高三数学高考附加题专项练习套卷(10套)
【附加15套高考模拟试卷】东北三校(哈尔滨师大附中等)2020高三第一次联合考试数学(理)试题含答案
东北三校（哈尔滨师大附中等）2020高三第一次联合考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面斜坐标系xOy 中，45xOy ∠=︒，点P 的斜坐标定义为“若0102OP x e y e =+u u u v(其中12,e e 分别为与斜坐标系的x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为()00,x y ”.若()11,0F -，()21,0F ，且动点(),M x y 满足12MF MF =u u u u v u u u u v，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A．0x -= B．0x += C0y -= D0y +=2．已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[)1,e -+∞C ．[]32ln 2,-+∞ D ．[]32ln3,-+∞3．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ） A ．2B．C ．6D．4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若||8AB =，则线段AB的中点M 到直线10x +=的距离为( ) A ．2B ．4C ．8D ．165．若函数()2sin(2)cos (0)2f x x x πθθ=+⋅<<的图象过点(0,2)，则（ ）A ．点(,0)4π是()y f x =的一个对称中心 B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2]6．设()f x 为定义在R 上的函数,当0x ≥时，()22()x f x x b b =++为常数，则(1)f -= A ．-3B ．-1C ．1D ．37．设直线0x y a -+=与圆222420x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，若||2AB =，则a =（ ）A ．-1或1B ．1或5C ．-1或3D ．3或58．已知()()sin f x A B ωϕ=++ (0,0,)2A πωϕ>><部分图象如图，则()f x 的一个对称中心是（ ）A ．5,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭ 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()121,223n n na S a n S =-++=≥，则下面选项为等差数列的是（ ） A ．{}1n S +B ．{}1n S -C ．11nS ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭ D ．11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭ 10．已知||()2x f x x =g ，3(log 5)a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>11．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是( )． A ．3[,0]?4-B ．(－∞，34-]∪[0，＋∞) C ．33[,]- D ．2[,0]3-12．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(十二) Word版含解析
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C.若DB ＝DC ，求证：CA ＝AO.B. (选修4-2：矩阵与变换) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 6，求矩阵A －1B .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0.求圆心的极坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab(a 2＋b 2)．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品共10件，其中3件是不合格品．用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方式一：一次性随机抽取2件；方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件． 记抽取的不合格产品数为ξ.(1) 分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；(2) 比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由．23.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，设点A(－t ，0)，B(t ，0)(t ＞0)，过点B 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点(P 在Q 上方)．(1) 若t ＝1，直线PQ 的倾斜角为π4，求直线PA 的斜率；(2) 求证：∠PAO ＝∠QAO.(十二)21. A. 证明：连结OD ，AD.因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°， AB ＝2AO.(3分) 因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO ＝90°.(6分) 因为DB ＝DC ，所以∠B ＝∠C ，于是△ADB ≌△ODC ，从而AB ＝CO ， 即2OA ＝OA ＋CA ，得CA ＝AO.(10分)B. 解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，于是a ＝－1，b ＝c ＝0，d ＝12， 从而矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，(7分) 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.(10分) C. 解：以极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy.圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.(3分) 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6.(6分)于是圆心的直角坐标为(1，－1)，则其极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π4.(10分)D. 证明：由a ，b 为非负实数，作差得a 3＋b 3－ab(a 2＋b 2)＝a 2a(a －b)＋b 2b(b －a)＝(a －b)[(a)5－(b)5]．(4分)当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a)5≥(b)5，得(a －b)[(a)5－(b)5]≥0； 当a ＜b 时，a ＜b ，从而(a)5＜(b)5，得(a －b)[(a)5－(b)5]＞0. 所以a 3＋b 3≥ab(a 2＋b 2)．(10分)22. 解：(1) 方式一中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从超几何分布，ξ～H(2，3，10)．于是P(ξ＝0)＝C 03C 27C 210＝7×6210×92＝715；P(ξ＝1)＝C 13C 17C 210＝3×710×92＝715；P(ξ＝2)＝C 23C 07C 210＝310×92＝115.因此ξ的概率分布可表示为下表：(3分)方式二中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从二项分布，ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，310. 于是P(ξ＝0)＝C 02⎝⎛⎭⎫3100⎝⎛⎭⎫7102＝49100； P(ξ＝1)＝C 12⎝⎛⎭⎫3101⎝⎛⎭⎫7101＝2150；P(ξ＝2)＝C 22⎝⎛⎭⎫3102⎝⎛⎭⎫7100＝9100. 因此ξ的概率分布可表示为下表：(6分)(2) 由(1)知，方式一中ξ的数学期望(平均数)为E(ξ)＝2×310＝35(个)；方式二中ξ的数学期望(平均数)为E(ξ)＝2×310＝35(个)．两种抽取方式抽到的不合格品的平均数相等，均为35个．(10分)23. (1) 解：若t ＝1，直线PQ 的倾斜角为π4，则直线PQ 的方程为y ＝x －1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得P(3＋22，2＋22)．因为A(－1，0)，所以直线PA 的斜率k PA ＝2＋223＋22－（－1）＝22.(3分)(2) 证明：因为直线PQ 经过点B(t ，0)，且与抛物线相交于P ，Q 两点， 所以可设直线PQ 的方程为x ＝my ＋t.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋t ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0，解得y ＝2m±2m 2＋t ，于是P(2m 2＋2m m 2＋t ＋t ，2m ＋2m 2＋t)，Q(2m 2－2m m 2＋t ＋t ，2m －2m 2＋t)．(7分)所以直线PA 的斜率k PA ＝2m ＋2m 2＋t2m 2＋2m m 2＋t ＋t －（－t ）＝m ＋m 2＋tm 2＋m m 2＋t ＋t ＝1m 2＋t.同理，直线QA 的斜率k QA ＝2m －2m 2＋t2m 2－2m m 2＋t ＋t －（－t ）＝－1m 2＋t.可见k PA＝－k QA，结合图形，得∠PAO＝∠QAO.(10分)。
高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)
1、函数与导数（1）2、三角函数与解三角形3、函数与导数（2）4、立体几何5、数列（1）6、应用题7、解析几何8、数列（2）9、矩阵与变换10、坐标系与参数方程11、空间向量与立体几何12、曲线与方程、抛物线13、计数原理与二项式分布14、随机变量及其概率分布15、数学归纳法高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1)1．已知函数f (x )＝a e xx＋x .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1e.(2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则0000200201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ⎛> +> -+ = ⎝①②③由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ，设h (x )＝－x 2e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e2.又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝⎛⎭⎫－4e 2，0， 从而不存在负整数a 满足条件．方法二 当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2， 则H ′(x )＝(a e x ＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x ∈(e ，＋∞)， ∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x ≤a e ≤－e ， ∴a e x ＋2<0，∴H ′(x )<0， ∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0， ∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0， 且当1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0； 当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*)又H (x 0)＝0e x a (x 0－1)＋x 20＝0， ∴00e x a x ＝－x 0x 0－1，代入(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0， ∴不存在负整数a 满足条件． 