高三上学期第四次月考(数学文)(试题及答案)

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浙江省嘉兴市桐乡市2024-2025学年高三上学期12月月考数学质量检测试题(含解析)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一浙江省嘉兴市桐乡市2024-2025学年高三上学期12月月考数学质量检测试题个是符合题目要求的．1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，则图中阴影部分对应集合为（）A. {}1B. {}2,3C. {}4,5D. {}6【答案】A 【解析】【分析】根据Venn 图表示法确定阴影部分，然后利用集合运算求解即可．【详解】由已知{1,6}U B =ð，阴影部分为(){}U 1A B ⋂=ð.故选：A ．2. 已知1e ，2e 是不共线的单位向量，若122a e e =+ ，12b e e λ=- ，且//a b，则λ=（）A. 2B. 2- C. 12-D.12【答案】C 【解析】【分析】根据向量共线，得到()12122e e t e e λ+=- ，再结合条件，得到12t t λ=⎧⎨=-⎩，即可求解.【详解】因为//a b ，设a tb =，则()12122e e t e e λ+=- ，即12t t λ=⎧⎨=-⎩，解得122t λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故选：C.的3. 下列四个函数中，以π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭为其对称中心，且在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A. cos y x =B. tan y x= C. sin y x= D. cos y x=【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的单调性及对称中心分别判断各个选项即可.【详解】对于A:cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，A 选项错误；对于B:tan y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭为其对称中心，B 选项正确；对于C:πsin=12不是0，所以π,02⎛⎫⎪⎝⎭不是sin y x =的对称中心，C 选项错误；对于D:cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，D 选项错误；故选：B.4. 已知函数()()1,0ln 1,0x x f x x x --≤⎧=⎨+>⎩，则关于x 的不等式()1f x ≤的解集为（）A. (][),2e,-∞-+∞B. []2,e -C. (][),2e 1,-∞--+∞D. []2,e 1--【答案】D 【解析】【分析】分0x ≤和0x >两种情况结合对数函数的单调性去解不等式()1f x ≤即可得解.【详解】由题可得011x x ≤⎧⎨--≤⎩或()0ln 11x x >⎧⎨+≤⎩，又ln y x =为增函数，所以解得20x -≤≤或0e 1x <≤-，故解集为[]2,e 1--.故选：D5. “直线10ax by +-=与圆222x y +=有公共点”是“221a b +≥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件.【答案】B 【解析】【分析】根据直线与圆有公共点则圆心到直线的距离小于等于半径列式求解，再根据充分与必要条件的性质判断即可.【详解】直线10ax by +-=与圆222x y +=有公共点则()22221212d a b a b =≤⇒+≥⇒+≥，由2222112a b a b +≥⇒+≥，反之推不出，故为必要不充分条件.故选：B6. 已知圆锥的侧面展开图是一个面积为π的半圆，则该圆锥的高为（）A.B.C.D.12【答案】A 【解析】【分析】首先根据侧面展开图面积等于半圆面积，求得底面半径与母线长，再利用勾股定理算得圆锥高.【详解】设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ，因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，圆锥的侧面展开图是一个面积为π的半圆，则π2π12ππ2l r l r =⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，解得r l ==，则该圆锥的高为h ==.故选： A.7. 某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（）A.815B.45C.35D.23【答案】C 【解析】【分析】甲获胜的情形有三种：第一种，甲第一次就摸到红球；第二种，甲、乙第一次都摸到白球，甲第二次摸到红球；第三种，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到红球.利用古典概率的加法求解即可【详解】214142423566A C A C 236A A 5P =++=；故选：C.8. 已知()f x 是定义在R 上且不恒为0的连续函数，若()()()()f x y f x y f x f y ++-=，f (1)=0，则（）A. ()02f =- B. ()f x 为奇函数C. ()f x 的周期为2D. ()22f x -≤≤【答案】D 【解析】【分析】对于A ，B ，C 利用赋值法即可判断，对于D ，令y x =和1x =，再结合函数的对称性即可判断.【详解】令0y =得()()()20f x f x f =，因为()f x 不恒为0，所以()02f =，所以A 错误；令0x =得()()()2f y f y f y =+-，得()()f y f y =-，则()f x 为偶函数，所以B 错误；令1y =得()()110f x f x ++-=，则()()()()()()11242f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=-+，则()()4f x f x +=，得周期为4，所以C 错误；令y x =得()()2220f x f x +=≥，()22f x ∴≥-，即()2f x ≥-，令1x =得()()110f y f y ++-=，即关于(1,0)中心对称()()22f x f x ∴-=-≤，即()2f x ≤，所以()22f x -≤≤，所以D 正确.故选：D.【点睛】方法点睛：对于抽象函数的求值或函数性质的求解策略：（1）对于抽象函数的基本性质的求解，通常借助合理赋值，结合函数的单调性、奇偶性的定义，进行推理，得出函数的基本性质，有时借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题；（2）解答抽象函数的周期性问题时，通常先利用周期性中为自变量所在区间，结合函数的奇偶性和对称性进行推理，得到()()f x f x T =+，求得函数的周期；（3）解答抽函数的求值问题时，通常利用合理赋值，再结合函数的对称性和周期性，进行求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是（）A. 若随机变量18,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()32D ξ=B. 残差平方和越大，模型的拟合效果越好C. 若随机变量()2,N ημσ~，则当μ减小时，()P ημσ-<保持不变D. 一组数据的极差不小于该组数据的标准差【答案】ACD 【解析】【分析】由二项分布的方差公式计算方差判断A ，由残差的定义判断B ，根据正态分布的性质判断C ，由极差与标准差的概念判断D ．【详解】由于()()312D np p ξ=-=，所以A 正确；残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以B 错误；根据正态分布的概率分布特点知()()P P ημσμσημσ-<=-<<+为定值，C 正确；由于max min i x x x x -≤-，标准差max min s x x =≤=-，故D 正确.故选：ACD.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足13a =，且()()*1310n n n a na n ++-=∈N ，则下列结论中正确的是（）A. {}n na 为等比数列B. n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列C. 3nn a n =⋅ D. ()1213344n n n S +-=⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】由题设得{}na n是首项、公比为3的等比数列，即可判断A 、B 、C ；应用错位相减法、等比数列前n 项和判断D.【详解】由题设113n n a a n n +⋅=+，且131a =，故{}n a n 是首项、公比为3的等比数列，所以3n na n=，则3n n a n =⋅，故{}n na 不是等比数列，A 错，B 、C 对；由1213233nn S n =⨯+⨯++⋅ ，则23131323(1)33nn n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，所以112113(13)(12)33233333132n n nn n n n S n n +++----=+++-⋅=-⋅=- ，所以1(21)334n n n S +-+=，D 对.故选：BCD11. 如图，ABCD 是边长为2的正方形，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 都垂直于底面ABCD ，且1111333322DD AA CC BB ====，点E 在线段1CC 上，平面1BED 交线段1AA 于点F ，则（）A. 1A ，1B ，1C ，1D 四点不共面B. 该几何体的体积为8C. 过四点1A ，1C ，B ，D 四点的外接球表面积为12πD. 截面四边形1BED F 的周长的最小值为10【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，利用1111//B C A D 证明四点共面；对于B ，通过补形可知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，进而求体积；对于C ，过1A ，1C ，B ，D 构造正方体1212ABCD A B C D -，则外接球直径为正方体1212ABCD A B C D -的体对角线，进而求表面积；对于D ，利用面面平行的性质定理证明四边形1BED F 为平行四边形，则周长()12l BE ED =+，进而求1BE ED +的最小值即可.【详解】对于A ，取1AA 中点M ，取1DD 靠近1D 的三等分点N ，易知四边形11NMB C 为平行四边形，四边形11NMA D 为平行四边形，所以11//MN A D ，11//MN B C ，则1111//B C A D ，所以1A ，1B ，1C ，1D 四点共面，故A 错误；对于B ，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以122482V =⨯⨯⨯=，故B 正确；对于C ，过四点1A ，1C ，B ，D 构造正方体1212ABCD A B C D -，所以，外接球直径为正方体1212ABCD A B C D -的体对角线，所以2R =R =，所以此四点的外接球表面积为24π12πR =，故C 正确；对于D ，由题意，平面11//ADD A 平面11BCB C ，平面11ADD A ⋂平面11BED D F =，平面11BCB C ⋂平面1BED BE =，所以1//D F BE ，同理可得1//BF D E ，所以四边形1BED F 为平行四边形，则周长()12l BE ED =+，沿1CC 将相邻两四边形推平，当B ，E ，1D 三点共线时，1BE ED +最小，最小值为5，所以周长的最小值为10，故D 正确，故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 双曲线221425y x -=的渐近线方程为______.【答案】25y x =±【解析】【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案.【详解】由220425y x -=得224,25a b ==，即2,5a b ==，焦点在y 轴上，所以渐近线方程为25y x =±.故答案为：25y x =±13. 已知212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-展开式的二项式系数之和为64，则展开式中3x 项的系数为______.（用数字作答）【答案】160-【解析】【分析】根据二项式系数之和可得6n =，结合展开式的通项运算求解即可.【详解】由题意可知：264n =，解得6n =，则6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()612316662C C ,0,12121,,6r r r rr rr r T xr x x ---+⎛⎫-=-⋅⋅ =⋅=⋅⎭⋅⋅⎪⎝，令1233r -=，解得3r =，所以展开式中3x 项的系数为()3336C 21601=--⋅⋅.故答案为：160-.14. 一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______.【答案】512【解析】【分析】先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果.【详解】标有数字的4只球排序共有44A 24=种情况.要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有33A 6=种情况.②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有222A 4=种情况.故所求概率为6452412+=.故答案为：512.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos sin 0a C a C b c +--=.（1）求角A ；（2）若4a =，ABC V ，求sin sin B C 的值.【答案】（1）π2A =（2）sin sin B C =【解析】【分析】（1）利用边化角及和差公式、辅助角公式即可求解；（2）由面积公式和正弦定理即可求解.【小问1详解】由条件得cos sin a C a C b c +=+，从而()cos sin cos cos cos cos a C a C b c a C c A c a C c A c+=+=++=++所以sin cos a C c A c =+，由正弦定理得sin sin sin cos sin A C C A C =+，故sin cos 1A A =+.从而()222211sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos A A A A A A A A ==-=+-=-，得sin cos 0A A =，故cos 0A =.所以π2A =.【小问2详解】设ABC 的面积为S，则22sin sin sin 1sin 2sin sin ·161616B C A bc bc A S B C bc bc bc b c a a ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16. 已知函数2()2ln f x x ax x =-+，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线20x y +=，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）72a =；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出a 值.（2）分类讨论判断()f x '值的正负情况，求出函数的单调区间.【小问1详解】函数2()2ln f x x ax x =-+，求导得2()2f x x a x'=-+，由曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线20x y +=，得1(1)222f a '=-+=，.所以72a =.【小问2详解】函数2()2ln f x x ax x =-+的定义域为(0,)+∞，222()x ax f x x'-+=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，方程2220x ax -+=中，216a ∆=-，若04a <≤，则0∆≤，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；若4a >，则0∆>，关于x 的方程2220x ax -+=有两个正根，1x =，2x =，当10x x <<或2x x >时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<，因此函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，所以当4a ≤时，函数()f x 的递增区间是(0,)+∞；当4a >时，函数()f x 的递增区间是,∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，递减区间是.17. 如图，三棱锥P ABC -中，CP CA CB ==，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PBC ⊥平面ABC .（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）若ACB ∠为钝角，且二面角B PA C --的大小为45︒，求cos ACB ∠.【答案】（1）证明见解析（2）1cos 3ACB ∠=-【解析】【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得OM ⊥平面PAC ，利用线面垂直的性质可得OM PC ⊥、ON PC ⊥，结合线面垂直的判定定理即可证明；（2）法一：如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得BH ⊥平面PAC ，得45BQH ︒∠=，设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则2sin ,BH QH θ==，根据BH QH =建立方程，解之即可求解.法二：建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角建立关于θ的方程，结合三角恒等变换的化简计算即可求解.【小问1详解】如图，在平面ABC 内取点O ，过O 作OM AC ⊥于M ，过O 作ON BC ⊥于N ，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，OM ⊂平面ABC ，OM ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，OM PC ∴⊥，同理可证ON PC ⊥，又ON OM O = ，ON OM ⊂、平面ABC ，PC ∴⊥平面ABC ；【小问2详解】法一：如图，过点B 作BH AC ⊥于点H ，过H 作HQ PA ⊥于点Q ，连接BQ ，PC ⊥ 平面ABC ，BH ⊂平面ABC ，PC BH ∴⊥，又AC PC C ⋂= ，、⊂AC PC 平面PAC ，BH ∴⊥平面PAC ，则BQH ∠为二面角B PA C --的平面角，即45BQH ︒∠=设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则sin 2sin BH BC θθ==，cos(π)2cos CH CB θθ=-=-，所以22cos AH AC CH θ=+=-，又PC AC =，所以45PAC ︒∠=，所以QH ==，由BH QH =2sin θ=，cos 1θθ+=，又22sin cos 1θθ+=，解得1cos 3θ=-或cos 1θ=（舍去），综上1cos 3θ=-.法二：如图，以C 坐标原点建立空间直角坐标系，设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()2cos ,2sin ,0B θθ，()002P ,,，易知平面PAC 的法向量为()0,1,0m =，设面PAB 的法向量为(),,n x y z =r，则()()()()()2,0,2,,2202cos 2,2sin ,0,,2cos 22sin 0PA n x y z x z AC n x y z x y θθθθ⎧⋅=-⋅=-=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩ ，22cos 1,,12sin n θθ-⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ，则cos ,m n m n m n⋅===⋅整理得222sin 4cos 4cos 0θθθ-+=，由22sin 1cos θθ=-，得23cos 2cos 10θθ--=，解得1cos 3θ=-或cos 1θ=（舍），综上，1cos 3θ=-.18. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为：()22116x y ++=，定点()10F ,，B 是圆C 上任意一点，线段BF 的垂直平分线l 和半径BC 相交于点T.（1）求点T 的轨迹W的方程；为（2）已知点()2,0A -，过点F 的一条直线，斜率不为0，交曲线W 于P 、Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线3x =交于M ，N 两点，求证：直线FM 与直线FN 的斜率之积为常数.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可知点T 的轨迹为椭圆，然后求得,a c ，即可得到标准方程；（2）根据题意，设直线:1PQ x my =+，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到,M N 的纵坐标，然后代入斜率公式计算，即可证明.【小问1详解】由题意：点T 在线段BF 的垂直平分线上，则TB TF =，可得42TC TF TC TB CB CF +=+==>=.由椭圆定义可得，点T 的轨迹是以()1,0C -，F (1,0)为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为24a =，焦距为22c =，2413b =-=，所以点T 的轨迹W 的方程为22143x y +=【小问2详解】由（1）知A (−2,0)，F (1,0)，设直线:1PQ x my =+，P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得()2234690m y my ++-=，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+根据题意可设()3,M M y ，()3,N N y ，则由11322M y yx =++，可得11115523M y y y x my ==++，同理可得2253N y y my =+，所以直线FM 与直线FN 的斜率之积，()()()12122121212002525113131433439N M FM FN y y y y y y k k my my m y y m y y --=⋅=⋅=⋅--+++++22222229251125925925349644918273643616393434m m m m m m m m m ⎛⎫- ⎪-⨯⨯+⎝⎭=⋅=⋅=-=---++⨯⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.所以直线FM 与直线FN 的斜率之积为定值2516-.19. 一般地，任何一个复数i a b +（a ，b ∈R ）可以写成()cos isin r θθ+，其中r 是复数的模，θ是以x 轴非负半轴为始边，射线OZ 为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在02πθ≤<范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz ，如arg10=，πarg i 2=，()πarg 13=.发现()()()()12111222121212cos cos cos z z r isin r isin r r isin θθθθθθθθ⎡⎤⋅=+⋅+=+++⎣⎦，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n 为正整数，重复n 次上述操作，可得到n 个复数，将它们的乘积记为n z .（1）写出一次操作后所有可能的复数；（2）当2n =，记n z 的取值为X ，求X 的分布列；（3）求2n z 为实数的概率n Q .【答案】（1）1，i，1i +（2）答案见解析（3）1111323n n Q -⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意，直接得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的取值为12，3，，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列；（3）根据题意，由条件可得()2arg 0n z =或π，分别得到一次操作后得到的复数的辅角主值，然后在n 次操作中，分别设得到i的次数为n a，1+的次数为n bi +的次数为n c ，即可得到()0023n n n b c t k a +=+-，然后得到1n Q +与n Q 之间的关系，即可得到结果.【小问1详解】一次操作后可能的复数为：1，i，1+i +，【小问2详解】一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1，12，2由1212z z z z ⋅=⋅，故X 的取值为12，3，4()119P X ==，(29P X ==，()229P X ==.()139P X ==，(29P X ==，()149P X ==，所以X 的分布列为【小问3详解】若2n z 为实数，则()2arg 0n z =或π.而1，i，1+i +的辅角主值分别是0，π2，0，π2，π3，π6，设在n 次操作中，得到i 的次数为n a ，得到1+的次数为n b i +的次数为n c ，于是()200π222a ππππrg 363n n n n n n n b c z a b c k a k +⎛⎫=⋅+⋅+⋅-=+- ⎪⎝⎭，从而{}0020,13n nn b c a k t ++-=∈，即()0023n n n bc t k a +=+-因此，所有的概率n Q 即为2n n b c +是3的倍数的概率，下面研究1n Q +与n Q 之间的关系.（ⅰ）2n n bc +是3的倍数，且第1n +次操作得到的复数是1，i （概率为23）；（ⅱ）2n n b c +被3除余1，且第1n +次操作得到的复数是1（概率为16）；（ⅲ）2n n b c +被3除余2，且第1n +次操作得到i +（概率为16）；因此由全概率公式可以得到：()1211113626n n n n Q Q Q Q +=+-=+的变形得1111326n n Q Q +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中123Q =，故1111323n n Q -⎛⎫=+⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题主要考查了复数与离散型随机变量以及数列的综合应用，难度较大，结合数列的递推关系式从而得到1n Q +与n Q 之间的关系.。

