(x)，得f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，从而得f(π)＝f[－1×4＋π]＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.所以f(π)的值为π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x ＋2)＝－f(x)，得f[(x －1)＋2]＝－f(x －1)＝f[－(x －1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x≤1时，f(x)＝x ，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. 故所求图形的面积为4.。
2016届高考数学大一轮总复习(,理科) 第二章 函数与基本初等函数I 2.3
§2.3函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x,都有f（－x)＝f(x），那么函数f(x）是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x）的定义域内任意一个x，都有f（－x)＝－f(x）,那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.（1）周期函数:对于函数y＝f(x）,如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x),那么就称函数y＝f(x）为周期函数,称T为这个函数的周期．(2）最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x）的最小正周期．【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）（1)函数f(x）＝0，x∈（0，＋∞）既是奇函数又是偶函数．（×)（2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数,则函数y＝f(x）关于直线x＝a对称．（√)（3)若函数y＝f（x＋b)是奇函数，则函数y＝f（x)关于点(b，0)中心对称．（√)(4）若函数f（x)＝错误!为奇函数,则a＝2.（√)(5）函数f(x）在定义域上满足f（x＋a）＝－f（x）(a〉0），则f(x）是周期为2a的周期函数．( √)(6)函数f(x）为R上的奇函数，且f（x＋2)＝f（x)，则f(2 016)＝0。
( √）1．(2013·山东）已知函数f（x)为奇函数，且当x〉0时，f(x)＝x2＋1x,则f(－1)等于( )A．－2 B．0 C．1 D．2答案A解析f（－1）＝－f（1)＝－(1＋1）＝－2。
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在［a－1,2a］上的偶函数，那么a＋b的值是( ）A．－13B.13C。
错误!D．－错误!答案B解析依题意b＝0,且2a＝－(a－1），∴a＝13，则a＋b＝错误!。
3．（2014·四川)设f（x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1）时，f(x）＝错误!则f(错误!)＝________.答案1解析函数的周期是2，所以f（错误!）＝f(错误!－2)＝f（－错误!)，根据题意得f(－错误!)＝－4×（－错误!)2＋2＝1.4．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞）时，f （x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．答案（－1,0）∪（1，＋∞）解析画草图，由f(x)为奇函数知:f（x）>0的x的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞）．题型一判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性：(1）f(x）＝x3－x；（2）f(x）＝（x＋1）错误!;(3）f（x)＝错误!解（1)定义域为R,关于原点对称，又f（－x）＝(－x）3－（－x）＝－x3＋x＝－（x3－x)＝－f（x）,所以函数为奇函数．（2）由错误!≥0可得函数的定义域为(－1,1］．∵函数定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数．（3)当x〉0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，∴f（－x)＝（－x)2－x＝x2－x＝－（－x2＋x）＝－f（x)；当x〈0时，－x>0,f（x）＝x2＋x,∴f(－x）＝－(－x）2－x＝－x2－x＝－(x2＋x）＝－f（x）．所以对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞）,均有f（－x）＝－f（x）．∴函数为奇函数．思维升华（1）利用定义判断函数奇偶性的步骤:(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f（x）＋f（－x)＝0(奇函数）或f（x）－f(－x）＝0（偶函数)）是否成立．(1）若函数f(x）＝3x＋3－x与g(x）＝3x－3－x的定义域均为R,则( )A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f（x)为偶函数，g（x）为奇函数C．f（x）与g(x)均为奇函数D．f（x)为奇函数，g（x）为偶函数(2）已知f（x）是定义在R上的奇函数,且当x〉0时,f(x)＝2x－3，则f（－2)等于( )A．1 B．－1C.错误!D．－错误!答案(1）B （2）B解析（1）由f（－x)＝3－x＋3x＝f(x）可知f(x）为偶函数，由g（－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x）＝－g(x)可知g(x)为奇函数．（2)∵f(2)＝22－3＝1.又f（x)为奇函数，∴f（－2）＝－f(2)＝－1。
【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)课件：第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性
∴(2－x－k· 2x)(2x＋k· 2－x)＝(2－x＋k· 2x)· (k· 2－x－2x)， ∴1－k· 22x＋k· 2
－2x
－k2＝k· 2
－2x
＋k2－1－k· 22x，
∴k2－1＝0，∴k＝± 1.
第二章 函 数
走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学
[方法总结]
已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的
函数，但在R上为增函数，∴选D.
