北京市丰台区2009年高三统一练习(二)数学试题(文)2009.5
2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（ ）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（ ）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（ ）A．0B．1C．2D．47．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A．150种B．180种C．300种D．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（ ）A．150°B．120°C．60°D．30°9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A．1B．2C．D．412．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（ ）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9= ．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于 ．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是 （写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b ，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（ ）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（ ）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）===﹣故选：B．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（ ）A．0B．1C．2D．4【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故选：C．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（ ）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120°，故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（ ）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ﹣240 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r+1=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9= 24 ．【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于 16π ．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S球=4πR2=16π．故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是 ①或⑤ （写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为，求出直线m与l1的夹角为30°，推出结果．【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，由此能得到{a n}，{b n}的通项公式．【解答】解：设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，解得q=2，d=2∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2n﹣1．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b ，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz ，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z 1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5），（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5）．（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3•A4+B3•B4，由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P （B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）=P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04﹣3x02+6﹣x0（4x03﹣6x0）=0，整理得（x 02+1）（x02﹣2）=0，解得或．所以的方程为y=2x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x 1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。
09年高考试题精选2009年高考试题文(北京卷)
09年高考试题精选2009年高考试题文（北京卷） 测试题 2019.91,甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响.求：（Ⅰ）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （Ⅱ）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率.2,已知正方形ABCD ，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为).0(πθθ<< （Ⅰ）证明BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）若△ACD 为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值.3, 已知等差数列}{n a 的前n 项和为).),,(22+∈∈+-=N n R q p q n pn S n（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若51a a 与的等差中项为18，n b 满足n n b a 2log 2=，求数列{n b }的前n 项和.4,已知函数,)2()(31)(23d x d a x d a ax x f +++++=d a x d a ax x g 4)2(2)(2++++=，其中,0,0>>d a 设0x 为)(x f 的极小值点，0x 为1212,0)()(,)(x x x g x g x g <==并且的极值点.将.,,,)0,(),0,()),(,()),(,(321100D C B A x x x g x x f x 依次记为（Ⅰ）求0x 的值；（Ⅱ）若四边形ABCD 为梯形，且面积为1，求d a ,的值.5,已知点)0)(,(),,(212211≠x x y x B y x A 是抛物线)0(22>=p px y 上的两个动点，O 是坐标原点，向量.||||,-=+满足 设圆C 的方程为x x x y x )(2122+-+ y y y )(21+-.0=（Ⅰ）证明线段AB 是圆C 的直径；（Ⅱ）当圆C 的圆心到直线02=-y x 的距离的最小值为552时，求p 的值.6,方程)1(log 2)1(log 22--=-x x 的解为 .7,设⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x g x 则=))21((g g .8,如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF ， 则此正六棱锥的侧面积是 .9,5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有 种.（以数作答）10,设集合，则A ．B ．C ．D ．测试题答案1, 本小题主要考查相互独立事件的频率乘法公式和互斥事件的概率加21{|2},{1}2A x x B x x =-<<=≤A B ={12}x x -≤<1{|1}2x x -<≤{|2}x x <{|12}x x ≤<法公式等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.（I ）解：甲班参赛同学中恰有1名同学成绩及格的概率为.48.04.06.012=⨯⨯C乙班参赛同学中恰有1名同学成绩及格的概率为.48.04.06.012=⨯⨯C故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率为 .2304.048.048.0=⨯=P ……………………6分（II ）解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为,0256.04.04=故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为 .9744.00256.01=-=P ………………6分解法二：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为.1536.04.06.014=⨯⨯C甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为.3456.04.06.02224=⨯⨯C甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为.3456.04.06.02224=⨯⨯C 甲、乙两班4名参赛同学成绩都及格的概率为1296.06.04=， 故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为 ..9744.01296.03456.03456.01536.0=+++=P2,（I ）证明：E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、CD 的中点. ∴ED ∥FD ，且EB=FD ，∴四边形EBFD 是平行四边形， ∴EF ∥ED.∵BD ⊂平面AED ，而BF ∉平面AED. ∴BF ∥平面AED. …………4分（II ）解法一：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上， 过点A 作AG ⊥平面BCDE ，垂足为G ，连结GC ，GD.∵△ACD 为正三角形. ∴AC=AD ， ∴GC=GD ，∴G 在CD 的垂直平分线上， 又∵EF 是CD 的垂直平分线，∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. …………4分过G 作GH ⊥ED ，垂足为H ，连结AH ，则AH ⊥DE. ∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角，即∠AHG=θ. 设除正方形ABCD 的边长为2a ，连结AF. 在折后图的△AEF 中，AF=3 a ，EF=2AE=2 a ， ∴△AEF 为直角三角形，AG ·EF=AE ·AF ，∴AC=a 23.在Rt △ADE 中，AH ·DE=AD ·AE ，∴AH=52a，∴52a GH =∴.41cos ==AH GH θ ………12分解法二：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. 连结AF ，在平面AEF 内过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ′ ∵△ACD 为正三角形，F 为CD 的中点， ∴AD ⊥CD. 又∵EF ⊥CD ， ∴CD ⊥平面AEF ， ∵A G ′⊂平面AEF ， ∴CD ⊥A G ′，又∵A G ′⊥EF ，且CD ∩EF=F ，CD ⊂平面BCDE ，EF ⊂平面BCDE ， ∴AC ⊥平面BCDE ，∴G 为A 在平面BCDE 内的射影G ，∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上， 过G 作CH ⊥ED ，垂足为H ，连结AH ，则AH ⊥DE …………8分∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角，即∠AHG=θ. 设原正方形ABCD 的边长为2a.在折后图的△AEF 中，AF=a 3，EF=2AE=2a ， ∴△AEF 为直角三角形，AG ·EF=AE ·AF∴AC=a 23.