专题3 函数的奇偶性及对称性(答案)
高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质
高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质考向一 由函数图像求解析式【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A. 3231x x y x -+=+B. 321x x y x -=+C. 22cos 1x x y x =+D.22sin 1x y x =+ 【答案】A【试题解析】设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质，属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图，试题难度不大，多为中低档题，函数图像是历年高考的热点，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．常见的命题角度有：（1）由函数的图像来研究函数的性质；（2）由函数图像求解析式；（3）由解析式判断大致图像．【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1) 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2) 从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3) 从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4) 从函数的周期性，判断图像的循环往复.(5) 从函数的特征点，排除不合要求的图象．考向二 由解析式判断图像【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】A【试题解析】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质，属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图，试题难度不大，多为中低档题，函数图像是历年高考的热点，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．常见的命题角度有：（1）由函数的图像来研究函数的性质；（2）由函数图像求解析式；（3）由解析式判断大致图像．【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势．（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性．（4）从函数的周期性，判断图像的循环往复.（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．真题汇总及解析1．函数()22cos6x x y x -=-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】利用排除法求解，先判断函数的奇偶性，再利用函数的变化情况判断即可【详解】定义域为R ，因为()()()22cos(6)22cos6()x x x x f x x x f x ---=--=--=-，所以函数为奇函数，所以排除AB ， 当012x π<<时，062x π<<，则cos60x >，因为当012x π<<时，220x x -->，所以当012x π<<时，()22cos60x x y x -=->，所以排除D ，故选：C 2．从函数y x =，2y x ，2x y -=，sin y x =，cos y x =中任选两个函数，记为()f x 和()g x ，若()()()h x f x g x =+或()()()h x f x g x =-的图象如图所示，则()h x =（ ）A ．2sin x x -B ．cos x x +C ．2sin x x -+D ．cos x x -【答案】C【解析】【分析】 根据图象可知函数()h x 过定点(0,1)，当0x <时()1h x >，为减函数；当0x >时()0h x >或()0h x <交替出现，结合排除法和选项中函数的图象与性质，即可得出结果.【详解】由图象可知，函数()h x 过定点(0,1)，当0x <时，()1h x >，为减函数；当0x >时，()0h x >或()0h x <交替出现.若2()sin h x x x =-，则()00h =，不符合题意，故A 错误；若()cos h x x x =+，则(0)1h =，即函数()h x 过定点(0,1)，又1cos 1x -≤≤，当1x <-时，()cos 0h x x x =+<，不符合题意，故B 错误；若()cos h x x x =-，则(0)1h =-，不符合题意，故D 错误.故选：C3．函数()2cos sin ln 2cos x f x x x-=⋅+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先判断函数的奇偶性得函数为奇函数，进而排除AB 选项，再根据0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的函数符号排除D 选项得答案.【详解】解：由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，因为2cos()2cos ()sin()ln sin ln ()2cos()2cos x x f x x x f x x x----=-=-⋅=-+-+， 所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，B ；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,2cos 2cos 0x x x >+>->，所以2cos 012cos x x -<<+， 所以2cos ()sin ln02cos x f x x x-=⋅<+，排除D. 故选：C.4．已知R α∈，则函数()e x x f x α=的图象不可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】 令12α=、2α=、1α=-，结合导数研究()f x 的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案.【详解】 当12α=时，()e x x f x =且0x ≥，则12()e x x f x x-'=， 所以1(0,)2上 ()0f x '>，()f x 递增；1(,)2+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，且(0)0f =， 所以A 图象可能；当2α=时，2()0ex x f x =≥且R x ∈，则(2)()e x x x f x '-=， 所以(,0)-∞上()0f x '<，()f x 递减，(0,2)上 ()0f x '>，()f x 递增，(2,)+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，所以B 图象可能；当1α=-时，1()e xf x x =且0x ≠，则21()e x x f x x +'=-， 所以(,1)-∞-上()0f x '>，()f x 递增，(1,0)-上 ()0f x '<，()f x 递减，(0,)+∞上 ()0f x '>，()f x 递增，又0x <时()0f x <，而0x >时()0f x >，所以D 图象可能；综上，排除A 、B 、D.故选：C5．函数()2222x xx x f x -+=+的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【分析】先判断()f x 的奇偶性，可排除A ，再由单调性、特值点排除选项C 、D ，即可得出答案.【详解】函数的定义域为R ，因为()()2222x x x x f x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D ．故选：B ．6．函数()22x f x x -=⋅在区间[]22-,上的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；【详解】解：∵()()22x f x x f x --=⋅=，∴()f x 是偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，B 选项；∵()()122f f ==，∴()f x 在[0,2]上不单调，排除D 选项．故选：C7．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=-D ．21x y =--【答案】A【解析】【分析】 根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，1y =-，故排除B 、D 两项； 当1x >时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，12x y -=-单调递减，故排除C 项.故选：A.8．函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <【答案】D【解析】【分析】 由函数的单调性得到a 的范围，再根据函数图像平移关系分析得到b 的范围.【详解】由函数()x b f x a -=的图像可知，函数()x b f x a -=在定义域上单调递减，01a ∴<<，排除AB 选项；分析可知：函数()x b f x a -=图像是由x y a =向左平移所得，0b ∴->，0b ∴<.故D 选项正确. 故选：D9．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由函数()f x ax b =+的图象可得1a >，1b <-，从而可得()x g x a b =+的大致图象．【详解】由()f x ax b =+的图象可得(0)1f b =<-，(1)0f a b =+>，所以1a >，1b <-，故函数()x g x a b =+为增函数，相对x y a =向下平移大于1个单位故选：B10．设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是（ ）A ．y ＝f (|x ）B ．y ＝－|f (x )| ）C ．y ＝－f (－|x ）D ．y ＝f (－|x ）【答案】C【解析】 由题意结合指数函数的图象及函数图象的变换可得函数图象对应的函数解析式，即可得解.【详解】由图象可知函数图象对应的函数解析式是||2x y -=-，所以函数图象对应的函数解析式是y ＝－f (－|x |).故选：C .【点睛】本题考查了指数函数的图象及函数图象变换的应用，属于基础题.11．函数()cos f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性的概念可知()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数，排除选项D ；再利用三角函数的性质排除BC 即得.【详解】()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，∴函数()f x 为奇函数，排除选项D ； 当(0,)2x π∈时，0x >，0cos 1x <<， 0()f x x ∴<<，排除选项BC ． 故选：A ．12．下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（ ）①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()xh x x =A ．④②①③B ．②④①③C ．②④③①D ．④②③①【答案】A【解析】【分析】先通过函数定义域和奇偶性进行判断，再利用导数对①求导，求其在()0,π上的最大值．【详解】()f x ，()t x 的定义域为R ，()g x ，()h x 的定义域为{}|0x x ≠2e ()0xh x x =>在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②当()0,πx ∈时，则()e sin x f x x =()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，则30π4x <<()f x 在30,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则3π432()(π)e 542f x f ≤=>①对应的为第三个函数故选：A ．。
专题：函数的奇偶性讲义(教师用)
