2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期5月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期5月月考数

学试题

一、单选题

1．过点(1,2)且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-=

C ．240x y +-=

D ．230x y -+=

【答案】D

【解析】根据平行关系可设直线方程为20x y C -+=，代入(1,2)求得C ，从而得到结果. 【详解】

设所求直线方程为：20x y C -+= 代入(1,2)得：140C -+=，解得：3C =

∴所求直线方程为：230x y -+=

故选：D 【点睛】

本题考查根据直线平行关系求解直线方程的问题，属于基础题.

2．在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于（ ） A ．66 B ．132

C ．-66

D ．-132

【答案】D

【解析】利用韦达定理得3924a a +=-，进而612a =-，再利用求和公式求解即可 【详解】

因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-， 又396242a a a +=-=，所以612a =-，

6

1111111211()13222

a a a S ??+=

==-，

故选D. 【点睛】

本题考查等差数列的性质及求和公式，考查方程思想，是基础题

3．已知向量a 、b 满足2a =，1a b ?=-，则()

2a a b ?-=（ ） A ．8 B ．9

C ．7

D ．0

【答案】B

【解析】利用平面向量数量积的运算性质可求得()

2a a b ?-的值. 【详解】

由平面向量数量积的运算性质得()

()2

2

222219a a b a a b ?-=-?=?--=.

故选：B. 【点睛】

本题考查平面向量数量积的计算，考查了平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.

4．在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且843S S =，则128

S

S =（ ） A ．

4

3

B ．

53

C ．2

D ．3

【答案】C

【解析】设()40S t t =≠，可得83S t =，利用等差数列片段和的性质可知4S 、84S S -、

128S S -成等差数列，可求得12S ，进而可得出

12

8

S S 的值. 【详解】

设()40S t t =≠，可得83S t =，

由等差数列片段和的性质可知4S 、84S S -、128S S -成等差数列， 则()()8441282S S S S S -=+-，解得()128436S S S t =-=， 因此，

128623S t

S t

==. 故选：C. 【点睛】

本题考查利用等差数列片段和的性质求值，考查计算能力，属于基础题.

5．在平面直角坐标系中，点()1,2A 关于直线l ：0x y +=对称的点的坐标为（ ） A ．()2,1- B ．()2,1

C ．()2,1-

D ．()2,1--

【答案】D

【解析】先设点()1,2A 关于直线0x y +=的对称点为00(,)x y ，根据对称的关键点垂直与平分，列出等量关系式，求得结果. 【详解】

设点()1,2A 关于直线0x y +=的对称点为00(,)x y ，

根据条件可得00002

(1)11120

2

2y x x y -??-=-?-?

?++?+=??，解得0021x y =-??=-?，

所以点()1,2A 关于直线l ：0x y +=对称的点的坐标为()2,1--， 故选：D. 【点睛】

该题考查的是有关点关于直线的对称点的问题，在求解的过程中， 注意把握垂直与平分两条，求得结果.

6．下列说法中正确的个数是（ ）

（1）若命题0:p x R ?∈，2

000x x -≤，则0:p x R ??∈，2000x x ->；

（2）命题在ABC 中，30A >，则1

sin 2

A >

为真命题； （3）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件；

（4）ABC 中，若A B >，则sin sin A B >为真命题. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

【答案】B

【解析】利用特称命题的否定可判断命题（1）；取特殊值可判断命题（2）；取2

n

n a =-可判断命题（3）；利用大边对大角结合正弦定理边角互化思想可判断命题（4）.综合可得出结论. 【详解】

对于命题（1），命题p 的否定为0:p x R ??∈，2

000x x ->，命题（1）错误；

对于命题（2），在ABC 中，取15030A =>，则1

sin 2

A =

，命题（2）错误； 对于命题（3），取2n n a =-，则等比数列{}n a 的公比2q

，但数列{}n a 是递减数列，

所以，“1q >”不是“{}n a 为递增数列”的充分条件，命题（3）错误；

对于命题（4），在ABC 中，若A B >，则BC AC >，由正弦定理得sin sin A B >. 命题（4）正确. 故选：B. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查了特称命题的否定、充分不必要条件的判断，考查推理能力，属于中等题.