2024-2025学年湖北省荆州市高三上学期11月月考数学检测试题(含解析)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项考试时间1202024-2025学年湖北省荆州市高三上学期11月月考数学检测试题分钟试卷满分150是符合题目要求的． 1．已知集合{}1,2,3,4A =，(){}2|log 12Bx x =−≤，则A B 的元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数z 在复平面内对应的点为（2，-1），则4iz z =−（） A. 1i +B. 3i +C. 1i −D. 3i −3．等比数列{}n a 的各项均为正数，若1237a a a ++=，4322a a a =+，则789a a a ++= A ．588B ．448C ．896D ．2244.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知774721S a =−，则3a =（）A.-2B.-1C.1D.25．已知a ∈R ，函数()()e ,0,ln 1,0x a x f x x a x −≤ = −+−> 在R 上没有零点，则实数a 的取值范围A ．()0,+∞B ．()1,+∞C ．[){}1,0+ ∞D ．(){}1,0+ ∞ 6．已知θ为第一象限角，且tan tan 03++=πθθ，则1cos21cos2+=−θθA ．9B ．3C ．13D ．197. 已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（）A.B. (2π+C. (1π+D. (3π+8. 若函数()()()sin cos 10f x x ωω=−>在区间()0,2π恰有2个零点，则ω的取值范围是（）A. π0,2B. π3π,22C. π5π,22D. π,2+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数()cos sin f x x x =⋅，则A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的最大值为12D ．()f x 在0,2π上单调递增10．记等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且63*,a a ∈N ，若5106T =，则36a a +的可能取值为（）A.- 7B.5C.6D.711．如图，圆锥SO 的底面直径和母线长均为，其轴截面为SAB △，C 为底面半圆弧AB 上一点，且 2AC CB =，SM SC = λ，(01,01)SN SB =<<<<µλµ，则A ．存在()0,1∈λ，使得BC AM ⊥B ．当23=µ时，存在()0,1∈λ，使得//AM 平面ONCC ．当13=λ，23=µ时，四面体SAMN D ．当AN SC ⊥时，57=µ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知点(),4A a 在抛物线24y x =上，F 为抛物线的焦点，直线AF 与准线相交于点B ，则线段FB 的长度为______.13．已知数列{}n a 是单调递增数列，其前n 项和为2n S An Bn =+（A ，B 为常数），写出一个有序数对(),A B =________，使得数列是等差数列．14．定义在R 上的函数()g x 满足()212y g x =+−是奇函数，则()g x 的对称中心为________；若()*123211111n n a g g g g n n n n n +=+++⋅⋅⋅+∈++++N ，则数列{}n a 的通项公式为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分）已知函数()ln f x ax x x =−．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，()1f x <−，求a 的取值范围；16.（15分）如图，在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin A B B Cc a b++=−. （1）求A ；（2）若3,0BC BD AB AD =⋅=，2AD = ，将ABC 沿AD 折成直二面角B AD C ′−−，求直线AB ′与平面B CD ′所成角的正弦值.17．（15分）已知*n ∈N ，数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足21n n S a =−；数列{}n b 满足12b =，112n nb b +=−．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列1n b−λ是等差数列？如果存在，求出实数λ的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式2n n nb a ≥成立的n 的最大值．18.（17分）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b点()0,1A 在C 上，直线l 与C 交于不同于A 的两点M ，N ．（1）求C 的方程；（2）若0AM AN ⋅=，求AMN 面积的最大值；（3）记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，若12116k k =−，证明：以MN 为直径的圆过定点，并求出定点坐标．19.（本题满分17分）一般地，任何一个复数i a b +（a ，b ∈R ）可以写成()cos isin r θθ+，其中r 是复数的模，θ是以x 轴非负半轴为始边，射线OZ 为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在02θπ≤<范围内的辅角称为辅角主值，通常记作arg z ，如arg10=，arg i 2π=，()arg 13π=.发现()()()()12111222121212cos sin cos sin cos isin z z r r r r θθθθθθθθ⋅=+⋅+=+++ ，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n 为正整数，重复n 次上述操作，可得到n 个复数，将它们的乘积记为n z .（1）写出一次操作后所有可能的复数；（2）当2n =，记n z 的取值为X ，求X 的分布列；（3）求2n z 为实数的概率n Q .11月月考数学参考答案1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4。