函数的奇偶性一、函数奇偶性设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数．设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数．奇函数)(x f 的图象关于原点成中心对称图形． 偶函数)(x g 的图象关于y 轴成轴对称图形． 二、方法归纳1.函数的定义域D 是关于原点的对称点集（即对x ∈D 就有－x ∈D ），是其具有奇偶性的必要条件．2.在公共定义域：两个偶函数的和、差、积、商均为偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积、 商是偶函数； 偶函数与奇函数的积、商是奇函数．3.判断函数的奇偶性应把握：① 若为具体函数，严格按照定义判断，注意定义域D 的对称性和变换中的等价性． ② 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性和合理性．4.定义在关于原点的对称点集D 上的任意函数)(x f ，总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和． 即)(x f ＝)(x F ＋)(x G ，其中)(x F ＝2)()(x f x f -+为偶函数， )(x G ＝2)()(x f x f --为奇函数．5.奇（偶）函数性质的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-； 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-； 三、典型例题精讲［例1］（1）函数)(x f ＝111122+++-++x x x x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝1对称解析：由=-)(x f 111122+-+--+x x x x ， ∴ =-)(x f ＝11111122+++-++xx xx ＝)1(1)1(122x x x x +++++- ＝－)(x f∴ )(x f 是奇函数，图象关于原点对称． 答案：C【技巧提示】 用定义判定函数的奇偶性需要对函数解析式进行恒等变形，不要轻易断定是非奇非偶函数． （2）分段函数奇偶性的判定又例：函数⎩⎨⎧>-+-<++=0,320,32)(22x x x x x x x f 的奇偶性． 解析：当0>x 时，0<-x3)(2)()(2+-+-=-x x x f ＝322+-x x ＝)(x f -；当0<x 时，0>-x3)(2)()(2--+--=-x x x f ＝322---x x ＝)(x f -∴)(x f 是奇函数．［例2］已知)(x f 是偶函数而且在(0，＋∞)上是减函数，判断)(x f 在(－∞，0)上的增减性并加以证明． 解析：函数)(x f 在(－∞，0）上是增函数．设x 1＜x 2＜0，因为)(x f 是偶函数，所以)(1x f -＝)(1x f ，)(2x f -＝)(2x f ，由假设可知－x 1＞－x 2＞0，又已知)(x f 在(0，＋∞)上是减函数，于是有)(1x f -＜)(2x f -， 即)(1x f ＜)(2x f ，由此可知，函数)(x f 在(－∞，0)上是增函数．【技巧提示】 具有奇偶性的函数，其定义域D 关于原点的对称性，使得函数在互为对称的区间的单调性具有对应性．“偶函数半增半减，奇函数一增全增”．［例3］定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间[0，＋∞)上的图象与)(x f 的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：（1）f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )； （2）f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； （3）f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )； （4）f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )． 其中成立的是（ ）A ． (1)与(4)B ． (2)与(3)C ． (1)与(3)D ． (2)与(4) 解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简，得： （1）f (b )＋f (a )＞g (a )－g (b )； （2）f (b )＋f (a )＜g (a )－g (b )； （3）f (a )＋f (b )＞g (b )－g (a )； （4）f (a )＋f (b )＜g (b )－g (a )．再由题义，有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然（1）、（3）正确，故选C ．【技巧提示】 具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间的单调性，因而往往与不等式联系紧密．又例：偶函数)(x f 在定义域为R ，且在（－∞，0]上单调递减，求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合． 解析：偶函数)(x f 在（－∞，0]上单调递减，在［0，＋∞）上单调递增．根据图象的对称性，)3(+x f ＞)1(-x f 等价于|3|+x ＞|1|-x ．解之，1->x ，∴ 满足条件的x 的集合为（－1，＋∞）．［例4］设)(x f 是(－∞，＋∞)上的奇函数，)2(+x f ＝－)(x f ，当0≤x ≤1时，)(x f ＝x ，x 则)5.7(f 等于( )A ．0.5B ． －0.5C ． 1.5D ． －1.5解析：)5.7(f ＝)25.5(+f ＝－)5.5(f ＝－)25.3(+f ＝)5.3(f ＝)25.1(+f ＝－)5.1(f ＝－)25.0(+-f ＝)5.0(-f ＝－)5.0(f ＝－0.5．答案：B【技巧提示】 这里反复利用了)(x f ＝－)(x f 和)2(+x f ＝－)(x f ，后 面的学习我们会知道这样的函数具有周期性．又例：如果函数)(x f 在R 上为奇函数，且在(－1，0)上是增函数，试比较)31(f ，)32(f ，)1(f 的大小关系_________． 解析：∵)(x f 为R 上的奇函数，∴ )31(f ＝－)31(-f ，)32(f ＝－)32(-f ，)1(f ＝－)1(-f ，又)(x f 在(－1，0)上是增函数且－31＞－32＞－1． ∴ )31(-f ＞)32(-f ＞)1(-f ，∴ )31(f ＜)32(f ＜)1(f ．答案：)31(f ＜)32(f ＜)1(f ．［例5］函数)(x f 的定义域为D ＝{}0≠∈x R x ，且满足对于任意D x x ∈21,，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+ （1）求(1)f 的值； （2）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；解：（1）令121x x ==，得()10f =；（2）令121x x ==-，得()10f -=，令121,x x x =-=，得()()()1f x f f x -=-+∴ ()()f x f x -=，即)(x f 为偶函数．【技巧提示】 赋值法是解决抽象函数问题的切入点．常赋值有0，1，―1，2，―2，等等．［例6］已知函数)(x f 在(－1，1)上有定义，)21(f ＝－1，当且仅当0＜x ＜1时)(x f ＜0，且对任意x 、y ∈(－1，1)都有)(x f ＋)(y f ＝)1(xyyx f ++，试证明： (1) )(x f 为奇函数；(2) )(x f 在(－1，1)上单调递减． 证明：(1) 由)(x f ＋)(y f ＝)1(xyyx f ++，令x ＝y ＝0，得)0(f ＝0， 令y ＝－x ，得)(x f ＋)(x f -＝)1(2x xx f --＝)0(f ＝0，∴ )(x f ＝－)(x f -， ∴)(x f 为奇函数． (2)先证)(x f 在(0，1)上单调递减．令0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (21121x x x x --)∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，∴21121x x x x --＞0，又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)＝(x 2－1)(x 1+1)＜0 ∴x 2－x 1＜1－x 2x 1， ∴0＜21121x x x x --＜1，由题意知f (21121x x x x --)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．∴ )(x f 在(0，1)上为减函数，又)(x f 为奇函数且f (0)＝0．∴)(x f 在(－1，1)上为减函数．【技巧提示】 这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如(0),(1),(2)f f f ±±等等，一般(0)f 的求解最为常见．赋值技巧常为令0==y x 或y x -=等。
高考数学热点必会题型第2讲 单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题(原卷版)
高考数学热点必会题型第2讲单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式 【题型】三、构造奇偶函数求函数值【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题 【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题 【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题 【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题 【题型】八、定义法判断证明函数的单调性 【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性 【题型】十、利用函数的周期性求函数值 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值例1．（2022·江西·高三阶段练习（理））设函数()(0)a xf x a a x-=≠+，若()(1)1g x f x =-+是奇函数，则(2022)f =（ ） A ．20222021-B ．20212023-C ．20222021D ．20212023例2．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知2e ()e x xaf x +=满足()()0f x f x ，且()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，则a b +=___________.例3．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()()()3log 91xf x ax a =++∈R 为偶函数．(1)求a 的值；(2)当[)0,x ∈+∞时，不等式()0f x b -≥恒成立，求实数b 的取值范围． 【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式4．（2022·广东·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[)0+∞,上是增函数，且()20f =，则不等式(3)0x f >的解集为（ ） A ．()()33,log 2log 2,-∞-⋃+∞ B ．3(log 2,)+∞ C ．3(,log 2)-∞-D ．33(log 2,log 2)-例5．（2022·浙江·高三开学考试）已知()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦恒成立，则（ ） A ．()y f x =在(),0∞-上单调递增 B ．()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减 C ．()()1236f f +->D ．()()1236f f -->第二天学习及训练【题型】三、构造奇偶函数求函数值例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1()ln(4f x x x=++在[8-，8]上的最大值和最小值分别为M 、m ，则M m +=（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2例7．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（理））已知函数()3e e 3x xf x x -=-++ ，若()5f a =，则()f a -=（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－5例8．（2022·甘肃·陇西县第二中学高三阶段练习（文））已知函数()()()22sin 11f x x x x x =--++，则()222log 6log 3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．6B ．4C ．2D ．3-【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题例9．（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()1y f x =+是偶函数，()()2f x f x -=--，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列说法不正确的是（ ） A ．()20221f =-B ．当[]9,11x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1C ．()3y f x =+为奇函数D ．方程()()lg 1f x x =+仅有5个不同实数解例10．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x -是偶函数，()2f x +是奇函数，则()2022f =（ ） A ．()1fB ．()2fC ．()3fD ．()4f例11．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 存在导函数()f x '，且满足()()()(),4f x f x f x f x -=-=-，则曲线()y f x =在点()()2022,2022f 处的切线方程可以是___________（写出一个即可）第三天学习及训练【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题例12．（2023·甘肃·模拟预测（理））设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例13．（2023·全国·模拟预测）若()()R,11x f x f x ∀∈+=-，当1x ≥时，2()4f x x x =-，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在()1,+∞上单调递增C ．()min 4f x =-D ．函数()f x 在(,1)-∞上单调递减例14．（2022·全国·高三专题练习）设ππ,,44x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若333πcos()2024sin cos 0x x a y y y a ⎧++-=⎪⎨⎪++=⎩，则cos(2)x y +＝______．【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题例15．