高一数学两条平行线间的距离
山东省烟台市高一数学上学期期末试题(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．32．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值X围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值X围是．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的X围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，某某数a的取值X围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年某某省某某市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．【分析】两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，分别化为：y=﹣x﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值X围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值X 围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选 C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）②．【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k和y=alog m x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件AC⊥BD或四边形ABCD为菱形时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A1C⊥B1D1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1BB1，则A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于135°．【分析】由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值X围是（4，+∞）．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x）有4个零点，只需当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），∴函数为偶函数，若f（x）有4个零点，∴当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a﹣4＞0，∴a＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为②③．【分析】①根据线面垂直性质可判断；②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可；③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°，∴cosθ=，故正确；③取BC中点N，∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，∴cos∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1﹣ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．【分析】（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BD ﹣A的正切值．【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，又EO⊂面BDE，AA1⊄面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，∴∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，在Rt△AOE中，tan∠AOE==．∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的X围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R （x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的X围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的X围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）设B（x0，y0），利用中点坐标公式可得：AB的中点M，代入直线CM．又点B在直线BT上，联立即可得出．（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M在直线CM上，所以+1=0，即3x0+2y0+6=0 ①…（2分）又点B在直线BT上，所以x0﹣y0+2=0 ②…（4分）由①②得：x0=﹣2，y0=0，即顶点B（﹣2，0）．…（6分）（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）因为k BC===﹣4，…（11分）所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，某某数a的取值X围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得aX围；令y=0，解得x=＞0，解得aX围．求交集可得：a＜﹣1．利用S△AOB= [﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为： +=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值X围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．∴S△AOB=|a﹣2|||==3+≥3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
点到直线距离2