第二章
函
数
走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学
典例探究学案
第二章
函
数
走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学
判断函数的奇偶性 ( 文 ) 下列给出的函数中，既不是奇函数也不是
偶函数的是( ) A．y＝2|x| B．y＝x2－x C．y＝2x D．y＝x3 [答案] B [分析] 给出函数的解析式判断奇偶性，先看定义域是否 关于原点对称，再验证f(－x)＝±f(x)是否成立． [解析] 四个函数的定义域都是R，y＝2|x|是偶函数，y＝2x 是奇函数，y＝x3是奇函数，y＝x2－x既不是奇函数也不是偶函 数．
f(x)|g(x)|是奇函数，|f(x)g(x)|是偶函数，选B.
第二章
函
数
走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学
3．(文)(2013·山东潍坊)设f(x)是定义在R上的周期为3的周 期函数，如图是该函数在区间 ( － 2,1] 上的图象，则 f(2012) ＋
f(2013)等于(
A．3 B．2
值常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数 的恒等式，利用恒等式的性质对应项系数相等或赋值法列方程
2016届高考理科数学一轮复习课时作业第2章第3节函数的奇偶性与周期性(新课标)
课时作业(六) 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．(2015·日照第一中学月考)已知函数f (x )的定义域为(3－2a ，a ＋1)，且f (x ＋1)为偶函数，则实数a 的值可以是( )A.23 B ．2 C ．4 D ．6答案：B解析：因为函数f (x ＋1)为偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数f (x )关于x ＝1对称，所以区间(3－2a ，a ＋1)关于x ＝1对称，所以3－2a ＋a ＋12＝1，即a ＝2，故应选B.2．(2014·山东)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)答案：D解析：由题意可知，准偶函数的图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y 轴的对称轴．选项A ，C 中函数的图象不存在对称轴，选项B 中函数的图象的对称轴为y 轴，只有选项D 中函数的图象存在不是y 轴的对称轴．故应选D.3．已知f (x )(x ∈R )为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( ) A.12 B ．1 C ．32 D ．2答案：C解析：令x ＝－1，则f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)， 即f (1)＝－f (1)＋f (2)， ∴f (1)＝12.∴f (3)＝f (1)＋f (2)＝12＋1＝32.故应选C.4．(2015·盘锦模拟)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 0132＝( )A ．－12B ．－14C ．14D ．12答案：A解析：根据题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 0132＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 0132＋1 006＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.故应选A.5．(2015·北京模拟)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3答案：D解析：∵f (x )是R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b ， ∴f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，即b ＝－1， ∴当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x －1，∴f (－1)＝－f (1)＝－(2＋2×1－1)＝－3. 故应选D.6．(2014·黑龙江、牡丹江4月)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 答案：B解析：由题设知，当x ＜1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又13＜12＜23＜1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，故应选B. 二、填空题7．(2015·青岛质检)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x ，则f (2 013)＋f (2 014)＝________.答案：－1解析：由于函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )的周期为4，且f (1)＝－f (－1)＝－1，f (2)＝f (0)＝0，所以f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)＝－1＋0＝－1.8．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案：－10解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.9．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则F (x )在(－∞，0)上的最小值为________．答案：－4解析：由题意知，当x >0时，F (x )≤8.∵f (x )，g (x )都是奇函数，且当x <0时，－x >0， ∴F (－x )＝af (－x )＋bg (－x )＋2 ＝－af (x )－bg (x )＋2＝－[af (x )＋bg (x )＋2]＋4≤8. ∴af (x )＋bg (x )＋2≥－4.∴F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(－∞，0)上有最小值－4.10．(2015·江苏南通一模)设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.答案： 2解析：依题意，函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0) ＝212－1＋21－1＋20－1 ＝ 2. 三、解答题11．已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R )有最小值． (1)求实数a 的取值范围；(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x －4，x ≥2，a －x ＋4，x <2，要使函数f (x )有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a －2≤0，∴－2≤a ≤2，即当a ∈[－2,2]时，f (x )有最小值． (2)∵g (x )为定义在R 上的奇函数， ∴g (0)＝0，设x >0，则－x <0， ∴g (x )＝－g (－x )＝(a －2)x －4，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －4，x >0，0，x ＝0，a －x ＋4，x <0.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知－1<a －2≤1，所以1<a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1,3]．13．(2015·枣庄模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，由f (－x )＝f (x )，可知函数是偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)．∵f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2－1，∴f (a )≠f (－a )， 又a ≠0，∴f (a )≠－f (a )，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述，a ＝0时，f (x )为偶函数；a ≠0时，f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)由f (1)＝2，可知1＋a ＝2，即a ＝1， 所以f (x )＝x 2＋1x.由f ′(x )＝2x －1x2可知，当x ≥2时，f ′(x )>0恒成立，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．。
2016年高考数学一轮复习备考策略函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性主标题：函数的奇偶性与周期性副标题：为学生详细的分析函数的奇偶性与周期性的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：函数，奇偶性，周期性难度：3重要程度：5考点剖析：1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．命题方向：高考对本内容的考查主要有：①利用函数的图象与性质求函数定义域、值域与最值，尤其是考查对数函数的定义域、值域与最值问题；②借助基本初等函数考查函数单调性与奇偶性的应用，尤其是考查含参函数的单调性问题或借助单调性求参数的范围，主要以解答题的形式考查；③求二次函数的解析式、值域与最值，考查二次函数的最值、一元二次方程与不等式的综合应用；④在函数与导数的解答题中，考查指数函数、对数函数的求导、含参函数单调性的讨论、函数的极值或最值的求解等．规律总结：1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f(－x)f(x)＝±1(f(x)≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．知识梳理1．函数的奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．。
北师大版高中数学必修第一册 第二章 4-1《函数的奇偶性》课件PPT
2 2 + 3−1, < 0.
