推导一维非定常欧拉方程的加科比矩阵
空气动力学第三章
（3.13）
γ /( γ −1)
（3.14）
⎡ ⎤ ⎥ γ +1 c ⎢ = ⎢ ⎥ c* ⎢ 2(1 + γ − 1 M 2 ) ⎥ ⎣ ⎦ 2
1/2
（3.15）
考虑能量方程：
V = 2c p (T0 − T ) = 2γ R (T0 − T ) γ −1
& m G * = ( ) max A
R (1 + γ − 1 M 2 )(γ +1)/[2(γ −1)] 2 & p γ 2 (γ +1)/(γ −1) m = *= 0 ( ) A T0 R r + 1
γ
M
A G 1 2 γ − 1 2 ( γ +1)/[ 2( γ −1)] M )] = = [( )(1 + * A G M γ +1 2
γ − 1 *2 M γ +1
马赫数和临界马赫数的关系曲线如图3.6所示：
当M<1时,M*<1; 当M=1时,M*=1; 当M>1时,M*>1; 当M趋近无穷时;
M* = r +1 r −1
• 3.4 由马赫数表示的质量流流率
& m G = = ρV A
ρ = p / RT
c = γ RT
V γ G = p( ) c RT
V2 = M2 γ RT
T0 γ −1 2 = 1+ M T 2
（3.4 ）
cp =
γR γ −1
公式（3.4）实用于绝热流动和等熵流动。
对于完全气体的等熵流动，其压力和密度与温度的关系 为： p0 T0 γ /(γ −1) ρ0 T0 1/(γ −1) =( ) =( ) T ρ p T 将上述公式与（3.4）结合起来，可以得到压力和密度由 马赫数来表示的关系式如下：
欧拉-拉格朗日方程在一维波动方程中的应用
欧拉-拉格朗日方程在一维波动方程中的应用王颖;史旭光【摘要】In this paper,the one-dimensional wave function is studied in frame of the kinetic energy and potential energy.In general,one-dimensional wave equation is obtained through the force analysis of an arbitrary string element and Newton's second law.In this paper,we introduce the Lagrangian of a particle,which moves in the potential V.Then Euler-Lagrange equation,Which is also the motion equation of particle,is given based on the principle of the least action.In the frame of this theory,we give the kinetic energy and potential energy of the string element.Then the Lagrange density function of the 1-dimension string element is de-fined.The Euler-Lagrange equation to describe a system with infinite degrees of freedom is obtained.Based on these,the one-dimensional wave equation is revealed.At last,we give the relations between Lagrange density function in one-dimensional wave and Lagrange density function in Polyakov interaction in string theory.%本文以一维弦上微元的动能和势能为基础,推导出了一维波动方程.文章首先介绍了通过力学分析得到一维波动方程的方法.然后分析了一维自由运动粒子的动能和势能,引入系统的哈密顿量和拉格朗日函数,由最小作用原理得到了欧拉-拉格朗日方程,也就是粒子的运动方程.将这一方法用于分析一维弦上波动,给出微元的拉格朗日密度函数,得到可以描写无穷多自由度系统的欧拉-拉格朗日方程,从而导出了一维波动方程.最后分析了一维弦上波动的拉格朗日密度与弦理论中Polyakov作用量中的拉格朗日密度的关系.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2017(027)006【总页数】4页(P41-44)【关键词】波动方程;拉格朗日函数;最小作用量原理;欧拉-拉格朗日方程【作者】王颖;史旭光【作者单位】北京林业大学理学院,北京 100083;北京林业大学理学院,北京100083【正文语种】中文波动是物理学中的重要概念。