太师庄中学高一数学必修2 导学案 编号： 编制：崔永学 审核： 时间：2012/4/22《点到直线的距离》第二课时班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价：学习目标：掌握平行线间距离的两种计算方法:(1)转化为点到直线距离计算(2)利用平行线间距离公式计算;掌握待定系数法求直线方程(1)点斜式 (2)斜截式教学重点：平行线间距离计算，待定系数法求直线方程教学难点：待定系数法表示直线方程学法指导：待定系数法求直线方程时，一般给点设点斜(若无斜率需讨论),给斜设斜截.一、梳理导学:1.若111222:,:l y k x b l y k x b =+=+,12//,l l 则满足条件是______________.2.直线方程的点斜式:_________________;斜截式:____________________.3.点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =_________________.4.(1,2)0P x y m ++=点到m =______.5.原点到直线3y kx k =+-.k6.若求两条平行线间的距离是否需要求出一条直线上所有点到另一条直线间的距离？二、例题讲解：问题1:求10x y +-=与2230x y +-=之间的距离.一般推广: 证明10Ax By C ++=与2120(,0,)Ax By C A B C C ++=≠不全为之间的距离d =三、合作探究问题3：直线l 与1:10l x y +-=平行，l 与1l l 的方程. (我们学过几种常见的待定系数法求直线方程？选择哪种合适?)问题4：直线l 经过点(1,2)P ，原点O 到直线l 的距离是1,求直线l 的方程.四、基础训练:1.直线21y x =+与2-30x y -=之间的距离是___________.2.直线l 到21y x =+l 方程.五、课堂检测:六、归纳总结：。
高一数学试题精选及答案
高一数学试题精选及答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，下列说法正确的是（ ） A. 函数f(x)的最小值是-1 B. 函数f(x)的最小值是2 C. 函数f(x)的最小值是8 D. 函数f(x)的最小值是0
2. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-3x+2=0}，则A∩B=（ ）
A. {1, 2} B. {2} C. {1} D. 空集
3. 若a，b，c是等差数列，则下列等式成立的是（ ） A. 2b=a+c B. 2a=b+c C. 2c=a+b D. 2a=b+c
4. 函数y=f(x)=x^3-3x+1的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知等比数列{an}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9为（ ）
A. 63 B. 49 C. 56 D. 84 6. 已知直线l：x-y+1=0与直线m：x+2y-2=0平行，则直线l与直线m之间的距离为（ ）
A. √2 B. √5 C. √10 D. √3
7. 若复数z满足|z-1|=|z+i|，则z对应的点在复平面上位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=0，则a的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 无解 9. 已知向量a=(3, -1)，b=(1, 2)，则向量a+2b的坐标为（ ） A. (5, 3) B. (7, 3) C. (5, 1) D. (7, 1)
10. 若函数f(x)=2sin(ωx+φ)的周期为π，则ω的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（每题4分，共20分） 11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值为______。 12. 已知等差数列{an}的公差为2，首项为1，则a_5的值为______。 13. 已知复数z=1+i，则|z|的值为______。 14. 已知直线l：2x-y+1=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，则|AB|的值为______。
高中数学必修二知识点总结
高中数学必修二知识点总结数学和语文这一学科其实也差不多，数学也有很多知识点是要背的。
下面是作者给大家整理的一些高中数学必修二知识点总结学习资料，期望对大家有所帮助。
高一数学必修二知识点归纳总结1.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判定函数奇偶性可用定义的等价情势：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判定其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称,高中数学;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;高二数学必修二知识点总结整理一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
高一数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高一数学两条直线的位置关系试题答案及解析1. 已知三条直线l 1：2x-y+a =" 0" (a ＞0)，直线l 2：-4x+2y+1 = 0和直线l 3：x+y-1= 0，且l 1与l 2的距离是．（1）求a 的值；（2）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条 件： ①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的 ； ③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是∶．若能，求P 点坐标；若不能，说明理由．【答案】（1）a = 3;（2）P(，)【解析】（1）将两直线方程化为同系数方程,利用两直线间距离公式计算得a = 3;（2）设点P(x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线：2x-y+c =" 0" 上,由平行线间的距离公式得=×，所以c =或c =,即2x 0-y 0+= 0或2x 0-y 0+= 0,若P 点满足条件③由点到直线的距离公式有x 0-2y 0+4= 0或3x 0+2 = 0,又结合条件①解得,即点P(，)为能同时满足三个条件的点.试题解析：（1）l 2方程变形为2x-y-= 0， ∴l 1与l 2的距离d ===，∴|| =，由a ＞0解得a = 3．（2）设点P(x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线：2x-y+c =" 0" 上． 且=×，解得c =或c =，∴2x 0-y 0+= 0或2x 0-y 0+= 0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有=·，即|| = ||，∴x 0-2y 0+4= 0或3x 0+2 = 0；由P 在第一象限，显然3x 0+2 = 0不可能， 联立方程2x 0-y 0+= 0和x 0-2y 0+4= 0，解得(舍去)，联立方程2x 0-y 0+= 0和x 0-2y 0+4= 0，解得，∴点P(，)即为能同时满足三个条件的点．【考点】直线的方程与位置关系及距离公式的应用2. 直线和的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定【答案】C【解析】两直线相交但不垂直；故选C.