四川高一数学数列复习题(详细答案)新人教版必修1
人教版高一数学(必修1)基础知识试题选及答案
人教版高一数学(必修1)基础知识试题选及答案高一数学(必修1)基础知识试题选及答案一、选择题1. 下列数列中，等差数列是：A. 1, 3, 6, 10, 15B. 1, 2, 4, 7, 11C. 1, 4, 9, 16, 25D. 1, 3, 9, 27, 81答案：A2. 设等差数列的首项为a, 公差为d, 则该等差数列的第n项为：A. anB. a + (n-1)dC. a + ndD. a + (n+1)d答案：B3. 设等差数列的前n项和为Sn，则Sn的通项公式为：A. Sn = n(a + l)/2B. Sn = n(a + 2l)/2C. Sn = (a + l)n/2D. Sn = (a + 2l)n/2答案：A4. 已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d，则该等差数列的第n 项可以表示为：A. Sn - Sn-1B. Sn - Sn+1C. Sn - Sn-dD. Sn - Sn+d答案：B5. 下列数列中，等比数列是：A. 2, 5, 8, 11, 14B. 4, 8, 16, 32, 64C. 1, 3, 6, 10, 15D. 1, 1, 2, 3, 5答案：B6. 设等比数列的首项为a, 公比为q, 则该等比数列的第n项为：A. a^nB. a + (n-1)qC. aq^nD. aq^(n-1)答案：C7. 设等比数列的前n项和为Sn，则该等比数列的第n项可以表示为：A. Sn - Sn-1B. Sn - Sn+1C. Sn/q - Sn/qdD. Snq - Snqd答案：A8. 如果在等比数列的前n项和中，n趋于无穷大，且公比小于1，则该等比数列的前n项和趋于：A. 1B. 0C. ∞D. 不存在答案：B二、解答题1. 将下列数列排列成由小到大的顺序：8, 5, 2, 9, 6答案：2, 5, 6, 8, 92. 求下列数列的前n项和：1, 3, 5, 7, ...答案：Sn = n^23. 求解下列方程：2x - 5 = 7答案：x = 64. 用配方法求解下列二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0答案：x = 2, 35. 确定下列函数的定义域：f(x) = √(x + 4)答案：x ≥ -46. 求解下列不等式：2x - 5 > 7答案：x > 67. 已知点A(2, 1)和B(-3, 4)，求线段AB的斜率。
高一数列练习题及答案
1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝3．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于4．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝ 6．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则212b a a -的值是 7．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝8．设f (x )＝221+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .9．已知等比数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝ ．(2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝ ．(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .10．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ． 11．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 .12．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .13．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，cb a +也成等差数列. 14．设{a n }是公比为 q的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列． (1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．15．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2+S n (n ＝1，2，3…)． 求证：数列{nS n }是等比数列． 1． 代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．2．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，又a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7． 解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．3．解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是一个方程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另一个方程的两个根． ∴167，1615分别为m 或n ， ∴｜m －n ｜＝21，故选C ． 解法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ． 由等差数列的性质：若＋s ＝p ＋q ，则a ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第一项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47， ∴m ＝167，n ＝1615，∴｜m －n ｜＝21．4．解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有一正数一负数，又a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0， ∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0， 故4 006为S n ＞0的最大自然数. 选B ． 解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，∴S 2 003为S n 中的最大值．∵S n 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，∴20074在对称轴的右侧． 根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最大自然数是4 006． 5．∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59·95＝16．设d 和q 分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，∴d ＝－1，q 2＝2， ∴212b a a -＝2q d -＝21(第4题)7．∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，又a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，而a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19， ∴n ＝10．8．∵f (x )＝221+x ，∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222⋅+＝x x 22221+， ∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋xx22221+⋅＝x x 222211+⋅+＝x x 22)22(21++＝22． 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．9．（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2， ∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ， ∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4． （3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q qS S a a a S a a a a S ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅， ∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．10．由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与38，227同号，由等比中项的中间数为22738⋅＝6，∴插入的三个数之积为38×227×6＝21611．∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413⨯＝2612．∵d ＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )＝－49．13．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数． 证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦满足，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．首项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列， ∴b 2＝a 1＋c1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·bc a ＋， ∴a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列．14．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－21． （2）若q ＝1，则S n ＝2n ＋21－)(n n ＝23＋2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝22＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ． 若q ＝－21，则S n ＝2n ＋21－)(n n (－21)＝49＋－2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4－11－)0)((n n ， 故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．15．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝nn 2＋S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ， 所以1＋1＋n S n ＝n S n 2． 故{nS n }是以2为公比的等比数列．。
高中数列测试题及答案
