2013江苏省南京高三数学第二次模拟考试试题
南京市高三第二次调研测试数学试卷A卷
南京市高三第二次调研测试数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （1分）(2017·上海模拟) 已知集合A={x|y=lg（2﹣x）}，集合B=[y|y= }，则A∩B=________．2. （1分） (2018高二下·海安月考) 已知复数z满足：z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．3. （1分）(2017·南通模拟) 运行如图所示的流程图，则输出的结果S是________．4. （1分）从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为25%，则N＝________．5. （1分）在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是________．6. （1分） (2018高二上·南通月考) 过抛物线上任意一点作轴的垂线，垂足为，动点在直线上，则的最小值为________．7. （1分）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC= ，则球O的体积等于________．8. （1分） (2016高一上·埇桥期中) 若幂函数f（x）的图象经过点，则 =________9. （1分） (2019高三上·桂林月考) 已知递增的等差数列的前n项和为，且，．若，数列的前项和为，则 ________．10. （3分）若经过点P（﹣3，0）的直线l与圆M：x2+y2+4x﹣2y+3=0相切，则圆M的圆心坐标是________ ；半径为________ ；切线在y轴上的截距是________ ．11. （1分）(2017·天津) 在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ，=λ ﹣（λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．12. （1分）(2018·河北模拟) 在锐角中，角的对边分别为，已知，，，则的面积等于________．13. （1分） (2017高三上·河北月考) 已知，函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则的取值范围是________．14. （1分） (2018高二上·中山期末) 若，则的最大值为________二、解答题 (共6题；共60分)15. （10分）(2013·四川理) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cosB﹣sin（A ﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（1）求cosA的值；（2）若a=4 ，b=5，求向量在方向上的投影．16. （15分） (2017高二下·南昌期末) 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，（1）求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．17. （10分）(2017·大同模拟) 已知椭圆过点，左右焦点分别为F1 ， F2 ，且线段PF1与y轴的交点Q恰好为线段PF1的中点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的离心率；（2）与直线PF1的斜率相同的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求当△AOB的面积最大时直线l的方程．18. （5分）下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深/m 5.08.0 5.0 2.0 5.08.0 5.0 2.0 5.0（1）若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+b（其中A＞0，ω＞0，b∈R）来近似描述，求A，ω，b的值；（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2.5m的安全间隙（船底与海底的距离），试用（1）中的函数关系判断该船何时能进入港口？19. （10分） (2015高一下·普宁期中) 已知函数f（x）=lnx﹣ a（x﹣1）（a∈R）．（1）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）试比较ea﹣2与ae﹣2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）．20. （10分） (2017高二上·中山月考) 已知数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，其前项和为；数列是等差数列，，其前项和满足(为常数，且 )．（1）求数列的通项公式及的值；（2）求．三、选做题 (共4题；共30分)21. （10分）(2016·赤峰模拟) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠PAB=35°，求证：．22. （5分）(2017·泰州模拟) 已知矩阵A= ，若矩阵Z满足A﹣1Z= ，试求矩阵Z．23. （5分）已知曲线C：y2=4x，直线l过点P（﹣1，﹣2），倾斜角为30°，直线l与曲线C相交于A、B 两点．（Ⅰ）求直线l的参数方程；（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．24. （10分） (2016高二下·卢龙期末) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4．（2）若不等式f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围．四、必做题 (共2题；共20分)25. （5分）(2017·顺义模拟) 春节期间，受烟花爆竹集中燃放影响，我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升，特别是在大气扩散条件不利的情况下，空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时，国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如表（单位：微克/立方米）．（Ⅰ）求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值；（Ⅱ）环保部门发现：除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹“的城市，浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹．从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X，求随机变量y的分布列和数学期望；（Ⅲ）记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中PM2.5浓度的方差分别为s12和s22 ，比较s12和s22的大小关系（只需写出结果）．26. （15分）设曲线在点处的切线斜率为 ,且 .对一切实数 x ,不等式恒成立(a ≠0).（1）求的值；（2）求函数的表达式；（3）求证:参考答案一、填空题 (共14题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分) 15-1、15-2、16-1、16-2、16-3、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、三、选做题 (共4题；共30分) 21-1、21-2、22-1、23-1、24-1、24-2、四、必做题 (共2题；共20分)25-1、26-1、26-2、26-3、。
江苏省南京市2024届高三年级第二次模拟考试数学试题(解析版)
南京市2024届高三年级第二次模拟考试数学2024.05注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，x ＋3)．若a ∥b ，则x ＝A ．－6B ．－2C ．3D ．62．“0＜r ＜2”是“过点(1，0)有两条直线与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象，只要把函数y ＝sin2x 图象上所有的点A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为0－1数列，0－1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{P n }(P 1＝0，P 2＝1，P n ＋2＝2P n ＋1＋P n ，n ∈N *)中的奇数换成0，偶数换成1，得到0－1数列{a n }．记{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝A ．16B ．12C ．10D ．85．已知P (A )＝35，P (A ―B )＝15P (A |B )＝12，则P (B )＝A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆O 1O 2中，圆O 2的半径是圆O 1半径的2倍，且O 2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为A ．3：4B ．1：2C ．3：8D ．3：107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，直线AF 1交C 于另一点B ，△ABF 2的内切圆与BF 2相切于点P ．若BP ＝F 1F 2，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜△ABC 中，若sin A ＝cos B ，则3tan B ＋tan C 的最小值为A ．2B ．5C ．6D ．43二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．9．已知z1，z2为共轭复数，则A．z12＝z22B．|z1|＝|z2|C．z1＋z2∈R D．z1z2∈R10．已知函数f(x)满足f(x)f(y)＝f(xy)＋|x|＋|y|，则A．f(0)＝1B．f(1)＝－1C．f(x)是偶函数D．f(x)是奇函数11．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，点P在△A1BD内，则A．A1P∥平面B1CD1B．A1P⊥AC1C．PC1≥6AP D．AP＋PC1≥26三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为▲．13．在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，AD＝2，则四边形ABCD 的面积为▲．14．已知函数f(x)＝x3－ax＋1(a∈R)的两个极值点为x1，x2(x1＜x2)，记A(x1，f(x1))，C(x2，f(x2))．点B，D在f(x)的图象上，满足AB，CD均垂直于y轴．若四边形ABCD为菱形，则a＝▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)某地5家超市春节期间的广告支出x(万元)与销售额y(万元)的数据如下：超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X ，求随机变量X 的分布列及期望E (X )；(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程^y ＝^bx ＋^a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：^b ＝∑n i ＝1x i y i －n -x -y∑ni ＝1x i 2－n -x 2，^a ＝―y －^b ―x ．16．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋ae x，其中a ∈R ．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ＞0时，若f (x )在区间[0，a ]上的最小值为1e，求a 的值．17．(本小题满分15分)在五面体ABCDEF中，CD⊥平面ADE，EF⊥平面ADE．(1)求证：AB∥CD；(2)若AB＝2AD＝2EF＝2，∠ADE＝∠CBF＝90°，点D到平面ABFE的距离为22，求二面角A－BF－C的大小．(第17题图)18．(本小题满分17分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)与双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有公共的焦点F，且p＝4b．过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与E的两条渐近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧)．(1)求E的渐近线方程；(2)若实数λ满足λ(1|OP|＋1|OQ|)＝|1|AF|－1|BF||，求λ的取值范围．19．(本小题满分17分)已知数列{a n}的前n项和为S n．若对每一个n∈N*，有且仅有一个m∈N*，使得S m≤a n＜S m＋1，则称{a n}为“X数列”．记b n＝S m＋1－a n，n∈N*，称数列{b n}为{a n}的“余项数列”．(1)若{a n}的前四项依次为0，1，－1，1，试判断{a n}是否为“X数列”，并说明理由；(2)若S n＝2n，证明{a n}为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列{a n}为“X数列”，且{a n}的“余项数列”为等差数列，证明：S n≤(1＋2n－2)a1．。
江苏省苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013届高三第二次调研考试数学试题
苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学Ⅰ参考公式：球的表面积为24R S π=，其中R 表示球的半径。
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．.． 1.已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U )( ▲ . 2.已知i 是虚数单位，实数b a ,满足,10))(43(i bi a i =++则=-b a 43 ▲ .3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在)3000,2500[（元）内应抽出 ▲ 人.4.如图是一个算法的流程图，若输入n 的值是10，则输出S 的值是 ▲ .5.若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则它的外接球的表面积是 ▲ .6.从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则（第3题图）（第4题图所得两位数为偶数的概率是 ▲ .7.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .9.由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a 的值是▲ .10.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k 为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ .11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]3,1(,2329]1,0[,3)(x x x x f x ，当]1,0[∈t 时，]1,0[))((∈t f f ，则实数t 的取值范围是 ▲ .12.已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .13.若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,，01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .14.如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸指定．．．的区域内作答．．．．．．，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1） 求角A 值；（2） 求C B cos sin 3-的最大值.ABMNEF第14题图如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB , 1==CD AD .