【考点】两直线的位置关系.3.直线，和交于一点，则的值是( )A．B．C．2D．-2【答案】B【解析】三条直线交于一点，实质就是其中一条直线经过另两条直线的交点.观察可知先求后两条直线的交点比较简便.由和得交点，再代入得的值为【考点】直线的交点.4.已知两条直线，之间的距离为，则 .【答案】或【解析】由两平行线间的距离公式（注意这两条平行线的方程的的系数必须相同）与已知条件可得即，所以，所以或.【考点】两平行线间的距离问题.5.过点作直线，使它被两相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程．【答案】【解析】设点坐标，线段的中点为，∴由中点公式，可设点坐标为，两点分别在直线和上，∴解得，由两点式可得直线的方程为．【考点】直线方程点评：直线方程有多种形式：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，在求直线方程时要结合已知条件选用合适的方程形式，本题已知中出现的点较多，因此采用两点式的思路，去求出另一点坐标6.已知直线过点（1）若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若直线与坐标轴的正半轴相交，求使直线在两坐标轴上的截距之和最小时，直线的方程。
高一数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》章末练习题卷含答案解析 (20)
高一数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.已知直线l过点(1,2)且到点A(3,3)和B(5,7)的距离相等，求直线l的方程．情况二、直线l过线段AB的中点(5,7)，直线l的方程为( )A．32B．54C．5x−4y+3=0D．3x−2y+1=0 2.已知直线l过点(2,1)和点(4,0)，则直线l的斜率为( )A．−2B．−12C．12D．23.“m=43”是“直线x−my+4m−2=0与圆x2+y2=4相切”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.已知实数x，y满足x2+y2+4x−6y+12=0，则y的最小值是( )A．4B．2C．−1D．−35.直线ax+by+a+b=0(ab≠0)和圆x2+y2−2x−5=0的交点个数为( )A．0B．1C．2D．与a，b有关6.对于平面直角坐标系内的任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：∣∣AB∣∣=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣．给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣=∣∣AB∣∣；②在△ABC中，∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣>∣∣AB∣∣；③在△ABC中，若∠A=90∘，则∣∣AB∣∣2+∣∣AC∣∣2=∣∣BC∣∣2．其中错误的个数为( )A．0B．1C．2D．37.圆x2+y2−2x=0与圆x2+y2+4y=0的位置关系是( )A．相离B．外切C．相交D．内切8.圆(x−2)2+(y+3)2=2上的点与点(0,−5)的最大距离为( )A．√2B．2√2C．4√2D．3√29.阿波罗尼斯（约公元前262∼190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k>0且k≠1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为√2，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是( )A．2√2B．√2C．2√23D．√2310.下列关于直线倾斜角的说法中，正确的是( )A．任意一条直线都有唯一的倾斜角B．一条直线的倾斜角可以为−π6C．倾斜角为0的直线只有一条，即x轴D．若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)二、填空题（共6题）11.已知0<k<4，直线l1:kx−2y−2k+8=0和直线l2:2x+k2y−4k2−4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．12.已知直线l的倾斜角为2α−20∘，则α的取值范围是．13.设圆(x−3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x−3y−2=0的距离等于1，则半径r取值范围的区间为．14.两条直线的夹角的取值范围为．15.过点A(2,−1)与B(1,2)半径最小的圆的方程为．16.若两圆x2+y2=4与x2+y2−2ax+a2−1=0相内切，则a=．三、解答题（共6题）17.已知圆C经过点O(0,0)，A(8,−4)，且圆心C在直线l:x−y−7=0上，求圆C的一般方程．18.直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0(a∈R)．(1) 若l在两坐标轴上的截距相等，求实数a的值；(2) 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．19.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M:x2+y2−12x−14y+60=0及其上一点A(2,4)．(1) 设圆N与x轴相切，与圆M内切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2) 设垂直于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B ，C 两点，且 BC =OA ，求直线 l 的方程； (3) 设点 T (0,t ) 满足：存在圆 M 上的两点 P ，Q ，使得 TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数 t 的取值范围．20. 已知两条直线的方程分别为 x +y +a =0 和 x +y +b =0，设 a ，b 是方程 x 2+x +c =0 的两个实数根，其中 0≤c ≤18，求两条直线间距离的最大值和最小值．21. 已知 △ABC 的顶点 B (3,4) 、 AB 边上的高所在的直线方程为 x +y −3=0，E 为 BC 的中点，且 AE 所在的直线方程为 x +3y −7=0． (1) 求顶点 A 的坐标；(2) 求过 E 点且在 x 轴、 y 轴上的截距相等的直线 l 的方程．22. 已知直线 l 1:ax +by +1=0（a ，b 不同时为 0），l 2:(a −2)x +y +a =0．(1) 若 b =−3 且 l 1⊥l 2，求实数 a 的值．(2) 当 b =3 且 l 1∥l 2 时，求直线 l 1 与 l 2 之间的距离．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】直线的一般式方程、两直线交点坐标与两点间距离公式2. 