高中数列测试题及答案一•选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1 *1 •已知数列｛a n｝中，a i 2, a n 1 a n -(n N )则的值为( )2 ，A. 49 B . 50 C . 51 D . 522. —1与2.1,两数的等比中项是( )A . 1B .|1 C.-1 D1 '23.在三角形ABC中, 如果a b c b c a 3bc，那么A等于( )A . 300B.600C.1200D1500亠亠c cosC4. 在"ABC中, ，则此三角形为( )b cosBA .直角三角形； B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形5. 已知a n是等差数列，且a2+ a3+ aw+ an=48，则a=+ a7=()A . 12B . 16C . 20D . 246. 在各项均为正数的等比数列b n中，若b7 b8 3，则Iog3$ log3b2 ……log3 b!4等于()(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)87. 已知a,b 满足：a =3，b =2，a b =4，则a b =()A. 3 B . .5 C . 3 D . 108. 一个等比数列｛a n｝的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为( )A、63 B 、108 C 、75 D 、839.数列｛a n ｝满足 a i = 1, a n +1= 2a n + 1( n € N +)，那么 a 4的值为()10. 已知△ ABC 中，/ A = 60°, a = .. 6 , b = 4，那么满足条件的△ ABC 的形状大12. 若｛a n ｝是等差数列，首项 a 1>0, a 4+ a s >0, a 4 • &v 0,则使前n 项和 S>0 成立的最大自然数 n 的值为（）.A. 4B . 5C. 7D. 8二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在数列｛a n ｝中，其前n 项和S= 3 • 2n + k ,若数列｛a n ｝是等比数列，则常数 k 的值为 ______ 14.A ABC 中，如果 一^ =—=—，那么△ ABC 是 ________tan A tan B tan C115•数列｛a n ｝满足 a 1 2，a n a . 1 —，则 a .= ____________________________ ;216•两等差数列｛a n ｝和｛b n ｝,前n 项和分别为S n ,T n ,且，A. 4B . 8 C. 15 D. 31小（）.A.有一种情形 C.不可求出11. 已知 D C B 三点在地面同一直线上, B .有两种情形 D.有三种以上情形DC=a ,从C D 两点测得A 的点仰角分别为a 、 3(a>3 )则A 点离地面的高 asin sin sin( ) acos cos sin( )AB 等于（）asin sin cos （ ） acos cos cos （ ）T n n 39.数列｛a n ｝满足 a i = 1, a n +1= 2a n + 1( n € N +)，那么 a 4的值为() 则色__吨等于 _______ _____________6 b 15三•解答题(本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤)17. (10)分已知a,b,c 是同一平面内的三个向量，其中a 1,2(1)求 AC (2) 求/ A.21. (12分)已知等差数列｛a n ｝的前n 项的和记为 S.如果a 4 =- 12，a s =- 4. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求S 的最小值及其相应的 n 的值; 22. (12分)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，且a n 是&与2的等差中项,等差数列 b n 中，b 1.2，点P(b n ,b n|1)在一次函数y x 2的图象上.(1)若 c25，且cac b 于,a2b 2a b a b18. (12 分)△ ABC 中,BC= 7, AB= 3,且sin C sin B19.(12分)已知等比数列a n 中, 4项及前5项和.2 0.( 12 分)在 ABC 中，m且m 和n 的夹角为一.3(1 )求角C ; ( 2)已知c=-，25a 1 a 310,a 4a65，求其第 C . CC • Ccos ,sin ,n cos , s in 2 22 2 ，三角形的面积s⑴求a-i 和a 2的值;⑵求数列 a n , b n 的通项a n 和b ； ⑶设C na nb n ，求数列C n 的前n 项和T n .高中数列测试题答案.选择题。
高一数学必修1课本复习题答案
高一数学必修1课本复习题答案1. 题目：求函数y=2x+3的值域。
答案：函数y=2x+3是一次函数，其值域为全体实数，即y∈R。
2. 题目：若a，b∈R，且a>b，则下列不等式中正确的是（）。
A. a^2 > b^2B. 1/a < 1/bC. a^3 > b^3D. |a| > |b|答案：C。
解析：由于a>b，所以a^3 > b^3成立。
选项A、B、D不一定成立。
3. 题目：已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，求A的补集。
答案：A={1,2}，所以A的补集为{x|x≠1且x≠2}。
4. 题目：若函数f(x)=x^2-4x+m在区间[2,+∞)上为增函数，求m的取值范围。
答案：m≤-4。
解析：函数f(x)的对称轴为x=2，要使f(x)在[2,+∞)上为增函数，对称轴必须在区间左侧，即2≤2，所以m≤-4。
5. 题目：求函数y=x^2-6x+8的零点。
答案：y=x^2-6x+8=0的解为x=2和x=4，所以函数的零点为2和4。
6. 题目：若f(x)是奇函数，且f(1)=3，则f(-1)的值为多少？答案：-3。
解析：由于f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，因此f(-1)=-f(1)=-3。
7. 题目：已知等差数列{an}的前三项分别为3，7，11，求该数列的通项公式。
答案：an=4n-1。
解析：首项a1=3，公差d=7-3=4，所以通项公式为an=a1+(n-1)d=3+(n-1)*4=4n-1。
8. 题目：若函数f(x)=x^3-3x+1在x=-1处取得极值，求该极值。
答案：极小值。
解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)=-6<0，所以x=-1处为极小值点，f(-1)=-1-3+1=-3。
9. 题目：求证：对于任意实数x，x^2+x+1>0。
高一数学等差数列试题答案及解析
高一数学等差数列试题答案及解析1.在等差数列项的和等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得，公差，，．故选C．【考点】等差数列的性质．2.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．【答案】(1) (2)【解析】（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列和等比数列的通项公式列出方程组，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，由此能求出数列，的通项公式．（Ⅱ）由，得到，利用错位相减法能求出数列的前项和．试题解析：解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且3分解得，． 4分所以， 5分． 6分（Ⅱ）． 7分，① 9分，② 11分②－①得， 12分． 14分【考点】等差数列通项公式，等比数列通项公式，错位相减进行就和.3.已知三个数成等比数列，它们的积为，且是与的等差中项，求这三个数．【答案】或.【解析】首先分别根据三个数成等比数列、它们的积为和是与的等差中项可得三个等式：、、；然后联立方程组即可解得答案.试题解析：因为，所以或.【考点】等比数列；等差中项.4.已知正项数列的前n项和为，且（1）求、；（2）求证：数列是等差数列；（3）令，问数列的前多少项的和最小？最小值是多少？【答案】（1）;（2）证明略；（3）当时，前项和最小，最小值-90.【解析】（1）根据等差数列的首项和公差求通项公式，求首项和公差是常用方法，注意题中限制条件；（2）证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法：证明；二是等差中项法，证明，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可；（3）求前项和的最大值或最小值的常用方法，看这个数列是递增数列还是递减数列，看从第几项开始出现变号，所有的正项加起来值最大，所有的负项加起来最小，注意看是否某一项为0.试题解析：解：（1）由已知条件得：又有，解得（2）由得即，，。
所以数列是公差为2的等差数列.（3）由（2）知..易知数列是公差为2，首项为的等差数列。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(36)
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷7（共30题）一、选择题（共10题）1.设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数．若f(x)的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是( )A．√3B．√32C．√33D．02.不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0，对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )A．a≤2B．−2<a≤2C．−2<a<2D．a≤−23.已知命题p: ∀x∈R，x2≥0，则¬p是( )A．∀x∈R，x2<0B．∀x∉R，x2≥0C．∃x∈R，x2≥0D．∃x∈R，x2<04.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<π2)在一个周期内的简图如图所示，则方程f(x)=m（m为常数且1<m<2）在[0,π]内所有解的和为( )A．π6B．π3C．π2D．π5.设5π<θ<6π，cosθ2=a，那么sinθ4等于( )A．√1+a2B．√1−a2C．−√1+a2D．−√1−a26.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的最小正周期大于2π，且当x=π2时f(x)取得最大值为1，曲线y=f(x)的一个对称中心为(5π4,0)，则下列结论正确的是( )A ． f (x ) 在 [−π,−π4] 上递增B ． f (x ) 在 [5π4,9π4] 上递减C ． f (x ) 在 [−π4,0] 上递减 D ． f (x ) 在 [−5π4,−34π] 上递增7. 在 △ABC 中，“AC >AB ”是“∠B >∠C ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 函数 f (x )=sinπxcosπx 的最小正周期为 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． π D ． 2π9. 已知函数 f (x )=cos (ωx +φ) 在 x =−π6 时取最大值，在 x =π3 时取最小值，则以下各式：① f (0)=0；② f (π2)=0；③ f (2π3)=1 可能成立的个数是 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 310. 