（1） 求证：;1AA BD ⊥（2） 若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .17.（本小题满分14分）如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD . (1) 求BC 的长度；(2) 在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？ 1A E CD B A1D1B 1C 第16题ABDCPβα 第17题图如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的焦距为2，且过点)26,2(. （1） 求椭圆E 的方程；（2） 若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M （ⅰ）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；（ⅱ）设过点M 垂直于PB 的直线为m . 求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.19. （本小题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2） 求函数)(x f 单调区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.20. （本小题满分16分）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当0≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++ （1） 求数列}{n n b a +的通项公式；（2） 若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出b a ,满足的条件；若不存在，说明理由； （3） 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式.徐州市2012–––2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A[选修4—1 ：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为,B 直线ADE ,CGE CFD ,都是⊙O 的割线，已知.AB AC =求证：AC FG //B. [选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）若圆1:22=+y x C 在矩阵)0,0(00>>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a b a A 对应的变换下变成椭圆,134:22=+y x E 求矩阵A 的逆矩阵1-A .C. [选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值.D. [选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.第21—A 题图【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)如图,已知抛物线x y C 4:2=的焦点为,F 过F 的直线l 与抛物线C 交于),(),0)(,(22111y x B y y x A >两点,T 为抛物线的准线与x 轴的交点. (1) 若,1=⋅TB TA 求直线l 的斜率； (2) 求ATF ∠的最大值.23.（本小题满分10分） 已知数列}{n a 满足),(12121*21N n na a a n n n ∈+-=+且.31=a （1） 计算432,,a a a 的值，由此猜想数列}{n a 的通项公式，并给出证明；（2） 求证：当2≥n 时，.4n nn n a ≥数学Ⅰ试题参考答案与评分标准一、填空题1．{2,3} 2．0 3．25 4．54 5．6π 6．597．2-8 9．1 10．3- 11．37[log ,1]3 12． 13．37(,]6-∞ 14二、解答题15．⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分 因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=cos B C -2cos()3B B π--1(cos )2B B B =--+sin()6B π=+，……………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………12分当62B ππ=+，即3B π=cos B C -的最大值为1． ……………………14分16．⑴在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥，……………2分又平面11AAC C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ，………………………………………4分又因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥．………………………………………7分 ⑵在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，………9分又因为在四边形ABCD 中，AB BC CA ===，1DA DC ==，所以60ACB ∠=︒，30ACD ∠=︒，所以BC DC ⊥，所以AE DC ，…………12分 因为DC ⊂平面11D DCC ，AE ⊄平面11D DCC ，所以AE 平面11D DCC ．…14分 17．⑴作AE ⊥CD ，垂足为E ，则9CE =，6DE =，设BC x =，则tan tan tan tan()CAE DAECAD CAE DAE ∠∠∠=∠∠=++…………………2分961961x x x x==-⋅+，化简得215540x x --=，解之得，18x =或3x =-（舍） 答：BC 的长度为18m ．………………………………………………………………6分 ⑵设BP t =，则18(018)CP t t =-<<，2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++．………………………8分设227()18135tf t t t =--++，222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得27t =，当27)t ∈时，()0f t '<，()f t是减函数；当27,18)t ∈ 时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当27t =时，()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，………12分 因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+， 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值． 答：当BP为27)m 时，αβ+取得最小值． ……………………………14分 18．⑴由题意得22c = ，所以1c =，又222312a b=+，…………………………………2分 消去a 可得，422530b b --=，解得23b =或212b =-（舍去），则24a =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分 ⑵（ⅰ）设111(,)(0)P x y y ≠，0(2,)M y ，则012y k =，1212y k x =-，因为,,A P B 三点共线，所以10142y y x =+， 所以，20111221142(2)2(4)y y y k k x x ==--，8分因为11(,)P x y 在椭圆上，所以22113(4)4y x =-，故211221432(4)2y k k x ==--为定值．10分（ⅱ）直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=, 则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-，…………………………………………12分 111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++ 2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+， 所以直线m 过定点(1,0)-． ………………………………………………………16分 19．⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()()()()()因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1l n e 1a a +-≥，函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10e a <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ ．………………………………16分20．⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=， 故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾，故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+- 所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分 22133()114434n n n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分所以，1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分2012—2013学年度高三数学Ⅱ试题参考答案与评分标准21．A ．因为AB 为切线，AE 为割线，所以2AB AD AE =⋅，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=．……………………………………………4分 所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以GF AC ．………………………………………………………………………10分 B ．设点(,)P x y 为圆C ：221x y +=上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为(,)P x y '''，则00a x ax x b y by y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,x ax y by '=⎧⎨'=⎩．…………………………………………2分 因为点(,)P x y '''在椭圆E ：22143x y =+上，所以2222143a xb y =+，………………4分 又圆方程为221x y +=，故221,41,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即224,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又0a >，0b >，所以2a =，b所以200⎡⎤=⎢⎣A ，……………………………………………………………………6分所以11020-⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎢⎣A ．…………………………………………………………………10分 C ．因为圆C的参数方程为cos ,sin x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数，0r >），消去参数得，()2220x y r r ⎛⎛+++=> ⎝⎭⎝⎭，所以圆心C ⎛ ⎝⎭，半径为r ，……3分 因为直线l 的极坐标方程为sin()14ρθπ+=，化为普通方程为x y +，………6分圆心C到直线x y +2d ==，……………………8分又因为圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，所以321r =-=．…10分D．由柯西不等式，2222222()))1x y z z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤，……5分因为2x y z =++，所以222242311x y z ++≥，当且仅当11z ==，即6412,,111111x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为2411．…………………………………………………10分 22．⑴因为抛物线24y x =焦点为()1,0F ，(1,0)T -．当l x ⊥轴时，(1,2)A ，(1,2)B -，此时0TA TB =，与1TA TB = 矛盾，……………2分 所以设直线l 的方程为(1)y k x =-，代入24y x =，得2222(24)0k x k x k -=++，则212224k x x k=++，121x x =， ①所以2212121616y y x x ==，所以124y y =-，②…4分 因为1TA TB =，所以1212(1)(1)1x x y y =+++，将①②代入并整理得，24k =， 所以2k =±.………………………………………………………………………………6分⑵因为10y >，所以11211tan 114y y ATF y x ∠==++111114y y =+≤，当且仅当1114y y =，即12y =时，取等，所以4ATF π∠≤，所以ATF ∠的最大值为4π.……………………10分 23．⑴24a =，35a =，46a =，猜想：*2()n a n n =∈+N ．……………………………2分①当1n =时，13a =，结论成立；②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即2k a k =+，则当1n k =+时，22111111=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222k k k a a ka k k k k k +=-+-+，即当1n k =+时，结论也成立，由①②得，数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ．5分⑵原不等式等价于2(1)4n n+≥． 证明：显然，当2n =时，等号成立；当2n >时，01222222(1)C C C ()C ()n n n n nn n n n n n +=++++ 012233222C C C ()C ()n n n n n n n+++≥0122222>C C C ()54n n nn n n++=->， 综上所述，当2n ≥时，4nn n a n ≥．…………………………………………………10分。
2023届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试数学卷(含解析)