在Rt △ADE 中，AH ·DE=AD ·AE ，∴AE=52a，∴52a GH =∴.41cos ==AH GH θ ………12分解法三：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. 连结AF ，在平面AEF 内过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ′ ∵△ACD 为正三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD. 又∵EF ⊥CD ， ∴CD ⊥平面AEF ， ∵CD ⊂平面BCDE ，∴平面AEF ⊥平面BCDE.又∵平面AEF ∩平面BCDE=DEF ，A G ′⊥EF.∴A G ′⊥平面BCDE ，即G ′为A 在平面BCDE 内的射影G ，∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.……………………8分 过G 作GH ⊥DE ，垂足为H ，连结AH ，则AH ⊥DE ， ∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角，即∠AHG=θ. ∴△AEF 为直角三角形，AG ·EF=AE ·AF∴AC=a 23.在Rt △ADE 中，AH ·DE=AD ·AE ，∴AH=52a，∴52aGH =∴.41cos ==AH GH θ 3, （I ）解法一：当,2,111q p S a n +-===时当qn n p q n pn S S a n n n n --+--+-=-=≥-)1(2)1(2,2221时=.22--p pn }{n a 是等差数列，.0,222=∴--=+-∴q p p q p ………………4分解法二：当,2,111q p S a n +-===时 当qn n p q n pn S S a n n n n --+--+-=-=≥-)1(2)1(2,2221时=.22--p pn当.2]2)1(2[22,31p p n p p pn a a n n n =------=-≥-时得所以又,2323,23222.232222-=+--=--⋅=+-=++-=p q p p p p a q p p q p a.0=∴q ………………………………4分（II ）解：,26.18,233511--==∴+=p p a a a a a 又.68.4,1826-=∴=∴=--∴n a p p p n ………………8分 又.2log 232-==n b n n n b b a 得16222,2431)1(411====∴+--+n n n n b b b ，即}{n b 是等比数列.所以数列}{n b 的前n 项和).116(152161)161(2-=--=n n n T4, （I ）解：).2)(1(2)(2)(2d a ax x d a x d a ax x f +++=++++=' 令.2110,0)(a dx x a x f n --=-=≠='或得由 …………2分,0)(,1,0)(,121.121.0,0>'-><'-<<---<-->>x f x x f x adadd a 时当时当所以)(x f 在x=－1处取极小值，即.10-=x ………………6分（II ）解：.4)42()(2d a x d a ax x g ++++=,44)21)(4()21(21()(,31)2()(31)1()(,1,41,,0,0,0)1)(4(,0)(.21,21242)(,,0220012121a d d a a d d a a d a a d g x g a d d a d a a f x f x adx x x d a x d a ax x g adx a d a d a x x g R x a -=++--++--=--==++-++-=-=-=--=∴>>>=+++=--=--=+-=∴∈> 即由即处取得极小值在， ).0,1(),0,2,1(),4,21(),31,1(2--------∴D a dC a d a d B a A …………9分由四边形ABCD 是梯形及BC 与AD 不平行，得AB ∥CD.22212,43d a a d a =-=-∴即.由四边形ABCD 的面积为1，得,1|||)||(|21=⋅+AD CD AB 即,1,13)24(21==⋅+d aa d a d 得从而.32,122==a a 得5, （I ）证法一：|,|||-=+整理得即,22,)()(222222OB OB OA OA OB OB OA OA OB OA OB OA +⋅-=+⋅+-=+∴.0=⋅OB OA.02121=+∴y y x x ① ……3分设点M （x ，y ）是以线段AB 为直径的圆上的任意一点，则.0=⋅即.0))(())((2121=--+--y y y y x x x x展开上式并将①代入得.0)()(212122=--+-+y y y x x x y x 故线段AB 是圆C 的直径. 证法二：|,|||OB OA OB OA -=+整理得即,22,)()(222222+⋅-=+⋅+-=+∴.0=⋅OB OA.02121=+∴y y x x ① ……3分若直线（x ，y ）在以线AB 为直径的圆上，则),(1212211x x x x x x y y x x y y ≠≠-=--⋅--去分母得,0))(())((2121=--+--y y y y x x x x点),(),,(),,(),,(22122111y x y x y x y x 满足上方程，展开并将①代入得0)()(212122=+-+=+y y y x x x y x ，所以线AB 是圆C 的直径.……6分 证法三：|,|||-=+整理得即,22,)()(222222OB OB OA OA OB OB OA OA OB OA OB OA +⋅-=+⋅+-=+∴.02121=+∴y y x x ① ……3分以AB 为直径的圆的方程是])()[(41)2()2(22121221221y y x x y y y x x x -+-=--+--，展开，并将①代入得0)()(212122=+-+=+y y y x x x y x . 所以线段AB 是圆C 的直径………………6分（II ）解法一：设圆C 的圆心为C （x ，y ），则,,0,4),0(2,2.2,22121212122221212221212121y y x x y y x x py y x x p px y px y y y y x x x -=∴=+=∴>==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= 又.4,04221212222121p y y x x p yy y y -=∴≠=-∴)(412222121y y p x x y ≠=+=∴),2(12)2(412221212221p y p p y y y y y y p +=-++=所以圆心的轨迹方程为：.222p px y -= ………………11分 设圆心C 到直线02=-y x 的距离为d ，则 pp p y y p y py x d 5|)(|5|22(1|5|2|2222+-=-+=-=当5,pd p y 有最小值时=，由题设得5525=p，.2=∴p ……14分解法二：设圆C 的圆心为C （x ，y ），则,,0,4),0(2,2.2,22121212122221212221212121y y x x y y x x py y x x p px y px y y y y x x x -=∴=+=∴>==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= 又.4,022121p y y x x -=∴≠ ………………9分 )(412222121y y p x x x ≠=+=),2(12)2(412221212221p y p p y y y y y y p +=-++=所以圆心的轨迹方程为：.222p px y -= ………………11分设直线02022=-=+-y x y x 与的距离为552，则.2±=m因为222022p px y y x -==+-与的公共点. 所以当222022p px y y x -==+-与仅有一个公共点时，该点到02=-y x 的距离最小，最小值为552，⎩⎨⎧-==--∴.2,02222p px y y x将②代入③得.0)22(44,02222222=--=∆=-+-p p p p p py y 有,0>p .2=∴p 6, 5 7, 218, 769, 4810, A。
专题02 函数-十年高考(2009-)之高三数学(文)分项与解读(北京专版)
专题02 函数【考情概览】【应试策略】1.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性； 性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.2.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.4.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.2. 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有相等关系或者相反关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()0()f x f x ＋－＝ (奇函数)或()0()f x f x -－＝ (偶函数)是否成立.3. 有关图象辨识问题的常见类型及解题思路(1)由实际情景探究函数图像：关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域。
(2)由解析式确定函数的图象。
此类问题往往从以下几方面判断：①从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④从函数的周期性，判断图象的循环往复。
利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项。
4. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【真题展示】1.【2009高考北京文第4题】为了得到函数3lg10xy+=的图像，只需把函数lgy x=的图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C2.【2010高考北京文第6题】给定函数①y＝x 12，②y＝12log(1)x+，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是…… () A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】B【解析】试题分析：①y＝x 12在(0,1)上单调递增，②y＝12log(x＋1)在(0,1)上单调递减，③y＝|x－1|在(0,1)上单调递减，④y ＝2x ＋1在(0,1)上单调递增．3. 【2012高考北京文第5题】函数121()()2xf x x =-的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B4. 【2013高考北京文第3题】下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )． A ．1y x=B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg |x | 【答案】C 【解析】试题分析：A 选项为奇函数，B 选项为非奇非偶函数，D 选项虽为偶函数但在(0，＋∞)上是增函数，故选C.5. 【2014高考北京文第2题】下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A.xy e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x = 【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为(0,)+∞；选项D ，在(,0)-∞上是减函数，故选B.考点：本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.6. 【2014高考北京文第8题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟O5430.80.70.5t p【答案】B考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.7. 【2012高考北京文第8题】某棵果树前n 年的总产量Sn 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C 【解析】试题分析：结合S n 与n 的关系图象可知，前2年的产量均为0，显然202S =为最小，在第3年～第9年期间，S n 的增长呈现持续稳定性，但在第9年之后，S n 的增速骤然降低．因为当n ＝9时，99S的值为最大，故m 值为9．8.【2014高考北京文第6题】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C【解析】因为(2)410f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键. 9.