可压缩二维无粘流动_二维_欧拉方程_有限差分_MacCormack_Bump
-CFD-ace理论手册
CFD-FASTRAN理论手册国防科技大学航天与材料工程学院赵玉新序言CFD-FASTRAN及其图形用户界面已经发展了很多年，该软件主要用于处理高速流动问题。
熟悉CFD的人都知道，对于可压流动和不可压流动，解决问题的数值方法是完全不同的，对于不可压流动，方程本身的性质决定了我们主要采用压力速度校正关系实现数值解法，因此一般被称为基于压力的求解方法。
可压流动方程与不可压流动方程的性质却完全不同，密度的变化在可压流动中十分重要，这就决定了可压流动要有自己的一套基于密度的解法。
CFD-FASTRAN就是基于密度的求解器。
其实，随着航空航天的发展，作为流体力学的一个分支——空气动力学，其发展速度已经远远的超出了流体力学本身。
本文将详细介绍CFD-FASTRAN的求解方法，从中我们可以看出CFD-FASTRAN所能求解的流动范围是从低马赫数（0.1）直至高超声速流动的，因此也主要是针对航空航天问题的求解器。
CFD-FASTRAN最初就是用于求解非移动物体在热完全气体中的高速流动问题的。
但是很多工程问题中是要考虑到运动物体的，而以当时的能力，CFD-FASTRAN无法解决这类问题。
面对困难，CFDRC公司组织人力、物力，将已有的思想——Chimera/Overset及刚体运动方程集成到CFD-FASTRAN中。
从而实现了Chimera/6DOF/流动求解器之间的结合，随之对外发布了CFD-FASTRAN V2。
根据很多内部和外部用户的反馈意见，CFDRC公司认识到CFD-FASTRAN V2在附加的流动物理模型和运动物体求解方面还有些不足。
针对这些意见，CFDRC公司继续扩展流动求解器和图形用户界面的功能，实现了两大突破：（1）增加了多组分计算能力，从而可以实现混合和有限速度化学反应的模拟。
（2）运动模型更加通用化，甚至可以实现规定运动，增加约束等，从而完善和增强了6DOF算法。
增强了这些功能之后CFDRC公司发布了CFD-FASTRAN V3。
应用有限差分法计算二维欧拉方程
应用有限差分法计算二维欧拉方程有限差分法是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程。
二维欧拉方程是一类常见的二阶偏微分方程，表示为：∂u/∂t=a(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²)其中，u(x,y,t)是待求解的函数，a是常数。
为了使用有限差分法计算二维欧拉方程，我们需要离散化方程中的时间和空间变量。
我们可以将定义域分成n个小区间，将时间区间分成m个小区间，其中n和m可以任意选择，但需要满足数值稳定性要求。
在空间方向上，我们可以将二维区域分成nx × ny个小网格，每个小网格的尺寸为Δx × Δy，其中Δx和Δy是步长。
在时间方向上，我们将整个时间域分成m个时间步长，每个时间步长的尺寸为Δt。
我们可以用u(i,j,k)表示空间坐标(x,y)为(iΔx,jΔy)、时间坐标t 为kΔt的节点处的值。
根据欧拉法的思想，我们可以使用以下差分格式来近似二维欧拉方程：(u(i,j,k+1)-u(i,j,k))/Δt=a((u(i+1,j,k)-2u(i,j,k)+u(i-1,j,k))/Δx²+(u(i,j+1,k)-2u(i,j,k)+u(i,j-1,k))/Δy²)注意到，上式使用中心差分来近似二阶偏导数项。
通过对上述方程进行适当的变换和代数运算，我们可以得到u(i,j,k+1)的计算公式：u(i,j,k+1)=u(i,j,k)+aΔt((u(i+1,j,k)-2u(i,j,k)+u(i-1,j,k))/Δx²+(u(i,j+1,k)-2u(i,j,k)+u(i,j-1,k))/Δy²)通过以上公式，我们可以在每个时间步长上，从已知时刻的u值，计算下一个时刻的u值。
在进行计算前，我们还需要确定边界条件。
边界条件是在方程定义域的边界上给出的额外条件，用于限定问题的解。
常见的边界条件有固定值边界条件、导数值边界条件和周期性边界条件等。
OpenCFD-EC理论手册-2014-11
参考文献：
J. Blazek: Computational Fluid Dynamics: Principles and Applications, Elsevier 2005
傅德薰 主编 《计算空气动力学》
任玉新等 《计算流体力学基础》
李新亮
《计算流体力学》 课件
（下载地址： (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD 基础理”；
与
FDS
方法相同，首先重构出界面（I+1/2,J）处的函数值：
U
L I +1/
2
及
U
R I +1/
2
。
利用 Steger‐Warming 流通矢量分裂，将控制界面上的通量分解为正通量及负通量：
H = H + H I +1/2,J
+ I +1/2,J
− I +1/2,J
