函数的微分
高等数学-函数全微分
d z e2 d x 2e2 d y
(2,1)
9
例3. 设
解: f (x,0,0) x 3 cos x
注意: x , y , z 具有 轮换对称性
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
3、 中间变量只有一个的情形
例如: z f u u x, y
z dz u x du x
z dz u y du y
z u xy
注: 由于 z f u 是一元函数,则它对u 的导数应该
fv
f2
2z u 2
fuu (u, v)
fuu
f11
2z v2
fvv (u, v)
fvv
f22
2z uv 2z vu
fuv (u, v) fvu (u, v)
f
fuv f12 vu f21
称为混合偏导数
当 f12 和 f21 均连续时有 f12 f21
在计算时注意合并同类项!
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
求
解
2z x y
2z yx
2y x2
f2
2y( x
y2 x2
f22 )
全微分的计算公式
全微分的计算公式全微分是微积分中一个重要的概念，它用于描述函数变量之间的微小变化关系。
全微分的计算可以使用泰勒展开、导数定义和偏导数等方法。
本文将介绍全微分的计算公式和应用。
一、一元函数的全微分设函数y = f(x)在点(x0, y0)处可微分。
此时，函数f(x)在x0附近可以用其局部线性近似代替。
根据导数的定义，可得到函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)。
函数f(x0)的全微分df表示函数f(x)在x0附近的微小变化量，可以通过以下公式计算：df = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，dx表示自变量x的微小变化量。
二、二元函数的全微分对于二元函数z = f(x, y)，如果在点(x0, y0)处可微分，那么z在(x0, y0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy其中，∂f/∂x表示函数f(x, y)对x的偏导数，∂f/∂y表示函数f(x, y)对y的偏导数，dx表示自变量x的微小变化量，dy表示自变量y的微小变化量。
需要注意的是，在计算二元函数的全微分时，要先对函数进行偏导数运算，然后与自变量的微小变化量相乘，再将结果相加。
三、多元函数的全微分对于多元函数z = f(x1, x2, ..., xn)，如果在点(x1^0,x2^0, ..., xn^0)处可微分，那么z在(x1^0, x2^0, ..., xn^0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2 + ... + ∂f/∂xn*dxn其中，∂f/∂x1表示函数对变量x1的偏导数，∂f/∂x2表示函数对变量x2的偏导数，dx1表示自变量x1的微小变化量，dx2表示自变量x2的微小变化量，以此类推。
四、全微分的应用例如，在概率论与统计学中，我们常常需要计算函数的期望和方差。
对于连续型随机变量，若已知其概率密度函数f(x)和函数g(x)，可以通过全微分的公式计算函数g(x)的期望和方差。
函数微分的定义
函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，X0及X o+A x在这区间内，若函数的增量可表示为几1‘宀，其中A是不依赖于△x 的常数，-:-」是厶X的高阶无穷小，则称函数：丁;在点X o可微的。
心丁叫做函数」J—在点x o相应于自变量增量△ x的微分，记作dy，即：「二」—通过上面的学习我们知道：微分：是自变量改变量△x的线性函数，dy与厶y的差宀是关于A x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。
于是我们又得出：当△ x宀0时，△ y~dy.导数的记—=广⑴号为：一'，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值（把厶x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
导数的定义：设函数1■-'在点X0的某一邻域内有定义，当自变量X在X0处有增量厶X（X+ △X也在该邻域内）时，相应地函数有增量' '■ - ' - ?■-，若△y与厶x之比当△x-0时极限存在，则称这个极限值为""⑴在X o处的导数。
记为：还可记为：必 f , 八心）函数在点X o处存在导数简称函数」八在点X o处可导，否则不可导。
若函数在区间（a,b）内每一点都可导，就称函数在区间（a,b）内可导。
这时函数」「对于区间佝b）内的每一个确定的X 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数' ';的导函数。
拉格朗日中值定理如果函数'〜'在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，那末在（a,b）内至少有一点c,使这个定理的特殊情形，即：-的情形，称为罗尔定理。
描述如下：若在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，且"1： ' ：「•’」，那末在（a,b）内至少有一点6使v「成立。
微分是什么意思
微分是什么意思
微分意思如下：
在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。
微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。
设函数y=f（x）在x0的邻域内有定义，x0及x0+Δx在此区间内。
如果函数的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）可表示为Δy=AΔx+o （Δx）（其中A是不依赖于Δx的常数），而o（Δx）是比Δx高阶的无穷小，（注：o读作奥密克戎，希腊字母），那么称函数f（x）在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的
微分，记作dy，即dy=AΔx。
函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。
