平面向量数乘运算的坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)【学习目标】两个向量共线的坐标表示(1) 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )．(2)若用坐标表示，可写为 (x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，即⎩⎨⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，可得向量 a ，b (b≠0)共线的充要条件 .注意：平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) (2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2.( )(3)若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量．( )(4)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )(5)已知a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则m ＝－12.( ) 2.已知a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)，若a ∥b ，则实数λ的值为________．【经典例题】题型一 向量共线的坐标表示点拨：(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或b →＝λa →验证． (2)判断AB →∥CD →，只要把点的坐标代入公式x 1y 2－x 2y 1＝0，看是否成立．【跟踪训练】1 已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________．题型二 三点共线问题点拨：三点共线问题转化成向量共线问题，向量共线常用的判断方法有两种： 一是直接用AB→与＝λAC →；二是利用坐标运算.例2已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断A ，B ，C 三点之间的位置关系。
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
λb(b≠0).
（2）利用坐标
表达式x1y2－
x2y1＝0.
向量共线的坐
标表达式x1y2－
x2y1＝0可简记
为：纵横交错
积相减.
1.数学抽象：向
量数乘运算的坐标
表示.
2.逻辑推理：推
导共线向量的坐标
表示.
3.数学运算：用
坐标进行向量的相
关运算，由向量共
线求参数的值.
环节七：目标检测，作业布置
完成教材：
习题6.3 第 6,13题
练习（第33页）
1. 已知a (3, 2), b (0, 1), 求 2a 4b, 4a 3b 的坐标.
2a 4b 2(3, 2) 4(0, 1) ( 6, 4) (0, 4) ( 6, 8),
4a 3b 4(3, 2) 3(0, 1) (12, 8) (0, 3) (12, 5)
4 ( 7.5) 5 ( 6) 30, AB与CD共线.
4. 求线段AB的中点坐标：
(1) A(2, 1), B(4, 3);
(1) (3, 2)
(2) A( 1, 2), B(3, 6);
(2) (1, 4)
(3) A(5, 4), B(3, 6)
(3) (4, 5)
OA OB
,
,1 ,
3
3
3
3
3
10
即点P的坐标为 ,1
3
当 AP 2 PB时,
1
2
2 2 6 3 2 ( 3) 14
OP OA AP OA OB
第六章 6.3 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示精品课件
6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
PPT教学课件
必修第二册·人教数学A版
返回导航 上页 下页
PPT模 板 ： ./moban/
PPT素 材 ： ./sucai/
PPT背 景 ： ./beijing/
PPT图 表 ： ./tubiao/
PPT下 载 ： ./xiazai/
英 语 课 件 ： ./kejian/yingyu/ 美 术 课 件 ：./kejian/meishu/
科 学 课 件 ： ./kejian/kexue/ 物 理 课 件 ：./kejian/wuli/
化 学 课 件 ： ./kejian/huaxue/ 生 物 课 件： ./kejian/shengwu/
手 抄 报 ： ./shouchaobao/ PPT课 件 ： ./kejian/
语 文 课 件 ： ./kejian/yuwen/ 数 学 课 件 ：./kejian/shuxue/
英 语 课 件 ： ./kejian/yingyu/ 美 术 课 件 ：./kejian/meishu/
科 学 课 件 ： ./kejian/kexue/ 物 理 课 件 ：./kejian/wuli/
个 人 简 历 ：./jianli/
试 卷 下 载 ： ./shiti/
教 案 下 载 ：./jiaoan/
手 抄 报 ： ./shouchaobao/ PPT课 件 ： ./kejian/
语 文 课 件 ： ./kejian/yuwen/ 数 学 课 件 ：./kejian/shuxue/
英 语 课 件 ： ./kejian/yingyu/ 美 术 课 件 ：./kejian/meishu/
平面向量数乘运算的坐标表示
即ቊ
1 = 2 .
消去，得1 2 − 2 1 = 0.
所以，向量，
Ԧ
( ≠ 0)共线的充要条件是
1 2 − 2 1 = 0. 两内积等于两外积
典型例题
例7 已知Ԧ = (4 ，2)， = (6 ，)，且Ԧ ∥ ，求.