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()()()3221,2f x f x f x f x -=-+-=，若()12f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（ ） A ．2023B ．2024C ．3033D ．3034例16．（2023·全国·高三专题练习）设函数()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+，则满足()()326f x f x +-<的x 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()1,+∞C ．(),3-∞D ．(),1-∞例17．（2022·福建·宁德市高级中学高三阶段练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()3221f x f x -=-，()()2f x f x -+=，若()12f =，则()()()()1232023f f f f ++++=______.第四天学习及训练【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题例18．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设*n ∈N ，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()22110f x f x -++=，()f x 在[]0,1单调递增，()11f =，则（ ）A ．()11f -=B ．()40nf =C ．()211f n -=D ．()211nf -=例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-【题型】八、定义法判断证明函数的单调性例20．（2023·全国·高三专题练习）设函数()ln(2f x x x =+且233()1)23a a f a --<--，则a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．)C ．)+∞D ．(()3,∞⋃+例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e e 2x xf x --=，则（）A ．()()22f x y f x =为偶函数 B ．()()2y f x f x =-是增函数 C ．()()sin 1y f x =-不是周期函数 D ．()()1y f x f x =++的最小值为1例22．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =； ④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增． 则上述所有正确结论的编号是________第五天学习及训练【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos f x x x =⋅，x ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数C ．()f x 的图象在点(π,(π))f 处的切线方程为0x y +=D ．()f x 在区间π(,π)2上是减函数例25．（2023·全国·高三专题练习）判断函数()f x x =+.【题型】十、利用函数的周期性求函数值例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[)1,0x ∈-时，()f x x =，则()2021f =（ ）A ．2021B ．1C ．1-D ．0例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(2)()f x f x -=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=（ ）A ．2B ．2022-C ．0D ．2022例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()49g x f x --=，若y g x 的图象关于直线2x =对称，()24g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．47-B ．48-C ．23-D ．24-例29．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 为偶函数，且()1f x +为奇函数，若()00f =，则（ ）A ．()30f =B ．()()35f f =C ．()()31f x f x +=-D ．()()211f x f x +++=例30．（2023·全国·高三专题练习）若函数()2,0,(1)(2),0,x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩则()2023f =________.第六天学习及训练三、题型模拟演练 一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数11()f x x=，211()()f x x f x =+，…，11()()n n f x x f x +=+，…，则函数2018()f x 是（ ） A ．奇函数但不是偶函数 B ．偶函数但不是奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，若()12f x -为奇函数，()12g x +为偶函数，则（ ） A ．()()f x g x +的图象关于直线1x =对称 B ．()()f x g x +的图象关于直线1x =对称 C ．()()f x g x -的图象关于点()1,0对称 D ．()()f x g x -的图象关于点()1,0对称3．（2022·海南昌茂花园学校高三阶段练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是单调递增的，设()2log 4a f =，()1b f =-，23c f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a <<B ．c b a >>C ．b<c<aD ．c a b >>4．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()f x f x +=-，且当(2,0)x ∈-时，2()(3)f x x x =-，则(103)f 等于（ ） A ．2B ．12-C ．2-D ．45．（2022·陕西咸阳中学高三阶段练习（理））设奇函数 ()f x 在()0∞+，上单调递增，且(4)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是（ ）A ．{04}x x <<∣B ．{4xx <-∣或4}x > C ．{4}xx >∣ D ．{40xx -<<∣或04}x <<6．（2023·甘肃·模拟预测（理））设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三期中）设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上是减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解二、多选题8．（2022·河北沧州·高三阶段练习）函数()()1||x f x x αα=∈-R 的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．三、填空题9．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()40f x f x +-=，写出()f x 的一个正周期：______．四、解答题10．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（文））已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()=log (+1)f x x - .(1)求()0f ，()1f ；(2)若()11f a -<- ，求实数a 的取值范围.11．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数()221x x a f x +=+是奇函数．(1)求a 的值；(2)已知()()2212f m f m -<-，求m 的取值范围．。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3-3函数的奇偶性与周期性-教师版
专题3.3函数的奇偶性与周期性练基础1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数()(0)f x kx b k =+≠，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】化简“(0)0f =”和“函数()f x 为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】(0)0f =，所以0b =，函数()f x 为奇函数，所以()()0f x kx b f x kx b -=-+=-=--=，所以0b =.所以“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的充分必要条件.故选：C2．（2021·福建高三三模）若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()1xf x x =-B ．()1x f x x=-C ．()21x f x x =-D ．()21x f x x =-【答案】C 【解析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案解：由图可知，当(0,1)x ∈时，()0f x <，取12x =，则对于B ，112(101212f ==>-，所以排除B ，对于D ，1122()012314f ==>-，所以排除D ，当0x >时，对于A ，()1111x f x x x ==+--，此函数是由1y x =向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以1x >时，()1f x >恒成立，而图中，当1x >时，()f x 可以小于1，所以排除A,故选：C3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（）A．y =B ．1y x x=+C ．xx y ee =-﹣D ．2log y x=【答案】C 【解析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.【详解】A.函数y =的定义域是[0,)+∞，所以函数是非奇非偶函数，故错误；B.1y x x=+在()0,1上单调递减，故错误；C.因为()()()xx x x f x ee e ef x --=---=-=﹣，所以函数是奇函数，且在()0,1上单调递增，正确；D.因为()()22log =log f x x x f x -=-=，所以函数是偶函数，故错误；故选：C ．4．（2021·湖南高三月考）定义函数1,()1,x D x x ⎧=⎨-⎩为有理数，为无理数，则下列命题中正确的是（）A ．()D x 不是周期函数B ．()D x 是奇函数C ．()yD x =的图象存在对称轴D ．()D x 是周期函数，且有最小正周期【答案】C 【解析】当m 为有理数时恒有()()D x m D x +=，所以()D x 是周期函数，且无最小正周期，又因为无论x 是有理数还是无理数总有()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称．当m 为有理数时，()1,1,x D x m x ⎧+=⎨-⎩为有理数为无理数，()()D x m D x ∴+=，∴任何一个有理数m 都是()D x 的周期，()D x ∴是周期函数，且无最小正周期，∴选项A ，D 错误，若x 为有理数，则x -也为有理数，()()D x D x ∴=-，若x 为无理数，则x -也为无理数，()()D x D x ∴=-，综上，总有()()D x D x -=，∴函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称，∴选项B 错误，选项C 正确，故选：C5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD 【解析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-= ，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数,则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值是（）A ．0B ．12C ．712D ．1【答案】BC 【解析】根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项．．【详解】由题意1213x -<，解得1233x <<，只有BC 满足．故选：BC ．7．【多选题】（2021·广东高三二模）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数【答案】BD 【解析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+，所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确；因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误.故选：BD.8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对x R ∀∈，()()0f x f x +-=”的函数()f x =___________.【答案】3x （答案不唯一）【解析】分析可知函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，由此可得结果.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，可取()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.9．