6函数的奇偶性与周期性 (4)

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高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲

高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。

并统称具有上述情况的函数具有单调性。

注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。

（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。

（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。

（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。

（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。

如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴),1(+∞是函数)(2x f 的增区间令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴)0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全

函数对称性、周期性和奇偶性规律同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数y = f (X),如果存在一个不为零的常数T,使得当X取定义域内的每一个值时，都有f (x T^f (X)都成立，那么就把函数y = f (X)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、对称性定义(略)，请用图形来理解。

3、对称性：我们知道：偶函数关于y (即x=0)轴对称，偶函数有关系式 f (-x) = f (X)奇函数关于(0，0)对称，奇函数有关系式f(x) ∙ f(-x) =0上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：(1)函数y = f (x)关于X = a对称 U f (a ∙ x) = f (a -x)f (a X) = f (a -x)也可以写成f (x) = f (2a -x)或f (-x) = f (2a x)简证：设点(x1,y1)在y = f (x)上,通过f(X)= f (2a -x)可知，y1 = f(x1) = f (2a-x1)，即点(2a - x1, y1)也在y = f (x)上，而点(x1, y1)与点(2a - x1, y1)关于x=a对称。

得证。

(a x) (b _ X)=^-b对称2 2若写成：f(a X) = f (b-x),函数y = f (x)关于直线χ =(2)函数y = f (x)关于点(a,b)对称：=f (a x) f (a - x) = 2b上述关系也可以写成 f (2a ■ x) ∙ f (-X)= 2b 或f (2a - x) ∙ f (x) = 2b简证：设点(χ1, y1)在y = f (x)上，即y1 = f (x1)，通过f (2a - x) ∙ f (x) = 2b 可知，f (2a - X i) f(X i) = 2b ，所以f (2a - X i) = 2b - f(X i) = 2b - yι ，所以点(2a - x1,2b - y1)也在y = f (x)上，而点(2a - x1,2b - y1)与(x1, y1)关于(a, b)对称。

函数奇偶性、对称性与周期性有关结论

函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。

5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。

2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。

6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。

7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。

奇函数与周期函数

要点梳理
难点正本疑点清源
1．奇、偶函数的概念一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A. 如果对于任意的 x∈A，都有 f(－x)＝f(x) ，那么称函数 y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的 x∈A，都有 f(－x)＝－f(x)，那么称函数 y ＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y轴对称．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二函数的奇偶性与周期性
思维启迪解析探究提高
【例 2】设 f(x)是定义在 R 上的奇函 (1)只需证明 f(x＋T)＝f(x)，即可说数，且对任意实数 x ，恒有明 f(x)是周期函数； f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时， (2) 由 f(x) 在 [0,2] 上的解析式求得 f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当 x∈[2,4]时，求 f(x)的解析式； (3) 计算 f (0) ＋ f (1) ＋ f (2) ＋„＋ f(2 013)．
x)是周期为 4实的周期函数．数∴ ，f(且对任意数 x，恒有
(2)解 ∵x∈[2,4] ，∴－x∈[ －4，－2] ，∴4－x∈[0,2] ，
f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时， f(x)＝2x－x . (1)求证：f(x)是周期函数； 2
又 f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
2 2 ∴f(4－x)＝ 2(4 － x ) － (4 － x ) ＝－ x ＋6x－8， 2
∴－f(x)＝－x ＋6x－8，即 f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4] ．
(2)当 x∈[2,4] 求 f(x )的解析式； (3)解 ∵f(0)时，＝0， f(2) ＝ 0，f(1)＝1，f(3)＝－1. (3)又计算 f (0) ＋ f4 (1) ＋ f (2) ＋„＋ f(x)是周期为的周期函数， f(2 ∴ 013) f(0)．＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)

函数的奇偶性_课件24

(2)当 0≤x≤1 时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则 0≤－x≤1， ∴f(－x)＝12(－x)＝－12x. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－12x，即 f(x)＝12x，故 f(x)＝12x(－1≤x≤1)．
又设 1<x<3，则－1<x－2<1， ∴f(x－2)＝12(x－2)，又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f((－x)＋2) ＝－[－f(－x)]＝－f(x)， ∴－f(x)＝12(x－2)， ∴f(x)＝－12(x－2)(1<x<3)，
[方法·规律] 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(2)图象法奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于 y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于 y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性．
足 f(1)＝1，f(2)＝2，则 f(3)－f(4)＝( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析：由于函数 f(x)是奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)；由于函
数周期是 5，所以 f(x＋5)＝f(x)，所以 f(3)＝－f(－3)＝－f(－5＋
2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝－f(－4)＝－f(－5＋1)＝－f(1)＝－1，所
以 f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1.
答案：A
题型一函数奇偶性的判断【例 1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－1) 11＋－xx； (2)f(x)＝|lxg－12－|－x22； (3)f(x)＝xx22＋－xxxx＜＞00，； (4)f(x)＝ 3－x2－ x2－3.

