直观理解欧拉公式
欧拉公式顶点面和棱之间的关系
欧拉公式顶点面和棱之间的关系
在几何学中，多面体是一个基本的研究对象。
它由顶点、面和棱组成。
欧拉公式是一个描述简单多面体中顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间关系的数学公式。
这个公式揭示了多面体的基本性质，为我们理解多面体的结构提供了重要的理论依据。
欧拉公式如下：
V - E = F
或者更具体地：
V + F - E =2
这个公式表明，在简单多面体中，顶点数、面数和棱数之间存在一种特殊的关系。
通过这个公式，我们可以了解多面体的结构特点，分析不同类型的多面体之间的差异。
欧拉公式的几何解释：
1.顶点数（V）：表示多面体中的顶点数量，顶点是多面体的基本构成部分。
2.面数（F）：表示多面体中的面数量，面是多面体的外部表现形式。
3.棱数（E）：表示多面体中的棱数量，棱是连接顶点的线段。
在实际应用中，欧拉公式可以帮助我们了解多面体的性质，例如，通过计算多面体的顶点数、面数和棱数，我们可以判断多面体的类型和结构。
此外，欧拉公式在计算机图形学、机器人学等领域也有广泛的应用。
值得注意的是，欧拉公式不仅适用于简单多面体，还适用于更复杂的多面体。
通过研究欧拉公式，我们可以深入了解多面体的内在规律，为多面体的研究和应用提供有力的支持。
总之，欧拉公式是描述简单多面体中顶点数、面数和棱数之间关系的重要公式。
它揭示了多面体的基本性质，为多面体的研究奠定了基础。
通过深入理解欧拉公式，我们可以更好地认识多面体的结构特点，发挥多面体在各个领域的应用价值。
平面图形的欧拉公式及其应用
平面图形的欧拉公式及其应用平面图形是我们日常生活中经常接触的，比如说纸片、路牌和地图等等。
欧拉公式是平面图形论中一个非常重要的定理，被誉为平面图形学的基石。
本文将简要介绍欧拉公式的定义及其应用。
一、欧拉公式的定义欧拉公式是平面图形中著名的数学定理，在平面图形中连通的多边形、边和顶点之间有着一个特殊的关系：设 $V$ 为图形的顶点数，$E$ 为边数，$F$ 为面数，则有：$$ V-E+F = 2 $$上式被称为欧拉公式，它将顶点、边和面三个要素联系起来，形成了一个完整而有机的系统。
二、欧拉公式的推导欧拉公式最初由瑞士数学家欧拉在18世纪发现。
它的推导可以通过数学归纳法得到。
对于任意一个简单的连通图，不需破坏它的连通性，可以连续剪掉边界上的一些三角形，最终得到一个由顶点、边和面构成的实体。
由于初次操作时，图形的 $V-E+F = 2$ 成立；每次移除一个三角形时，均使得 $V$ 和 $E$ 减少 $1$，但不改变 $F$，因此在这个过程中，$V-E+F$ 的值始终为 $2$。
当我们把它进行足够多次操作，在这个过程中，图形中的边界将会被全部消失，形成一个十分简单的连通图形。
在该过程中，$V-E+F$ 的值始终为 $2$，因此结论得证。
三、欧拉公式的应用欧拉公式不仅仅是数学定理，还有着广泛的应用，以下是关于欧拉公式的几个应用案例：1. 计算交叉点数对于任意一个由线段组成的平面图形，如果要求它所有线段的交叉点数 $I$，那么可以通过计算其欧拉示性数来求得。
首先，我们需要确定图形中面的数量 $F$，可以通过在图形中插入一条水平的直线，将图形划分成了若干个面。
然后，我们计算图形中有多少条边 $E$，每条边分别与多少条其他边相交，累加来得到被重复计算的交叉点数量 $J$，最后运用欧拉公式求解：$$ I = E - 2F + 2 - J $$2. 寻找多边形的边界在图形中，如果要寻找一个由多边形组成的边界，可以利用欧拉公式求解。
欧拉公式多面体顶点数棱数面数关系推导
欧拉公式多面体顶点数棱数面数关系推导嘿，咱今天来聊聊欧拉公式中多面体顶点数、棱数和面数的关系推导。
先给您说个事儿，之前我去参加一个数学科普活动，遇到一个小朋友，拿着一个魔方，满脸疑惑地问我：“这魔方到底有啥数学秘密呀？”我当时就想到了咱们今天要说的欧拉公式。
