变化率问题教案
5.1.1 变化率问题 教案-2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
5.1.1 变化率问题教学设计一、教学目标1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率. 二、教学重难点 1、教学重点瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法. 2、教学难点 割线与切线的斜率. 三、教学过程 1、新课导入在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道了对数增长是越来越慢的，指数爆炸比直线上升快得多，那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？这节课我们就来研究一下这个问题. 2、探索新知一、平均速度问题1 高台跳水运动员的速度探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？例如，在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0)2.35(m/s)0.50h h v -==-；在12t ≤≤这段时间里，(2)(1)9.9(m/s)21h h v -==--.一般地，在21t t t ≤≤这段时间里，211221()()4.9( 4.8)h t h t v t t t t -==-++-.思考：计算运动员在48049t ≤≤这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？运动员在48049t ≤≤这段时间里的平均速度为0. 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.二、瞬时速度1.瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.2.求运动员在1t =s 时刻的瞬时速度设运动员在0t 时刻附近某一时间段内的平均速度是v ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在0t 时刻的瞬时速度.为了求运动员在1t =时的瞬时速度，在1t =之后或之前，任意取一个时刻1t +∆，t ∆是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当0t ∆>时，1t +∆在1之后；当0t ∆<时，1t +∆在1之前. 当0t ∆>时，把运动员在时间段[1,1]t +∆内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1]t +∆内的平均速度v ，用平均速度v 近似表示运动员在1t =时的瞬时速度.当0t ∆<时，在时间段[1,1]t +∆内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.思考：给出t ∆更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度v 的值.当t ∆无限趋近于0时，平均速度v 有什么变化趋势？当t ∆无限趋近于0，即无论t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v 都无限趋近于5-.事实上，由(1Δ)(1)4.9Δ5(1Δ)1h t h v t t +-==--+-可以发现，当t ∆无限趋近于0时， 4.9Δt -也无限趋近于0，所以v 无限趋近于5-，这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把5-叫做“当t ∆无限趋近于0时，(1Δ)(1)Δh t h v t +-=的极限”，记为Δ0(1Δ)(1)lim 5Δt h t h t→+-=-.从物理的角度看，当时间间隔||t ∆无限趋近于0时，平均速度v 就无限趋近于1t =时的瞬时速度. 因此，运动员在1t =s 时的瞬时速度(1)5m/s v =-.三、割线与切线的斜率 问题2 抛物线的切线的斜率 1.割线与切线的定义为了研究抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线，我们通常在点0(1,1)P 的附近任取一点2(,)P x x ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况.当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线. 2.割线与切线的斜率 （1）割线的斜率抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0PT 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-，则点P 的坐标是2(1Δ,(1Δ))x x ++.于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1Δ)1Δ21(1Δ)1f x f x k x x x -+-===+-+-.（2）切线的斜率我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0PT 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔||x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格.时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.事实上，由(1Δ)(1)Δ2Δf x f k x x+-==+可以直接看出，当x ∆无限趋近于0时，Δ2x +无限趋近于2. 我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1Δ)(1)Δf x f k x+-=的极限”，记为Δ0(1Δ)(1)lim2Δx f x f x →+-=.从几何图形上看，当横坐标间隔||x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P ，于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0PT .这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0PT 的斜率0k .因此，切线0PT 的斜率02k =. 3、课堂练习1.