【答案】B【解析】由题意可知，直线l的斜率为0−14−2=−12．【知识点】直线倾斜角与斜率3. 【答案】A【解析】由直线x−my+4m−2=0与圆x2+y2=4相切，得√1+m2=2，解得m=0或m=43．则由m=43能推出直线x−my+4m−2=0与圆x2+y2=4相切，反之，由直线x−my+4m−2=0与圆x2+y2=4相切，不一定得到m=43，则“m=43”是“直线x−my+4m−2=0与圆x2+y2=4相切”的充分不必要条件．【知识点】直线与圆的位置关系4. 【答案】B【知识点】圆的一般方程5. 【答案】C【解析】因为直线ax+by+a+b=0(ab≠0)可化为a(x+1)+b(y+1)=0，所以直线恒过定点(−1,−1)，而(−1,−1)在圆x2+y2−2x−5=0内，故直线ax+by+a+b=0过圆内的点，则直线与圆相交，且有2个交点，故选C．【知识点】直线与圆的位置关系6. 【答案】B【解析】不妨设直线AB的方程为y=kx+b(k>0)，令x2>x0>x1，因为点C(x0,y0)在线段AB上，所以∣AC∣=∣x0−x1∣+∣y0−y1∣=(k+1)(x0−x1)，同理可得，∣CB∣=(k+1)(x2−x0)，∣AB∣=(k+1)(x2−x1)，因为∣∣AC∣+∣CB∣∣=(k+1)(x0−x1)+(k+1)(x2−x0)=(k+1)(x2−x1)=∣AB∣，所以①正确．②取C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，则∣AC∣+∣CB∣=∣AB∣=2，故②正确．③因为在△ABC中，若∠C=90∘，取C(1,1)，A(3,2)，则B在直线x+y=3上，不妨取B(0,3)，∣CA∣=∣3−1∣+∣2−1∣=2+1=3，∣CB∣=∣0−1∣+∣3−1∣=1+2=3，∣AB∣=∣3−0∣+∣2−3∣=4，显然，∣AC∣+∣CB∣≠∣AB∣，所以③错误．综上所述，其中真命题的个数为1．【知识点】直线的点斜式与斜截式方程7. 【答案】C【解析】圆O1:(x−1)2+y2=1，圆心O1(1,0)，半径r1=1．圆O2:x2+(y+2)2=4，圆心O2(0,−2)，半径r2=2．则有O1O2=√5，r2−r1<O1O2<r1+r2，故两圆相交．【知识点】圆与圆的位置关系8. 【答案】D【解析】圆(x−2)2+(y+3)2=2的圆心为(2,−3)，点(0,−5)与圆心的距离为√(2−0)2+(−3+5)2=2√2，又圆的半径为√2，故所求的最大距离为2√2+√2=3√2．【知识点】圆的标准方程9. 【答案】A【解析】如图，以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系：则：A(−1,0)，B(1,0)，设P(x,y)，因为∣PA∣∣PB∣=√2，所以√(x+1)2+y2√(x−1)2+y2=√2，两边平方并整理得：x2+y2−6x+1=0⇒(x−3)2+y2=8．所以当点P在点C或点D时，△PAB面积的最大值是12×2×2√2=2√2．【知识点】圆的标准方程、轨迹与轨迹方程10. 【答案】A【解析】任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；若直线的倾斜角为α，则α的取值范围是[0,π)，所以sinα∈[0,1]，故B错误，D错误；倾斜角为0的直线不唯一，所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角都是0，故C错误．【知识点】直线倾斜角与斜率二、填空题（共6题）11. 【答案】18【解析】直线l1:kx−2y−2k+8=0即k(x−2)−2y+8=0，过定点B(2,4)，与y轴的交点为C(0,4−k)；直线l2:2x+k2y−4k2−4=0，即2x−4+k2(y−4)=0，过定点(2,4)，与x轴的交点为A(2k2+2,0)．如图所示，由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为12×4×(2k2+2−2)+2×(4−k+4)2=4k2−k+8，所以k=18时，所求四边形的面积最小．【知识点】直线的基本量与方程12. 【答案】 10°≤α<100°【解析】由 0∘≤2α−20∘<180∘，得 10∘≤α<100∘． 【知识点】直线倾斜角与斜率13. 【答案】 (4,6)【知识点】直线与圆的位置关系14. 【答案】 [0,π2]【知识点】直线倾斜角与斜率15. 【答案】 (x −32)2+(y −12)2=52【解析】设所求的圆的圆心为 C ，圆的半径为 R ，圆心到直线 AB 的距离为 d ，则 R 2=d 2+(AB 2)2，由已知得 AB =√(2−1)2+(−1−2)2=√10，要使半径 R 最小，则需 d 最小，d 最小是 0，此时圆的圆心为 AB 的中点，圆的直径为 AB ， 圆的方程是 (x −32)2+(y −12)2=(√102)2，即(x −32)2+(y −12)2=52．【知识点】圆的标准方程16. 【答案】 ±1【知识点】圆与圆的位置关系三、解答题（共6题）17. 【答案】设圆 C 的一般方程为 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则 {F =0,64+16+8D −4E +F =0,−D2−(−E2)−7=0,解得 {D =−6,E =8,F =0,所以圆 C 的一般方程为 x 2+y 2−6x +8y =0． 【知识点】圆的一般方程18. 【答案】(1) 当直线 l 过原点时，直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距都为 0，相等， 所以 2−a =0，a =2．所以直线 l 的方程为 3x +y =0．若 a ≠2，且 a ≠−1，则 a−2a+1=a −2，即 a +1=1， 所以 a =0，所以直线 l 的方程为 x +y +2=0． 所以实数 a 的值为 0 或 2．(2) 当直线 l 过原点时，直线 l 的方程为 y =−3x ，直线 l 经过第二象限，不合题意； 若直线 l 不过原点，且 l 不经过第二象限，则 {a +1=0,a −2<0. 或 {−(a +1)>0,a −2<0.解得 a ≤−1．故实数 a 的取值范围为 (−∞,−1]．【知识点】直线的一般式方程、直线的两点式与截距式方程19. 【答案】(1) (x −6)2+(y −6)2=36． (2) y =−12x −32 或 y =−12x +132．(3) 4−4√6≤t ≤4+4√6．【知识点】圆的切线、直线与圆的位置关系、直线与圆的综合问题、圆与圆的位置关系20. 【答案】由一元二次方程根与系数的关系，得 a +b =−1，ab =c ．易知两条直线平行，设两条平行直线间的距离为 d ，则 d =√2，所以 d 2=(a+b )2−4ab2=12−2c (0≤c ≤18)，因为 d 2 是关于 c 的单调递减函数，所以当 c =0 时，d 2 有最大值，且 d max 2=12，即 d max =√22； 当 c =18 时，d 2 有最小值，且 d min 2=14，即 d min =12．所以两条直线间距离的最大值为√22，最小值为 12． 【知识点】两直线交点坐标与两点间距离公式21. 【答案】(1) 由题意得 k AB =1，所以直线 AB 的方程为 y −4=x −3，即 x −y +1=0． 