那欧拉公式到底是啥呢？简单来说就是对于任何一个凸多面体，顶点数 V、棱数 E 和面数 F 之间都存在一个固定的关系：V - E + F = 2 。
咱们先来直观感受一下这个公式。
比如说一个正方体，它有 8 个顶点，12 条棱，6 个面。
咱们算算：8 - 12 + 6 ，嘿，正好等于 2 ！那这公式咋推导出来的呢？咱们一步步来。
假设一个多面体是空心的，就像一个吹起来的气球。
咱把它的面都剪成一个个小三角形。
这时候注意啦，每剪一条棱，就会多出一个面。
比如说原来有 1 个面，2 条棱，现在剪成 2 个三角形，就有 2 个面，3条棱啦。
再想象一下，如果把这个空心多面体不断地“压缩”，就像把气球压扁。
这时候，面和棱的数量可能会变化，但是顶点数可不变哟。
咱接着来，把多面体想象成是由一个个小三角形拼接起来的。
如果两个三角形有一条公共边，那就把这条边去掉，这样面和棱的数量就会减少，但顶点数还是不变。
经过这样一系列操作，最后会得到一个像大三角形一样的东西。
这个大三角形有 3 个顶点，3 条棱，1 个面。
那咱们反推回去，每增加一个三角形，顶点数就增加 2 个，棱数增加 3 条，面数增加 1 个。
所以呀，顶点数 V 、棱数 E 和面数 F 之间就有了 V - E + F = 2 这样的关系。
回到开头那个小朋友的魔方，其实魔方的每个小块儿，每个面的组合，都能从欧拉公式里找到数学的规律。
咱们在学习数学的时候，像这样看似复杂的公式，只要咱们多观察、多思考，多动手试试，就能发现其中的奥秘。
总之，欧拉公式中多面体顶点数、棱数和面数的关系推导，就像是一场有趣的数学探险，等着咱们去发现更多的惊喜！。
欧拉公式推到
欧拉公式推到
Euler公式（Euler Formula）又叫欧拉定理，它是一个很重要的数学定琮，
可以用来计算几何体表面积和体积。
它是由欧拉发现的，所以又称作欧拉公式或者欧拉定理。
这个定理的内容是：对于任意的多面体，其顶点数减去边数加上面数等于2，即V-E+F=2。
欧拉公式体现了建筑学中的思想，在建筑和结构设计过程中必须要考虑到几何
体表面积和体积，欧拉公式通过指定各项数值，可以将这些类型的多面体计算出来。
它是建筑学中用来测算和计算几何体表面积和体积的一种有效方法，可以有效地节约测量几何体表面积和体积的时间和金钱。
欧拉公式在建筑学的应用中，也有其他的好处，比如可以更好的理解建筑设计
的几何形状，这样就可以为建筑设计带来更多的灵活性。
它也能够指导和帮助建筑师把握几何体的比例，避免出现面积不足或过大等问题。
欧拉公式是一种高效率的公式，它帮助建筑学家们更好的进行建筑和结构设计，快速精准的测算几何体表面积和体积，从而最大化地节省建筑和结构设计过程中投入的时间和金钱，提高工程效率，做出满足设计要求的作品。
欧拉公式计算
欧拉公式计算【最新版】目录1.欧拉公式的概述2.欧拉公式的计算方法3.欧拉公式的应用实例4.总结正文1.欧拉公式的概述欧拉公式，又称为欧拉恒等式，是由瑞士数学家欧拉在 18 世纪提出的一个数学公式。
该公式在数学领域具有极高的地位，被认为是数学中最美丽的公式之一。
欧拉公式的表达式为：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中 e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，x 是实数。
2.欧拉公式的计算方法欧拉公式的推导过程相对简单。
首先，我们需要知道复数的基本概念：复数是由实数和虚数构成的数，形式为 a+bi，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位（满足 i^2=-1）。