2．已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )<g (x ).(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )＝xf ′(x )，且∃x ∈[1,2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1， ∴f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ，∵a >0，∴x 1<x 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (0)＝1，极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2. (2)g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2， ∵∃x ∈[1,2]，使h (x )＝f (x )，∴f (x )≥g (x )在[1,2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在[1,2]上有解， 即不等式2a ≤1x 3＋3x 在[1,2]上有解，设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x 3(x ∈[1,2])，∵y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立，∴y ＝1x 3＋3x 在[1,2]上单调递减，∴当x ＝1时，y ＝1x 3＋3x 的最大值为4，∴2a ≤4，即a ≤2.高考中档大题规范练 (一)三角函数与解三角形1．(2017·江苏宿迁中学质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)若x ＝x 0⎝⎛⎭⎫0≤x 0≤π2为f (x )的一个零点，求sin 2x 0的值． 解 (1)易得f (x )＝sin 2x ＋3sin 2x ＋12(sin 2x －cos 2x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x －12cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＋12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为π，值域为⎣⎡⎦⎤－32，52. (2)由f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋12＝0，得 sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝－14<0，又由0≤x 0≤π2，得－π6≤2x 0－π6≤5π6，所以－π6≤2x 0－π6<0，故cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝154， 此时sin 2x 0＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6sin π6 ＝－14×32＋154×12＝15－38.2．(2017·江苏南通四模)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2，1，n ＝⎝⎛⎭⎫1，3cos x2，函数f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，求f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝sin x 2＋3cos x2＝2⎝⎛⎭⎫12sin x 2＋32cos x2＝2⎝⎛⎭⎫sin x 2cos π3＋cos x 2sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π12＝4π.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，得2sin α2＝23，即sin α2＝13. 所以f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2cos α ＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＝149. 3．(2017·江苏南师大考前模拟)已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，并且m ⊥n . (1)求A －B ；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长．解 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin B＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3－B ＝0. 因为0<A ，B <π2，所以－π6<A ＋π3－B <5π6，所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin B ＝45， 所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝sin B cos π6＋cos B sin π6 ＝45×32＋35×12＝43＋310， 由正弦定理可得BC ＝sin A sin B×AC ＝43＋3.4．(2017·江苏镇江三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B . (1)求角A ；(2)若f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )，求f (x )的单调递增区间． 解 (1)由(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B 及正弦定理， 得(a －c )(a ＋c )＝(b －3c )b ，即a 2＝b 2＋c 2－3bc . 由余弦定理，得cos A ＝32， 因为0<A <π，所以A ＝π6.(2)f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A ) ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12cos 2x ， 令π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，k ∈Z ， 得π2＋k π≤x ≤π＋k π，k ∈Z . 则f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π2＋k π，π＋k π，k ∈Z .(二)函数与导数(2)1．设函数f (x )＝2(a ＋1)x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋bx (b ∈R )，直线y ＝x ＋1是曲线y ＝f (x )的一条切线． (1)求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点x 1，x 2. ①试求b 的取值范围； ②证明：g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12.解 (1)设直线y ＝x ＋1与函数y ＝f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1，y 0＝2(a ＋1)x 0，a ＋1x 0＝1，解得a ＝0. (2)记h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x －ln x －bx .①函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点的必要条件是h ′(x )有两个正零点． h ′(x )＝1x －1x－b ＝－bx ＋x －1x ，令h ′(x )＝0，得bx －x ＋1＝0(x >0)． 令x ＝t ，则t >0.问题转化为bt 2－t ＋1＝0有两个不等的正实根t 1，t 2，等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4b >0，t 1t 2＝1b >0，t 1＋t 2＝1b>0，解得0<b <14.当0<b <14时，设h ′(x )＝0的两正根为x 1，x 2，且x 1<x 2，则h ′(x )＝－bx ＋x －1x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x (x ＋x 1)(x ＋x 2).当x ∈(0，x 1)时，h ′(x )<0； 当x ∈(x 1，x 2)时，h ′(x )>0； 当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )<0.所以x 1，x 2是h (x )＝f (x )－g (x )的极值点， ∴b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14. ②由①知x 1x 2＝x 1＋x 2＝1b.可得g (x 1)＋g (x 2)＝－2ln b ＋1b －2，f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)＝12－b ln b －b .记k (b )＝12－b ln b －b ⎝⎛⎭⎫0<b <14， 则k ′(b )＝－ln b －2，令k ′(b )＝0，得b ＝1e 2∈⎝⎛⎭⎫0，14， 且当b ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 2时，k ′(b )>0，k (b )单调递增； 当b ∈⎝⎛⎭⎫1e 2，14时，k ′(b )<0，k (b )单调递减， 且当b ＝1e 2时，k (b )取最大值1e 2＋12，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12.2．设函数f (x )＝2ax ＋bx＋c ln x .(1)当b ＝0，c ＝1时，讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6且函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2. ①求a 的取值范围； ②求f (x 2)的取值范围．解 (1)f (x )＝2ax ＋bx ＋c ln x ，x >0，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2＋cx －bx 2.当b ＝0，c ＝1时，f ′(x )＝2ax ＋1x. 当a ≥0时，由x >0，得f ′(x )＝2ax ＋1x >0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令f ′(x )＝2ax ＋1x >0，解得x <－12a ；令f ′(x )＝2ax ＋1x <0，解得x >－12a，所以，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． 综上所述，①当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)①函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6， 所以f (1)＝2a ＋b ＝3a －3，f ′(1)＝2a ＋c －b ＝3， 所以b ＝a －3，c ＝－a ，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2－ax ＋3－ax 2，函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，则方程2ax 2－ax ＋3－a ＝0有两个大于0的解，⎩⎨⎧Δ＝(－a )2－8a (3－a )>0，a 2a >0，3－a2a >0，解得83<a <3.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫83，3. ②2ax 22－ax 2＋3－a ＝0， x 2＝a ＋9a 2－24a 4a ＝14⎝⎛⎭⎫1＋9－24a ，由83<a <3，得x 2∈⎝⎛⎭⎫14，12， 由2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，得a ＝－32x 22－x 2－1.f (x 2)＝2ax 2＋a －3x 2－a ln x 2＝a ⎝⎛⎭⎫2x 2＋1x 2－ln x 2－3x 2 ＝－32x 2＋1x 2－ln x 22x 22－x 2－1－3x 2. 