高中数学课本典例改编之必修四、五：专题五 数列
人教版高中数学必修五数列复习提纲及例题
高一数学必修5《数列》复习纲要《数列》复习1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（ 1）察看与概括法：先察看哪些要素随项数n 的变化而变化，哪些要素不变：剖析符号、数字、字母与项数 n 在变化过程中的联系，初步概括公式。
（ 2）公式法：等差数列与等比数列。
S1 ,( n1)（ 3）利用S n与a n的关系求a n：a nS n S n 1,( n2)（ 4）结构新数列法；（ 5）逐项作差乞降法；（ 6）逐项作商求积法2.等差数列 { a n} 中：（ 1）等差数列公差的取值与等差数列的单一性；（2）a n a1(n 1)d a m(n m)d ；（3）{ ka n}也成等差数列；(4)两等差数列对应项和 ( 差) 构成的新数列仍成等差数列 .(5) a1 a2 L a m, a m 1 am 1 La2 m, a2m 1a2 m 1 L a3 m L 仍成等差数列.（6）S n n(a12 an)，S n na1 n( n 1) d，S n d n2 (a1d)n ，2 2 2a n S2 n 1 ，An f (n) a n f (2 n 1) . 2n 1 B n b n(7) 若 m n p q ，则a m a n a p a q；若 m p q a p a q2 ，则a m2a p q,a q p( p q) ap q 0 ，S p q, S q p( p q) S p q ( p q) ；m n m nmnd .S S S(8) “首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是全部非负项之和；（ 9）等差中项：若a ba, A,b 成等差数列，则 A 叫做 a, b 的等差中项。
2（ 10）判断数列是不是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。
3. 等比数列 { a n } 中：（ 1）等比数列的符号 特点 ( 全正或全负或一正一负 ) ，等比数列的首项、公比与等比数列的单一性。
万变不离其宗：2017高中数学课本典例改编之必修四、五：专题二 平面向量 含解析
专题二平面向量一、题之源：课本基础知识1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量,其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算3.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b＝λa．4．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2．其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a＋b＝(x1＋x2,y1＋y2),a－b＝(x1－x2,y1－y2),λa＝(λx1,λy1),|a|＝x21＋y21．(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →＝(x 2－x 1,y 2－y 1),|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),其中b ≠0,a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． 7．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量|a ||b |cos_θ叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a·b ．即a·b ＝|a ||b |cos_θ,规定0·a ＝0. 8．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a ．(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ． 9．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2)二、题之本：思想方法技巧1.准确理解向量的概念,请特别注意以下几点： (1)a ∥b ,有a 与b 方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同,如|a |＝|b |不能推出a ＝±b ； (3)零向量的方向是任意的,并不是没有,零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a ,a||a 是与a 同向的单位向量,这也是求单位向量的方法；(5)向量平行,其所在直线不一定平行,两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a 的大小和方向,可以自由平移a ,平移后的向量与a 相等,所以线段共线与向量共线是有区别的,向量的共线与向量的平行是一致的.2.向量具有大小和方向两个要素,既能像实数一样进行某些运算,又有直观的几何意义,是数与形的完美结合.向量是一个几何量,因此,在研究向量的有关问题时,一定要结合图形进行分析、。
高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
(完整版)高考数学专题《数列》超经典
高考复习序列-----高中数学数列一、数列的通项公式与前n 项的和的关系①11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩（注：该公式对任意数列都适用）②1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） ③12n n S a a a =+++L （注：该公式对任意数列都适用） ④s n+1−s n−1=a n+1+a n （注：该公式对任意数列都适用） 二、等差与等比数列的基本知识 1、等差数列⑴ 通项公式与公差：定义式：d a a n n =--1一般式：()q pn a d n a a n n +=⇔-+=11 推广形式： ()n m a a n m d =+-ma a d mn --=⇔；⑵ 前n 项和与通项n a 的关系：前n 项和公式：1()n n n a a s +=1(1)n n na d -=+211()2d n a d n =+-.前n 项和公式的一般式：应用：若已知()n n n f +=22，即可判断为某个等差数列n 的前n 项和，并可求出首项及公差的值。
n a 与n S 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥（注：该公式对任意数列都适用）例：等差数列12-=n S n ，=--1n n a a （直接利用通项公式作差求解） ⑶ 常用性质：①若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；特别地：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+⇔n 、m 、p 成等差数列；②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,a a a ++456,a a a ++789a a a ++，⋅⋅⋅）仍是等差数列；③{}n a 为公差为d 等差数列，n S 为其前．n ．项和．．，则232,,m m m m m S S S S S --，43m m S S -，．．．也成等差数列, A 、 构成的新数列公差为D=m 2d ，即m 2d=(S 2m -S m )- S m ；B 、 对于任意已知S m ，S n ，等差数列{}n a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也构成一个公差为2d 等差数列。