高考数学复习全套课件第二章第四节函数的奇偶性与周期性

F(－x)＝f(－x)＋f(x)，则F(－x)＝F(x)，所以为偶函数－＝－＋，为偶函数. －＝，所以f(x)为偶函数答案：答案：D
2.对任意实数，下列函数中的奇函数是对任意实数x，对任意实数 A.y＝2x－3 ＝－ C.y＝ln5x ＝ B.y＝－ 2 ＝－3x ＝－ D.y＝－＝－|x|cosx ＝－
1.周期函数问题，在考题中常有两类表现形式：一类是研周期函数问题，在考题中常有两类表现形式：周期函数问题究三角函数的周期性；一类是研究抽象函数的周期性究三角函数的周期性；一类是研究抽象函数的周期性. 抽象函数的周期常常应用定义f(T＋x)＝f(x)给予证明，给予证明，抽象函数的周期常常应用定义＋＝给予证明证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发，证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发，推导满足周期定义的等式，推导满足周期定义的等式，从而在证明函数为周期函数的同时求出周期. 数的同时求出周期
是非奇非偶函数. ∴f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数
判断(或证明抽象函数的奇偶性的步骤判断或证明)抽象函数的奇偶性的步骤或证明 (1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现－x)，利用函数奇偶性的定义，找准方向想办法出现想办法出现f(－，利用函数奇偶性的定义 f(x))；； (2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；巧妙赋值 (3)找出－x)与f(x)的关系，得出结论找出f(－与的关系得出结论. 的关系，找出
解析：＝－f(x)，是奇函数. 解析：∵f(－x)＝－，∴f(x)是奇函数－＝－是奇函数可知f(x)关于直线对称，由f(1＋x)＝f(1－x)可知关于直线＝1对称，＋＝－可知关于直线x＝对称＝－f(－＝－＝－f(2＋ ∴f(x)＝－－x)＝－＋x) ＝－＝－[－f(4＋x)]＝f(x＋4)，＝－－＋＝＋，即f(x)＝f(x＋4)，＝＋，的一个周期， ∴4为f(x)的一个周期，为的一个周期＝－f(1)＝－ ∴f(－2009)＝f(－1)＝－＝－ 3＝－－＝－＝－＝－1 ＝－1. 答案：答案：－1

函数的单调性、奇偶性、周期性

函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。

2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。

注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。

（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。

（4）利用函数的图象分别指出：一次函数y=kx+b 、反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）．（7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法（3导数法）二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

周期性和奇偶性的关系

周期性和奇偶性的关系周期性和奇偶性是两种与数学密切相关的概念，它们之间有着密不可分的联系。

本文将从不同角度探讨周期性和奇偶性的关系。

一、周期性与奇偶性的定义周期性是指某种规律性在一定时间内不断重复出现的现象，例如日出日落、季节交替等都是周期性现象。

在数学中，周期性指的是函数的某个输入值的变化与另一个输入值的变化具有相同的规律重复出现，称为函数的周期。

周期用T表示，若一个函数在取某个常数T的周期时，对于所有的x值，都有f(x+T)=f(x) 成立，则称f(x)是周期性函数，该常数T称为它的周期。

奇偶性是指函数在定义域上某些点的函数值与该点与定义域中心点之差的奇偶性相同的性质。

在数学中，奇偶性是针对函数而言的，如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)成立，则称f(x)是偶函数，否则若有f(-x)=-f(x)成立，则称f(x)是奇函数。

其中，偶函数的图像以y轴对称，奇函数的图像以原点对称。

二、周期函数的奇偶性对于周期函数而言，其周期T和奇偶性之间是有一定的关系的。

具体地说，若一个函数f(x)是偶函数，则有f(x+T)=f(x)，又有f(-x)=f(x)，则有f(-x+T)=f(x+T)=f(x)，因此f(x)同样是周期为T的周期函数；若f(x)是奇函数，则有f(x+T)=-f(-x)，又有f(-x)=-f(x)，则有f(-x+T)=-f(x+T)，因此f(x)同样是周期为T的周期函数。