（2021·全国高三二模（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，且其图象关于点()2,0对称，若()11f =，则()2021f =__________．【答案】1【解析】根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而()2021(1)1f f ==.【详解】函数关于点()2,0对称，则()(4)f x f x =--，又()y f x =为R 上的奇函数，则()(4)(4)f x f x f x =--=-，因此函数的周期为4，因此()2021(1)1f f ==.故答案为：1.10．（2021·上海高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2x g x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -=___________．【答案】32-【解析】通过计算(1)(1)g g +-可得．【详解】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=，即1(1)2(1)02f f ++-+=，所以53(1)122f -=-=-．故答案为：32-．练提升1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，则关于函数()f x 的性质叙述一定正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()11f x f x -=-C ．()f x 是周期函数D ．()f x 存在单调递增区间【答案】C 【解析】通过举例说明选项ABD 错误；对于选项C 可以证明判断得解.【详解】定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，∴()f x 的图象既有对称中心又有对称轴，但()f x 不一定具有奇偶性，例如()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()()0f x f x -+=，则()f x 为奇函数，故选项A 错误；由()()11f x f x -=-，可得函数()f x 图象关于0x =对称，故选项B 错误；由()0f x =时，()f x 不存在单调递增区间，故选项D 错误；由已知设()f x 图象的一条对称抽为直线x a =，一个对称中心为(),0b ，且a b ¹，∴()()2f a x f x +=-，()()2f x f b x -=-+，∴()()22f a x f b x +=-+，∴()()()2222f a x b f b x b f x +-=-+-=-，∴()()()()442222f x a b f b x b f x a b f x +-=-+-=-+-=，∴()f x 的一个周期()4T a b =-，故选项C 正确.故选：C2．（2021·天津高三二模）已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】根据对数运算性质和对数函数单调性可得331log log 9.1210->>，根据指数函数单调性可知0.822<；利用()f x 为减函数可知()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，结合()f x 为奇函数可得大小关系.【详解】33331log log 10log 9.1log 9210-=>>= ，0.822<即：0.8331log log 9.1210->>又()f x 是定义在R 上的减函数()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭又()f x 为奇函数3311log log 1010f f⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭，即：c b a >>.故选：B.3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f (x )为R 上的奇函数，且()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()22x xaf x =+，则f (101)+f (105)的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A 【解析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由()(2)f x f x -=+求得函数f (x )是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．【详解】解：根据题意，函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)=0，又由x ∈[0，1]时，()22xx a f x =+，则有f (0)=1+a =0，解可得：a =﹣1，则有1()22xxf x =-，又由f (﹣x )=f (2+x )，即f (x +2)=﹣f (x )，则有f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则1313(101)(1)2,(105)(1)22222f f f f ==-===-=，故有f (101)+f (105)=3，故选：A ．4．（2021·上海高三二模）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y fx -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择.【详解】对于①，由()f x 是R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，∴|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，故①正确；对于②，由()f x 是R 上的奇函数，得()()0f x f x -+=，而()|()|f x f x =不一定成立，所以对任意的x ∈R ，不一定有()|()|0f x f x -+=，故②错误；对于③，因为()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且()(0)0f x f £=，因此2()()[()]y f x f x f x =-=-，利用复合函数的单调性，知()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增，故③正确.对于④，由已知得()f x 是R 上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增，故④正确；故选：C5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，并且当[]1,2x ∈，()1|2|f x x =--，则下列选项正确的是（）A ．()f x 在(3,2)--上为减函数B ．()f x 在(3,2)--上()0f x <C ．()f x 在(3,2)--上为增函数D ．()f x 在(3,2)--上()0f x >【答案】CD 【解析】根据题意，分析可得(4)()f x f x +=，结合函数的解析式可得当(3,2)x ∈--时函数的解析式，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数(1)f x +为奇函数，则有(1)(1)f x f x +=--+，即(2)()f x f x +=--，又由()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有(2)()f x f x +=-，即有(4)()f x f x +=，当[1x ∈，2]时，()1|2|1f x x x =--=-，若(3,2)x ∈--，则4(1,2)x +∈，则(4)(4)13f x x x +=+-=+，则当(3,2)x ∈--时，有()3f x x =+，则()f x 为增函数且()(3)0f x f >-=；故()f x 在(3,2)--上为增函数，且()0f x >；故选：CD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()0f x f x +-=成立，m R ∈，则下列的点一定在函数()y f x =图象上的是（）A ．(0,0)B ．(,())m f m --C ．(,())m f m --D ．(,())m f m -【答案】ABC 【解析】根据任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，得到()f x 是奇函数判断.【详解】因为任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，所以()f x 是奇函数，又x ∈R ，所以令0x =，则(0)(0)f f -=-，得(0)0f =，所以点(0,0)，且点(,())m f m --与(,())m f m --也一定在()y f x =的图象上，故选：ABC ．7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =有2个零点B ．当0x <时，()(1)f x x x =-+C ．不等式()0f x <的解集是(0,1)D ．12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()1212f x f x -≤【答案】BCD 【解析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．【详解】对A ，当0x >时，由()(1)0f x x x =-=得1x =，又因为()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，所以()()()00,110f f f =-=-=，故函数()y f x =有3个零点，则A 错；对B ，设0x <，则0x ->，则()()()()11f x f x x x x x =--=----=-+⎡⎤⎣⎦，则B 对；对C ，当01x <≤时，由()(1)0f x x x =-<，得01x <<；当10x -≤≤时，由()(1)0f x x x =-+<，得x 无解；则C 对；对D ，12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()()()12max min 1111122442f x f x f x f x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则D 对．故选：BCD ．8．【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数()[1]f x x x =+-，下列说法中正确的是（）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的值域是[0,1]C ．()f x 在(0,1)上是减函数D ．x ∀∈R ，[()]0f x =【答案】AC 【解析】根据[]x 定义将函数()f x 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.【详解】由题意可知[]1,210,1011,012,12x x x x x --≤<-⎧⎪-≤<⎪⎪+=≤<⎨⎪≤<⎪⎪⎩，()[]1,21,1011,012,12x x x x f x x x x x x x ---≤<-⎧⎪--≤<⎪⎪∴=+-=-≤<⎨⎪-≤<⎪⎪⎩，可画出函数图像，如图：可得到函数()f x 是周期为1的函数，且值域为(]0,1，在()0,1上单调递减，故选项AC 正确，B 错误；对于D ，取1x =-()11f -=，则()11f -=⎡⎤⎣⎦，故D 错误.故选：AC ．9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数()f x 满足以下条件：①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线；②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+上不是单调函数；④()f x 恰有2个零点.则函数()f x 的解析式可以是（）A ．2()2f x x x =-B ．()ln 1f x x =-C ．2()1f x x x =-++D ．()2xf x e =-【答案】CD 【解析】利用函数图象变换画出选项A ，B ，C ，D 对应的函数图象，逐一分析即可求解.【详解】解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但()ln 1f x x =-的定义域为{}0x x R ≠≠，所以选项B 错误；函数2()2f x x x =-的定义域是R ，在(),1-∞-，()0,1单调递减，在()1,0-，()1,+∞单调递增，但()()()2020f f f -===有3个零点，选项A 错误；函数2()1f x x x =-++的定义域是R ，当()0,x ∈+∞时，2()1f x x x =-++的图象对称轴为12x =，其图象是开口向下的抛物线，故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，由图得()f x 恰有2个零点，选项C 正确；函数()2xf x e =-的定义域是R ，在(),ln 2-∞-，()0,ln 2单调递减，在()ln 2,0-，()ln 2,+∞单调递增，且()()ln 2ln 20f f -==有2个零点，选项D 正确.故选：CD.10．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在R 上的函数()f x 满足()2()f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()3x g x =的图象的交点个数为___________.【答案】7由题设可知()f x 的周期为2，结合已知区间的解析式及()3x g x =，可得两函数图象，即知图象交点个数.【详解】由题意知：()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，∴()f x 、()g x 的图象如下：即()f x 与()g x 共有7个交点，故答案为：7.