例8 已知(−1 ， − 1) ，(1 ，3) ，(2 ，5)，判断A，B，C三点之
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
复习回顾
１.向量的坐标表示
２.向量加、减法的坐标表示
问题1： 已知 Ԧ = ( ，) ，怎样计算的坐标？
Ԧ
新知探究
Ԧ = (Ԧi + Ԧj) = Ԧi + Ԧj，
即
Ԧ = (Leabharlann ， ).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
间的位置关系.
典型例题
例9 设P是线段1 2 上的一点，点1 ，2 的坐标分别是(1 ，1 )，(2 ，2 ) .
（1）当P是线段1 2 的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段1 2 的一个三等分点时，求点P的坐标.
中点坐标公式：若点1 ，2 的坐标分别为(1 ，1 )，(2 ，2 ) ，线段1 2 的中
Ԧ
2.当为何值时， =(2,
Ԧ
3)与 =(, -6)共线?
3.若点 −2， − 3 ， 2, 2 ， －1, 3 ， −7， − 4.5 ，则AB与
CD是否共线?
4.求线段AB的中点坐标:
（1）(2, 1)，(4，3); (2) A(−1, 2)，(3, 6);
(3) (5, －4)， (3， − 6).
5.已知点O (０, ０)，向量=(2, 3), =(6, -3)， 点P是线段AB的三
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示教学设计-2023-2024学年高一下数学人教A版2019必修二
教学设计课程基本信息课题平面向量数乘运算的坐标表示教学目标1.会类比向量加、减法运算的坐标表示，得到平面向量数乘运算的坐标表示，提升逻辑推理素养.2. 能用坐标表示平面向量共线的条件，能利用向量共线求点的坐标，提升数学运算素养.教学内容教学重点：1. 掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2. 能用坐标表示平面向量共线的条件，能利用向量共线求点的坐标.教学难点：1.理解用坐标表示两向量共线的条件.2. 理解利用向量共线求定比分点的坐标.教学过程一、复习旧知，创设问题，引入新知1、向量加、减运算的坐标表示：a⃗=(x1,y1)，b⃗⃗=(x2,y2),a⃗+ b⃗⃗=(x1+x2,y1+y2), a⃗−b⃗⃗=(x1−x2,y1−y2).2、已知a⃗=xi⃗+yj⃗，则λa⃗=λ(xi⃗+ yj⃗ )=λxi⃗ +λyj⃗.设计意图：通过复习前面所学知识，引入本节新课。
建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.创设问题，引入新知教师引导学生思考：已知a⃗=(x,y)，你能得出λa⃗的坐标吗？教师讲解根据向量的坐标表示，a⃗用i⃗与j⃗可以表示成a⃗=xi⃗+yj⃗,λa⃗=λ(xi⃗+ yj⃗ )=λ(xi⃗ )+λ(yj⃗ )=λxi⃗ +λyj⃗ ,即λa⃗=(λx ,λy ).小结：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 即已知a⃗= (x,y)，则λa⃗=(λx ,λy ).设计意图：通过学生的思考，教师的讲解使学生真正理解向量的数乘运算的坐标表示，提升学生逻辑推理素养.二、巩固新知（一）线性运算的坐标表示例1：已知a⃗=(−1,2)，b⃗⃗=(2,1).求：（1）2a⃗⃗+3b⃗⃗；（2）a⃗⃗−3b⃗⃗；（3）12a⃗⃗−13b⃗⃗.[解析]（1）2a⃗+3b⃗⃗=2(−1,2)+3(2,1)=(−2,4)+(6,3)=(4,7).（2）a⃗−3b⃗⃗=(−1,2)−3(2,1)=(−1,2)−(6,3)=(−7,−1).（3）12a⃗−13b⃗⃗=12(−1,2)−13(2,1)=(−12,1)−(23,13)=(−76,23).小结：a⃗⃗=(x1,y1),b⃗⃗=(x2, y2),则ma⃗⃗+nb⃗⃗=(mx1+n x2,my1+n y2)设计意图：通过教师讲解，学生动手练习，帮助学生巩固向量加、减法及数乘运算的坐标表示，让学生理解向量的线性坐标运算法则，发展学生的数学运算素养.（二）探究向量共线的坐标表示已知向量a⃗=(x1,y1),b⃗⃗=(x2, y2)，如何用坐标来表示两个向量共线的充要条件？请你试着写出来并加以验证.学生复习回顾两个向量共线的充要条件，学习课本31页.例2：判断正误（1）若向量a⃗=(x1,y1)，b⃗⃗=(x2,y2)，且x1y1−x2y2=0，则a⃗∥b⃗⃗.( )（2）若向量a⃗=(x1,y1)，b⃗⃗=(x2,y2)，则a⃗∥b⃗⃗的充要条件是x1x2 = y1y2.( )（3）若向量a⃗=(x1,y1)，b⃗⃗=(x2,y2)，则a⃗∥b⃗⃗的充要条件是x1y2−x2y1＝0.