反思感悟
1.这类问题常见的情形是:已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=f(-x)=φ(-x).
提示:∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.
二、函数奇偶性与单调性的关系
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上
述结论可简记为“奇同偶异”.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于
2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
延伸探究
若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数.
(1−), < 0,
的图象如图所示.
(1 + ), > 0
图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.
(方法二)函数f(x)=ቊ
【届走向高考】高三数学一轮(北师大版)专题整合2(函数与基本初等函数)PPT课件
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问 题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数 学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与 不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组 )来使问题 获解．有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决 问题的目的．
·数学
北师大版 ·高考总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
函数与基本初等函数 第二章
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
1 知识网络 2 题型归类
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
知识网络
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学 第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学 第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学 第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
题型归类
第二章 函数与基本初等函数
解得 a> 2.
故实数 a 的取值范围是( 2，＋∞).
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
待定系数法在求解函数解析式中的应用 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据 所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依 据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)＝g(x)的充要条件： 对于一个任意的a值，都有f(a)＝g(a)；或者两个多项式各同类 项的系数对应相等．
2016届新课标数学一轮复习课件 第二章 第4讲 函数的奇偶性及周期性
第二章 基本初等函数、导数及其应用
栏 第二十八页，编辑于星期五：十九点导三引十分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
栏目 第二十九页，编辑于星期五：十九点导三引十分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
C
A
栏目 第三十页，编辑于星期五：十九点 导三十引分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
3
第二章 基本初等函数、导数及其应用
B
栏目 第八页，编辑于星期五：十九点 三导十分引。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
考点一 函数的周期性 考点二 判定函数的奇偶性 考点三 函数奇偶性的应用(高频考点)
栏目 第九页，编辑于星期五：十九点 三导十分引。
考点一 函数的周期性
第二章 基本初等函数、导数及其应用
栏目 第三十一页，编辑于星期五：十九点导三引十分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
栏目 第三十二页，编辑于星期五：十九点导三引十分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
考题溯源——对函数f(x)＝[x]的再理解
D
栏目 第三十三页，编辑于星期五：十九点导三引十分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
第二章 基本初等函数、导数及其应用
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
栏目 第三十八页，编辑于星期五：十九点导三引十分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
考点三 函数奇偶性的应用(高频考点)
栏目 第二十五页，编辑于星期五：十九点导三引十分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
C
[－1，1)
－2
栏目 第二十六页，编辑于星期五：十九点导三引十分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
2016届高三数学一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用2-4
所以f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选B.
(2)根据题意，f(x)＝
x2＋x＋1 x2＋1
＝1＋
x x2＋1
，而h(x)＝
x x2＋1
是奇
函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2
－23＝43.
答案 (1)B (2)C
第二十七页，编辑于星期五：二十点 十三分。
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
第五页，编辑于星期五：二十点 十三分。
知识梳理
知识点一
函数的奇偶性的概念与图象特征
1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
第三十页，编辑于星期五：二十点 十三分。
【规律方法】 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方 法
(1)求函数值： 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式： 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求 出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的 解析式．
第二十五页，编辑于星期五：二十点 十三分。
(2)已知函数f(x)＝x2x＋2＋x＋1 1，若f(a)＝23，则f(－a)＝(
)Байду номын сангаас
2 A.3
B．－23
4 C.3
D．－43
第二十六页，编辑于星期五：二十点 十三分。
解析 (1)因为f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，
g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，
第三十一页，编辑于星期五：二十点 十三分。