具体公式见 傅德薰《计算空气动力学》158‐159 页 （请留意书中的印刷错误）。 （2.5）式中的系数为：
通量差分分裂(FDS)通过 Riemann 解来计算数值通量，因为更好地利用了双曲方程的 特征方向，因而其激波捕捉能力更强，数值振荡更小。但其计算量要大于流通矢量分裂。
常用的 FDS 方法包括精确 Riemann 解(Godnov 方法），Roe 近似 Riemann 解及 HLL/HLLC 近似 Riemann 解等。
OpenCFD‐EC (Open Computational Fluid Dynamic code for Engineering Computation) 是可压缩 Navier‐Stokes 方程多块结构网格有限体积求解器。主要用于计算工程问题。该 软件是作者 OpenCFD 计划的一部分。
可压缩准一维管道无粘流动_欧拉方程_MacCormack
可压缩准一维无粘管道流动摘 要 本题利用一维欧拉方程求解可压缩一维无粘管道流动，并针对出口不同的条件，出口亚音速和出口超音速两种不同条件，将流道进行网格划分，利用MacCormack 进行差分求解，得到管道内的总压、马赫数、总焓、内能的分布，并给出计算过程中残差收敛的过程。
关键词 准一维；欧拉方程；MacCormack1 问题提出如Figure 1所示，流动为流经变截面流道内、理想、不可压、定常、平面的流动。
设进出口截面速度均匀分布。
来流条件为 1.5M ∞=，31.2218/kg m ρ∞=，47892.4p Pa ∞=。
计算出口超音速和亚音速(119/out u m s =)时，这个准一维流动的压强和马赫数分布，并给出残差收敛过程。
Figure 1准一维管道示意图本题的分析思路：首先，建立数学模型，之后运用边界条件定解。
接下来将模型问题转化为数值求解问题，通过网格划分、差分离散，并运用matlab 编程进行求解。
2 模型建立选定控制体，根据积分型方程导出该一维流动的欧拉方程。
控制体如Figure 1中红框所示，得到连续性、动量和能量方程如(1)、(2)和(3)()()0A dx uA dx t x ρρ∂∂+=∂∂⎰⎰(1) 2()()uA dx u A dx pAdx t x ρρ∂∂+=-∇∂∂⎰⎰⎰ (2) ()()()d EA dx EuA dx puA dx t x dx ρρ∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰(3)控制体以上方程对于任意控制体均成立，因此可得到如下微分方程，即一维可压缩无粘流动的欧拉方程紧凑形式(4) t x∂∂+=∂∂Q FS (4)式中，20,,0dA A u A u p p dx E Hu ρρρρρρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q F S (5)其中 1.3980.347tanh(0.8 4.0)A x =+-。
对于此处的欧拉方程，有三个方程组，但是未知量分别为,,,,p u H E ρ共5个，因此为了方程组的封闭需要补充两个方程。
学习fluent (流体常识及软件计算参数设置)
luent中一些问题----(目录)1 如何入门2 CFD计算中涉及到的流体及流动的基本概念和术语2.1 理想流体（Ideal Fluid）和粘性流体（Viscous Fluid）2.2 牛顿流体（Newtonian Fluid）和非牛顿流体（non-Newtonian Fluid）2.3 可压缩流体（Compressible Fluid）和不可压缩流体（Incompressible Fluid）2.4 层流（Laminar Flow）和湍流（Turbulent Flow）2.5 定常流动（Steady Flow）和非定常流动（Unsteady Flow）2.6 亚音速流动(Subsonic)与超音速流动（Supersonic）2.7 热传导（Heat Transfer）及扩散（Diffusion）3 在数值模拟过程中，离散化的目的是什么？如何对计算区域进行离散化？离散化时通常使用哪些网格？如何对控制方程进行离散？离散化常用的方法有哪些？它们有什么不同？3.1 离散化的目的3.2 计算区域的离散及通常使用的网格3.3 控制方程的离散及其方法3.4 各种离散化方法的区别4 常见离散格式的性能的对比（稳定性、精度和经济性）5 流场数值计算的目的是什么？主要方法有哪些？其基本思路是什么？各自的适用范围是什么？6 可压缩流动和不可压缩流动，在数值解法上各有何特点？为何不可压缩流动在求解时反而比可压缩流动有更多的困难？6.1 可压缩Euler及Navier-Stokes方程数值解6.2 不可压缩Navier-Stokes方程求解7 什么叫边界条件？有何物理意义？它与初始条件有什么关系？8 在数值计算中，偏微分方程的双曲型方程、椭圆型方程、抛物型方程有什么区别？9 在网格生成技术中，什么叫贴体坐标系？什么叫网格独立解？10 在GAMBIT中显示的“check”主要通过哪几种来判断其网格的质量？及其在做网格时大致注意到哪些细节？