( ) （4）向量a⃗=(1,3)与向量b⃗⃗=(4,12)共线.( )[答案] （1）不正确；（2）不正确；（3）正确；（4）正确.小结：两个向量共线的特征1. 代数方面：当b⃗⃗≠0⃗⃗时，a⃗⃗∥b⃗⃗⟺a⃗⃗=λb⃗⃗.注意：充要性的前提条件.2. 坐标方面：已知a⃗⃗=(x1,y1)，b⃗⃗=(x2,y2) ，a⃗⃗∥b⃗⃗则有（1） x 1 y 2−x 2 y 1=0 ．注意：用坐标交叉之积相等解决共线问题的优点是不需要引入参数“λ”. （2）当x 2 y 2≠0时，x 1x 2= y1y 2.注意：用坐标成比例解决共线问题的优点是有助于记忆，不易出现搭配错误.3.几何方面：已知A , B ,C 三点共线,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 注意：由此可得课本15页的例7设计意图：学生通过探究，可以更加清晰的理解知识的来龙去脉，再配以概念判断，使学生清楚明白知识的使用条件，最后给学生总结出相关结论，让学生经历概括总结所学知识的过程，使学生从中感悟抽象、概括等重要的数学学习方式，体会数学抽象、逻辑推理对数学知识产生发展的重要作用.例3. 已知向量a ⃗=(4,2)，b ⃗⃗=(6,y)，且a ⃗∥b ⃗⃗，求y. [解析]∵a ⃗∥b⃗⃗ , ∴4y −2×6=0, 得 y =3. 设计意图：帮助学生运用向量共线的坐标表示去进行计算，理解其中的算理，发展学生的数学运算素养.例4. 已知A(−1,−1)，B(1,3)，C(2,5)，判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.[解析]∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1+1,3+1)=(2,4) , AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2+1,5+1)=(3,6), 又∵2×6−3×4=0，∴AB → ∥AC →.又直线AB ，直线AC 有公共点A ， ∴A,B,C 三点共线.设计意图：通过学生操作、观察，进一步巩固所学知识，提高学生运用向量知识解决问题的能力，发展学生直观想象和逻辑推理素养.三、探究：等分点问题 探究：设P 是线段P 1P 2 上的一点，点P 1, P 2 的坐标分别是（x 1,y 1 ），（x 2,y 2）. （1）当P 是线段P 1P 2 的中点时，试确定点P 的坐标； （2）当P 是线段P 1P 2 的一个三等分点时，试确定点P 的坐标. [解析]（1） OP → =12(OP 1→ +OP 2→ )=(x 1+x 22,y 1+y 22),∴ 点P 的坐标是(x 1+x 22,y 1+y 22).（2）当P 是线段P 1P 2 的一个三等分点时，有两种情况即P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗或P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 当P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗时，如图 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13(OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=23OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2x 1+x 23,2y 1+y 23) ∴点P 的坐标是(2x 1+x 23,2y 1+y 23).当P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗时，如图OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23(OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=13OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1+2x 23,y 1+2y 23)，∴点P 的坐标是(x 1+2x 23,y 1+2y 23).小结：1、中点坐标公式已知P 1（x 1,y 1 ）, P 2（x 2,y 2）,则线段P 1P 2 的中点P 的坐标(x,y)满足{x =x 1+x 22,y =y 1+y 22.2、线段P 1P 2 的端点P 1，P 2 的坐标分别是(x 1,y 1)，(x 2, y 2)，点P 是直线P 1P 2 上的一点.当P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ≠−1)时，点P 的坐标是(x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ).设计意图：学生通过探究学会利用向量共线解决几何问题，体会知识间的联系，认识数学解题的过程就是依据数学的概念、法则、定理、公式等进行命题转化的过程，提高学生的解决问题、分析问题的能力.四、课堂总结：1、知识点：向量数乘运算的坐标表示;两个向量共线的特征，等分点的坐标；2、数学思想：数形结合、方程的思想、类比的思想;3、易错点： x 1y 2−x 2y 1=0.设计意图: 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 五、目标检测 【基础过关】1.已知向量a ⃗＝(5,2)，b ⃗⃗＝(－4，－3)，若c ⃗满足3a ⃗－2b ⃗⃗＋c ⃗＝0，则c ⃗＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)[解析] 由3a ⃗－2b ⃗⃗＋c ⃗＝0，∴c ⃗＝－3a ⃗＋2b ⃗⃗＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)， ∴c ⃗＝(－23，－12).故选A设计意图：考查学生运用坐标求解向量线性运算的能力. 2.若a ⃗＝(3，cos α)，b ⃗⃗＝(3，sin α)，且a ⃗∥b ⃗⃗，则锐角α＝__. [解析] ∵a ⃗＝(3，cos α)，b ⃗⃗＝(3，sin α)，a ⃗∥b ⃗⃗， ∴3sin α－3cos α＝0，即tan α＝3， 又0<α<π2，故α＝π3.设计意图：考查学生运用向量共线的坐标表示进行推理计算的能力. 【拓展提升】3. 设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(k,12)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(4,5)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(10，k)，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？ [解析] 若，A ，B ，C 三点共线，则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗－OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(4－k ，－7)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗－OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0．解得k ＝－2或k ＝11．设计意图：考查学生将三点共线问题转化为方程组问题求解的能力. 六、实践作业：线段P 1P 2 的端点P 1，P 2 的坐标分别是(x 1,y 1)，(x 2, y 2)，点P 是直线P 1P 2 上的一点.当P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ≠−1)时，根据等分点问题中得出的点P 的坐标，请同学自己给λ赋不同的值，画出点P 的位置，思考：当点P 分别在线段P 1P 2上，在线段P 1P 2的延长线和反向延长线上时，λ的取值范围分别是什么？[解析] 当点P 在线段P 1P 2上时，λ∈[0，+∞）,特别地，当点P 与点P 1重合时，λ=0； 当点P 在线段P 1P 2的延长线上时，λ∈（−∞，−1）；当点P 在线段P 1P 2的反向延长线上时，λ∈（−1，0）.。
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
1. 对于平面内的任一向量a，由 平面向量基本定理可得，有且 只有一对实数x、y，使得
y yj a
a=xi+yj。我们把有序数对（x，
xi
y）叫做向量a的坐标，记作a= j
（x，y）
Oi
x
2. 向量的坐标运算： ar (x1，y1)
r b (x2，y2 )
ar ar
a b
思考: 设 a =(x1，y1),b =(x2，y2)，若向 量 a ，b 共线（其中 b ≠ 0），则这两个向 量的坐标应满足什么关系？
结论r : 设r a =(x1，y1),b =(x2，y2),（其 中 b 0）,当且仅当
x1y 2 -x2y1 = 0
向量 a与向量 b 共线。
r rr r 即：a / /b(b 0) x1y2 x2 y1 0
探究：
1. 消去时能不能两式相除?
不能两式相除，Q rr
y1,
y2有可能为
0，
又b 0, x2, y2中至少有一个不为 0
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
不能, Q x1, x2有可能为 0 .