设φ(t )＝－32t ＋1t －ln t2t 2－t －1－3t，t ∈⎝⎛⎭⎫14，12， φ′(t )＝－3⎝⎛⎭⎫2－1t 2－1t (2t 2－t －1)－⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t2 ＝－31t 2(2t 2－t －1)2＋3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t 2＝3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2. 当t ∈⎝⎛⎭⎫14，12时，2t ＋1t－ln t >0,4t －1>0，φ′(t )>0，所以φ(t )在⎝⎛⎭⎫14，12上单调递增， φ(t )∈⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2， 所以f (x 2)的取值范围是⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2. (二)立体几何1．(2017·江苏扬州调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB ＝2CD ，AC 交BD 于O ，锐角△P AD 所在平面⊥底面ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ ＝2QC .求证：(1)P A ∥平面QBD ； (2)BD ⊥AD .证明 (1)如图，连结OQ ，因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以AO ＝2OC . 又PQ ＝2QC ，所以P A ∥OQ . 又OQ ⊂平面QBD ，P A ⊄平面QBD ， 所以P A ∥平面QBD .(2)在平面P AD 内过P 作PH ⊥AD 于点H ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PH ⊂平面P AD ，所以PH ⊥平面ABCD .又BD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BD .又P A ⊥BD ，P A ∩PH ＝P ，所以BD ⊥平面P AD . 又AD ⊂平面P AD ，所以BD ⊥AD .2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 上一点，G 为PO 的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.证明(1)连结OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中点，因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，所以PD∥OE.因为O为BD的中点，所以E为PB的中点．(2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝2PC，因为四边形ABCD是正方形，所以OC＝22AB，所以PC＝OC.因为G为PO的中点，所以CG⊥PO.又因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PC⊥BD.而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为AC，PC⊂平面P AC，AC∩PC＝C，所以BD⊥平面P AC，因为CG⊂平面P AC，所以BD⊥CG.因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，所以CG⊥平面PBD.3．(2017·江苏怀仁中学模拟)如图，在四棱锥E－ABCD中，△ABD为正三角形，EB＝ED，CB＝CD.(1)求证：EC⊥BD；(2)若AB⊥BC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN∥平面BCE.证明(1)取BD的中点O，连结EO，CO.∵CD＝CB，EB＝ED，∴CO⊥BD，EO⊥BD.又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面EOC，∴BD⊥平面EOC.又EC⊂平面EOC，∴BD⊥EC.(2)∵N是AB的中点，△ABD为正三角形，∴DN⊥AB，∵BC⊥AB，∴DN∥BC.又BC⊂平面BCE，DN⊄平面BCE，∴DN∥平面BCE.∵M为AE的中点，N为AB的中点，∴MN∥BE，又MN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴MN∥平面BCE.∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面BCE.4．(2017·江苏楚水中学质检)如图，在三棱锥P－ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．(1)求证：P A∥平面BEF；(2)若平面P AB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥P A.证明(1)在△P AC中，E，F分别是棱PC，AC的中点，所以P A∥EF.又P A⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以P A∥平面BEF.(2)在平面P AB内过点P作PD⊥AB，垂足为D.因为平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面P AB ，所以PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BC ，又PB ⊥BC ，PD ∩PB ＝P ，PD ⊂平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ， 又P A ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A .(三)数 列(1)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝4，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知c n ＝2n ＋3(n ∈N *)，记d n ＝c n ＋log C a n (C >0且C ≠1)，是否存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．(3)若数列{b n }，对于任意的正整数n ，均有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22成立，求证：数列{b n }是等差数列． (1)解 a 1＝4－a 1，所以a 1＝2，由S n ＋a n ＝4，得当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝4， 两式相减，得2a n ＝a n －1，所以a n a n －1＝12，数列{a n }是以2为首项，公比为12的等比数列，所以a n ＝22－n (n ∈N *)． (2)解 由于数列{d n }是常数列， d n ＝c n ＋log C a n ＝2n ＋3＋(2－n )log C 2 ＝2n ＋3＋2log C 2－n log C 2＝(2－log C 2)n ＋3＋2log C 2为常数， 则2－log C 2＝0， 解得C ＝2，此时d n ＝7.(3)证明 b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22，①当n ＝1时，b 1a 1＝12－32＝－1，其中a 1＝2，所以b 1＝－12.当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －1a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－n ＋12，② ②式两边同时乘以12，得b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋14，③ 由①－③，得b n a 1＝－n －34，所以b n ＝－n 8－38(n ∈N *，n ≥2)，且b n ＋1－b n ＝－18，又b 1＝－12＝－18－38，所以数列{b n }是以－12为首项，公差为－18的等差数列．2．在数列{a n }中，已知a 1＝13，a n ＋1＝13a n －23n ＋1，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：数列{3n a n }是等差数列； (2)求S n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．(1)证明 因为a n ＋1＝13a n －23n ＋1，所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2. 又因为a 1＝13，所以31·a 1＝1，所以{3n a n }是首项为1，公差为－2的等差数列． (2)解 由(1)知3n a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ， 所以a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n，所以S n ＝1·⎝⎛⎭⎫131＋(－1)·⎝⎛⎭⎫132＋(－3)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ， 所以13S n ＝1·⎝⎛⎭⎫132＋(－1)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(5－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 两式相减，得23S n ＝13－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝13－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤19×1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝2n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 所以S n ＝n 3n .(3)解 假设存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列，则2S q ＝S p ＋S r ，即2q3q ＝p 3p ＋r 3r. 当n ≥2时，a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n<0，所以数列{S n }单调递减． 又p <q ，所以p ≤q －1且q 至少为2， 所以p 3p ≥q －13q －1，q －13q －1－2q 3q ＝q －33q .①当q ≥3时，p 3p ≥q －13q －1≥2q 3q ，又r 3r >0，所以p 3p ＋r 3r >2q3q ，等式不成立． ②当q ＝2时，p ＝1，所以49＝13＋r 3r ，所以r 3r ＝19，所以r ＝3({S n }单调递减，解惟一确定)． 综上可知，p ，q ，r 的值为1,2,3.(三)应用题1．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？(2)设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．(2)①当x ≤7时，y ＝360x ＋10x ＋236＝370x ＋236，②当x >7时，y ＝360x ＋236＋70＋6[(x －7)＋(x －6)＋…＋2＋1]＝3x 2＋321x ＋432，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236，x ≤7，3x 2＋321x ＋432，x >7，∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f (x )元． f (x )＝⎩⎨⎧370x ＋236x，x ≤7，3x 2＋321x ＋432x，x >7.当x ≤7时，f (x )＝370＋236x ，当且仅当x ＝7时，f (x )有最小值2 8267≈404(元)；当x ＞7时，f (x )＝3x 2＋321x ＋432x ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋144x ＋321≥393.当且仅当x ＝12时取等号．∵393<404，∴当x ＝12时f (x )有最小值393元．2．南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t 的近似函数的关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 3＋11t 2－24t ＋100，0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋100，10<t ≤12.