湖南省长沙市明德中学2020-2021学年高一5月月考数学试题 答案和解析
（1）这50名学生的众数P与中位数M（精确到0.1）；
（2）若在第3、5组的学生中，用分层抽样抽取11名学生参加心理测试，请问：在第3、5组各应抽取多少名学生参加测试；
（3）为了进一步获得研究资料，学校决定再从第1组和第2组的学生中，随机抽取3名学生进行心理测试，列出所有基本事件，并求：
考点：1．程序框图；2．概率．
5．D
【解析】试题分析：根据分层抽样和系统抽样的定义进行判断．①中数据相差30，符合系统抽样，也可能是分层抽样．②中数据排列没有规律．③中数据相差30，符合系统抽样的定义，也可能是分层抽样．④中数据相差30，但第一个数据大于30，不可能是系统抽样．
解：在系统抽样中，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．则每一段的号码数为30．
三、解答题
16．已知 ．
（I）求 的值；
（Ⅱ）求 的值；
（III）若 ，求 的值．
17．已知点 ， 为坐标原点．
（Ⅰ）若 ,求 的值；
（Ⅱ）若实数 满足 ,求 的最大值．
18．如图所示，□ABCD中， = ， = ， ， ,
(1)试用向量 ， 来表示 .
(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值.
19．从高一年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．
A．周期为4的奇函数B．周期为4的偶函数
C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数
8．如图所示，下列结论正确的是( )
；② ；
③ ；④ .
A．①②B．③④C．①③D．②④
9．已知 均为锐角， ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
10．若函数 ，（ ）的图象与 轴交于点 ，过点 的直线 与函数的图象交于 两点，则 （）
3．A
【解析】
由题意得，
同 ，故选A.
4．C
【解析】
试题分析：由程序框图可知：初始条件
1． 是，所以 ，从而
2． 是，所以 ，从而
3． 是，所以 ，从而
4． 是，所以 ，从而
5． 是，所以 ，从而
6． 是，所以 ，从而
7． 是，所以 ，从而
8． 否．从而集合 ；而函数 是增函数必须且只需 ，故所求概率 ，故选C．
①中数据为7，37，67，97，127，157，187，217，247，277，数据相差30，所以①为系统抽样或分层抽样．
②中数据5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；数据排列没有规律，可能为分层抽样．
③中数据11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；数据相差30，所以③为系统抽样或分层抽样．
3．已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：
则下列结论正确的是( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为 ，从集合 中任取一个元素 ，则函数 是增函数的概率为（）
A． B． C． D．
5．某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：
①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277；②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；
③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300
关于上述样本的下列结论中，正确的是（）
④中数据31，61，91，121，151，181，211，241，271，300，数据相差30，但第一个数据大于30，所以④不可能是系统抽样．
故D正确．
故选D．
点评：本题主要考查抽样方法的应用，要求熟练掌握分层抽样和系统抽样的定义和区别．
A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样
C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样
6．设 ,若 在 方向上的投影为 ,且 在 方向上的投影为3,则 和 的夹角等于( )
A． B． C． D．
7．已知函数f(x)＝ sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若 · ＝0，则函数f(x＋1)是()
A．-32B．-16C．16D．32
二、填空题
11．化简 =___________
12．已知 则 _________
13．若 ，则 ______.
14．在矩形 中，已知 ，点E是BC的中点，点F在CD上， 则 的值是_______.
15．函数 的图象为 ，则（1）图象 关于直线 对称；（2）图象 关于点 对称；（3）函数 在区间 内是增函数；（4）由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 ，以上结论中正确的序号是__________．
（ⅰ）第1组中的甲同学和第2组中的A同学都没有被抽到的概率；
（ⅱ）第1组中至多有一个同学入选的概率．
20．已知函数 （ ， ）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为 .
（1）当 时，求 的单调递减区间；
（2）将函数 的图象沿 轴方向向右平移 个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象.当 时，求函数 的值域.
21．已知 ， ．
（1）求当 时， 的值域；
（2）若函数 在 内有且只有一个零点，求 的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】
由题意得，在 中，由正弦定理 ，
又 ，所以 或 ,
当 时， ，所以 的面积为 ；
当 时， ，所以 的面积为 ，故选D.
2．A
【解析】
试题分析： ，最小正周期 ,振幅 ,故选A．
考点：三角函数的性质
湖南省长沙市明德中学【最新】高一5月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． 的值等于（）
A． B． C． D．
2．函数f（x）＝sin xcos x＋ cos 2x的最小正周期和振幅分别是（）
A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2
2021届湖南省长沙市明德中学高三入学检测数学(理)试题Word版含解析
2021届湖南省长沙市明德中学高三入学检测数学（理）试题一、单选题1．设集合2{|230}A x Z x x =∈--≤，{0,1}B =，则A C B =（ ） A ．{3,2,1}--- B ．{1,2,3}- C ．{1,0,1,2,3}- D ．{0,1}【答案】B【解析】由题可知{}1,0,1,2,3A =-，则{}1,2,3A B =-．故本题选B ． 2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】由2()0a b a -<一定可得出a b <；但反过来，由a b <不一定得出2()0a b a -<，如0a =，故选A. 【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键. 3．已知i 为虚数单位，则复数21i+在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】分析：首先应用复数的运算法则，将复数化为最简形式，根据复数在复平面内对应的点的坐标，确定其所在的象限即可求得结果. 详解：22(1)2211(1)(1)2i ii i i i --===-++-， 在复平面内对应的点为(1,1)-，所以在第四象限，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及复数在复平面内对应的点的坐标，从而确定出其所在的象限.4．已知函数，若,则实数的取值范围是( )A ．(-∞,-1)∪(2,+∞)B ．(-∞,-2)∪(1,+∞)C ．(-1,2)D ．(-2,1) 【答案】D【解析】试题分析：根据函数的解析式可知，函数是定义域上的增函数，所以的等价条件是，解得，故选D ．【考点】函数的单调性的判段和应用． 5．定义运算： ,*{,a a b a b b a b≤=>．例如1*21=，则函数()sin *cos f x x x =的值域为（ ）A ．22⎡⎢⎣⎦B ．[]1,1-C ．2⎤⎥⎣⎦D ．2⎡-⎢⎣⎦【答案】D【解析】试题分析：根据三角函数的周期性，我们只看在一个最小正周期的情况即可，设[]0,2x π∈，当344x ππ≤≤时， ()()2sin cos ,cos ,1,2x x f x x f x ⎡≥=∈-⎢⎣⎦，当04x π≤<或324x ππ≤时， ()()][2cos sin ,sin ,0,1,02x x f x x f x ⎡⎤>=∈⋃-⎢⎥⎣⎦，综合知()f x 的值域为2⎡-⎢⎣⎦，故选D ．【考点】1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题．6．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足13OP =（11222OA OB OC ++），则点P 一定为三角形ABC 的（ ）A ．BC 边中线的中点B ．BC 边中线的三等分点（非重心）C ．重心D ．BC 边的中点 【答案】B【解析】由O 是△ABC 的重心可得0OA OB OC ++=,代入1112322OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭中即可得到12OP OA =,进而判断P 点位置即可【详解】O 是△ABC 的重心,0OA OB OC ∴++=,()1111313232211223232OP OA OB OC OA OA OB OC OA OA ⎛⎫⎡⎤=++==⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭+++⎦=⎣,∴点P 是BC 边中线的三等分点（非重心）故选：B 【点睛】本题考查向量在几何中的应用,考查重心在向量中的应用7．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是 A ．14 B ．18C ．78-D ．38-【答案】C【解析】∵函数y ＝f(2x 2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，∴方程f(2x 2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(2x 2＋1)＋f(λ－x)＝0⇔f(2x 2＋1)＝－f(λ－x)⇔f(2x 2＋1)＝f(x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，∴方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，∴Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故选C. 8．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2+c 2﹣bc ，a ＝3，则△ABC 的周长的最大值为（ ） A ．3 B ．6C 3D ．9【答案】D【解析】利用均值不等式可得()2224b c b c bc ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,代入()22223a b c bc b c bc =+-=+-中即可求得b c +的最大值,进而求得三角形周长的最大值 【详解】由题,222b c a bc +-=,即()22223a b c bc b c bc =+-=+-,()293b c bc ∴=+-,()2224b c b c bc ++⎛⎫≤=⎪⎝⎭,()()()22231944b c b c b c +∴≥+-=+,即()236b c +≤,则6b c +≤,当且仅当b c =时取等, ()()max 369ABC Ca b c ∴=++=+=,故选：D 【点睛】本题考查均值不等式在几何中的应用,考查三角形周长最值问题 9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n ﹣3n ，则a 2019＝（ ） A ．﹣22019﹣1B ．32019﹣6C ．12⎛⎫⎪⎝⎭201972-D ．2019110()33-【答案】A【解析】当1n =时,13a =-；当2n ≥时,可得123n n a a -=--,即得到{}1n a +是首项为2-,公比为2-的等比数列,可得()21nn a =--,将2019n =代入求解即可 【详解】由题,当1n =时,11323S a =-,即11323a a =-,13a ∴=-； 当2n ≥时,()113231n n S a n --=--,()113223n n n n S S a a --∴-=--, 则13223n n n a a a -=--,即123n n a a -=--,()1121n n a a -∴+=-+,112a +=-{}1n a ∴+是首项为2-,公比为2-的等比数列, ()12nn a ∴+=-,即()21nn a =--, ()2019201920192121a ∴=--=--,故选：A 【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的项,考查运算能力10．已知BC 是圆O 的直径，H 是圆O 的弦AB 上的一动点，10BC =，8AB =，则HB HC ⋅的最小值为( ) A ．4- B ．25-C ．9-D ．16-【答案】D【解析】 以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 设点,()H x y ，则(5,0),(5,0)B C -， 所以(5,),(5,)HB x y HC x y =---=--则22(5,)(5,)25HB HC x y x y x y ⋅=---⋅--=+-，又因为8AB =，且H 在弦AB 上一动点，所以22925x y ≤+≤，其中当取AB 的中点时取得最小值，所以92516HB HC ⋅=-=-，故选D ．点睛：本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解答的关键是建立适当的直角坐标系，表示出向量,HB HC 的坐标，再利用圆的性质求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，对于平面向量的运算问题，通常有两种方法：一是建立平面的基底，利用基底运算；二是建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可．11．由曲线y＝x2和曲线y x=围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为（）A．13B．310C．14D．15【答案】A【解析】先求出曲线2y x与y x=()0,0,()1,1,则)12S x x dx=⎰,求解即可【详解】由题,曲线2y x与y x=()0,0,()1,1,则)11323200211333S x x dx x x⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎰故选：A【点睛】本题考查利用定积分求面积,考查微积分基本定理的应用12．给出定义：设f′（x）是函数y＝（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”，已知函数f（x）＝5x+4sin x﹣cos x的“拐点”是M（x0，f（x0）），则点M（）A．在直线y＝﹣5x上B．在直线y＝5x上C．在直线y＝﹣4x上D．在直线y＝4x上【答案】B【解析】先求出()4sin cosf x x x''=-+,令()0f x''=可得004sin cos0x x-=,代入可得到()005f x x=,进而可判断M所在直线【详解】由题,()54cos sinf x x x'=++,()4sin cosf x x x''=-+,令()0f x''=,则004sin cos0x x-=,()0000054sin cos5f x x x x x∴=+-=,()()00,M x f x ∴在直线5y x =上 故选：B 【点睛】本题考查导数的计算,属于基础题二、填空题13．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2+|a |x a b -⋅=0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是_____． 【答案】23π【解析】由关于x 的方程20x a b a x +-⋅=有两相等实根,可得240a a b ∆=+⋅=,解得1cos 2θ=-,即可求出a 与b 的夹角【详解】∵已知|2a b =,0b ≠,且关于x 的方程20x a b a x +-⋅=有两相等实根,∴240a a b ∆=+⋅=, 设向量a 与b 的夹角为θ, 则()2242cos 0bb b θ∆=+⨯=,可解得1cos 2θ=-0θπ≤≤,则向量a 与b 的夹角θ为23π 故答案为：23π 【点睛】本题考查向量的夹角,考查方程的解的应用14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N)，则a n ＝________． 【答案】222n n -+【解析】根据递推关系，利用累加法求数列通项. 【详解】由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1得111n na a +-＝n ， 则由累加法得111n a a -＝1＋2＋…＋(n －1)＝22n n-，又因为a 1＝1，所以2112n n n a -=+，所以a n ＝222n n -+.【点睛】本题考查利用累加法求数列通项，考查基本分析求解能力.15．当(,1]x ∈-∞-时，不等式()2420x xm m -⋅-<恒成立，则实数m 的取值范围为______.【答案】(1,2)-【解析】利用分离参数法，可以得到212xm m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，求出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,1]x ∈-∞-上的最小值，只要2m m -小于其最小值，解不等式即可得出实数m 的取值范围。
湖南省长沙市明达中学2020-2021学年度高一上学期期末考试试题 数学【含答案】
若 ，
（1）若 的解集为 ，求 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集.