已知函数 f (x )={ln (x +1)+m,x ≥0ax −b +1,x <0(m <−1)，对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ，若关于 x 的方程 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−4,−2) B ． (−1,0)C ． (−2,−1)D ． (−4,−1)∪(−1,0)二、填空题（共10题）11. 已知函数 f(x)={x 2+2x +14x 2+8x ,−2<x <0,x 2+2x −1,x ≤−2或x ≥0.若函数 g(x)=a ∣f(x)∣+1 有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 ．12. 若不等式 −4<2x −3<4 与不等式 x 2+px +q <0 的解集相同，则 pq = ．13. 已知函数 f (x )={x 2+x,−2≤x ≤clog 12x,c <x ≤2，若 f (x ) 的值域是 [−1,2], 则实数 c 的取值范围是 ．14. 已知 f(√x +1)=x −2√x ，则 f (x )= ．15. 函数 y =a 2x 2−2a 2x +1（a ≠0）在 x ∈[−1,2] 上的最大值是 ．16. 已知 a <b ，若二次不等式 ax 2+bx +c ≥0 对任意实数 x 恒成立，则 M =a+2b+4c b−a的最小值为 ．17. 函数 y =sin (ωx +φ)(ω>0,∣φ∣<π2) 的周期为 23π，且图象过点 (0,−√22)，则函数的解析式为 ．18. lg2+lg5 的值为 ．19. 函数 f (x )=√1−x +2x 的定义域为 ．20. 若两个正实数 x ，y 满足 1x+4y=1，且不等式 x +y4<m 2−3m 有解，则实数 m 的取值范围是 ．三、解答题（共10题）21. 已知函数 f (x )=log a (a x −1)(a >0,a ≠1)．(1) 当 a =12 时，求函数 f (x ) 的定义域． (2) 求关于 x 的不等式 f (x )<1 的解集．(3) 当 a =2 时，若不等式 f (x )>log 4(1+2x )+m 对任意实数 x ∈[1,3] 恒成立，求实数 m的取值范围．22. 解下列关于 x 的不等式．(1) log 2(x 2−4x )<5．(2) ax 2−(a +1)x +1<0(a ∈R )．23. 已知角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，角 α 的终边经过点 P (4,−3)，求 sinα，cosα，tanα 的值．24. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由．(1) 与定点 A ，B 等距离的点； (2) 高中学生中的游泳能手．25. 如果函数 y =f (x )，x ∈D 满足：对于任意 x 1,x 2∈D ，均有 f (x 1)−f (x 2)≤∣x 1−x 2∣（n 为正整数）成立，则称函数 y =f (x ) 具有“n 级”性质．(1) 分别判断 f (x )=x 2，g (x )=12x 是否具有“1 级”性质，并说明理由；(2) 在区间 [−1,1] 上是否存在具有“1 级”性质的奇函数 y =f (x )，满足：f (−1)=0，且对于任意实数 x 1,x 2∈[0,1](x 1≠x 2)，都有 {∣f (x 1)−f (x 2)∣<∣x 1−x 2∣,x 1,x 2∈[0,12]∣f (x 1)−f (x 2)∣=∣x 1−x 2∣,x 1,x 2∈[12,1] 成立？若存在，请写出一个满足条件的函数：若不存在，请说明理由；(3) 已知定义域为 R 的函数 y =f (x ) 具有“2 级”性质，求证：对任意 a,b ∈R ，都有 ∣f (b )−f (a )∣≤12020(b −a )2 成立．26. 证明下列恒等式：(1) 2cos 2(π4−α2)=1+sinα；(2) 1−cos4αsin4α⋅cos2α1+cos2α=tanα．27. 已知集合 A ={x∣ x 2−2x −8≤0}，B ={x∣ x −m <0}．(1) 若全集 U =R ，求 ∁U A ．(2) 若 A ∪B =B ，求实数 m 的取值范围．28. 已知 f (α)=tan (π−α)cos (2π−α)sin(π2+α)cos (−α−π)．(1) 化简 f (α)；(2) 若 f (α)=45，且 α 是第二象限角，求 cos (2α+π3) 的值．29. 已知函数 f (x )=√2sinx (sinx +cosx )．(1) 求 f (x ) 的振幅、频率和初相；(2) 该函数图象可由 y =cos2x 的图象经过怎样的变换得到？ (3) 作出函数在一个周期上的图象．30.集合A={α∣ α=nπ2,n∈Z}∪{α∣ α=2nπ±2π3,n∈Z}，B={β∣ β=23nπ,n∈Z}∪{β∣ β=nπ+π2,n∈Z}，求A与B的关系．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】抽象函数2. 【答案】B【解析】当 a −2=0 时，a =2，不等式显然恒成立． 当 a −2≠0 时，需 {a −2<0,4(a −2)2+16(a −2)<0,解得 −2<a <2． 综上可知，−2<a ≤2． 故应选B ．【知识点】恒成立问题3. 【答案】D【解析】 ∀x ∈R ，x 2≥0 的否定为 ∃x ∈R ，x 2<0． 【知识点】全（特）称命题的否定4. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】D【知识点】半角公式6. 【答案】A【解析】由题意，最小正周期大于 2π，即 ω<1．当 x =π2时 f (x ) 取得最大值为 1，即 π2ω+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，那么 ω=4kπ+π−2φπ，令 k =0，可得 ω=1−2πφ．对称中心为 (5π4,0)，则5πω4+φ=kπ，ω=4kπ−4φ5π．令 k =1，可得 ω=45−45πφ，即 1−2πφ=45−45πφ，所以 φ=π6． 因为 0<φ<π2，满足题意，可得：ω=23． 函数 f (x )=Asin (23x +π6)．令2kπ−π2≤23x+π6≤π2+2kπ，得3kπ−π≤x≤π2+3kπ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】C【解析】当AC>AB时，在AC上截取AD，使AD=AB，连接BD，如图所示，则∠ADB=∠ABD，又因为∠ADB>∠C，∠ABC>∠ABD，所以∠ABC>∠C．当∠B>∠C时，在AC上取点D，使∠CBD=∠C，如图所示，则CD=BD，根据三边关系有AD+BD>AB，可得AD+CD>AB，即AC>AB．故“AC>AB”是“∠B>∠C”的充要条件．【知识点】充分条件与必要条件8. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】A【解析】由题意{−π6ω+φ=2k1π,π3ω+φ=2k2π+π(k1,k2∈Z)，解得{ω=4k1+2,φ=2k2π3+π3.f(0)=cos(2k2π3+π3)≠0，f(π2)=cos[2k1π+π+(2k2+1)π3]≠0，f(2π3)=cos(8k1+4+2k2+1)π3=cos(2k+5)π3≠1，三个都不可能成立，正确个数为0．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】A【解析】由题意可知 f (x ) 在 [0,+∞) 上单调递增，值域为 [m,+∞)，因为对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ， 所以 f (x ) 在 (−∞,0) 上是减函数，值域为 (m,+∞)， 所以 a <0，且 −b +1=m ，即 b =1−m ． 因为 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，所以 0<f (m2)<−m ， 又 m <−1， 所以 0<am 2<−m ，即 0<(a2+1)m <−m ，所以 −4<a <−2，所以则 a 的取值范围是 (−4,−2)．【知识点】函数的零点分布二、填空题（共10题） 11. 【答案】 [−1,−45)【知识点】函数的零点分布12. 【答案】127【解析】 −4<2x −3<4 则 −1<2x <7，−12<x <72，则 x 2+px +q <0 的解集为 {x ∣∣ −12<x <72}，所以 x =−12 和 x =72 时，x 2+px +q <0， 由韦达定理得：{(−12)+72=−p,(−12)×72=q,所以{p=−3,q=−74,pq=−3−74=127．【知识点】二次不等式的解法13. 【答案】[14,1]【知识点】对数函数及其性质14. 【答案】x2−4x+3（x≥1）【解析】解法一（换元法）：令t=√x+1，则t≥1，x=(t−1)2，代入原式有f(t)= (t−1)2−2(t−1)=t2−4t+3，所以f(x)=x2−4x+3（x≥1）．解法二（配凑法）：f(√x+1)=x+2√x+1−4√x−4+3=(√x+1)2−4(√x+1)+3,因为√x+1≥1，所以f(x)=x2−4x+3（x≥1）．【知识点】函数的解析式的概念与求法15. 【答案】3a2+1【知识点】函数的最大（小）值16. 【答案】8【解析】由条件知a>0，b−a>0．由题意得Δ=b2−4ac≤0，解得c≥b24a，所以M=a+2b+4cb−a≥a+2b+4⋅b2 4ab−a=a2+2ab+b2a(b−a)=[2a+(b−a)]2a(b−a)=(b−a)2+4a(b−a)+4a2a(b−a)=b−aa +4ab−a+4≥2√b−aa ⋅4ab−a+4=4+4=8,当且仅当b=3a时等号成立，所以M的最小值为8．【知识点】均值不等式的应用17. 【答案】 y =sin(3x −π4)【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】 1【解析】 lg2+lg5=lg10=1． 【知识点】对数的概念与运算19. 【答案】 (−∞,0)∪(0,1]【解析】由 {1−x ≥0,x ≠0, 解得 x ≤1 且 x ≠0，故定义域为 (−∞,0)∪(0,1]． 【知识点】函数的定义域的概念与求法20. 【答案】 (−∞,−1)∪(4,+∞)【解析】因为 x >0，y >0，1x +4y =1， 所以 x +y4=(x +y4)(1x +4y )=2+y4x+4x y≥2+2√y 4x⋅4x y=4，等号在 y =4x ，即 x =2，y =8 时成立， 所以 x +y4 的最小值为 4，要使不等式 m 2−3m >x +y4 有解，应有 m 2−3m >4，所以 m <−1 或 m >4． 【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 当 a =12 时，f (x )=log 12[(12)x−1]，若 f (x ) 有定义，则 (12)x −1>0 即 (12)x >(12)0， 所以 x <0 即 f (x ) 的定义域为 (−∞,0)． (2) 因为 f (x )=log a (a x −1)． 令 u =a x −1，则 y =log a u ．在定义域内，若 0<a <1，则 u 和 y 同为减函数，则 f (x ) 单调递增， 若 a >1，则 u 和 y 同为增函数，则 f (x ) 单调递增， 故 f (x ) 在定义域内单调递增恒成立．若 f (x )=1，则 log a (a x −1)=1，即 a x −1=a ，所以 a x =a +1，所以 x =log a (a +1)，所以 f (x )<1 时，x <log a (a +1)．因为 a x −1>0，所以 a x >a 0，所以 0<a <1 时，x <0；a >1 时，x >0，所以 f (x )<1 的解集为 a >1 时，(0,log a (a +1))，0<a <1 时，(−∞,log a (a +1))．