7．已知1a =，2b =，且()a a b ⊥+，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．1- B ．1

C ．1

2

-

D ．

12

【答案】C

【解析】通过数量积计算出夹角，然后可得到投影. 【详解】

()a a b ⊥+，()

0a a b ∴?+=，

即20a a b +?=，1a b ?=-，

a ∴在

b 方向上的投影为1

2a b b

?=-，

故选C. 【点睛】

本题主要考查向量的几何背景，建立数量积方程是解题的关键，难度不大. 8．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是（ ）

A B ．

3

C ．

23

π D ．

43

π 【答案】B

【解析】首先设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，根据题意得到1r =，计算出h =再求体积即可. 【详解】

设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，如图所示：

由题知：1

2222

r ππ=

??，解得1r =. 所以22213h -=. 故圆锥的体积2131333

V π=??=. 故选：B 【点睛】

本题主要考查圆锥体积的计算，同时考查了圆锥的侧面积，属于简单题. 9．ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，

21

sin sin cos 3a A B b A a +=

，则a b

等于（ ） A ．2 B ．3

C ．4

D ．6

【答案】B

【解析】利用正弦定理化简已知的等式，再利用同角三角函数间的基本关系变形，求出

sin A 与sin B 的比值，再利用正弦定理即可求出所求式子的值．

【详解】

因为2

1

sin sin cos 3

a A B

b A a +=

， 所以由正弦定理化得：22

1

sin sin sin cos sin 3

A B B A A +=， 整理得：(

)

22

1

sin sin cos sin sin 3

B A A B A +==，即sin 3sin A B = 则由正弦定理得：i 3sin s n a A b B

==. 故选：B ． 【点睛】

本题题考查了正弦定理的应用，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题目.

10．一个正方形内接于一个球，过球心作一截面，则截面的图形不可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】判断出可能的截面，由此确定不可能的截面. 【详解】

画出正方体如下图所示，设正方体外接球的球心为O .

,,,E F G H 是棱1111,,,BC B C A D AD 的中点，过,,,E F G H 的截面图像为B 选项对应

的图像.

过11BDD B 的截面图像为D 选项对应的图像.

设,,,I J K L 是棱1111,,,BB CC DD AA 靠近11,,,B C D A 的三等分点，过,,,I J K L 的截面图像为A 选项对应的图像. 故C 选项的图像不可能. 故选C.

【点睛】

本小题主要考查球与内接正方体的截面问题，考查空间想象能力，考查分析与思考问题的能力，属于基础题.

11．函数()1log (0,1)a f x x a a =+>≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线

20+-=mx ny 上，其中0mn >，则

11

m n

+的最小值为（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

【解析】【详解】

由题意可得函数()1log (0,1)a f x x a a =+>≠的图象恒过定点()1,1A ， 又点A 在直线20+-=mx ny 上，∴2m n +=，

∴

11m n +

=111()()112222n m m n m n m n ++=++≥+=， 当且仅当22n m

m n =，即1m n ==等号成立， 所以11

m n

+的最小值为2．

故选：B. 【点晴】

本题是结合对数函数的性质考查均值不等式的问题，合理利用“1”的变换是解题的关键，属于基础题.

12．已知ABC 中，30A ?=，10AB =，BC x =.若对任意[

)5,10x ∈时，

sin cos B B t +>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）

A

．12

t <

B

．1

2

t ≤

C ．1t ≤

D ．12

t ≤

【答案】A

【解析】由三角形内角和及诱导公式可得(

)

cos sin 30B C ?

=+，由正弦定理可得

51sin ,12C x ??

=

∈ ???

，易得()30,150C ??∈，进而可得()3060,180C ???+∈，()1cos sin 300,2B C ???

=+∈ ???

，易得)60,90B ???∈?，)45105,135B ????+∈?，(

)sin 45B ?+∈?

?