【解析】（1） 的解集为 ， ，1是 的解.
.解得：
（2）当 时，不等式的解为 ，解集为
当 时，分解因式 根为 ， .
当 时， ，不等式的解为 或 ；解集为 .
当 时， ，不等式的解为 ；解集为 .
当 时， ，不等式的解为 ；等式的解集为 .
A． B． C． 且 D．
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分．
9.下列函数中，最小值为2的有（）
A． B．
C． D．
10.下列各式中值为 的是（）
A． B．
C． D．
11.下列命题是假命题的是（）
A． B． C． D．
2.已知 ，则“ ”是“ ”的（C）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3.函数 的零点所在的一个区间是（C）．
A． B． C． D．
4.下列函数中，既在 上单调递减，又是奇函数的是（D）
A． B． C． D．
5.设 ， ， ，则（B）．
当 时，原不等式为 ，不等式的解集为 .
综上：当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
22.（本题满分12分）
明达校园有很多花卉植物，有一种水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放 个单位的营养液，它在水中释放的浓度 （克/升）随着时间 （天）变化的函数关系式近似为 ，其中 ，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．
湖南省长沙市2020-2021学年高一数学下学期期末试卷【含答案】
长沙市2020-2021学年度高一第二学期期末考试数学时量：120分钟 满分：150分得分__________．一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的倾斜角是（）10y +-=A. B. C. D. 3π6π23π56πC【分析】将一般式化成斜截式，再根据即可求解tan θk =【变形可得，则，又，所以10y +-=1y =+tan k θ==[)0,θπ∈，23πθ=故选：C本题考查由直线的一般式求解直线倾斜角，属于基础题2. 如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD AC BD 下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）A. 与B. 与PD ABPB DAC. 与D. 与PC BDPA CDC【分析】根据线面垂直的判定定理及向量垂直的充要条件即可求解.【详解】对于A,因为平面，平面,所以,因为底面PA ⊥ABCD AB ÌABCD PA AB ⊥为矩形，所以,,平面,所以平面ABCD AB AD ⊥PA AD A ⋂=,AD AP ⊂PAD AB ⊥，平面,所以,即，所以，故A 不正确；PAD PD ⊂PAD AB PD ⊥AB PD ⊥0AB PD =⋅ 对于B, 因为平面，平面,所以,因为底面为矩PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD ⊥ABCD 形，所以,,平面,所以平面，AB AD ⊥PA AB A = ,AB AP ⊂PAB AD ⊥PAB 平面,所以,即，所以，故B 不正确；PB ⊂PAB PB AD ⊥PB AD ⊥0DA PB =⋅ 对于C ，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所ABCD AC BD PC BD 以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C 正确．PC BD PC BD 对于D,因为平面，平面,所以,因为底面为矩PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥ABCD 形，所以,,平面,所以平面，CD AD ⊥PA AD A ⋂=,AD AP ⊂PAD CD ⊥PAD 平面,所以,即，所以，故D 不正确.PA ⊂PAD PA CD ⊥PA CD ⊥ 0PA CD ⋅=故选：C.3. 设复数满足：，则的共轭复数是（）z ()1i i 3z ⋅+=-z z =A. B. C. D. 12i -+12i+12i--12i-C【分析】根据复数代数形式的除法法则化简复数，即可得到其共轭复数；z 【详解】解：，()1i i 3z ⋅+=- ，()()()()2i 31i i 3i i 33i 24i12i1i 1i 1i 22z ----+-+-+∴=====-+++-．12i z ∴=--故选：C ．4. 过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）A. x-2y-1=0B. x-2y+1=0C. 2x+y-2=0D. x+2y-1=0A【分析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果.【详解】设与直线平行的直线方程为，将点代入直线方程可得，解得．则所求直线方程为．故A 正确．本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为．5. 根据历年气象统计资料，某市在七月份的某一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为35%，吹南风或下雨的概率为38%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）A. 22%B. 13%C. 24%D. 28%A【分析】根据概率公式直接得出结论.【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为.25%35%38%22%+-=故选：A.6. 已知一组数据的分位数为4，则的值和其总体方差分别为（）,3,2,6a -50%a A. 2，9 B. 3，10C. D. 175,3195,2D【分析】根据第百分位数的定义及方差计算公式即可求解.p 【详解】因为数据的第数为4，所以，解得，,3,2,6a -50%342a +=5a =所以这组数据的平均数为，()1235634⨯-+++=所以方差为，2222119(23)(33)(53)(63)42⎡⎤⨯--+-+-+-=⎣⎦故选：D.7. 三棱锥P --ABC 中，PA ⊥平面ABC ，则该三棱锥外接球的2,3,6,3BAC AP BC π∠===表面积为（ ）A. B. C. D. 45π63π57π84πC【分析】将三棱锥P--ABC 中放在圆柱中，由正弦定理得的外接圆的直径，再结合12O O ABC 1O 2r 勾股定理求得外接球的直径，从而求得表面积.【详解】作出的外接圆由于PA ⊥平面ABC ，可将三棱锥P --ABC 中放在圆柱ABC 1O 中，如图所示：12O O 因为由正弦定理得的外接圆的直径为2,6,3BAC BC π∠==ABC 1O，22sin 3BC r π==∠又,则三棱锥P--ABC 外接球的直径为3AP =，故外接球的表面积为()()2222294857R PA r =+=+=2457S R ππ==方法点睛：求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.8. 已知三个内角，，及其对边，，，其中，角为锐角，且ABC A B C a b cB b =， 则面积的最大值为（）()222tan ac b B +-=ABC ∆C. D. 3432A【分析】由余弦定理求得，且，再由三角形的面积公式和基本不等式可得选项.3Bπ=223ac a c =+-【详解】由得()222tan a c b β+-=222tan 2a c b ac β⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即，而，所以，cos tan ββ=sin B =02B π<<3B π=所以，又因为，1sin 2ABCS ac B == 222221cos 322a c b B ac a c ac +-==⇒=+-所以，所以22323ac a c ac =+-≥-3ac ≤3≤=故选：A.本题考查运用余弦定理解三角形，三角形的面积公式，以及运用基本不等式求最值，属于中档题.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09. 下列说法不正确的是（）A. 抛掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B. 若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据比乙组数据稳定0.030.1C. 为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式D. 一组数据的中位数和众数都是51255533､､､､､､ACD【分析】对于A,根据随机事件的定义即可求解；对于B ，根据方差的性质及作用即可求解；对于C ，抽样调查和全面调查的定义即可求解；对于D ，根据中位数和众数的定义即可求解.【详解】对于A ，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A 错误；对于B ，因为方差越小越稳定，故B 正确；对于C ，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C 错误；对于D ，数据按从小到大排列后为，则其中位数为3，众数为5，125,5533､､､､､123355,5､､､､､故D 错误，故选: ACD.10. 复数满足，则下列说法正确的是（ ）i z a b =+11iz =+A. 在复平面内点落在第四象限(),a b B.为实数()1i z --1-C.z =D. 复数的虚部为z 1i2-ABC【分析】根据复数的除法法则及复数相等的条件，再利用复数的几何意义及复数的模公式，结合复数的概念即可求解.【详解】由，得，11i z =+()()11i 11i 1i 1i 1i 22z -===-++-所以，点落在第四象限，故A 正确；11,22a b ==-11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，故B 正确；()()()2111111111i 1i i 1i i i 122222222z ⎛⎫--=---=-⨯+-+=--=-⎪⎝⎭所以，故C正确；z ==由，得复数的虚部为，故D 不正确．11i 22z =-z 12-故选：．ABC 11. 设直线与圆，则下列结论正确的为（ ）():1l y kx k =+∈R 22:5C x y +=A. 直线与圆一定相交l C B. 直线一定将圆平分l C C. 当时，被截得的1k =l C D. 被截得的最短弦长为4l C AD【分析】结合直线与圆的知识对选项进行分析，利用弦长公式确定CD 正误，利用直线过定点判断A,利用斜率判断B,从而确定正确选项.【详解】圆C 对于A 选项，直线过定，点，且点在圆内，则直线与圆必相交，A 选项l ()0,1()0,1C l C 正确；对于B 选项，若直线将圆平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，B 选项不正l C l l确；对于C 选项，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，1k =l 10x y -+=Cl d =所以，直线被截得的弦长为，C 选项错误；lC =对于D 选项，圆心到直线的距离为，Cl 1d =≤所以，直线被截得的弦长为，D 选项正确．lC 4≥故选：AD12. 正方体的棱长为分别为的中点，则下列结论正1111ABCD A B C D -2,E F G ､､11BC CC BB ､､确的是（）A. 直线与直线不垂直1D D AFB. 直线与平面平行1A G AEF C. 平面截正方体所得的截面面积为3AEF D. 点到平面的距离是点到平面的距离的C AEF G AEF 12ABD【分析】对于A ，利用反正法，结合线面垂直的判定定理和性质定理即可判断；对于B,根据三角形的中位线定理及面面平行的判定定理，结合面面平行的性质定理即可求解；对于C ，根据确定平面的条件及三角形的面积公式，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解;对于D ，根据等体积法求出相应椎体的体积即可求解.【详解】对于A 选项，若，因为且，所以平1D D AF ⊥1D D AE ⊥AE AF A ⋂=1D D ⊥面，AEF 所以，所以，此时不成立，所以A 正确；1D D EF ⊥1CC EF ⊥对于B 选项，取的中，点，连接，如图所示11B C Q 1,A Q GQ由条件可知：，且，1,GQ EF A QAE ∥∥1,GQ A Q Q EF AE E ⋂=⋂=所以平面平面，又因为平面，1//A GQ AEF 1A G ⊂1A GQ 所以平面，所以B 正确；1A G AEF 对于C 选项，连接，延长交于点，如图所示11,D F D A 1,D F AE S因为为的中点，所以，所以四点共面，,E F 1BC C C ､1EF AD ∥1A E F D ､､､所以截面即为梯形，又因为，1AEFD 11D S AS AD ====所以，1162AD SS =⨯= 所以梯形，所以C 错误．139642AEFD S =⨯=对于D 选项，记点，与点到平面的距离分别为，C G AEF 12,h h 因为，又因为11111123323C AEF AEF A CEF V S h V --⨯=⋅⋅==⋅⨯=，21122333G AEF AEF A GEF V S h V --=⋅⋅===所以，所以D 正确．1212h h =故选:ABD ．三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 若直线的方向向量为．平面的法向量为，则直线与平面l ()1,0,2a →=α()2,0,4μ→=--l 的关系为________．αl α⊥【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出.【详解】解：∵，2a μ→→=-∴，//a μ 因此.l α⊥故答案为.l α⊥本题考查空间向量共线定理，线面垂直的向量方法，考查运算能力，是基础题.14. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是3π______ ．1【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为，构造方程，可求出半径.3π【详解】设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为，r l 则由得，2l r ππ=2l r =而22·233S r r r r ππππ=+==故，21r =解得，1r =故答案为.1本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧()1()2面展开图的扇形弧长．正确理解这两个关系是解题的关键．15. 一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为，从中不放回地抽取2个1,2,3,4,5,6球，则抽出的2个球的编号和不大5的概率为__________．415【分析】写出所有的基本事件和满足题意的事件，利用古典概型公式求解.【详解】由题意，所有的基本事件为：，()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4，共15个，()()()()()3,5,3,6,4,5,4,6,5,6其中“从中不放回地抽取2个球，2个球的编号和不大于5”有，共4个基本事件，()()()()1,2,1,3,1,4,2,3则抽出的2个球的编号和不大5的概率为．