2022-2023学年四川省成都市树德中学高三上学期10月月考数学(文)试卷(含详解)

（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）已知点，直线l与曲线C分别交于A，B两点，点M是AB的中点，求的长．
13.已知数列是正项等比数列，函数的两个零点是，，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出，根据等比中项求出 .
【详解】因为函数的两个零点是，，
所以 .
因为数列是正项等比数列，所以，解得： .
故答案为：
14.如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则 _________．
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C.把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象D. 在区间上为增函数
10.若，，则x，y，z的大小关系为（）
A. B.
C. D.
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为（）
【详解】解：由题意可得，，
故 .
故选：B
6.某工厂研究某种产品的产量（单位：吨）与需求某种材料（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集里组数据如表所示．根据表中数据可得回归直线方程为，则下列四个说法中正确的个数为（）
3
4
6

湖南省衡阳八中2017届高三上学期第四次月考试题数学(理) 含答案

衡阳市八中2017届高三第四次月考试题卷理科数学(考试内容：集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列、不等式、推理与证明)命题人:蒋金元、郭端香审题人：赵永益考生注意：本试卷满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．a为正实数，i为虚数单位，a i=2,则a=（)A．2 B3C2D．1 2．已知集合M＝｛1，2，3，4｝，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为( )A．8 B．4 C．3 D．23．下列关于命题的说法错误的是( ）A．命题“若x2﹣3x+2=0,则x=2"的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=3”是“函数f（x）=log a x在定义域上为增函数”的充分不必要条件C．若命题p：∃n∈N，3n＞100，则￢p：∀n∈N，3n≤100 D．命题“∃x∈（﹣∞，0），3x＜5x”是真命题4．已知数列{a n}是等比数列，且a3=1，a5a6a7=8，则a9=（）A．2 B．4 C．6 D．85．已知212sin 2cos 1=+αα,则=αtan （) A ．2 B ．3 C ．21D ．316．已知公差不为0的等差数列{}na 满足134a ,a ,a 成等比数列，nS 为数列{}na 的前n 项和，则3253SS S S --的值为（）A ．2- B ．3- C ．2D ．37．已知3sin 5ϕ=，且(,)2πϕπ∈,函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为（） A ．35-B ．45-C ．35D ．458．已知函数()log (4)1a f x x (0,1)a a的图像恒过定点A ，若直线2-=+ny mx （,0m n）也经过点A ，则3m+n 的最小值为( ）A ．16B ．8C ．26611+ D ．149．已知：函数())20162016log 20162xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),0-∞ 10．设m ＞1，在约束条件1y xy mx x y 下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（） A ．（1，12）B ．（12，) C ．（1，3) D ．（3，)11．已知函数22 x 0()2 x<0x f x x x 则不等式(())3 f f x 的解集为(）A. (-,1]B.(-,2]∞∞∞12．设函数()f x 在R 上存在导数()f x ，对任意的x∈R，有2()()f x f x x ,且(0,)()xf x x 时，．若(2)()22f a f a a ，则实数a 的取值范围为（）A ．[1,)B ．(,1]C ．(,2]D ．[2,)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13．已知a =4，b =2，且2a b=a 与b 的夹角为___________.14．已知222,,,238,49a b cR a b ca b c 则的最小值为___________.15。

重庆市育才中学校2025届高三上学期12月月考数学试题(含答案)