南京市、盐城市2023届高三年级第二次模拟考试数学2023.3第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题；本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.设,2k M x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，1,2N x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A.M NÞ B.N MÞ C.M N= D.M N ⋂=∅2.若()()()()1R f x x x x a a =++∈为奇函数，则a 的值为A.-1B.0C.1D.-1或13某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为A.0.9B.0.7C.0.3D.0.14.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+<<的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的值为A.12π B.6π C.3π D.23π5.三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm ，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为A.272cmπ B.2162cmπ C.2216cmπ D.2288cmπ6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1122n n S S +=+，*N n ∈，则6S =A.312B.16C.30D.6327.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的两条弦AB ，CD 相交于点P （点P 在第一象限），且AB x ⊥轴，CD y⊥轴.若:::1:3:1:5PA PB PC PD =，则椭圆E 的离心率为A.5B.5C.5D.58.设,a b ∈R ，462baa=-，562abb=-，则A.1a b<< B.0b a<< C.0b a<< D.1b a <<二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.9.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于21世纪初，近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比（占我国汽车年总产盘的比例）情况，则A.2017~2022年我国新能源汽车年产量逐年增加B.2017~2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆C.2022年我国汽车年总产量超过2700万辆D.2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量10.已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则A.OA OB =B.OA OC ⊥C.AC BC= D.OB AC∥ 11.已知点()1,0A -，()1,0B ，点P 为圆C ：2268170x y x y +--+=上的动点，则A.PAB △面积的最小值为8-B.AP 的最小值为C.PAB ∠的最大值为512πD.AB AP ⋅的最大值为8+12.已知()cos 4cos3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则A.{}123,,7πθθθ∈ B.123θθθπ++=C.1231cos cos cos 8θθθ=-D.1231cos cos cos 2θθθ++=三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.编号为1，23，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为___________.14.已知向量a ，b 满足2a = ，3b = ，0a b ⋅= .设2c b a =-，则cos ,a c = ___________.15.已知抛物线24y x =的焦点为F ，点Р是其准线上一点，过点P 作PF 的垂线，交y 轴于点A ，线段AF 交抛物线于点B .若PB 平行于x 轴，则AF 的长度为____________.16.直线x t =与曲线1C ：()e R xy ax a =-+∈及曲线2C ：exy ax -=+分别交于点A ，B .曲线1C 在A 处的切线为1l ，曲线2C 在B 处的切线为2l .若1l ，2l 相交于点C ，则ABC △面积的最小值为____________.四、解答题；本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在数列{}n a 中，若()*1123n n a a a a a d n N+=⋅⋅-∈⋅，则称数列{}na 为“泛等差数列”，常数d 称为“D 差”.已知数列{}n a 是一个“泛等差数列”，数列{}n b 满足22212123n n n a a a a a a a b =⋅++⋅⋅⋅⋅-⋅+.（1）若数列{}n a 的“泛差”1d =，且1a ，2a ，3a 成等差数列，求1a ﹔（2）若数列{}n a 的“泛差”1d =-，且112a =，求数列{}n b 的通项n b .18.（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()2sin cos c b A A =-.（1）若sin 10sin B C =，求sin A 的值；（2）在下列条件中选择一个，判断ABC △是否存在，加果在在，求h 的最小值；如果不存在，说明理由.①ABC △的面积1S =+；②bc =③222a b c +=.如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC △和ACD △均为正三角形，4AC =，BE =.（1）在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由；（2）求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.20.（本小题满分12分）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球t 乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率）.（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整。
江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研(3月)测试数学试卷
数学 2013.3数 学 I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1. 在平面直角坐标系中，已知向量AB uur= (2，1)，向量AC uuu r = (3，5)，则向量BC uu u r 的坐标为 ▲ ．2. 设集合{}{}2223050A x x xB x x x =--=-≤，≥，则()A B =RI ð ▲ ．3. 设复数z 满足| z | = | z －1 | = 1，则复数z 的实部为 ▲ ．4. 设f (x)是定义在R 上的奇函数，当x < 0时，f (x)＝x + ex （e 为自然对数的底数），则()ln6f 的值为 ▲ ．5. 某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练 时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为 ▲ 分钟．6. 根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 ▲ ． 【答案】1457. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆与双曲线2233y x -=共焦点，且经过点)2，则该椭圆的离心率为 ▲ ．8. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm 的半圆，则该圆锥的高为▲ cm ．9. 将函数π2sin 3y x=的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的π3倍（纵坐标保持不变），得函数()y f x =的图象，则()f x 的一个解析式为 ▲ ．10.函数()(1)sin π1(13)f x x x x =---<<的所有零点之和为 ▲ ．11. 设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ．12. 设数列{an}满足：()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，，则a1的值大于20的概率为 ▲ ．13.设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是 ▲ ．14.在平面直角坐标系xOy 中，设(11)A -，，B ，C 是函数1(0)y x x =>图象上的两点，且△ABC 为正三角形，则△ABC 的高为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请把答案写在答题卡相应的位置上. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知△ABC 的内角A 的大小为120（1）若AB =，求△ABC 的另外两条边长；（2）设O 为△ABC 的外心，当BC =AO BC ⋅uuu r uu u r的值．，16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，BC//平面PAD ，PBC ∠90=,90PBA ∠≠．求证：（1）//AD 平面PBC ； （2）平面PBC ⊥平面PAB ．17．（本小题满分14分） 为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k 为常数) ．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元. (每平方米平均综合费用＝购地费用+所有建筑费用所有建筑面积)．（1）求k 的值； （2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？18. （本小题满分16分）已知函数f (x)＝(m －3)x3 + 9x.（1）若函数f (x)在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数f (x)在区间［1，2］上的最大值为4，求m 的值．19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2＝r2和直线l：x＝a（其中r和a均为常数，且0 < r < a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r＝2，M点的坐标为(4，2)，求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．20．（本小题满分16分）设无穷数列{}na满足：n*∀∈Ν，1n na a+<，na*∈N.记*1()n nn a n ab ac a n+==∈N，.（1）若*3()nb n n=∈N，求证：1a=2，并求1c的值；（2）若{}nc是公差为1的等差数列，问{}na是否为等差数列，证明你的结论．数学II （附加题）21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4－1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交 AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.C. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=． （1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆12,C C 的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆12C C 与的公共弦的参数方程．D ．选修4－5：不等式选讲设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．，22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A B ABC ⊥平面，AB AC ⊥，且12AB AC A B ===． （1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设b>0，函数2111()(1)ln 2f x ax x bx ab b b =+-+，记()()F x f x '=（()f x '是函数()f x 的导函数），且当x = 1时，()F x取得极小值2．（1）求函数()F x的单调增区间；（2）证明[]()* ()()22n n nF x F x n--∈N≥．。
江苏省高考数学一轮复习 试题选编27 概率 苏教版
江苏省2014届一轮复习数学试题选编27：概率（教师版）填空题 1 ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 .【答案】232 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）在集合{|,1,2,,10}6n M x x n π===中任取一个元素, 所取元素恰好满足方程1cos 2x =的概率是________. 【答案】0.2 3 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球,若从中随机地摸出两只球,则两只球颜色相同的概率是______.【答案】254 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）现有在外观上没有区别的5件产品,其中3件合格,2件不合格,从中任意抽检2件,则一件合格,另一件不合格的概率为________.【答案】355 ．（2011年高考（江苏卷））从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 【答案】【命题立意】本题主要考查了古典概型的概念以及古典概型概率的求法.31【解析】从四个数中随机取两个数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),12个基本事件,一个数是另一个数的两倍包括(1,2)(2,1)(2,4)(4,2)这四个基本事件,因此所求概率为13. 6 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中,有2幅是膺品.某人在这次拍卖中随机买入了一幅画,则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为______.【答案】8157 ．（2012年江苏理）现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.【答案】∵以1为首项,3-为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是63=105. 8 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）有5个数成公差不为零的等差数列,这5个数的和为15,若从这5个数中随机抽取一个数,则它小于3的概率是_______.9 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生l 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是___________________. 【答案】0.41P ≤< 10．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字,则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是___.【答案】38;11．（2009高考(江苏)）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为___★___. 【答案】【答案】0.2 【解析】略12．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图,ABCD 是4⨯5的方格纸,向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子,则豆子恰好落在阴影部分内的概率为_______________【答案】0.2 13．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字恰好是2,0,1,3,0,3的概率为________.【答案】1814．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）在大小相同的4个小球中,2个是红球,2个是白球,若从中随机抽取2个球,则所抽取的球中至少有一个红球的概率是________.【答案】132815．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为______. 【答案】11216．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知一组抛物线2y ax bx c =++,其中a 为1、3、5、7中任取的一个数,b 为2、4、6、8中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线12x =交点处的切线相互平行的概率是_________________.17．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字.若连续抛掷两次,两次朝下面上的数字之积大于6的概率是______.【答案】3818．（2013江苏高考数学）现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为____________.【答案】【解析】m 取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n 取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯. 19．