(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i －1<t <i 表示第i 月份(i ＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月是衰退期？ (2)求一年内该地区冰川的最大体积．解 (1)当0<t ≤10时，V (t )＝－t 3＋11t 2－24t ＋100<100，化简得t 2－11t ＋24>0，解得t <3或t >8.又0<t ≤10，故0<t <3或8<t ≤10，当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋100<100， 解得10<t <413，又10<t ≤12，故10<t ≤12.综上得0<t <3或8<t ≤12.所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月共7个月． (2)由(1)知，V (t )的最大值只能在(3,9)内取到．由V ′(t )＝(－t 3＋11t 2－24t ＋100)′＝－3t 2＋22t －24， 令V ′(t )＝0，解得t ＝6或t ＝43(舍去)．当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表：由上表，V (t )在t ＝6时取得最大值V (6)＝136(亿立方米)． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．3．如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB .位于该市的某大学M 与市中心O 的距离OM ＝313 km ，且∠AOM ＝β.现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M .其中tan α＝2，cos β＝313，AO ＝15 km.(1)求大学M 与站A 的距离AM ； (2)求铁路AB 段的长AB .解 (1)在△AOM 中，AO ＝15，∠AOM ＝β且cos β＝313，OM ＝313， 由余弦定理，得AM 2＝OA 2＋OM 2－2OA ·OM ·cos ∠AOM ＝152＋(313)2－2×15×313×313＝13×9＋15×15－2×3×15×3＝72.∴AM ＝62，即大学M 与站A 的距离AM 为6 2 km. (2)∵cos β＝313，且β为锐角，∴sin β＝213， 在△AOM 中，由正弦定理，得AM sin β＝OMsin ∠MAO ，即62213＝313sin ∠MAO ，sin ∠MAO ＝22， ∴∠MAO ＝π4，∴∠ABO ＝α－π4，∵tan α＝2，∴sin α＝25，cos α＝15， ∴sin ∠ABO ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝110，又∠AOB ＝π－α，∴sin ∠AOB ＝sin(π－α)＝25. 在△AOB 中，OA ＝15，由正弦定理，得 AB sin ∠AOB ＝OA sin ∠ABO，即AB 25＝15110，∴AB ＝302，即铁路AB 段的长为30 2 km.4．(2017·江苏苏州大学指导卷)如图，某地区有一块长方形植物园ABCD ，AB ＝8(百米)，BC ＝4(百米)．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG ，满足下列要求：E 在CD 的延长线上，H 在BA 的延长线上，DE ＝0.5(百米)，AH ＝4(百米)，N 为AH 的中点，FN ⊥AH ，EF 为曲线段，它上面的任意一点到AD 与AH 的距离的乘积为定值，FG ，GH 均为线段，GH ⊥HA ，GH ＝0.5(百米)．(1)求四边形FGHN 的面积；(2)已知音乐广场M 在AB 上，AM ＝2(百米)，若计划在EFG 的某一处P 开一个植物园大门，在原植物园ABCD 内选一点Q 为中心建一个休息区，使得QM ＝PM ，且∠QMP ＝90°，问点P 在何处时，AQ 最小．解 (1)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．则E ⎝⎛⎭⎫－12，4，因为E 到AD 与AH 距离的乘积为2， 所以曲线EF 上的任意一点都在函数y ＝－2x 的图象上．由题意，N (－2,0)，所以F (－2,1)．四边形FGHN 的面积为12×⎝⎛⎭⎫12＋1×2＝32(平方百米)． (2)设P (x ，y )，则MP →＝(x －2，y )，MQ →＝(y ，－x ＋2)，AQ →＝(y ＋2，－x ＋2)，因为点Q 在原植物园内，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤y ＋2≤8，0≤2－x ≤4，即－2≤x ≤2.又点P 在曲线EFG 上，x ∈⎣⎡⎦⎤－4，－12， 所以－2≤x ≤－12，则点P 在曲线段EF 上，AQ ＝(y ＋2)2＋(2－x )2， 因为y ＝－2x ，所以AQ ＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋22＋(2－x )2＝ x 2＋4x 2－4x －8x＋8＝ ⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2－4⎝⎛⎭⎫x ＋2x ＋4 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋2x －22＝－x ＋2－x＋2≥22＋2. 当且仅当－x ＝－2x，即x ＝－2时等号成立．此时点P (－2，2)，即点P 在距离AD 与AH 均为2百米时，AQ 最小．(四)解析几何1．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，O 是坐标原点，P 是线段AB 的中点，若C 是点A 关于原点的对称点，Q 是线段BC 的中点，且OP ＝OQ ，设圆P 的方程为x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.(1)证明：线段AB 是圆P 的直径；(2)若存在正数p 使得2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2成立，当圆P 的圆心到直线x －2y ＝0的距离的最小值为255时，求p 的值．(1)证明 由题意知，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，点A (x 1，y 1)关于原点的对称点为C (－x 1，－y 1)，那么点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－x 1＋x 22，－y 1＋y 22，由OP ＝OQ ，得OP 2＝OQ 2， 即⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222＝⎝⎛⎭⎫－x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫－y 1＋y 222，得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， 从而x 1x 2＋y 1y 2＝0，由此得OA ⊥OB ，由方程x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0知，圆P 过原点，且点A ，B 在圆P 上， 故线段AB 是圆P 的直径．(2)解 由2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2，得x 1＋x 2＝12p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]，又圆心P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22到直线x －2y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22－(y 1＋y 2)5＝⎪⎪⎪⎪14p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]－(y 1＋y 2)5＝[(y 1＋y 2)－2p ]2＋4p 245p ≥4p 245p，当且仅当y 1＋y 2＝2p 时，等号成立，所以4p 245p ＝255，从而得p ＝2.2.如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，O 是坐标原点，OF ＝5，过点F 作OF 的垂线交椭圆C 于P 0，Q 0两点，△OP 0Q 0的面积为453.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点M (－5，0)的直线l 与上、下半椭圆分别交于点P ，Q ，且PM ＝2MQ ，求直线l 的方程．解 (1)由题设条件，P 0F ＝00OP Q S OF∆＝4535＝43.易知P 0F ＝b 2a ，所以b 2a ＝43.又c ＝OF ＝5，即a 2－b 2＝5，因此a 2－43a －5＝0，解得a ＝3或a ＝－53，又a >0，所以a ＝3，从而b ＝2. 故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意y 1>0，y 2<0，并可设直线l ：x ＝ty －5， 代入椭圆方程得(ty －5)29＋y 24＝1，即(4t 2＋9)y 2－85ty －16＝0. 从而y 1＋y 2＝85t 4t 2＋9，y 1y 2＝－164t 2＋9.又由PM ＝2MQ ，得y 1－y 2＝PMMQ＝2，即y 1＝－2y 2.因此y 1＋y 2＝－y 2，y 1y 2＝－2y 22， 故－164t 2＋9＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 4t 2＋92，可解得t 2＝14.注意到y 2＝－85t 4t 2＋9且y 2<0，知t >0，因此t ＝12.故满足题意的直线l 的方程为2x －y ＋25＝0.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l ：y ＝－12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .(1)求椭圆E 的标准方程； (2)求证：直线PQ 的斜率为定值． (1)解 因为e ＝c a ＝32，所以c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34a 2，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.由题意不妨设点A 在第二象限，点B 在第四象限，由⎩⎨⎧y ＝－12x ，x 24b 2＋y2b 2＝1，得A (－2b ，22b )． 又AB ＝210，所以OA ＝10，则2b 2＋12b 2＝52b 2＝10，得b ＝2，a ＝4.所以椭圆E 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)证明 由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1，A (－22，2)，B (22，－2)．①当直线CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.从而k 1·k CB ＝y 0－2x 0＋22·y 0＋2x 0－22＝y 20－2x 20－8＝4⎝⎛⎭⎫1－x 2016－2x 20－8＝2－x 204x 20－8＝－14，所以k CB ＝－14k 1.同理k DB ＝－14k 2.所以直线AD 的方程为y －2＝k 2(x ＋22)，直线BC 的方程为y ＋2＝－14k 1(x －22)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝－14k 1(x －22)，y －2＝k 2(x ＋22)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，y ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1，从而点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1.用k 2代替k 1，k 1代替k 2得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋1.所以k PQ ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1－2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋122(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1－22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1＝42(k 2－k 1)82(k 2－k 1)＝12.