人教课标版高中数学必修5参考课件-《数列》复习
题例2
题型示例
图1
图2
图3
图4
如上图所示，第n个图形由第n+2边形“扩展”而来的。
记第n个图形的顶点数为 an (n 1,2,3,........) ，
则 a2005 =
。
解：由图易知：
a1 12 3 4, a2 20 4 5, a3 30 5 6, a4 42 6 7,
从而易知，
高考命题趋势预测：
① 选择题或填空题仍以考查等差数列、等比数列的 概念（要注意数列的图表、图像表示）以及基本性质， 同时，也考查数列通项公式的求法，尤其要注意归 纳—猜想题型。
这种利用归纳和类比进行推理的题型在历届的高考 中已经出现过（主要出现在填空题的最后一题，即16 题），估计在将来的高考试题中会将这种思想方法体 现得更加林淋漓尽致．因而，在复习过程中加大对这 种题型的训练是很有必要的．
1
解:
第一年增长2，第二年是2×
率为2×(
1 2
)
＝ n1
2
2n
.
2 ＝……第n年增长
(1)设第n年的年产量为 an ，则a1＝a(1＋2)＝3a，
a2＝a1(1＋2×
1 2
an＝an－1[1＋2×
)＝6a，a3＝ a2 ( 1 )n1]＝an－1(1＋
[1＋2× ( 1 ) 2 ]＝9a，
2 2n )（n≥22）．
b
1,
f
(x)
2
2
x
.
（2）当n
2
时，将
f
(an )
2 2 an
代入
Sn
2 f (an )
1 (n2 2
5n 2)
整理得 Sn
高考数学 课本例题习题改编 新人教A版必修4 (学生版)
人教A 版必修4课本例题习题改编1.原题（必修4第十页A 组第五题）改编1 下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角一定不是负角 B ．－831°是第四象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的角一定相等 解：选C. －330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A 错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B 错误；0°角，360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误． 改编2 已知θ为第二象限角，那么3θ是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角解：选D.36090360180,,1203012060,3k k k z k k k z θθ+〈〈•+∈∴•+〈〈•+∈ooooooo oQ（1）当()3,36030360180,,3k nn z n n n z θ=∈•+〈〈•+∈o o o o 时此时3θ为第一象限角；（2）当()31,360150360180,,3k n n z n n n z θ=+∈•+〈〈•+∈o o o o时此时3θ为第二象限角；（3）当()32,360270360300,3k n n z n n θ=+∈•+〈〈•+o o o o时此时3θ为第四象限角。
2.原题（必修4第十页B 组第二题）改编 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143 π B ．－143 π C.718 π D ．－718 π解：选B. 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.3.原题（必修4第二十二页B 组第三题）改编 已知tan 2α=，计算：（1）2sin cos sin 2cos αααα-+；（2）22sin sin cos 2cos αααα+-解：（1）原式2tan 13tan 24αα-==+；（2）原式2222sin sin cos 2cos sin cos αααααα+-=+ 22tan tan 24tan 15ααα+-==+4.原题（必修4第二十三页探究）改编1 得( ) A.sin 2cos2+ B.cos2sin 2- C.sin 2cos2- D.±cos2sin 2-解：选=|sin(2)cos(2)|=|sin2cos2|=π-+π--∵sin20>,cos20<,∴sin2cos20->=sin2cos2- 改编 2 设函数()sin()cos()4f x a x b x αβ=π++π++(其中βα、、、b a 为非零实数),若5)2001(=f ,则(2010)f 的值是( )A.5B.3C.8D.不能确定解：.B (2001)sin(2001)cos(2001)4sin()cos()f a b a b παβαβ=++π++=π++π+sin cos 45a b αβ=--+=,sin cos 1a b αβ∴--=,(2010)sin(2010)cos(2010)4sin cos 4143f a b a b αβαβ=π++π++=++=-+=5.原题（必修4第二十七页例4）改编 已知角x 终边上的一点P （-4，3），则()cos sin 29cos sin 22x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 . 解：()cos sin sin sin 2tan 9sin cos cos sin 22x x x x x x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪-•⎝⎭==-•⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函数的定义，可知33tan ,=-tan 44y x x x ==-=所以原式 6.原题（必修4第五十三页例1）改编 设ω>0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A.23 B.43 C.32D ．3 解：选 C.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的图象向右平移4π3个单位所得的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3－4π3ω，又因为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，∴4π3ω＝2kπ⇒ω＝32k(k ∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为32，故选C.7.原题（必修4第五十六页练习题3）改编 sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的振幅为______，频率和初相分别为______，______。
高中数学必修5数列解答题专项练习附答案 教师版