某物体沿水平方向运动，其前进距离s （米）与时间t （秒）的关系为2()52s t t t =+，则该物体在运动前2秒的平均速度（单位：米/秒）为( ) A.18 B.13 C.9 D.132答案：C解析：2()52s t t t =+，∴该物体在运动前2秒的平均速度为(2)(0)18922s s -==（米/秒）.故选C.2.若质点A 按照规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为( ) A.6 B.18C.54D.81答案：B解析：由题可得2220003(3)33183()lim lim lim(183)18t t t t t t t t t∆→∆→∆→+∆-⨯∆+∆==+∆=∆∆.故选B.3.一物体的运动方程为27138s t t =-+，且在0t t =时的瞬时速率为1，则0t =___________. 答案：1 解析：()()222000007138713814137()s t t t t t t t t t t ∆=+∆-+∆+-+-=⋅∆-∆+∆，()0000limlim 1413714131t t st t t t ∆→∆→∆∴=-+∆=-=∆，可得01t =. 4、小结作业小结：本节课学习了平均速度、瞬时速度的概念及求法以及曲线割线与切线斜率的求法. 作业：完成本节课课后习题. 四、板书设计5.1.1 变化率问题1.瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.2.割线与切线的定义：为了研究抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线，通常在点0(1,1)P 的附近任取一点2(,)P x x ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线.。
《变化率问题教学》课件
详细描述
在变化率问题中，建立数学模型是解决问题的第一步。首先需要对问题进行抽象 和简化，然后使用数学符号和公式来表示问题中的变量、参数和关系。通过建立 数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，便于进行定量分析和求解。
导数的计算和运用
总结词
导数在变化率问题中具有重要应用，通过计算导数可以分析函数的变化趋势和极值点。
变化率与函数图像的关系
单调性
如果一阶导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果一阶 导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
凹凸性
如果二阶导数大于0，则函数在该区间内是凹的；如果二阶导 数小于0，则函数在该区间内是凸的。
04
变化率问题解决策略
建立数学模型
总结词
通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，便于分析和求解。
学Байду номын сангаас参与度与反馈
分析学生在课堂上的参与 情况，以及他们对变化的 反应和反馈，以便更好地 调整教学方法和内容。
学生自我评价与反馈
学生自我评价
引导学生反思自己在本次教学中 对变化率问题的理解程度，以及 自己的学习方法和态度是否有所
改进。
学习困难与问题
鼓励学生提出自己在理解变化率问 题时遇到的困难和问题，以便教师 更好地了解学生的学习需求和困难 。
变化率的应用场景
要点一
总结词
变化率的应用场景非常广泛，包括物理、工程、经济、生 物等领域。
要点二
详细描述
在物理学中，变化率用于描述速度、加速度等物理量的动 态变化。在工程领域，变化率可以用于预测和优化系统的 性能，如机械振动、流体动力学等。在经济领域，变化率 用于分析经济增长、通货膨胀等经济指标的变化趋势。在 生物领域，变化率可以用于描述物种数量、种群动态等生 态现象的变化趋势。
变化率问题教案
变化率问题教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN课 题 变化率问题【导学过程】 课内探究学案一、学习目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
二、学习过程学习探究探究任务一：问题1 课本气温图曲线新知：平均变化率：2121()()f x f x f x x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值y x∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.典型例题练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.【达标检测】1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ T(月)W(kg)6 3 9 12 3.56.58.611C ．3t +∆D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____ 6、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求xy ∆∆7、 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.8、 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]【课后反思】1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量（2）计算平均变化率。
【教学方案】《变化率问题》教学案3
《变化率问题》教学案学习目标:1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 学习重点:求函数在某点附近的平均变化率.学习难点:对增量的理解.学习过程:一、引言学习阅读教材P 72~ P 73，体会为什么要学习导数.二、新课导学阅读教材P 72~ P 74，在书上标注出重点和疑惑之处※ 学习探究问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率思考：当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？问题2：高台跳水，求平均速度 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？