(3) a =2 时，f (x )=log 2(2x −1)，则 f (x )>log 4(1+2x )+m 时，m <log 2(2x −1)−log 4(1+2x )．令 g (x )=log 2(2x −1)−log 4(1+2x )=log 4(2x −1)22x +1．令 t =2x +1，因为 x ∈[1,3]，所以 2x ∈[2,8]，所以 t ∈[3,9]，所以 g (t )=log 4(t−2)2t =log 4t 2−4t+4t =log 4(t +4t −4)．因为 t +4t −4≥2√4−4=0，当且仅当 t =4t 即 t =2 时等号成立，所以 t ∈[3,9] 时，t +4t −4∈[13,499]，所以 log 4(13)≤g (t )≤log 4(499)．因为 m <g (x ) 恒成立，所以 m <log 4(13)=−log 43，故 m 的取值范围是 (−∞,−log 43)．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质、函数的定义域的概念与求法22. 【答案】(1) 因为 log 2(x 2−4x )<5，所以 {x 2−4x >0,x 2−4x <32 即 {x <0或x >4,−4<x <8,解得 −4<x <0 或 4<x <8，故不等式 log 2(x 2−4x )<5 的解集为 (−4,0)∪(4,8)．(2) ax 2−(a +1)x +1<0 等价于 (ax −1)(x −1)<0，当a>0时，若0<a<1，则1a >1，此时1<x<1a；若a=1，则不等式为(x−1)2<0，此时无解；若a>1，则1a <1，此时1a<x<1，当a=0时，不等式为−x+1<0，此时x>1；当a<0时，1a <0，此时，x<−1a或x>1，综上，当0<a<1时，解集为(1,1a)；当a=1时，解集为∅；当a>1时，解集为(1a,1)；当a=0时，解集为(1,+∞)；当a<0时，解集为(−∞,−1a)∪(1,+∞)．【知识点】简单的对数方程与不等式（沪教版）、二次不等式的解法23. 【答案】由x=4，y=−3，得r=∣OP∣=√42+(−3)2=5．故sinα=−35=−35，cosα=45，tanα=−34=−34．【知识点】任意角的三角函数定义24. 【答案】(1) 是，即线段AB的垂直平分线．(2) 不是，因为游泳能手与不是能手没有具体的划分标准．【知识点】集合的概念25. 【答案】(1) 对于函数f(x)=x2，取x1=2，x2=0，f(x1)−f(x2)=4>x1−x2=2，所以函数g(x)=x2不具有“1级”性质，对于函数g(x)=12x，g(x1)−g(x2)≤1−12∣x1−x2∣≤∣x1−x2∣，所以函数g(x)=12x具有性质．(2) 满足条件的函数不存在．理由如下：假设存在满足条件的函数f(x)，则由∣f (x 1)−f (x 2)∣=∣x 1−x 2∣,x 1,x 2∈[12,1]⇒∣∣f (12)−f (1)∣∣=∣∣12−1∣∣=12.又 f (1)=0，所以 ∣∣f (12)∣∣=12, ⋯⋯①又因为 f (x ) 为奇函数，所以 f (0)=0，由条件∣f (x 1)−f (x 2)∣<∣x 1−x 2∣,x 1,x 2∈[0,12]⇒∣∣f (12)∣∣=∣∣f (12)−f (0)∣∣<∣∣12−0∣∣=12. ⋯⋯②①与②矛盾，因此假设不成立，这样的函数不存在．(3) 若 a =b ，则显然成立；若 a ≠b ，不妨设 a <b ，由题意可知，f (y )−f (x )≤(y −x )2，由 x ，y 的任意性，同时也有 f (x )−f (y )≤(y −x )2，即 ∣f (y )−f (x )∣≤∣x −y ∣2，将区间进行 2020 等分，记a =x 0，a +b−a 2020=x 1，a +2b−a 2020=x 2，⋯，b =a +2020b−a 2020=x 2020，∣f (b )−f (a )∣=∣f (x 2020)−f (x 2019)+f (x 2019)−f (x 2018)+⋯−f (x 1)+f (x 2)−f (x 0)∣≤∣x 2020−x 2019∣2+∣x 2019−x 2018∣2+⋯+∣x 1−x 0∣2=(b−a 2020)2×2020=(b−a )22020.【知识点】函数的单调性26. 【答案】(1) 2cos 2(π4−α2)=1+cos 2(π4−α2)=1+cos (π2−α)=1+sinα.(2) 1−cos4αsin4α⋅cos2α1+cos2α=tan2α⋅cos2α1+cos2α=sin2α1+cos2α=tanα.【知识点】二倍角公式27. 【答案】(1) A ={x∣ −2≤x ≤4}，所以 ∁U A ={x∣ x <−2或x >4}．(2) A ∪B =B ，所以 A ⊆B, 且 B ={x∣ x <m }，所以 m >4，所以实数 m 的取值范围为 (4,+∞)．【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算28. 【答案】(1) f (α)=tan (π−α)cos (2π−α)sin(π2+α)cos (−α−π)=−tanαcosαcosα−cosα=sinα.(2) 因为 f (α)=sinα=45，且 α 是第二象限角，所以 cosα=−√1−sin 2α=−35，所以 cos2α=2cos 2α−1=−725，sin2α=2sinαcosα=−2425，所以cos (2α+π3)=cos2αcos π3−sin2αsin π3=−725×12+2425×√32=24√3−750.【知识点】两角和与差的余弦、诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角公式29. 【答案】(1) 振幅为 1，频率为 1π，初相为 −π4．(2) 将 y =cos2x 的图象向左平移 58π 个单位，再向上平移 √22 个单位．(3) 提示：五点法作图．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换30. 【答案】方法一：集合 A ，B 中角的终边，如图所示．所以 B ⫋A ．方法二：{α∣ α=nπ2,n ∈Z}={α∣ α=kπ,k ∈Z }∪{α∣ α=kπ+π2,k ∈Z}，{β∣ β=2nπ3,n∈Z}={β∣ β=2kπ,k∈Z}∪{β∣ β=2kπ±2π3,k∈Z}．比较集合A，B中的元素知，B中的元素都是A中的元素，但A中元素α=(2k+1)π(k∈Z)不是B中的元素，所以B⫋A．【知识点】弧度制。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(60)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷5（共30题）一、选择题（共10题）1. 已知 y =f (x ) 是奇函数，当 x >0 时，f (x )=x (1+x )，当 x <0 时，f (x ) 等于 ( ) A ．−x (1−x )B ．x (1−x )C ．−x (1+x )D ．x (1+x )2. 已知集合 P ={x∣ 1<x <4}，Q ={2<x <3}，则 P ∩Q = ( ) A ． {x∣ 1<x ≤2} B ． {x∣ 2<x <3} C ． {x∣ 3≤x <4}D ． {x∣ 1<x <4}3. 设 S,T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 y =f (x ) 满足： ① T ={f (x )∣ x ∈S }；②对任意 x 1,x 2∈S ，当 x 1<x 2 时，恒有 f (x 1)<f (x 2)； 那么称这两个集合"保序同构"，以下集合对不是"保序同构"的是 A ．A =N ∗，B =NB ．A ={x∣ −1≤x ≤3}，B ={x∣ x =−8 或 0<x ≤10}C ．A ={x∣ 0<x <1}，B =RD ．A =Z ，B =Q4. 函数 f (x )=x 3+x −4 的零点所在的区间为 ( ) A ． (−1,0)B ． (0,1)C ． (1,2)D ． (2,3)5. 设 x ∈R ，定义符号函数 sgnx ={1,x >0,0,x =0,−1,x <0,则函数 f (x )=∣x ∣sgnx 的图象大致是 ( ) A ． B ． C ． D ．6. 已知不等式 ax 2−bx −1>0 的解集是 {x∣ 13<x <12}，则不等式 x 2−bx −a <0 的解集是( ) A ． {x∣ 2<x <3} B ． {x∣ 13<x <12}C ． {x∣ x <13或x >12}D ． {x∣ −3<x <−2}7. 设 f (x )=2x 2x+1，g (x )=6ax +1−2a ，若对于任意 x 1∈[0,1]，总存在 x 0∈[0,1]，使得 g (x 0)=f (x 1) 成立，则 a 的取值范围是 ( ) A ． [4,+∞)B ． [52,4] C ． (−∞,−14]∪[12,+∞)D ． [−14,12]8. 方程 2log 3x =14 的解是 ( ) A ． x =19B ． x =√133C ． x =√3D ． x =99. 函数 f (x )=log 2x −3sin (π2x) 零点的个数是 ( )A ． 5B ． 4C ． 3D ． 210. 已知函数 f (x )＝e −∣x∣，a =f (log e 13)，b =f (log 31e )，c =f (log 1e19) 则下述关系式正确的是( ) A ． b >a >c B ． b >c >a C ． c >a >b D ． a >b >c二、填空题（共10题）11. 已知 lg (x +2y )=lgx +lgy ，则 xy+x+2y 2y的最小值为 ．12. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (1−x )=f (1+x )，当 x ∈(0,1) 时，f (x )=e ax（其中 e 是自然对数的底数），若 f (2020−ln2)=−8，则实数 a 的值为 ．13. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况，第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品：前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网站： ①第一天售出但第二天未售出的商品有 种； ②这三天售出的商品最少有 种．14. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y (毫克）与时间 t (小时）成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式 y =(116)t−a( a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y (毫克）与时间 t (小时）之间的函数关系式为 ．②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．15. 已知 sin (α+π6)=√33，则 cos (2π3−2α)= ．16. 设函数 y =sin (ωx +φ)(ω>0,φ∈[−π2,π2]) 的最小正周期为 π，且其图象关于直线 x =π12 对称，则下面四个结论： ①图象关于点 (π4,0) 对称；②图象关于点 (π3,0) 对称； ③在 [0,π6] 上是增函数； ④在 [−π6,0] 上是增函数． 其中正确结论的编号为 ．17. 若定义在 R 上的奇函数 f (x ) 在 (0,+∞) 上是增函数，且 f (−4)=0，则使得 xf (x )>0 成立的 x 的取值范围是 ．18. 设当 x =θ 时，函数 f (x )=2sinx −cosx 取得最大值，则 cosθ= ．19. 