11 在两个面的交界线上如果出现网格间距不同的情况时，即两块网格不连续时，怎么样克服这种情况呢？12 在设置GAMBIT边界层类型时需要注意的几个问题：a、没有定义的边界线如何处理？b、计算域内的内部边界如何处理（2D）？13 为何在划分网格后，还要指定边界类型和区域类型？常用的边界类型和区域类型有哪些？14 20 何为流体区域（fluid zone）和固体区域（solid zone）？为什么要使用区域的概念？FLUENT是怎样使用区域的？15 21 如何监视FLUENT的计算结果？如何判断计算是否收敛？在FLUENT中收敛准则是如何定义的？分析计算收敛性的各控制参数，并说明如何选择和设置这些参数？解决不收敛问题通常的几个解决方法是什么？16 22 什么叫松弛因子？松弛因子对计算结果有什么样的影响？它对计算的收敛情况又有什么样的影响？17 23 在FLUENT运行过程中，经常会出现“turbulence viscous rate”超过了极限值，此时如何解决？而这里的极限值指的是什么值？修正后它对计算结果有何影响18 24 在FLUENT运行计算时，为什么有时候总是出现“reversed flow”？其具体意义是什么？有没有办法避免？如果一直这样显示，它对最终的计算结果有什么样的影响26 什么叫问题的初始化？在FLUENT中初始化的方法对计算结果有什么样的影响？初始化中的“patch”怎么理解？27 什么叫PDF方法？FLUENT中模拟煤粉燃烧的方法有哪些？30 FLUENT运行过程中，出现残差曲线震荡是怎么回事？如何解决残差震荡的问题？残差震荡对计算收敛性和计算结果有什么影响？31数值模拟过程中，什么情况下出现伪扩散的情况？以及对于伪扩散在数值模拟过程中如何避免？32 FLUENT轮廓（contour）显示过程中，有时候标准轮廓线显示通常不能精确地显示其细节，特别是对于封闭的3D物体（如柱体），其原因是什么？如何解决？33 如果采用非稳态计算完毕后，如何才能更形象地显示出动态的效果图？34 在FLUENT的学习过程中，通常会涉及几个压力的概念，比如压力是相对值还是绝对值？参考压力有何作用？如何设置和利用它？35 在FLUENT结果的后处理过程中，如何将美观漂亮的定性分析的效果图和定量分析示意图插入到论文中来说明问题？36 在DPM模型中，粒子轨迹能表示粒子在计算域内的行程，如何显示单一粒径粒子的轨道（如20微米的粒子）？37 在FLUENT定义速度入口时，速度入口的适用范围是什么？湍流参数的定义方法有哪些？各自有什么不同？38 在计算完成后，如何显示某一断面上的温度值？如何得到速度矢量图？如何得到流线？39 分离式求解器和耦合式求解器的适用场合是什么？分析两种求解器在计算效率与精度方面的区别43 FLUENT中常用的文件格式类型：dbs，msh，cas，dat，trn，jou，profile等有什么用处？44 在计算区域内的某一个面（2D）或一个体（3D）内定义体积热源或组分质量源。
应用有限差分法计算二维欧拉方程
基于非结构网格二维Euler方程的Jameson求解方法姓名：王司文学号：sx摘要本文介绍了基于CFD理论的求解二维可压缩流Euler方程的Jameson中心格式方法。
在空间离散上采用的是有限体积法，时间上采用的是四步显式Runge －Kutta迭代求解。
人工耗散项为守恒变量的二阶和四阶差分项。
边界条件采用的是无反射边界条件，并采用当地时间步长进行加速收敛。
最后对NACA0012翼型划分了三角形，并应用本文程序进行数值模拟，结果较为理想。
关键字：CFD，Jameson中心格式，Euler方程，有限体积法AbstractA method for the numerical solution of the two-dimensional Euler equations has been developed. The cell-centred symmetric finite-volume spatial discretisation is applied in a general formulation. The integration in time, to a steady-state solution, is performed using an explicit, four-stage Runge－Kutta procedure. The artificial dissipation is constructed as a blending of second and fourth differences of the conserved variables. And in the boundary, there is none of the outgoing waves are reflected back into the computational domain. An acceleration technique called local time stepping is used. At last, standard test cases for both subsonic and supersonic flows have been used to validate the method.Key words：CFD, Jameson method,Euler equations, finite-volume第一章引言在工程应用的推动下，计算流体力学随着计算机技术的发展和计算格式的不断更新而迅猛发展。