新知：平均变化率：2121()()f x f x f x x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆=_______________或者2x =______________，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆=______________；如果它们的比值y x∆∆，则上式就表示为______________，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是______________的增量与______________的增量的比值. 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么？ 一起讨论、分析，得出结果；※ 典型例题(展示点评)例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则y x∆∆=_________. 小结：※ 动手试试(展示点评)练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.(发现：y kx b =+在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？三、总结提升※ 学习小结1.函数()f x 的平均变化率是____________________.2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量____________________.(2)计算平均变化率____________________.※ 知识拓展T(月)6 3 9 12平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”． 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为( )A ．3B ．2C ．1D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为( ) A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为( ) A ．6t +∆ B ．96t t +∆+∆C ．3t +∆D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______.5.223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____.。
变化率问题教案
变化率问题教案教案标题：变化率问题教案教案概述：本节课的教学目标是帮助学生理解和应用变化率的概念。
通过引入实际生活中的变化率问题，学生将学会计算和解释变化率，并能够将其应用于各种实际情境中。
本节课适用于中学高年级学生，他们已经掌握了基本的数学概念和计算技巧。
教学目标：1. 理解变化率的概念和意义；2. 能够计算和解释变化率；3. 能够应用变化率解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：- 准备一些实际生活中的变化率问题的例子；- 准备展示和解释变化率计算方法的教学资源；- 准备学生练习和巩固所学内容的练习题。
2. 学生准备：- 确保学生已经掌握了基本的数学计算技巧和概念。
教学过程：引入（5分钟）：1. 引入一个实际生活中的变化率问题，例如：小明每分钟能够跑100米，那么他的速度是多少？2. 引导学生思考速度的定义，并与变化率进行联系。
讲解变化率概念（10分钟）：1. 使用图表或图形来解释变化率的概念，例如：绘制小明跑步速度随时间变化的图表。
2. 解释变化率的定义：变化率是指某一量在一定时间内的变化量。
3. 强调变化率的单位和意义。
计算和解释变化率（15分钟）：1. 展示变化率计算的方法，例如：速度的变化率等于距离的变化量除以时间的变化量。
2. 通过几个例子引导学生计算和解释变化率。
应用变化率（15分钟）：1. 提供一些实际生活中的变化率问题，例如：汽车行驶的速度随时间的变化、销售额的增长率等。
2. 引导学生应用所学的变化率概念和计算方法解决这些问题。
3. 鼓励学生思考变化率对于解决实际问题的重要性。
练习和巩固（10分钟）：1. 分发练习题，让学生独立或小组完成。
2. 检查并讲解答案，解决学生可能遇到的问题。
总结（5分钟）：1. 总结本节课所学的内容和重点。
2. 强调变化率在实际问题中的应用价值。
拓展活动：1. 鼓励学生应用变化率的概念和计算方法解决更复杂的变化率问题。
2. 提供更多实际生活中的变化率问题供学生练习。
变化率问题教案
三：新课引入一、导入新课：为了描绘现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：理解微积分的背景多媒体展示四类问题，激发学生的好奇心四：新课讲授（一）新知识导学引例生活中变化快慢的量（1）两分公司半年销售额折线图（2）冷水、温水、热水分别置于空气中的温度变化观看引例中的这些图，自由发表自己的看法多媒体展示引导学生观察变化量（二）：新知识讲解与分析（一）问题提出实例一：气温变化温度气温变化的快慢不同问题1：怎样用数学语言描绘气温变化率呢？实例二：气球膨胀率气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是假设将半径r表示为体积V的函数，那么33()4Vr Vπ=问题2：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?实例三：高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存有函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗观看四个实例，相互交流讨论，思考PPT展示的问题。
交流讨论之后自己动手操作，计算并化简思考题的问题。
展示实例，首先让学生观看，然后引导学生总结，最后提问并点评学生的回答。
要充分的调动学生的积极性，让更多的学生参与到课堂当中。
34()3V r rπ=略地描绘其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 实例四：山坡的陡峭水准 问题3：爬山时的感觉：山坡平缓时，步履轻盈；山坡陡峭时，气喘吁吁.如何用数学反映山坡陡峭呢？假定山路是 平直的.（二）平均变化率概念：平均变化率为 =∆∆=∆∆x f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212通过实例，尝试的总结平均变化率的概念，举手回答。
高中数学的变化率问题教案
高中数学的变化率问题教案教学目标：1. 理解变化率的定义和概念；2. 掌握求解变化率的方法；3. 能够应用变化率解决实际问题。