然后，我们将复数 e^(ix) 按照欧拉公式展开：e^(ix) = (cos(x) + i*sin(x)) * (1 + 0i)接着，我们利用复数的乘法运算法则进行计算：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) + 0i * (cos(x) + i*sin(x))最后，我们通过化简得到欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)3.欧拉公式的应用实例欧拉公式在数学、物理等科学领域具有广泛的应用。
下面举一个简单的应用实例：假设我们要求解函数 f(x) = e^(ix) 在 x=π/4 处的函数值，根据欧拉公式，我们可以直接将 x=π/4 代入公式：f(π/4) = e^(i*π/4) = cos(π/4) + i*sin(π/4) = √2/2 + √2/2 * i这样就得到了函数在 x=π/4 处的值。
4.总结欧拉公式是数学领域中一个非常优美的公式，它将复数、三角函数和指数函数紧密联系在一起，展现了数学的和谐统一。
欧拉公式不仅具有重要的理论意义，还在实际应用中发挥着重要作用。
eulor公式
eulor公式
欧拉公式是数学中最重要的公式之一，它涉及到了复数、无理数、三角函数，
其公式为：e^iθ=cos(θ)+isin(θ)。其中，e是自然对数的底数，i是虚数单
位。
欧拉公式代表的含义并不是欧拉最先发现的，1714年英国物理学家和数学
家罗杰·柯茨在一个公式中建立了对数、三角函数和虚数之间的关系。在
1740年前后，欧拉通过另一种形式得到了等价的公式。如果将θ的值特殊
化为θ=π，就得到了欧拉恒等式。
以上内容仅供参考，建议查阅关于欧拉的书籍或咨询数学领域专业人士获取
更多信息。
欧拉 公式
欧拉公式欧拉公式是数学中一条非常重要的公式，它将数学中的五个重要数学常数联系在一起，形式简洁而优美。
这个公式被誉为数学界的“最美公式”。
欧拉公式可以写作：e^ix = cosx + isinx，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，x是任意实数。
这个公式表明了自然指数函数和三角函数之间的奇妙关系。
在这个公式中，e^ix的实部是cosx，虚部是isinx。
这意味着自然指数函数和三角函数之间有一种紧密的联系，它们可以通过欧拉公式相互转换。
这个公式将复数的指数形式和三角函数的三角形式统一在一起，为数学的发展带来了重大的突破。
欧拉公式不仅在数学中有着重要的应用，还在物理学、工程学等领域发挥着重要作用。
在电路分析、信号处理、量子力学等领域，欧拉公式的应用广泛而深远。
通过欧拉公式，我们可以将复杂的指数函数转化为简单的三角函数，从而简化了很多计算和推导过程。
欧拉公式的美妙之处在于它将看似独立的数学概念联系在一起，展现出数学的内在结构和美感。
欧拉公式的证明是相当复杂的，涉及到复分析、级数展开等高深的数学知识。
但无论如何，欧拉公式的魅力和重要性不言而喻。
它不仅仅是一条公式，更是一种思想的体现，展示了数学的深邃和优雅。
通过学习和理解欧拉公式，我们可以更好地理解数学的本质和力量。
它不仅仅是一种工具，更是一种美的表达和思考方式。
欧拉公式的魅力在于它的简洁性和普适性，它将数学的复杂性化繁为简，让我们更容易去探索和理解世界的奥秘。
欧拉公式是数学中的一颗明星，它照亮了数学的道路，引领着我们前进。
通过欧拉公式，我们可以看到数学的美丽和无限可能性。
让我们一起探索数学的奇妙世界，在欧拉公式的指引下，不断追求数学的真理和美感。
欧拉公式的几何意义
欧拉公式的几何意义欧拉公式是数学中的一个重要公式，它表达了数学中的三个基本数学常数e、π和i之间的关系。
具体而言，欧拉公式可以表示为e^i π + 1 = 0。
欧拉公式的几何意义可以通过欧拉公式在复平面上的图形表示来理解。
在复平面上，实数轴表示实数，而虚数轴表示纯虚数，而复数则是实部和虚部的和。
欧拉公式可以将复数与三角函数相联系，从而将复数转化为具有几何意义的形式。
欧拉公式的几何意义可以通过欧拉公式在复平面上的图形表示来理解。