【点睛】结论点睛：()()f m x f x +=有()f x 的周期为||m .练真题1.（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（）A．B．C．D．【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B．是奇函数，且在11(,22-单调递减C．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·海南省高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A．[)1,1][3,-+∞ B．3,1][,[01]-- C．[1,0][1,)-⋃+∞D．[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.4.（2018年理全国卷II）已知op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，满足o1−p =o1+p ．若o1)=2，则o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=()A.−50B.0C.2D.50【答案】C 【解析】因为op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，且o1−p =o1+p ，所以o1+p =−o −1)∴o3+p =−o +1)=o −1)∴=4,因此o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=12[o1)+o2)+o3)+o4)]+o1)+o2)，因为o3)=−o1)，o4)=−o2)，所以o1)+o2)+o3)+o4)=0，∵o2)=o −2)=−o2)∴o2)=0，从而o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=o1)=2，选C.5.（2019·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222log 422---->==>>∴>> ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C．6.（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()ax f x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e-=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．。
函数的性质专题讲义
函数四大性质综合讲义1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值3.（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。
2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解
高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3−∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（ ）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1−∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数， ∴()()33f x f x −+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3−∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +−<−，整理得，23850x x −+>，解得1x <或53x >． 故选：B ．例2、（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（ ）A ．(][),04,−∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,−∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C 【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以221()42x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥， 所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,−∞⋃+∞，故选：C例3、（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x −=+，则使不等式()2122f a a −<成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3−B ．()3,3−C ．()1,1−D ．(),3−∞【答案】A 【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +−−===−+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增， 且()132f =，不等式()2122f a a −<即为()()223f a a f −<． 又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f −<等价于()()223f a a f −<， 则223a a −<，所以，222323a a a a ⎧−<⎨−>−⎩，解得13a −<<． 综上可知，实数a 的取值范围为()1,3−，故选：A ．例4、（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]−∞上单调递增，且(2)2f −=−，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x −=−，又(2)2f −=−，(2)2f =， 所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=， 即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]−∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例5、（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +−=（ ）A ．－1B ．12−C ．12D ．1【答案】A 【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则 1111111222222f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=−++⇒−+++=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+−=++−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A 例6、（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x −−+−，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．12ln 2,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4−+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞ 【答案】A 【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x −−−=−+=−，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x −'=+−cos 11cos 0x x ≥−=+≥ ，所以()f x 是R 上的增函数， 所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭等价于： 22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫−+≥−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x −+≥−， 所以22ln(1)2x a x ≥−++， 令2()2ln(1)2x g x x =−++， 则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x −=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x −++是R 上的偶函数， 所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =−++， ()()22122()111x x x x g x x x x x +−−−+'=−+==−+++， 则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<； 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==−， 即12ln 22a ≥−， 故选：A ． 本课结束。
奇函数专题训练试题精选(三)附答案
奇函数专题训练试题精选（三）一．填空题（共 30 小题）1．（ 2011?资中县模拟）已知定义在R 上的函数 y=f （ x）满足条件 f（ x+ ） =﹣ f （ x），且函数 y=f （ x﹣）是奇函数，给出以下四个命题：①函数 f（ x）是周期函数；②函数 f（ x）的图象关于点（﹣， 0）对称；③函数 f（ x）是偶函数；④函数 f（ x）在 R 上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是_________（写出所有正确命题的序号）2．（ 2011?东城区二模）已知函数 f（x）是定义域为 R 的奇函数，且 f（﹣ 1）=2，那么 f（ 0）+f（ 1）=_________ ．3．（ 2011?聊城一模）现有下面四个命题：①曲线 y= ﹣x 2+2x+4 在点（ 1， 5）处的切线的倾斜角为45°；②已知直线 l， m，平面α，β，若 l⊥α， m? β， l⊥m，则α∥β；③设函数 f（ x）=Asin （ωx+ φ），（A ＞ 0，ω＞ 0），若 f （ 1） =0，则 f （x+1 ）一定是奇函数；④如果点 P 到点及直线的距离相等，那么满足条件的点P 有且只有 1 个．其中正确命题的序号是_________．（写出所有正确命题的序号）4．（ 2010?江苏模拟）设是奇函数，则 a+b 的取值范围是_________．5．（ 2010?雅安三模）已知f（ x）=+a 为奇函数．（1）求 a 的值；（ 2）求函数的单调区间．6．（ 2010?平顶山二模）已知0＜φ＜π， f （x） =xsin （ x+ φ）是奇函数，则φ=_________．7．（ 2007?湖南模拟）设f（ x）（ x∈R）是以 3 为周期的周期函数，且为奇函数，又f（ 1）＞ 1， f（ 2）=a，那么 a 的取值范围是_________．8．（ 2005?金山区一模）定义在R 上的函数 f（ x）是奇函数，则 f（ 0）的值为_________．9．已知函数x﹣2﹣xlga 是奇函数，则 a 的值等于 _________ ．f（ x） =210．函数 f （ x）为奇函数，且，则当 x＜ 0，f （x） = _________．11．函数为奇函数，则实数a= _________．12．已知函数f（ x）是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且，f（x）=log2（﹣3x+1），则f （2011） = _________ ．13．已知定义在R 上的奇函数y=f（x）满足（f 2+x ）=f（ 2﹣ x），当﹣ 2≤x＜0 时，（f x）=2x，若，则a2012= _________ ．14．设 f （ x）是奇函数，且当x＞0 时， f（ x）=，则当x＜0时，f（x）=_________．15．（文科做）对于函数的这个性质：①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数，函数具有的性质的序号是_________．（把具有的性质的序号都填上）16．已知定义在R 上的奇函数f（ x），满足，且f（1）=1，则f（2006）=_________．17．已知定义在 R 上的奇函数 f（ x），满足 f（ x﹣ 4）=﹣ f（ x），且在区间 [0，2] 上是增函数，则 f （﹣ 25），f（ 80）， f （ 11）的大小顺序是_________．18．已知函数 f（x）是定义在R 上的奇函数，且当 x＞ 0 时，，则f（﹣2+log35）=_________．19．若 f （ x）在 [﹣ 3， 3] 上为奇函数，且 f （ 3） =﹣ 2，则 f （﹣ 3）+f （ 0） = _________．x+1 20．设 f （ x）为定义在R 上的奇函数，当x≥0 时， f（ x） =221．已知函数 f（ x）是定义在 [ ﹣ e，0）∪（ 0，e] 上的奇函数，当e]时， f（ x） = _________ ．+2x+b （b 为常数），则 f （﹣ 1）= _________．x∈[﹣ e，0）时， f（ x）=ax+ln （﹣ x），则当 x∈（ 0，22．已知函数f（ x）是定义在R 上周期为 6 的奇函数，且 f （﹣ 1） =﹣1，则 f（ 5）= _________．23．函数 f（ x）是定义在R 上的奇函数，且，则f（1）+f（2）+⋯+f（2009）=_________．24．下列结论中：（ 1）定义在 R 上的函数 f（ x）在区间（﹣∞， 0] 上是增函数，在区间 [0，+∞）也是增函数，则函数 f（ x）在 R 上是增函数；（2）若 f（ 2）=f （﹣ 2），则函数 f （ x）不是奇函数；（3）函数 y=x ﹣0.5（ 4）是（ 0， 1）上的减函数；（4）对应法则和值域相同的函数的定义域也相同；（5）若 x0是函数 y=f （x）的零点，且 m＜ x0＜ n，则 f（ m） f（ n）＜ 0 一定成立；写出上述所有正确结论的序号：_________ ．