415P =故41516. 已知三条直线，其中123:0,:30,:0l mx ny l nx my m n l ax by c +=-+-=++=为实数，不同时为零，不同时为零，且．设直线交于m n a b c ､､､､m n ､a b c ､､2a c b +=12,l l 点，则点到直线的距离的最大值__________．P P 3l【分析】利用直线恒过定点问题得出直线恒过定点，再根据直线三角形斜边的中线定理得出点的轨迹，进而求出点的轨迹方程，结合圆上的点到直线的距离的最值问题即可求解.P P 【详解】由于，且，12:0,:30l mx ny l nx my m n +=-+-=()0mn n m +⋅-=，易知直线过原点，12l l ∴⊥1l 将直线的方程化为，由解得2l ()()130n x m y ---=10,30,x y -=⎧⎨-=⎩1,3,x y =⎧⎨=⎩所以，直线过定点，所以，2l()1,3M OM =因为，则，直线的方程为，2a c b +=2a c b +=3l 02a c ax y c +++=直线的方程可化为，由解得3l 1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,210,2y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1,2,x y =⎧⎨=-⎩所以，直线过定点，设线段的中点为点，：则，如图所示3l()1,2N -OM E 13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭若点不与或重合，由于，由直角三角形的性质可得；P O M OP PM ⊥EP EO EM==若点与或重合，满足．P O M 12l l ⊥由上可知，点的轨迹是以为直径的圆，该圆圆心为P OM E 13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以点的轨迹方程为P 2135222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设点到直线的距离为，当时，；E 3ld 3EN l ⊥dEN =当不与垂直时，．EN 3ld EN<综上，．d EN ==所以，点到直线的距离的最大值为P 3l2OM EN +=故答案为四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应㝍出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知在某次招考测试中，甲､乙､丙3人各自通过测试的概率分别为．求：231,,543（1）至少有1人通过测试的概率；（2）恰有2人通过测试的概率．（1）910（2）60【分析】（1）设事件“甲通过测试”，事件乙通过测试”，事件“丙通过测试”，事A =B =C =件与相互独立，至少有1人通过测试的对立事件为1人也没用过，利用相互,,A B C ,A B C 独立事件的概率乘法公式即可求解.（2）设事件“甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则，利2M =2M ABC ABC ABC =++用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件“甲通过测试”，事件乙通过测试”，事件“丙通过测试”，A =B =C =事件与相互独立，由题意有：．,,A B C A B C ()()()231,,543P A P B P C ===设事件“甲､乙､丙3人中至少有1人通过测试”，则的对立事件1M =1M 1M A B C=⋅⋅()()11312911.54310P M P M =-=-⨯⨯=【小问2详解】设事件“甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则，2M =2M ABC ABC ABC =++由于事件均相互独立，并且事件两两互斥，,,,A B C A B C ,ABC ABC ABC 因此()2()()()()()()()()()P M P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅23123123123111.54354354360⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18. 四棱锥，底面为正方形，边为中点，平面P ABCD -ABCD 4,AB E =AB PE ⊥．ABCD （1）若为等边三角形，求三棱锥的体积；PAB △A PEC -（2）若的中点为与平面所成角为，求与所成角的正切值．CD ,F PF ABCD 45︒PC AD（1（2【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一及等体积法，再利用棱锥的体积公式即可求解；（2）根据线面角的定义及勾股定理，再利用异面直线所成角的定义及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及锐角三角函数的正切函数的定义即可求解.【小问1详解】为等边三角形，且为中点，，PAB △E AB 4AB =，又平面，PE ∴===PE ⊥ABCD三棱锥的体积．∴A PEC -11124332A PEC P AEC AEC V V PE S --==⋅⋅=⨯⨯⨯=【小问2详解】平面，又直线在平面内的射影为,PE ⊥ ABCD PF ABCD EF 为与平面所成角，即，如图所示PFE ∴∠PF ABCD 45PFE ∠=为等腰直角三角形，PEF ∴ 分别为的中点，，E F ､AB CD ､4PE FE ∴==//,PB AD BC ∴== 所以（或其补角）为异面直线与所成的角，PCB ∠PC AD 平面平面，PE ⊥ ,ABCD BC ⊂ABCD PE BC∴⊥又平面，,,BC AB PE AB E PE AB ⊥⋂=⊂､PAB 平面，平面，BC ∴⊥PAB PB ⊂,PAB BC PB ∴⊥在中，Rt PBC tan PB PCB BC ∠===所以与.PC AD 19. 某校农村中学有学生1000人．在假期研学旅行中开展地方劳动技术教育，结束时对某一项劳动技能进行测试，测试结果如下表．分数段[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100人数50150300300200（1）估计本次测试的平均成绩并完成频率分布直方图；（2）在90分以上（含90分）男生占60%，在这部分学生中按男女生比例抽取5人担任助教，并在这5人中随机抽3人担任助教长，求助教长中恰好有一名女生的概率．（1）平均成绩分；频率分布直方图见解析；（2）.79.535【分析】（1）利用每组数据的组中值乘以该组数据的频率，然后将所得的结果相加即可得到本次测试的平均成绩，然后分别计算出、的频率除以组距的值即可据此作[)60,70[)70,80出频率分布直方图；（2）先根据分层抽样计算出人中男生、女生的人数，然后根据要求列出人中抽取人对553应的基本事件，再分析恰有一名女生的基本事件数量，由此可求解出概率.【详解】（1）依题意有平均分为（分）；550.05650.15750.3850.3950.279.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=的频率为，对应频率除以组距的值为，[)60,701500.151000=0.150.01510=的频率为，对应频率除以组距的值为；[)70,803000.31000=0.30.0310=故频率分布直方图如下：（2）抽取的人中男生有：人，女生有：人，5560%3⨯=540%2⨯=记男生为，女生为，则从人中抽取人对应的所有基本事件有：123,,A A A 12,B B 53()()()()()123121122131132,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A A B A A B A A B 共种可能，()()()()()112231232212312,,,,,,,,,,,,,,,A B B A A B A A B A B B A B B 10记“助教长中恰好有一名女生”为事件，其对应的基本事件有：M ，共种，()()()()()()121122131132231232,,,,,,,,,,,,,,,,,A A B A A B A A B A A B A A B A A B 6所以，()63105P M ==所以助教中恰有一名女生的概率为.3520. 如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且111ABC A B C -ABC D AC ．12AB AA ==（1）证明：平面；1//AB 1BC D （2）求平面与平面夹角的余弦值．11B AC 1BAC （1）证明见解析（2）57【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线的性质可得出，再利用1B C 1BC E DE 1//AB DE 线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角D DB DC 1AAx y z 坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.11B AC 1BAC 【小问1详解】证明：连接交于点，连接，1B C 1BC E DE 在三棱柱中，四边形为平行四边形，111ABC A B C -11BB C C 因为，则为的中点，11B C BC E = E 1B C 又因为为的中点，则，D AC 1//AB DE 平面，平面，因此，平面.1AB ⊄ 1BC D DE ⊂1BC D 1//AB 1BC D 【小问2详解】解：因为为等边三角形，为的中点，则，ABC D AC BD AC ⊥又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、1AA ⊥ABC D DB DC 1AAx y 的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，z则、、、、、，()0,1,0A-)B()0,1,0C ()10,1,2A-)12B ()10,1,2C 设平面的法向量为，，，11B AC ()111,,m x y z = ()10,2,2AC =)111,0C B =- 则，取，可得，11111112200m AC y z m C B y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩11x=(m = 设平面的法向量为，，，1BAC ()222,,n x y z =)AB = ()10,2,2AC =则，取，可得，221220220n AB y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩21x=(1,n = .5cos ,7m n m n m n⋅<>==-⋅因为，平面与平面夹角的余弦值为.11B AC 1BAC 5721. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥，现在正在修建的中国到尼泊尔的穿过珠穆朗玛峰的隧道等．如图为某工程队要在山体的水平面上从到修建一条隧道，测量员测得，因为具体情况不能测出ABC A D 1,4AB AC ==与的长，但发现为中点，设．BD DC D BC ,AB AC θ=（1）用表示；θAB AD ⋅ （2）若，cos BAD ∠=①求的长；AD ②求的面积．ADC （1）12cos 2θ+（2【分析】（1）根据线段中点的向量线性表示及向量的数量积公式及运算律即可求解；（2）①根据线段中点的向量的线性表示两边平方得，再利用向量的夹角公式及（1）AD的结论即可求解；②根据角之间的关系及平方关系，再两角差的正弦公式及三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】因为为中点，所以，D BC ()12AD AB AC=+ 所以()2111222AB AD AB AB AC AB AB AC⋅=⋅+=+⋅ ．211114cos 114cos 2cos 2222θθθ+=⨯+⨯⨯⨯=+=【小问2详解】由（1）知，()12AD AB AC=+所以()222211()244AD AB AC AB AC AB AC=+=++⋅，()221178cos 14214cos 44θθ+=++⨯⨯⨯=得AD = 所以，cos AB AD BAD AB AD ∠⋅===⋅ 化简可得解得或，2:28cos 8cos 110θθ+-=1cos 2θ=11cos 14θ=-又，所以，代入，得，14cos 0θ+>1cos2θ=AD =所以，sinθ==所以sin BAD ∠==所以()sin sin sin cos sin cos DAC DAB DABDAB ∠θ∠θ∠∠θ=-=-，12=-=所以的面积ADC 11sin 422DAC S AD AC DAC ∠=⋅⋅⋅== 22.如图，已知圆O ∶，过点E (1，0)的直线l 与圆相交于A ，B 两点.224x y +=（1）当|AB 时，求直线l 的方程；（2）已知D 在圆O 上，C (2，0)，且AB ⊥CD ，求四边形ACBD 面积的最大值.（1）；（2）)1y x =±-【分析】（1）分别考虑斜率存在与不存在时，利用弦心距表示出即可，AB （2）当直线与轴垂直时，，，四边形的面积，当直线ABx AB =4CD =ACBD 与轴不垂直时，设直线方程为，则直线方程为AB x AB kx y k 0--=CD ，求出点到直线的距离，从而得到弦长和，由此利用配方法能20x ky +-=O AB AB CD 求出四边形面积的最大值．ACBD 【详解】解：（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时1ol 1x =，不符合题意；AB ==当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，2o l k l ()1y k x =-所以圆心到直线的距离，Ol d =因为AB=AB ==k =所以直线的方程为．l )1y x=-（2）当直线与轴垂直时，，，AB x AB =4CD =四边形的面积，∴ACBD 1·2S AB CD ==当直线与轴不垂直时，设直线方程为，AB x AB (1)y k x =-即，kx y k 0--=则直线方程为，即，CD 1(2)y x k =--20x ky +-=点到直线，点到直线O AB O CD，，AB ∴==CD ==则四边形面积，ACBD 1122S AB CD === 令（当时，四边形不存在），211k t +=>0k =ACBD ，∴(S ==四边形面积的最大值为．∴ABCDS 本题考查直线方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．。
湖南省长沙市明德中学2019-2020学年度高一第一学期第三次阶段测试数学试卷