在复平面上，实数轴表示实数，而虚数轴表示纯虚数，而复数则是实部和虚部的和。
欧拉公式可以将复数与三角函数相联系，从而将复数转化为具有几何意义的形式。
具体而言，欧拉公式可以将复数表示为e^ix的形式，其中x是一个实数。
这个形式可以被解释为复数在单位圆上的轨迹。
当x取不同的值时，复数e^ix的实部和虚部会改变，因此在复平面上，复数e^ix 的轨迹会在单位圆上不断运动。
这个轨迹被称为单位圆上的复数震荡。
欧拉公式还可以将三角函数与指数函数相联系，通过欧拉公式可以得到一些重要的三角函数公式。
例如，当x取π时，欧拉公式变为e^iπ + 1 = 0，这表明e^iπ = -1，从而得到著名的欧拉恒等式e^iπ + 1 = 0。
这个公式将三角函数、指数函数和复数联系在一起，展示了它们之间的深刻关系。
总结起来，欧拉公式的几何意义在于将复数与三角函数和指数函数联系在一起，通过在复平面上的图形表示，展示了它们之间的美妙关系。
这个公式的几何意义不仅在于数学本身的研究，还在于应用于物理、工程和计算机科学等领域，为这些领域提供了强大的工具和理论基础。
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直观理解欧拉公式欧拉的身份似乎莫名其妙：它来自一个更通用的公式：)sin()cos(x i x e i +=πYowza ——我们将一个虚指数与正弦和余弦联系起来！并以某种方式插入 pi 给出 -1？这可能是直观的吗？不是根据 1800 年代数学家 Benjamin Peirce 的说法：● 这绝对是自相矛盾的；我们无法理解它，我们不知道它的含义，但我们已经证明了它，因此我们知道它一定是真理。
啊啊啊，这态度让我热血沸腾！公式不是需要记住的魔法：我们必须，必须，必须找到洞察力。
这是我的：欧拉公式描述了两种等价的圆周运动方式。
就是这样？这个惊人的方程式是关于旋转的？是的——我们可以通过一些类比来理解它：● 从数字 1 开始，将乘法视为改变数字的变换：πi e•1● 规则指数增长在一段时间内以某种速度持续增加1；虚指数增长在一段时间内连续旋转1● 为“pi ”单位时间增长意味着围绕圆圈旋转pi 弧度 ● 所以，πi e•1 意味着从 1 开始并旋转 pi （绕一圈的一半）到 -1这是高级视图，让我们深入了解细节。
顺便说一句，如果有人试图给你留下深刻印象，向他们询问i 的i 次幂。
如果他们想不通，欧拉公式对他们来说仍然是一个神奇的咒语。
更新：在写作时，我认为可能有助于更清楚地解释这些想法：理解 cos(x) + i * sin(x)1-=πi e 1-=πi e等号过载。
有时我们的意思是“将一件事设置为另一件事”（例如x = 3），而其他人的意思是“这两件事描述相同的概念”（例如√−1=i）。
欧拉公式是后者：它给出了两个公式来解释如何做圆周运动。
如果我们使用三角函数检查圆周运动，并以x 弧度移动：●cos(x) 是x 坐标（水平距离）●sin(x) 是y 坐标（垂直距离）该声明cos(x) + i sin(x)是一种将x 和y 坐标粉碎成单个数字的巧妙方法。
类比“复数是二维的”帮助我们将单个复数解释为圆上的位置。
当我们将x 设置为π，我们在旅行π单位圆外的单位。
因为总周长是2π, 老样子π已经过了一半，让我们处于-1。
Neato：欧拉公式的右边(cos(x) + i sin(x)) 用虚数描述圆周运动。
现在让我们弄清楚等式的e边是如何完成它的。
什么是想象增长？将x 和y 坐标组合成一个复数很棘手，但很容易管理。
但是虚指数是什么意思呢？让我们退后一步。
当我看见，我是这样想的：● 3 是以ln(3) 的速率即时增长（使用 e ）的最终结果。
换句话说)3ln(3e =：●43与增长到 3 相同，但随后增长了 4 倍。
所以43=814)3ln(=•e您可以将数字视为必须“成长”的东西，而不是单独看到数字。