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位数为偶数的概率是_____.【答案】5920．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程22x y m n+=1表示双曲线的概率为________. 【答案】51221．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知某一组数据8,9,11,12,x ,若这组数据的平均数为10,则其方差为______.若以连续掷两次骰子得到的点数n m ,分别作为点P 的横、纵坐标,则点P 在直线4x y +=上的概率为______.【答案】2 22．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在数字1、2、3、4四个数中,任取两个不同的数,其和大于积的概率是___.【答案】12;23．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)两次,则出现向上点数之和大于9的概率是___________.【答案】6124．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为6的概率是____【答案】53625．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,那么甲排在乙前面值班的概率是________.【答案】1226．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是_______________.【答案】8727．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）有3个兴趣小组,甲､乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______.【答案】1328．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:【答案】11629．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为x ,y ,则x y 2=的概率为_____. 【答案】121; 30．（2013江苏高考数学）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:【答案】【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为:9059288919089=++++=x .方差为:25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S . 31．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4的四个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为5的概率是_______.【答案】1332．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点,则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为______. 【答案】91033．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设数列{a n }满足：()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，，则a 1的值大于20的概率为 ▲ ． 【答案】【答案】1434．（2010年高考（江苏））盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是____【答案】1235．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,4,5的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是________.【答案】71036．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是___________【答案】 .3737．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）某学校有两个食堂,甲,乙,丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为___________.【答案】14解答题 38．（2010年高考（江苏））某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%.生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元.设生产各种产品相互独立 (1)记x(单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x 的分布列 (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 【答案】解:(1)(2)依题意,至少需要生产3件一等品33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+=39．（2012年江苏理）设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱, ∴共有238C 对相交棱.∴ 232128834(0)=6611C P C ξ⨯===.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1的共有6对,∴ 212661(6611P C ξ===,416(1)=1(0)(=111111P P P ξξξ=-=---. ∴随机变量ξ的分布列是:ξ 01()P ξ411 611 111∴其数学期望61()=11111E ξ⨯+40．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(1)山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山,一位游客游览这三个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这三个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望; (2)某城市有n (n 为奇数,3n ≥)个景点,一位游客游览每个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这n 个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望.【答案】41．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B,C,D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X（三点共线时，规定X=0）（1）求1()2P X ；（2）求E（X）【答案】解：⑴从六点中任取三个不同的点共有36C 20=个基本事件， 事件“12X ≥”所含基本事件有2317⨯+=，从而17()220P X =≥．⑵X 的分布列为：X0 14 12P320 1020 620 120则311016113()01204202202040E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 答：17()220P X =≥，13()40E X =．…………………………………………10分 42．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）设10件同类型的零件中有2件不合格品,从所有零件中依次不放回地取出3件,以X 表示取出的3件中不合格品的件数. (1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率;(2)求X 的概率分布和数学期望()E X . 【答案】43．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）在一个盒子中有大小一样的7个球,球上分别标有数字1,1,2,2,2,3,3.现从盒子中同时摸出3个球,设随机变量X 为摸出的3个球上的数字和.(1)求概率P (X ≥7);(2)求X 的概率分布列,并求其数学期望E (X ).2013届高三学情调研卷【答案】解(1)P (X =7)=C 23C 12 + C 22C 12C 37=835,P (X =8)=C 22C 13C 37=335. 所以P(X≥7)=1135(2)P (X =6)=C 12C 13C 12 + C 33C 37=1335,P (X =5)=C 22C 12 + C 23C 12C 37=835,P (X =4)=C 22C 13C 37=335. 所以随机变量X 的概率分布列为X 4 5 6 7 8 P3358351335835335所以E (X )=4×335+5×835+6×1335+7×835+8×335=644．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成.(1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;(2)若考生乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.【答案】解:(Ⅰ)设考生甲正确完成实验操作的题数分别为X ,则~(3,4,6)X H ,所以34236()k k C C P X k C -==,1,2,3k = 所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=;(Ⅱ)设考生乙正确完成实验操作的题数为Y ,则2~(3,)3Y B ,所以3321()()()33k k k P Y k C -==,0,1,2,3k =12820(2)272727P Y ≥=+= 又314(2),555P X ≥=+=且(2)(2)P X P Y ≥>≥,从至少正确完成2题的概率考察,甲通过的可能性大, 因此可以判断甲的实验操作能力较强 45．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计以往100位顾客办理业务所需的时间(t),结果如下:注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率.(Ⅰ)求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率;(Ⅱ)用X 表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望. 【答案】46．（2009高考(江苏)）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。
南京二十九中第一学期高三第二次阶段考试数学解析版
高三南京二十九中第一学期第二次阶段考试（数学）试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合{}12M x x =-≤≤，{}2xN y y ==，则MN =（ ）A ．()0,2B ．(]0,2C ．[]0,2D ．[)2,+∞2．已知复数52iz i=-，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量(cos ,2)a α=-，()sin ,1b α=，且//a b ，则2sin cos αα等于（ ） A ．45-B ．－3C ．3D ．454．已知,,,a b c d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则11a b< B ．若a b >，c d >，则a c b d ->- C ．若a b >，则22ac bc >D ．若a b >，则||a b >5．已知函数()cos f x x x =+，R x ∈，设()10.3a f -=，()0.32b f -=，()2log 0.2c f =，则（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<6．函数()sin 2x xy e e x -=-的图象可能是（ ）A B C D7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱32EF =，EF //平面ABCD ，EF 与平面ABCD 的距离为2，该刍甍的体积为（ ）A ．6B ．113C ．314 D ．128．在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 为圆22:()(2)4C x m y -++=上两个动点，且||23AB =，若直线:2l y x =-上存在唯一的一个点P ，使得OC PA PB =+，则实数m 的值为（ ）A ．15+或15-B ．15-+或15--C ．51-或51+D ．51-+或51-- 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．对于函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，叙述正确是（ ）A ．图象C 关于直线11π12x =对称； B ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数； C ．图象C 关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称． D ．由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ；10．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2q =B ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列C ．8254S =D ． 数列{}2n S +是等比数列11．已知点(2,0)A -，圆22:(4)16C x y ++=，点P 在圆C 上运动，给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．PA PC ⋅的取值范围是[8,25]B ．在x 轴上存在定点(4,0)B ，使:PA PB 为定值；C ．设线段PA 的中点为Q ，则点Q 到直线30x y +-=的距离的取值范围是1]；D ．过直线40x y +-=上一点T 引圆C 的两条切线，切点分别为,M N ，则CM CN ⋅的取值范围是(16,0]-12．已知函数()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．()50720202f =；B ．方程()114f x x =-有四个实根； C ．当[)6,10x ∈时，()8816f x x =--；D ．若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()16,0-.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知2()2x f x x +=+()x R ∈，则不等式2(3)(38)f x x f x -<-的解集为 ． 14．已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图象相交于A 、B 两点.若动点P 满足2PA PB +=，则P 的轨迹方程为 ．15．已知四面体ABCD 的所有顶点在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，AB =，CD =45CBD ∠=︒，则球O 的表面积为 ．16．在锐角ABC ∆中，22a b bc -=，则112sin tan tan A B A-+的取值范围为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ①6AB AC ⋅=-，②||213b ci +=，i 为虚数单位，③ABC ∆的面积为315在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，1cos 4A =-，__________. （1）求a ；（2）求sin 6C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．已知函数()()()322211f x ax a x a R =--+∈.（1）若0a >，讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，若α∀、R β∈，()()sin sin f f m αβ-<恒成立，求m 的取值范围.