例6.
rrr
r
已知a / /b,且a =(4,2),b =(6,y),求y的值;
rr
u = 2a - br,且m// u,求r x的值. x = - 2r r
2. 已知向量a = (3, 4),b = (cosa ,sin a ),且a // b,
求tan a的值.
tan a = 4
r
3
3、与a (12,5)平行的单位向量是（ C ）
（A）（12 ，5） 13
（B）（ 12， 5 ） 13 13
平面向量的数乘运算坐标表示课件高一下学期数学人教A版
变式： 设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1), (x2，y2)． （1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
【解析】解法1：（1）当点P是线段P1P2的中点时，设P(x，y)
因为 P1P PP2 所以 (x x1, y y1) (x2 x, y2 y)
平面向量数乘运算的坐标表示
课标定位
学习 目标
1. 掌握 实数与向量 的积的坐标 运算法则 进行有关的 运算
学习 目标
2.理解用坐 标表示的平 面向量共线 的条件，会 根据平面向 量的坐标判 断向量是否 共线.
重点
通过本节课 的学习，要 求能掌握平 面向量的数 乘运算，并 能解决与共 线相关的线 性运算及判 断.
目录
01
温
故
知
新
02
例
题
讲
解
03
当
堂
检
测
04
课
堂
小
结
PART 01 温故知新
复习回顾 问题1：什么是正交分解？ 问题2：向量的加法如何用坐标表示？
运算
坐标表示
和（差） 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2）， a–b=（x1–x2，y1–y2）．
任一向量 的坐标 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）．
1 2
PP2
或
P1P
2PP2
.
当 P1P
2PP2
时，OP=OP1 + P1P=OP1 +
2 3
P1P2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示学习指导核心素养1.会用坐标表示平面向量的数乘运算．2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1.数学运算：平面向量坐标的数乘运算．2.逻辑推理：平面向量共线的判定．[学生用书P24]1．平面向量数乘运算的坐标表示 符号表示 若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )文字表示实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标2.平面向量共线的坐标表示 条件 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0 结论向量a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝03.中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．把x 1y 2－x 2y 1＝0写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0可以吗？怎样记忆此公式的表达形式？提示：写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，这一公式可简记为：纵横交错积相减．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．( )(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) 答案：(1)√ (2)√2．已知向量a ＝(4，2)，b ＝(x ，3)且a ∥b ，则x ＝( ) A ．9 B ．6 C ．5 D ．3答案：B3．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝________． 答案：(5，7)4．已知P (2，6)，Q (－4，0)，则PQ 的中点坐标为________． 答案：(－1，3)[学生用书P25]探究点1 向量数乘的坐标运算(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23，12) C ．(7，0)D ．(－7，0)(2)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM → ＝3 CA → ，CN → ＝2 CB →，求点M ，N 的坐标．【解】 (1)选A.因为a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，且c 满足3a －2b ＋c ＝0，所以c ＝2b －3a ＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12).(2)方法一：因为A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA →＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3). 因为CM → ＝3 CA → ，CN → ＝2 CB → ，所以CM → ＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2(6，3)＝(12，6). 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)， CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6).所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3＝12，y 2＋4＝6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝20，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝2. 所以M (0，20)，N (9，2).方法二：设O 为坐标原点，则由CM → ＝3 CA → ，CN → ＝2 CB →， 可得OM → －OC → ＝3(OA → －OC → )，ON → －OC → ＝2(OB → －OC →)， 所以OM → ＝3 OA → －2 OC → ，ON → ＝2 OB → －OC → . 所以OM →＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2). 所以M (0，20)，N (9，2).向量数乘坐标运算的三个关注点(1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用；(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题； (3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题．已知A ，B ，C 的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则AB → ＋2BC →＝____________，BC →－12AC → ＝____________．