高中数学必修5数列解答题专项练习附答案一、解答题（共50题；共425分）1.设等比数列{a n }满足 a 1+a 2=4 ， a 3−a 1=8 ． （1）求{a n }的通项公式；（2）记 S n 为数列{log 3a n }的前n 项和．若 S m +S m+1=S m +3，求m ．【答案】 （1）解：设等比数列 {a n } 的公比为 q ，根据题意，有 {a 1+a 1q =4a 1q 2−a 1=8 ，解得 {a 1=1q =3 ， 所以 a n =3n−1（2）解：令 b n =log 3a n =log 33n−1=n −1 ， 所以 S n =n(0+n−1)2=n(n−1)2，根据 S m +S m+1=S m+3 ，可得m(m−1)2+m(m+1)2=(m+2)(m+3)2，整理得 m 2−5m −6=0 ，因为 m >0 ，所以 m =6【解析】【分析】（1）设等比数列 {a n } 的公比为 q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出 {log 3a n } 的通项公式，利用等差数列求和公式求得 S n ，根据已知列出关于 m 的等量关系式，求得结果.2.已知数列 {a n } ， a 1=3 ，前 n 项和为 S n ．（1）若 {a n } 为等差数列，且 a 4=15 ，求 S n ；（2）若 {a n } 为等比数列，且 lim x→∞s n <12 ，求公比 q 的取值范围． 【答案】 （1）解： ∵a 4=a 1+3d =3+3d =15 ， ∴d =4 ， ∴S n =3n +n(n−1)2×4=2n 2+n ； （2）解： s n =3(1−q n )1−q，lim x→∞s n 存在， ∴ −1<q <1 ，且 q ≠0 ，∴lim x→∞s n =limx→∞3(1−q n )1−q=31−q ，∴31−q <12 ， ∴ q <34 ， ∴ −1<q <0 或 0<q <34 ，∴ 公比 q 的取值范围为 (−1,0)∪(0,34) ．【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合已知条件求出等差数列的公差，再利用等差数列的首项和公差结合等差数列前n 项和公式求出等差数列前n 项和。
人教版高中数学必修五数列复习提纲及例题
《数列》复习1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。
（2）公式法：等差数列与等比数列。
（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法2.等差数列{}n a 中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性； （2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-； （3）{}n ka 也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5)1211221213,,m m m m m m ma a a a a a a a a +++++++++++++仍成等差数列.（6）1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+，21()22n d dS n a n =+-， 2121n n S a n -=-，()(21)n n nn A a f n f n B b =⇒=-.(7)若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；若2p qm +=，则2p q m a a a +=,()0p q p q a q a p p q a +==≠⇒=，,()()p q p q S q S p p q S p q +==≠⇒=-+；m n m n S S S mnd +=++.(8)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和； （9）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2a bA +=叫做,a b 的等差中项。
（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。
3.等比数列{}n a 中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。
最新-高考数学 课本例题习题改编 新人教A版必修4 (学
人教A 版必修4课本例题习题改编1.原题（必修4第十页A 组第五题）改编1 下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角一定不是负角 B ．－831°是第四象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的角一定相等 解：选C. －330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A 错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B 错误；0°角，360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误． 改编2 已知θ为第二象限角，那么3θ是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角解：选D.36090360180,,1203012060,3k k k z k k k z θθ+〈〈∙+∈∴∙+〈〈∙+∈（1）当()3,36030360180,,3k nn z n n n z θ=∈∙+〈〈∙+∈ 时此时3θ为第一象限角；（2）当()31,360150360180,,3k n n z n n n z θ=+∈∙+〈〈∙+∈时此时3θ为第二象限角；（3）当()32,360270360300,3k n n z n n θ=+∈∙+〈〈∙+时此时3θ为第四象限角。
2.原题（必修4第十页B 组第二题）改编 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143 π B ．－143 π C.718 π D ．－718 π解：选B. 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.3.原题（必修4第二十二页B 组第三题）改编 已知tan 2α=，计算：（1）2sin cos sin 2cos αααα-+；（2）22sin sin cos 2cos αααα+-解：（1）原式2tan 13tan 24αα-==+；（2）原式2222sin sin cos 2cos sin cos αααααα+-=+22tan tan 24tan 15ααα+-==+4.原题（必修4第二十三页探究）改编1 ( ) A.sin 2cos 2+ B.cos 2sin 2- C.sin 2cos 2- D.±cos 2sin 2-解：选=|sin(2)cos(2)|=|sin2cos2|=π-+π--∵sin20>,cos20<,∴sin2cos20->=sin2cos2- 改编 2 设函数()sin()cos()4f x a x b x αβ=π++π++(其中βα、、、b a 为非零实数),若5)2001(=f ,则(2010)f 的值是( )A.5B.3C.8D.不能确定解：.B (2001)sin(2001)cos(2001)4sin()cos()f a b a b παβαβ=++π++=π++π+sin cos 45a b αβ=--+=,sin cos 1a b αβ∴--=,(2010)sin(2010)cos(2010)4sin cos 4143f a b a b αβαβ=π++π++=++=-+=5.原题（必修4第二十七页例4）改编 已知角x 终边上的一点P （-4，3），则()cos sin 29cos sin 22x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 . 解：()cos sin sin sin 2tan 9sin cos cos sin 22x x x x x x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪-∙⎝⎭==-∙⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函数的定义，可知33tan ,=-tan 44y x x x ==-=所以原式 6.原题（必修4第五十三页例1）改编 设ω>0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A.23 B.43 C.32D ．3 解：选 C.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移4π3个单位所得的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4π3ω，又因为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，∴4π3ω＝2k π⇒ω＝32k(k ∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为32，故选C.7.原题（必修4第五十六页练习题3）改编 sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的振幅为______，频率和初相分别为______，______。