重庆市育才中学校高2025届2024—2025学年（上）12月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上：2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；3．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 设集合，，则（）A. B. C. D. 2 已知随机变量服从正态分布，，则（）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.43. 已知直线平面，点，那么过点且平行于直线的直线（）A. 有且只有1条，且在平面内B. 有且只有1条，不在平面内C. 有无数条，不都在平面内D. 有无数条，都在平面内4. 函数的零点所在区间为（）A. B. C. D. 5. 若正实数a ，b 满足，则的最小值为（）A. 1 B. 6 C. 8 D. 96. 从3名男生和2名女生中任选3人参加一项创新大赛，则选出的3人中既有男生又有女生的概率为（）A. B. C. D.7. 已知，，则（）A. B. C. D. .{}230M x x =-≤{}2,1,0,1,2N =--M N = {}0,1{}1,0,1-{}1,0,1,2-{}2,1,0,1,2--ξ()22,N σ()120.2P ξ<≤=(3)P ξ>=//l αP α∈P l αααα()cos f x x x =-(1,0)-()0,1(1,2)(2,3)12a b =-21a b +11031035910()1sin 2αβ+=tan 5tan αβ=()sin αβ-=141312348. 若，满足，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知点、、，其中，则（）A. 若、、三点共线，则B. 若，则C. 若，则D. 当时，10. 已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则（）A. 、、、四点共面B. 直线与C. 二面角的大小为D. 三棱锥的体积为11. 若数列满足，，设，则（）A B. C. D. 若数列的前项和为30，则或第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分．12. 已知复数（其中i 为虚数单位），则____________．13. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为____________．14. 若正四面体的棱切球（球与正四面体的棱均相切）半径为1，则正四面体的棱长为____________；该棱切球的球面与正四面体的表面相交所得曲线的总长度为____________．四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．.0,1x y >>e ln x x y y +>+1x y -<-1x y ->-1x y +<2x y +<()0,2A ()2,0B ()1,C y y ∈R A B C 1y =AB AC ⊥3y =AB AC = 2y =2y =π,4AB AC = 1111ABCD A B C D -2E F AB 1AA E F 1D C AD 1D E 1A FD E --π41B CEF -1{}n F 121F F ==()*21Nn n n F F F n ++=+∈1(1)n n F F n a +=-41a =202420252a a +=3n n a a +={}n a n 90n =92n =112iz =+z z ⋅=()()3213f x x x mx m =+-∈R R m A BCD -A BCD -A BCD -15 已知非零数列满足：，．（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前项和.16. 若中的内角、、所对的边分别为、、，且满足．（1）求角；（2）若，请从下列两个条件：①，②中任选一个作为已知条件，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，点为棱的中点，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，且，，求直线与平面所成角的正弦值．18. 育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y 与派出的闯关人数X 的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响．（1）已知，，，（i ）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望；（ii ）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率．（2）若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最.的{}n a 11a =()*112N n n n n a a a a n ++-=⋅∈1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}1n n a a +⋅n n S ABC V A B C a b c ()sin 1cos b A B =-B b =2a c =cos C =ABC V S ABCD -ABCD E SA BD SC ⊥//SC BED SAC ⊥ABCD SC AC ⊥2AB SC ==120ABC ∠=︒AB SAD 4010(1,2,3)Y X X =-=1p 2p 3p 13p 4=223p =312p =Y 30Y =12301p p p <<<<Y大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由．19. 已知函数．（1）求曲线过点的切线方程；（2）设，曲线在点处切线与轴，轴围成的三角形面积为，记；（3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围．的()ln f x x =()y f x =()0,1()1n n a n n *=∈+N ()y f x =()(),n n a f a x y n S n c =1n k k c =∑()()()e xa g x x f x a x=-+∈R ()g x 123,,x x x ()()()12311eg x g x g x ⋅⋅≥-a重庆市育才中学校高2025届2024—2025学年（上）12月月考数学试题简要答案第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BC第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分．【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】 ①.②. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）证明略；（2）.【16题答案】【答案】（1）；（2）条件选择略，的面积为【17题答案】【答案】（1）证明略；（2）证明略；（3【18题答案】【答案】（1）（i ）；（ii ）（2）丙先参赛，理由略【19题答案】【答案】（1）（2）（3）150.2(],1-∞-π11242n S n =-+π3B =ABC V 1054233622e e 0x y -=+()1ln 1n k k c n n =⎤=++⎦∑211,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭。