明德中学2019级高一第三次阶段测试试卷数 学时量：120分钟 满分：150分一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =-<≤，则A B =I （）A.{}1B.{}0,1C.{}1,0,1-D.{}1,0,1,2-2.设()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则()()4f f =（）A.2B.4C.1D.03.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A.()2x f x =B.()3f x x =C.()1f x x =D.()f x x x =-4.如图的正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1D AB D --的大小是（）A.45oB.30oC.60oD.90o5.若平面α和直线a ，b 满足a A α=I ，b α⊂，则a 与b 的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面D.相交或异面6.已知m ，n 是空间中两直线，a 是空间中的一个平面，则下列命题正确的是（）A.已知//m α，若//n α，则//n mB.已知//m α，若n m ⊥，则n α⊥C.已知m α⊥，若n m ⊥，则//n αD.已知m α⊥，若//n m ，则n α⊥7.已知 1.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.c b a <<B.c a b <<C.b a c <<D.b c a <<8.已知函数()y f x =的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：x 12 3 4 5 6 y113 -35 -48 11.5 -5.6 7.8 则函数()y f x =在区间[]1,6上的零点至少有（）A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图，在三棱锥S ABC -中，E 为棱SC 的中点，若AC =且满足2SA SB SC AB BC =====.则异面直线AC 与BE 所成的角是（）A.30oB.45oC.60oD.90o第9题图第11题图10.在三棱锥S ABC -中，三个侧棱两两互相垂直，侧面SAB ∆，SAC ∆，SBC ∆的面积分别为1，1，2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A.8πB.9πC.10πD.12π11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D AE ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合是（） A.25235t t ⎧⎫⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎩ B.2525t t ⎧⎫⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭ C.{}223t t ≤≤ D.{}222t t ≤≤ 12.已知2t >，在平面直角坐标系中有点(),ln A t t ，()()2,ln 2B t t ++，()()4,ln 4C t t ++，则ABC ∆的面积的取值范围是（） A.()0,1 B.()0,ln 2 C.30,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.40,ln 3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的侧面积为__________.14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若//EF 平面1AB C ，则线段EF 的长度等于__________.15.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且()20f =，则不等式()()205f x f x x+-<解集是__________. 16.已知函数()()21202x f x x x =+-<与()()22log g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）计算下列各式的值（请写出化简求值过程）.（1）计算：()11023********.123392748π--⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）计算：5555327log 352log log 7log 1.8log 2log 33-+--⋅18.（本小题满分12分）在如图所示几何体中，已知AE ⊥底面ABC ，//BF AE ，2BF AE =，AB AC =，D 是BC 的中点.（1）证明：//AD 平面CEF ；（2）证明：平面ADF ⊥平面BCF19.（本小题满分12分）如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为2的正方体.（1）求证：平面11//AB D 平面1C BD ；（2）求多面体111B C D ABCD -的体积.20.（本小题满分12分）已知函数()f x 与3log y x =互为相反数，且()218f a +=，函数()34ax x g x λ=⋅-的定义域为[]0,1.（1）求a 的值；（2）若1λ=，求()g x 的值域；（3）若函数()g x 的最大值为2，求实数λ的值.21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90BAD ∠=o ，PAD ∆为等边三角形，22AB AD DM CD ====，M 是PB 的中点.（1）证明：AB ⊥平面PAD ；（2）求直线DM 与平面PBC 所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知函数()24f x x x x a a =---，0a >. （1）若2a =，求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[]0,3x ∈上的最值.（3）当()0,4a ∈时，若函数()f x 恰有两个不同的零点1x ，2x ，求1211x x -的取值范围.。
2022-2023学年湖南省长沙市一中多校高三下学期5月高考仿真模拟考试数学试题(PDF版)
长沙市一中多校2022-2023学年高三下学期5月高考仿真模拟考试数 学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|01A x x =<≤，{}|21xB x =≤，设全集U =R ，则()U AB =ð( ) A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ． (1,)+∞D ．[1,)+∞2．已知复数z 满足2ii z z-=，则||z =( )AB．C ．2 D ． 43．已知平面向量a,b 满足2=a，=b ，且a 与-a b 的夹角为60︒，则-=a b ( )A ．2 B．CD ．14．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都近似服从正态分布. 绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车( )A. 有26 min 可用B. 有30 min 可用C. 有34 min 可用D. 有38 min 可用5．已知角θ的终边在直线2y x =上，则1sin 2cos2θθ+=( )A ．3-B ．3C ．1- D ．17．如图，一个由四根细铁杆PA 、PB 、PC 、PD 组成的支架（PA 、PB 、PC 、PD 按照逆时针排布），若π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O 到点P 的距离是( )A ．2B ．32C ．D ．8．已知实数,,p q r 满足：()()()527395log (23)log 53,log (35)log 75,log (57)log 79.p p p p q qr r r q r q ⎧+=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪+=-⎩则( )A ．p q r <<B ．r p q <<C ．p r q <<D ．r q p <<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符15.直线:240l x y ＋－＝与椭圆11x y m m+=+(m >0)有且仅有一个公共点P ，则m ＝ ，点P 的坐四、解答题：本题共6小题，共70分。
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期3月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．设集合 {}03|P x x =<<，{}|12Q x x =-<<，则P Q ⋃=（ ） A ．{}|3x x < B ．{}|13x x -<< C ．{}|02x x << D ．{}|0x x >【答案】B【分析】直接对P 、Q 求并集即可.【详解】∵{}03|P x x =<<，{}|12Q x x =-<<， ∴P Q ⋃={}|13x x -<< 故选：B 2．已知复数212z i=+(i 是虚数单位)，则z =（ ） A ．1255i + B ．1255i - C ．2455i +D ．2455i - 【答案】C【分析】先化简复数z ，再求解其共轭复数即可. 【详解】()()()21222412121255i z i i i i -===-++-，∴2455z i =+， 故选:C.3．如图，已知等腰三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A ．22B ．1C 2D ．2【答案】D【分析】利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为O A B '''△是等腰直角三角形，2O B ''=，所以2O A A B ''''==，所以原平面图形为：且2OB O B ''==，OA OB ⊥，222OA O A ''==所以原平面图形的面积是1222222⨯⨯= 故选：D4．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，OA a =，OB b =，OC c =，则向量OD 等于A ．a b c ++B ．a b c +-C ．a b c -+D ．a b c --【答案】C【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出．【详解】∵O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，OA a =，OB b =，OC c =， ∴OD OA AD OA BC OA OC OB a c b =+=+=+-=+-， 故选C ．【点睛】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑.如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，且1cos 4α=，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）A ．2B ．21515C ．1D ．14【答案】A【分析】根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果.【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为R ，则底面正边形的边长为R ， 因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，所以侧棱长为2cos 2cos RR αα=， 所以侧棱与底面外接圆半径的比为12cos 22cos RR αα==. 故选：A【点睛】关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.6．已知棱长均相等的四面体A BCD -6，则这个四面体的棱长为（ ） A 3B ．22C ．23D ．4【答案】D【分析】将棱长均相等的四面体A BCD -放正方体中，设正方体的棱长为a ，根据(22263a =，求出a ，求出正方体的面对角线即可求解.【详解】由题意可知A BCD -为正四面体， 将此正四面体放在正方体中，如图：设正方体的棱长为a ，()22263a =，解得22a =，所以四面体的棱长为22164a a +==. 故选：D7．定义在R 的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()()21f x x =-，则函数()f x 在区间[]0,4上的零点个数为（ ）A ．3B ．5C ．2D ．4【答案】B【分析】根据奇偶性可知()00f =；由()()4f x f x +=可求得()20f =且()f x 周期为4，由此可得函数图象，结合图象可求得结果. 【详解】()f x 为R 上的奇函数，()00f ∴=，且()f x 图象关于原点对称，由()()4f x f x +=知：()f x 是周期为4的周期函数， 且()()()()22422f f f f =-+=-=-，()20f ∴=；()f x ∴部分图象如下图所示：由图象可知：()f x 在[]0,4共有5个零点，分别为0x =，1x =，2x =，3x =，4x =. 故选：B.【点睛】方法点睛：求解函数零点(方程根)的个数常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 8．将函数()4sin 22f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若P 点坐标为(0,3)，则12...n PA PA PA +++=A ．0B ．2C ．6D ．10【答案】D【分析】画出函数图像，根据对称性得到1253...55(1,3)PA PA PA PA +++==-，进而得到结果.【详解】函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()1g x x =-的所有交点从左往右依次记为1A 、2A 、3A 、4A 和5A ，且1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，如图所示：则1253...55(1,3)PA PA PA PA +++==-，所以12...10n PA PA PA +++=. 故选D.【点睛】这个题目考查了向量加法的平行四边形法则，涉及函数的图像的交点问题，属于综合题.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.二、多选题9．下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ） A ．一条直线 B ．一条直线和一个点 C ．两条相交的直线 D ．两条平行的直线【答案】CD【分析】逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A ：一条直线不能确定一个平面，故选项A 不正确；对于选项B ：一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面，故选项B 不正确；对于选项C ：两条相交的直线可以确定一个平面，故选项C 正确； 对于选项D ：两条平行的直线可以确定一个平面，故选项D 正确； 故选：CD10．给出下列命题，其中为真命题的是（ ）A ．命题“1x ∃≤，2320x x -+≥”的否定是：“1x ∀>，2320x x -+<”B ．