解析：因为A (2，－4)，B (0，6)，C (－8，10)，所以AB → ＝(－2，10)，BC → ＝(－8，4)，AC →＝(－10，14)， 所以AB → ＋2BC → ＝(－18，18)，BC →－12 AC → ＝(－3，－3).答案：(－18，18) (－3，－3) 探究点2 向量平行(共线)的判定(1)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4).若(3a －b )∥(a ＋kb )，则k ＝________． (2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断AB → 与AC →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】 (1)3a －b ＝(0，－10)，a ＋kb ＝(1＋3k ，－2＋4k )， 因为(3a －b )∥(a ＋kb )，所以0－(－10－30k )＝0. 所以k ＝－13 .故填－13.(2)因为AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， AC →＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为2×6－3×4＝0，所以AB → ∥AC → ，所以AB → 与AC →共线． 又AB → ＝23AC → ，所以AB → 与AC →的方向相同．(变设问)若本例(1)条件不变，判断向量3a －b 与a ＋kb 是反向还是同向？ 解：由向量3a －b 与a ＋kb 共线，得k ＝－13 ，所以3a －b ＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a ＋kb ＝a －13 b ＝(1，－2)－13 (3，4)＝⎝⎛⎭⎫0，－103 ＝13(0，－10).所以向量3a －b 与a ＋kb 同向．(1)向量共线的判定方法三点共线问题的实质是向量共线问题．(2)利用向量的坐标运算求参数用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)进行求解．1．下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B ．a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)解析：选D.A 选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0， 所以a 与b 不平行；B 选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，所以a 与b 不平行；C 选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，所以a 与b 不平行；D 选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，所以a ∥b ，故选D.2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________．解析：因为a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，所以λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3). 因为向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，解得λ＝2. 答案：2探究点3 向量共线的应用 [问题探究]证明三点共线可利用向量法，其实质是什么？探究感悟：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(1)已知OA → ＝(3，4)，OB → ＝(7，12)，OC →＝(9，16)，求证：点A ，B ，C 三点共线；(2)已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP → |＝2|PB →|，求点P 的坐标．(1)【证明】 由题意知AB → ＝OB → －OA →＝(4，8)， AC → ＝OC → －OA → ＝(6，12)，所以AC →＝32 AB → ，即AB → 与AC →共线．又因为AB → 与AC →有公共点A ，所以点A ，B ，C 三点共线． (2)【解】 设点P 的坐标为(x ，y )，因为|AP → |＝2|PB → |，所以P 在线段AB 上时，AP → ＝2PB → ， 所以(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，0 ；当P 在线段AB 的延长线上时，AP → ＝－2PB → ， 所以(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8， 所以点P 的坐标为(－5，8)，综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，0 或(－5，8).1．(变条件)若将本例(2)条件“|AP → |＝2|PB → |”改为“AP → ＝3PB → ”，其他条件不变，求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x ，y ).因为AP → ＝3PB →，所以(x －3，y ＋4)＝3(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3－3x ，y ＋4＝6－3y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12 . 2．(变条件)若将本例(3)条件改为“经过点P (－2，3)的直线分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，且|AB → |＝3|AP →|”，求点A ，B 的坐标．解：由题设知，A ，B ，P 三点共线， 且|AB → |＝3|AP →|.设A (x ，0)，B (0，y ). ①点P 在A ，B 之间，则有AB → ＝3AP →， 所以(－x ，y )＝3(－2－x ，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－6－3x ，y ＝9， 解得x ＝－3，y ＝9，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9). ②点P 不在A ，B 之间，则有AB → ＝－3AP → ， 易得点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0 ，(0，－9). 综上，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或⎝⎛⎭⎫－32，0 ，(0，－9).判断向量(或三点)共线的3个步骤设点A (x ，1)，B (2x ，2)，C (1，2x )，D (5，3x )，当x 为何值时，AB →与CD →共线且方向相同？