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值是6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 是一个公差大于零的等差数列，且3655a a =，2716a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n S b =-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；（3）设43n n c b n =+-，是否存在正整数,i j (2)i j <<，使2,,i j c c c 成等差数列，若存在，求出所有的正整数,i j ，若不存在，请说明理由．21．如图，过点(1,0)E 的直线与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，过点(2,0)C 且与AB 垂直的直线与圆O 的另一交点为D ．（1）当点B 坐标为(0,2)-时，求直线CD 的方程； （2）记点A 关于x 轴的对称点为F （异与点A ,B ），求证：直线BF 恒过定点；（3）求四边形ACBD 面积S 的取值范围．22．已知函数()ln ,0f x x ax a =->．（1）若()f x a ≤-对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点()()()()()112212,,,A x f x B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在()012x x x ∈，，使()0k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：()22231ln 2ln ln 224n n n n +⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭．高三第一学期第二次阶段考试（数学） 答案1～8 BCAD DABA9．AB 10．AD 11．BD 12．BC13．(2,3) 14．22(1)(1)1x y -+-= 15．28π 16．四、解答题17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①6AB AC ⋅=-，②||b ci +=i 为虚数单位，③ABC ∆的面积为在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，1cos 4A =-，__________. （1）求a ；（2）求sin 6C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】方案一：选择条件①：（1）∵cos 6AB AC bc A ⋅==-，1cos 4A =-；∴24bc =由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去），∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴8a =. …… 5分（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴24915sin 1cos 164C C =-=-=， ∴357sin sin cos cos sin 666C C C πππ-⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭. …… 10分 方案二：选择条件②：（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去），∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴8a =.（2）同方案一 方案三：选择条件③：（1）∵1cos 4A =-，∴15sin A =，又∵115sin 3152ABC S bc A bc ===△，∴24bc =，由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍），∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴8a =.（2）同方案一18．已知函数()()()322211f x ax a x a R =--+∈.（1）若0a >，讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，若α∀、R β∈，()()sin sin f f m αβ-<恒成立，求m 的取值范围.【详解】（1）()()221622163a f x ax a x ax x a -⎛⎫'=--=- ⎪⎝⎭. ①当102a <<时，2103a a -<，由()0f x '<，可得2103a x a -<<；由()0f x '>，可得213a x a-<或0x >.()f x 在21,03a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在21,3a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,∞+上单调递增； ②当12a =时，()230f x x '=≥，()f x 在R 上单调递增； ③当12a >时，2103a a ->，由()0f x '<可得2103a x a -<<；由()0f x '>可得0x <或213a x a->. ()f x 在210,3a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在(),0-∞，21,3a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述，当102a <<时，函数()f x 的单调递减区间为21,03a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为21,3a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,∞+；当12a =时，函数()f x 在R 上单调递增；当12a >时，函数()f x 的单调递减区间为210,3a a -⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间为(),0-∞，21,3a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； …… 7分 （2）因为[]sin 1,1x ∈-，所以α∀、R β∈，()()sin sin f f m αβ-<等价于()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的差小于m ，即()()max min m f x f x >-.当2a =时，()32431f x x x =-+，由（1）知，()f x 在[)1,0-，1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.因为()16f -=-，()01f =，1324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()12f =，所以()min 6f x =-，()max 2f x =，所以()268m >--=，即m 的取值范围为()8,+∞. …… 12分 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值是6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【详解】（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PC ⊥. 又1AD CD ==，在Rt ADC ∆中，得2AC =， 设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥，且2BC =， 因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， 又因为BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC . …… 4分（2）以C 为坐标原点，分别以射线CD ､射线CP 为y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -.又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0CA =，()0,0,CP a =， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,PA a =-.由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量.设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--，有26cos ,2m n m n m n a ⋅===⋅+，得2a =，从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-.设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PA n PA n PAθ⋅==⋅==.即直线PA 与平面EAC . …… 12分20．已知数列{}n a 是一个公差大于零的等差数列，且3655a a =，2716a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n S b =-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ； （3）设43n n c b n =+-，是否存在正整数,i j (2)i j <<，使2,,i j c c c 成等差数列，若存在，求出所有的正整数,i j ，若不存在，请说明理由．【详解】（1）依题意，设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，则有()()1112555,2716,a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩将②代入①得()()163163220d d -+=，即24d =，∵0d >，∴2d =，11a =.∴21n a n =-. 当1n =时，1122S b =-，120b =≠，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n b S S b b b b ---=-=---=-，∴120nn b b -=≠ ∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，2nn b =. …… 4分（2）∵212n n n a n b -=， 21321...222n n n T -=+++，① 2311132321 (22222)n n n n n T +--=++++② ①－②，得2312111122221111121 (2)2222222222n n n n n n n T +-+--=++++-=++++- 111111121323221222212n n n n n -++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=+-=--，∴2332n n n T +=-. …… 7分（3）假设存在正整数,i j (2)i j <<，使2,,i j c c c 成等差数列．∵243n n c n =+- ∴2(243)9(243)i j i j +-=++- ∴122223i j i j --+=++且2i j <<当1j i =+时，112224i i i i --+=++，解得4i =，5j =；当2j i ≥+时，2111(23)(22)(25)(22)25j i i i i j i i i i ----++-+≥++-+=-+，令1()25n f n n -=-+(3)n ≥，则1(1)()210n f n f n -+-=->，∴当3n ≥时，()f n 单调递增，∴()(3)60f n f ≥=>，∴122223i j i j --+<++ 即122223i j i j --+=++无解综上：存在正整数4i =，5j =，使2,,i j c c c 成等差数列． …… 12分21．如图，过点(1,0)E 的直线与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，过点(2,0)C 且与AB 垂直的直线与圆O 的另一交点为D ．（1）当点B 坐标为(0,2)-时，求直线CD 的方程；（2）记点A 关于x 轴的对称点为F （异与点A ,B ），求证：直线BF 恒过定点；（3）求四边形ACBD 面积S 的取值范围． 【详解】（1）当点B 坐标为()0,2-时，直线AB 的斜率为()02210--=-，因为CD 与AB 垂直，所以直线CD 的斜率为12-，所以直线CD 的方程为()122y x =--，即220x y +-=． …… 2分 （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)F x y -，由对称性可知直线BF 恒过的定点必在x 轴上，记为(,0)T t设由题意直线AB 斜率存在且不为0，设AB 方程为1x my =+，代入圆O 可得：22(1)230m y my ++-=， ∴0∆>，12221m y y m +=-+，12231y y m -⋅=+ ∵,,B F T 三点共线 ∴1211210y y y t x x x ++=--，解得121122112112()y x x x y x y t x y y y y -+=+=++∴1221122112121212121212(1)(1)2()2312142x y x y my y my y my y y y my y t m y y y y y y y y m++++++-====+=⋅+=++++-∴直线BF 恒过定点(4,0)T …… 7分 （3）当直线AB 与x轴垂直时，4AB CD ==，所以四边形ACBD面积1·2S AB CD == 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为()1y k x =-(0)k ≠，即0kx y k --=，则直线CD 方程为()12y x k=--，即20x ky +-= 点O 到直线AB，所以AB == 点O 到直线CD，所以CD =， 则四边形ACBD 面积11··22S AB CD ==令211k t +=>（当0k =时四边形ACBD 不存在），所以S=(0,=，故四边形ACBD 面积S 的取值范围为(0,． …… 12分22．已知函数()ln ,0f x x ax a =->．（1）若()f x a ≤-对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点()()()()()112212,,,A x f x B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在()012x x x ∈，，使()0k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：()22231ln 2ln ln 224n n n n +⎛⎫⎛⎫+++>⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 【详解】（1）11()ln ,()axf x x ax f x a x x-'=-=-=，令1()0,f x x a '==，当1()0,0f x x a '><<，当1()0,f x x a'<> ∴1x a=时，()f x 取得极大值，亦为最大值， ∴max 1()ln 1ln 1f x a a a=-=--≤-，即ln 10a a --≤，设11()ln 1,()1a a a a a a aϕϕ-'=--=-=， 令()0,1,()0,01;()0,0,1a a a a a a ϕϕϕ'''==<<<>>.min ()(1)0a ϕϕ∴==, ()0a ϕ∴≥，又()ln 10a a a ϕ=--≤，∴()ln 10a a a ϕ=--=,∴实数a 的取值集合为{1}； …… 3分 （2）()121212ln1(),x x g x f x k x x x x x x '=-=-<<-，122211121211ln11()(1ln )x x x x g x x x x x x x x =-=-+--，121122121222ln 11()(1ln )xx x x g x x x x x x x x =-=--+--， 令11()1ln ,()1tu t t t u t t t-'=-+=-+=，()0,01,()0,1u t t u t t ''><<<>，当1,()0,1ln 0t u t t t ≠<∴-+<，22121111ln 0,0,()0x xx x g x x x ∴-+<-<∴>， 同理2()0g x <，函数12(),(,)g x x x x ∈连续不断， 故存在012(,)x x x ∈，使得0()0g x =，即存在()012x x x ∈，，使()0k f x '=成立； …… 7分 （3）设()ln 1,()ln ,h x x x x h x x '=-+=，当()0h x '>时，1,()x h x >∴在(1,)+∞递增， 11,()0,ln 1x h x x x >∴>∴>-，令11n x n+=>2211111ln,(ln )1(2)(1)(1)n n n n n n n n ++>>>++++， 2223111ln 2ln ln .22224n nn n n +∴+++>-=++ …… 12分。