若,,a b c ∈R ，当0ac >时，x ∃∈R ，20ax bx c +-=C ．若实数x ，y 满足1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则33x y > D ．x y x y -=+成立的充要条件是0xy ≥ 【答案】BC【分析】选项A ，可根据存在量词命题的否定的定义判断其为假命题；选项B ，根据方程判别式的符号判断一元二次方程是否有解；选项C ，根据指数函数和幂函数的单调性判断大小；选项D ，通过等价转化，逐步找到正确的充要条件. 【详解】选项A ，根据存在量词命题的否定的定义， “1x ∃≤，2320x x -+≥”的否定应该是： “1x ∀≤，2320x x -+<”，故A 错误； 选项B ，20ax bx c +-=，2=4b ac ，因为0ac >，所以0∆>，则方程有解，故B 正确；选项C ，指数函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减， 则由1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得x y >， 又因为幂函数3()g x x =单调递增，所以33x y >，故C 正确；x y x y 22()x yxy 222222x xyy xxyy220xy xy xy ，故选项D 错误，也可举反例，如3,2x y ==-，3(2)532，则选项D 错误.故选：BC.【点睛】对于命题的真假判断，要结合各个知识点进行逐一判断，有时也可以通过举反例的方法判断命题为假.11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B > B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 【答案】ABD 【分析】由2A B π+>，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判定A 正确；根据正弦定理，求得22sin sin A B >，结合余弦的倍角公式，可判定B 正确；结合面积公式和正弦定理，可判定C 不正确；根据三角形内角和定理和正切的两角和公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若ABC 为锐角三角形，可得2A B π+>且,(0,)2A B π∈ ， 可得2A B π>-，且(0,)22B ππ-∈，根据正弦函数的单调性，可得sin sin()2A B π>-，所以sin cos A B >，所以A 正确；对于B 中，在ABC 中，由a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >， 则22sin sin A B >，可得1cos 21cos 222A B-->，解得cos2cos2A B <，所以B 正确；对于C 中，由三角形的面积公式，可得in 12s S ab C =， 由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，可得22sin sin sin =S R A B C ，所以C 不正确；对于D 中，在ABC 中，可得A B C π++=，则A B C π+=-， 所以tan()tan()A B C π+=-，即tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确. 故选：ABD【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 12．已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意实数对()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（ ） A ．()21,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭B ．(){},sin 1M x y y x ==+ C ．(){},22xM x y y ==-D ．(){}2,log M x y y x ==【答案】ABC【分析】根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断. 【详解】选项A ：任取()11,x y M ∈，则1211y x =，取211x x =-， 故212121112221121111111()?()?0x x y y x x x x x x x x +=-+=-+=， 所以存在这样的211x x =-使得12120x x y y +=成立，选项A 正确； 选项B ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线sin 1y x =+均有交点， 选项B 是正确的；选项C ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线22xy =-均有交点， 选项C 是正确的；选项D ：在函数2log y x =上取点(1,0)时，若存在22(,)x y 使得12120x x y y +=成立，则221?0?0x y +=，则一定有20x =，不满足函数的定义域， 故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D 不正确； 故选：ABC【点睛】本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.三、填空题13．已知α是锐角，sin α＝23，则cos(3π－α)＝________.【分析】由正弦值根据角的范围求得余弦值，代入两角差余弦公式即可求得结果. 【详解】因为α是锐角，2sin 3α=，所以5cos α，所以12cos cos cos sin sin 33323236πππααα⎛⎫-=+=⨯+⨯=⎪⎝⎭14．复数11cos z i θ=+，2sin i z θ=-，则12z z -的最大值为_________．1【分析】利用复数的加减运算法则计算计算12z z -，然后计算12z z -并利用三角函数的性质分析其最值.【详解】因为11cos z i θ=+，2sin i z θ=-， 所以()()121sin cos 1z z i θθ-=-++， 故12z z -===，所以当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，12z z -有最大值，且最大值为12max 1z z -==.故答案为：21+.【点睛】本题考查复数的模长计算，解答本题的关键在于先要表示出12z z -的表达式，然后通过辅助角公式将12z z -化简，结合三角函数的性质求解最值.15．如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边BC 、CD 上的点，当CPQ 的周长是2，则PAQ ∠的大小为_________．【答案】4π 【分析】设出角,,PAB QAD αβ∠=∠=，然后借助于正方形的性质得到22tan tan (1tan )(1tan )αβαβ+=-+-tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅ ，再利用两角和的正切公式可得4παβ+=，即求.【详解】设,PAB QAD αβ∠=∠=，则tan ,tan PB DQ αβ==， 则1tan ,1tan CP CQ αβ=-=-，22(1tan )(1tan )PQ αβ=-+-，2221tan 1tan (1tan )(1tan )αβαβ∴=-+--+- 22tan tan (1tan )(1tan )αβαβ+=-+-tan tan 1tan tan αβαβ∴+=-⋅即tan()1αβ+=，4παβ∴+=，4PAQ π∴∠=.故答案为：4π四、双空题16．在ABC 中，已知2,1,120,AB AC BAC D ==∠=是BC 上一点，且AD 平分BAC ∠，则BDCD=__________，线段AD 的长度为__________. 【答案】2 23【分析】利用正弦定理求解得出比值BD CD ，利用余弦定理及BDCD可得AD ． 【详解】在ABD △和ACD △中，sin 60sin BD AB ADB =︒∠，sin 60sin CD ACADC=︒∠，又180ADB ADC ∠+∠=︒，即sin sin ADB ADC ∠=∠， 所以2BD ABCD AC==，所以BD CD=2==，解得23AD =（0AD =舍去）． 故答案为：2；23．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用．本题考查第一个结论BD ABCD AC=，实质上就是三角形的内角平分定理，可以通过平面几何的知识进行证明．五、解答题17．已知关于x 的方程()2250x px p -+=∈R 在复数范围内的两根为1x 、2x ．（1）若p =8，求1x 、2x ； （2）若134i x =+，求p 的值．【答案】（1）143x i =+，243x i =-；（2）6p ．【分析】（1）利用求根公式即可求解. （2）将134i x =+代入方程即可求解.【详解】（1）由题意得，2100360p ∆=-=-<，∴86432i x i ±====±，∴143x i =+，243x i =-．（2）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=， 所以1832440p p -=-=，解得6p．18．在①222b a c =+，②cosB sin A a b =，③sin B +cos B 任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，A =3π，b . （1）求角B ； （2）求△ABC 的面积.【答案】条件选择见解析；（1）4B π=；（2【分析】取①222b a c +=+，由余弦定理可得cos 2B =进而解得B ，C 的大小也可得出，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出； 取②cos sin a B b A =，由正弦定理可得：tan 1B =，(0,)B π∈，解得B ，可得sin sin()C A B =+，由正弦定理可得：a ，利用三角形面积计算公式即可得出；取③sin cos B B +=)4B π+B 的大小，C 的大小也可得出，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；【详解】解：（1）若选①，222b a c =+，则由余弦定理得222cos 222a cb B ac ac +-===， 因为(0,)B π∈，所以4B π=若选②，cos sin a B b A =，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得 sin cos sin sin A B B A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以cos sin B B = 又(0,)B π∈，tan 1B =，4B π=，若选③，由sin cos B B +=)4B π+=，所以sin()14B π+=，又(0,)B π∈，所以5(,)444B πππ+∈，42B ππ+=，所以4B π=，（2）由正弦定理得sin sin a bA B =，又3A π=，2b =，4Bπ=所以32sin 23sin 22b Aa B⨯===，512C A B ππ=--=， 所以562sin sinsin()sin cos cos sin 12464646C πππππππ+==+=+=所以1162sin 32224ABCSab C +==⨯⨯⨯=33+ 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．如图，圆锥PO 的底面直径和高均是a ，过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积． 【答案】（1）238a π；（2）3596a π． 【分析】（1）设圆锥底面半径为r ，圆柱底面半径为r '，求得r 和r '的值，以及圆柱和圆锥的母线长，结合侧面积和圆的面积公式，即可求解； （2）利用圆锥和圆柱的体积公式，即可求得剩下几何体的体积． 【详解】（1）设圆锥底面半径为r ，圆柱底面半径为r '，因为过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，可得2a r =，4a r '=，且圆柱母线长2a l '=，圆锥母线长l ==，所以圆柱的表面积为：222322224428a a a S r r l a πππππ⎛⎫'''=+=⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭表（2）剩下几何体的体积222221153324296a a a V r OP r OO a a πππππ⎛⎫⎛⎫'=⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．已知函数()2log 2a xf x mx-=+，（0a >且0a ≠）是奇函数．（1）求实数m 的值； （2）若217f ⎛⎫<⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1m =；（2）304a <<或1a >． 【分析】（1）利用()()f x f x -=-恒成立求出m =±，再验证定义域是否关于原点对称； （2）化为3log 14a<，再分类讨论a ，利用对数函数的单调性可解得结果. 【详解】（1）因为函数()2log 2axf x mx-=+（0a >且0a ≠）是奇函数，所以()()22log log 22aax mxf x f x mx x++-==-=-- ∴2222x mxmx x++=--，∴22244x m x -=-，∴21m =，∴1m =±，当1m =-时，()2log 02a xf x x-==-，此时2x ≠，定义域不关于原点对称，∴不成立，当1m =时，2()log 2a xf x x-=+的定义域为(2,2)-，符合题意， 故1m =．（2）由（1）知，2()log 2axf x x-=+， ∵217f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2237log log 12427a a-=<+当1a >时：3log 04a<，恒成立； 当01a <<时：由3log 14a <，得304a <<，综上所述：304a <<或1a >．【点睛】关键点点睛：对a 分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式是解题关键. 21．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()sin()H t A t B ωϕ=++(其中0A >，0>ω，||2πϕ≤)求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？【答案】（1）()62cos8315H t t π=-+(030t ≤≤)；（2）5分钟【分析】（1）根据函数关系式()sin()H t A t B ωϕ=++，结合已知条件可知max ()145H t =，min ()21H t =，即21145A B A B -+=⎧⎨+=⎩，求得,A B ，利用()H t 的最小正周期30T =，求出ω，再根据题意知其过点(0,21)，求出ϕ，即可求出摩天轮转动一周的解析式；（2）令()52H t =，求出符合题意的t 即可. 