【2011高考北京文第3题】如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x << 【答案】D【解析】1122log log x y x y <⇒>，12log 01y y <⇒> ，即1x y >> ，故选D.10. 【2015高考北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．ln y x = D ．2xy -= 【答案】B【考点定位】函数的奇偶性.11.【2017高考北京文数第5题】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B 【解析】试题分析：()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B. 【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.12. 【2012高考北京文第14题】已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2．若x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，则m 的取值范围是________． 【答案】(－4,0)(3)当m ＜－1时，－(m ＋3)＞2m ，要使其满足条件，则需1,(3)1,m m <-⎧⎨-+<⎩解得－4＜m ＜－1，如图②．图①图②综上可知，m 的取值范围为(－4,0)．13. 【2011高考北京文第13题】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩ ,若关于x 的方程()f x k = 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 . 【答案】（0，1）14. 【2010高考北京文第14题】如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动．设顶点P (x ，y )的纵坐标与横坐标的函数关系式是y ＝f (x )，则f (x )的最小正周期为__________；y ＝f (x )在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为__________．【答案】4 π＋1 【解析】试题分析：说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动．点P 的运动轨迹如图所示．f (x )的最小正周期为4，y ＝f (x )在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为12π×12＋14π×(2)2＋1＝π＋1. 15. 【2009高考北京文第12题】已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .【答案】3log 216. 【2012高考北京文第12题】已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________． 【答案】2 【解析】试题分析：由已知可得，lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2×1＝2．17. 【2013高考北京文第13题】函数f (x )＝12log ,1,2,1,x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为__________． 【答案】(－∞，2) 【解析】试题分析：当x ≥1时，1122log log 1x ≤，即12log 0x ≤，当x ＜1时，0＜2x ＜21，即0＜2x＜2；故f (x )的值域为(－∞，2)．18. 【2015高考北京，文10】32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5【解析】31218-=<，12331=>，22log 5log 423>>>2log 5最大.【考点定位】比较大小.19. 【2016高考北京文数】下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是（） A.11y x=- B.cos y x = C.ln(1)y x =+ D.2x y -= 【答案】D 【解析】试题分析：由12()2xx y -==在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D. 考点：函数单调性【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法． (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.20. 【2016高考北京文数】函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2考点：函数最值,数形结合【名师点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．21.【2017高考北京文数第11题】已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则22x y +的取值范围是_________． 【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x = 时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2. 【考点】二次函数【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即0,0x y ≥≥，1x y +=表示线段，那么22x y +的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.【对症下药】数学思想方法 (一)数形结合思想 (二)函数与方程思想 (三)转化与化归思想 (四)分类讨论思想 (五)换元法 (六)待定系数法 2.解题规律技巧(一)求函数定义域的常用方法 确定函数的定义域应遵循以下原则： (1)当()f x 是整式时，其定义域为R ．(2)当()f x 是分式时，其定义域是使得分母不为0的实数的集合．(3)当()f x 是偶次根式时，其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合． (4)对于0x ，x 不能为0，因为00无意义． (5)()tan f x x =的定义域为ππ,2x x x k k ⎧⎫⎧∈≠+∈⎨⎨⎬⎩⎩⎭R Z 且． (6)()()log 01a f x x a a =>≠且的定义域为{}0x x >．(7)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束，要具体问题具体分析． (8)分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集． (二)求函数值域的常用方法1．直接法：从自变量x 的范围入手，逐步推出()y f x =的取值范围．2．图像法：当函数的图像给出时，图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合即为函数的值域． 3．配方法：对于二次函数，常常根据求解问题的要求，采用配方法求值域．4．换元法：运用换元法，将所给函数等价转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． 5．分离常数法：适用于形如()0ax by c cx d+=≠+的分式函数，将其分离常数，转化为只在分母上有变量的形式，再判断值域．6．判别式法：运用方程思想，依据一元二次方程有实根，求出y 的取值范围．7．反解法：通过反解，用y 表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式(组)，得出y 的取值范围． (三)判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：若函数的定义域不关于原点对称，则可直接判断函数既不是奇函数也不是偶函数．若函数的定义域关于原点对称，再判断下列等式(其中一个)是否成立： ①()()f x f x -=±；②()()0f x f x ±-=；③()()()()10f x fx f x -=±≠． (2)图像法：作出函数的图像，然后看图像是否关于y 轴或原点对称，用数形结合的方法确定函数的奇偶性． (3)性质法：对于定义在同一关于原点对称的区间上的几个函数，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数． (4)分段函数的奇偶性要分段进行讨论．(5)抽象函数奇偶性的判断：利用定义法，根据函数的性质和已知条件寻找()f x 与()f x -的关系，从而得出结论．(四)判断、证明函数的单调性(1)定义法：即“取值——作差——变形——定号——判断”．要注意的是，当函数在其定义域上的单调区间是由几个区间组成的，问题又未指明其单调区间而需要探求，这时可从如下两个方面入手：①定义域：若定义域区间是由几个区间组成，则函数的单调区间必是某个区间的子区间．②从极端入手分析：当某个代数式的符号无法确定时，可取12x x x ==，计算得x 的值，以此为界进行分类讨论．(2)图像法：先做出函数的图像，利用图像直观判断函数的单调性．(3)直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．(4)利用复合函数单调性法则“同增异减”进行判断．(5)利用导数判断函数的单调性，设函数()y f x =在某个区间内可导，若()0f x '>，则()f x 在此区间上为增函数，若()0f x '<，则()f x 在此区间上为减函数．【考题预测】1．定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，。
2009北京市丰台区数学一模试题及答案
丰 台 区 一 摸 练 习 数学试卷第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．5-的相反数是A ．5B ．5-C ．15D ．15-2．在第十一届全国人民代表大会第二次会议上，温家宝总理在政府报告中指出：2008年我国粮食连续五年增产，总产量为52850万吨，创历史最高水平.将52850用科学记数法表示应为A ．528510⨯B ．352.8510⨯C ．35.28510⨯D ．45.28510⨯ 3．五边形的内角和是 A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°4．我国部分城市五月某一天最高温度如下表，这些数据的众数和中位数分别是A ．29，28B ．31，29C ．26，30D ．25，315．若两圆的半径分别是2cm 和5cm ，圆心距为3cm ，则这两圆的位置关系是 A ．外离 B ．相交 C ．外切 D ．内切6．如图，有4张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别写有一个实数，背面完全相同．现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出卡片正面的实数是无理数的概率是A ．12B ．14C ．34D ．17．已知：2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，255552424+=⨯，…，若21010b b aa+=⨯符合前面式子的规律，则a b +的值为A ．179B ．140C ．109D ．2100.16—328．将一正方体纸盒沿下右图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（ ）．A ．B .C .D .第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数y =x 的取值范围是______________．10．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠C 为20°，则∠AOB 的度数为__________°．11．分解因式：2242x x ++=____________________．12．如图，小正方形方格的边长为1cm ，则AB ⌒的长为___________cm ．三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）计算：1012sin 60(2009)2-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭．14．（本小题满分5分）解不等式组()2035148x x x -<⎧⎪⎨+-⎪⎩ ≥，15．（本小题满分5分）已知：如图，AB ∥DE ，∠A ＝∠D ，且BE ＝CF ， 求证：∠ACB ＝∠F . 16．（本小题满分5分）先化简，再求值：2314223a a a a +-⎛⎫+÷⎪--⎝⎭，其中2410a a -+=． 