即直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.②当直线CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (－22，－2)． 设DA 的斜率为k ，由①知，k DB ＝－14k.因为直线CA ：x ＝－22，直线DB ：y ＋2＝－14k (x －22)，得P ⎝⎛⎭⎫－22，－2＋2k . 又直线BC ：y ＝－2，直线AD ：y －2＝k (x ＋22)， 得Q ⎝⎛⎭⎫－22－22k ，－2， 所以k PQ ＝12.由①②可知，直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.4．(2017·江苏预测卷)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，右准线的方程为x ＝433.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ⎝⎛⎭⎫12，2，过x 轴上的一个定点M 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若三条直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点M 的坐标． 解 (1)因为椭圆的离心率为32，右准线的方程为x ＝433， 所以e ＝c a ＝32，a 2c ＝433，则a ＝2，c ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，当直线l 为y ＝0时，A (－2,0)，B (2,0)， P A ，PM ，PB 的斜率分别为 k P A ＝45，k PM ＝41－2m，k PB ＝－43，因为直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，所以81－2m ＝45－43，m ＝8.证明如下：当M (8,0)时，直线P A ，PM ，PB 的斜率构成等差数列， 设AB ：y ＝k (x －8)，代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0， 得x 2＋4k 2(x －8)2－4＝0，即(1＋4k 2)x 2－64k 2x ＋256k 2－4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝64k 21＋4k 2，x 1x 2＝256k 2－41＋4k 2，又k PM ＝0－28－12＝－415， 所以k P A ＋k PB ＝y 1－2x 1－12＋y 2－2x 2－12＝kx 1－8k －2x 1－12＋kx 2－8k －2x 2－12＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－12＋1x 2－12＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2(x 1＋x 2)－1x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －264k 21＋4k 2－1256k 2－41＋4k 2－12×64k 21＋4k 2＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －260k 2－1154(60k 2－1)＝－815＝2k PM ，即证． (四)数 列(2)1．已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)若数列{a n }是常数列，d ＝2，c 2＝3，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n }是等差数列；(3)若a 1＝c 1＝d ＝k (k 为常数，k ∈N *)，b n ＝c n ＋k (n ≥2，n ∈N *)，求证：对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减．(1)解 因为d ＝2，c 2＝3，所以c n ＝2n －1. 因为数列{a n }是各项不为零的常数列， 所以a 1＝a 2＝…＝a n ，S n ＝na 1.则由c n S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 及c n ＝2n －1，得 n (2n －1)＝b 1＋b 2＋…＋b n ，当n ≥2时，(n －1)(2n －3)＝b 1＋b 2＋…＋b n －1， 两式相减得b n ＝4n －3.当n ＝1时，b 1＝1也满足b n ＝4n －3. 故b n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)证明 因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ， 当n ≥2时，c n －1S n －1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1， 两式相减得c n S n －c n －1S n －1＝a n b n ， 即(S n －1＋a n )c n －S n －1c n －1＝a n b n ， S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ， 所以S n －1d ＋λnc n ＝λnb n .又S n －1＝λ＋λ(n －1)2(n －1)＝λn (n －1)2，所以λn (n －1)2d ＋λnc n ＝λnb n ，即(n －1)2d ＋c n ＝b n ，(*) 所以当n ≥3时，(n －2)2d ＋c n －1＝b n －1，两式相减得b n －b n －1＝32d (n ≥3)，所以数列{b n }从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当n ＝1时，由c 1S 1＝a 1b 1，得c 1＝b 1. 当n ＝2时，由(*)得b 2＝(2－1)2d ＋c 2＝12d ＋(c 1＋d )＝b 1＋32d ，得b 2－b 1＝32d .故数列{b n }是公差为32d 的等差数列．(3)证明 由(2)得当n ≥2时，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＝a n (b n －c n )．因为b n ＝c n ＋k ，所以b n ＝c n ＋kd ， 即b n －c n ＝kd ， 所以S n －1d ＝a n ·kd ， 即S n －1＝ka n ，所以S n ＝S n －1＋a n ＝(k ＋1)a n . 当n ≥3时，S n －1＝(k ＋1)a n －1， 两式相减得a n ＝(k ＋1)a n －(k ＋1)a n －1， 即a n ＝k ＋1k a n －1，故从第二项起数列{a n }是等比数列， 所以当n ≥2时，a n ＝a 2⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2，b n ＝c n ＋k ＝c n ＋kd ＝c 1＋(n －1)k ＋k 2＝k ＋(n －1)k ＋k 2＝k (n ＋k )， 另外由已知条件得(a 1＋a 2)c 2＝a 1b 1＋a 2b 2. 又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k (2＋k )， 所以a 2＝1，因而a n ＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2.令d n ＝b na n ，则d n ＋1d n ＝b n ＋1a n a n ＋1b n ＝(n ＋k ＋1)k (n ＋k )(k ＋1).因为(n ＋k ＋1)k －(n ＋k )(k ＋1)＝－n <0， 所以d n ＋1d n<1，所以对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a n ＋a n ＋1，c n ＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)． (1)若数列{b 2n －1}是公比为3的等比数列，求S 2n ； (2)若数列{b n }是公差为3的等差数列，求S n ；(3)是否存在这样的数列{a n }，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立，若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由． 解 (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32.(2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＝3，∴{a 2k －1}，{a 2k }均是公差为3的等差数列，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·3＝3k －2，a 2k ＝a 2＋(k －1)·3＝3k －1，当n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＝k (1＋3k －2)2＋k (2＋3k －1)2＝3k 2＝3n 24； 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，S n ＝S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝3k 2－3k ＋1＝3×⎝⎛⎭⎫n ＋122－3·n ＋12＋1＝3n 2＋14.综上可知，S n＝⎩⎨⎧3n 24，n ＝2k ，k ∈N *，3n 2＋14，n ＝2k －1，k ∈N *.(3)∵{b n }成等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即2(a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)，a 2＋a 3＝a 1＋a 4，① ∵{c n }成等比数列，∴c 22＝c 1c 3. 即(a 2a 3)2＝(a 1a 2)·(a 3a 4)， ∵c 2＝a 2a 3≠0，∴a 2a 3＝a 1a 4，②由①②及a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝1，a 4＝2，设{b n }的公差为d ，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝d ，即a n ＋2－a n ＝d ，即数列{a n }的奇数项和偶数项都构成公差为d 的等差数列， 又d ＝a 3－a 1＝a 4－a 2＝0， ∴数列{a n }＝1,2,1,2,1,2，…，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *. 此时c n ＝2，{c n }是公比为1的等比数列，满足题意．∴存在数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *， 使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立．高考附加题加分练 1.矩阵与变换1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0，点A (1,0)在矩阵M 对应的变换作用下变为A ′(1,2)，求矩阵M 的逆矩阵M －1.解 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， ∴a ＝1，b ＝2.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 120，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 121 －12.2．(2017·江苏徐州一中检测)已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0， 设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x .又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝⎛⎭⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y . 3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量． 解 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1. 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1. 