【详解】（1）该摩天轮轮盘直径为124米，且摩天轮最高点距离地面145米，∴摩天轮最低点距离地面14512421-=米，即max()145H t =，min()21H t =21145A B A B -+=⎧∴⎨+=⎩，解得8362B A =⎧⎨=⎩又摩天轮匀速转动一周大约需要30分钟，()H t ∴的最小正周期为30T =223015T πππω∴===，()62sin 83.15H t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭又(0)62sin 8321H ϕ=+=，sin 1ϕ∴=-||2πϕ≤，2πϕ∴=-()62sin 8362cos 83.15215H t t t πππ⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭所以摩天轮转动一周的解析式为：()62cos 8315H t t π=-+(030t ≤≤)（2）由（1）知，()62cos 8315H t t π=-+(030t ≤≤)，令62cos835215t π-+=，解得：1cos152t π=要求求摩天轮第一次距离地面的高度为52米，015t ∴≤≤，015t ππ∴≤≤，315t ππ∴=，5t ∴=所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米. 【点睛】方法点睛：求sin()y A x B ωϕ=++(其中0A >，0>ω)解析式的步骤 （1）求,A B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA，2M mB +=.（2）求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=. （3）求ϕ，代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 22．已知向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π． （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有实数解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）22⎡-⎢⎣⎦． 【分析】（1）由向量的数量积的运算公式，化简得到()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合()f x 的最小正周期为π，求得1w =，即可求解；（2）由（1）得sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，把22cos 22cos 2501212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 化简得2220at t a ++=，转化为方程2221ta t -=+在[]1,1t ∈-时有解，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，可得()2113sin cos 22f x a b x x x ωωω=⋅+=-+1cos 212sin 22226x x x ωπωω+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭． 因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，可得1w =，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）可知sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 因为()222sin 2cos 2sin 22sin 2cos 2cos 212sin 2cos 2x x x x x x x x +=++=+，()222sin 2cos2sin 22sin 2cos2cos 212sin 2cos2x x x x x x x x -=-+=-，所以()()22sin 2cos 212sin 2cos 211sin 2cos 2x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦，令sin 2cos2t x x =-，则()22sin 2cos 22x x t +=-，则方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 可化为()222250a t t a ---=，即2220att a ++=，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 2cos 221,14t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭．所以由题意可知，方程2220at t a ++=在[]1,1t ∈-时有解， 方程2220at t a ++=可化为2221t a t -=+， 令2221ty t -=+，[]1,1t ∈-， ①当0t =时，0y =；②当0t ≠时，212y t t-=+， 当01t <≤时，12t t+≥2x =时取等号，所以2y ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭； 当10t -≤<时，12t t +≤-，当且仅当2x =-时取等号，所以0,2y ⎛∈ ⎝⎦；综上，y ⎡∈⎢⎣⎦，所以a ⎡∈⎢⎣⎦， 故实数a的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦． 【点睛】解答中利用三角恒等变换的公式，把22cos 22cos 2501212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 化简得2220at t a ++=，转化为方程2221ta t -=+在[]1,1t ∈-时有解，结合基本不等式求解是解答的关键.。
2021届湖南省长沙市第一中学高三第一次月考数学(理)试题Word版含解析
2021届湖南省长沙市第一中学高三第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y xB x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】首先求解方程组3y x y x⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.【点睛】 本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且5z z ⋅=，则z ＝( )A ．2-iB ．-1+2iC ．-1-2iD ．-2+3i【答案】A【解析】通过复数的运算得到方程()2215a a +-=，根据其在复平面的位置得到结果.【详解】 由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12z i =-+或2z i =-，∵在复平面内对应的点位于第一象限，∴2z i =-，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算以及其几何意义，属于基础题.3．设x ∈R ，则“x 2＜1”是“lg x ＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果.【详解】∵21x <11x ⇔-<<，lg 0x <⇔01x <<， 01x <<⇒11x -<<，11x -<<不能推出01x <<，∴“21x <”是“lg 0x <”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查了不等式的解法，充分条件、必要条件的概念，属于基础题.4．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( )A ．725-B ．725C ．2424-D ．2425【答案】C【解析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果.【详解】 33cos 155a ba b θ⋅==-=-⨯⋅， ∵0θπ≤≤，∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题.5．设a ＝183log ，b ＝244log ，c ＝342，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．c <b <a 【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性可得2c <，2a >，2b >，将,a b 分别表示为631log a =+，641log b =+，进而可得结果.【详解】314222c =<=，18933log log 2a =>=，241644log log 2b =>>， 所以c 最小，因为18633log 1log a ==+，24644log 1log b ==+，∵6643log log <，∴a b >，故选D【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性的应用，寻找中间量是解题的关键，属于中档题.6．函数f (x )＝(33)ln x xx -+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】由函数为偶函数可排除B ，由()0,1x ∈，()0f x <，可排除,A C ，进而可得结果.【详解】∵()(33)ln x x f x x -=+，函数定义域为{}0x x ≠， ()()(33)ln (33)ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=，∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除B.当()01x ∈，时，330x x -+>，ln 0x <，()0f x <，其图象应在x 轴下方，可排除,A C ，故选D.【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数的图象，主要根据函数的性质利用排除法得到结果，属于中档题.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填( )A ．200?i >B ．201?i ≥C ．202?i >D ．203?i > 【答案】C 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】程序的功能是计算3571sin 3sin 5sin 7sin 2222S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯+=1357-+-+，而101150213579199201=+⨯=-+-++-+，2012203i =+=，故条件为202?i >，故选C.【点睛】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( )A ．50种B ．60种C ．70种D ．90种【答案】C【解析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030C C ⋅=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040C C ⋅=，不同的选法共有304070+=种，故选C.【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题．9．将函数()2sin(2)16f x x π=--的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 ( )A ．函数()g x 的最小正周期是2πB ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()g x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 D ．函数()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最大值是1 【答案】C 【解析】求出函数的周期判断A 的正误；函数的对称轴判断B 的正误；函数的单调性判断C 的正误；函数的最值判断D 的正误；【详解】 由题意知：()2sin(2)16g x x π=+-，最小正周期T 22ππ==，选项A 错误; 当12x π=-时，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即函数()g x 的图象关于点(,1)12π--对称，选项B 错误； 当(,)62x ππ∈时，72(,)626x πππ+∈， ∴函数()g x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，选项C 正确;∵函数()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()16g x g π<=， 即函数()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有最大值， ∴选项D 错误，故选C.【点睛】本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题．10．若()ln f x x =与()23g x x x a ++=两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a = ( )A ．-1B ．0C ．1D ．3 【答案】B【解析】求出切线方程，利用公切线结合判别式0=推出结果即可．【详解】在函数()ln f x x =上的切点设为(,)x y ， 根据导数的几何意义得到11x=⇒1x =， 故切点为(10)，，可求出切线的方程为1y x =-， 因为直线l 和()23g x x x a ++=也相切，从而231x x a x ++=-， 化简得到2210x x a +++=，只需要满足()4410a ∆-+==，所以0a =故选B.【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.11．设函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则关于函数()f x 有以下五个命题: ①x ∈R ，()()1f f x =； ②()(),,()x y R f x y f x f y ∃∈+=+； ③函数()f x 是偶函数； ④函数()f x 是周期函数；⑤函数()f x 的图象是两条平行直线其中真命题的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B 【解析】由()0f x =或1，计算可判断①；由0x =0y =断③；由周期函数的定义可判断④；由x 的范围可判断⑤．【详解】由()10x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数， 可得()0f x =或1，则x R ∀∈，()f x 为有理数，则()()1f f x =，故①正确；当0x =0y =()()()0000f x y f x f y +=+，故②正确；∵x 为有理数，则x -为有理数，x 为无理数，则x -为无理数，∴函数()f x 是偶函数，故③正确；任何一个非零的有理数T ，都有f x Tf x ，则T 是函数的周期， ∴函数()f x 是周期函数，故④正确；由于x 为有理数，()1f x =；x 为无理数时，()0f x =，()f x 的图象不为连续的直线，故⑤错误．