2017年韩山师范学院本科插班生考试《高等代数》A卷

韩山师范学院2017年本科插班生考试试卷

数学与应用数学 专业 高等代数 试卷（A 卷）

一、填空（每空3分，共30分）

1．设A 、B 都是 n 阶方阵，AB = I ( I 为单位矩阵) ，则BA = ．

2. 设1123A -??=? -?? ，则A 的特征多项式为 . 3．多项式32()325f x x x x =--+的三个根之和等于 ． 4. 已知n 元实二次型12(,,,)n q x x x L 的秩为3, 符号差为1. 则此实二次型的典范形式为 ．

5．四阶行列式

1

25

2381

3

1241

4

2

5

------=

6．设1

23A ??? =?

??

?, 那么312(2)(3)T AD = . 7. 二次型222

12312

31223(,,)3224q x x

x x x x x x x x =+-+-的矩阵A = . 8. 一个向量空间V 的基所含向量的个数叫做V 的 .

9．设A = { a , b }，B = { 1, 2, 3, 4 }，C = { x , y , z }，f 、g 分别是A 到B 、B 到C 的映射: f ：a → 1，b → 3. g ：1 → x ，2 → y ，3 →

z ， 4 → z . 则合成映射

g o f ： ． 10. 已知12323ξααα=++，12322ηααα=-++，其中123,,ααα是欧氏空间V 的规范正交基，则内积,ξη= ． 二、是非题（每题3分，共30分。你认为正确的，在题后括号内打“√”，错误的打“×”。）

1．若矩阵

的秩为r ，由A 添加1行得到B ，再由B 添加1列得到C ，那么C 的秩为r +2. ( ) 2．若()()f x

h x 且()()g x h x ，则()()()f x g x h x . ( ) 3. 多项式()f x 有重根当且仅当()f x 有重因式. ( ) 4．设A , B 都是n 阶方阵, 则det ( A +B ) = det A + det

B ． ( )

5．设A 、B 都是n 阶方阵，那么秩(AB ) ≤秩A ． ( ) 6. 实数集R 不是数域. ( ) 7．若A ，B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵． （ ） 8．线性变换变线性无关组为线性无关组． （ ） 9. 奇排列经过奇数次对换就变成奇排列. （ ） 10． 实对称矩阵的特征根都是实数． （ ） 三、证明题（共10分）

设F 是数域，(),()[]f x g x F x ∈，且()|()g x f x . 证明：()g x 的根都是()f x 的根.

四、证明题（共10分）

设A是一个幂等矩阵（若2A A

，则称A是幂等矩

阵）, 而B与A相似. 证明：B是幂等矩阵.

五、证明题（共10分）

设12,W W 是向量空间V 的两个子空间, 证明12W W I 也是V 的子空间.

六、计算题（共10分）

求线性方程组

123412341234

21,21,25 5.x x x x x x x x x x x x -++=??

-+-=-??-++=? 的一般解.