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y . 令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.4．(2017·江苏江阴中学质检)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解 M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－10. 2.坐标系与参数方程1．(2017·江苏兴化中学调研)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系． 解 将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2. 圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32>2， ∴曲线C 1与C 2相离．2．(2017·江苏金坛一中期中)已知在极坐标系下，圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2与直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点M 为圆C 上的动点，求点M 到直线l 的距离的最大值． 解 圆C 化为直角坐标方程，得x 2＋(y ＋1)2＝1. 直线l 化为直角坐标方程，得x ＋y ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1－2|2＝322，所以点M 到直线l 的距离的最大值为1＋322.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数． (1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值．解 (1)直线l ：x ＋y －1＝0，曲线C ：x 2＋y 2＝4， 圆心到直线的距离d ＝12， 故AB ＝2r 2－d 2＝14.(2)圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －m )2＝4， 直线l ：x ＋y －1＝0，由题意，知圆心到直线的距离d ＝|m －1|2＝1，∴m ＝1± 2.4．(2017·江苏昆山中学质检)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝3，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝1＋t(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大． 解 曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1，直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－12.因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2， 所以当sin ⎝⎛⎭⎫ θ＋π4＝－1，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 设点M 的极角为φ，则⎩⎨⎧ρcos φ＝－62，ρsin φ＝－22，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，φ＝7π6. 综上，当点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大． 3.空间向量与立体几何1．(2017·江苏南通中学月考)如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (2)求二面角A －BE －C 的正弦值．解 (1)以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，E (0,1,0)． EB →＝(2，－1,0)，AC →＝(0,2，－1)， ∴cos 〈EB →，AC →〉＝－25，即异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25.(2)AB →＝(2,0，－1)，AE →＝(0,1，－1)， 设平面ABE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则由n 1⊥AB →，n 1⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，y －z ＝0，取n 1＝(1,2,2)， 平面BEC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23，∴二面角A －BE －C 的余弦值cos θ＝23，∴sin θ＝53， 即二面角A －BE －C 的正弦值为53.2．(2017·江苏宜兴中学质检)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值．解 (1)由题意知，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3)，则A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)，DB 1→＝(1，－2,3)． 设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0， 得y ＝0，x ＝3z ，令z ＝1，得x ＝3，n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3＋3|10×14＝33535.(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，A 1B 1→＝(2,0,0)． 由m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0， 得a ＝0,2b ＝3c ，令c ＝2，得b ＝3，m ＝(0,3,2)． 设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， |cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝265， sin α＝3765＝345565.所以二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值为345565.3．(2017·江苏运河中学质检)在四棱锥P －ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝π2，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.设Q 为侧棱PC 上一点，PQ →＝λPC →.试确定λ的值，使得二面角Q －BD －P 为π4.解 因为侧面PCD ⊥底面ABCD ， 平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PD ⊥CD ， 所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ， 又∠ADC ＝π2，故DA ，DC ，DP 两两互相垂直．如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)，则平面PBD 的一个法向量为n ＝(－1,1,0)， PC →＝(0,2，－1)，PQ →＝λPC →，λ∈(0,1)， 所以Q (0,2λ，1－λ)．设平面QBD 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由m ·BD →＝0，m ·DQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0，所以取b ＝1，得m ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，2λλ－1， 所以cos π4＝|m ·n ||m ||n |，即22·2＋⎝⎛⎭⎫2λλ－12＝22. 注意到λ∈(0,1)，解得λ＝2－1.4．在三棱锥S －ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．。
03.高三数学选择题填空题专项训练十套-人教版[1]
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高三数学选择题+填空题专项训练（一）1．sin600︒=()(A)–23(B)–21.(C)23.(D)21.2．设A ={x|x ≥2},B ={x ||x –1|<3},则A ∩B=()(A)[2，4）(B)（–∞，–2](C)[–2，4）(D)[–2，+∞）3．若|a |=2sin150，|b |=4cos150，a 与b 的夹角为300，则a ·b 的值为()(A)23.(B)3.(C)32.(D)21.4．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a cos C+c cos A 的值为()(A)b.(B)2cb +.(C)2cosB.(D)2sinB.5．当x ∈R 时，令f (x )为sinx 与cosx 中的较大或相等者，设a ≤f (x )≤b,则a +b 等于()(A)0(B)1+22.(C)1–22.(D)22–1.6、函数1232)(3+-=x x x f 在区间[0,1]上是（）（A ）单调递增的函数.（B ）单调递减的函数.（C ）先减后增的函数.（D ）先增后减的函数.7．对于x ∈[0，1]的一切值，a +2b >0是使ax +b >0恒成立的（）(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件8．设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，a 3，···，a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（）(A)90个.(B)120个.(C)180个.(D)200个.9．已知函数y=f(x)（x∈R）满足f(x+1)=f(x–1)，且x∈[–1，1]时，f(x)=x2，则y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为()(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.10．给出下列命题：π,则sinx<x<tanx.(1)若0<x<2π<x<0,则sin x<x<tanx.(2)若–2(3)设A，B，C是△ABC的三个内角，若A>B>C,则sinA>sinB>sinC.(4)设A，B是钝角△ABC的两个锐角，若sinA>sinB>sinC则A>B>C..其中，正确命题的个数是（）(A)4.（B）3.（C）2.（D）1.11.某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km部分按0.4元/km定价，则客运票价y元与行程公里数x km之间的函数关系式是.12.设P是曲线y=x2–1上的动点，O为坐标原点，当|→--OP|2取得最小值时，点P 的坐标为.高三数学选择题+填空题专项训练（二）1．函数12x y -=(x >1)的反函数是（）（A ）y =1+log 2x (x >1)（B ）y =1+log 2x (x >0)（C ）y =－1+log 2x (x >1)（D ）y =log 2(x －1)(x >1)2．设集合A ={(x ,y )|y =2si n 2x }，集合B ={(x ,y )|y =x }，则（）（A ）A ∩B 中有3个元素（B ）A ∩B 中有1个元素（C ）A ∩B 中有2个元素（D ）A ∪B =R3．焦点在直线3x －4y －12=0上的抛物线的标准方程为（）（A ）x 2=－12y （B ）y 2=8x 或x 2=－6y （C ）y 2=16x（D ）x 2=－12y 或y 2=16y4．在△ABC 中“A >B ”是“cos A <cos B ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5．已知mn ≠0，则方程mx 2+ny 2=1与mx +ny 2=0在同一坐标系下的图象可能是（）6．在数列{a n }中，已知1n n ca n +=+(c ∈R )，则对于任意正整数n 有（）（A ）a n <a n +1（B ）a n 与a n +1的大小关系和c 有关（C ）a n >a n +1（D ）a n 与a n +1的大小关系和n 有关二．填空题：7．函数f (x )=12log (1)x -+的定义域为。
2020年江苏高考数学试卷及答案(含附加题)
2020年江苏高考数学试卷及答案（含附加题）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}0,2,3B =，则A B = __________。