∴真命题的个数是4个，故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是分段函数的周期性和函数值的特点，以及图象特点，考查判断能力和推理能力，属于基础题．12．已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D —ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为( )A ．53πB ．2πC ．5πD ．203π 【答案】A【解析】三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，求出外接球的半径，然后求解球的表面积．【详解】如图，当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，则平面ABC 与平面DBC 垂直，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，由1AB AC BC DB DC =====，得正方形OEGF 的边长为36，则OG ＝66∴四面体A BCD -的外接球的半径R 2222615()()6212OG BG =+=+=∴球O 的表面积为＝2554(123ππ⨯=，故选A. 【点睛】 本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的外接球的表面积的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3f x f x +=，且当3[0,)2x ∈时，()2f x x =-，则112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____ 【答案】14【解析】求出函数的周期，结合函数的奇偶性，转化求解函数值即可．【详解】由()()3f x f x +=知函数()f x 的周期为3，又函数()f x 为奇函数，所以2111111()()()()22224f f f =-=-==， 故答案为14. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质与应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.14．已知ABC △是等腰直角三角形，1,2()AC BC CP CA CB ===+，则AP BP ⋅=____【答案】4【解析】利用已知条件将,AP BP 分别用,CA CB 表示，然后求解向量的数量积即可.【详解】∵2,2AP AC CP CA CB BP BC CP CA CB =+=+=+=+.∴22(2)(2)224AP BP CA CB CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+=，故答案为4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查向量的数量积的运算，是基本知识的考查．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。
2019-2020学年湖南省长沙市明德中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市明德中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}{}0,2,1,2A B ==，则A B =I （ ） A ．2 B ．{}2 C ．{}0,2 D ．{}0,1【答案】B【解析】根据题意，A B I 是由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，故可以排除A ，再找出集合A 与集合B 所共有的元素，即可得出答案。
【详解】根据题意，A B I 是一个集合，而不是一个元素，故选项A 错误；{}{}0,2,1,2A B ==，其中属于集合A 且属于集合B 的元素只有2，故由元素2组成的集合为{}2，因此选项C 、D 错误。
故选：B 【点睛】本题考查集合的相关知识以及交集的概念，应特别注意，两个集合取交集的结果仍为集合。
2．1202(3)10-的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．－4D ．4【答案】B【解析】由幂的运算法则计算． 【详解】1202(3)10-12231312⨯=-=-=．故选：B ． 【点睛】本题考查幂的运算法则，属于基础题．3．已知点(3,1,4)A --，()3,5,10B -，则线段AB 的中点M 的坐标为（ ） A ．()0,4,6-B ．()0,2,3-C ．(0,2,3)D ．()0,2,6-【答案】B【解析】利用中点坐标公式求解即可. 【详解】解：因为点(3,1,4)A --，()3,5,10B -， 线段AB 的中点M 的坐标为()0,2,3-， 故选B. 【点睛】本题考查中点坐标公式，是基础题. 4．已知函数3log ,(0)()2(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则(9)(0)f +f =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】利用分段函数分别求得9f （）与0f （）的值，从而计算结果．【详解】f (9)＝log 39＝2，f (0)＝20＝1， ∴f (9)＋f (0)＝3. 【点睛】本题考查了分段函数求值以及指数、对数的运算问题，是基础题． 5．已知圆的方程为222100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ） A ．1(,1)2-- B ．1(,1)2C ．(1,2)--D ．(1,2)【答案】A【解析】先化成标准式，即得圆心坐标. 【详解】22221452100()(1)24x y x y x y +++-=∴+++=Q因此圆心坐标为1(,1)2--.故选：A 【点睛】本题考查圆一般方程化为标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上为增函数的是（ ）A ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．3log y x =C ．1y x=D ．2y x =【答案】D【解析】分析各选项中函数的奇偶性以及各函数在区间()0,∞+上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上为减函数； 对于B 选项，函数3log y x =为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上为增函数； 对于C 选项，函数1y x=为奇函数，且在区间()0,∞+上为减函数； 对于D 选项，函数2y x =为偶函数，且在区间()0,∞+上为增函数. 故选：D. 【点睛】本题考查基本初等函数奇偶性与单调性的判断，熟悉常见的基本初等函数的单调性与奇偶性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.7．已知//,a b αα⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交或异面C ．异面D ．平行或异面【答案】D【解析】直接利用直线与平面平行的性质定理以及定义，推出结果即可． 【详解】∵a ∥α，∴a 与α没有公共点，∵b ⊂α，∴a 、b 没有公共点， ∴a 、b 平行或异面． 故答案为D 【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系的判断与应用，基本知识的考查． 8x ﹣y +3＝0的倾斜角是（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．150°【答案】C【解析】先求斜率，再求倾斜角即可．【详解】30y -+=的斜截式方程为3y =+，∴直线的斜率k =∴倾斜角60α=︒， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题．9．两圆22(2)1x y +-=和22(2)(1)16x y +++=的位置关系是（） A ．相离 B ．相交C ．内切D ．外切【答案】B【解析】由圆的方程可得两圆圆心坐标和半径；根据圆心距和半径之间的关系，即可判断出两圆的位置关系. 【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为：()0,2和()2,1--；半径分别为：11r =，24r =则圆心距：d ==2121r r d r r -<<+Q ∴两圆位置关系为：相交本题正确选项：B 【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定；关键是明确两圆位置关系的判定是根据圆心距与两圆半径之间的长度关系确定.10．在正三棱锥S ABC -中，三条侧棱两两垂直，底面边长AB =S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π【答案】B【解析】由题可得正三棱锥S ABC -各顶点在以棱长为SA 的正方体上,根据正方体体对角线等于外接球直径求解即可. 【详解】由题得, 正三棱锥S ABC -各顶点在以棱长为SA 的正方体上,故正三棱锥S ABC -的外接球外正方体的外接球,又AB =故2SA SB SC ===,故体对角线即球直径23D =,故正三棱锥S ABC -的外接球的表面积为212S D ππ==故选：B 【点睛】本题主要考查了墙角三棱锥的外接球表面积问题,属于基础题型.11．点P 在正方体侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且保持AP ⊥BD 1，则点P 的轨迹为 ( )A ．线段B 1CB ．BB 1的中点与CC 1的中点连成的线段 C ．线段BC 1D ．BC 的中点与B 1C 1的中点连成的线段 【答案】A【解析】∵AP ⊥BD 1恒成立，∴要保证AP 所在的平面始终垂直于BD 1． ∵AC ⊥BD 1，AB 1⊥BD 1，AC ∩AB 1＝A ，∴BD 1⊥面AB 1C ，∴P 点在线段B 1C 上运动．故选A ．12．对于实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,1a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数()()()222,f x x x x x R =-⊗-∈，若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭UB ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭U 【答案】B【解析】分类讨论求出223212()312x x f x x x x x ⎧⎛⎫--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<-> ⎪⎪⎝⎭⎩或，作出图像，根据()y f x =的图像可得结果. 【详解】当()()2221x x x---≤，即312x -≤≤时，2()2f x x =-； 当()2221x x x --->，即1x <-或32x >时，2()f x x x =-，∴223212()312x x f x x x x x ⎧⎛⎫--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<-> ⎪⎪⎝⎭⎩或，()f x 的图象如图所示，，(0)2f =-，33()24f =-，(1)1f -=-，观察图像得，若直线y c =与()f x 的图象有两个交点，则2c ≤-或314c -<<-. 故选：B. 【点睛】本题考查函数图像交点个数问题，关键是准确画出函数图像，是中档题.二、填空题13．若2log 2x =，则x =__________. 【答案】4【解析】直接利用指对互化可得解. 【详解】由2log 2x =，得224x == 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了指对互化的运用，是简单题.14．直线l 过点()1,2-且与直线2x 3y 40-+=垂直，则直线l 的方程是______． 【答案】3210x y +-=.【解析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x ﹣3y+4=0垂直的直线方程为﹣3x ﹣2y+c=0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c 值，得到所求方程．【详解】∵所求直线方程与直线2x ﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x ﹣2y+c=0 ∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0 ∴c=1∴所求直线方程为3210x y +-=． 故答案为：3210x y +-=．【点睛】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于基础题．15．圆柱的高是2，底面圆的半径是1，则圆柱的侧面积是______． 【答案】4π【解析】直接把圆柱的高、底面圆的半径代入圆柱侧面积公式中，求出圆柱的侧面积. 【详解】因为圆柱的侧面积公式为:2S rl π=，（其中,r l 分别是圆柱底面的半径和圆柱的母线），因为圆柱的高是2，所以圆柱的母线也是2，因此圆柱的侧面积为24S rl ππ==. 【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题.16．圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0上的点到直线x +y ﹣14＝0的最大距离是_____． 【答案】【解析】先写出圆的标准方程，得圆心和半径，由几何法即可求出圆上的点到直线的最大距离． 【详解】解：把圆的方程化为：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝18， ∴圆心A 坐标为（2，2），半径r =，由几何知识知过A 与直线x +y ﹣14＝0垂直的直线与圆的交点到直线的距离最大或最小， ∴最大距离d r ===，故答案为： 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题．三、解答题17．已知集合{|12}A x x =<<，{|232}B x a x a =-<<-，且A B ⊇，求实数a 的取值范围．【答案】[)1+∞， 【解析】当B ϕ=时，232a a -≥-，解得1a ≥，当B ϕ≠时，23223122a a a a -<-⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，无解，由此可以得出实数a 的取值范围. 【详解】Q 集合{|12}A x x =<<，{|232}B x a x a =-<<-，且A B ⊇，∴当B ϕ=时，232a a -≥-，解得1a ≥；当B ϕ≠时，23223122a a a a -≤-⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，无解.