2025届三门峡市高三数学上学期11月考试卷及答案解析

河南省三门峡市2024-2025学年高三上学期11月阶段性考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2log 2A x x =≤，{}24B x x =-<<，则A B = （）A. ()2,2-B. ()0,2C. ()0,4 D. (]0,4【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数性质，化简集合A ，然后根据集合的交集运算即可【详解】根据题意，易得：{}04A x x =<≤又{}24B x x =-<<则有：{}04A B x x ⋂=<<故选：C2. “1x >”是“2x x >”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分性和必要性两方面判断即可；【详解】因为2x x >，所以0x <或1x >，则1x >可以推出2x x >，但2x x >不能推出1x >．故“1x >”是“2x x >”的充分不必要条件，故选：A ．3. 函数2x y -=-与2x y =的图象（）A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y=x 对称【答案】C 【解析】【分析】令()2xf x =，则()2xf x ---=-，由()y f x =与()y f x =--的图象关于原点对称即可得解.【详解】解：令()2xf x =，则()2xf x ---=-()y f x = 与()y f x =--的图象关于原点对称，2x y -∴=-与2x y =的图象关于原点对称.故选：C【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为341,2n S S a a =-，且2415a a +=，则35a a +=（）A. 3 B. 5C. 30D. 45【答案】D 【解析】【分析】首先确定1q ≠，再利用等比数列的前n 和公式代入即可求出答案.【详解】若公比1q =，则1152a =，315264S a ==，右边410a a -=，等式不成立，故1q ≠，则()()31311211a q aq q-⨯=--，显然310q -≠，所以211q=--，解得3q =，又因为()2242115a a a q +=+=，代入得232a=，所以()()33352333452a a a q q +=+=⨯+=，故选：D.5. 如图，平行四边形ABCD 中，2,AE EB DF FC ==，若,CB a CE b == ，则AF =（）A. 1322a b+ B. 3122a b-C. 1322a b -D. 1322a b-+【答案】C 【解析】【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，且2AE EB =，DF FC =，所以12AF AD DF AD DC =+=+ ，即22AF AD DC =+①，又13CE CB BE CB BA =+=+ ，即33CE CB BA =+ ②，由①+②得到23AF CE CB += ，又CB a = ，CE b =，所以1322A b F a =- .故选：C.6. 关于x 的方程(1)(4)x x a --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论错误的是（）A. 当0a =时，121,4x x == B. 当0a >时，1214x x <<C. 当0a >时，121,4x x <> D. 当904a -<<时，122544x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，当0a =时，方程(1)(4)0x x --=的二实根为121,4x x ==，A 正确；对于B ，方程(1)(4)x x a --=，即2540x x a -+-=，254(4)0a ∆=-->，解得94a >-，当0a >时，1244x x a =-<，B 错误；对于C ，令()(1)(4)f x x x =--，依题意，12,x x 是函数()y f x =的图象与直线y a =交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y a =，如图，观察图象知，当0a >时，1214x x <<<，C 正确；对于D ，当904a -<<时，12254(4,)4x x a =-∈，D 正确.故选：B7. 已知角αβ，满足tan 2α=，2sin cos()sin βαβα=+，则tan β=（）A13B.17C.16D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到2tan()3tan αβα+=，故3tan()tan 32αβα+==，利用正切和角公式得到方程，求出1tan 7β=.【详解】因为()sin sin sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+，2sin cos()sin βαβα=+，所以2sin()cos 2cos()sin cos()sin αβααβααβα+-+=+，即2sin()cos 3cos()sin αβααβα+=+，则2tan()3tan αβα+=，因为tan 2α=，所以3tan()tan 32αβα+==，其中tan tan 2tan tan()31tan tan 12tan αββαβαββ+++===--，故2tan 36tan ββ+=-，解得1tan 7β=.故选：B.8. 在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且CD a =，AB b =，EF 和GH 为平行于底的两条割线，其中EF为中位线，.GH 过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（）A.)0,02a ba b +≥>>B. ()20,0112a ba b a b+≤>>+C. )0,02a b a b +≤>>D. )220,0a b a b +≥>>【答案】B 【解析】【分析】首先设AC 交BD 于O 点，根据三角形相似性质得到211GH a b=+，即可得到答案.【详解】设AC 交BD 于O 点，如图所示：因为////AB GH CD ，所以OG AO BO OHDC AC BD DC===，即OG OH =.又因为1OG OH OG OH AO OCDC AB a b AC AC+=+=+=，即11221GH GHa b +=，解得2211ab GH a b a b==++.又因为2a b EF +=，GH EF ≤，所以2112a ba b+≤+.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 在实际应用中，通常用吸光度A 和透光率T 来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为1lgA T=，下表为不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料3T0.70.80.9设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为123,,A A A ，则下列结论正确的是（）A. 12A A > B. 233A A >C. 1322A A A +> D. 231A A A +>【答案】AC 【解析】【分析】根据对数运算法则和单调性求解即可.【详解】由换算公式和图表可知，11110lglg 7A T ==，22110lg lg 8A T ==，33110lg lg 9A T ==，又因为函数lg y x =在(0,+∞)上单调递增，所以对于A ：121010lglg 78A A =>=，说法正确；对于B ：332101010001033lg lg lg lg 997298A A ⎛⎫===>= ⎪⎝⎭，说法错误；对于C ：131010100lg lg lg 7963A A +==+，22101010022lg lg lg 8864A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1322A A A +>，说法正确；对于D ：231101010010lg lg lg lg 89727A A A +=+=<=，说法错误；故选：AC10. 已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（）A. 若a c b c ⋅=⋅ ，则a b=B. 若()0a b c ⋅=，则b c⊥C. 若()()a b a b +⊥-，则||||a b = D. 向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直【答案】BCD的【解析】【分析】A 选项，举出反例即可；B 选项，由向量数乘运算和数量积公式得到b c ⊥；C 选项，根据向量数量积公式得到220a b -= ，故||||a b = ；D 选项，计算出()()0a b c a c b a ⎡⎤⋅-⋅⋅=⎣⎦，得到垂直关系.【详解】A 选项，不妨设()()()1,0,2,0,0,1a b c === ，满足0a c b c ⋅=⋅=，但a b ≠ ，A 错误；B 选项，()0a b c ⋅= ，故0b c ⋅=，则b c ⊥ ，B 正确；C 选项，()()a b a b +⊥- ，故22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，故||||a b = ，C 正确；D 选项，()()()()()()0a b c a c b a a b c a a c b a ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦ ，故向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直，D 正确.故选：BCD11. 已知函数()cos sin f x x x x =-在区间(0,3π)内有两个零点12,x x ，则下列结论正确的是（）A. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x > B.12πx x ->C. 12sin 02x x +⎛⎫>⎪⎝⎭D. 1221sin sin 0x x x x +<【答案】ABD 【解析】【分析】由()0f x =得()tan cos 0x x x =≠，从而得1122tan ,tan x x x x ==，作出单位圆以及5ππtan ,0,22{|y x x x x x =∈<<≠且3π2x ⎫≠⎬⎭与y x =的函数图象，结合图象逐一判断即可得解.【详解】()0f x =即cos sin 0x x x -=，即sin cos x x x =，当cos 0x =时，上式显然不成立，故()0f x =等价于()tan cos 0x x x =≠，所以1122tan ,tan x x x x ==.对于A ，设π0,2AOB α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，作出单位圆，则由三角函数定义可知 tan ,ABAC l αα==，设扇形OAB 的面积为1S ，则1OAC S S > ，即1111tan 2222ABOA AC l OA αα⋅=>=⋅，故tan αα>，故A 正确；对于B ，画出5ππtan ,0,22{|y x x x x x =∈<<≠且3π2x ⎫≠⎬⎭与y x =的函数图象，因为tan y x =的最小正周期为π，所以由图象可知1x 与2x 之间的距离大于π，即12πx x ->，故B 正确；对于C ，由图得123π5ππ,,2π,22x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故23πx <+14πx <，故123π2π22x x +<<，所以12sin 02x x +<，故C 错误；对于D ，因为1122tan ,tan x x x x ==，所以12122112212112sin sin sin sin tan sin tan sin sin sin cos cos x x x x x x x x x x x x x x ++=+=()()1212121212sin sin cos cos tan tan cos cos cos cos x x x x x x x x x x +==⋅+1212121212tan tan cos cos 2222x x x x x x x x x x ⎡⎤+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦121212tan tan 2coscos 22x x x x x x +-=⋅⋅，由图可知，12tan tan x x 、均大于0，由C 项知123π2π22x x +<<，故12cos 02x x +>，又由B 项知12π3π224x x -<<，所以12cos 02x x -<，所以121212tan tan 2cos cos 022x x x xx x +-⋅⋅<即1221sin sin 0x x x x +<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于选项D 判断1221sin sin 0x x x x +<，关键点1是根据已知条件1122tan ,tan x x x x ==结合问题的结构特征将1221sin sin x x x x +转化成1221tan sin tan sin x x x x +，接着将其弦切互化得到()()1212121212sin sin cos cos tan tan cos cos cos cos x x x x x x x x x x +=⋅+；关键点2是利用选项B和C 中的12x x +和12x x -结合12121212122222x x x x x x x xx x +-+-+-==、以及两角和与差的余弦公式，将()1212tan tan cos cos x x x x ⋅+转化成121212tan tan 2cos cos 22x x x xx x +-⋅⋅，进而结合图象且借助选项B 和C 中的结论即可判断得解.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在ABC V 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos B =______【答案】19【解析】【分析】根据角C 的余弦定理形式求解出c 的值，再根据余弦定理求解出cos B 的值.【详解】因为22222cos 16924393c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以3c =，所以22299161cos 22339a cb B ac +-+-===⨯⨯，故答案为：19.13. 已知二次函数()f x 从1到1x +∆的平均变化率为23x ∆+，请写出满足条件的一个二次函数的表达式()f x =_______．【答案】22x x -（答案不唯一）【解析】【分析】设f (x )=ax 2+bx +c ，利用平均变化率的定义计算即可.【详解】设f (x )=ax 2+bx +c ，则()()()()()21Δ11Δ1ΔΔ21Δ1Δf x f a x b x c a b c a x a b x x+-++++-++==+++-，由题意知223a a b =⎧⎨+=⎩，解之得21a b =⎧⎨=-⎩，显然c 的取值不改变结果，不妨取0c =，则()22f x x x =-.故答案为：22x x-14. 已知函数()11x x e f x e -=+，()()11g x f x =-+，()*12321n n a g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 通项公式为__________．