通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即
dx=Δx。
于是函数y=f（x）的微分又可记作dy=f'（x）dx。
函数的
微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。
因此，导数也叫做微商。
三角函数微分公式
三角函数微分公式三角函数是解析几何与三角学中经常出现的函数类型之一、常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
在微积分中，我们常需要对三角函数进行微分，以求出其导数。
本文将介绍一些常用的三角函数微分公式。
一、正弦函数的微分公式正弦函数是一个周期函数，其图像在一个周期内是一条波浪线。
正弦函数的微分公式如下：d/dx (sin(x)) = cos(x)这个公式表明，正弦函数的导数等于其自变量的余弦函数。
换言之，正弦函数的导数就是其函数图像的斜率。
二、余弦函数的微分公式余弦函数也是一个周期函数，其图像在一个周期内与正弦函数的图像相似，但相位不同。
余弦函数的微分公式如下：d/dx (cos(x)) = -sin(x)这个公式表明，余弦函数的导数等于其自变量的负正弦函数。
也就是说，余弦函数的导数就是其函数图像的斜率乘以-1三、正切函数的微分公式正切函数是余弦函数和正弦函数的商。
在一些点上，它的导数可能为无穷大或负无穷大，但在其他点上的导数有简单的表达式。
正切函数的微分公式如下：d/dx (tan(x)) = sec^2(x)其中，sec(x)表示求x的余割函数，它的定义是sec(x) = 1/cos(x)。
从该公式中可以看出，正切函数的导数等于其自变量的余割函数的平方。
四、余切函数的微分公式余切函数是正弦函数和余弦函数的商。
和正切函数一样，它的导数也可能为无穷大或负无穷大。
但在其他点上余切函数的导数有简单的表达式。
余切函数的微分公式如下：d/dx (cot(x)) = -csc^2(x)其中，csc(x)表示求x的正割函数，它的定义是csc(x) = 1/sin(x)。
从该公式中可以看出，余切函数的导数等于其自变量的正割函数的平方的相反数。
这些是常见的三角函数微分公式，它们在微积分中的应用非常广泛。
通过对这些公式的应用，我们可以轻松地计算三角函数的导数，进而解决许多与三角函数相关的问题。
微分概念及其计算
微分概念及其计算微分是微积分的一个重要概念，指的是在数学中研究函数局部变化的方法。
微分的计算方法主要通过求导来实现。
本文将详细介绍微分的概念和计算方法。
一、微分的概念微分是函数在其中一点的变化量与自变量的变化量的比率。
对于一个函数y=f(x)，如果在其中一点x0处存在一个常数A，使得当x在x0附近变化时，函数f(x)与直线y=f(x0)+A(x-x0)之间的差异可以忽略不计，那么这个常数A就是函数f(x)在点x0处的微分，记作dy。
具体来说，如果函数f(x)在点x0处可导，则其微分dy满足以下等式：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数，dx表示自变量x的变化量。
二、微分的计算计算微分的方法有很多种，根据函数的不同形式和求导规则，可以使用以下几种常见的求导方法。
1.基本求导法则基本求导法则是求导的基本规则，包括常数微分法、幂函数微分法、指数函数微分法、对数函数微分法、三角函数微分法等。
根据不同的函数类型和导数规则，可以迅速求出函数的导数。
2.高阶导数与迭代法对于函数的高阶导数，可以使用迭代法进行求解。
迭代法的基本思想是通过对导数的连续求导来得到高阶导数。
例如，若f'(x)存在且可导，则f"(x)=(f'(x))'，f"'(x)=(f"(x))'，以此类推。
3.复合函数的导数对于复合函数，即由两个或多个函数经过运算得到的函数，可以根据链式法则求导。
链式法则指出，若y=f(u)和u=g(x)均可导，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过两者的导数相乘得到：dy/dx=f'(g(x))g'(x)。
4.隐函数的求导对于隐函数，即由一个方程所定义的函数，可以通过求导的方式进行计算。
隐函数的求导主要利用了导数的局部线性近似性质，将方程两边同时对自变量求导。
5.参数方程的求导参数方程指的是自变量和因变量都由参数t决定的函数形式。
微分的计算法则
微分的计算法则
微分是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
微分的计算法则包括以下几个方面：
1. 常数微分法则：对于一个常数c，其微分为0。
2. 基本初等函数微分法则：对于基本初等函数，可以通过求导公式来计算微分。
3. 和差法则：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和的微分等于它们各自的微分之和，即(f+g)'=f'+g'，差的微分等于它们各自的微分之差，即(f-g)'=f'-g'。
4. 积法则：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的积的微分等于
f(x)的微分乘以g(x)加上g(x)的微分乘以f(x)，即(fg)'=f'g+g'f。
5. 商法则：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的商的微分等于
f(x)的微分乘以g(x)减去g(x)的微分乘以f(x)，再除以g(x)的平方，即(f/g)'=(f'g-g'f)/g^2。
6. 复合函数微分法则：对于一个复合函数f(g(x))，可以使用链式法则来计算微分，即(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)。
通过掌握微分的计算法则，可以更加方便地求解一些复杂的微积分问题，为深入研究微积分学打下坚实的基础。
- 1 -。
函数的四则运算的微分法则
(csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(log
x a
)
1 x ln
a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1 1 x2
d(sec x) sec x tan xdx
d(csc x) csc x cot xdx
y e与t ln x复合而成，
dy
et
e ln x
dx
x
x
x x 1 .
x
验证了第一节的例二.