二维不可压缩定常流动(平板)边界层方程
二维不可压缩定常流动(平板)边界层方程下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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可压缩二维无粘流动_二维_欧拉方程_有限差分_MacCormack_Bump
可压缩二维无粘流动摘要本题利用欧拉方程求解可压缩二维无粘流动，并将其与Numeca Fine/Turbo 的计算结果对比。
流道由上平板固壁和带有凸起的下固壁组成，进口给定总温、总压和速度方向，出口给定压力。
自编代码求解时，基于有限差分方法，利用MacCormack 格式对控制方程进行离散，根据黎曼不变量和边界条件由内层网格数据外推获得边界数据。
文中给出了计算收敛残差历史、密度、速度、压力、马赫数和熵分布，并将其和Numeca 计算结果对比，分析自编代码计算结果的合理性和误差来源。
关键词二维；欧拉方程；有限差分；MacCormack ；Bump1 问题提出该问题是经典的Bump 计算问题[1]，如图1所示，上壁为平板，下壁带有凸起，均为滑移边界。
进口为轴向进气，且给定总参数为0280T K =和50 1.110p Pa =⨯，出口为5110out p Pa =⨯。
图1准一维管道示意图本题的分析思路：首先，建立计算域中的主控方程，然后根据MacCormack 格式对方程进行离散，最后通过边界条件和黎曼不变量确定边界数据。
收敛条件为相邻时间步的压力差的最大值小于610-Pa 。
2模型建立物理域中的主控方程为二维欧拉方程，如式(1)所示。
将物理域x-y 变换到计算域ξ-η，控制方程变为式(2)，J 为坐标变换的雅克比行列式，y η、x η、y ξ和x ξ均为物理域坐标对计算域的偏导数。
220,,,u v u u p uv where v uv v p t x yE Hu Hv ρρρρρρρρρρρρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥++= ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥+∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q F G Q F G (1)0,,,where J y x y x t ηηξξξη∂∂∂++= ==- =-+∂∂∂Q'F'G'Q'Q F'F G G'F G (2)未知物理量为,,,,,p u v H E ρ共6个，因此为了方程组的封闭西需要补充两个方程。
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可压缩二维无粘流动
摘要本题利用欧拉方程求解可压缩二维无粘流动，并将其与Numeca Fine/Turbo 的计算结果对比。
流道由上平板固壁和带有凸起的下固壁组成，进口给定总温、总压和速度方向，出口给定压力。
自编代码求解时，基于有限差分方法，利用MacCormack 格式对控制方程进行离散，根据黎曼不变量和边界条件由内层网格数据外推获得边界数据。
文中给出了计算收敛残差历史、密度、速度、压力、马赫数和熵分布，并将其和Numeca 计算结果对比，分析自编代码计算结果的合理性和误差来源。
关键词二维；欧拉方程；有限差分；MacCormack ；Bump
1 问题提出
该问题是经典的Bump 计算问题[1]，如图1所示，上壁为平板，下壁带有凸起，均为滑移边界。
进口为轴向进气，且给定总参数为0280T K =和50 1.110p Pa =⨯，出口为5110out p Pa =⨯。
图1准一维管道示意图
本题的分析思路：首先，建立计算域中的主控方程，然后根据MacCormack 格式对方程进行离散，最后通过边界条件和黎曼不变量确定边界数据。
收敛条件为相邻时间步的压力差的最大值小于610-Pa 。
2模型建立
物理域中的主控方程为二维欧拉方程，如式(1)所示。
将物理域x-y 变换到计算域ξ-η，控制方程变为式(2)，J 为坐标变换的雅克比行列式，y η、x η、y ξ和x ξ均为物理域坐标对计算域的偏导数。
22
0,,,u v u u p uv where v uv v p t x y
E Hu Hv ρρρρρρρρρρρρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
+∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥++= ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥+∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
Q F G Q F G (1)
0,,,where J y x y x t ηηξξξη
∂∂∂++= ==- =-+∂∂∂Q'F'G'
Q'Q F'F G G'F G (2)
未知物理量为,,,,,p u v H E ρ共6个，因此为了方程组的封闭西需要补充两个方程。
补充方程如下：
()22111, 1.422p E u v γργ⎛
⎫=---= ⎪⎝
⎭
(3)
p
H E ρ
=+
(4)
至此，已实现方程组的封闭，可以进行求解。
3网格划分
计算网格已经给定，分析网格数据可知，第一个数字表示网格块的数目，本题中是1；第二到四个数字表示xyz 三个方向的节点数，以L1为例，分别是65、17和1，说明网格为长方向有65个节点、宽方向有17个节点的单层网格；剩余的数字均为网格坐标，前65×17个数是所有点的x 坐标，中间65×17个数是所有点的y 坐标，最后的是z 坐标（本题中全是0）。
计算时将物理域转换成矩形的计算域ξ-η，取Δξ=Δη=1。
5差分离散和边界条件
MacCormack 格式广泛应用于求解流动方程，本题中其预估和校正格式分别如式(5)和式(6)，式中i 和j 分别对应η和ξ节点顺序。
1.,,1,1,,,1,,11,,1,22()()11
[(2)(2)]
n n n n n n i j i j i j i j i j i j n n n n n n i j i j i j i j i j i j t t
t ξη
αξη++++-+-∆∆=-
---+∆∆∆-++-+∆∆Q'Q'F'F'G'G'Q'Q'Q'Q'Q'Q'
(5)
111111
,,,,,1,1,1111111,,1,,1
,,1
2
2
1[()()
222(
)]
n n n n n n n i j i j i j i j i j i j i j n n n n n n i j
i j
i j
i j i j
i j t t t ξηαηξ++++++--+++++++-+-∆∆=+----∆∆-+-++∆+
∆∆Q'Q'Q'F'F'G'G'Q'
Q'
Q'
Q'
Q'
Q'
(6)
以上离散格式只能用于计算非边界网格点，边界网格点数据需由相邻非边界点外推得到。
判断本问题为二维亚音入流，因此在进口处需要保持相邻两层的黎曼不变量相同，再结合总温、总压和速度方向，计算出,,,,,p u v H E ；出口给法类似于进口，不过出口
只需一个已知量（如压力）即可；在固壁处，让其压力和密度和相邻内层的相等，将内层速度的法向分量去掉，赋于边界，作为边界处速度。
6计算结果
以L1为例展示计算结果，计算时人工粘性为0，如图2所示。
经过约5万步计算达到收敛，在第4万步时计算曾被暂停，优化代码后继续进行。
图2L1计算结果
由于是亚音无粘流动，因此流动过程等熵。
考虑其物理过程，因为几何完全对称，进口给定总问总压和速度方向，出口给定静压，故以中心（x = 0.5）为对称轴的标量对
x 10
4
收敛历史
步数
l o g (残差)
密度分布(kg/m 3)
1.23
1.241.251.261.271.281.291.31.31速度分布
(m/s)
90
100
110120
130
140
150
压力分布(Pa)
9.4
9.59.69.79.89.91010.110.210.3
10.44
马赫数分布
0.28
0.30.320.34
0.36
0.38
0.40.420.440.46熵分布(J/K)
8012
8012.5
8013
8013.58014
8014.5
称流动必然是其解。
即温度、压力、速度大小和马赫数均以中心对称分布。
另外，由伯努利定律可知，在顶部流速大，压强小，计算结果验证了这一点。
6仿真结果
本题的仿真软件使用的是Numeca Fine/Turbo。
图3为计算1000步，残差到10-5的仿真结果，各参量的分布和数值范围与图2基本一致，说明自编代码数值求解的正确性，验证了本题流动的对称性和最高点高速低压的性质。
静压
马赫数
速率
密度
图3仿真结果
7结论
本文使用MacCormack格式进行有限差分求解，计算结果与商业软件仿真结果一致，表明本题中二维无粘可压缩管流是一种标量物理量对称分布的流动。
编写代码时，尤其需要注意的是边界网格的数据需要遵循黎曼不变量进行外推，否则计算无法收敛。
8附录文件说明
mainEx2是计算程序，matlab工作空间的计算数据全部保存在prj2DataL1e6中，数据为已收敛的结果。
参考资料
[1]Rizzi AandViviand H. Numerical Methods for theComputation ofinviscid Transonic
Flowswith Shock Waves. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH; 1981, p.52.。