教学重点和难点：1. 变化率的概念和定义；2. 求解变化率的方法；3. 将变化率应用于实际问题中。
教学准备：1. 教材：高中数学教材中有关变化率的知识点；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教案复印件；3. 知识点整理：准备变化率的定义、求解方法和相关例题。
教学流程：一、引入教师通过一个简单的生活场景引入变化率的概念，让学生了解变化率与日常生活的联系。
二、概念和定义1. 教师讲解变化率的定义和概念，引导学生理解变化率表示的是某一情况随时间、空间或其他变化而发生的程度。
2. 教师让学生通过实例理解变化率的计算方法，如函数的导数表示函数在某一点的变化率。
三、求解变化率的方法1. 教师让学生通过实例计算函数的导数，并解释导数的物理意义；2. 教师讲解变化率计算的一般步骤，如根据已知量列方程、求导、代入数值等。
四、实际问题应用1. 教师让学生通过应用例题，实践变化率的计算方法；2. 教师引导学生分析实际问题，找出关键信息，运用变化率解决问题。
五、课堂练习教师设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识点。
六、总结教师对本节课所学内容进行总结，强调变化率的重要性和应用。
七、作业布置教师布置相关作业，让学生巩固所学内容。
教学反思：1. 教师要注意引导学生提高数学思维，培养解决问题的能力；2. 教师要根据学生的表现及时调整教学方法，确保教学效果。
（备注：以上教案仅供参考，具体教学过程根据实际情况进行调整和改进）。
变化率问题2教案
变化率问题2教案教案标题：变化率问题2教案教案目标：1. 学生能够理解变化率的概念，并能够应用变化率解决实际问题。
2. 学生能够计算变化率，并能够解释计算结果的含义。
3. 学生能够应用变化率解决与速度、斜率和增长率相关的问题。
教学重点：1. 变化率的概念和计算方法。
2. 变化率在实际问题中的应用。
3. 变化率与速度、斜率和增长率的关系。
教学准备：1. 教学投影仪和电脑。
2. 学生练习纸和铅笔。
3. 实际问题的案例和练习题。
教学过程：引入：1. 使用一个实际问题引入变化率的概念，例如：小明骑自行车从家到学校的路程是10公里，他用了1小时完成。
请问他的平均速度是多少？2. 引导学生思考速度的计算方法，并解释速度就是距离和时间的比值。
讲解：1. 引导学生理解变化率的概念：变化率是指某个量随着另一个量变化的速度。
2. 解释变化率的计算方法：变化率等于两个量的差值除以两个量之间的差值。
3. 给出一个简单的例子，例如：小明从家到学校的距离是10公里，他用了1小时，而小红从家到学校的距离是8公里，她用了40分钟。
请计算小明和小红的平均速度，并比较两者之间的变化率。
实践：1. 分发练习纸和铅笔，让学生在小组内完成一些练习题，例如：计算不同物体的速度和变化率。
2. 鼓励学生在解答问题时运用变化率的概念和计算方法。
拓展：1. 引导学生思考变化率与斜率的关系，并解释斜率就是变化率的几何表示。
2. 给出一个图形问题，例如：一条直线上的两个点A和B的坐标分别是(2, 4)和(6, 10)，请计算直线AB的斜率，并解释结果的含义。
总结：1. 回顾变化率的概念和计算方法。
2. 强调变化率在实际问题中的应用，例如速度、斜率和增长率的计算。
3. 鼓励学生在解决实际问题时灵活运用变化率的概念和计算方法。
扩展活动：1. 让学生选择一个自己感兴趣的实际问题，并运用变化率的概念和计算方法解决。
2. 学生可以在小组内分享自己的解决过程和结果。
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变化率问题教案
人教a版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节变化率与导数
1.1.1变化率
冯敏（监利一中）教学目标知识目标
1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。
2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
3.通过函数平均变化率的几何意义教学，让学生体验数形结合的理念。
4.通过实例分析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。
能力目标：1.通过动手计算，培养学生观察、分析、比较和归纳的能力；
2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。
情感目标：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
教学重点
1.引入平均变化率的概念；
2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；
3.感受数学模型在描绘客观世界中的作用，进一步理解变量数学的思想，提高分析和解决问题的能力。
教学难点：平均变化率的理解与转化教学方法
通过从特殊到一般的思维方法，引导学生获得平均变化率的概念；通过积极探索和讨论，引导学生逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。
基础教学过程历史背景知识过程现象分析有效建构类比归纳法
实例探究习题释疑归纳小结教学过程设计：
一、创造情境
为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究不断深入，17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意
当时的速度和加速度；反之亦然（2）求出曲线的切线；（3）求已知函数的最大值和最小值；（4）找出长度、面积、体积和重心。
导数是微积分的核心概念之一。
【设计
意图】运用数学史知识可以帮助学生理解数学知识的语境，使知识网络更加清晰，形成科
学体系；运用数学史知识可以激发学生的大脑，提高他们的学习兴趣，对所学内容有更深
的理解甚至欣赏，理解问题的本质2、新课程教学
（1）.问题提出：
T（℃）C（34,33.4）问题1平均温度变化率
30【设计意图】引导学生最终用温度的平均变化率刻画20b(32,18.6)温度变化的快慢，让学生意识到可以用变化率体现事物变化的快慢情况。
10a(1,3.5)2【学生探索】从图中
观察出各时间段内的温度变化02103034情况,怎样用数学知识表示这种现象？（注：3月
18日为第一天）20t(d)问题2高台跳水
在跳台跳水中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间存在函数关系，h（t）=-4.9t2
+6.5t+10.