【答案】21n a n =-【解析】【分析】先证明函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，故()()22g x g x +-=，由此将n a 的表达式两两组合求它们的和，然后求得n a 的表达式.【详解】由于()()1111x xx xe ef x f x e e-----===-++，所以函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，由此得到()()22g x g x +-=，所以()121222111n n n n n a g g g g g g g n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()211210121n g n f n =-+=-++=-.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和对称性，考查特殊数列求和的方法——分组求和法.属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设函数()e xf x =，x ∈R .的（1）求方程()()()22f x f x =+的实数解；（2）若不等式()22x b b f x +-≤对于一切x ∈R 都成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）ln 2x = （2）112b -≤≤【解析】【分析】（1）转化为关于e x 的一元二次方程进行求解.（2）分离参数，构造函数()g x ，求导得到()g x 的最小值即可求解.【小问1详解】由()e xf x =，代入方程()()()22f x f x =+得：()2e e 2x x =+，即()()e 2e 10xx-+=，解得e 2x =，即ln 2x =.【小问2详解】不等式()22x b b f x +-≤即22e x x b b +-≤，原不等式可化为22e x b b x -≤-对x ∀∈R 都成立，令()e xg x x =-，则()e 1xg x '=-，当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<，所以()g x 在(),0∞-上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故当0x =时，()()min 0=1g x g =，所以221b b -≤，即2210b b --≤，解得：112b -≤≤.16. 已知函数2()2sin cos f x x x x =+-，R x ∈，且将函数()f x 的图象向左平移π(02ϕϕ<<个单位长度得到函数()g x 的图象．（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若函数()g x 是奇函数，求ϕ的值；（3）若1cos 3ϕ=，当x θ=时函数()g x 取得最大值，求π12f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）πT =，π5ππ-,π+,Z 1212k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）π6ϕ=（3）π()12f θ+=【解析】【分析】（1）用二倍角公式、降幂公式及辅助角公式进行化简，再利用2πT ω=求解即可得到最小正周期；结合正弦函数的单调递增区间，用整体的思想求解即可；（2）先根据平移变换求出()g x 表达式，在根据题意列出等式求解即可；（3）当x θ=时函数()g x 取得最大值，由此可得5ππ12k θϕ=-+，代入π12f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简；又1cos 3ϕ=，因此可求出sin ϕ，再求出sin 2,cos 2ϕϕ，再根据两角和的正弦公式求解即可.【小问1详解】由题意得()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则其最小正周期2π=π2T =，令πππ2π22π,Z 232k x k k -≤-≤+∈，解得π5πππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈，则其单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】将()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度得到()g x 的图象，则()π2sin 223g x x ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，若函数()g x 是奇函数，则π20π,Z 3k k ϕ-=+∈,即ππ,Z 62k k ϕ=+∈因为π02ϕ<<，所以0k =时，π6ϕ=．【小问3详解】由题知πsin(22)13θϕ+-=，则22232k θϕππ+-=+π，从而512k θϕπ=-+π，Z k ∈，因此πππππ2sin π22π2sin 212233f f k k θϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1cos 3ϕ=，且π02ϕ<<，所以sin ϕ=，的因此1sin 223ϕ==，17cos 22199ϕ=⨯-=-，所以π17sin(2)()329ϕ+=-=，所以π()12f θ+=17. ABC V 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .（1）若sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，3π4C =，求a b的值；（2）求证：()222sin sin A B a b c C--=.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意由正弦定理的边角互化，结合余弦定理代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，先由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理公式代入计算，即可证明.【小问1详解】因为sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，所以2sin sin sin sin 1cos 22sin A B B C B B +=-=，由正弦定理可得22ab bc b +=，即2a c b +=，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以()222322cos4b a a b ab π-=+-，整理可得(34b a =，所以a b==.【小问2详解】证明：()sin sin cos cos sin sin sin A B A B A B CC--=，由正弦定理可得sin cos cos sin cos cos sin A B A B a B b AC c--=，由余弦定理可得222222222222cos cos 22222a c b b c a a b a B b A a b a b ac bc c c c c +-+-⋅-⋅---===，所以()222sin sin A B a b c C--=.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11nn S a n n+=--，*N n ∈.（1）求n S ；（2）令()11121n n n n n n n S S b na a n a a ++++=-+，证明：12313n b b b b ++++< .【答案】（1）2n S n = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意n a 与n S 之间的关系将1n a +用1n n S S +-表示，得到111n n S S n n +-=+，得到n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，进而得到n S ；（2）化简n b ，利用裂项相消法求和即可证明.【小问1详解】因为11n n n a S S ++=-，11nn S a n n+=--，所以()()()1111n n n n S n a n n S S n n ++=--=--+，故()()111n n S n nS n n ++=-+，及111n nS S n n+-=+，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11111S a ==，公差为1的等差数列，故()11nS n n n=+-=，则2n S n =.【小问2详解】因为2n S n =，1n n n a S S -=-（2n ≥，*N n ∈），所以()22121n a n n n =--=-（2n ≥，*N n ∈）.又11a =符合上式，所以21n a n =-()*N n ∈.因为()11121n n n n n n n S S b na a n a a ++++=-+，所以()()()()()()221212112123n n n b n n n n n n +=--++++()()()()121212123nn n n n n +=--+++()()()()()4114421212123n nn n n n ⎡⎤+=-⎢⎥-+++⎣⎦11111421212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦11142123n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，所以123nb b b b ++++L 1111111111111453759252123212123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111411114321234321233n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=--< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.19. 若函数()f x 对其定义域内任意()1212,x x x x ≠满足：当()()12f x f x =时，恒有12x x m =，其中常数m ，则称函数()f x 具有性质()V m .（1）函数1()2=+g x x x具有性质()V m ，求m .（2）设函数()()()1221()ln ,0h x x x h x h x x x =-=>>，（ⅰ）判断函数()h x 是否具有性质()V m ，若有，求出m ，若没有，说明理由；（ⅱ）证明：2122x x <.【答案】（1）12m =（2）（ⅰ）()h x 不具有性质()V m ，理由见解析；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）对任意的()()12,,00,x x ∈-∞+∞ 且12x x ≠，由12121221x x x x ++=变形得到()1212012x x x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得到1212x x =，求出12m =；（2）（ⅰ）求导，得到()ln h x x x =-的单调性，得到1201x x <<<，假设()h x 具有性质()V m ，即21x x m =，所以21x m x =，根据1122ln ln x x x x -=-，得到1112ln ln 0x mx m x --+=，显然不能恒成立，故假设不成立，()h x 不具有性质()V m ；（ⅱ）先得到21211ln ln x x x x -=-，由对数平均不等式得到121x x <，分212x <≤和22x >两种情况进行求解，当212x <≤时，1122222x x x x x =⋅<，当22x >时，构造差函数，进行求解，得到结论.【小问1详解】1()2=+g x x x定义域为()(),00,-∞+∞ ，对任意的()()12,,00,x x ∈-∞+∞ 且12x x ≠，有12121221x x x x ++=，即()()2112121212121211201222x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫---+-+-==-= ⎪⎝⎭，因为12x x ≠，所以120x x -≠，故1212x x =，故1212x x =，故12m =；小问2详解】()h x 不具有性质()V m ，理由如下：()ln h x x x =-的定义域为()0,∞+，11()1x h x x x-'=-=，当1x >时，()0h x '>，当01x <<时，()0h x '<，故()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，又21x x >，故1201x x <<<，假设函数()h x 具有性质()V m ，即21x x m =，所以21x mx =，【因为1122ln ln x x x x -=-，所以111111ln ln ln ln x x m x x x x m mm -=-=-+，故1112ln ln 0x mx m x --+=对于任意的()10,1x ∈恒成立，即1112ln ln mm x x x --+恒为0，显然不可能，故假设不成立，故()h x 不具有性质()V m ；（ⅱ）因为1122ln ln x x x x -=-，所以2121ln ln x x x x -=-，21211ln ln x x x x -=-，下面证明2121ln ln x x x x ->-2211ln ln xxx x >>⇒，1t =>2101ln 2l ln 1n 2t t x x t tt t >-⇒⇒->->，令()12ln t tp t t --=，1t >，则()()222221121210t t t t t tp t t --+-===+>'，故()12ln t tp t t --=在()1,t ∈+∞上单调递增，故()()10p t p >=，12ln 0t t t-->，所以2121ln ln x x x x ->-1>，所以121x x <，当212x <≤时，1122222x x x x x =⋅<，当22x >时，令()111112222222222222ln ln ln ln 22ln h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=--+-⎪⎝⎭22222222222ln ln 22ln 3ln ln 2x x x x x x x =--+-=--+，令()223ln ln 2q x x x x=--+，2x >，()()()23233321343410x x x x q x x x x x-+-+'=-+==>，故()223ln ln 2q x x x x=--+在()2,+∞上单调递增，又()32322ln 2ln e ln 42q =-=-，其中3e 160->，故32e 4>，所以()20q >，故()1222222223ln ln 20h x h x x x x ⎛⎫-=--+> ⎪⎝⎭，()1222h x h x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，其中()()12220,1,0,1x x ∈∈，而()h x 在()0,1上单调递减，故1222x x <，2122x x <，综上，2122x x <.121212ln ln 2x x x xx x -+<<-，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合1122ln ln ln x x x x -=，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明。