工程流体力学 - 第3章 - M
2 、 水力半径 Rh ：在总流的过流断面上与流
体相接触的固体边壁周长称为湿周，用χ表 示。总流过流断面面积与湿周χ之比称为水 力半径R，即
R
A
3、当量直径de=4Rh
五、流量与平均流速
1、流量
单位时间内通过过流断面的流体量称为流量。 流体量可以用体积、质量和重量表示，其相应的流量 分别是体积流量qv (m3/s)、质量流量qm (kg/s)和重量 流量Qg(N/s)。
v1 A1 v 2 A 2 q v
上式为一维流动连续性方程。
§3.6理想流体一维稳定流动的伯努里方程 一、欧拉方程
如图,在微元流管中 取一圆柱流体微团, 考察理想流体在重 力场中的一维流动。
轴向长度：δs,
端面面积：δA,
端面⊥轴线,
侧面∥轴线。
流体微团受力分析： 方向：垂直向下
质量力：重力，大小：ρgδAδs 表面力：
一.拉格朗日方法
拉格朗日方法着眼于流体质点，跟踪每个 流体质点的运动全过程及描述运动过程中各质 点、各物理量随时间变化的规律。又称轨迹法。 设t=t0时，流体质点的坐标值是（a，b，c）。 流体质点的空间位置、密度、压强和温度 可表示为： r r a，b，c，t ＝ a，b，c，t p p a，b，c，t T T a，b，c，t
第三章 流体动力学
流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动 规律，是流体力学的一个组成部分。 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉
法），结合迹线，流线，流体线等显示流动特性 的曲线图谱研究流动特性。
掌握流体动力学的基本方程，即质量守恒方程， 能量守恒方程动量定理，动量矩定理，重点是关 于控制体的欧拉型方程。
冲击波基本理论
*
*
⑥ 压缩波：波阵面到达之处，介质的状态（P、ρ、T）参数增加的波称压缩波，波的传播方向与介质运动方向相同。（图5.1） ⑦ 膨胀波（稀疏波）：波阵面到达之处，介质的状态（P、ρ、T）参数减小的波称膨胀波，波的传播方向与介质运动方向相反。 （下图5.2）
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*
完全气体，量热完全气体与等熵关系 （补物理化学知识） 理想气体(完全气体perfect gas)：不考虑分子间的作用力和分子的体积情况下，一种理想化后的气体。它满足： PV=nRT， e=e(T)和Cv=Cv(T) 世上无理想气体，热完全气体是真实气体在一定温度，压力范围内的近似，即近似看成理想气体来处理。 对于热完全气体，有： de=CvdT=Cv(T)dT ，dh=CpdT=Cp(T)dT，e=e(T) ，h=h(T) 可近似认为一定温度范围内，Cv，Cp ， （ Cp- Cv =R）保持不变。 但一般说来， Cv=Cv(T) ， Cp=Cp(T)
hePV
feTS
ghTS
=+
=-
=-
*
*
将（2）的第一式、（4）、（5）、（6）与（7）的4个式子比较有： —（8） 又因为： （ ） 所以：
*
*
而 类似有： 代入（11）的第1式： （12） （10），（12）就是熵函数的一般表达式（微分形式），也可以写成积分形式： （13）
*
*
等熵关系的建立： 一般地： （1） 对可逆过程： （2） 比较（1）和（2）有： （3）
（2）
（1）
（22）
*
*
又由Maxwell关系： （23） 故有： （24） 对理想气体： 故： ， 代入（24）式： (25) 由定义（比热比）： 故:
西工大最优控制课程 第1章 变分法-2-欧拉方程
Fy'y x0
0
x0
Fy
'y
x1
Fy'y x0
0
y
0
x1
0,y
x0
0Fy' Fy'
x1 x0
0 0
x1 x
说明 （ 1） 欧拉方程和横截条件是δJ=0的充要条件，
泛函极值存在的必要条件。
（2）一般而言，工程问题可根据概念判断极大极 小，故无需充分条件。
（3）横截条件是求解欧拉方程所需的两点边值。
(δy)T
Fy
x1 x0
0
(Euler方程) (横截条件)
控制系统目标泛函求极值形式
min J t1 L(t, x, x,u,u)dt
u
t0
三 有约束情况
回顾：高等数学中求函数极值
mxin (x)
s.t. f (x) 0
利用Lagrange算子 ，构成Lagrange函数L（x, ） L(x,) (x) f (x)
(x, y) 的一次变分 0
1
y1
1
y1
y2
1
y2
... yn
1
yn
0
2
y1
2
y1
y2
2
y2
... yn
2
yn
0
……
m
y1
m
y1
y2
m
y2
... yn
m
yn
0
证明
第二步：使 J ( y) 有极值的 y 必能使 J ( y) 有极值；
i
y1
i
y1
y2
i
y2
... yn
x0
经济学欧拉方程的推导