综上，实数a 的取值范围为[)1+∞，. 【点睛】本题考查集合包含关系的判断及应用，应分类讨论集合B 是否为空集，属于基础题. 18．如图所示，四棱锥V －ABCD 的底面为边长等于2 cm 的正方形，顶点V 与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC ＝4 cm ，求这个四棱锥的体积.【答案】3414cm 【解析】试题分析：连AC 、BD 相交于点O ，连VO ，求出VO ，则V V-ABCD =13S ABCD •VO ，由此能求出这个四棱锥的体积． 试题解析：如图，连接AC 、BD 相交于点O ，连接VO ，∵AB ＝BC ＝2 cm ，在正方形ABCD 中，求得CO ＝cm ，又在直角三角形VOC 中， 求得VO ＝cm ，∴V V －ABCD ＝S ABCD ·VO ＝×4×＝(cm 3)．故这个四棱锥的体积为cm 3.19．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点. （1）求证：PE ⊥BC ； （2）求证：EF ∥平面PCD .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】(1)先证明PE ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC 即得证.(2) 取PC 中点G ，连接,FG GD .证明EF GD P ，再证明EF ∥平面PCD. 【详解】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .（2）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC P ，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =P ， ∴ED FG P ，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD P .又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， ∴EF P 平面PCD . 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.20．已知ABC ∆的三个顶点(4,6),(4,1),(1,4)A B C ---.求：（1）AC 边上高BD 所在的直线方程； （2）AB 边中线CE 所在的直线方程.【答案】（1）260x y -+=；（2）13250x y ++=.【解析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得高BD 所在的直线的斜率，进而得出点斜式．（2）利用中点坐标公式可得AB 边的中点，利用两点式即可得出． 【详解】解：（1）(4,6),(4,1),(1,4)A B C ---Q6424(1)AC k --∴==---又因为AC 垂直BD12BD k ∴=， 直线BD 的方程为11(4)2y x -=+， 即260x y -+=；（2）AB Q 边中点E 5(0,)2-，中线CE 的方程为554221y x ++=-，即13250x y ++=.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、两点式、一般式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 21．已知圆心为C （4，3）的圆经过原点O ． （1）求圆C 的方程；（2）设直线3x ﹣4y +15＝0与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积． 【答案】（1）（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝25．（2）12 【解析】（1）求出半径，从而可得圆的标准方程；（2）作CD ⊥AB 于D ，则CD 平分线段AB ，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积． 【详解】解：（1）圆C 的半径为5OC ==，从而圆C 的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝25； （2）作CD ⊥AB 于D ，则CD 平分线段AB ，在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得|CD |＝3， 所以22||4AD AC CD =-=，所以|AB |＝2|AD |＝8， 所以△ABC 的面积1122S AB CD ==． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．22．已知函数()2327mx n h x x +=+为奇函数，()13x mk x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，其中m n R ∈、.（1）若函数()h x 的图像过点()1,1A ，求实数m 和n 的值； （2）若3m =，试判断函数()()()11f x h x k x =+在[)3,x ∈+∞上的单调性并证明； （3）设函数()()(),39,3h x x g x k x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若对每一个不小于3的实数1x ，都恰有一个小于3的实数2x ，使得()()12g x g x =成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) 30,0m n ==; (2)()()()11f x h x k x =+在[)3,x ∈+∞上单调递增; (3) (0,6)m ∈【解析】(1)由奇函数可得()00h =,再代入()1,1A 即可. (2)设123x x ≤<再计算()()12f x f x -的正负即可判断单调性.(3)由题意可分0m ≤,03m <<与3m ≥三种情况进行讨论再根据()h x 与()9k x 的值域关系进行不等式求解.【详解】 (1)因为()2327mx nh x x +=+为奇函数,故()00,027n h n ===,又函数()h x 的图像过点()1,1A 故()11,30327mh m ===+.即30,0m n ==.(2)由题,()()()231132733x x f x h x k x x-+=+=+, 当[)3,x ∈+∞时, ()393x f x x x-=++,设123x x ≤<, 则()()12123333211212121212()(9)99(3)(3)33x x x x x x x x f x x x x x x x f x ------=++-++=+--因为123x x ≤<,故210x x ->,1290x x -<,1233330x x ---<,故1233211212()(9)330x x x x x x x x ----+-<.所以()()120f x f x -< 故()()()11f x h x k x =+在[)3,x ∈+∞上单调递增. (3)当3x ≥时,()()2273273mx mg x h x x x x===++当3x <时,()()1993x mg x k x -⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭1.当0m ≤时,13x ∀≥,()()1111273m g x h x x x ==≤+,又13x ∀≥,()221039x mg x -⎛⎫> ⎪⎝⎭=⋅不满足条件,2.当03m <<时, 13x ∀≥,()()11110,27183mm g x h x x x ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦+, 又23x ∀<,20x m -≥,()(]2210,939x mg x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=⋅由题意(],0,1809m ⎛⎤⊆ ⎥⎝⎦恒成立,故03m <<满足条件.3.当3m ≥时, 13x ∀≥,()()11110,27183mm g x h x x x ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦+, 23x ∀<,220x m m x -=->,()232110,9339x mm g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝=⎭⋅⎭ 由题意有310,930,18m m -⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎤⊆⎥⎝⎦⎭⎛ ,此时35193318m mm --⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭<，即5318m m -< 令函数5()318xx H x -=-,易得()H x 为减函数且566(6)3018H -=-=. 则解5318m m-<可得6m <.此时36m ≤< 综上(0,6)m ∈ 【点睛】本题主要考查了奇函数的运用与单调性的证明,同时也考查了分段函数的分段与参数的讨论等,其中题目中有“对每一个不小于3的实数1x ，都恰有一个小于3的实数2x ，使得()()12g x g x =成立”可考虑到m 分三种情况讨论,属于难题.。
2019-2020学年湖南省长沙市明德中学高一(上)第三次段考数学试卷
2
A．2
B．4
C．8
D．16
3．（5 分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．f（x）＝2x
B．f（x）＝x3
C．f（x） =
1
D．f（x）＝﹣x|x|
4．（5 分）如图正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中，二面角 D′﹣AB﹣D 的大小是（ ）
AD，直接求解即可．
【解答】解：因为 D′D⊥底面 ABCD，D′A⊥AB，所以∠D′AD 即为二面角 D′﹣AB
﹣D 的平面角，因为∠D′AD＝45°，所以二面角 D′﹣AB﹣D 的大小是 45°．
故选：B．
5．【分析】利用直线与平面、直线与直线的位置关系直接求解．
【解答】解：∵平面 α 和直线 a，b 满足 a∩α＝A，b⊂α，
对于选项 C：已知 m⊥α，若 n⊥m，则 n 可能在 α 内，故错误．
对于选项 D：已知 m⊥α，若 n∥m，则 n⊥α，正确．
故选：D．
7．【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．
【解答】解：∵a＝21.2＞2，
1
b＝（ ）﹣0.8＝20.8＜21＝2，
2
c＝log54＜log55＝1，
∴c＜b＜a．
22．（12 分）已知函数 f（x）＝x2﹣x|x﹣a|﹣4a，a＞0．
（1）若 a＝2，求 f（x）的单调区间；
（2）求函数 f（x）在 x∈[0，3]上的最值；
1
1
（3）当 a∈（0，4）时，若函数 f（x）恰有两个不同的零点 x1，x2，求| ― |的取值范
1
2
围．
2020年湖南省长沙市明德中学高三数学理月考试题含解析
2020年湖南省长沙市明德中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若m，n∈N*则a＞b是（a m﹣b m）?（a n﹣b n）＞0成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由（a m﹣b m）?（a n﹣b n）＞0，得：a m＞b m且a n＞b n，或a m＜b m且a n＜b n，解得：a＞b＞0或a＜b＜0，故a＞b是（a m﹣b m）?（a n﹣b n）＞0成立的既非充分又非必要条件，故选：D．2.的值为（）A. B. － C.D. -参考答案：答案：B3. 已知两点，若直线上存在点P，使,则称该直线为“S型直线”.给出下列直线：①；②；③；④，其中为“S型直线”的个数是A.1B.2C.3D.4参考答案：B4. 已知函数，则下列关于函数（）的零点个数的判断正确的是 ( )A．当时，有个零点；当时，有个零点B．当时，有个零点；当时，有个零点C．无论为何值，均有个零点D．无论为何值，均有个零点参考答案：5. 直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A．B．C．y=3x﹣3 D．参考答案：A考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．分析：先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程．解答：解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°∴两直线互相垂直则该直线为，那么将向右平移1个单位得，即故选A．点评：本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题．6. 已知集合，，则A. B. C. D.参考答案：C7. 已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）参考答案：B略8. 已知x、y∈R*满足x2+y2=1，则+的最小值为A． B． C． D．2参考答案：D9. 函数的图象大致是（）参考答案：D10. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面,下列命题中错误的是（）A.若,,,则B.若,,,则C.若,,则D.若,,,则参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，A＝30 ，BC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，△BCD的面积为4，则AC的长为__________．参考答案：略12. 已知展开式的常数项是160，则由曲线y=x2和y=x a围成的封闭图形的面积为．参考答案：【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】首先通过二项展开式求出a，然后利用定积分表示封闭图形的面积．【解答】解：因为展开式的常数项是160，所以=160，解得a=，所以由曲线y=x2和y=x a围成的封闭图形的面积为S===，故答案为．13. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为________．参考答案：100略14. 已知幂函数的图象过点，则________________.参考答案：3略15. 已知实数x，y满足，则的取值范围为__________．参考答案：【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到的取值范围. 【详解】作出不等式组对应的可行域，如图所示，联立直线方程联立直线方程表示可行域内的点（x,y）和点P(-3,1)连线的斜率，由图得，当动点在点A时，最小为，当动点在点B时，最大为.故答案为：16. 若函数为奇函数，则m＝____．参考答案：1试题分析：此函数的定义域为,因为为奇函数,所以,即,解得.考点：函数的奇偶性.17. 已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是▲．参考答案：[，1)三、解答题：本大题共5小题，共72分。