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江西省安福中学高三上学期第四次月考
数学文
命题：彭小龙
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1、已知集合M={x|y=2-x }，N={y|y=2 x
∈R }，则（） A 、M N B 、M=N C 、N M D 、M ∩N= ∅ 2、已知点P （3，m ）在过M （2，－1）和N （－3，4）两点的直线上，则m=（）
A 、3
B 、2
C 、1
D 、－2
3、已知A （a,0），B （3，2+a ），直线y=2
1ax 与线段AB 交于M ，若MB AM 2=，则a=( ) A 、－4 B 、2 C 、2或－4 D 、－2或4
4、已知cos(6π
α-)+sin α=354，则sin （6
7πα+）的值是（） A 、－532 B 、532 C 、－54 D 、5
4 5、已知2b a -=（－1，3），c =（1，3）且a ·c =3，|b |=4，则b 与c 的夹角为（）
A 、6π
B 、3
π C 、65π D 、32π 6、已知数列{a n }中a 1=1，a n =n(a n+1－a n ),则数列{a n }的通项公式a n =（） A 、2n －1 B 、
n n 1+ C 、n 2 D 、n 7、若函数y=（3
1）|2－x|+t 的图象与x 轴有公共点，则t 的取值范围是（） A 、－1≤x ＜0 B 、x ≤－1 C 、x ≥1 D 、0＜x ≤1
8、函数y=sin(2x+6
π)－2的图象F 按向量a 平移到F ＇，F ＇的解析式为y=f(x)，当y=f(x)为偶函数时，向量a 可以等于（）
A 、（－3π，－2）
B 、（－6π，2）
C 、（6π，－2）
D 、（3
π，2） 9、过直线y=x 上的任意一点作圆(x －5)2+(y －1)2=2的两条切线L 1、L 2，当直线L 1、L 2关于
y=x 对称时，则L 1与L 2的夹角为（）
222+-x x ⊂≠⊂≠
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、90°
10、函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)=f(2－x)，且当x ∈（－∞，1）时，
（x －1）f ＇(x) ＜0，则a=f(0)，b=f(2
1)，C=f(3)，则（） A 、a ＜b ＜c B 、c ＜b ＜a C 、c ＜a ＜b D 、b ＜c ＜a
11、设M 是△ABC 内一点，且AB ·=23，∠BAC=30°，定义f(M)=(m ，n ，p)其中m 、n 、p 分别是△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积，若f(M)=(
21，x ，y)，则y x 41+的最小值是（） A 、18 B 、16 C 、9 D 、8
12、已知f(x)为偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，若x ∈[
2
1，1]时，不等式f(ax+1)≤f(x －2)恒成立，则a 的取值范围是（）
A 、[－5，0]
B 、[－5，1]
C 、[－2，1]
D 、[－2，0]
二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．
13、在等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5=18，a n-4+a n-2+a n =108，s n =420，n= 。