从上述推导可以看出，偶函数和奇函数都具有周期性。

其中偶函数的周期与其对称轴有关，奇函数的周期与原点有关。

例如，f(x)=cos(x)是偶函数，周期为2π；f(x)=sin(x)是奇函数，周期为2π。

这两个函数是最基本的周期函数，它们在三角学中应用广泛。

在物理中，周期函数也有着重要的应用，例如在谐振子中，振动的运动规律就是遵循周期性函数的规律。

三、奇偶函数的周期性和周期函数可以具有奇偶性一样，奇偶函数也可以具有周期性。

函数周期性、对称性与奇偶性的关系

三、对称性与周期性的关系
定理1：若定义在上的函数的图象关于直线和对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
推论1：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.
定理2：若定义在上的函数的图象关于点和直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
推论2：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.
性质4：设函数，如果对于定义域内任意的，都有，则的图象关于点对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
【小结】函数对称性的充要条件
函数关系式( )
对称性
函数图象是奇函数
函数图象是偶函数
或
函数图象关于直线对称
或
函数图象关于点对称
【注】：这里代数关系式中两个“ ”（对应法则）内的“ ”（变量）前的正负号相异，如果把两个“ ”放在“ ”的两边，则“ ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
5、若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数 ,函数满足，则是以为周期的周期函数.
6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数 ,函数满足，则是以为周期的周期函数.
7、若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数 ,函数满足，则是以为周期的周期函数.
8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数 ,函数满足，则是以为周期的周期函数.
四函数图象的对称轴和对称中心举例对称轴中心满足五函数周期性对称性与奇偶性的关系1定义在对称即对于任意的实数为周期的周期函数且是偶函数
函数周期性、对称性与奇偶性的关系
一、函数图象的对称性
(一)一个函数图象自身的对称性
性质1：对于函数，若存在常数使得函数定义域内的任意，都有的图象关于直线对称.

【志鸿优化设计】高考数学一轮复习第二章函数2.3函数的奇偶性与周期性试题理(含解析)新人教A版

课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x－2，则f (12log 6)的值等于( )．A ．－43B ．－72C ．12D ．－122．函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )的表达式为( )． A ．－x ＋1 B ．－x －1 C ．x ＋1 D ．x －13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)4．定义两种运算：a ⊗b ＝log 2(a 2－b 2)，a ⊗b ＝a －b 2，则函数f (x )＝2⊗x x ⊗2－2为( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇且非偶函数5．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )． A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数 6．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3＞0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )．A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负二、填空题7．定义在R 上的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，都有f (x ＋8)＝f (x )＋f (4)，且x ∈[0,4]时，f (x )＝4－x ，则f (2 011)的值为__________．8．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是__________．9．定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③f (x )在[0,1]上是增函数； ④f (x )在[1,2]上是减函数； ⑤f (4)＝f (0)．其中判断正确的序号是__________．三、解答题10．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (3)＝－3.(1)证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数； (2)证明：函数y ＝f (x )是奇函数；(3)试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n ∈N *)上的值域．11．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．参考答案一、选择题1．C 解析：12(log 6)f＝12(log 6)f --＝－f (log 26)＝－f (log 26－2) ＝2log 62(22)---＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫64－2＝12，故选C. 2．B 解析：x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－(－x )＋1]＝－x －1.选B.3．C 解析：∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋2x ，作出f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，即－2＜a ＜1，选C.4．A 解析：f (x )＝log 2(4－x 2)(x －2)2－2，由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2>0，|x －2|－2≠0，得－2＜x ＜2且x ≠0，∴f (x )＝log 2(4－x 2)－x为奇函数．5．D 解析：由y ＝f (x ＋1)为奇函数知f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)．① 由y ＝f (x －1)为奇函数知 f (x －1)＝－f (－x －1)．② 由①得f (－x )＝－f (2＋x )；由②得f (－x )＝－f (x －2)， ∴f (2＋x )＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )．∴函数y ＝f (x )是以4为周期的函数．∴由②知，f (x －1＋4)＝－f (－x －1＋4)． ∴f (x ＋3)＝－f (－x ＋3)， ∴函数f (x ＋3)是奇函数．6．A 解析：不妨设等差数列{a n }的公差d ＞0，若a 1＞0，则a 5＞a 3＞a 1＞0.由函数f (x )在R 上是增函数且为奇函数，知f (a 5)＞f (a 3)＞f (a 1)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0；若a 1＜0，则a 5＋a 1＝2a 3＞0，a 5＞－a 1＞0.由奇函数f (x )为R 上的增函数，知f (a 5)＞f (－a 1)＝－f (a 1)，所以f (a 1)＋f (a 5)＞0，又f (a 3)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0.故选A.二、填空题7．1 解析：f (4)＝0， ∴f (x ＋8)＝f (x )，∴T ＝8， ∴f (2 011)＝f (3)＝4－3＝1. 8．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <12，或x <－2 解析：当x ＜0时，－x ＞0，∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2(－x )，x <0.∴f (x )＜－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，0<－1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－log 2(－x )<－1⇒0＜x ＜12或x ＜－2.9．①②⑤ 解析：f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是周期函数．又f (x )＝f (－x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称．同理，f (x ＋4)＝f (x )＝f (－x )， ∴f (x )关于直线x ＝2对称．由此可得①②⑤正确．三、解答题10．(1)证明：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)] ＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)．∵x 2－x 1＞0，∴f (x 2－x 1)＜0.∴f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)＜f (x 1)，故f (x )是R 上的减函数．(2)证明：∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )恒成立， ∴可令a ＝－b ＝x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)．又令a ＝b ＝0，则有f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0.从而任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )．故y ＝f (x )是奇函数．(3)解：由于y ＝f (x )是R 上的单调递减函数，∴y ＝f (x )在[m ，n ]上也是减函数，故f (x )在[m ，n ]上的最大值f (x )max ＝f (m )，最小值f (x )min ＝f (n )．由于f (n )＝f [1＋(n －1)]＝f (1)＋f (n －1)＝…＝nf (1)，同理f (m )＝mf (1)．又f (3)＝3f (1)＝－3，∴f (1)＝－1. ∴f (m )＝－m ，f (n )＝－n .因此函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域为[－n ，－m ]．11．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1＜x ＜3，则－1＜x －2＜1.∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)．∴f (x )＝－12(x －2)(1＜x ＜3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.又∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2) ＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