纸盒剪裁线正方体纸盒A OBA B C DFA OCBCBD A 图1图2AD 'BC17．（本小题满分5分）如图，反比例函数k y x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于(13)A ，，(1)B n -，两点．求反比例函数与一次函数的解析式． 四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）如图1，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝43，将矩形纸片沿对角线AC 向下翻折，点D 落在点D ’处，联结B D ’，如图2，求线段BD ’ 的长．19．（本小题满分5分）如图，点D 是⊙O 直径CA 的延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，弦AE 与BC 相交于点F ，且CF ＝9，cos ∠BFA ＝32，求EF 的长．五、解答题（本题满分5分）20．某校学生会准备调查本校初中三年级同学每天（除课间操外）课外锻炼的平均时间．（1）确定调查方式时，①甲同学说：“我到1班去调查全体同学”；②乙同学说：“我到体育场上去询问参加锻炼的同学”；③丙同学说：“我到初中三年级每个班去随机调查一定数量的同学”．上面同学说的三种调查方式中最为合理的是___________（填写序号）； （2）他们采用了最为合理的调查方式收集数据，并绘制出如图1所示的条形统计图和如图2所示的扇形统计图，请将图1补充完整；（3）若该校初中三年级共有240名同学，则其中每天（除课间操外）课外锻炼平均时间不大于20分钟的人数约为__________人． (注：图2中相邻两虚线形成的圆心角为30°)图1ACE D B六、解答题（共2道小题，共10分） 21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：2008年5月12日14时28分在我国四川省汶川地区发生了里氏8.0级强烈地震，灾情牵动全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，在加工了300顶帐篷后，由于情况紧急，该厂又增加了人员进行生产，将工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成任务．问该厂原来每天加工多少顶帐篷．22．（本小题满分5分）把两个三角形按如图1放置，其中90AC B D EC ==︒∠∠， 45A =︒∠，30D =︒∠，且6A B =，7D C =．把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1，如图2，这时AB 与 CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ． （1）求1ACD ∠的度数； （2）求线段AD 1的长；（3）若把△D 1CE 1绕点C 顺时针再旋转30°得到△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的内部、外部、还是边上？请说明理由．七、解答题（本题满分7分）23．如图1，在A B C △中，A C B ∠为锐角，点D 为射线B C 上一点，联结A D ，以A D 为一边且在A D 的右侧作正方形AD EF ．（1）如果A B A C =，90BAC = ∠，①当点D 在线段B C 上时（与点B 不重合），如图2，线段C F B D 、所在直线的位置关系为 __________ ，线段C F B D 、的数量关系为 ；②当点D 在线段B C 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果A B A C ≠，B A C ∠是锐角，点D 在线段B C 上，当A C B ∠满足什么条件时，C F BC ⊥（点C F 、不重合），并说明理由．B图2AE 1C D 1O F 图1图2 C图3DE八、解答题（本题满分7分）24. 如图，在平面直角坐标系中，直线1(0)2y x b b =-+>分别交x 轴、y 轴于A B 、两点．点(40)C ，、(80)D ，，以C D 为一边在x 轴上方作矩形C D E F ，且:1:2C F C D =．设矩形C D E F 与ABO △重叠部分的面积为S ． （1）求点E 、F 的坐标；（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；（3）若在直线1(0)2y x b b =-+>上存在点Q ，使OQC ∠等于90 ，请直接．．写出b 的取值范围． 九、解答题（本题满分8分） 25．已知抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于不同的两点()10A x ，和()20B x ，，与y 轴交于点C ，且12x x ，是方程2230x x --=的两个根（12x x <）． （1）求抛物线的解析式；（2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，求四边形ACBD 的面积； （3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．09丰台一模数学试卷答案及评分参考一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）1．A ； 2．D ； 3．C ； 4．B ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．A ． 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．x ≥1； 10．40； 11．()221x +； 12． 三、解答题（共5道小题，共25分）13．解：1012sin 60(2009)2-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭14．()2035148x x x -<⎧⎪⎨+-⎪⎩≥， ①，②212=⨯+-+…………4分 解：解不等式①，得x >2；······ 2分 3=-5分 解不等式②，得1x -≥； ···· 4分在数轴上表示不等式①、②的解集,∴原不等式组的解集为x >2． ·· 5分15．证明： ∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF ， ··································································· 1分∵BE ＝CF ， ∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF ， ····································· 2分 ∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ≌△DEF ． ···························································· 4分∴∠ACB ＝∠F . ························································································· 5分16．解：2314223a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭2314223a a a a +-⎛⎫=-÷ ⎪--⎝⎭22423a a a +-=÷-………2分 ()()23222a a a a +=⋅-+-2344a a =-+······························································ 4分∵2410a a -+= ∴241a a -=- 当241a a -=-时， 原式3114==-+． ························································· 5分 17．解：（1）∵点A (13)，在反比例函数k y x =的图象上，∴3k =， …………………1分 ∴反比例函数的解析式为3y x=， ··························································· 2分∵点B (1)n -，在反比例函数3y x=的图象上，∴31n=-，∴3n =-，··········································································· 3分∴点B 的坐标为(31)--，，∵点A 、点B 在一次函数y mx b =+的图象上．O 1423CBD 'A 图2图1A D BCE∴331m b m b +=⎧⎨-+=-⎩，∴12m b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为2y x =+ ····························································· 5分四、解答题（共2个小题，共10分）18．解：设AD ’交BC 于O ，方法一：过点B 作BE ⊥AD ’于E ， 矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∠B ＝∠D ＝∠BAD ＝90°， 在Rt △ABC 中，∵ta n∠BAC＝4BC AB==，∴∠BAC ＝60°，∴∠DAC ＝90°—∠BAC ＝30°，……………………………2分 ∵将△ACD 沿对角线AC 向下翻折，得到△ACD ’，∴AD’＝AD ＝BC ＝1＝∠DAC ＝30°， ∴∠4＝∠BAC —∠1＝30°，又在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°,∴BE ＝2， ……………………………………4分∴AE=D’E ＝AD’—AE ＝∴AE ＝D’E ，即BE 垂直平分AD’，∴BD ’＝AB ＝4. ……………………………5分 方法二：矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AD ＝BC ，∠B ＝∠D ＝90°，∴∠ACB ＝∠DAC ， 在Rt △ABC 中，∵ta n∠BAC＝4BC AB==，∴∠BAC ＝60°，∴∠ACB ＝90°—∠BAC ＝30°，……………………………2分∵将△ACD 沿对角线AC 向下翻折，得到△ACD ’， ∴AD ＝AD’＝BC ，∠1＝∠DAC ＝∠ACB ＝30°， ∴OA ＝OC ，∴OD ’＝OB ，∴∠2＝∠3，∵∠BOA ＝∠1＋∠ACB ＝60°, ∠2＋∠3＝∠BOA ， ∴∠2＝12∠BOA ＝30°，…………………………………………………………4分∵∠4＝∠BAC —∠1＝30°，∴∠2＝∠4，∴BD ’＝AB ＝4. …………………5分19．（1）证明：联结BO ，……………………………1分 方法一：∵AB ＝AD ，∴∠D ＝∠ABD ，∵AB ＝AO ，∴∠ABO ＝∠AOB ，………………2分 又在△OBD 中，∠D +∠DOB +∠ABO +∠ABD ＝∴∠OBD ＝90°，即BD ⊥BO ，∴BD 是⊙O 的切线．········································································· 3分方法二：∵AB ＝AO ，BO ＝AO ，∴AB ＝AO ＝BO ，∴△ABO 为等边三角形，∴∠BAO ＝∠ABO ＝60°，∵AB ＝AD ，∴∠D ＝∠ABD ，又∠D ＋∠ABD ＝∠BAO ＝60°，∴∠ABD ＝30°， …………………2分 ∴∠OBD ＝∠ABD ＋∠ABO ＝90°，即BD ⊥BO ， ∴BD 是⊙O 的切线． ……………………………………………………3分方法三：∵ AB ＝AD ＝AO ，∴点O 、B 、D 在以OD 为直径的⊙A 上 …………2分 ∴∠OBD ＝90°，即BD ⊥BO ，∴BD 是⊙O 的切线． ……………………………………………………3分（2）解：∵∠C ＝∠E ，∠CAF ＝∠EBF ，∴△ACF ∽△BEF ， ……………………········ 4分∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，在Rt △BF A 中，cos ∠BF A ＝32=AFBF ，∴32==AFBF CFEF ，又∵CF =9，∴EF =6．…………………5分五、解答题（本题满分5分）20．解：（1）③，……………………1分（2）图1补充完整， ……3分 （3）220． …………………5分六、解答题（共2个小题，共10分）21．解：设该厂原来每天加工x 顶帐篷，则工作效率提高后每天加工1.5x 顶帐篷． ····· 1分根据题意，得1500300150030041.5xx---=， ················································ 3分 解这个方程，得100x =，·············································································· 4分 经检验：100x =是原方程的解．