14、已知=（1，1），=（1，－1），=（ααsin 2cos 2，）(α∈R)，实数m 、n 满足n m =+，
则(m-3)2 + n 2的最大值为。

15、若函数f(x) = min }log log 3{241
x x ，+，其中min{p ，q}表示p ，q 两者之中的较小者，
则f(x)＜2的解集为。

16、关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1| + k = 0，给出下列四个命题：
A 、存在实数k 使得方程恰有2个不同的实根
B 、存在实数k 使得方程恰有4个不同的实根
C 、存在实数k 使得方程恰有5个不同的实根
D 、存在实数k 使得方程恰有8个不同的实根
（填上正确命题的序号）
17、设函数，1)，n = (cosx ，3sin2x)（x∈R）
（1）求f(x)的最小正周期与单调递减区间；
（2）在△ABC 中，a ， b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边。

已知f(A) = 2，b=1，△ABC 的面积为
23，求C
B c b sin sin ++的值。

18、以数列{a n }的任意相邻两项为坐标的点P n (a n ，a n+1)( n∈N *) 均在一次函数y=2x+k 的图
象上，数列{b n }满足条件：b n =a n+1－a n (n∈N *，b 1≠0)
（1）求证：数列{b n }是等比数列
（2）设数列{a n }和{b n }的前n 次和分别为Sn ，T n
若S 6=T 4，S 5=－9，求k 的值。

19、设函数f(x)=－4x+b ，不等式|f(x)|＜C 的解集为（－1，2）
（1）若函数g(x)=C
x a x f ++2)(是R 上的奇函数，求a 的值（2）解不等式
)
(4x f m x +＞0
20、在直角坐标系中XOY 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y+4=0相切，
（1）求圆O 的方程
（2）圆O 与X 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、||、|PB |成等比数列，求PA ·PB 的取值范围。

21、已知函数f(x)=x 3+3ax －1，g(x)=f ＇(x)－ax －5，其中f ＇(x)是f(x)的导函数
（1）若对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g(x) ＜0，求实数x 的取值范围
（2）设a=－m 3，当实数m 在什么范围内变化时，函数y= f(x)的图象与直线y=3只有一
个公共点
22、设数列{a n }的前n 项和)(3
223134*1N n a s n n n ∈+⨯-=
+ （1）求首项a 1与通项a n ；（2）设T n = )(2*N n s n
n ∈，证明：T 1 + T 2 + … + T n ＜23。