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课题：函数的奇偶性与周期性一、考点梳理： 1．函数的奇偶性

2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 3.注意点：（1）．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．（2）．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．（3）．分段函数奇偶性判定时，f(－x0)＝f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上（4）周期性常用的结论------对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a.(a>0) 二、基础自测： 1．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是( )

三、考点突破：考点一、函数奇偶性的判断

奇偶性定义图像特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称

奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称【例1】 1.判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝1－x2； (2)f(x)＝3－2x＋2x－3； (3)f(x)＝3x－3－x；

(4)f(x)＝4－x2|x＋3|－3； (5)f(x)＝ x2＋x，x>0，x2－x，x<0.

2.已知函数)1)(()(xaxxf为偶函数，则实数a = 考点二、函数奇偶性的应用【例2】 (1)(2018·山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时， f(x) ＝x2＋1x，则f(－1)＝( ) A．－2 B．0 C．1 D．2 (2)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．

(3)（2018湖南）若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax 是偶函数，则a＝________. 考点三、函数的周期性及其应用【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．四、当堂检测 1.下列函数中，既是偶函数又在区间 (－∞，0)上单调递增的是( )

A．f(x)＝1x2 B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x

2．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝ －4x2＋2，－1≤x<0，x， 0≤x<1，则f)23(＝____.

3．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________． 4.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________. 5设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．

五、课后巩固： 1．(2018重庆）下列函数为偶函数的是( ) A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x 2.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( )

A．y＝x－1 B．y＝ln x2 C．y＝cos xx D．y＝－x2 3．(2018·湖南)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( ) A．4 B．3 C．2 D．1 4．若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝( )

A.12 B.23 C.34 D．1 5．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( ) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) 6设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( ) A．3 B．1 C．－1 D．－3 7．（2018新课标全国Ⅱ）偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.

8．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________． 9．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(3)的值= 10．已知函数f(x)＝ －x2＋2x，x>0，0，x＝0，x2＋mx，x<0是奇函数． (1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

课题：函数的奇偶性与周期性二、基础自测： 1．(2018·广东高考)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选C 由奇函数的概念可知，y＝x3，y＝2sin x是奇函数． 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是( )

A．－13 B.13 C.12 D．－12

解析：选B ∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.又f(－x)＝f(x)， ∴b＝0，∴a＋b＝13. 3. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－fx＋32，且f(1)＝2，则f(2 014)＝________. 解析：∵f(x)＝－fx＋32，∴f(x＋3)＝fx＋32＋32＝－fx＋32＝f(x)．∴f(x)是以3为周期的周期函数．则f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2. 答案：2 4．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 解析：法一：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0. 法二：由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|得a＝0. 答案：0 5．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)解：由偶函数性质知f(x)在[0,2]上单调递增，且f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)，因此f(1－m)

 －2≤1－m≤2，－2≤m≤2，|1－m|<|m|.解得：12

三、考点突破：考点一、函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝1－x2＋x2－1； (2)f(x)＝3－2x＋2x－3； (3)f(x)＝3x－3－x；