高中数学人教版必修5——第四讲：等差数列的概念、性质(解析版)
等差数列的概念、性质考查重点：等差数列的通项公式、等差中项以及等差数列的判定 所占分数：10--25分教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系；教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。
1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。
用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+-()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。
6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数） （4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n =A.672B.673C.662D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-⨯=-令2015n a =，解得673n = 答案：B练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥< 所以有115235062360a d d a d d +=+≥+=+<解得2323,456d d Z d -≤<-∈∴=- 答案：C练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==-其中n N +∈设221n n b a =-（1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2） 求数列{}n a 的通项公式解析：（1）1144222222121212121n n n n n n n n n a a b b a a a a a ++--=-=-==----- 所以数列{}n b 是等差数列（2）()111121,21221212,212n n n a b b b n d n a n n a a n=∴==∴=+-=-+∴==-答案：（1）略 （2）12n n a n +=练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1n nb a =（1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式 答案：（1）数列{}n b 是公差为1的等差数列 （2）443n a n =- ，34n b n =- 练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d 答案：15,1a d =-=例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 解析：a 为8与2的等差中项，得8252a +== ；2为,ab 的等差中项得1b =-；由b 为2与c 的等差数列，得4c =- 答案：5，-1，-4练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________ 答案：5，-1练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 答案：5，11,14类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016解析：1001101412014+=+，且{}n a 为等差数列，12014100110142015a a a a ∴+=+=故选B 答案：B练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （） A.24 B.22 C.20 D.18 答案：A练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 答案：2016例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 解析：n a 是 n 的一次函数，所以设()0n a kn b k =+≠代入22013,a a 解得20151,20152015201520150n k b a n a =-=∴=-+∴=-+=答案：0练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =-+的零点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2 答案：D练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b （1） 求1b 和2b （2） 求{}n b 的通项公式 （3）{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项答案：数列{}n b 是数列{}n a 的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{}n a 是等差数列，所以{}n b 也是等差数列 （1）()()13,5,31585n a d a n n ==∴=+--=- 数列{}n a 中序号被4除余3的项是{}n a 中的第3项，第7项，第11项，…13277,27b a b a ∴==-==-（2）设{}n a 中的第m 项是{}n b 的第n 项即n mb a =()()413414185411320n m n m n n b a a n n -=+-=-∴===--=- 则1320n b n =-（3）503132*********b =-⨯=- ，设它是{}n a 中的第m 项，则1004785m -=-，则2011m =，即{}n b 中的第503项是{}n a 中的第2011项1.在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6 C．8 D．10答案：A2.在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a101的值为()A．49 B．50 C．51 D．52答案：D3. 如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21 C．28 D．35答案：C4. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0D．a51＝0答案：D5. 等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30 B．27 C．24 D．21答案：B6. 等差数列{a n}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60 B．61 C．62 D．