江苏省一轮复习数学试题选编：概率学生 含答案
江苏省2014届一轮复习数学试题选编27：概率（学生版）填空题1 ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 .2 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）在集合{|,1,2,,10}6n M x x n π===中任取一个元素,所取元素恰好满足方程1cos 2x =的概率是________. 3 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球,若从中随机地摸出两只球,则两只球颜色相同的概率是______.4 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）现有在外观上没有区别的5件产品,其中3件合格,2件不合格,从中任意抽检2件,则一件合格,另一件不合格的概率为________.5 ．（2011年高考（江苏卷））从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中,有2幅是膺品.某人在这次拍卖中随机买入了一幅画,则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为______.7 ．（2012年江苏理）现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.8 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）有5个数成公差不为零的等差数列,这5个数的和为15,若从这5个数中随机抽取一个数,则它小于3的概率是_______.9 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生l 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是___________________.10．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字,则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是___.11．（2009高考(江苏)）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为___★___.12．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图,ABCD 是4⨯5的方格纸,向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子,则豆子恰好落在阴影部分内的概率为_______________13．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字恰好是2,0,1,3,0,3的概率为________.14．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）在大小相同的4个小球中,2个是红球,2个是白球,若从中随机抽取2个球,则所抽取的球中至少有一个红球的概率是________.15．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为______.16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知一组抛物线2y ax bx c =++,其中a 为1、3、5、7中任取的一个数,b 为2、4、6、8中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线12x =交点处的切线相互平行的概率是_________________.17．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字.若连续抛掷两次,两次朝下面上的数字之积大于6的概率是______.18．（2013江苏高考数学）现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为____________.19．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位数为偶数的概率是_____.20．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程22x ym n+=1表示双曲线的概率为________.21．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知某一组数据8,9,11,12,x,若这组数据的平均数为10,则其方差为______.若以连续掷两次骰子得到的点数nm,分别作为点P的横、纵坐标,则点P在直线4x y+=上的概率为______.22．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在数字1、2、3、4四个数中,任取两个不同的数,其和大于积的概率是___.23．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)两次,则出现向上点数之和大于9的概率是___________.24．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题）若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为6的概率是____25．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,那么甲排在乙前面值班的概率是________.26．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是_______________.27．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）有3个兴趣小组,甲､乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______.28．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）有一个容量为66的样本,数据的分组[1.5,3.5)[3.5,5.5)[5.5,7.5)[7.5,9.5)[9.5,11.5)频数 6 14 16 20 10 根据样本的频率分布估计,数据落在[5.5,9.5)的概率约是________.29．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则x y 2=的概率为_____.30．（2013江苏高考数学）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:31．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4的四个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为5的概率是_______.32．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点,则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为______.33．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设数列{a n }满足：()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，，则a 1的值大于20的概率为 ▲ ．34．（2010年高考（江苏））盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是____35．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,4,5的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是________.36．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是___________37．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）某学校有两个食堂,甲,乙,丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为___________.解答题38．（2010年高考（江苏））某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%.生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元.设生产各种产品相互独立(1)记x(单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x 的分布列 (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率39．（2012年江苏理）设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.40．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(1)山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山,一位游客游览这三个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这三个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望;(2)某城市有n (n 为奇数,3n ≥)个景点,一位游客游览每个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这n 个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望.41．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，已知面积为1的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ，从A ，B,C,D ，E ，F 六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X （三点共线时，规定X=0）（1）求1()2P X ≥；（2）求E （X ）42．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）设10件同类型的零件中有2CB件不合格品,从所有零件中依次不放回地取出3件,以X表示取出的3件中不合格品的件数.(1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率;E X.(2)求X的概率分布和数学期望()43．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）在一个盒子中有大小一样的7个球,球上分别标有数字1,1,2,2,2,3,3.现从盒子中同时摸出3个球,设随机变量X为摸出的3个球上的数字和.(1)求概率P(X≥7);(2)求X的概率分布列,并求其数学期望E(X).2013届高三学情调研卷44．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成.(1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (2)若考生乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.45．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计以往100位顾客办理业务所需的时间(t),结果如下:注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (Ⅰ)求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率;(Ⅱ)用X 表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.46．（2009高考(江苏)）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220xax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。
扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷
扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．．．．．．．．．1. 在平面直角坐标系中，已知向量AB uur= (2，1)，向量AC uuu r = (3，5)，则向量BC uu u r 的坐标为 ▲ ． 【答案】（1，4）2. 设集合{}{}2223050A x x x B x x x =--=-≤，≥，则()A B =R I ð ▲ ． 【答案】(]03，3. 设复数z 满足| z | = | z －1 | = 1，则复数z 的实部为 ▲ ． 【答案】124. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x < 0时，f (x )＝x + e x（e 为自然对数的底数），则()l n6f 的值为 ▲ ． 【答案】1ln 66-5. 某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为 ▲ 分钟． 【答案】726. 根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 ▲ ． 【答案】1457. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆与双曲线2233y x -=共焦点，且经过点)2，则该椭圆的离心率（第6题）6 4 57 7 2 58 0 1（第5题）为 ▲ ．8. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm 的半圆，则该圆锥的高为 ▲ cm ．9. 将函数π2sin 3y x =的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的π3倍（纵坐标保持不变），得函数()y f x =的图象，则()f x 的一个解析式为 ▲ ． 【答案】()π2sin 3y x =-10.函数()(1)sin π1(13)f x x x x =---<<的所有零点之和为 ▲ ． 【答案】 411. 设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ． 【答案】1665-12. 设数列{a n }满足：()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，，则a 1的值大于20的概率为 ▲ ． 【答案】1413.设实数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5均不小于1，且x 1·x 2·x 3·x 4·x 5=729，则max{x 1x 2，x 2x 3，x 3x 4，x 4x 5}的最小值是 ▲ ． 【答案】914.在平面直角坐标系xOy 中，设(11)A -，，B ，C 是函数1(0)y x x=>图象上的两点，且△ABC 为正三角形， 则△ABC 的高为 ▲ ． 【答案】2AB CP（第16题）D二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请把答案写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）已知△ABC 的内角A 的大小为120（1）若AB=ABC 的另外两条边长；（2）设O 为△ABC 的外心，当BC =AO BC ⋅uuu r uu u r的值．【解】（1）设△ABC 的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1sin 2bc A =，所以bc =4． ………………………………………………………………3分因为c AB ==，所以b CA ==.由余弦定理得BC a =． ………………………6分（2）由BC =得22421b c ++=，即2216170b b +-=，解得1b =或4．