已知 AE 所在的直线方程为 x +3y −7=0， 由 {x −y +1=0,x +3y −7=0, 解得 {x =1,y =2,所以 A 的坐标为 (1,2)．(2) 设 E (x 0,y 0)，则 C (2x 0−3,2y 0−4)．因为点 E 在直线 AE 上，点 C 在直线 x +y −3=0 上， 所以 {x 0+3y 0−7=0,(2x 0−3)+(2y 0−4)−3=0, 解得 {x 0=4,y 0=1,即点 E 的坐标是 (4,1)．因为直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距相等，所以当直线 l 经过原点时，设直线 l 的方程为 y =kx ， 把点 E (4,1) 代入，得 1=4k ，解得 k =14，此时直线 l 的方程为 x −4y =0．当直线 l 不经过原点时，设直线 l 的方程为 xa +ya =1， 把点 E (4,1) 代入，得 4a+1a =1，解得 a =5，此时直线 l 的方程为 x +y −5=0．综上所述，所求直线 l 的方程为 x −4y =0 或 x +y −5=0．【知识点】直线的两点式与截距式方程、两直线交点坐标与两点间距离公式22. 【答案】(1) 当 b =−3 时，l 1:ax −3y +1=0，由 l 1⊥l 2 知 a (a −2)−3=0，解得 a =−1 或 a =3． (2) 当 b =3 时，l 1:ax +3y +1=0，当 l 1∥l 2 时，有 {a −3(a −2)=0,3a −1≠0, 解得 a =3，此时，l 1 的方程为：3x +3y +1=0，l 2 的方程为：x +y +3=0，即 3x +3y +9=0， 则它们之间的距离为 d =√32+32=4√23． 【知识点】直线与直线的位置关系、点到直线的距离与两条平行线间的距离。
高一数学必修一常用公式及常用结论
高中数学必修一、二常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=3．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.5.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，假设[]q p abx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2bf x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，假设[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，假设[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 6.一元二次方程的实根分布〔画抛物线帮助理解〕依据：假设()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则〔1〕方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；〔2〕方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；〔3〕方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .7.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L 〔形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同〕上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.8.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. 9.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 10．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．11.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=; 12．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.13.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数)(x f y =和它的反函数)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.14.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x xα=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.15.分数指数幂(1)1m na =〔0,,a m n N *>∈，且1n >〕.(2)1m nm na a-=〔0,,a m n N *>∈，且1n >〕.16．根式的性质〔1〕n a =. 〔2〕当n为奇数时，a =；当n为偶数时，,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.17．有理指数幂的运算性质(1) (0,,)rs r s aa a a r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)rs rs aa a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈. 注： 假设a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.18.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.19.对数的换底公式log log log m a m NN a= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠,0N >).20．对数的四则运算法则假设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N=+;(2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()naa M n M n R =∈. 推论log log m na a nb bm=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠,0N >).21.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx axx f m ,记ac b 42-=∆.假设)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;假设)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 32. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.33.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或的解的步骤：求两根，画草图，确定解集。