经济学欧拉方程的推导好嘞，咱们来唠唠经济学里那个有点神秘的欧拉方程的推导。
你可以把经济学想象成一个超级大的游乐场，各种经济变量就像游乐设施一样，在里面转来转去。
这个欧拉方程呢，就像是游乐场里隐藏的宝藏地图，要找到它可不容易，但一旦找到了，就能开启经济世界里一些神奇的秘密通道。
首先啊，咱们得从一些基本的经济假设开始。
假设消费者都是超级理性的小机灵鬼，他们每天都在算计怎么让自己的幸福值（效用）最大化，就像小松鼠在秋天拼命收集坚果，想让自己的小窝堆满食物，过个舒服的冬天一样。
咱们假设有个消费者在不同时期消费，就像我们今天吃个冰淇淋，明天吃个巧克力。
他要考虑现在消费多少，未来消费多少。
这个时候呢，就会有一个跨期预算约束，这就好比是你去游乐场，手里只有那么多钱，你要决定是先玩过山车还是先玩旋转木马，而且得保证在你的预算之内。
然后呢，我们用效用函数来描述这个消费者的幸福程度。
这个效用函数啊，就像是一个魔法配方，不同的消费组合放进去，就会出来一个幸福值。
这时候我们要让这个效用在满足预算约束的情况下达到最大，这就像你在游乐场里要在有限的时间和金钱下玩到最开心的项目组合。
接下来就到了关键的数学推导啦。
我们通过拉格朗日乘数法，这就像是给这个最大化问题找了个超级助手。
这个方法就像一个神奇的魔杖，一挥，就能把复杂的问题变得有迹可循。
我们对拉格朗日函数求一阶导数，这一步就像是小心翼翼地拆开宝藏地图的一角。
在这个过程中，会出现关于消费在不同时期的导数关系。
这个关系经过一系列的整理，就会慢慢出现欧拉方程的雏形啦。
这时候的方程就像是一个刚刚孵化出来的小怪兽，还没有完全成型，但已经有了基本的模样。
我们继续推导，把一些经济变量的含义和假设代入进去，就像给小怪兽穿上合适的衣服。
比如说把利率考虑进去，利率就像是在经济游乐场里租游乐设施的租金一样，会影响我们的消费决策。
随着推导的深入，这个方程就越来越清晰。
它就像一个精心雕琢的艺术品，每一个部分都恰到好处。
计算流体力学入门
u f 0 ，对于流动问题，这个偏微分方程实际上是来源于积分形式的 t x
u f (u ) f 0 ,但要求Jacobi矩阵 可对角化,方程(组)才是双曲型守恒方程. t x u
2. 欧拉方程 对于一维欧拉方程对应的 u 和 f(u)分别为：
u p u2 u u ， f (u ) uu p ,其中 E ( 1) 2 uE pu E
控制体（称之为有限体积，这也是有限体积法的来历） ，认为 u 是每个网格单元上的平均值
并 且 数 值 上 等 于 格 心 处 的 流 场 参 数 值 ， Fi 是 每 个 控 制 面 上 F 的 平 均 值 ， 即 记
u
1 V
1 ， F d u V i C.V Si
u V F 。那相当于求解 F dS i Si 0 。这个方程就 c.si t i
通常，我们都假设 u 是连续的，也认为 均自由程厚度的间断面来说，实际计算中实际采用的 x 都太大了，这就造成了在间断面上
f f f f 完全不能逼近 ，甚至 与 南辕北辙。这就造成了用来逼近描述守恒律的差分方 x x x x u f 程 求解的精度将无法得到保证。 0 不再能很好地表达守恒律,甚至是完全错误的。 t x
u u a(u, x) 0 t x
以中心差分方法为例来说明。 对于第 i 点:
雅可比矩阵推导
雅可比矩阵推导雅可比矩阵又称为Jacobi矩阵，是数学领域中的一个重要概念。
其由德国数学家卡尔·古斯塔夫·雅可比于19世纪提出，并在多种领域中得到了广泛的应用。
雅可比矩阵是一个行向量的矩阵，每个元素是一个函数的偏导数。
其表达了一个向量函数的梯度或导数，是微积分中的重要工具之一。
雅可比矩阵的推导方法比较简单，仅需要将一个向量函数的各个分量偏导数按照行向量排列即可得到。
具体而言，假设有一个向量函数f(x)=（f1(x), f2(x), …, fn(x)），其中x是n维向量，那么该向量的雅可比矩阵J就可以表示成如下形式：J= \begin{bmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partialf_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partialf_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partialf_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{bmatrix}从上述式子可以看出，雅可比矩阵的行数和列数分别等于向量函数f(x)的分量数，即n。
每个元素都是一个函数的偏导数，表示了函数在各个方向上的变化率。
雅可比矩阵在应用中具有广泛的用途，例如在微分几何中，它被用来描述曲面的正则性和光滑度；在优化问题中，它被用来计算梯度和海森矩阵，进而确定最优解；在机器学习领域中，它被用来计算损失函数的梯度，从而进行参数优化。