……………………………8分设BC 的中点为D ，则AO AD DO =+uuu r uuu r uuu r， 因为O 为△ABC 的外心，所以0DO BC ⋅=uuu r uu u r，于是()()22122b c AO BC AD BC AB AC AC AB -⋅=⋅=+⋅-=uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r ．…………………………………12分所以当1b =时，4c =，221522b c AO BC -⋅==-uuu r uu u r ；当4b =时，1c =，221522b c AO BC -⋅==uuu r uu u r ．………………………………………………………14分16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，BC //平面PAD ，PBC ∠90=, 90PBA ∠≠．求证：（1）//AD 平面PBC ；ABCPDH （2）平面PBC ⊥平面PAB ． 【证】（1）因为BC //平面PAD ，而BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD I 平面PAD = AD ， 所以BC //AD ． …………………………………3分 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．………………………………………………………………………………………6分（2）自P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB I 平面ABCD =AB ，所以PH ⊥平面ABCD ．………………………………………9分 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PH ． 因为PBC ∠90=,所以BC ⊥PB ，而90PBA ∠≠，于是点H 与B 不重合，即PB I PH = H ． 因为PB ，PH ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．…………12分 因为BC ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面A B ．……………………………………………………… 14分17．（本小题满分14分）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx +800)元(其中k 为常数) ．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元.(每平方米平均综合费用＝购地费用+所有建筑费用所有建筑面积)．（1）求k 的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？【解】（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米，所有建筑费用为［(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k +800)+(5k +800)］×1 000×10，所以，…………………………3分1 270＝16 000 000+［(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k +800)+(5k +800)］×1 000×1010×1 000×5，解之得：k ＝50．…………………………………………………………………………………………6分（2）设小区每幢为n (n ∈N *)层时，每平方米平均综合费用为f (n )，由题设可知 f (n ) ＝16 000 000+［(50 +800)+(100 +800)+…+(50n +800)］×1 000×1010×1 000×n＝1 600n +25n +825≥2 1 600×25+825＝1225（元）.......................10分 当且仅当1 600n＝25n，即n＝8时等号成立．……………………………………………………………12分答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元．……………………………14分18. （本小题满分16分）已知函数f (x )＝(m －3)x 3 + 9x .（1）若函数f (x )在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数f (x )在区间［1，2］上的最大值为4，求m 的值．【解】（1）因为f '(0)＝9 > 0，所以 f (x )在区间()-∞+∞，上只能是单调增函数． ………………3分由f '(x )＝3(m －3)x 2 + 9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m ≥3．故m 的取值范围是［3，∞) ． ………………………………………………………6分 （2）当m ≥3时，f (x )在［1，2］上是增函数，所以[f (x )] max ＝f (2)＝8(m －3)＋18＝4, 解得m ＝54<3，不合题意，舍去． ……………………………………………………8分当m ＜3时，f '(x )＝3(m －3) x 2 + 9=0，得x =．所以 f (x )的单调区间为：(-∞，单调减，(单调增，)+∞单调减．……………………………………10分2，即934m <≤时，([12]⊆，，所以f (x )在区间［1，2］上单调增，[f (x )] max ＝f (2)＝8(m －3)＋18＝4，m ＝54，不满足题设要求．②当12<，即0＜m ＜94时，[f (x )]max04f==≠舍去．1，即m ≤0时，则[12]⎤⊆+∞⎥⎦，，所以f (x )在区间［1，2］上单调减，[f (x )] max ＝f (1)＝m + 6＝4，m ＝－2.综上所述：m ＝－2．……………………………………………………………………16分19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+y 2＝r 2和直线l ：x ＝a （其中r 和a 均为常数，且0 < r < a ），M 为l 上一动点，A 1，A 2为圆C 与x 轴的两个交点，直线MA 1，MA 2与圆C 的另一个交点分别为P 、Q ．（1）若r ＝2，M 点的坐标为(4，2)，求直线PQ 方程； （2）求证：直线PQ 过定点，并求定点的坐标． 【解】（1）当r ＝2，M (4，2)，则A 1(－2，0)，A 2(2，0).直线MA 1的方程：x －3y +2=0，解224320x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得()8655P ，．……………………2分直线MA 2的方程：x －y －2=0，解22420x y x y ⎧+=⎨--=⎩，得()02Q -，． ……………………4分由两点式，得直线PQ 方程为：2x －y －2=0． ………………………………………6分 （2）证法一：由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0) .设M (a ，t )， 直线MA 1的方程是：y = ta +r (x +r )，直线MA 1的方程是：y =ta －r(x －r ) ．………8分 解222()x y r t y x r a r ⎧+=⎪⎨=+⎪+⎩，得()222222()2()()()r a r rt tr a r P a r t a r t +-+++++，．……………………10分解222()x y r t y x r a r ⎧+=⎪⎨=-⎪-⎩，得()222222()2()()()rt r a r tr a r Q a r t a r t -----+-+，． ………………12分 于是直线PQ 的斜率k PQ ＝2ata 2－t 2－r 2，直线PQ 的方程为()2222222222()()2()()tr a r r a r rt at y x a r t a t r a r t ++--=-++--++． ………………………………14分 上式中令y = 0，得x ＝r 2a ，是一个与t 无关的常数.故直线PQ 过定点()20r a，． …………………16分 证法二：由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0) .设M (a ，t )，直线MA 1的方程是：y =ta +r (x +r )，与圆C 的交点P 设为P (x 1，y 1) ． 直线MA 2的方程是：y =ta －r(x －r )；与圆C 的交点Q 设为Q (x 2，y 2) ．则点P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)在曲线［(a +r )y －t (x +r )］［(a －r )y －t (x －r )］=0上， …………………10分化简得 (a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)+t 2(x 2－r 2)＝0． ① 又有P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)在圆C 上，圆C ：x 2+y 2－r 2＝0．② ①－t 2×②得 (a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)－t 2(x 2－r 2) －t 2( x 2+y 2－r 2)＝0，化简得：(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2) －t 2 y ＝0．所以直线PQ 的方程为(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2)-t 2 y ＝0． ③ ………………14分在③中令y = 0得 x = r 2a ，故直线PQ 过定点()20r a，．………………………16分20．（本小题满分16分）设无穷数列{}n a 满足：n *∀∈Ν，1n n a a +<，n a *∈N .记*1()n n n a n a b a c a n +==∈N ，. （1）若*3()n b n n =∈N ，求证：1a =2，并求1c 的值；（2）若{}n c 是公差为1的等差数列，问{}n a 是否为等差数列，证明你的结论． 【解】（1）因为n a *∈N ，所以若11a =，则113a a a ==矛盾， 若113a a a =≥，可得113a ≥≥矛盾，所以12a =． …………………4分 于是123a a a ==，从而121136a a c a a a +====． …………………………7分（2）{}n a 是公差为1的等差数列，证明如下： ………………………9分 12n n a a n +>⇒≥时，1n n a a ->，所以11()n n n m a a a a n m -+⇒+-≥≥， ()m n < 11111(1)n n a a n n a a a a ++++⇒++-+≥，……………………………13分即11n n n n c c a a ++--≥，由题设，11n n a a +-≥，又11n n a a +-≥， 所以11n n a a +-=，即{}n a 是等差数列．………………………16分数学II （附加题）21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.【证明】连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°． 所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°． ………………………5分 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ．因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ．所以DE 2=DB ·DA ． ………………10分B. 选修4－2：矩阵与变换设曲线22221x xy y ++=在矩阵()001m m n ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．【解】设曲线22221x xy y ++=上任一点(,)P x y 在矩阵M 对应的变换下的像是(,)P x y ''',由01x m x mx n y y nx y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx y nx y '=⎧⎨'=+⎩，， 因为()P x y '''，在圆221x y +=上,所以()()221mx nx y ++=，化简可得2222()21m n x nxy y +++=．…………………………3分依题意可得22222m n n +==，，11m n ==，或11m n =-=，而由0m >可得11m n ==，．………6分故1011⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,11011-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．………………………………………………10分C. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=． （1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆12,C C 的极坐标（第22题）BACA 1B 1C 1方程及这两个圆的交点的极坐标； （2）求圆12C C 与的公共弦的参数方程．【解】（1）圆1C 的极坐标方程为=2ρ， 圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，由24cos ρρθ=⎧⎨=⎩，得π=23ρθ=±，，故圆12C C ，交点坐标为圆()()ππ2233-，，，．…………………5分 （2）由（1）得，圆12C C ，交点直角坐标为(1(1-，，， 故圆12C C 与的公共弦的参数方程为1(x y t t =⎧⎪⎨=⎪⎩，．……………………10分注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣2分．D ．选修4－5：不等式选讲设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值． 【解】因为a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=． 于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++32)9=≥， 当且仅当13a b c ===时，等号成立． ………………………………8分即1111323232a b c +++++≥，故111323232a b c +++++的最小值为1．…………10分22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A B ABC ⊥平面，AB AC ⊥，且12A B A C AB ===． （1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使二面角1PAB A --．【解】（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则 ()()()()11200020022042C B A B ，，，，，，，，，，，，()1022AA =，，，()11220BC B C ==-，，．1111cos 28AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅，，故1AA 与棱BC 所成的角是π3． ………………………4分（2）P 为棱11B C 中点，设()111220B P B C λλλ==-，，，则()2422P λλ-，，．设平面PAB 的法向量为n 1(),,x y z =，()=2422AP λλ-，，， 则1103202000AP x y z z x y y AB λ⎧⋅=++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎩⎩⎪⎩，，，．n n 故n 1()10λ=-，，……………………………………………8分而平面1ABA 的法向量是n 2=(1，0，0)，则121212cos ,⋅〈〉===⋅n n n n n n ，解得12λ=，即P 为棱11B C 中点，其坐标为()132P ，，．…………………10分23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设b >0，函数2111()(1)ln 2f x ax x bx ab b b =+-+，记()()F x f x '=（()f x '是函数()f x 的导函数），且当x = 1时，()F x 取得极小值2． （1）求函数()F x 的单调增区间；（2）证明[]()*()()22nn n F x F x n --∈N ≥．【解】（1）由题()11111()()2(1)002F x f x ax a ax x b ab b bx b x '==⋅+⋅-+=+>>，，．