，最后由()sin cos 45t B B B ?<+=+得出实数t 的取值范围即可. 【详解】

由正弦定理得：10

1sin 2

x C =

，所以5sin C x

=，

又因为30A ?=，所以18030150B C C ???=--=-，

所以()()()

cos cos 150sin 18030sin 30B C C C ???

???=-=-+=+??

，

当[)5,10x ∈时，51sin ,12C x ??

=∈ ???

，所以()30,150C ??

∈，

所以()

3060,180C ???

+∈，所以(

)

1sin 300,2C ?

??+∈ ??

?，故1cos 0,2

B ??∈ ??

?

，

所以)60,90B ???∈?，)45105,135B ???

?+∈?，()sin 45B ?+∈??，

又()sin cos 45B B B ?

+=+，所以1sin cos 2B B ??++∈?????

，

因为对任意[

)5,10x ∈时，sin cos B B t +>恒成立，所以12

t +<. 故选：A . 【点睛】

本题考查正弦定理，考查诱导公式，考查辅助角公式，考查三角函数的最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于难题.

二、填空题

13．函数()f x =______. 【答案】[]1,2.

【解析】根据偶次根式的被开方非负列式，再根据对数的性质可解得结果. 【详解】

要使函数有意义，必有ln 0

20x x ≥??-≥?

，解得12x ≤≤，

所以函数()f x 的定义域为[]1,2. 故答案为：[]1,2. 【点睛】

本题考查了求具体函数定义域，考查了对数的性质，属于基础题.

14，长方体的各顶点均在同一球面上，则这个球的体积为________.

【解析】设长方体的棱长为,,a b c ，球的半径为r

，根据题意有ab ac bc ?=??

=??=??，再根据球

的直径是长方体的体对角线求解. 【详解】

设长方体的棱长为,,a b c ，球的半径为r ，

根据题意，ab ac bc ?=??

=??=??，

解得22

2132a c b ?=?=??=?

，

所以r =

所以外接球的体积为3

34433V r ππ==??

.

【点睛】

本题主要考查了球的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

15．植树节某班41名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在第n （1,2,,41n =???）个树坑旁边，则将树苗集中放置在第______个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小. 【答案】21.

【解析】根据题意利用等差数列的求和公式得到路程总和

()f n ()

2102841722n n =-+，再根据二次函数知识可得结果.

【详解】

设每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和为()f n ，

则

1

()10(1231)10(12341)2

f n n n =++++-+++++-， 所以(1)(11)(41)(141)

()202022

n n n n f n -+--+-=?+?

()2210834142n n n n =-+-+? ()2102841722n n =-+ ()22042861n n =-+

()2

2021420n ??=-+??

，

所以当21n =时，()f n 取得最小值. 故答案为：21. 【点睛】

本题考查了等差数列前n 项和公式的应用，考查了利用二次函数知识求等差数列前n 项和的最值，属于基础题.

16．一直线过点()2,2A 且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于B 、C 两点，O 为坐标原点.则OB OC BC +-的最大值为______.

【答案】8-【解析】设点(),0B

b 、()0,C

c ，可得出221b c

+=，可得()2bc b c =+，利用基本不

等式得出16bc ≥

，进而可得出

OB O C BC +-=

，利用不等式的基本性

质即可求得OB OC BC +-的最大值. 【详解】 设点(),0B

b 、()0,C

c ，其中0b >，0c >，则直线BC 的截距式方程为1x y

b c

+=， 由于点A 在直线BC 上，则

22

1b c +=，即()21b c bc

+=，()2bc b c ∴=+，

由基本不等式可得221b c =+≥，所以，16bc ≥，当且仅当4b c ==时，等号成立，

b c b c OB OC BC b c ++∴+-=+=

====

16

bc≥

，所以，

8

OB OC C

B=≤=-

∴+

-

故答案为：8-.

【点睛】

本题考查三角形边长和差的最值的求解，考查了直线的截距式方程以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于难题.

三、解答题

17．已知直线l经过直线3420

x y

+-=与直线220

x y

++=的交点P，且垂直于直线210

x y

--=．

（Ⅰ）求直线l的方程．

（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．

【答案】（1）220

x y

++=（2）1

【解析】【详解】

（1）

3420

220

x y

x y

+-=

?