对于实数 a 和 b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a (a −b )3,a ≤bb (b −a )3,a >b，设 f (x )=(2x–1)∗(x–1)，若函数 g (x )=f (x )−mx 2(m ∈R ) 恰有三个零点 x 1，x 2，x 3，则 m 的取值范围是 ；x 1x 2x 3 的取值范围是 ．20. (−5)−2= ；log 13√3= ．三、解答题（共10题）21. 已知函数 f (x )=g (x )ℎ(x )，其中 g (x )=2√2sinx ，ℎ(x )= ．从① cos (x +π4)，② sin 2(x2−π4) 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． (1) 写出函数 f (x ) 的一个周期（不用说明理由）； (2) 当 x ∈[−π4,π4] 时，求函数 f (x ) 的最大值和最小值．22. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调査和预测，投资债券等稳键型产品A 的收益 f (x )与投资金额 x 的关系是 f (x )=k 1x ，（f (x ) 的部分图象如图 1）；投资股票等风险型产品B 的收益 g (x ) 与投资金额 x 的关系是 g (x )=k 2√x ，（g (x ) 的部分图象如图 2）；（收益与投资金额单位：万元）．(1) 根据图 1 、图 2 分别求出 f (x )，g (x ) 的解析式；(2) 该家庭现有 10 万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A 及股票等风险型品B 两种产品，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？23. 已知函数 f (x )=a x (a >1)，定义域为 [−1,1]，且最大值是 4，记函数 g (x )=f (x )2+f (x )．(1) 求证：g (x )+g (1−x )=1；(2) 计算 g (110)+g (210)+g (310)+⋯+g (910) 的值．24. 计算下列各式：(1) 12lg25+lg2−lg √0.1−log 29×log 32； (2) 6413−(−59)0+[(−2)3]43+(0.01)12．25. 定义在 R 上的严格减函数 y =f (x ) 满足：当且仅当 x ∈M ⊆R + 时，函数值 f (x ) 的集合为[0,2] 且 f (12)=1；对 M 中的任意 x 1，x 2 都有 f (x 1⋅x 2)=f (x 1)+f (x 2)．(1) 求证；14∈M ，18∉M ；(2) 求证：y =f (x ) 在 M 上的反函数 f −1(x ) 满足 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)； (3) 设 x ∈[0,2]，解不等式 f −1(x 2+x )⋅f −1(x +2)≤14．26. 已知函数 y =√1a x +1（a <0 且 a 为常数）在区间 (−∞,1] 上有意义，求实数 a 的取值范围．27. 用区间表示下列集合：(1) {x∣ x ≥1}； (2) {x∣ x−2x+1≥0}；(3) {x∣ x =1,或2≤x ≤8}； (4) {x∣ x <−4,或−1<x ≤2}．28. 解不等式：−x 2+8x −3>0．29. 已知函数 f (x )={x +1x ,x ∈[−2,−1)−2,x ∈[−1,12)x −1x ,x ∈[12,2]． (1) 判断当 x ∈[−2,1) 时，函数 f (x ) 的单调性，并用定义证明之； (2) 求 f (x ) 的值域；(3) 设函数 g (x )=ax −2，x ∈[−2,2]，若对于任意 x 1∈[−2,2]，总存在 x 0∈[−2,2]，使g (x 0)=f (x 1) 成立，求实数 a 的取值范围．30. 已知函数 f (x )=log 2(x +a )（a 为常数），y =g (x ) 是定义在 [−1,1] 上的奇函数．(1) 当 a =2 时，解不等式 ∣f (x )∣>1；(2) 当 0≤x ≤1 时，g (x )=f (x )，并求 y =g (x ) 的反函数 y =g −1(x )．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】当x<0时，f(x)=−f(−x)=−(−x)(1−x)=x(1−x)．故选B．【知识点】函数的奇偶性2. 【答案】B【解析】P∩Q=(1,4)∩(2,3)=(2,3)．【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】D【解析】举例说明有符合条件的函数即可．对于A，取f(x)=x−1，满足题意．对于B，取f(x)={−8,x=−1,x+1,−1<x<0,x2+1,0≤x≤3,满足题意．对于C，取f(x)=tan[π(x−12)]，满足题意．【知识点】函数的相关概念4. 【答案】C【解析】由零点定理可知：若区间[a,b]中，f(x)连续并且由f(a)⋅f(b)<0，那么函数y=f(x)区间(a,b)内有零点，即至少存在一个c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也是方程f(x)=0的根，所以f(x)=x3+x−4，f(−1)=−6，f(0)=−4，f(1)=−2，f(2)=6，f(3)=26，所以f(1)⋅f(2)<0，即零点x0∈(1,2)．【知识点】零点的存在性定理5. 【答案】C【知识点】函数图象、分段函数6. 【答案】D【解析】因为不等式 ax 2−bx −1>0 的解集是 {x∣ 13<x <12}，所以 a <0，所以方程 ax 2−bx −1=0 的两个根为 12，13， 所以 −−b a=12+13，−1a =16，所以 a =−6，b =−5．所以 x 2−bx −a <0⇒x 2+5x +6<0， 所以 (x +2)(x +3)<0，所以不等式 x 2−bx −a <0 的解集为 {x∣ −3<x <−2}． 【知识点】二次不等式的解法7. 【答案】B【解析】因为 f (x )=2x 2x+1，当 x =0 时，f (x )=0， 当 x ≠0 时，f (x )=2(1x +12)2−14，由 0<x ≤1， 所以 0<f (x )≤1， 故 0≤f (x )≤1．又因为 g (x )=ax +5−2a (a >0)，且 g (0)=5−2a ，g (1)=5−a ， 故 5−2a ≤g (x )≤5−a ， 所以需满足 {5−2a ≤0,5−a ≥1,所以 52≤a ≤4．【知识点】函数零点的概念与意义8. 【答案】A【解析】因为 2log 3x =14=2−2，所以 log 3x =−2， 所以 x =3−2=19．故选A ．【知识点】对数的概念与运算9. 【答案】C【解析】令 f (x )=log 2x −3sin (π2x)=0，可得 log 2x =3sin (π2x)，在同一平面直角坐标系内，画出y=log2x，y=3sin(π2x)的图象，由图可得交点个数为3，所以函数f(x)=log2x−3sin(π2x)零点的个数是3．【知识点】函数的零点分布10. 【答案】A【解析】因为函数f(x)＝e−∣x∣，所以函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，所以a=f(log e13)=f(−log e3)=f(log e3)，b=f(log31e)=f(−log3e)=f(log3e)，c=f(log1e 19)=f(log e9)=f(2log e3)，因为1<log e3<2，0<log3e<1，2log e3>2，所以f(2log e3)<f(log e3)<f(log3e)，即c<a<b．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质二、填空题（共10题）11. 【答案】4+4√2【解析】因为lg(x+2y)=lgx+lgy=lg(xy)，所以x+2y=xy，x>0，y>0，所以x=xy−2y，2x +1y=1，则xy+x+2y2y =xy+xy−2y+2y2y=2x+2y−2=2(x+y)(2x+1y) =−2=2(xy+2yx)+4≥2×2√xy⋅2yx+4 =4+4√2.当且仅当xy =2yx，且2x+1y=1时取等号，此时xy+x+2y 2y的最小值4+4√2．【知识点】均值不等式的应用12. 【答案】3【解析】由于函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则f(−x)=−f(x)，又f(1−x)=f(1+x)，所以，f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[1−(1+x)]=f(−x)=−f(x)，则f(4+x)=f[2+(2+x)]=−f(x+2)=−[−f(x)]=f(x)，所以，函数y=f(x)是周期为4的周期函数，所以，f(2020−ln2)=f(−ln2)=−f(ln2)=−e aln2=−(e ln2)a=−2a=−8,解得a=3．故答案为：3．【知识点】函数的奇偶性、函数的周期性13. 【答案】16；29【解析】因为第一天和第二天都卖出商品有3种，所以第一天出售但是第二天未出售的商品有16种；因为第一天和第二天共同出售3种，第三天和第二天共同出售4种，那么这三天最少卖出29种，即第一天的16种商品里面包含第三天剩余的14种．【知识点】集合基本运算的Venn 图示14. 【答案】 y ={10t,0≤t ≤0.1(116)t−0.1,t >0.1； 0.6 【解析】①设 y =kt ，由图象知 y =kt 过点 (0.1,1)， 则 1=k ×0.1，k =10， 所以 y =10t (0≤t ≤0.1)． 由 y =(116)t−a过点 (0.1,1)，得 1=(116)0.1−a，解得 a =0.1，所以 y =(116)t−0.1(t >0.1)．②由 (116)t−0.1≤0.25=14，得 t ≥0.6．故至少需经过 0.6 小时学生才能回到教室． 【知识点】函数模型的综合应用15. 【答案】 −13【解析】令 α+π6=β，则 sinβ=√33， 所以cos (2π3−2α)=cos [2π3−2(β−π6)]=cos (π−2β)=−cos2β=2sin 2β−1=2×13−1=−13.【知识点】两角和与差的余弦16. 【答案】②④【解析】因为 T =π， 所以 ω=2．又 2×π12+φ=kπ+π2， 所以 φ=kx +π3，k ∈Z ． 因为 φ∈[−π2,π2]， 所以 φ=π3，所以 y =sin (2x +π3)．由图象及性质可知②④正确． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质17. 【答案】 (−∞,−4)∪(4,+∞)【解析】因为定义在 R 上的奇函数 f (x ) 在 (0,+∞) 上是增函数， 所以函数 f (x ) 是在 (−∞,0) 上是增函数， 又 f (−4)=0，所以 f (4)=0，由 xf (x )>0，得 {x >0,f (x )>0 或 {x <0,f (x )<0, 解得 x >4 或 x <−4．所以 x 的取值范围是 (−∞,−4)∪(4,+∞)． 【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性18. 【答案】 −√55【解析】 f (x )=2sinx −cosx =√5sin (x −Φ)，其中 cosΦ=2√55，sinΦ=√55，故当函数 f (x ) 取得最大值时，θ−Φ=π2+2kπ，k ∈Z ，所以 cosθ=cos (Φ+π2+2kπ)=−sinΦ=−√55． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】 {14} ； {0}【知识点】二次函数的性质与图像、函数的零点分布、分段函数20. 【答案】125；−12【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 选择条件①．函数f(x)的一个周期为π．（答案不唯一）选择条件②．