25．若函数 f （x） =是奇函数，则函数g（ x）的解析式是_________．26．设 f （ x）是以 5 为周期的奇函数，f（﹣ 3）2．=1 ，又 tanα=3，则 f（ sec α﹣ 2）= _________27．设 f（ x）是 R 上以 2 为周期的奇函数，已知当x∈（0， 1）时， f （x） =log 2x，那么 f（ x）在（ 1，2）上的解析式是_________28．若是奇函数，则 a 的值为_________．29．函数 f （ x） =ax+bsinx+1 ，若 f （5） =7 ，则 f （﹣ 5） = _________．30． y=f （ x）为奇函数，当x＞ 0 时 f （ x） =x （1﹣ x），则当 x＜ 0 时， f （ x）= _________．奇函数专题训练试题精选（三）参考答案与试题解析一．填空题（共 30 小题）1．（ 2011?资中县模拟）已知定义在R 上的函数 y=f （ x）满足条件 f（ x+） =﹣ f （ x），且函数 y=f （ x﹣）是奇函数，给出以下四个命题：①函数 f（ x）是周期函数；②函数 f（ x）的图象关于点（﹣， 0）对称；③函数 f（ x）是偶函数；④函数 f（ x）在 R 上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是①②③ （写出所有正确命题的序号）考点：奇函数；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性．专题：压轴题；存在型．分析：题目中条件： f （ x+） =﹣ f（x）可得 f（ x+3） =f （ x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．解答：解：对于① ：∵f（x+3 ） =﹣ f（ x+） =f （ x）∴函数 f （ x）是周期函数且其周期为3．①对对于②：∵y=f （x﹣）是奇函数∴ 其图象关于原点对称又∵函数 f（ x）的图象是由y=f （ x﹣）向左平移个单位长度得到．∴函数 f（ x）的图象关于点（﹣， 0）对称，故② 对．对于③：由②知，对于任意的x∈R，都有 f （﹣﹣ x） =﹣f （x），用换 x，可得： f （﹣﹣x） +f （x） =0∴f（﹣﹣x）=﹣f（x）=f（x+）对于任意的x∈R 都成立．令 t=+x ，则 f （﹣ t） =f （ t），∴函数 f（ x）是偶函数，③ 对．对于④：∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴ f（ x）在 R 上不是单调函数，④ 不对．故答案为：① ②③．点评：本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．是中档题．2．（ 2011?东城区二模）已知函数 f （x）是定义域为R 的奇函数，且f（﹣ 1） =2，那么 f（ 0） +f （ 1） =﹣2．考点：奇函数．专题：计算题．分析：根据奇函数的性质， f （﹣ x） =﹣f （ x）直接求得f（ 0）与 f（1）的值，即可求出所求．解答：解：因为函数f（ x）是 R 上的奇函数．所以 f （﹣ x ）=﹣ f （ x ）f （1） =﹣ f （﹣ 1） =﹣ 2，f （﹣ 0） =﹣ f （ 0）即 f （ 0）=0 ∴f （ 0） +f （ 1） =﹣ 2 故答案为：﹣ 2．点评： 本题主要考查了奇函数的基本性质，以及奇函数的定义，属于基础题．3．（ 2011?聊城一模）现有下面四个命题：①曲线 y= ﹣x 2+2x+4 在点（ 1， 5）处的切线的倾斜角为 45°；②已知直线 l ， m ，平面 α， β，若 l ⊥α， m? β， l ⊥m ，则 α∥β；③设函数 f （ x ）=Asin （ ωx+ φ），（A ＞ 0， ω＞ 0），若 f （ 1） =0，则 f （x+1 ）一定是奇函数；④如果点 P 到点及直线 的距离相等，那么满足条件的点P 有且只有 1 个．其中正确命题的序号是 ③④ ．（写出所有正确命题的序号）考点 ： 奇函数；两条直线的交点坐标．专题 ： 阅读型．分析： ①曲线 y= ﹣x 2+2x+4 在点（ 1， 5）处的切线的倾斜角为 45°，求出切点处的导数值，进行验证；②已知直线 l ， m ，平面 α， β，若 l ⊥α， m? β， l ⊥m ，则 α∥β，由面面位置关系进行判断；③设函数 f （ x ）=Asin （ ωx+ φ），（A ＞ 0， ω＞ 0），若 f （ 1） =0，则 f （ x+1 ）一定是奇函数，求出两参数ω，φ的关系，整理解析式，观察既得；④如果点 P 到点及直线的距离相等，那么满足条件的点P 有且只有 1 个，由两直线的交点个数研究即可．245°．是错误命题，因为y ′=﹣ 2x+2，在点（ 1，解答： 解：①曲线 y= ﹣ x +2x+4 在点（ 1， 5）处的切线的倾斜角为5）处的导数值为 0，故倾斜角不是 45°；②已知直线 l ，m ，平面 α，β，若 l ⊥α， m? β， l ⊥m ，则 α∥β是错误命题，在题设中的条件下，两平面可以是相交的；③设函数 f （x ） =Asin （ ωx+φ），（ A ＞ 0， ω＞ 0），若 f （ 1）=0 ，则 f （ x+1）一定是奇函数，是正确命题，由 f （1） =0，得出 ω+φ=0，函数解析式可变为 f （ x ）=Asin ω（ x ﹣1），左移一个单位可得到 f （ x ） =Asin ωx 是一个奇函数；④如果点 P 到点及直线的距离相等，那么满足条件的点 P 有且只有 1 个，是正确命题，作出两点的垂直平分线y=1，与直线相交，故满足条件的点只有一个．综上③④是正确命题 故答案为③ ④点评： 本题考查奇函数，函数图象的变换，导数的几何意义等内容，解答本题的关键是对本题中命题所涉及到的相关知识点都比较熟悉，方能避免误判．本题是考查双基的题．4．（ 2010?江苏模拟）设是奇函数，则 a+b 的取值范围是．考点 ： 奇函数．专题 ： 计算题．分析： 由题意和奇函数的定义f （﹣ x ） =﹣ f （x ）求出 a 的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出 b 的范围进而求出 a+b 的范围．解答：解：∵定义在区间（﹣ b， b）内的函数 f（ x） =是奇函数，∴任 x∈（﹣ b， b）， f（﹣ x） =﹣ f （ x），即=﹣，∴=，则有，即1﹣ a 2x2=1﹣4x2，解得 a=±2，又∵a≠2，∴a=﹣2；则函数 f （ x） =，要使函数有意义，则＞0，即（ 1+2x ）（ 1﹣2x）＞ 0解得：﹣＜ x＜，即函数f（x）的定义域为：（﹣，），∴（﹣ b， b）? （﹣，），∴0＜b≤∴﹣2＜ a+b≤﹣，即所求的范围是；故答案为：．点评：本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出 b 的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力．5．（ 2010?雅安三模）已知f（ x）=+a 为奇函数．（1）求 a 的值；（ 2）求函数的单调区间．考点：奇函数．专题：计算题．分析：（1）先由奇函数建立等式，求a，（ 2）严格按照单调性定义，使得函数增函数的区间是增区间，使得函数是减函数的是减区间．解答：解：（ 1）∵f（﹣ x） ==﹣ 1+a﹣=﹣ 1+2a﹣ f（ x），由 f（﹣ x） =﹣f（ x），得﹣ 1+2a=0．∴a=．（ 2）对于任意x1≠0，x2≠0，且 x1＜ x2．f （x1）﹣ f （ x2）=．当 x1＜ x2＜0 时，＜，＜1，＜1∴f（ x1）﹣ f（ x2）＞ 0；当 0＜ x1＜ x2时，＞，＞1，＞1．∴f（ x1）﹣ f（ x2）＞ 0．∴函数的单调递减区间为（﹣∞， 0），（ 0， +∞）．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及运算能力．主要是利用和巩固奇偶函数的定义、单调函数的定义．6．（ 2010?平顶山二模）已知0＜φ＜π， f （x） =xsin （ x+ φ）是奇函数，则φ=．考点：奇函数．专题：计算题．分析：根据f（x）=xsin（x+φ）是奇函数，则f（﹣ x）=﹣ f （ x）对于任意x 恒成立，然后利用两角和与差的正弦公式展开，得到 2xcosφsinx=0 对于任意 x 成立，则 cosφ=0，解之即可，注意φ的范围．解答：解：∵f （ x） =xsin （ x+φ）是奇函数∴f（﹣ x） =﹣xsin （﹣ x+ φ） =﹣ xsinφcosx+xcos φsinx= ﹣ f （ x） =﹣xsinxcos φ﹣ xcosxsinφ即2xcosφsinx=0 对于任意 x 成立，则 cosφ=0而0＜φ＜π∴φ=故答案为：点评：本题主要考查了两角和与差的正弦公式，奇函数的性质，属于对基础知识的综合考查，试题较易．7．（ 2007?湖南模拟）设f（ x）（ x∈R）是以 3 为周期的周期函数，且为奇函数，又f（ 1）＞ 1， f（ 2）=a，那么a 的取值范围是a＜﹣ 1．考点：奇函数；函数的周期性．专题：计算题．分析：据函数的周期性判断出 f （﹣ 1） =f （2），利用函数为奇函数得到 f （﹣ 1） =﹣f （1），利用等式的传递性得到 f（ 2） =﹣ f（ 1），代入已知不等式求出 a 的范围．解答：解：∵f（x）（x∈R）是以3为周期的周期函数∴f（﹣ 1） =f （ 2）∵为奇函数∴f（﹣ 1） =﹣ f （ 1）∴f（ 2） =﹣ f（ 1）∵f（ 1）＞ 1∴f（ 2）＜﹣ 1∵f（ 2） =a∴a＜﹣ 1故答案为a＜﹣ 1点评：解决函数的性质有关的题目，关键是利用性质的定义，将题中的条件联系起来，注意奇函数在x=0 处的函数值为 0 是一道综合题．8．（ 2005?金山区一模）定义在R 上的函数f（ x）是奇函数，则f（ 0）的值为0．考点：奇函数．专题：计算题．分析：由定义在R 上的函数 f （ x）是奇函数，知f（ 0） =f （﹣ 0） =﹣ f（ 0），故 f（ 0）=0．解答：解：∵定义在R上的函数f（ x）是奇函数，∴f（ 0）存在，∴f（ 0） =f （﹣ 0）=﹣ f（ 0），∴f（ 0） =0．故答案为： 0．7点评： 本题考查奇函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．9．已知函数 x﹣2 ﹣xa 的值等于 10 ．f （ x ） =2 lga 是奇函数，则 考点 ： 奇函数． 专题 ： 计算题．分析： 由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程解答： 解：函数 f （x ） =2x﹣ 2﹣ x∴f （ x ） +f （﹣ x ）=0，x ﹣x ﹣ x xx ∴2 ﹣ 2 lga+2 ﹣ 2 lga=0，即 2 +2 ∴lga=1∴a=10f （x ） +f （﹣ x ）=0，由此方程求出 a 的值﹣x ） =0故答案为： 10．点评： 本题考查奇函数，解题的关键是熟练掌握奇函数的定义，由定义得出方程 f （x ） +f （﹣ x ）=0 ，由此方程求出参数的值．10．函数 f （ x ）为奇函数，且，则当 x ＜ 0，f （x ） = ．考点 ： 奇函数．专题 ： 计算题；转化思想．分析： 先设 x ＜ 0，则﹣ x ＞0，再利用题意求出 f （﹣ x ），再由奇函数的定义求出 f （ x ）的表达式． 解答： 解：设 x ＜0，则﹣ x ＞ 0，∵，∴ ，∵函数 f （ x ）为奇函数，∴f （ x ） =﹣ f （﹣ x ） = ，故答案为：．点评： 本题考查了利用函数奇偶性求函数的解析式，即求谁设谁，利用负号转化到已知范围内，求出f （﹣ x ）的关系式，再利用奇函数的关系式求出f （ x ）的表达式，考查了转化思想．11．函数 为奇函数，则实数 a= ﹣1 ．考点 ： 奇函数；对数的运算性质． 专题 ： 计算题．分析： 根据奇函数的性质 f （0） =0 代入可得， lg （ a+2） =0 解方程可求 a解答：解：根据题意可得，使得函数有意义的条件：根据奇函数的性质可得 f （ 0） =0所以， lg （ a+2）=0 a=﹣ 1 满足函数的定义域 故答案为：﹣ 1点评： 本题主要考查了奇函数的性质的应用，解决本题可以利用奇函数的定义，使得f （﹣ x ）=﹣ f （ x ）对于定义域内的任意的 x 都成立， 也可利用奇函数的性质f （ 0）=0（定义域内有 0），而利用性质解题可以简化运算．﹣x ﹣ lga （ 2x +2lga 是奇函数12．已知函数f（ x）是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且，f（x）=log2（﹣3x+1），则f （2011） = ﹣2 ．考点：奇函数；函数的周期性．专题：计算题；转化思想．分析：利用函数的周期性和奇偶性， f （2011） =f （ 3×670+1） =f （ 1） =﹣ f （﹣ 1），代入已知的等式运算．解答：解：由题意可得f（ 2011）=f （3×670+1） =f （ 1） =﹣ f（﹣ 1） =﹣log 2（ 3+1 ） =﹣2，故答案为﹣ 2．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性，求函数的值，把f（ 2011）化简为﹣ f （﹣ 1）是解题的关键．13．已知定义在 R 上的奇函数 y=f（x）满足（f 2+x ）=f（ 2﹣ x），当﹣ 2≤x＜0 时，（f x）=2x，若，则 a2012= 0 ．考点：奇函数；数列的函数特性；等比数列的通项公式．专题：函数的性质及应用．分析：根据定义在 R 上的奇函数又关于某直线x=a≠0 对称，则它又是周期函数，可求得函数 f （ x）的周期是8，进而得到答案．解答：解：∵f （ 2+x ）=f （ 2﹣ x），以 2+x 代替上式中的 x 得 f（ 4+x） =f （﹣ x），又函数 y=f （x）是定义在 R 上的奇函数，∴ f（﹣ x）=﹣ f （ x）， f（ 0） =0，∴f（ 4+x） =f （﹣ x） =﹣ f （ x），再以 4+x 代替上式中的 x 得 f（ 8+x） =﹣ f（ 4+x） =f （ x），由此可知：函数f（ x）是以 8 为周期的函数，∴a2012=f （2012 ） =f （ 251×8+4 ）=f （ 4），而 f （ 4） =﹣ f （ 0）=0 ，∴a2012=0．故答案是 0．点评：本题综合考查了函数的奇偶性、对称性及周期性，深刻理解函数的以上性质是解决问题的关键．