(2)点到直线的距离公式
备课组组长王亚中编写人屈存香审核人王亚中教学课时 1教学课题§1.5 平面直角坐标系中的距离公式（2）点到直线的距离公式个人修订教学目标知识与技能理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；过程与方法通过实例推出点到直线的距离公式并能利用公式求点到直线的距离。
情感态度与价值观认识事物之间在一定条件下的转化。
用联系的观点看问题教学重点运用点到直线的距离公式解题教学难点点到直线距离公式的理解与应用.教学过程（一）、情境设置，导入新课前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。
逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离。
（二）、研探新课1．点到直线距离公式：（1）提出问题在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为),(yx，直线＝0或B＝0时，以上公式0:=++CByAxl，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?学生可自由讨论。
（2）数行结合，分析问题，提出解决方案学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长.这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
（3）得出结论：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200B A CBy Ax d +++=（三）、例题应用，解决问题。
例1 求点P （-1，2）到直线 3x=2的距离。
解：d=()223125330⨯--=+ 例2 已知点A （1，3），B （3，1），C （-1，0），求三角形ABC 的面积。
解：设AB 边上的高为h ，则S ABC =12AB h • ()()22311322AB =-+-=，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离。
人教版高一数学课件最新5篇
人教版高一数学课件最新5篇人教版高一数学知识点总结篇一1、多面体的结构特征（1）棱柱有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，每相邻两个四边形的公共边平行。
正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形。
（2）棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥。
特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体。
反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
（3）棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形。
2、旋转体的结构特征（1）圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到。
（2）圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到。
（3）圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到。
（4）球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到。
3、空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。
三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽。
若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法。
4、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：（1）画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°或一叁5°，已知图形中平行于x轴、y 轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴。
高一数学教案：点到直线的距离公式教案
【摘要】欢迎来到查字典数学网高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。
因此小编在此为您编辑了此文：高一数学教案：点到直线的距离公式教案希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高一数学教案：点到直线的距离公式教案一、三维目标：1、知识与技能：理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式;??2、能力和方法：会用点到直线距离公式求解两平行线距离3、情感和价值：认识事物之间在一定条件下的转化。
用联系的观点看问题二、教学重点：点到直线的距离公式教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.三、教学方法：学导式教具：多媒体、实物投影仪四、教学过程(一)、情境设置，导入新课前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。
逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。
要求学生思考一直线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导?两条直线方程如下：(二)、研探新课1.点到直线距离公式：点到直线的距离为：(1)提出问题在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线=0或B=0时，以上公式，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?学生可自由讨论。
(2)数行结合，分析问题，提出解决方案学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长.这里体现了画归思想方法，把一个新问题转化为一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ 可知，直线PQ的斜率为 (A0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A0，B0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点 ;作轴的平行线，交于点，由得 .所以，|PR|=| |= ，|PS|=| |=|RS|= | |由三角形面积公式可知： |RS|=|PR||PS|，所以。