函数f(x)的一个周期为2π．（答案不唯一）(2) 选择条件①．因为x∈[−π4,π4 ]，所以2x+π4∈[−π4,3π4]．当2x+π4=−π4时，即x=−π4时，函数f(x)取到最小值−2．当2x+π4=π2时，即x=π8时，函数f(x)取到最大值√2−1．选择条件②．因为x∈[−π4,π4 ]，所以sinx∈[−√22,√22]．当sinx=12时，即x=π6时，函数f(x)取到最大值√24．当sinx=−√22时，即x=−π4时，函数f(x)取到最小值−√22−1．【解析】(1) 选择条件①．因为f(x)=2√2sinxcos(x+π4)=2sinx(cosx−sinx)=2sinxcosx−2sin2x=sin2x+cos2x−1=√2sin(2x+π4)−1.所以函数f(x)的一个周期为π．（答案不唯一）选择条件②．因为f(x)=2√2sinxsin2(x2−π4)=√2sinx[1−cos(x−π2)]=√2sinx(1−sinx)=−√2(sin2x−sinx).所以函数f(x)的一个周期为2π．（答案不唯一）【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) 设投资为 x 万元，由题意，知 f (1.8)=0.45，g (4)=2.5； 解得 k 1=14，k 2=54，所以 f (x )=14x ，x ≥0，g (x )=54√x ，x ≥0．(2) 设对股票等风险型产品B 投资 x 万元，则对债券等稳键型产品A 投资 (10−x ) 万元， 记家庭进行理财投资获取的收益为 y 万元， 则 y =14(10−x )+54√x ，x ≥0．设 √x =t ，则 x =t 2，0≤t ≤√10， 所以 y =−14(t −52)2+6516， 当 t =52，也即 x =254时，y 取最大值 6516． 答：对股票等风险型产品B 投资254万元，对债券等稳键型产品A 投资154万元时，可获最大收益6516万元．【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型23. 【答案】(1) 函数 f (x )=a x (a >1)，定义域为 [−1,1]，且最大值是 4， 所以 a =4，所以 f (x )=4x ， 所以 g (x )=f (x )2+f (x )=4x2+4x =4x +2−22+4x=1−22+4x ，所以g (x )+g (1−x )=1−22+4x +1−22+41−x=2−22+4x −4x2+4x =2−1=1.(2)g (110)+g (210)+g (310)+⋯+g (910)=[g (110)+g (910)]+[g (210)+g (810)]+[g (310)+g (610)]+[g (410)+g (610)]+12[g (510)+g (510)]=1+1+1+1+12=92.【知识点】函数的最大（小）值、函数的对称性24. 【答案】(1)原式=lg5+lg2−lg10−12−2log 23×log 32=1−(−12)−2=−12.(2) 原式=4−1+(−2)4+0.1=19.1.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算25. 【答案】(1) 因为 12∈M ，又 14=12×12，f (12)=1， 所以 f (14)=f (12×12)=f (12)+f (12)=2∈[0,2]， 所以 14∈M ，又因为 f (18)=f (14×12)=f (14)+f (12)=3∉[0,2]， 所以 18∉M ．(2) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数，所以 y =f (x ) 在 M 上有反函数 y =f −1(x )，x ∈[0,2]． 任取 x 1,x 2∈[0,2]，设 y 1=f −1(x 1)，y 2=f −1(x 2)， 所以 x 1=f (y 1)，x 2=f (y 2)（y 1,y 2∈M ）． 因为 x 1+x 2=f (y 1)+f (y 2)=f (y 1y 2)， 所以 y 1y 2=f −1(x 1+x 2)． 又 y 1y 2=f −1(x 1)f −1(x 2)，所以 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)． (3) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数， 所以 f −1(x ) 在区间 [0,2] 上也是严格减函数．f −1(x 2−x )⋅f −1(x +2)≤14 等价于 f −1(x 2−x +x +2)≤f −1(2)．转化为 {0≤x 2−x ≤2,0≤x +2≤2,x 2+2≥2,解得 {−1≤x ≤0或1≤x ≤2,−2≤x ≤0,x ∈R. 即 −1≤x ≤0．所以，不等式的解集为 [−1,0]．【知识点】函数的单调性、抽象函数、反函数26. 【答案】已知函数y=√1ax+1（a<0且a为常数），因为1ax+1≥0，a<0，所以x≤−a，即函数的定义域为(−∞,−a]．因为函数在区间(−∞,1]上有意义，所以(−∞,1]⊆(−∞,−a]，所以−a≥1，即a≤−1，所以实数a的取值范围是(−∞,−1]．【知识点】函数的定义域的概念与求法27. 【答案】(1) {x∣ x≥1}=[1,+∞)．(2) {x∣ x−2x+1≥0}={x∣ x<−1,或x≥2}=(−∞,−1)∪[2,+∞)．(3) {x∣ x=1,或2≤x≤8}={1}∪[2,8]．(4) {x∣ x<−4,或−1<x≤2}=(−∞,−4)∪(−1,2]．【知识点】函数的相关概念28. 【答案】因为Δ=82−4×(−1)×(−3)=52>0，所以方程−x2+8x−3=0有两个不相等的实根x1=4−√13，x2=4+√13．又二次函数y=−x2+8x−3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x∣4−√13<x<4+√13}．【知识点】二次不等式的解法29. 【答案】(1) 函数f(x)在[−2,−1)上是增函数．因为当x∈[−2,1)时，f(x)=x+1x，所以任取x1,x2∈[−2,1)，且x1<x2．所以x1−x2<0，1<x1x2．所以1−1x1x2>0．所以f(x1)−f(x2)=x1+1x1−(x2+1x2)=(x1−x2)(1−1x1x2)<0．所以f(x1)<f(x2)．所以f(x)在[−2,−1)上是增函数．(2) 由（1）可知，f (x )=x +1x 在 [−2,−1) 上是增函数， 所以当 x ∈[−2,−1) 时，f (−2)≤f (x )<f (−1)． 所以 f (x )∈[−52,−2)．当 x ∈[12,2] 时，f (x )=x −1x，因为 y =x 在 [12,2] 上为单调递增函数，y =1x 在 [12,2] 上为单调递减函数， 所以 f (x ) 在 [12,2] 上为单调递增函数． 所以 x ∈[12,2] 时，f (12)≤f (x )≤f (2)． 所以 f (x )∈[−32,32]．当 x ∈[−1,12) 时，f (x )=−2，综上所述，f (x ) 的值域为 A =[−52,−2]∪[−32,32]． (3) 因为函数 g (x )=ax −2，x ∈[−2,2]， ① 当 a =0 时，g (x )=−2， 对于任意 x 1∈[−2,2]， f (x 1)∈[−52,−2]∪[−32,32]，所以不存在 x 0∈[−2,2]，使得 g (x 0)=f (x 1) 成立． 所以 a =0 不符合题意；② 当 a ≠0 时，设 g (x ) 的值域为 B ， 所以 B =[−2∣a ∣−2,2∣a ∣−2]．因为对于任意 x 1∈[−2,2]，总存在 x 0∈[−2,2]，使 g (x 0)=f (x 1) 成立， 所以 A ⊆B ．所以 {−2∣a ∣−2≤−52,2∣a ∣−2≥32,即 {∣a ∣≥14,∣a ∣≥74.所以 ∣a ∣≥74．所以 a ≤−74 或 a ≥74．所以实数 a 的取值范围是 (−∞,−74]∪[74,+∞)．【知识点】函数的单调性、函数的值域的概念与求法、分段函数30. 【答案】(1) a =2 时，因为 ∣f (x )∣>1 等价于 f (x )>1 或 f (x )<−1． 所以 log 2(x +2)>1 或 log 2(x +2)<−1． 解得 x >0 或 −2<x <−32．所以，原不等式解集为 (−2,−32)∪(0,+∞)． (2) 当 0≤x ≤1 时，g (x )=f (x )=log 2(x +a )． 因为 y =g (x ) 为奇函数，所以 g (0)=log 2(0+a )=0，即 log 2a =0，解得 a =1． 所以，当 0≤x ≤1 时，g (x )=log 2(x +1)．所以 x =2g (x )−1，此时 g −1(x )=2x −1,x ∈[0,1]．当 x ∈[−1,0) 时，−x ∈(0,1]，g (x )=−g (−x )=−log 2(−x +1)． 所以 x =1−2−g (x )，此时 g −1(x )=1−2−x ,x ∈[−1,0)． 因此，g−1(x )={2x −1,x ∈[0,1],1−2−x ,x ∈[−1,0).【知识点】函数的奇偶性、反函数。
高一数学选择性必修第二册第四章《数列》章末复习题卷含答案解析 (23)
高一数学选择性必修第二册第四章《数列》章末复习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设数列{a n}的前n项和S n=n2，则a8的值为( )A．64B．16C．49D．152.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列{1a n a n+1}的前100项和为( )A．100101B．99101C．99100D．1011003.已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2)，令a n=1(f n+1)+(f n)，n∈N∗．记数列{a n}的前n项和为S n，则S2020=( )A．√2019−1B．√2020−1C．√2021−1D．√2021+14.等比数列{a n}的前n项和为S n=32n−1+r，则r的值为( )A．13B．−13C．19D．−195.已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( )A．2√10B．12√10C．√10D．32√106.在等比数列{a n}中，若a2，a9是方程x2−x−6=0的两根，则a5⋅a6的值为( )A．6B．−6C．−1D．17.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S3+S5>2S4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件8.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S6=−33，a1=2，则a5=( )A．12B．−10C．10D．129.下列说法正确的是( )A．数列1，−2，3，−4，⋯，是一个摆动数列B．数列−2，3，6，8可以表示为{−2,3,6,8}C．{a n}跟a n是同一个数列D．每一个数列的通项公式都是唯一确定的10.数列{a n}的通项公式为a n=2n+1，其前n项和为T n，若不等式nlog2(T n+4)−λ(n+1)+7≥3n对任意n∈N∗恒成立，则实数λ的取值范围为( )A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4二、填空题（共6题）11.定义＂等和数列＂：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为，这个数列的前n 项和S n的计算公式为．12.已知无穷等比数列{a n}满足：对任意的n∈N∗，sina n=1，则数列{a n}公比q的取值集合为．13.若等比数列{a n}的通项公式是a n=24−n(n∈N∗)，则这个数列的前5项之和为．