同时知道结论：定义在 R 上的奇函数又关于某直线x=a≠0 对称，则它又是周期函数．14．设 f （ x）是奇函数，且当x＞0 时， f（ x）=，则当x＜0时，f（x）=．考点：奇函数．专题：计算题；转化思想．分析：根据y=f（x）是R上的奇函数，当x＜ 0 时， f（ x）=﹣ f（﹣ x）代入 f（x）在 x＞ 0 时的解析式，即可得到答案．解答：解：∵y=f（x）是R上的奇函数，当 x＜ 0 时， f（ x） =﹣ f（﹣ x） =故答案为：．点评：本题主要考查函数奇偶性，在解决有关函数奇偶性的问题时，一般采取转化的思想，把要求区间上的问题转化到已知区间上求解．属基础题．15（．文科做）对于函数的这个性质：①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数，函数具有的性质的序号是①③ ．（把具有的性质的序号都填上）考点：奇函数；正弦函数的单调性．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：对函数化简 f（ x）=x 3+sinx ，根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，求导，判断函数的单调性．3解答：解：f（x）=x +sinx，显然f（﹣x）=﹣f（x），2f' （ x） =3x +cosx＞ 0 在 R 上恒成立，所以 f （x）是增函数．故答案为：① ③．点评：本题是基础题．考查三角函数的诱导公式以及函数的奇偶性和利用导数研究函数的单调性，考查分析解决问题的能力和运算能力．16．已知定义在R 上的奇函数f（ x），满足，且f（1）=1，则f（2006）=﹣1．考点：奇函数；函数的周期性．专题：计算题．分析：先由，可得函数的周期为3，就把 f （ 2006）转化为 f（ 2） =f （﹣ 1），再利用 f（ x）是奇函数即可求得结论．解答：解：因为，∴有 f （ x+3 ） =f[ （ x+）+]=﹣ f （ x+）=f（x）．即函数的周期为3．又因为 2006=3 ×668+2．所以 f（ 2006） =f （ 2） =f （﹣ 1）又有 f（ x）是奇函数得：f（﹣ 1） =﹣ f （ 1） =﹣ 1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性，是对函数基本性质的考查，属于基础题．17．已知定义在R 上的奇函数f（ x），满足 f（ x﹣ 4）=﹣ f（ x），且在区间 [0，2] 上是增函数，则 f （﹣ 25），f（ 80），f （ 11）的大小顺序是f （﹣ 25）＜ f（ 80）＜ f（ 11）．考点：奇函数；函数单调性的性质；函数的周期性．专题：计算题；综合题．分析：先由“f（x）是奇函数且f （ x﹣ 4） =﹣ f （ x）”转化得到f（ x﹣ 4） =f （﹣ x），然后按照条件，将问题转化到区间 [0， 2] 上应用函数的单调性进行比较．解答：解：∵f（x）是奇函数且f（x﹣ 4） =﹣f （x），∴f（ x﹣ 4） =f （﹣ x）， f（ 0）∴f（﹣ 25） =f （ 21） =﹣ f （ 17）=f （ 13） =﹣f （9） =f （ 5）=﹣ f （ 1）f （80） =﹣ f（ 76） =f （ 72） =﹣ f （68） =f （ 64） =﹣ f （ 60）=f （54） =..=﹣ f （ 0）f（11）=﹣ f（ 7） =f （ 3） =﹣ f（﹣ 1）=f （ 1）又∵函数在区间 [0， 2]上是增函数0=f （0）＜ f（ 1）∴﹣f （1）＜ f（ 0）＜ f（ 1）∴f（﹣ 25）＜ f（ 80）＜ f（ 11）故答案为： f（﹣ 25）＜ f （80）＜ f （ 11）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合运用，综合性较强，条件间结合与转化较大，属中档题．18．已知函数f（ x）是定义在R 上的奇函数，且当x＞ 0 时，，则f（﹣2+log35）=．考点：奇函数；函数的值．专题：计算题；转化思想．分析：可利用奇函数的定义将 f （﹣ 2+log 35）的值的问题转化为求 f （ 2﹣ log35）的值问题，再根据函数的性质求出f（﹣ 2+log 35）解答：解：由题意 f （﹣ 2+log 35） =﹣ f（ 2﹣ log35）由于当 x＞0 时，，故 f（﹣ 2+log 35）=﹣ f（ log3） ==故答案为点评：本题考查函数的性质，求解的关键是根据奇函数的性质将求值的问题转化到x＞ 0 时来求，这是奇函数性质的一个很重要的运用．19．若 f （ x）在 [﹣ 3， 3] 上为奇函数，且 f （ 3） =﹣ 2，则 f （﹣ 3）+f （ 0） =2．考点：奇函数．专题：计算题．分析：根据 f（ x）在 [ ﹣3， 3] 上为奇函数，且f（ 3）=﹣ 2，求出 f （﹣ 3）、 f （ 0）的值，即可求得结果．解答：解：∵f （ x）在 [﹣3， 3] 上为奇函数，∴f（ 0） =0， f（﹣ x） =﹣ f（ x）∵f（ 3） =﹣ 2，∴f（﹣ 3） =2 ，f （﹣ 3） +f （ 0）=2故答案为： 2．点评：考查奇函数的定义，注意奇函数在原点有定义时，有f（ 0） =0，反之不成立，考查分析解决问题的能力和运算能力，属基础题．20．设 f （ x）为定义在 R 上的奇函数，当x≥0 时， f（ x） =2x+1+2x+b （b 为常数），则 f （﹣ 1）= ﹣ 4 ．考点：奇函数；函数的值．专题：计算题．分析：由 f（x）为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f（ x）=2x+1+2x+b（b 为常数），知当﹣ b， f （ 0）=2+b=0 ， b=﹣ 2．由此能求出 f （﹣ 1）．解答：解：∵f （ x）为定义在 R 上的奇函数，x+1当 x≥0 时， f（ x） =2 +2x+b （ b 为常数），∴当 x＜ 0 时，﹣ f （ x）=2﹣ x+1+2（﹣ x） +b，即f（ x） =﹣ 2﹣x+1+2x ﹣ b，f （0） =2+b=0 ， b= ﹣ 2．2∴f（﹣ 1） =﹣2 ﹣ 2﹣（﹣ 2） =﹣ 4．﹣x+1x＜0 时 f（ x）=﹣2+2x点评：本题考查奇函数的性质和应用，解题时要认真审题，熟练掌握奇函数的概念和应用，注意奇函数性质的灵活运用．21．已知函数 f（ x）是定义在 [ ﹣ e，0）∪（ 0，e] 上的奇函数，当 x∈[﹣ e，0）时， f（ x）=ax+ln （﹣ x），则当 x∈（ 0，e]时， f（ x） = ax﹣ lnx ．考点：奇函数．专题：计算题．分析：由x∈（0，e]，﹣x∈[﹣e，0），求出f（﹣x），再根据函数为奇函数，求出f（ x）的解析式．解答：解：当x∈（0，e]时，﹣x∈[﹣e，0）则 f（﹣ x） =﹣ax+lnx ，由于函数 f （x）是定义在 [﹣ e， 0）∪（ 0， e]上的奇函数故 f（ x） =﹣ f（﹣ x） =ax﹣lnx ．故答案为： ax﹣ lnx ．点评：本题考查了求奇函数的解析式，掌握奇函数的性质是解决此题的关键．22．已知函数f（ x）是定义在R 上周期为 6 的奇函数，且 f （﹣ 1） =﹣1，则 f（ 5）=﹣1．考点：奇函数；函数的周期性．专题：计算题．分析：根据奇函数和周期函数的性质可以知道，f（﹣ 1+6 ）=f （﹣ 1）所以可求得f（5）从而最终得到答案．解答：解：据题意：函数 f（ x）是定义在R 上周期为 6 的函数∴f（ 5） =f （ 5﹣ 6）=f （﹣ 1） =﹣ 1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查奇函数和周期函数的定义即： f （ x+6k ） =f （ x）（ k∈Z ）．这种中和考查经常在选择题中出现，已给予重视．23．函数 f （ x）是定义在R 上的奇函数，且，则f（1）+f（2）+⋯+f（2009）=0．考点：奇函数．专题：计算题．分析：根据题意可推出f（ 1﹣x） =f （﹣ x）且 f （﹣ x） =﹣ f （ x），得到 f（ x）是周期为 2 的函数，且 f （﹣ 1） +f （ 0） +f （ 1）=0，故可得f（ 1） +f （ 2） +f （ 3） +⋯+f （2009）=669×0+f （ 1） +f （ 2） =f （ 1）+f （﹣ 1）．解答：解：∵，∴f（﹣ x） =f （ 1+x），又函数 f （ x）是定义在R 上的奇函数∴﹣f （x） =f （﹣ x），且 f （ x）=f （x+2 ）∴f（﹣ 1） =f （ 1）=﹣ 1，∴f（﹣ 1） +f （ 0） +f （ 1） =0．又2009=669 ×3+2 ，故 f（ 1） +f （ 2）+f （ 3） +⋯+f （ 2009 ）=669 ×0+f （ 1） +f （ 2） =f （ 1） +f （﹣ 1） =0，故答案为0．点评：本题考查函数的对称性、周期性，及函数值，推出f（ x） =f （ x+2）且 f（﹣ x） =f （﹣ x），是解题的关键．24．下列结论中：（ 1）定义在 R 上的函数 f（ x）在区间（﹣∞， 0] 上是增函数，在区间 [0，+∞）也是增函数，则函数 f（ x）在 R 上是增函数；（2）若 f（ 2）=f （﹣ 2），则函数 f （ x）不是奇函数；（3）函数 y=x ﹣0.5（ 4）是（ 0， 1）上的减函数；（4）对应法则和值域相同的函数的定义域也相同；（5）若 x0是函数 y=f （x）的零点，且 m＜ x0＜ n，则 f（ m） f（ n）＜ 0 一定成立；写出上述所有正确结论的序号：（1）（3）．考点 ： 奇函数；函数单调性的判断与证明． 专题 ： 常规题型；综合题．分析： 利用函数的奇（偶）的定义和函数相等的定义判断（2）（ 4）不对，根据单调函数的定义判断（1）对（ 3）不对．根据函数零点的定义知（5）错．解答： 解：（ 1）由增函数的定义中 “任意性 ”知，两个单调区间不能并在一起，故不对；（ 2）函数 y=0 （ x ∈R ）既是奇函数又是偶函数，但 f （ 2）=f （﹣ 2），故不对；（ 3）考察幂函数 y=x ﹣ 0.5（，因﹣ 0.5＜ 0，故（ 0，1）上的减函数，故正确；（ 4）考察函数 y=0（ x ∈R ），但当定义域不同时，函数对应法则和值域可以相同，故不对； （ 5）若 x 0 是函数 y=f （x ）的零点，且 m ＜ x 0＜ n ，则 f （ m ） f （ n ）不一定小于 0，故不对．故答案为：（ 1）（ 3）．点评： 本题的考点是奇（偶）函数和减函数的定义的应用，主要考查对定义中关键词“任意性 ”的理解．25．若函数 f （x ） =是奇函数，则函数 g （ x ）的解析式是 ﹣ cosx ．考点 ： 奇函数．专题 ： 计算题．分析：由已知中函数 f （ x ） =是奇函数，我们易根据当﹣π＜x ＜ 0 时， 0＜﹣ x ＜ π，求出 f （﹣ x ）的解析式，根据奇函数的性质f （﹣ x ） =﹣ f （x ），即可得到答案．解答：解：若函数 f （ x ） =是奇函数，则当﹣ π＜ x ＜ 0 时， 0＜﹣ x ＜ π∴f （﹣ x ） =cos （﹣ x ） =cosx又∵f （﹣ x ） =﹣ f （x ）∴g （ x ） =﹣ cosx故答案为：﹣ cosx点评： 本题考查的知识点是奇函数，其中熟练掌握奇函数的性质，f （﹣ x ） =﹣f （x ），是解答本题的关键．226．设 f （ x ）是以 5 为周期的奇函数， f （﹣ 3） =1 ，又 tan α=3，则 f （ sec α﹣ 2）= ﹣ 1 ． 考点 ： 奇函数；函数的周期性；函数的值．专题 ： 综合题．2分析： 根据同角三角函数基本关系式，求出sec α﹣2 的值，根据函数的奇偶性和周期性，即可求得结果．解答： 解：∵tan α=3 ，∴sec 2α﹣2=tan 2α﹣ 1=8，∵f （ x ）是以 5 为周期的奇函数， f （﹣ 3） =1， ∴f （ 3） =﹣ 1，f （8） =f （ 3+5 ）=f （3） =﹣1，即 f （ sec 2α﹣ 2） =﹣ 1 故答案为：﹣ 1．点评： 本题考查函数的奇偶性和周期性，以及三角函数同角三角函数的基本关系式等基础题知识，是一道不错的综合题，同时考查了运算能力，属中档题．27．设 f（ x）是 R 上以 2 为周期的奇函数，已知当 x∈（0， 1）时， f （x） =log 2x，那么 f（ x）在（ 1，2）上的解析式是﹣log2（2﹣ x）考点：奇函数；函数的表示方法；函数的周期性．专题：计算题．分析：先设x∈（1，2），利用周期性和符号把“2﹣x”转化到区间（0， 1），代入函数解析式，再利用奇函数的定义和周期性，求出 f（ x）在（ 1， 2）上的解析式．解答：解：设 x∈（ 1， 2），则﹣ 1＜ x﹣ 2＜ 0，∴0＜ 2﹣ x＜ 1，∵当 x∈（ 0， 1）时， f（x） =log 2x，∴f（ 2﹣x） =log 2（ 2﹣x），∵f（ x）是 R 上以 2 为周期的奇函数，∴f（ x﹣ 2） =﹣f （2﹣ x） =﹣ log 2（ 2﹣ x）， f （x） =f （ x﹣ 2） =﹣ log 2（ 2﹣x），∴f（ x） =﹣ log2（ 2﹣x），故答案为：﹣ log 2（ 2﹣ x）．点评：本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x 就设在该区间内，再利用函数的周期和负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义和周期性求出 f （ x）．28．若是奇函数，则 a 的值为﹣2．考点：奇函数．专题：计算题．分析：利用函数的解析式求出f（﹣ x），利用奇函数的定义：f（﹣ x） =﹣ f （x），量词恒成立的等式，求出 a 的值．解答：解：∵f（ x）为奇函数∴f（﹣ x） =﹣ f （ x）∴恒成立解得 a=﹣ 2故答案为﹣ 2点评：解决函数的奇偶性问题，一般利用奇偶性的定义列出恒成立的方程解决，注意具有奇偶性的定义域关于原点对称．29．函数 f （ x） =ax+bsinx+1 ，若 f （5） =7 ，则 f （﹣ 5） =﹣5．考点：奇函数；函数的值．专题：计算题．分析：由已知中函数f（ x）=ax+bsinx+1 ，我们可以构造函数g（ x）=f（ x）﹣ 1=ax+bsinx ，根据函数奇偶性的性质我们易得g（ x）为一个奇函数，由奇函数的性质及 f （ 5） =7，我们易得到结果．解答：解：令g（x）=f（x）﹣1=ax+bsinx则 g（ x）为一个奇函数又∵f （5） =7 ，∴g（ 5） =6，∴g（﹣ 5） =﹣ 6，∴f（﹣ 5） =﹣5故答案为：﹣5点评：本题考查的知识点为奇函数及函数的值，其中构造函数 g（ x） =f （x）﹣ 1=ax+bsinx ，然后将问题转化为利用奇函数的定义求值，是解答本题的关键．30． y=f （ x）为奇函数，当2．x＞ 0 时 f （ x） =x （1﹣ x），则当 x＜ 0 时， f （ x）= x +x考点：奇函数．专题：计算题．分析：由 f（ x）为奇函数且x＞ 0 时， f（ x） =x（ 1﹣ x），设 x＜ 0 则有﹣ x＞ 0，可得 f（ x）=﹣ f（﹣ x）=x （1+x）．解答：解：∵f（x）为奇函数，x＞ 0 时， f （ x） =x （ 1﹣x），∴当 x＜ 0 时，﹣ x＞ 0，f（x） =﹣ f （﹣ x） =﹣（﹣ x（ 1+x））=x （ 1+x），即x＜ 0 时， f（ x） =x （1+x ），2故答案为： x +x ．点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，要注意求哪区间上的解析式，要在哪区间上取变量．。