答：该厂原来每天加工100顶帐篷．······························································· 5分22．解：（1）如图1，由题意可知：∠BCE 1＝15°,∵∠D 1CE 1＝60°，∴∠D 1CB ＝∠D 1CE 1—∠D 1CB ＝45°， 又∠ACB ＝90°,∴∠ACD 1＝∠ACB —∠D 1CB ＝45°．············ 1分 （2）由（1）知，∠ACD 1＝45°，又∠CAB ＝45°，∴∠AOD 1＝∠CAB ＋∠ACD 1＝45°∴OC ⊥AB ， ∵∠BAC ＝45°,∠ABC ＝90°—∠BAC ＝45°， ∴∠ABC ＝∠BAC ，∴AC ＝BC ， ∴OC ＝12AB ＝OA ＝3，∴OD 1＝CD 1—OC ＝4，在R t △AOD 1中，∠5＝90°，AD 15． ························· 3分 （3）点B 在△D 2CE 2内部． ············································································· 4分理由如下：设BC （或延长线）交D 2E 2于点P ，则∠PCE 2＝15°＋30°＝45°． 在R t △PCE 2中，可求CP12CE 22，在R t △ABC 中，可求BC＝2<，即BC <CP ，………5分∴点B 在△D 2CE 2内部．B图1AE 1CD 1OFGBDEFA图1y图3图4七、解答题（本题满分7分） 23．（1）①垂直，相等；………………………………………………………………………1分②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．…………………………………2分 由正方形ADEF 得 AD ＝AF ，∠DAF ＝90º． ∵∠BAC ＝90º，∴∠DAF ＝∠BAC ， ∴∠DAB ＝∠F AC ，又AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC ，∴CF ＝BD ， ∠ACF ＝∠ABD ．∵∠BAC ＝90º， AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝45º，∴∠ACF ＝45º， ∴∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝90º．即 CF ⊥BD . ……………………………………………………………………5分（2）当∠ACB ＝45º时，CF ⊥BD （如图）．……………………………………………6分 理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 或CB 的延长线于点G ， 则∠GAC ＝90º，∵∠ACB ＝45°,∠AGC ＝90°—∠ACB ＝45°， ∴∠ACB ＝∠AGC ，∴AC ＝AG ，∵点D 在线段BC 上，∴点D 在线段GC 上，由（1）①可知CF ⊥BD . …………………………………………………………7分八、解答题（本题满分7分）24. 解：（1）∵(40)C ，，(80)D ，，∴4C D =，∵矩形C D E F 中，12C F C D=，∴2C F D E ==，∵点E 、F 在第一象限，∴(8)E ，2，(4)F ，2．………………………1分 （2）由题意，可知(2)A b ，0，(0)B b ，，在R t △ABO 中，ta n ∠BAO ＝12O A O B=，①当0<b ≤2时，如图1，0S =．……………………………………………2分②当2<b ≤4时，如图2，设A B 交C F 于G ，24A C b =-， 在R t △AGC 中，∵ta n ∠BAO ＝12G C A C=，∴2C G b =-．∴()()12422S b b =--，即244Sb b =-+，……………………………4分③当4<b ≤6时，如图3，设A B 交E F 于G ，交E D 于H ，28AD b =-， 在R t △ADH 中，∵ta n ∠BAO ＝12D H A D =，∴4D H b =-，6EH b =-，在矩形C D E F 中，∵CD ∥EF ，∴∠EGH ＝∠BAO ， 在R t △EGH 中，∵ta n ∠EGH ＝12E H E G=，∴122EG b =-，∴()()12412262S b b =⨯---，即21228S b b =-+-，……………5分④当b >6时，如图4，8S =．………………………………………………6分 （3）0b <1． ………………………………………………………7分九、解答题（本题满分8分）解：（1）解方程2230x x --=，得123x x ==-1,．………………1分 ∴点()0A -1，，点()0B 3，． ∴()()221110213302b c b c ⎧-⨯-+⋅-+=⎪⎪⎨⎪-⨯+⋅+=⎪⎩解，得432b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为224233y x x =-++．·················································· 2分（2）∵抛物线与y 轴交于点C ．∴点C 的坐标为（0，2）．又点()0B 3，，可求直线BC 的解析式为223y x =-+．∵AD ∥CB ，∴设直线AD 的解析式为23y x b '=-+．又点()0A -1，，∴23b '=-，直线AD 的解析式为2233y x =--．解2242332233y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得211241,1003x x y y =⎧=-⎧⎪⎨⎨==-⎩⎪⎩，∴点D 的坐标为（4，103-）． ········································································· 4分过点D 作DD ’⊥x 轴于D ’， DD ’＝103，则又AB ＝4．09丰台一模 第 11 页 共 11 页 ∴四边形ACBD 的面积S ＝12AB •OC +12AB •DD ’＝2103 ······························ 5分（3）假设存在满足条件的点R ，设直线l 交y 轴于点E （0，m ），∵点P 不与点A 、C 重合，∴0< m <2，∵点()0A -1，，点()0,2C ，∴可求直线AC 的解析式为22y x =+，∴点112P m m ⎛⎫-⎪⎝⎭，．∵直线BC 的解析式为223y x =-+，∴点332Q m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，． ∴24PQ m =-+．在△PQR 中，①当RQ 为底时，过点P 作PR 1⊥x 轴于点R 1，则∠R 1PQ ＝90°，PQ ＝PR 1＝m ．∴24m m -+=，解得43m =，∴点1433P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴点R 1坐标为（13-，0）． ·········································································· 6分②当RP 为底时，过点Q 作Q R 2⊥x 轴于点R 2，同理可求，点R 2坐标为（1，0）．································································ 7分 ③当PQ 为底时，取PQ 中点S ，过S 作SR 3⊥PQ 交x 轴于点R 3，则PR 3＝QR 3，∠PR 3Q ＝90°．∴PQ ＝2R 3S ＝2m ．∴242m m -+=，解，得1m =， ∴点112P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，点312Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可求点R 3坐标为（12，0）． …………………8分 经检验，点R 1，点R 2，点R 3都满足条件．综上所述，存在满足条件的点R ，它们分别是R 1（13-，0），R 2（1，0）和点R 3（12，0）．。
北京市高考数学试题汇编-平面向量
北京市2009届高考数学试题汇编－平面向量1、（2009丰台区理）设，为基底向量，已知向量=– k , = 2+,= 3–，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于（ ）BA ．– 2B ．2C ．– 10D ．102、（2009丰台区文）已知向量= ( 1 , 3 )，= ( 3 , n )若2–与共线，则实数n 的值是（ ）DA ．323+B 323-C ．6D ．93、（2009石景山区）在ABC ∆中，︒=∠90C ，)1,(x BC =，)3,2(=AC ，则x 的值是（ ）DA ．5B ．5-C ．23D ．23- 4、（2009昌平区文）(sin ,cos ),(cos ,sin ),a b a b αααα===已知向量向量则 AA ． sin 2α B. sin 2α- C. cos 2α D. 15、（2009东城区）已知a (3,4)=，(6,8)=--b ，则向量a 与b （ ）AA.互相平行B. 夹角为60C.夹角为30D.互相垂直6、（2009海淀区文）已知向量b a b a 与则向量与向量),3,1()0,1(-==的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π 7、（2009西城区）若向量(12)=，a ，(3,4)-b =，则()()⋅a b a +b 等于（ ）B A.20 B.(10,30)- C.54 D.(8,24)-8、（2009宣城区理）已知非零向量,,b a 若,1==b a 且,b a ⊥又知),4()32(b ka b a -⊥+则实数k 的值为 D（ ）A.6-B.3-C. 3D. 69、（2009丰台区）已知向量= ( 2cos α, 2sin α),= ( 3sos β, 3sin β)，向量与的夹角为30°则cos (α–β)的值为_______________________23 10、（2009海淀区理）已知直线2022=+=++y x m y x 与圆交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，|,|||m 那么实数≥+的取值范围是 。
北京2009年高考模拟试卷文科数学
2009年 高 考 模 拟 试 卷数学（文科）试题注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．设全集为R ,集合{|||2}M x x =>，1{|0}1x N x x-=≥+，则有（ ）A ．R C MN N ⋂=B ．}11|{≤≤-=⋂x x N MC ．}2112|{<<-<<-=⋂x x x N M 或D ．}11|{≤<-=⋂x x M NC R2．若R,1xx x ∈+那么是正数的充要条件是（ ）A ．0>xB ．1-<xC ．01<<-xD ．10-<>x x 或3．在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于（ ）A ．40B ．42C ．43D ．45 4．若π<α<π223,则直线α+αsin cos y x =1必不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．把点（3，4）按向量a r 平移后的坐标为(2,1)-，则2xy =的图象按向量a r 平移后的图象的函数表达式为（ ）A ．523x y -=+ B ．523x y -=- C ．523x y +=+ D ．523x y +=-6．如右图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为棱1DD 和BC 中点，G 为棱11B A 上任意一点，则直线 AE 与直线FG 所成的角为 （ ）A ．ο30B ．ο45C ．ο60D ．ο907．已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的图象是（ ）8．二项式1()n x x x-的展开式中含5x 的项， 则n 的一个可能值是 （ ）A ．8B ．9C ．5D ．69．若A, B 是平面内的两个定点, 点P 为该平面内动点, 且满足向量AB u u u r 与AP u u u r夹角为锐角θ,|PB||AB|+PA AB=0•u u u r u u u r u u u r u u u r, 则点P 的轨迹是（ ）A ．直线 （除去与直线AB 的交点） B ．圆 （除去与直线AB 的交点）C ．椭圆 （除去与直线AB 的交点）D ．抛物线（除去与直线AB 的交点）10．设A 、B 是椭圆3422y x +=1上的两个动点，焦点坐标是F ，则△ABF 的周长的最大值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．211．数列｛a n ｝中，a 1=2, 1(,1)n m a +=-u r , (1,1)n n a =+-r, 又m n ⊥u r r , 则a 2009= （ ）A ．2B ．13-C ．32-D ．112．f (x )与g (x )是定义在R 上的可导函数.若f ′(x )=g ′(x )，则f (x )与g (x )满足（ ）A ．f (x )=g (x )B ．f (x )-g (x )是常数函数C ．f (x )=g (x )=0D ．f (x )+g (x )是常数函数第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）。