此时A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB →＝(2x ，2)－(x ，1)＝(x ，1)， BC →＝(1，2x )－(2x ，2)＝(1－2x ，2x －2)， CD →＝(5，3x )－(1，2x )＝(4，x ).由AB → 与CD →共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2. 又AB → 与CD →方向相同，所以x ＝2.所以当x ＝2时，AB → 与CD →共线且方向相同． 此时，AB → ＝(2，1)，BC →＝(－3，2)， 而2×2≠－3×1，所以AB → 与BC →不共线， 所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上． 所以A ，B ，C ，D 四点不在同一条直线上．[学生用书P26]1．下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－1，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1 B ．a ＝⎝⎛⎭⎫3，34 ，b ＝⎝⎛⎭⎫2，32 C ．a ＝(2，3)，b ＝(2，－3) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)解析：选D.选项A 中，2×12 －(－1)×1≠0，则a 与b 不共线；同理，B ，C 中的两向量不共线；选项D 中，2×6－(－3)×(－4)＝0，则有a ∥b .2．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析：选C.由a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).3．已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5，2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13解析：选C.设C (6，y )，因为AB → ∥AC →， 又AB → ＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)， 所以－8×(y ＋6)－3×8＝0，所以y ＝－9.4．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4).设AB → ＝a ，BC → ＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n 的值．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8).(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2)因为a ＝mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.[学生用书P175(单独成册)][A 基础达标]1．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( ) A ．(1，－2) B ．(9，3) C ．(－1，2)D ．(－4，－8)解析：选D.由题意得AB → ＝(1，2)，结合选项可知a ＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4AB →，所以D 正确．2．设向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R)，则λ＋x 的值为( ) A ．－112B ．112C ．－292D ．292解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14.所以λ＋x ＝－292，故选C.3．在△ABC 中，A (2，3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG → ＝2GD →，则点C 的坐标是( )A ．(－4，2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4，2)解析：选B.设点C 的坐标为(x ，y )，则点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫8＋x 2，－4＋y 2 .由AG → ＝2GD →可得4＋x ＝0，－2＋y ＝－4，解得x ＝－4，y ＝－2，故点C 的坐标为(－4，－2).4．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋kb ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值是( )A ．－72B ．－12C ．－43D ．－83解析：选B.v ＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u ＝(1，2)＋k (0，1)＝(1，2＋k ).因为u ∥v ，所以2(2＋k )－1×3＝0，解得k ＝－12.5．(多选)若三点A (4，3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，则下列式子正确的是( ) A ．2m －n ＝3 B ．n －m ＝1 C ．m ＝3，n ＝3D ．m －2n ＝3解析：选AC.因为三点A (4，3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，所以AB → ＝λAC →，所以(1，m －3)＝λ(2，n －3)，所以λ＝12 ，所以m －3＝12 (n －3)，即2m －n ＝3.当m ＝3时，n ＝3.6．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________． 解析：2a ＋b ＝2(1，2)＋(2，－2)＝(4，2)，c ＝(1，λ)，由c ∥(2a ＋b )，得4λ－2＝0，得λ＝12.答案：127．已知A (－1，2)，B (2，8).若AC → ＝13 AB → ，DA → ＝－23 AB → ，则CD →的坐标为________．解析：AC →＝13 AB → ＝13 (3，6)＝(1，2)，DA →＝－23 AB → ＝－23 (3，6)＝(－2，－4)，DC → ＝DA → ＋AC →＝(－1，－2)， 所以CD →＝(1，2). 答案：(1，2)8．已知OA → ＝(－2，m )，OB → ＝(n ，1)，OC →＝(5，－1)，若点A ，B ，C 在同一条直线上，且m ＝2n ，则m ＋n ＝________．解析：AB → ＝OB → －OA →＝(n ，1)－(－2，m )＝(n ＋2，1－m )， BC → ＝OC → －OB →＝(5，－1)－(n ，1)＝(5－n ，－2). 因为A ，B ，C 共线，所以AB → 与BC →共线， 所以－2(n ＋2)＝(1－m )(5－n ).① 又m ＝2n ，②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝32． 所以m ＋n ＝9或m ＋n ＝92 .答案：9或929．已知点A (2，3)，B (5，4)，C (7，10).