2.已知i 是虚数单位，则复数()()12z i i =+-的实部是__________。
3.已知一组数据4，2a，3-a，5，6的平均数为4，则a 的值是__________。
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是。
5.右图是一个算法流程图,若输出y的值为-2,则输入x的值为。
6.在平面直角坐标系xOy中22y =,若双曲线()222105x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =,则该双曲线的离心率是。
7．已知()y f x =是奇函数，当0x >时，23()f x x =，则(8)f -的值是。
8.已知22sin +=43πα（），则sin 2α的值是。
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是3cm 。
10.将函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，则平移后的图像与y 轴最近的对称轴方程是。
11.设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，已知数列{}+n n a b 的前项和()221n n S n n n N *=-+-∈，则d q +的值是。
12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是。
13.在△ABC 中，4AB =，=3AC ，∠=90BAC °，D 在边AC 上，延长AD P 到，使得=9AP ，若32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（m 为常数），则CD 的长度是。
最新高考数学附加题加分练习(七)计数原理
计数原理1．已知等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，其中a i (i ＝0,1,2，…，10)为实常数．求：(1)n 的值；10∑n ＝1a(2)a n 的值．10∑n ＝1n解 (1)在(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10中，令x ＝－1，得a 0＝1.令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝25＝32.所以n ＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝31.10∑n ＝1a(2)等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10两边对x 求导，得5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9.在5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9中，令x ＝0，整理得a n ＝a 1＋2a 2＋…＋9a 9＋10a 10＝5·25＝160.10∑n ＝1n2．设等差数列{a n }的首项为1，公差为d (d ∈N *)，m 为数列{a n }中的项．(1)若d ＝3，试判断m 的展开式中是否含有常数项？并说明理由；(x ＋1x )(2)证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，m 的展开式中均不含(x ＋1x )常数项．(1)解 因为{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n －2.假设m 的展开式中第r ＋1项为常数项(r ∈N )，(x ＋1x )T r ＋1＝C x m －r r ＝，于是m －r ＝0.r m (1x )32C m r r m x 32设m ＝3n －2(n ∈N *)，则有3n －2＝r ，32即r ＝2n －，这与r ∈N 矛盾．43所以假设不成立，即m 的展开式中不含常数项．(x ＋1x )(2)证明 由题设知a n ＝1＋(n －1)d ，设m ＝1＋(n －1)d ，由(1)知，要使对于每一个m ，m 的展开式中均不含常数项，(x ＋1x )必须有：对于n ∈N *，满足1＋(n －1)d －r ＝0的r 无自然数解，即r ＝32(n －1)＋∉N .2d 323当d ＝3k (k ∈N *)时，r ＝(n －1)＋＝2k (n －1)＋∉N .2d 32323故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，m 的展开式中均不含常数(x ＋1x )项．3．已知f (x )＝(2＋)n ，其中n ∈N *.x (1)若展开式中含x 3项的系数为14，求n 的值；(2)当x ＝3时，求证：f (x )必可表示成＋(s ∈N *)的形式．s s －1(1)解 因为T r ＋1＝C 2n －r x ，当＝3时，r ＝6，r n2rr2故x 3项的系数为C 2n －6＝14，解得n ＝7.6n (2)证明 由二项式定理可知，(2＋)n ＝C 2n ()0＋C 2n －1()1＋C 2n －2()2＋…＋C 20()n ，30n 31n 32n 3n 3设(2＋)n ＝p ＋q ＝＋，p ，q ∈N *，33p 23q 2而若有(2＋)n ＝＋，a ，b ∈N *，3a b 则(2－)n ＝－，a ，b ∈N *.3a b ∵(＋)·(－)＝(2＋)n ·(2－)n ＝1，a b a b 33∴a －b ＝1，令a ＝s ，s ∈N *，得b ＝s －1，∴(2＋)n 必可表示成＋的形式，其中s ∈N *.3s s －14．设n ∈N *，n ≥3，k ∈N *.(1)求值：①k C －n C ；k nk －1n ②k 2C －n (n －1)C －n C (k ≥2)；k nk －2n k －1n (2)化简：12C ＋22C ＋32C ＋…＋(k ＋1)2C ＋…＋(n ＋1)2C .0n 1n 2n k n n 解 (1)①k C －n C ＝k ×－n ×k nk －1n n ！k ！(n －k )！(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝－＝0.n ！(k －1)！(n －k )！n ！(k －1)！(n －k )！②k 2C －n (n －1)C －n C k nk －2n k －1n ＝k 2×－n (n －1)×－n ×n ！k ！(n －k )！(n －2)！(k －2)！(n －k )！(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝k ×－－n ！(k －1)！(n －k )！n ！(k －2)！(n －k )！n ！(k －1)！(n －k )！＝＝0.n ！(k －2)！(n －k )！(k k －1－1－1k －1)(2)由(1)可知当k ≥2时，(k ＋1)2C k n＝(k 2＋2k ＋1)C ＝k 2C ＋2k C ＋C k nk n k n k n ＝[n (n －1)C ＋n C ]＋2n C ＋C k －2nk －1n k －1n k n ＝n (n －1)C ＋3n C ＋C .k －2nk －1n k n 故12C ＋22C ＋32C ＋…＋(k ＋1)2C ＋…＋(n ＋1)2C 0n 1n 2n k n n ＝(12C ＋22C )＋n (n －1)(C ＋C ＋…＋C )＋3n (C ＋0n 1n 0n －21n －2n －21n －1C ＋…＋C )＋(C ＋C ＋…＋C )2n －1n －12n 3n n ＝(1＋4n )＋n (n －1)2n －2＋3n (2n －1－1)＋(2n －1－n )＝2n －2(n 2＋5n ＋4)．。
2024学年山东省烟台第二中学高三数学试题综合练习(四)含附加题
2024学年山东省烟台第二中学高三数学试题综合练习（四）含附加题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3-B ．6-C ．4D ．92．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．423CD 4．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 6．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 7．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m nx y 的系数之和为（ ）A ．640B ．416C ．406D ．236-8．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.369．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．3B ．C ．6D ．10．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，31log2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>11．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．3012．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则AB =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤D ．{}21x x -≤<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【附加15套高考模拟试卷】浙江省2020届高三高考模拟训练评估卷(1)数学(文)试题含答案
浙江省2020届高三高考模拟训练评估卷（1）数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，则数列11{}n na a+⋅的前6项和为（ ） A ．215 B ．415 C ．511 D ．10112．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，L ，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n = 3．设函数f(x)=cos(x+3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称C ．f(x+π)的一个零点为x=6πD ．f(x)在(2π,π)单调递减4．在239(1x)(1x)(1x)++++⋯++的展开式中，含2x 项的系数是( ) A ．119 B ．120 C ．121 D ．7205．若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41a b+的最小值是（ ）A ．9B ．4C ．12D ．146．函数223()2xx x f x --=的大致图象为 A ． B ．C ．D ．7．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xx xπ≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数个数为（ ）(素数即质数，10.43429ge ≈，计算结果取整数) A ．1089 B ．1086 C ．434 D ．145 8．已知数列为等差数列,若,且其前项和有最大值,则使得的最大值为A ．11B ．19C ．20D ．219．已知关于x ，y 的不等式组()3{3020x y mx y x x +≥-+≥-≤，所表示的平面区域构成一个锐角三角形，则实数m 的取值范围为A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．（0，1）10．在ABC ∆中，若23()2||CA AB CB AB AB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则1tan tan A B+的最小值为（ ） A ．5 B ．25 C ．6 D ．6211．在函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数为（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③ 12．已知是双曲线的左焦点，过点且倾斜角为30°的直线与曲线的两条渐近线依次交于，两点，若是线段的中点，且是线段的中点，则直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高考附加题专项练习(一)1．过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．2．已知(n x 的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．3．动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域（含边界）上运动，且点P 到点F （0，1）和直线l 的距离之和为4．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点Q （0，－1）作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成的区域的面积．4．如图，正方题1111D C B A ABCD -中，M 是棱1BB 的中点。