实数，如 3，给出的利率为 ln(3) = 1.1，这就是 e 在它进行时“收集”的，并且不断增长。
定期增长很简单：它不断“推动”一个数字朝着它原来的方向前进。
3 × 3 向原始方向推动，使其大 3 倍 (9)。
想象的增长不一样：我们赚的“利息”方向不同！它就像一个被绑在侧面的喷气发动机——我们不是向前推进，而是开始以 90 度角推进。
恒定正交（垂直）推动的巧妙之处在于它不会使您加速或减慢您的速度——它会旋转您！取任何数字并乘以i 不会改变它的大小，只会改变它指向的方向。
直觉上，我是这样看待连续的假想增长率的：“当我成长时，不要在我已经前进的方向上推动我前进或后退。
而是旋转我。
”但是我们不应该越来越快地旋转吗？我也想知道。
常规增长复合我们原来的方向，所以我们去 1、2、4、8、16，每次乘以 2 倍e)2ln(，这意味着在“x”秒内以ln(2) 的速度立即增长。
并保持实数。
我们可以考虑这个x嘿——如果我们的增长率是两倍快，2ln(2) vs ln(2)，它看起来就像增长了两倍（2x vs x）。
e 的魔力让我们交换速率和时间；ln(2) 处的2 秒与2ln(2) 处的1 秒增长相同。
现在，假设我们有一些纯虚构的增长率(Ri)，它会旋转我们直到达到i，或向上90 度。
如果我们将这个比率加倍到2Ri 会发生什么，我们会脱离这个圆圈吗？不！具有2Ri 的速率意味着我们只是以两倍的速度旋转，或者以R 的速率旋转两倍的时间，但我们仍停留在圆圈上。
旋转两倍的时间意味着我们现在面对180 度。
一旦我们意识到某种指数增长率可以将我们从 1 带到i，那么增加该增长率只会使我们旋转得更多。
我们永远也逃不出这个圈子。
然而，如果我们的增长率是复数（a+bi vs Ri），那么实部(a) 会像往常一样增长，而虚部(bi)e, 是关于让我们留在圈子里的纯粹想象的增会旋转我们。
但我们不要幻想：欧拉公式，ix长（稍后会详细介绍）。
快速健全性检查在写作的过程中，我不得不为自己澄清几个问题：为什么使用x e，我们不是在旋转数字1 吗？e表示从1 开始并在1 个单位时间内以100% 的利率持续增长的过程。
当我们写e 时，我们用一个数字来捕捉整个过程——e 代表了持续增长的所有完整细节。
所以真的，x e是说“从1 开始，并在x 秒内以100% 的速度持续增长”，然后像我们想要的那样从1 开始。
但是作为指数的i 是做什么的？对于像这样的常规指数43我们问：●什么是隐含增长率？我们从1 增长到3（指数的底数）。
●我们如何改变这种增长率？我们将其缩放4 倍（指数的幂）。
我们可以将我们的增长转换为“e”格式：我们的瞬时增长率是ln(3)，我们将其增加到ln(3) * 4。
同样，指数(4) 的幂只是缩放了我们的增长率。
4)3ln(4)3ln(4)(3e e ==•当最高指数为 i 时（如i3 )，我们只需将隐含增长率乘以 i 。
因此，我们不是以普通的 ln(3) 增长，而是以 ln(3) * i 增长。
i i i e e )(3)3ln()3ln(==•指数的顶部修改了底部的隐含增长率。
详细信息让我们仔细看看。
记住e 的这个定义：nn nee )%1001(lim %100+==∞→那 代表我们在每个微观时期赚取的部分利息。
我们假设实际维度上的利率是 100%——但是如果它在虚方向上是 100% 呢？nn ine)i %1001(lim %100•+=∞→•现在，我们新形成的兴趣增加了我们在 90 度方向上的兴趣。
令人惊讶的是，这并没有改变我们的长度——这是一个棘手的概念，因为它似乎构成了一个斜边必须更大的三角形。
我们正在处理一个限制，额外的距离在我们指定的误差范围内。
这是我想改天解决的问题，但请相信我的话：持续的垂直增长会让你旋转。
这是正弦和余弦的核心，你的变化垂直于你当前的位置，你在一个圆圈中移动。
我们以无限小的增量应用i 个增长单位，每个单位都以 90 度角推动我们。
没有“越来越快”的旋转——相反，我们沿着圆周爬行了 |i| 的距离。