若AP → ＝AB → ＋λAC →(λ∈R)，试求λ为何值时． (1)点P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第三象限内．解：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)，AB → ＋λAC →＝[(5，4)－(2，3)]＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ). 因为AP → ＝AB → ＋λAC →(λ∈R)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若点P 在第一、三象限的角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，所以λ＝12，所以当λ＝12时，点P 在第一、三象限的角平分线上．(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ＜0，4＋7λ＜0，所以λ＜－1，所以当λ＜－1时，点P 在第三象限内．10．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且AE → ＝13 AC → ，BF →＝13BC → . (1)求点E ，F 的坐标； (2)判断EF → 与AB →是否共线．解：(1)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2).依题意，得AC → ＝(2，2)，BC →＝(－2，3). 由AE →＝13 AC → 可知，(x 1＋1，y 1)＝13(2，2)，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝23，y 1＝23，解得⎩⎨⎧x 1＝－13，y 1＝23，所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23 . 由BF →＝13 BC → 可知，(x 2－3，y 2＋1)＝13 (－2，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3＝－23，y 2＋1＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0，所以点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0 . (2)由(1)可知，EF → ＝⎝⎛⎭⎫73，0 －⎝⎛⎭⎫－13，23 ＝⎝⎛⎭⎫83，－23 ， 又AB → ＝(4，－1)，所以EF → ＝23 (4，－1)＝23AB → ，所以EF → 与AB → 共线． [B 能力提升]11．(多选)已知向量e 1＝(－1，2)，e 2＝(2，1)，若向量a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则可使λ1λ2＜0成立的a 可能是( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：选AC.因为e 1＝(－1，2)，e 2＝(2，1)，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝(－λ1，2λ1)＋(2λ2，λ2)＝(2λ2－λ1，2λ1＋λ2)，若使λ1λ2＜0成立，a ＝(1，0)，则2λ1＋λ2＝0，满足题意；a ＝(0，1)，则2λ2－λ1＝0，不满足题意；a ＝(－1，0)，则2λ1＋λ2＝0，满足题意；a ＝(0，－1)，则2λ2－λ1＝0，不满足题意．故选AC.12．已知向量a ＝(－2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ).设B (x ，y )，则AB → ＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝⎛⎭⎫0，72 或⎝⎛⎭⎫73，0 . 答案：⎝⎛⎭⎫0，72 或⎝⎛⎭⎫73，0 13．如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2，6)，B (6，4)，C (5，0)，D (1，0)，则直线AC 与BD 的交点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，则DP → ＝(x －1，y )，DB → ＝(5，4)，CA → ＝(－3，6)，DC → ＝(4，0).由B ，P ，D 三点共线可得DP → ＝λDB → ＝(5λ，4λ).又因为CP → ＝DP → －DC → ＝(5λ－4，4λ)，由CP → 与CA → 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47. 所以DP → ＝47DB → ＝⎝⎛⎭⎫207，167 ， 所以P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167 .答案：⎝⎛⎭⎫277，16714．设OA → ＝(2，－1)，OB → ＝(3，0)，OC → ＝(m ，3).(1)当m ＝8时，将OC → 用OA → 和OB → 表示；(2)若以A ，B ，C 三点为顶点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．解：(1)当m ＝8时，OC → ＝(8，3)，设OC → ＝xOA → ＋yOB → ，则x (2，－1)＋y (3，0)＝(2x ＋3y ，－x )＝(8，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝8，－x ＝3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝143，所以OC → ＝－3OA → ＋143 OB → . (2)因为以A ，B ，C 三点为顶点能构成三角形，所以AB → ，AC → 不共线．又AB → ＝(1，1)，AC → ＝(m －2，4)，所以1×4－1×(m －2)≠0，所以m ≠6.[C 拓展探究]15．已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM → ＝t 1OA → ＋t 2AB → .(1)若点M 在第二或第三象限，求t 1与t 2满足的条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．(1)解：点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM → ＝t 1OA → ＋t 2AB → ，所以AB → ＝OB → －OA → ＝(4，4)，OM → ＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2).当点M 在第二或第三象限时，⎩⎪⎨⎪⎧t 2＜0，t 1＋2t 2≠0. (2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM → ＝(4t 2，4t 2＋2)，AB → ＝(4，4).因为AM → ＝OM → －OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB → ，所以AM → 与AB → 共线，又有公共点A ，所以A ，B ，M 三点共线．。