由上例可见，初等函数的求导必须熟悉. (a)基本初等函数的导数公式； (b)复合函数的分解； (c)复合函数的求导公式.
复合函数的分解过程熟悉后，可以不写 中间变量，而直接写出结果.
d (a x ) a x ln adx
d (e x ) e xdx
d
(log
x a
)
1 x ln a
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
d(arccos x) dx 1 x2
(arctan x) 1 1 x2
于是有
y x
1 x
, 因为
f
( x)连续,
y
所以当x 0时,必有y 0
故f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
1
( y)
( ( y) 0)
即 f ( x) 1 . y
( y)
例5.求 y arcsin x 的导数.
求函数的全微分
求函数的全微分1. 定义函数的全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点附近的变化情况。
全微分可以看作是函数的线性近似，它描述了函数在某一点的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。
在数学中，对于多变量函数f(x1,x2,...,x n)，其全微分可以表示为：df=∂f∂x1dx1+∂f∂x2dx2+...+∂f∂x ndx n其中，∂f∂x i表示函数f对变量x i的偏导数，dx i表示变量x i的微小变化量。
2. 用途函数的全微分在实际问题中具有广泛的应用。
它可以用于描述函数在某一点的变化率，从而帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
以下是一些常见的应用场景：2.1 极值分析对于一个多变量函数，我们希望找到使其取得极值（最大值或最小值）的点。
通过求函数的全微分，我们可以得到函数在极值点附近的线性近似表达式，进而分析函数在该点的变化情况。
通过分析函数的全微分，我们可以确定极值点的位置以及极值点的类型（极大值或极小值）。
2.2 优化问题在实际问题中，我们常常需要求解一些优化问题，例如最小化成本、最大化收益等。
函数的全微分可以帮助我们建立数学模型，并通过分析全微分来确定使目标函数取得极值的条件。
通过这些条件，我们可以求解出最优解。
2.3 线性近似函数的全微分可以看作是函数在某一点的线性近似。
通过全微分，我们可以得到函数在该点附近的近似表达式，从而用简单的线性函数来近似描述复杂的非线性函数。
这在实际问题中具有重要的应用，例如在数值计算中，可以用线性近似来简化计算过程。
2.4 误差分析在测量和实验中，我们常常会遇到误差和不确定性。
函数的全微分可以帮助我们分析函数输出的误差与输入的误差之间的关系。
通过分析全微分，我们可以估计误差的传播和累积，从而帮助我们进行误差分析和不确定性评估。
3. 工作方式函数的全微分可以通过偏导数来计算。
具体来说，我们可以按照以下步骤来计算函数的全微分：3.1 计算偏导数首先，我们需要计算函数对每个自变量的偏导数。
2.5函数的微分
3、复合函数的微分法则
y f (u),u [(x)] y f [(x)]
dy yx' dx f ' (u) ' (x)dx f ' (u)du
dy f '(x)dx
微分形式的不变性
例3、设y=sin(2x+1)，求微分dy
例3、设y=sin(2x+1)，求微分dy
dy f '(x)dx
(1)d( x2 ) xdx
2
(2)d ( tan 3x ) sec2 3xdx
3
(3)d (ln(1 x)) 1 dx 1 x
(4)d ( 2 x ) 1 dx x
P80 1（只求dy), 4
四、微分的几何意义 y dy
y 当y是曲线y=f(x)上点的纵
y＝f(x)
坐标的增量时，dy就是曲线 的切线上点的纵坐标的增量。
示为y Ax o(x) ,其中A是与x无关的常数，则称函数
y=f(x)在点x0处可微，并且称 Ax为函数y=f(x)在点x0 处相应于自变量的改变量 x 的微分,记作dy,即 dy Ax
1、y dy 2、A如何求？
二、可微与可导的关系
y Ax o(x) y A o(x)
x
x
当x 0时
y A lim
x0 x
f ' (x0 )
lim y x0 x
f
' (x0 )
y x
f
' (x0 ) (
0)
y f ' (x0 )x x (x o(x))
定理1：函数y=f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数
y=f(x)在点x0处可导，并且函数的微分等于函数的导