于是()211()F'x a b x =-，若0a <，则()0F'x <，与()F x 有极小值矛盾，所以0a >．令()0F'x =，并考虑到0x >，知仅当x =时，()F x 取得极小值．所以11(1)2a b=⎪+=⎩，，解得1a b ==．………………………………………………4分C 1故1()(0)F x x x x =+>，由()0F x '>，得1x >，所以()F x 的单调增区间为(1)+∞，．（2）因为0x >，所以记[][]()()11()()()()()nnnnnnng x F x F x F x F x x x xx =-=-=+-+11223312311111C C C C n n n n n n n n n x x x x x x x x-----=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅ 因为11C C 2C (121)r n r n r r n n nn rx x r n x x ---⋅+⋅=-L ≥，，，， 所以12312()2(C C C C )2(22)n nn n n n g x -+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-≥，故[]()*()()22nn n F x F x n --∈N ≥．………10分数学Ⅰ讲评建议第1题 考查向量的坐标运算及向量减法的几何意义. →BC ＝→AC －→AB ＝(1,4).第2题 考查集合的运算，一元二次不等式及不等式组的解法.本题评讲时着重运算的精准与快速.第3题 考查复数的概念，数形结合等数学思想.评讲时对复数的有关概念进行适当地疏理，防止学生出现知识盲点.法一：设z ＝a +b i ，由|z |＝|z －1|=1得22221(1)1a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得.2 a =1，12a =. 法二：如图，圆x 2+y 2=1与圆(x －1)2+y 2=1交点的横坐标为12.法三：由z z =1，(z －1) (z －1)=1得z +z =1，即2 a =1，12a =. 法四：|z |＝1则令z ＝cos α+isin α，再有|z －1|=1得，(cos α－1)2+sin 2α＝1，cos α＝12. 第,4题 本题考查函数的奇函数的性质评讲时重点构造奇偶函数，考虑奇偶函数对称，由部分区间的函数求出相应对称区间的函数.法一：()ln6f ＝－()-ln6f ＝－(-ln6) －e -ln6＝ln6-16.法二：当x >0时，f (x )＝-f (- x )＝x –e -x .所以，()ln6f ＝ln6－e -ln6＝ln6-16.第5题 本题考查茎叶图的概念，重在看懂所给的茎叶图.评讲时对统计的有关知识适当归纳总结一下，统计重在操作，记住解题的步骤，按照课本的要求步骤解题.计算本题时，适当讲一些算平均值的方法与技巧.第6题 本题考查算法的概念，算法主要考查流程图与伪代码，复习时要求能看懂流程图与伪代码就行，不宜过难过深.第7题 本题考查圆锥曲线的几何性质.研究圆锥曲线的性质常用二种方法，一是由方程研究曲线的几何性质，二是由曲线的几何性质求曲线的方程.另外，在解题时，适当利用圆锥曲线的定义可以取到“时半功倍”之效.法一：由题可得，椭圆两焦点F 1(0,2)，F 1(0,-2)，c =2，2a即a ＝所以，离心率e. 法二：设椭圆方程为：22221x y b a +=，由题意得：22222414b a a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解之得，2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，c =2，离心率e. 第8题 本题是由课本上的习题改编，主要圆锥的底面半径、高与母线之间关系，旋转体的侧面展开等知识.由题设，圆锥的母线l =2，底面半径r =1，故其高h.第9题 本题考查三角函数图象变换. 将函数π2sin 3y x =的图象上每一点向右平移1个单位得πππ2s i n (1)2s i n ()333y x x =-=-，将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的π3倍（纵坐标保持不变），则π3π2sin()3π3y x =⨯-，即()π2sin 3y x =-.第10题 本题考查函数的零点，对称性质及数形结合等.原函数的零点可看作函数f (x )＝sin πx ，g (x ) ＝11x -的交点的横坐标，因为f (x ) 与g (x )均关于点(1,0)对称，故f (x )与g (x )在(-1,3)上的四个交点的横坐标之和为4.第11题 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的恒等变换等.法一：由1tan 22α=得，22tan142sin 151tan 124ααα===++，3cos 5α=， 由5sin()sin ,,(0,)13παβααβ+=<∈，(0,)2παβ+∈，所以12cos()13αβ+=-.cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++=1665-.法二：由1tan22α=得，4tan 3α=，由法一可知，5tan()12αβ+=-，tan β=6316-. 16cos 65β=-. 法三：由12cos()13αβ+=-，得cos2αβ+=，cos2α，coscos()222βαβα+=-24916cos 2cos 1126565ββ=-=-=-.第12题 本题考查数列、递推数列，概率及分类讨论.法一：由()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，得()()226160,a a --=a 2＝16，或a 2＝6再由a 2＝16，或a 2＝6及()()2121220a a a a ---=，得a 1=32，14，12，4.故概率为14.法二：由()()*11220()n n n n a a a a n ++---=∈N ，得a 2=a 1+2，或a 2=12a 1，a 3=a 2+2，或a 3=12a 2，a 3=a 1+4，或a 3=12a 1+4，或a 3=14a 2，或a 3=12(a 1+2) .由a 3=8，得a 1=32，14，12，4.(下略)第13题 本题考查不等式的有关知识与方法.max{x 1x 2，x 2x 3，x 3x 4，x 4x 5}≥max{x 1x 2，x 3x 4，x 4x 5}9.当x 1= x 3= x 5=9，x 2= x 4＝1.第14题 本题考查学生综合应用数学知识解决问题的能力.本题解法较多，但有些解法计算繁琐，下面介绍三个常规的简单的解法：法一：设正三角形ABC 的边长为a ，B (-1+a cos(θ+30º)，1+ a sin(θ+30º))， C (-1+a cos(θ－30º)，1+ a sin(θ－30º)) ，由B 、C 在y =1x上，所以 1cos(30)][1sin(30)]11cos(30)][1sin(30)]1[(-[(-a a a a θθθθ++︒++︒=⎧⎨+-︒+-︒=⎩，22sin(260)cos(30)sin(30)22sin(260)cos(30)sin(30)22a a a a a a θθθθθθ⎧+︒++︒-+︒=⎪⎪⇒⎨⎪-︒+-︒--︒=⎪⎩a 2cos2θ－a sim θ－a cos θ＝0＝1cos sin θθ-， ①两式相加得：2sin 242a θθθ=，a 2sin2θ=4 ②由①、② a.所以三角形的高为2. 法二：将直角坐标系旋转45º，则A (0，双曲线方程为：222x y -=.设BC 的方程为：y =kx +b ，联立222x y y kx b⎧-=⎨=+⎩，消去得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2=0.12221222121kb x x k bx x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪⋅=-⎪-⎩，BC 中点D (21kb k -，21b k -)，而直线AD的方程是：1y x k =-. 所以，21b k -=211kb k k -⋅-2)b k -，ADBCx 1－x 2|，由△ABC 为正三角形，所以ADBC .⇒k 2＝7. 故AD＝2.法三：提示，直接设BC 直线方程为y =kx +b ，与双曲线1(0)y x x=>联立，仿照解法二可求得.第15题 第（1）问考查正弦定理、余弦定理的简单应用，第（2）问综合考查数量积，关键是将AO BC ⋅uuu r uu u r转化，利用外心的性质，化为求()()12AO BC AD BC AB AC AC AB ⋅=⋅=+⋅-uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r ，结合解三角题当1b =时，4c =，；当4b =时，1c =，，注意本题有两解。
2024届南京市高三第二次模拟考试(南京二模)数学试卷(含答案详解)
江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()1,2a = ，(),3b x x =+ ．若a b，则x =（）A ．6-B ．2-C ．3D ．62．“02r <<”是“过点(1,0)有两条直线与圆222:(0)C x y r r +=>相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点（）A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{}n P （10P =，21P =，212n n n P P P ++=+，*n ∈N ）中的奇数换成0，偶数换成1，得到01-数列{}n a ．记{}n a 的前n 项和为n S ，则20S =（）A ．16B ．12C ．10D ．85．已知3()5P A =，()15P AB =，1(|)2P A B =，则()P B =（）A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆台12O O 中，圆2O 的半径是圆1O 半径的2倍，且2O 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A ．3:4B ．1:2C ．3:8D ．3:107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，直线1AF 交C 于另一点B ，2ABF △的内切圆与2BF 相切于点P ．若12BP F F =，则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜ABC 中，若sin cos A B =，则3tan tan B C +的最小值为（）AB C D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
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南京、淮安市2013届高三模拟考试（南京二模、淮安三模）
数学
2013．3
参考公式：锥体的体积公式为13VSh，其中S是锥体的底面面积，h是锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．
1．已知集合A={2a,3}，B={2,3}．若AB={1,2,3}，则实数a的值为____．
2．函数()sincosfxxx的最小正周期是__________．
3．若复数12mizi(i是虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为____．
4．盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概
率是______．
5．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定（试行）》，AQI共
分为六级：(0,50]为优，(50,100]为良，(100,150]为轻度污染，(150,200]为中
度污染，(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月1日出版的
《A市早报》对A市2012年11月份中30天的AQI进行了统计，频率分布直方图
如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A市该月环境空气质量优、良的总天数
为____．
6．右图是一个算法流程图，其输出的n的值是_____．
7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为23的扇形，则此圆锥的
高为___cm．
8．在平面直角坐标系xOy中，设过原点的直线l与圆C：22(3)(1)4xy交于
M、N两点，若MN23，则直线l的斜率k的取值范围是______．
9．设数列{na}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和，若22221234aaaa，
55S，则7
a
的值为_____．
10．若函数()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，1()23xfx，则不等式
()1fx
的解集为______________．
11．在ABC中，已知AB=2，BC=3，60ABC，BDAC，D为垂足，则
BDBC
的值为____．
12．关于x的不等式(21)ln0axx对任意(0,)x恒成立，则实数a的值为_____．
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13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：22143xy．设过点M(0,1)的直线l与双曲线C
交于A、B两点，若2AMMB，则直线l的斜率为_____．
14．已知数列{na}的通项公式为72nan，数列{nb}的通项公式为2nbn．若将数列{na}，{nb}
中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{nc}，则9c的值为_____．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．（本小题满分14分）在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为,,abc，且cos2cosCacBb，
（1）求B； （2）若tan()74A，求cosC的值．
16，（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，PB平面
ABCD，CDBD，PB=AB=AD=1，点E在线段PA上，且满足PE=2EA．
（1）求三棱锥E-BAD的体积；
（2）求证：PC//平面BDE．
17．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，
60AOB
，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB上选一点C，过C修建与OB平
行的小路CD，与OA平行的小路CE，问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与
CE的总长最大，并说明理由．
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18．（本小题满分16分）已知数列{}na的各项都为正数，且对任意*nN，都有212nnnaaak(k
为常数)．
（1）若221()kaa，求证：123,,aaa成等差数列；（2）若k=0，且245,,aaa成等差数列，求
2
1
a
a
的值；
（3）已知12,aaab(,ab为常数)，是否存在常数，使得21nnnaaa对任意*nN都
成立？若存在．求出；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221(0)xyabab过点
(,),(3,1)22aaAB
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点00(,)Pxy在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为00360xxyy．
①求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点；
②若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出
此定点的坐标．
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20．（本小题满分16分）设函数2()(2)lnfxxaxax．
（1）求函数()fx的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；
（3）若方程()fxc有两个不相等的实数根12,xx，求证：12()02xxf．
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