多元函数的极限与连续习题课

第十六章 多元函数的极限与连续习题课

一 概念叙述题

1.叙述0

lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ．

lim ()0,0,P P f P A εδ→=⇔∀>∃>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-<

（方形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，

00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<

（圆形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述

00(,)(,)

lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,)

lim

(,)x y x y f x y →=-∞，

00(,)(,)

lim (,)x y x y f x y →=∞的定义．

000000(,)(,)

lim

(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有

0,0,0(,)G f x y G

δδ⇔∀>∃><

<>当时，有000000(,)(,)

lim

(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞⇔∀>∃>-<-<≠<-当时，有

000000(,)(,)

lim

(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有．

3.叙述

0(,)(,)

lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义．

00(,)(,)

lim

(,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=⇔∀>∃>∃>>-<-<当时，有

4.叙述

0(,)(,)

lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义．

00(,)(,)

lim

(,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞⇔∀>∃>∃>-<<->当时，有

5. 叙述

(,)(,)

lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义．

(,)(,)

lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞⇔∀>∃><-><-当时，有．

注：类似写出(,)(,)

lim

(,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，∆取0,,,x ∞+∞-∞，

W 取0,,,y ∞+∞-∞．

6.叙述f 在点0P 连续的定义．

f 在点0P 连续⇔ε∀， 0δ∃>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-<

⇔ε∀， 0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<

⇔ε∀，

0δ∃>，δ，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<．

7.叙述f 在D 上一致连续的定义．

f 在D 上一致连续()0,,,P Q D εδε⇔∀>∃∀∈只要(,)P Q ρδ<，就有

()().f P f Q ε-<

8.叙述f 在D 上不一致连续的定义．

f 在D 上不一致连续00,,,P Q D δδεδ⇔∃>∀∃∈尽管(,)P Q δδρδ<，但有

0()().f P f Q δδε-≥

二 疑难问题与注意事项

1. 00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<表示空心邻域吗

答：不是．0000{(,)|,,(,)(,)}x y x x y y x y x y δδ-<-<≠只是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉一点00(,)x y ，而00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉了两条线段，000{(,)|,}x y x x y y y δδ=-<<+，000{(,)|,}x y y y x x x δδ=-<<+．

2. E 的界点是E 的聚点吗

答：不一定，E 的界点还可能是E 的孤立点．

3. E 的聚点一定属于E 吗

答：不一定，例如，22{(,)|14}D x y x y =≤+<，满足22

4x y +=的一切点也是D 的聚点，但它们都不属于D ．

注 E 的内点，孤立点一定属于E ，E 的聚点，界点可能属于E ，也可能不属于E ，E 的外点一定不属于E ．

4.区域上每一点都是聚点吗

答 区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连通，就能保证，区域上每

一点的邻域有无穷多个点．

5. 12x x -1212x x y y -+-之间有什么关系

答：()

12121212x x y y x x y y --≤≤-+-或． 6.用方形邻域证明00(,)(,)

lim (,).x y x y f x y A →=的思路是什么

答：证明

00(,)(,)

lim (,).x y x y f x y A →=怎么证呢------关键也是找δ.

（用方形邻域的思路0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有

(,)f x y A ε-<.）

当00(,)(,)x y x y →，有00(,)(,)x y x y ≠，把(,)f x y A -化简为下述形式:

()()00(,),,f x y A x y x x x y y y ϕψ-=-+-（注意一定要出现

0x x -，0y y -）.然后将

()(),,,x y x y ϕψ适当放大，有时先要限定01x x δ-<，01y y δ-<,估算得()(),,,x y M x y N ϕψ≤≤,

则（最综化简到00(,)f x y A M x x N y y -≤-+-这个形式）；

0>∀ε，要使(,)f x y A -<ε，只要()00M x x N y y M N -+-<+δ<ε，即要M N εδ<

+，取1min(,)M N

ε

δ=δ+，于是0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，

00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.

7. 证明判断二元函数(),f x y 在(,)(0,0)x y →时二重极限不存在 答：1）当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0)

lim (,)x y y mx

f x y →=值与m

有关，则二重极限

(,)(0,0)

lim (,)x y f x y →不存在．

2）令

cos x r θ=，sin y r θ=，0

lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ有关，则二重极限

(,)(0,0)

lim (,)x y f x y →不存在．

注意 若0

lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ无关，则二重极限(,)(0,0)

lim (,)x y f x y →存在．

3）找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同． 4）证明两个累次极限存在但不相等．

8. 当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0) lim (,)x y y mx

f x y →=值与m 无

关，能说明二重极限

(,)(0,0)

lim (,)x y f x y →存在吗