试想一下，我们可以用什么物理量来描述运动员在一段时间内的速度？（平均速度），动手计算：0？T0.5和1？T2的平均速度V是0？T在这段时间里是0.5，v？h（0.5）？h （0）0.5？0.4.05（m/s）
在1?t?2这段时间里，v?h(2)?h(1)2?1??8.2(m/s)
思考：当时间从T1增加到T2时，高平台潜水员的平均速度是多少？
v?h(t2)?h(t1)
t2？T1[总结]平均速度用于描述位移变化的速度。
询问：计算运动员在0？T6549这
段时间的平均速度，并思考以下问题：⑴ 运动员在此期间是否静止不动？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？h(65【学生探究】经过计
算知h(65)?h(049)?h(0)49)，所以v?65?0(s/m)，49?0
【分析与回答】如图所示，是函数H（T）=-4.9t2
+6.5t+10的图像，结合图形可知虽然运动员在
0吨？6549这段时间的平均速度为0（s/M），但实际情况是运动员仍在运动，而不是静止，
平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能反映每一时刻的运动状态。
问题
3气球膨胀率
【学生探索1】吹气球的过程中发生了什么变化？
现象总结：在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.
【学生探索2】从数学的角度，如何描述这种现象？
气球的体积v(单位:l)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是v(r)?43?r3如果将半径r 表示为体积v的函数,那么r(v)?33v4?空气容量v(l)0123气球半径（dm）00.620.780.89半径的改变量（dm）0.620.160.11如果体积增量不是1l,而是2l或是3l,显然用半径的变化量不足以刻画半径增加的快慢，因此还要计算半径的变化率。
这个问题中气球半径的变化率称为气球的平均膨胀率。
v从0增加到1l气球平均膨胀率为v从1l增加到2l气球平均膨胀率为v从2l增加到3l气球平均膨胀率为
【设计意图】对生活现象的数学分析可以层层深化，激发学生深入探索的兴趣，让学生感觉数学可以服务于生活的现实
vr(v2)?r(v思考：当空气容量从?1)1增加到v2时,气球的平均膨胀率是多少v2?v1
[摘要]平均膨胀率用于描述气球半径的变化速度。
让学生回顾上述的三个问题，找出它们的共同特征，把问题一般化，归纳得到函数的平均变化率的概念。
（2）平均变化率的概念：
【获取新知】平均变化率定义
平均变化率：公式F（x2）？F（x1）x称为函数F（x）从x1到x2的平均变化率。
2?x1习惯上用?x表示x2?x1，即?x?x2?x1,?f?f(x2)?f(x1)则平均变化率为
f（x2）？f（x1）x？？Y（注？X是一个完整的符号，而不是2？X1？X乘以X）[定义和理解]
1、平均变化率是用来刻画变量变化快慢的量。
2.在公式中？十、y的值可以是正的，也可以是负的，？X的值不能是0，？y的值可以是0
3、变式:
?? 十、x2？x1，？x2？x1？？xf（x2）？f（x1）f（x1×x）？f（x1）x？2.x1？查找X函数平均变化率的步骤：
(1)求函数的变化量
? Y（2）计算函数的平均变化率：？f（yx2）？ff（x（x1）2）？F（x1）思考：
?x?x2?x1w(k
118.66.3.5（3）示例说明03691t（月）
例1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试比较从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率那个较大.【设计意图】引导学生从数与形两个角度来分析变量的变化快慢。
例2给定函数f（x）=2x+1，计算以下时间间隔（1）[3，-1]，（2）[0,5]，
【设计意图】理解定义并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
（4）总结、拓展、深化
１.通过本节课的学习，你学到了那些知识？２.你又掌握了哪些学习方法？３.课后作业：①习题1.1ａ组第1题．
② 粒子运动定律是s？t2？3，则相应的时间平均速度（3,3×T）为。
③ 将曲线y=f （x）=X3+δx，1+δy）上的两个点P（1,1）和Q（1）相交，形成曲线的正割，并找出当x=0.1时正割的δ斜率
【设计意图】让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础．通过回顾知识，达到拓展深化．。