⑴求直线M A 1与平面1AMC 所成角的正弦值； ⑵求二面角11A MC A --的余弦值。
BEAFDC高考附加题专项练习(二)1．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,1AB AF ==.(Ⅰ) 求二面角A-DF-B 的大小；(Ⅱ) 在线段AC 上找一点P,使PF 与AD 所成的角为600,试确定点P 的位置.2.已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程;（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.3. 某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （2）求η的分布列及期望E η．4. 求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积高考附加题专项练习(三)1．已知圆的极坐标方程为θθρsin 5cos 35-=，求它的半径和圆心的极坐标。
2某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。
设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。
（I ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望； （II ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品， 求这批产品被用户拒绝的概率。
3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有n n n S a S =-2)1(。
⑴求S 1，S 2，S 3；⑵猜想S n 的表达式并证明。
4．如图，正四棱柱1111D C B A -ABCD 中，421==AB AA ,点E 在上且EC E C 31=.高考附加题专项练习(四)1．计算定积分⑴⎰+202)sin (πdx x x ⑵dx x ⎰--11212．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．3.已知直线l 的参数方程⎩⎨⎧+==ty tx 21(t 为参数)和圆C 的极坐标方程)4sin(22πθρ+=。
⑴将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； ⑵判断直线l 和圆C 的位置关系。
4．直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11AC AA ==，BC =11ABB A 的两条对角线交点为D ，11B C 的中点为M ；⑴求异面直线AM 与BC 所成角的余弦值； ⑵证明CD ⊥平面BDM 。
高考附加题专项练习(五)1．经过抛物线2yx =上一点00(,)P x y （00x >）的切线L 与x 轴，及抛物线所围区域的面积为112，求直线L 的方程。
2．已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是θρcos 2=和θρsin 2a =(a 是非零常数)。
⑴将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵若两圆的圆心距为5，求a 的值。
3．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程2x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；4．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB =2，AB 1⊥BC 1⑴求BB 1的长；⑵求二面角A 1—AB 1—C 1的余弦值。
高考附加题专项练习(六)1.已知直线:sin()42L πρθ+=，圆:4cos 2sin C ρθθ=+，求C 点到直线L 的距离。
2.计算定积分：⑴222(cos sin )22x x dx ππ--⎰； ⑵211()x e dx x +⎰。
3．已知nn n n P n 21312111+++++++=（+∈N n ）。
用数学归纳法证明：n P nn =--++-+-211214131211 ；4．若33nx⎛ ⎝的展开式中含有常数项,试求最小的正整数n 。
高考附加题专项练习(七)1．已知直线L：12y x m=+是曲线C：()f x=⑴求m的值；⑵计算由直线L、曲线C及x轴围成的区域的面积。
2.已知直线L的极坐标方程为cos()42πρθ-=，点A（4，34π）到直线L的距离。
3．在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题。
规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为1 2 .(Ⅰ)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;(Ⅱ)设这4名考生中选做第15题的学生数为X个,求X的分布列及数学期望.4．在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(I) 求二面角C—DE—C1的正切值;(II) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.高考附加题专项练习(八)1．用数学归纳法证明不等式：211111(1)12n N n n n n n*++++>∈>++且．2.已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值3的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A ．3．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且2,1====AB DC AD PA ，，M 是PB 的中点． （1）求AC 与PB 所成的角余弦值； （2）求二面角A MC B --的余弦值．4．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．（1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；\高考附加题专项练习(九)1．求直线⎩⎨⎧-=+-=t y t x 1,2 （t 为参数）被圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 51,cos 53y x (θ参数)所截得的弦长。
2．甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。
假设甲队中每人答对的概率均为32，且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.求随机变量ε分布列和数学期望；3．一X 平行四边形的硬纸片0ABC D 中，1AD BD ==，AB =BD把△0BDC 折起，使点0C 到达平面0ABC D 外点C 的位置。
（Ⅰ）证明：平面0ABC D ⊥平面0CBC ；（Ⅱ）如果△ABC 为等腰三角形，求二面角A BD C --的大小。
4．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111a A ，其中R a ∈，若点P （1,1）在矩阵A 的变换下得到点P ’(0,－3)，（1）某某数a 的值； （2）求矩阵A 的特征值及特征向量高考附加题专项练习(一)参考答案1．解：直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，…………3分 曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．…………5分将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．…………8分AB 12s s =-．…………………10分2．解：（Ⅰ）由题设，得 02111C C 2C 42n n n +⨯=⨯⨯，…………………………3分即2980n n -+=，解得n ＝8，n ＝1（舍去）．……………………4分 （Ⅱ）设第r ＋1的系数最大，则1881188111C C 2211C C .22rr r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥………………………6分即1182(1)11.291r r r ⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥，≥解得r ＝2或r ＝3．……………8分 所以系数最大的项为537T x =，9247T x =．……………10分3．解：（Ⅰ）设P （x ，y ）34y -=．………………3分化简，得21(3)4y x y =≤．………………… 4分（Ⅱ）设过Q 的直线方程为1y kx =-，代入抛物线方程，整理，得2440x kx -+=．∴△＝216160k -=．解得1k =±．……………6分所求切线方程为1y x =±-（也可以用导数求得切线方程），此时切点的坐标为（2，1），（－2，1），且切点在曲线C 上．……………8分 由对称性知所求的区域的面积为2223021142(1)()041223x S x x dx x x =-+=-+=⎰．……………10分4．解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2。
⑴直线M A 1的一个方向向量是)1,2,0(-=m ，平面1AMC 的一个法向量是)2,1,1(-=n ，由15302,cos -=••>=<nm n m n m ，所以直线M A 1与平面1AMC 所成角的正弦值是15302。
⑵平面11MC A 的一个法向量是)2,1,1(=e ，平面1AMC 的一个法向量是)2,1,1(-=n ，由32,cos =••>=<ne n e n e ，所以二面角11A MC A --的余弦值是32。
高考附加题专项练习(二)参考答案1．解:(1)以,,CD CB CE 为正交基底,建立空间直角坐标系,则())(0,0,1),,E D B A,(1,0,0),(2,2,0),(2,0,1)ADF t BD BF ==-=面的法向量.设面DFB 法向量(,,),0,0n a b c n BD nBF =⋅=⋅=则,所以0(1,1,0c ==-+=⎪⎩令a=1,得n , 1cos ,,2n t <>=故二面角A-DF-B 的大小600………………………(5分)（2）设((,,0)0(2,2,1),(0,2,0)P a a a PFa a CB ≤≤=--=,则,因为)01,602aPFCB <>===所以cos60, 解得a =P 为AC 的中点.……………(10分) 2.解 （1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1112xy t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． （2）把直线12112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x ， 得2221(1)(1)4,1)2022t t t +++=+-=，122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2．3. 解 （1）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．…………4分（2）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为200E η=⨯分 4. 解 函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .…………………4分又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方， 所以所求面积为dx x x x A ⎰-++--=0123)2(dx x x x ⎰++-+223)2(1237=……10分 高考附加题专项练习(三)参考答案1.解：由θθρsin 5cos 35-=得2cos 5sin ρθρθ=-，………2分又sin cos y xρθρθ=⎧⎨=⎩，则225x y y +=-，………5分移项，配方得225(()2522x y -++=，………8分圆心为5(,)22-，半径是5。