63答案：B_______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ __基础巩固1.在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A ．11B ．12C ．13D ．14 答案：C2. 若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )A ．24B ．27C ．30D ．33 答案：D3. 已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( )A ．15B ．30C ．31D ．64 答案：A4. 等差数列中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝420，则a 2＋a 10等于( )A ．100B ．120C ．140D ．160 答案：B 5. 已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A.3 B.2 C.13 D.12答案：A6. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 答案： 747. 等差数列{a n }中，公差为12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______. 答案： 858. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案：C9. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 答案：4210. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． 答案：411. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项． 答案：设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325答案：D13. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 答案：C14. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12 C.23 D ．－1答案：B15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( )A.32B.23C.43D.34 答案：C16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案：676617. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根答案：A18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －1答案：C19. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 答案：12(A ＋B )20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________． 答案：4,6,821. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案：2022. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项； (3)从第几项开始出现负数？ (4)在区间(－31,0)中有几项？答案：(1)由题意知a 1＝11，d ＝a 2－a 1＝8－11＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. ∴a 13＝－3×13＋14＝－25.(2)设－101＝a n ，则－101＝－3n ＋14， ∴3n ＝115，n ＝1153＝3813∉N ＋.∴－101不是数列{a n }中的项． (3)设从第n 项开始出现负数，即a n <0， ∴－3n ＋14<0，∴n >143＝423.∵n ∈N ＋，∴n ≥5， 即从第5 项开始出现负数． (4)设a n ∈(－31,0)，即－31<a n <0， ∴－31<－3n ＋14<0， ∴423<n <15，∴n ∈N ＋， ∴n ＝5,6,7，…，14，共10项.23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？答案：设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4，∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项．24. 已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．答案：(1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．答案：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94 ⇒2a 2＋10d 2＝47.①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.答案：解法一：a 2＋a 6＋a 10＝a 1＋d ＋a 1＋5d ＋a 1＋9d ＝3a 1＋15d ＝1，∴a 1＋5d ＝13.∴a 3＋a 9＝a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2a 6＝a 2＋a 10＝a 3＋a 9，∴a 2＋a 6＋a 10＝3a 6＝1，∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2a 6＝23. 27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．答案：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，B ＝π3. ∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，∴2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ，即sin 2B ＝sin A ·sin C ，∴sin A sin C ＝34. 又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ，∴sin A sin C ＝cos (A －C )－cos (A ＋C )2， ∴34＝12[cos(A －C )－cos 2π3]， ∴34＝12cos(A －C )＋14， ∴cos(A －C )＝1，∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0，即A ＝C ＝π3，A ＝B ＝C . 故△ABC 为等边三角形．。
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专题五 数列
一、题之源：课本基础知识
1.数列的概念
(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的.数列中的每一项都和
它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做),排在第二位的数称为这个数列的第2
项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.所以,数列的一般形式可以写成,其中an是数列的第n项,叫做
数列的通项.常把一般形式的数列简记作{an}.