北京市东城区2009—2010学年度高三综合练习(二)数学(文)C版
北京市东城区2009—2010学年度高三综合练习（二）数学（文）C版一、填空题（共3小题；共15分）1. 已知向量，，，则 ______．2. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，计算这个几何体的表面积是______．3. 执行下边的程序框图，输出的 ______．二、选择题（共7小题；共35分）4. 已知复数，若是纯虚数，则实数等于______A. B. C. D.5. 集合，，则A. B.C. D.6. 若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为______A. B. C. D.7. 已知函数，，则与两函数图象的交点个数为______A. B. C. D.8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于______A. B. C. D.9. 若函数是上的单调减函数，则实数的取值范围是______A. B. C. D.10. 已知数列中，，，，能使的可以等于______A. B. C. D.三、填空题（共3小题；共15分）11. 命题＂＂的否定是______．12. 在直角坐标系中，设集合，在区域内任取一点，则满足的概率等于______．13. 已知函数，，有下列命题：①当时，的最小正周期是；②当时，的最大值为；③当时，将函数的图象向左平移可以得到函数的图象．其中正确命题的序号是______（把你认为正确的命题的序号都填上）．四、解答题（共4小题；共52分）14. 在中，角所对的边分别为，且，．（1）若，求的值；（2）若的面积，求，的值．15. 随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）．（1）求频率分布直方图中的值及身高在以上的学生人数；（2）将身高在区间内的学生依次记为三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取人，求从这三个组分别抽取的学生人数；（3）在（2）的条件下，要从名学生中抽取人，用列举法计算组中至少有人被抽中的概率．16. 已知等比数列的公比，是和的一个等比中项，和的等差中项为，若数列满足（）．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．17. 已知函数．（1）若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围；（2）设，求证：．五、选择题（共1小题；共5分）18. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是______A.B.C.D.答案第一部分1.2.3.第二部分4. B5. D6. D7. C8. A9. B 10. C第三部分11. ，12.13. ①②第四部分14. （1）因为，又，所以．由正弦定理，得．（2）因为，所以，所以．由余弦定理，得所以．15. （1）由频率分布直方图可知：所以．身高在以上的学生人数为：．（2）三组的人数分别为人，人，人．因此应该从三组中分别抽取（人），（人），（人）．（3）在（2）的条件下，设组的位同学为组的位同学为组的位同学为，则从名学生中抽取人有种可能：其中组的位学生至少有人被抽中有种可能：所以组中至少有人被抽中的概率．16. （1）因为是和的一个等比中项，所以．由题意可得因为，所以．解得所以．故数列的通项公式为．（2）由于，所以．①②，得所以．17. （1）函数，则．因为函数在上是单调增函数，所以在上恒成立．即在上恒成立，所以．因为当时，，当且仅当，即时等号成立．所以时，在上恒成立．故实数的取值范围是．（2）令，则．．当时，，所以在上是增函数．所以．即所以．即．所以所以故不等式成立．第五部分18. A。
2009届高三调研考试数学试题(文科)2
2009届高三调研考试数学试题(文科)本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。
答在试题卷上不得分；3． 考试结束，考生只需将答题案交回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．第一部分 选择题(共40分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}{}|1,|21x M x x N x =<=>，则M N =A ．∅B ．{}|0x x <C ．{}|1x x <D ．{}|01x x <<2. 复数i 215+的共轭复数为 A.－31035-i B.－i 31035+ C.1－2iD.1+2i3.右图是2008年韶关市举办“我看韶关改革开放三十年”演讲比赛大赛上,七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 A.5; 1.6 B.85; 1.6 C.85; 0.4 D.5;0.44.如图, 共顶点的椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别 为1234,,,e e e e ,其大小关系为 Ａ．1234e e e e <<< Ｂ．2134e e e e <<<Ｃ．1243e e e e <<<Ｄ．2143e e e e <<<5.已知()()2,1,1,3-=-=，若()()k ++-∥2，则实数k 的值是A. -17B. 21- C. 1819 D.356.已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m 、n ，有下列四个命题 ①若α⊥m n m ,//，则α⊥n ②若βαβα//,,则⊥⊥m m ③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ④若n m n m //,,,//则=βαα其中正确命题的个数是7984446793② ①④ ③A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7.圆074422=+--+y x y x 上的动点P 到直线0=+y x 的最小距离为 A ．1 B ． 122- C ．2 D ． 228. 电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数sin()I A t ωϕ=+(0,0,0)2A πωϕ>><<的图象如右图所示，则当1001=t 秒时，电流强度是 A ．5-安 B ．5安 C ． D ．10安9.已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数0x 是方程()0f x =的解，且100x x <<，则()1f x 的值为 A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于010. 已知函数()2,f x x bx c =++其中04,04b c ≤≤≤≤.记函数满足()()21213f f ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩的事件为A,则事件A 的概率为 A ．58 B ．12C ．38D ．14第二部分 非选择题(共110分)二.填空题(每小题5分,共20分)11. 下面框图表示的程序所输出的结果是___________ .(说明，M N =是赋值语句，也可以写成 M N ←，或:M N =) 12. 在由正数组成的等比数列{}n a 中,12341,4,a a a a +=+= 则56a a +=___. 13. 下列3个命题中①2,210x R x x ∀∈-+>；②“1x >且2y >”是“3x y +>”的充要条件；③函数y =的最小值为2其中假命题的为_________（将你认为是假命题的序号都填上） .第13至15题，从3题中选答2题，多选按前2题记分14.在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为______________15..如图，从圆O 外一点A引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD =6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中，c b a 、、为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =cos 3C =，求c 的长.17.(本题满分12分)现从3道选择题和2道填空题中任选2题. （Ⅰ）求选出的2题都是选择题的概率；（Ⅱ）求选出的两题中至少1题是选择题的概率.18. (本题满分14分)一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是直角边长为a 的等腰三角形）如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点. （Ⅰ）求证：;AC GN ⊥（Ⅱ）求三棱锥F MCE -的体积；（Ⅲ）当FG=GD 时，证明AG //平面FMC.19. (本题满分14分)已知动圆过定点(0,2)F ，且与定直线:2L y =-相切. （I ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（II ）若A B 是轨迹C 的动弦，且A B 过(0,2)F ， 分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明:AQ BQ ⊥.20. (本题满分14分)aaa 俯视图左视图主视图GEFNMDCBA已知函数()ln a f x x x=-. （Ⅰ）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）若()f x 在[1,]e 上的最小值为2，求a 的值.21. (本题满分14分) 已知函数()311,.212x F x x x +⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭(Ⅰ)证明：()()13F x F x +-=，并求122008...;200920092009F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(Ⅱ)已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ,且()nnS F n T =. 当m n >时,比较m m a b 与n nab 的大小; （Ⅲ）在(Ⅱ)条件下,已知12a =,数列{}n b 的公差为2d =.探究在数列{}n a 与{}n b 中是否有相等的项,若有,求出这些相等项由小到大排列后得到的数列{}nc 的通项公式;若没有,请说明理由.。
北京市西城区2009届高三二模(数学文)word精校版