14.已知数列{a n}满足：a1=12，a n+1=a n2+a n，用[x]表示不超过x的最大整数，则[1a1+1+1 a2+1+⋯+1a2017+1]的值等于．15.设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a1=1，a3=4，S k=63，则k=．16.已知等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=81，则log3a7=．三、解答题（共6题）17.已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．求数列{a n}的通项公式．18.已知数列{a n}满足a1=4，a n=4−4a n−1(n∈N∗,n≥2)，设b n=1a n−2．(1) 求证数列{b n}是等差数列；(2) 求数列{a n}的通项公式．19.已知{a n}为等差数列，且a3=−6，a6=0．(1) 求{a n}的通项公式；(2) 若等比数列{b n}满足b1=−8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．20.本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区a m2的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等．若改造到面积的一半时，所用时间需10年．已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的√2．2(1) 求每年平改坡的百分比；(2) 问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2=4，2S n=na n+n，n∈N∗．(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 若取出数列{a n}中的部分项a2，a6，a22，⋯依次组成一个等比数列{c n}，若数列{b n}．满足a n=b n⋅c n，求证：数列{b n}的前n项和T n<2322.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N∗)，求证：(1) 数列{a n+1}是等比数列；(2) 数列{a n}的通项公式是a n=2n−1．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =n 2， 所以 S 8=64=a 1+a 2+a 3+⋯+a 7+a 8， S 7=49=a 1+a 2+a 3+⋯+a 6+a 7， 所以 S 8−S 7=a 8=15．【知识点】根据n 项和式和n 项积式求通项2. 【答案】D【知识点】裂项相消法、等差数列的前n 项和3. 【答案】C【解析】由 f (4)=2，可得 4α=2，解得 α=12， 则 f (x )=√x ． 所以 a n =1(f n+1)+(f n )=√n+1+√n=√n +1−√n ，所以S 2020=a 1+a 2+a 3+⋯+a 2020=(√2−√1)+(√3−√2)+(√4−√3)+⋯+(√2021−√2020)=√2021−1.【知识点】裂项相消法4. 【答案】B【解析】当 n =1 时，a 1=S 1=3+r ， 当 n ≥2 时， a n =S n −S n−1=32n−1−32n−3=32n−3(32−1)=8⋅32n−3=8⋅32n−2⋅3−1=83⋅9n−1,所以 3+r =83，即 r =−13． 【知识点】等比数列的前n 项和5. 【答案】D【解析】因为在实数 x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，所以设中间三项为 a ，b ，c ，由等差数列的性质可得 2b =x +y ， 所以 b =x+y 2，同理可得 c =x+3y 4， 所以后三项的和为 b +c +y =x+y 2+x+3y 4+y =3x+9y 4，又因为 x 2+y 2=4，所以可令 x =2cosθ，y =2sinθ， 所以3x+9y 4=32(cosθ+3sinθ)=3√102sin (θ+φ)≤3√102． 【知识点】等差数列的前n 项和6. 【答案】B【知识点】等比数列的基本概念与性质7. 【答案】C【知识点】等差数列的前n 项和、充分条件与必要条件8. 【答案】B【解析】因为 S 6=−33，a 1=2，S 6=6a 1+6×52×d ，所以 −33=12+15d ， 所以 d =−3，所以 a 5=a 1+4d =2+4×(−3)=−10． 【知识点】等差数列的前n 项和9. 【答案】A【解析】摆动数列是指从第二项开始，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，故A 正确；数列与数集是两个不同的概念，故B 错；{a n } 表示的是 a 1，a 2，a 3，⋯，a n ，而 a n 表示的是数列 {a n } 的第 n 项，故C 错；数列的通项并不都是唯一确定的，比如数列“−1，1，−1，1，⋯”即可以用 a n =(−1)n 表示，还可以用 a n ={−1, n 为奇数,1, n 为偶数表示，故D 错．【知识点】数列的基本概念10. 【答案】A【解析】依题意得，T n =4(1−2n )1−2=2n+2−4，所以不等式 nlog 2(T n +4)−λ(n +1)+7≥3n 可化为 nlog 22n+2−λ(n +1)+7≥3n ， 即 n 2−n +7≥λ(n +1)． 又 n ∈N ∗， 所以 λ≤n 2−n+7n+1对任意 n ∈N ∗ 恒成立．只需满足 λ≤(n 2−n+7n+1)min即可．设 n +1=t ，则 t ∈N ∗，t ≥2， 所以 λ≤n 2−n+7n+1=t +9t −3．因为 t +9t −3≥2√t ⋅9t −3=3， 当且仅当 t =3，即 n =2 时等号成立， 所以 (n 2−n+7n+1)min=3．所以 λ≤3．【知识点】等比数列的前n 项和二、填空题（共6题）11. 【答案】3；S n ={5n2,n 为偶数5n 2−12,n 为奇数【知识点】分组求和法12. 【答案】 {q∣ q =4k +1,k ∈Z }【知识点】等比数列的基本概念与性质13. 【答案】312【知识点】等比数列的前n 项和14. 【答案】 1【解析】因为 a n+1=a n 2+a n ，故 a n+1−a n =a n 2>0，即数列 {a n } 是递增数列，由 a n+1=a n 2+a n 可得 a n+1=a n (a n +1)，所以1a n+1=1a n−1a n +1，从而 1a n +1=1a n−1a n+1，所以 1<1a 1+1+1a 2+1+⋯+1a 2017+1=1a 1−1a 2018<1a 1=2，故 [1a 1+1+1a2+1+⋯+1a 2017+1]=1．【知识点】裂项相消法15. 【答案】 6【知识点】等比数列的前n 项和16. 【答案】 2【解析】因为等比数列 {a n } 各项都是正数，且 a 3a 11=81，所以 a 3a 11=a 72=81，因此 a 7=9，所以 log 3a 7=log 39=2．【知识点】等比数列的基本概念与性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】 a n =2n −1．【知识点】等差数列的基本概念与性质18. 【答案】(1) 略．(2) a n =2n +2．【知识点】等差数列的基本概念与性质19. 【答案】(1) 在等差数列 {a n } 中，由 a 3=−6，a 6=0， 得 d =a 6−a 36−3=0−(−6)3=2，所以 a n =a 6+(n −6)d =2n −12．(2) 在等比数列 {b n } 中，b 1=−8，b 2=a 1+a 2+a 3=−10+(−8)+(−6)=−24， 所以 q =b 2b 1=−24−8=3，所以 {b n } 的前 n 项和公式 S n =−8(1−3n )1−3=4(1−3n )．【知识点】等差数列的基本概念与性质、等比数列的前n 项和20. 【答案】(1) 设每年平改坡的百分比为 x （0<x <1），则 a (1−x)10=12a ，即 1−x =(12)110,解得 x =1−(12)110≈0.0670=6.70%，(2) 设到今年为止，该工程已经进行了 n 年，则 a (1−x )n =√22a ，即 (12)n10=(12)12，解得 n =5，所以到今年为止，该工程已经进行了 5 年．【知识点】数列模型的实际应用问题21. 【答案】(1) 因为2S n=na n+n, ⋯⋯①当n≥2时，2S n−1=(n−1)a n−1+(n+1). ⋯⋯②由①−②：2a n=na n−(n−1)a n−1+1，所以(n−2)a n−(n−1)a n−1+1=0．所以(n−2)a n−(n−1)a n−1+(n−1)−(n−2)=0．所以(n−2)(a n−1)=(n−1)(a n−1−1)．所以a n−1n−1=a n−1−1n−2对n≥3，n∈N∗成立．所以a n−1n−1=a2−13−2=3，所以a n=3n−2对n≥3，n∈N∗成立．又a1=S1=1，a2=4，也都适合上式，所以a n=3n−2．(2) 因为a2=4，a6=16，所以c n=4n，所以b n=(3n−2)⋅14n．T n=1⋅14+4⋅142+7⋅143+⋯+(3n−2)⋅14n, ⋯⋯①1 4T n=1⋅142+4⋅143+⋯+(3n−5)⋅14n+(3n−2)⋅14n+1. ⋯⋯②由①−②得：3 4T n=14−(3n−2)⋅14n+1+3(142+143+⋯+14n)=14−(3n−2)⋅14n+1+316(1−14n−1)1−14=12−3n+24n+1.所以T n=23−3n+23⋅4n<23．【知识点】根据n项和式和n项积式求通项、错位相减法22. 【答案】(1) 因为a n+1=2a n+1(n∈N∗)，所以a n+1+1=2(a n+1)，所以{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．(2) 由（1）可得a n+1=2n，即a n=2n−1(n∈N∗)．【知识点】等比数列的基本概念与性质。
数列高中数学试题及答案
数列高中数学试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=2a_n+1，n∈N*，则a_5的值为（）A. 31B. 63C. 127D. 2552. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=3，S_6=9，则S_9的值为（）A. 15B. 12C. 18D. 213. 已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=2，a_4=16，求a_7的值（）A. 128B. 64C. 32D. 2564. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2-n，求数列{a_n}的前n 项和S_n（）A. n(n-1)(n+1)/3B. n(n+1)(2n+1)/6C. n(n+1)(2n-1)/3D. n(n+1)(2n-1)/6二、填空题5. 等比数列{a_n}中，a_1=3，公比q=2，求a_5的值______。
6. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，求a_5的值______。
7. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=3a_n+2，求a_4的值______。
三、解答题8. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=2a_n+1，求数列{a_n}的通项公式。
9. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=18，求a_7的值。
10. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1，求数列{a_n}的前n项和S_n。
答案解析：一、选择题1. 答案：C解析：根据题目给出的递推关系式a_(n+1)=2a_n+1，我们可以逐步计算出a_2=2a_1+1=3，a_3=2a_2+1=7，a_4=2a_3+1=15，a_5=2a_4+1=31，所以a_5的值为127。
2. 答案：A解析：根据等差数列的性质，S_3，S_6-S_3，S_9-S_6成等差数列。
已知S_3=3，S_6=9，所以S_6-S_3=6，S_9-S_6=9，因此S_9=S_6+(S_6-S_3)+(S_9-S_6)=9+6+9=24，但是选项中没有24，所以需要重新检查题目。
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2011级13班数列复习题 一、选择题 1、若数列{an}的通项公式是an=2(n＋1)＋3，则此数列 ( ) (A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列 (C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列 2、等差数列{an}中，a1=3,a100=36,则a3＋a98等于 ( ) (A)36 (B)38 (C)39 (D)42 3、含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( )
(A)nn12 (B)nn1 (C)nn1 (D)nn21 4、设等差数列的首项为a,公差为d，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是 ( ) (A)a＞0,d＞0 (B)a＞0,d＜0 (C)a＜0,d＞0 (D)a＜0,d＜0
5、在等差数列{an}中，公差为d，已知S10＝4S5，则da1是 ( )
(A)21 (B)2 (C)41 (D)4 6、设{an}是公差为－2的等差数列，如果a1+ a4+ a7+……+ a97=50，则a3+ a6+ a9……+ a99= ( ) (A)182 (B)－80 (C)－82 (D)－84 7、等差数列{an} 中，S15=90，则a8= ( ) (A)3 (B)4 (C)6 (D)12
8、等差数列{an}中，前三项依次为xxx1,65,11，则a101= ( )
(A)3150 (B)3213 (C)24 (D)328 9、数列{an}的通项公式nnan11，已知它的前n项和为Sn=9，则项数n= ( ) (A)9 (B)10 (C)99 (D)100 10、等差数列{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，求a2+a8= ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 11、已知{an}是等差数列，且a2+ a3+ a8+ a11=48，则a6+ a7= ( ) (A)12 (B)16 (C)20 (D)24 12、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于 ( ) (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 13、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160
14、等差数列{an}的公差为21，且S100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+……+ a99=( ) (A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值 15、等差数列{an}中，a1+a2+……a10=15，a11+a12+……a20=20，则a21+a22+……a30=( ) (A)15 (B)25 (C)35 (D)45 16、等差数列{an}中，a1=3，a100=36，则a3+a98= ( ) (A)36 (B)39 (C)42 (D)45 17、{an}是公差为2的等差数列，a1+a4+a7+……+a97=50，则a3+a6+……+ a99= ( ) (A)－50 (B)50 (C)16 (D)1.82 18、若等差数列{an}中，S17=102，则a9= ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 19、 夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是 ( ) (A)1500 (B)1600 (C)1700 (D)1800
20、若x≠y，且两个数列：x，a1，a2，y 和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么31byxa
( )(A)43 (B)34 (C)32 (D)值不确定 21、一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是 ( ) (A)4 (B)8 (C)12 (D)20 22、等差数列{an}中如果a6=6，a9=9，那么a3= ( )
(A)3 (B)32 (C)916 (D)4
23、设{an}是等比数列，且a1=32，S3=916，则它的通项公式为an= ( ) (A)1216•n (B)n•216 (C)1216•n (D)1216•n或23 24、已知a、b、c、d是公比为2的等比数列，则dcba22= ( ) (A)1 (B)21 (C)41 (D)81 25、已知等比数列{an} 的公比为q，若21na=m（n为奇数），则213na= ( )
(A)mqn－1 (B) mqn (C) mq (D) 81 26、已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( ) (A)60 (B)70 (C)90 (D)126 27、若{an}是等比数列，已知a4 a7=－512，a2+a9=254，且公比为整数，则数列的a12是 ( ) (A)－2048 (B)1024 (C)512 (D)－512
28、数列{an}、{bn}都是等差数列，它们的前n项的和为1213nnTSnn，则这两个数列的第5项的比为 ( ) (A)2949 (B)1934 (C)1728 (D)以上结论都不对 29、已知cbbaaclglg4lg2•，则a，b，c ( ) (A)成等差数列 (B)成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列 (D)既不成等差数列又不成等比数列 30、若a+b+c，b+c－a，c+a－b，a+b－c成等比数列，且公比为q，则q3+q2+q的值为 ( )(A)1 (B)－1 (C)0 (D)2 31、若一等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为350，则此数列共有 ( ) (A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项 32、在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则二数之和为 ( )
(A)2113 (B)04111或 (C)2110 (D)219
33、数列1，211，3211，……，n211的前n项和为 ( ) (A) nn12 (B)122nn (C)12nn (D)12nn 34、设数列{an}各项均为正值，且前n项和Sn=21（an+na1），则此数列的通项an应为 ( ) (A) an=nn1 (B) an=1nn (C) an=12nn (D) an=12n 35、数列{an}为等比数列，若a1+ a8=387，a4 a5=1152，则此数列的通项an的表达式为 ( )
(A) an =3×2n -1 (B) an =384×（21）n -1
(C) an =3×2n -1或an =384×（21）n -1 (D) an =3×（21）n -1 36、已知等差数{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，则a1+ a9= ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 37、已知等比数列{an}中，an＞0，公比q≠1，则 ( )
(A)26242723aaaa (B)26242723aaaa (C)26242723aaaa (D)的大小不确定与26242723aaaa
38、在等比数列中，首项89，末项31，公比32，求项数 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 39、等比数列{an}中，公比为2，前四项和等于1，则前8项和等于 ( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 40、某厂产量第二年增长率为p，第三年增长率为q，第四年增长率为r，设这三年增长率为x，则有 ( )
(A)3rqpx (B)3rqpx (C)3rqpx (D)3rqpx 二、填空题 1、已知等差数列公差d＞0,a3a7=－12,a4+a6=－4,则S20=_______ 2、数列{an}中，若a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,a3,a4,a5的倒数又成等差数列，则a1,a3,a5成_______数列 3、已知{an}为等差数列,a1=1,S10=100,an=_______.令an=log2bn,则的前五项之和 S5′=_______
4、已知数列)2)(1(1,,201,121,61nn则其前n项和Sn=________. 5、数列前n项和为Sn=n2+3n,则其通项an等于____________. 6、等差数列{an}中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n项和为187, 则n的值为____________.
7、已知等差数列{an}的公差d≠0, 且a1,a3,a9成等比数列, 1042931aaaaaa的值是________. 8、等差数列{an}中, S6=28, S10=36(Sn为前n项和), 则S15等于________. 9、等比数列{an}中, 公比为2, 前99项之和为56, 则a3+a6+a9+…a99等于________. 10、等差数列{an}中, a1=1,a10=100,若存在数列{bn}, 且an=log2bn,则b1+b2+b3+b4+b5等于____________.
11、已知数列1,,3,2,1nnnnnn , 前n项的和为____________. 12、已知{an}是等差数列,且有a2+a3+a10+a11=48, 则a6+a7=____________. 13、等比数列{an}中, a1+a2+a3+a4=80, a5+a6a7+a8=6480, 则a1必为________.
14、三个数a1、1、c1成等差数列，而三个数a2、1、c2成等比数列， 则22caca等于____________. 15、已知1lg,2x, lgy成等比数列, 且x＞1,y＞1, 则x、y的最小值为________.
16、在数列{an}中, 5221nnnaaa, 已知{an}既是等差数列, 又是等比数列,则{an}的前20项的和为________. 17、若数列{an}, )1)(2(1,3211nnaaann且 (n∈N), 则通项an=________.
18、已知数列{an}中, nnaaa)12(,22314(n≥1), 则这个数列的通项公式an=________.
19、正数a、b、c成等比数列, x为a、b的等差中项, y为b、c的等差中项, 则acxy的值为________. 20、等比数列{an}中, 已知a1·a2·a3=1,a2+a3+a4=47, 则a1为________.