(2)通项公式：如果数列{an}的与序号之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项
公式.
(3)从函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变
量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.
(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项
(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
(5)数列的表示方法有通项公式、列表法、图象法、递推公式.
2.数列的分类
(1)数列按项数是有限还是无限来分,分为有穷数列、无穷数列.
(2)按项的增减规律分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.递增数列：an＋1an；递减数列：an＋1an；常
数列an＋1 =an.递增数列与递减数列统称为单调数列.
3.数列前n项和Sn与an的关系
已知Sn,则an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2），
4.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差
数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,即1nnaa ＝d(n∈N＋,且n≥2)
5.等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项
6.等差数列的通项公式
若{an}是等差数列,则其通项公式an＝11and.
①{an}成等差数列an＝pn＋q,点(n,an)是直线上一群孤立的点.
②单调性：d＞0时,{an}为递增数列；d＜0时,{an}为递减数列；d＝0时,{an}为常数列.
7.等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和公式Sn＝12nnaa 112nnnad.其推导方法是倒序相加.
8.等差数列的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*){an}是等差数列；
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*){an}是等差数列；
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k,b是常数)(n∈N*){an}是等差数列；
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A,B是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
9.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这
个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).
10.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G2＝ab或G＝ab.
11.等比数列的通项公式
(1)若{an}是等比数列,则通项an＝11nnmmaqaq
(2)an＝a1qn－1可变形为an＝Aqn,点(n,an)是曲线 xyAq上一群孤立的点.
12.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}中,11,11,11nnnaqSaqqq 求和公式的推导方法是：,为解题的方便,有时可将求和公式变形为
Sn＝Bqn－B(q≠1),q≠0,q≠1.
13.等比数列的判定方法
(1)定义法：an＋1＝anq且a1≠0(q是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.
(2)通项公式法：an＝cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.
(3)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0,n∈N*)⇔{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法：Sn＝a1q－1qn－a1q－1＝Bqn－BB＝a1q－1是常数，且q≠0，q≠1⇔{an}是等比数列.
14.等比数列的性质
(1)在等比数列中,若p＋q＝m＋n,则ap·aq＝am·an；
若2m＝p＋q,则a2m＝ap·aq(p,q,m,n∈N*).
(2)若{an},{bn}均为等比数列,且公比为q1,q2,则数列1an,{p·an}(p≠0),{an·bn},anbn仍为等比数列且公比为
(3)在等比数列中,按序等距离取出若干项,也构成一个等比数列,即an,an＋m,a
n＋2m
…仍为等比数列,公比为
(4)等比数列前n项和为Sn(≠0),则Sn,S2n－Sn,S3n－S
2n
,…构成等比数列,且公比为
(5)对于一个确定的等比数列,在通项公式an＝a1qn－1中,an是n的函数,这个函数由正比例函数an＝a1q·u和指
数函数u＝qn(n∈N*)复合而成.
15.数列求和方法
(1)公式法：
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
(3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法.
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.等比数列{an}前n项和公式