北京市西城区 2009年抽样测试高三数学试卷（文科） 2009.5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A 、B 满足A B A =，那么下列各式中一定成立的是（ ）A. A BB. B AC. AB B = D. A B A =2. 函数ln(1)(2)y x x =->的反函数是（ ）A. 1e(0)x y x +=> B. 1e (1)x y x -=> C. e 1(R)x y x =-? D. e 1(0)xy x =+>3. 设向量a =(1, x -1)，b =(x +1,3)，则“x =2”是“a //b ”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆2228x y +=的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离等于（ ）A. 8B. 6C. 4D. 25．已知一个平面a ，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面a 内一定存在一条直线b ，使得a 与b （ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直6．数列{}n a 对任意*N n Î满足12n n a a a +=+，且36a =，则10a 等于( )A.24B. 27C. 30D. 327. 某校要从高三的六个班中选出8名同学参加市中学生英语口语演讲，每班至少选1人，则这8个名额的分配方案共有（ ）A.21B. 27C. 31D. 368. 根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（20πα≤≤）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为（ ）A. 020020x yì＃ïïíï＃ïî B. 2240020x y x y ìï+?ïíï+?ïî C. 2240000x y x y ìï+?ïïï³íïï³ïïî D. 202020x y x y ì+?ïïï£íïï£ïïî北京市西城区 2009年抽样测试高三数学试卷（文科） 2009.5第Ⅱ卷( 共110分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 9. 为了了解在一个水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库的不同位置捕捞出n 条鱼. 将这n 个样本分成若干组，若某组的频数和频率分别为30和0.25，则n =___________.10. 设(2,2),(0,4)AB AC ==uu u r uu u r，则ABC V 的内角A =_________.11. 若291()ax x-的展开式中常数项为672，则a =___________.12. 设函数()|21|3f x x x =-+-，则(1)f -=__________；若()f x x >，则x 的取值范围是___________.13. 已知一个球的表面积为144p ，球面上有两点P 、Q ，且球心O 到直线PQ 的距离为那么此球的半径r =___________；P 、Q 两点间的球面距离为__________. 14. 已知三个函数：○12cos y x =； ○231y x =-； ○312x y +=. 其中满足性质：“对于任意12,x x ∈R ，若1002102,,22x x x xx x x αβ++<<==，则有 12|()()||()()|f f f x f x αβ-<-成立”的函数是______________.(写出全部正确结论的序号) 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是11,34. 现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击. 甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击. 假设每人每次射击击中目标与否均互不影响. (Ⅰ) 求3次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙射击未击中目标的概率； (Ⅱ) 求乙至少有1次射击击中目标的概率.16.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos sin f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的值域和最小正周期；（Ⅱ）设(0,)a p Î，且()1f α=，求α的值.17.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1,2AB BC AB BC AA ^===，D 、E 分别是AA 1、B 1C 的中点.(Ⅰ) 求证：//DE 平面ABC ；(Ⅱ) 求异面直线11AC 与1B D 所成角的大小； (Ⅲ) 求二面角C-B 1D-B 的大小.18.（本小题满分14分） 已知函数321()(,3f x x x ax b a b =-+++∈R ). (Ⅰ) 若a =3，试确定函数()f x 的单调区间；C BC 1 B 1AA 1 DE(Ⅱ) 若函数()f x 在其图象上任意一点00(,())x f x 处切线的斜率都小于2a 2，求a 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知AOB V 的顶点A 在射线1:(0)l y x =>上， A , B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足||||3AM MB ?. 当点A 在l 1上移动时，记点M 的轨迹为W .(Ⅰ) 求轨迹W 的方程；(Ⅱ) 设N (2,0)，过N 的直线l 与W 相交于P 、Q 两点. 求证：不存在直线l ，使得1OP OQ?uu u r uuu r .20.（本小题满分14分）已知f 是直角坐标平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作()Q f P =.设1P 11(,)x y ，2132(),()P f P P f P ==,1,(),n n P f P -=L L . 如果存在一个圆，使所有的点*(,)(N )n n n P x y n Î都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点(,)n n n P x y 的一个收敛圆. 特别地，当11()P f P =时，则称点1P 为映射f 下的不动点. 若点(,)P x y 在映射f 下的象为点1(1,)2Q x y -+. (Ⅰ) 求映射f 下不动点的坐标；(Ⅱ) 若1P 的坐标为(2,2)，求证：点*(,)(N )n n n P x y n Î存在一个半径为2的收敛圆.北京市西城区 2009年抽样测试参考答案高三数学试卷（文科） 2009.5一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 120 10. 45o 11. 2 12. 1-，{|21}x x x ><-或 13. 6，2p 14. ○2○3注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：记 “3次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙射击未击中目标” 为事件A . ---1分由题意，得事件A 的概率1231()3346P A =创=； --------------5分 （Ⅱ）解：记“乙至少有1次射击击中目标”为事件B ， ------------6分事件B 包含以下两个互斥事件：○1事件1:B 三次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙击中目标，其概率为11211()33418P B =创=-----------------------8分 ○2事件2:B 三次射击的人依次是甲、乙、乙，其概率为2211()346P B =?.-----10分 所以事件B 的概率为122()()()9P B P B P B =+=. 所以事件“乙至少有1次射击击中目标”的概率为2()9P B =. ---------------12分 16.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：2()sin cos sin f x x xx =?11cos2sin 222xx -=+-------------------2分 11(sin 2cos2)22x x =-+1)42x p =-+， -----------------4分 因为1sin(2)14xp-??，1)42x p +?，即函数()f x 的值域为. -------------------6分函数()f x 的最小正周期为22T pp ==. --------------8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得1())142f p a a =-+=，所以sin(2)4p a -=-------------------------9分 因为0<<a p ，所以72444p p pa -<-<， -----------------------10分 所以32,24444p p p pa a -=-=或， 所以 ,42p pa a ==或. -------------------12分17.（本小题满分14分）方法一：（Ⅰ）证明：如图，设G 为BC 的中点，连接EG ，AG ， 在1BCB V 中，1,BG GC B E EC ==Q ，1//EG BB \，且112EG BB =， 又1//AD BB ，且112AD BB =，//,E G A D E G A D\=， \四边形ADEG 为平行四边形，//DE AG \， ------------------------2分 又AG Ì平面ABC ，DE Ë平面ABC ，\//DE 平面ABC . --------------------------4分 （Ⅱ）解：如图，设F 为BB 1的中点，连接AF ，CF ， Q 直三棱柱111ABC A B C -，且D 是AA 1的中点， 111//,//A F B DA C A C\， C A F \?为异面直线11AC 与1B D 所成的角或其补角. -------------------7分 在Rt ABF V 中，BF AB ^，AB =1，BF =1，AF \=CF =在ABC V 中，,1,AB BC AB BC ^==Q AC \=在ACF V 中，AC AF CF ==Q ，60CAF \?o .C G BC 1 B 1AA 1 DEF\异面直线11AC 与1B D 所成的角为60o. ----------------------9分（Ⅲ）解：Q 直三棱柱111ABC A B C -，1B B BC \^， 又1,AB BC AB BB B ^=I ，BC \^平面1ABB D . ----------------------10分如图，连接BD ，在1BB D V中，112BD B D BB ===Q ，22211BD B D BB \+=，即1BD B D ^，BD Q 是CD 在平面1ABB D 内的射影，1CD B D \^，CDB \?为二面角C -B 1D -B 的平面角. --------------------12分在BCD V 中, 90CBD?o , BC=1, BD =tan BC CDBBD \?=, \二面角C -B 1D -B的大小为arctan2. --------------------14分 方法二：（Ⅰ）同方法一. ----------------------4分 （Ⅱ）如图，以B 为原点，BC 、BA 、BB 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，则111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,0,2),(0,1,2),(0,1,1)B C A B C A D ，111(1,1,0),(0,1,1)AC B D =-=-uuu u r uuu r Q , ----------------------6分 1111111111cos ,2||||AC B D AC B D AC B D ×\<>==-×uuu u r uuu ruuu u r uuu r uuuu r uuu r ， \异面直线11AC 与1B D 所成的角为60o. ----------------------9分（Ⅲ）解：Q 直三棱柱111ABC A B C -，1B B BC \^， 又1,AB BC AB BB B ^=I ，BC \^平面1ABB D . ---------------------------10分如图，连接BD ，1在1BB D V中，112BD B D BB ===Q ，22211BD B D BB \+=，即1BD B D ^，BD Q 是CD 在平面1ABB D 内的射影，1CD B D \^，C D B \?为二面角C -B 1D -B 的平面角. -----------------------12分(1,1,1),(0,1,1)DC DB =--=--uuu r uu u rQ ，cos ||||DC DB CDBDC DB ×\?=×uuu r uu u r uuu r uu u r \二面角C -B 1D -B的大小为arccos 3. ------------------------14分 18.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为321()33f x x x x b =-+++， 所以2()23f x x x ¢=-++， ---------------------2分 由()0f x ¢>，解得13x -<<，由()0f x ¢<，解得1x <-或3x >， ---------------4分 所以函数()f x 的单调增区间为(1,3)-，减区间为(,1)-?，(3,)+?--------6分 （Ⅱ）解：因为2()2f x x x a '=-++，由题意，得22()22f x x x a a '=-++<对任意x ∈R 成立， --------------------8分 即2222x x a a -+<-对任意x ∈R 成立， 设2()2g x x x =-+，所以22()2(1)1g x x x x =-+=--+，所以当1x =时，()g x 有最大值1， --------------------10分 因为对任意x ∈R ，2222x x a a -+<-成立，所以 221a a ->，解得1a >或 12a <-， 所以，实数a 的取值范围为{|1a a >或 1}2a <-. -----------------------14分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为A , B 两点关于x 轴对称， 所以AB 边所在直线与y 轴平行.