?

++=

?

，解得

2

2

x

y

=-

?

?

=

?

，则点P的坐标为()

2,2

-．

由于点P的坐标是()

2,2

-，且所求直线l与直线210

x y

--=垂直，

可设所求直线l的方程为20

x y c

++=．

将点P坐标代入得()

2220

c

?-++=，解得2

c=．

故所求直线l的方程为220

x y

++=．

（2）由直线l的方程知它在x轴，y轴上的截距分别是1-，2-，

所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积

1

121

2

S=??=．

18．已知向量()([]

330

a cosx sinx

b xπ

==-∈

，，，，，．

（1）若a b，求x的值；

（2）记()

f x a b

=?，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

【答案】（1）5π6x =

（2）0x =时，()f x 取到最大值3； 5π

6

x =时，()f x 取到最

小值-【解析】（1）根据a b ，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x 的值． （2）根据()f x a b =?求解求函数y ＝f （x ）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x 的值． 【详解】

解：（1）∵向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，

，，． 由a b ，

可得：3sinx =，

即tanx =， ∵x ∈[0，π] ∴56

x π=

．

（2）由()233f x a b cosx x π??=?==+ ??

?

∵x ∈[0，π]， ∴225333x πππ??+

∈???

?， ∴当2233x ππ

+=时，即x ＝0时f （x ）max ＝3；

当2332x ππ+=，即56

x π=时()min f x =- 【点睛】

本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．

19．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设

()

2

2sin sin sin sin sin A C B A C +=+.

（1）求B ；

（2）若12b =，8a c -=，求ABC 的面积.

【答案】（1）23B π=

；（2）

3

. 【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可求得cos B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；

（2）利用余弦定理求得ac 的值，然后利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积. 【详解】 （1）

()

2

2sin sin sin sin sin A C B A C +=+，

由正弦定理得()2

2a c b ac +=+，则222a c b ac +-=-，

由余弦定理得2221

cos 22

a c

b B a

c +-==-，0B π<<，因此，23B π=

； （2）由余弦定理得()()2

2

2222cos 23b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=-++=-+， 即223812ac +=，解得80

3

ac =

，

因此，ABC 的面积为1180sin 22323

ABC S ac B ==??=

△【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，同时也考查了正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

20．已知数列{}n a ，1100a =，()

21N n n a a n +*

=∈.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设()1lg n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（1）210n

n a =；（2）1

2n n T n +=?.

【解析】（1）在等式21n n a a +=两边取常用对数，得出1lg 2lg n n a a +=，可得出数列{}

lg n a 是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}lg n a 的通项公式，进而可求得数列{}n a 的通项公式；

（2）求得()12n

n b n =+?，然后利用错位相减法可求得n T .

【详解】

（1）在数列{}n a 中，1100a =，()

21N n n a a n +*=∈，则20a >，30a >，

，0n a >，

对任意的n *∈N ，0n a >.

在等式2

1n n a a +=两边取常用对数，可得1lg 2lg n n a a +=，1

lg 2lg n n

a a +∴

=且1lg 2a =， 所以，数列{}lg n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，1

lg 222n n n a -∴=?=，

因此，210n

n a =；

（2）由（1）可得()()1lg 12n

n n b n a n =+=+?，

()12322324212n n T n ∴=?+?+?+

++?，

()23122232212n n n T n n +=?+?+

+?++?，

上式-下式得

()()()2112311

212222221241212

n n n n n T n n -++--=?+++

+-+?=+

-+?-12n n +=-?，

因此，1

2n n T n +=?.

【点睛】

本题考查利用构造法求数列通项，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.

21．已知过原点O 的一条直线与函数9log y x =的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、

B 作y 轴的平行线与函数3log y x =的图象交于

C 、

D 两点.

（1）证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上； （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标. 【答案】（1）证明见解析；（2）()92,log 2A .