= 1（i 的大小）。
嘿 - 绕圆爬行的距离是以弧度为单位的角度！我们找到了另一种描述圆周运动的方法！获得圆周运动：通过以 90 度角（又名假想增长率）旋转来不断变化。
所以，欧拉的公式是说“指数的，想象的增长描绘出一个圆圈”。
这条路径与在虚平面中使用正弦和余弦在圆中移动是一样的。
在这种情况下，“指数”这个词令人困惑，因为我们以恒定的速度绕圆运动。
在大多数讨论中，假设指数增长具有累积的复合效应。
一些例子你不会真的相信我吧？这里有几个例子，以及如何直观地思考它们。
例子：iex 在哪里？啊，它只是 1。
直观地，不用计算器，我们知道这意味着“沿单位圆走 1 弧度”。
在我的脑海中，我看到“e ”试图在同一个方向上以 100% 的速度增长 1，但我一直在移动球并迫使“1”沿着圆的边缘增长：i e = cos(1) + i sin(1) = .5403 + .8415i不是最漂亮的数字，但确实如此。
请记住在输入时将计算器置于弧度模式。
例子： i3这很棘手——它不是我们的标准格式。
但要记住，i i 313•=我们希望在周期结束时初始增长 3 倍，或 ln(3) 的瞬时速率。
但是，i 出现并将 ln(3) 的比率更改为 "i * ln(3)"：iii ee•==)3ln()3ln()(3我们认为我们将以 ln(3) 的常规速率进行转换，比 100% 连续增长快一点，因为 e 约为2.718。
但是哦，不，我让我们转了一圈：现在我们正在以想象的速度转变，这意味着我们只是在旋转。
如果我是一个像 4 这样的普通数字，它会让我们的增长速度提高 4 倍。
现在我们以 ln(3) 的速度增长，但横向增长。
我们应该期待单位圆上的复数——增长率不会增加我们的规模。
求解方程：i 3 = i e •)3ln(= cos(ln(3)) + isin(ln(3)) = .4548 + .8906i所以，而不是在圆圈周围结束“1”个单位（比如 ) 我们最终得到 ln(3) 个单位。
例子： ii几个月前，这会让我泪流满面。
今天不行！让我们分解一下转换：i i =1i i我们从 1 开始，想改变它。
喜欢解决i3，以i 为基数表示的瞬时增长率是多少？嗯。
通常我们会做 ln(x) 来获得在 1 个单位时间结束时达到 x 所需的增长率。
但是对于虚率？我们需要解决这个问题。
为了从 1 开始并增长到i ，我们需要从一开始就开始旋转。
多快？好吧，我们需要在 1 个单位时间内获得 90 度（pi/2 弧度）。
所以我们的汇率是. 请记住，我们的速率必须是虚构的，因为我们是在旋转，而不是在增长！朴素的老pi/2 约为 1.57 并导致正常增长。
这应该是有道理的：要在 1 个单位结束时将 1.0 变为i ，我们应该旋转pi/2在那段时间内的弧度（90 度）。
所以，为了得到“i ”，我们可以使用2πie .2πiei =呼。
这将 i 描述为基础。
指数呢？好吧，另一个我告诉我们改变我们的费率——是的，我们花了很长时间才弄清楚这个费率！所以，而不是以速度旋转，这就是i 的基数的意思，我们将比率转换为：2122πππ-=-•=•i ii 取消并再次使增长率变为真实！我们轮换了利率并将自己推向负数。
负增长率意味着我们正在萎缩——我们应该期待使事情变小。
它确实：2.~2π-=ei i多田！（在百度上搜索“i^i ”以使用其计算器）喘口气：您可以直观地弄清楚虚底和虚指数应该如何表现。
哇。
作为奖励，你想出了 ln(i) -- 使 xe 变成 i ，让 e 旋转 2π弧度。
2)ln(π•=i i例子：(i^i)^i双虚指数？如果你坚持。
首先，我们知道括号内的增长率是多少：22)(ππ-==ee i iii我们得到 -pi/2 的负（收缩）增长率。
现在我们再次通过i 修改该速率：i i ii i ee i 22)()(ππ-==现在我们有了一个负轮换！我们以 1 倍的速度绕圈2π-每单位时间。