设M (x , y )，由题意，得(),(,)A x B x -， ---------------------2分所以||,||AM y MB y =-=，因为||||3AM MB ?，所以)()3y y -⨯=，即2213y x -=， --------------------------5分所以点M 的轨迹W 的方程为221(0)3y x x -=>. -----------------------6分（Ⅱ）证明：设:(2)l y k x =-或2x =，1122(,),(,)P x y Q x y ，当直线:(2)l y k x =-时：由题意，知点P ，Q 的坐标是方程组2213(2)y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩的解，消去y 得2222(3)4430k x k x k -+--=，所以22222(4)4(3)(43)36(1)0k k k k ∆=----=+>，且230k -≠，22121222443,33k k x x x x k k ++==--， ------------------8分 因为直线l 与双曲线的右支（即W )相交两点P 、Q ，所以221212224430,033k k x x x x k k ++=>=>--，即23k >. ○1-------9分 因为212121212(2)(2)[2()4]y y k x k x k x x x x =-⋅-=-++， 所以OP OQ ⋅=1212x x y y +，2221212(1)2()4k x x k x x k =+-++，2222222434(1)2433k k k k k k k +=+⋅-⋅+--22353k k -=-， --------------------11分要使1OP OQ?u u u r u u u r，则必须有223513k k -=-，解得21k =，代入○1不符合. -----12分 所以不存在l ，使得1OP OQ?uu u r uuu r.当直线:2l x =时，P (2, 3)，(2,3)Q -，5OP OQ?-u u u r u u u r，不符合题意.综上：不存在直线l 使得1OP OQ?uu u r uuu r. ------------------14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设不动点的坐标为000(,)P x y ，由题意，得0000112x x y y ì=-+ïïïíï=ïïî，解得001,02x y ==， 所以此映射f 下不动点为01(,0)2P . -----------------------4分（Ⅱ）证明：由1()n n P f P +=，得11112n n n n x x y y ++ì=-+ïïïíï=ïïî， --------------------6分 所以11111(),222n n n n x x y y ++-=--=， 因为112,2x y ==， 所以10,02n n x y -构，所以111121,122n n n n x y y x ++-=-=-， --------------------------8分 由等比数列定义，得数列1{}(2n x n -?N *)是公比为-1，首项为11322x -=的等比数列， 所以113(1)22n n x --=?，则113(1)22n n x -=+-?. --------------------------10分 同理 112()2n n y -=?.所以 11131((1),2())222n n n P --+-创. -----------------------11分设1(,1)2A，则||n AP =------------------12分因为 1102()22n -<矗，所以11112()12n --??，所以||2n AP ?.故所有的点*(N )n P n Î都在以1(,1)2A 为圆心，2为半径的圆内，即点(,)n n n P x y 存在一个半径为2的收敛圆. ---------------------14分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市丰台区2009年高三统一练习（二）数学试题（文） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡上并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合BAxxBgxyxA则},1|{},1|{等于 （ ）
A．R B．}10|{xx C． D．}1|{xx 2．在)()1(Nnxn 二项展开式中只有x6的系数最大，则n等于 （ ） A．13 B．12 C．11 D．10
3．已知圆xyF，yxC4)(cos2,sin23:2为抛物线点为参数的焦点，则|GF|等于（ ） A．6 B．4 C．2 D．0 4．已知函数|cos|21cos21)(xxxf则 （ ）
A．)2()1()0(fff B．)1()0()2(fff C．)1()2()0(fff D．)0()2()1(fff 5．若函数)(xfy的图象按向量a平移后，得到函数1)1(xfy的图象，则向量a等于 （ ） A．（-1，1） B．（1，-1） C．（1，1） D．（-1，-1） 6．如图，在体积为V1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为所在边的中点，正方体的外接球的体积为V，则下面命题中假命题是 （ ）
A．BD1=AB3
B．231VV； C．BD1与底面ABCD所成角是45°； D．MN//平面D1BC。 7．某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有 （ ） A．288种 B．72种 C．42种 D．36种
8．奇函数f（x）满足0)()1(xfxf，已知在则)(,2)(),1,0(xfxfxx（1，2）上 是 （ ） A．增函数且0)(xf B．减函数且0)(xf
C．增函数且0)(xf D．减函数且0)(xf
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9．原点到直线4xy的距离等于 。
10．在BBAbaABCcos,2,3,1,则中 。 11．已知函数axligy2的图象与函数32xy的图象关于直线xy对称，则a= 。
12．已知点P（2，-3）是双曲线)0,0(12222babyax上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是 。 13．已知以下条件：①;BCAD②||||ABAD；③;0ABAD④||||BDAC。若四边形ABCD是矩形，则需要条件 （注：填上你认为正确条件的序号即可，不必考虑所有可能有的情形）。
14．已知函数21)(),0(1||)(xfxxaxxf若恒成立，则a的取值范围是 。 三、解答题：本大题共6个小题，共8-0分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分）
已知函数.2sin2cos2cos2sin2)(22xxxxxf （I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）若xx，xfx4tan14tan126)(,160求时当的值。 16．（本小题共13分） 对某型号1000只灯泡的使用寿命（单位：小时）统计如下表所示：
寿命分组 1000,500 1500,1000 2000,1500
,2000
灯泡个数 172 428 392 71 （I）从这1000只灯泡中任选1只，求该灯泡寿命不足1500小时的概率； （II）从这1000只灯泡中任选3只灯泡，求至多有2只灯泡寿命不足1500小时的概率。
17．（本大题共14分） 如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′DE是△AED绕边DE旋转过程中的一个图形。 （I）求证点A′在平面ABC上的射影在线段AF上； （II）当二面角A′—DE—A为60°时，求三棱形A′—FED的体积。
18．（本小题共13分） 已知函数))0(,0(31)(23fdcxbxxxf在点处的切线方程为.2y （I）求c、d的值； （II）求函数f（x）的单调区间。 19．（本小题共14分） 已知等差数列{an}的首项da公差,210，且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列{bn}的第一项、第二项、第三项。 （I）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（II）设数列{cn}对任意的12211nnnabcbcbcNn均有，求数列{cn}的前n项和。
20．（本小题共14分） 设F1、F2分别是椭圆1922yx的左、右焦点。
（I）若M是该椭圆上的一个动点，求21MFmF的最大值和最小值； （II）设过定点（0，2）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，且∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。 参考答案 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。 1—5ABBAC 6—8CDC 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
9． 22 10．63 11．3
12．1322yx 13．①和③ 或①和④ 14．2a 三、解答题：本大题共6个小题，共80分。 15．（本小题13分）
解：（I）xxxxxxxf4cos4sin2sin2cos2cos2sin2)(22 ……3分
)44sin(2x ……5分
函数2)(的最小正周期是xf ……7分
（II）由已知23)44sin(26)44sin(2)(26)(xxxfxf得
分所以分而1333tan)44tan(4tan14tan1103442444,160xx
x
xxx
16．解（I）该灯泡的使用寿命不足1500小时的概率531000428172P ……6分 （II）至多有2只灯泡使用寿命不足1500小时的概率.12598)53(1333CP……12分 答：从这1000只灯泡中任选1只灯泡使用寿命不足1500小时的概率等于;53 从这1000只灯泡中任选3只，至多有2只灯泡使用寿命不足1500小时的概率等于
12598。 ……13分
17．（本小题共13分） 解：（I）在平面A’FA内过点 A’作A’H⊥垂足为H
因为GAADEGADEAFDE‘'平面 ……4分
所以DEABCHAHA平面'' ……6分 即点A′在平面ABC上的射影在线段AF上 ……7分 （II）因为GAAGADEAFDE‘,'所以是二面角A′—DE—A的平面角 60'GAA ……9分
由（I）知ABCHA平面'，
因为AB=4，AG=23'3'HAGA ……10分
所以三棱锥232344331'VFEDA的体积 ……13分 18．（本小题共13分） 解：（I）00)0('2)('cfcbxxxf ……3分
而02)0(df ……6分 （II）由bxxxfbxxxf2)(',231)(223 ……7分 令0)2(0)('bxxxf 故,020)(',0xbxxfb或 故函数)(xf的单调增区间),2()0,(b和，单调减区间（0，2b）……9分 当,200)(',0bxxxfb或 故函数)(xf的单调增区间),0()2,(和b，单调减区间（2b，0）……9分 当,0)(',02xxfb故函数)(xf的单调增区间),( ……13分 综上所述： 当0b时，故函数)(xf的单调增区间),2()0,(b和，
故函数)(xf的单调减区间（0，2b） 当,0b故函数)(xf的单调增区间),0()2,(和b， 故函数)(xf的单调减区间（2b，0）； 当,0b函数)(xf的单调增区间),( [不写综上所述扣1分] ……14分 19．（本小题共14分）
解：（I）由已知)(03)102(2)22(2舍dorddd……2分 数列{an}的通项公式13nan；数列{bn}的通项公式122nhbn……6分 （II）由),,11221112211nnnnnbcbcbcabcbcb
c
2(31naabcannnnn）
)2(2312ncnn
又10211abc
)2(,23)1(,1012nn
cnn ……11分
所以数列}{nc的前n项和1212241)41(2410nnnS……14分
20．（本小题共14分） 解：（I）由已知),(),0,22(),0,22(,22,1,321yxMFFcba设则……2分 ]3,3[798)22)(22(2221xxyxxMFMF ……5分
所以当210MFMFx时，有最小值为-7； 当21,3MFMFx时有最大值为1。 ……7分 （II）设点),(),,(2221yxByxA 直线AB方程：2kxy
,02736)91(9922222kxxkyx
kxy ……※
有222122122191499127,9136kkyykxxkkxx ……9分 因为AOB为钝角， 所以0914991270,02222121kkkyyxxOBOA即 ……12分