【解析】（1）设点()191,log A x x 、()292,log B x x ，可得点()131,log C x x 、

()232,log D x x ，由A 、O 、B 三点共线得出9192

12log log x x x x =，然后证明出3132

12

log log x x x x =即可得出结论； （2）由//BC x 轴得出9231log log x x =，可得出2

21x x =，再由

3132

12

log log x x x x =可求

得1x 的值，进而可求得点A 的坐标. 【详解】

（1）设点()191,log A x x 、()292,log B x x ，则点()131,log C x x 、()232,log D x x ，

由于A 、O 、B 三点共线，则

919212log log x x x x =，即3132

12

log log 22x x x x =， 所以，3132

12

log log x x x x =，因此，点C 、D 和原点O 在同一直线上； （2）由于//BC x 轴，则9231log log x x =，即

32311

log log 2

x x =，所以221x x =， 由于231323131

22

1211log log log 2log x x x x x x x x ===，解得12x =， 所以，点A 的坐标为()92,log 2. 【点睛】

本题考查三点共线的证明，同时也考查了利用直线平行求点的坐标，考查对数换底公式的应用，参考计算能力，属于中等题.

22．已知数列{}n a 满足对任意的*n ∈N ，都有()2

33

3

1212n n a a a a a a ++

+=++

+且

0n a ＞.

(1)求1a ，2a 的值；

(2)求数列{}n a 的通项公式n a ； (3)设数列21n n a a +?

??

???

的前n 项和为n S ，不等式()1

log 13n a S a >-对任意的正整数n 恒成

立，求实数a 的取值范围．

【答案】(1) 11a ＝，22a ＝；(2) n a n ＝；(3) 10,2??

???

【解析】（1）令n=1，2可以求a 1=1，a 2=2．

（2）由已知可得a 13+a 23+…+a n+13=(a 1+a 2+…+ a n+1)2，两式相减，结合a n ＞0可求得a n+12

＝2(a 1+a 2+…+a n )+a n+1，则可得a n 2＝2(a 1+a 2+…+a n ?1)+a n ，n≥2，两式相减整理可得

a n+1-a n =1，从而可得数列{a n }是等差数列，可求通项公式n a （3）由（2）知

()211111222n n a a n n n n +??

==- ?++??

，利用裂项可求和，即可求出n S 的

最小值，从而解决问题． 【详解】

解：(1)当1n ＝时，有3211a a =，

()2

333

1212n n a a a a a a ++

+=++

+

由于0n a ＞，所以11a ＝

. 当2n ＝时，有()2

33

1212a a a a +=+，

将11a ＝

代入上式，由于0n a ＞，所以22a ＝. (2)由于()2

333

1212n n a a a a a a +++=++

+，① 则有()2

3333121121n n n n a a a a a a a a ++++

++=++

++.②

②－①，得()()2

2

3

112112n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++，

由于0n a ＞，所以()211212n n n a a a a a ++=++

++.③

同样有()()212122n n n a a a a a n -=++

++≥，④

③－④，得22

11n n n n a a a a ++-=+，

所以11n n a a +-=，

由于211a a －＝

，即当1n ≥时都有11n n a a +－＝， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． 故n a n ＝. (3)由(2)知n a n ＝

则()211111222n n a a n n n n +??

==- ?++??

，

所以1324

112

1111

n n n n n S a a a a a a a a -++=

+++

+

1111111111111112322423521122n n n n ??????????=

-+-+-++-+- ? ? ? ? ?-++??????

????

11113111122124212n n n n ????=

+--=-+ ? ?++++????

. ()()

11

013n n S S n n +++－＝

＞，

∴数列{}n S 单调递增． 所以()1min 13

n S S ＝＝. 要使不等式()1

log 13

n a S a >-对任意正整数n 恒成立， 只要

()11

log 133

a a >-．10a －＞，0 1.a ∴＜＜ 1a a ∴－＞，即102a ＜＜.所以，实数a 的取值范围是10,2??

???

.

【点睛】

本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，及构造等差数列求解通项公式，还考查了裂项求解数列的和，要注意()211111222n n a a n n n n +??==- ?++??中的系数1

2

不要漏掉．