高一数学函数的性质(奇偶性)题组训练(含答案解析)
函数的性质(奇偶性)题组训练【奇偶性的判断】1．(2020·全国高一专题练习)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ；(2)()f x =(3)222()1x xf x x +=+；(4)1,0()0,0,1,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩2．(2019·全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：(1)()21x xf x x +=+；(2)()f x =3．(2018·上海市上南中学高一期中)已知函数()f x =，求(1)函数()f x 的定义域； (2)判断函数()f x 的奇偶性.【利用奇偶性求解析式】1．(2016·徐汇。
上海中学高一期末)已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =+，则函数()f x 的解析式为()f x =______.2．(2020·浙江高一课时练习)函数()f x 在(,)-∞+∞上为奇函数，且当0x 时，()(1)f x x x =+，则当(0,)x ∈+∞时，()f x =________．3．(2020·吉林宁江.松原市实验高级中学高三其他(文))已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()23f x x =-，则当0x >时，()f x =______．4．(2020·呼和浩特开来中学高二期末(文))已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x >时, ()21f x x x =+-,那么当0x <时, ()f x 的解析式为( ). A ．()21f x x x =++B ．()21f x x x =--+C ．()21f x x x =-+-D ．()21f x x x =-++【利用奇偶性求参数】1．(2020·林芝市第二高级中学高二期末(文))已知函数()33f x x x =+，若()2f a -=，则()f a 的值为( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-2．(2020·上海高一开学考试)函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 取值范围是( )A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]3．(2019·浙江南湖。
2023届高三数学一轮复习专题 利用常见函数的奇偶性解题 讲义 (解析版)
专题：利用常见函数的奇偶性解题知识梳理：1、掌握高中常见函数的奇偶性，单调性可提高解题速度2、加强知识的归纳整理工作，由知识点构建知识块3、常见的奇，偶函数类型（10≠>a a 且）：①指数型奇函数：f(x)＝11+-±x x a a ，f(x)＝）（x x a a --±， ②对数型奇函数：f(x)＝±lgx b xb +-，f(x)＝±lg(x x ++12)，③幂函数奇函数：f(x)＝m x （为奇数m ），f(x)＝xb x ±④常见偶函数：f(x)＝m x （为偶数m ） f(x)＝|x| 典型例题：例1：已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>1) (1)判断f(x)奇偶性 (2)求函数f(x)的值域变式：已知函数31()231x x f x x -=++，则满足不等式()(32)0f a f a ++>的实数a 的取值范围是 .变式1：【答案】12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例2：(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )变式：已知函数f (x )＝e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．例3：判断并证明函数f(x)=lg x x +1-1的奇偶性 （思考f(x)=lg xx-+11的奇偶性？）例4：判断并证明函数f(x)=lg(x x ++12)的奇偶性 （思考f(x)=lg(x x -+12的奇偶性？)变式1：已知函数xxa x f +-=1log )(3为奇函数，则实数a 的值为________.变式2：设函数f(x)=1)1ln(1222+++++x x x x ）（的最大值为M ，最小值为N ，试确定M+N 的值变式3：函数())lnf x kx =的图象不可能是（ ）A． B ．C ．D ．例5：已知，，则（ ） A ． B ． C ． D ．例6：已知函数2111)(x x x f +-+=，则满足f （x －1）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的x 取值范围是（ ） A ．11(,)33- B ．]31,31[- C ．24(,)33D ．]34,32[课后作业：1、已知函数f(x)=xxa a 22+-是奇函数,则f(a)的值等于( )A.-31B.3C.-31或3D.31或32、（2022年华美月考，多选）已知函数()1212xxf x -=+，())lg g x x =，则（ ）A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()g x 为奇函数C ．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上的最大值与最小值之和为01()1f x x x=+-()2f a =()f a -=4-2-1-3-D ．设()()()F x f x g x =+，则()()210F a F a +--<的解集为()1,+∞ 3、(2019·金版创新)已知函数f (x )是奇函数，g (x )＝f (x )＋21＋2x ，x ∈(－1,1)，则g ⎪⎭⎫⎝⎛21＋g ⎪⎭⎫⎝⎛21-的值为________． 4、(2019·海淀联考)已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(3)若f (k ·3x)＋f (3x－9x＋2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围．专题：利用常见函数的奇偶性解题典型例题： 例1：【答案】（1）奇函数（2）（-1，1） 【解析】(1)()f x 的定义域为R ．又()()11111111xxx x xxa a a f x f x a aa ------====-+++，所以()f x 为奇函数． （2）11211,2120<+-<-∴<+<x x a a ，即值域为（-1，1） 变式：【答案】（∞+-，21） 【解析】0313113132131321313)()(=+-++-=-+-+++-=-+--xxx x x x x x x x x f x f 所以x x f x x 21313)(++-=为奇函数，因为1313)(+-=x x x f 在定义域上单调递增，又f(x)=2x 在定义域上单调递增，所以x x f xx 21313)(++-=在定义域上是增函数 2123)23()(->⇒-->⇒-->∴a a a a f a f例2：【答案】B 【解析】依题意，注意到函数的定义域是}0|{≠∈x R x ，且)()()(22x f xe e x e e xf x x x x -=--=--=---，因此)(x f 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，选项A 不正确，且当x>0时，)(x f >0,选项D 不正确，又+∞→+∞→)(,x f x ，结合选项知B 正确，故选B变式：【答案】]21,1[-【解析】函数f (x )＝e x－1e x 是常见的奇函数，且在定义域内是单调递增的，因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0a a a f a f a f -≤⇒-=--≤∴12)1()1()2(22解得：211≤≤-a例3：【答案】奇函数【解析】由条件知：函数的定义域为11<<-x 关于原点对称 所以f(x)+f(-x)=lgx x +1-1+lg x x -+11=0，即函数f(x)是奇函数，同理f(x)=lg xx-+11也是奇函数 例4：【答案】奇函数【解析】由条件知：函数的定义域为R 关于原点对称 所以f(x)+f(-x)=lg(x x ++12)+lg(x x -+12)=lg1=0即函数f(x)是奇函数，同理f(x)=lg(）x x -+12也是奇函数变式1：【答案】1【解析】由条件知：奇函数的定义域要关于原点对称，所以分母1-≠x ，为了对称，分子a=1变式2：【答案】2【解析】由已知得1)1ln(21)(22+++++=x x x x x f 因为)1ln())(1)(ln(22x x x x ++-=-++-，所以)1ln(2x x y ++=是奇函数，进而可判定，函数1)1ln(2)(22++++=x x x x x g 为奇函数，则)(x g 的最大值1M 和最小值1N ，满足1M+1N =0，因为1,111+=+=N N M M ，所以M+N=2变式3：【答案】C 【解析】因为A,B 选项中，图像关于原点对称，所以f(x)为奇函数，f(x)+f(-x)=0 1010)1ln()1ln(2222±=⇒=-⇒=+++-+k x k kx x kx x ）（即当K=1时，f(x)的图像为选项A,当K=-1时，f(x)的图像为选项B 而C,D 选项中，图像关于Y 轴对称，所以f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)00)1ln()1ln(22=⇒=⇒++=-+k kx kx x kx x 即当K=0时，0)(≥x f 故f(x)的图像为选项D ，故f(x)的图像不可能为C例5：【答案】A 【解析】设xx x f x g 11)()(+=+=则)(1)()(x g x f x g -=+-=-，所以)(x g 是奇函数，31)()(=+=a f a g 因为)(x g 是奇函数，所以31)()(-=+-=-a f a g 所以4)(-=-a f ，故选A例6：【答案】C 【解析】函数2111)(xx x f +-+=在[)∞+，0上为增函数，所以不等式f （x －1）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 等价为 f （|x －1|）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 所以|x －1|）<31⇒3432<<x课后作业：1、【答案】C 【解析】因为函数f(x)=x xa a 22+-是奇函数，所以f(-x)=-f(x)整理得：02,02)22(2122>=-=+-x x x x a a a 因为））（（，所以1±=a 代入选C2、【答案】BCD 【解析】函数xx x f 2121)(+-=是奇函数，所以A 错，函数g(x)=lg ）x x -+12是奇函数，所以B 正确，．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上是奇函数，在对称区间上，最大值最小值之和为0，C 正确;是减函数xx f 2121)(++-=,010ln 11)()1lg()(2'2<+-=⇒-+=x x g x x x g 故F （x ）=f(x)+g(x)是减函数，a a a F a F a F a F +>⇒+<⇒<--+12)1()2(0)1()2(所以1>a ，D 正确3、【答案】2【解析】函数)(x f 是奇函数，所以0)21()21(=+-f f ，令xx h 212)(+=，则22112212)21()21(=+++=-+h h ，所以g ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＋g ⎪⎭⎫ ⎝⎛21-=2 4、【答案】（1）奇函数（2）在R 上单调递增函数（3）），（34∞-【解析】略。
高二数学函数的奇偶性试题答案及解析
高二数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知是定义在上的奇函数，且时的图像如图所示，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于是奇函数，，由图知，【考点】奇函数的应用和认识图的能力.2.已知是定义在R上的奇函数，当时（m为常数）,则的值为（）. A．B．6C．4D．【答案】D.【解析】因为是定义在R上的奇函数，当时（m为常数），所以，即，即；.【考点】函数的奇偶性、对数恒等式.3.若是定义在R上的奇函数，且满足，给出下列4个结论：（1）；（2）是以4为周期的函数；（3）；（4）的图像关于直线对称；其中所有正确结论的序号是 .【答案】①②③【解析】①因为是定义在R上的奇函数，所以，则；②，，即周期为4；③因为是定义在R上的奇函数，所以，又，；④因为是定义在R上的奇函数，所以的图像关于直线对称；故选①②③.【考点】函数的奇偶性、周期性.4.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则＝【答案】．【解析】由已知得:．【考点】函数的奇偶性与周期性．5.已知为偶函数，曲线过点，．（1）若曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；（2）若当时函数取得极值，确定的单调区间．【答案】（1）；（2）和为的单调递增区间，为的单调递增区间．【解析】（1）先根据为偶函数，得到，恒有，进而计算出（也可根据二次函数的图像与性质得到对称轴，该对称轴为轴，进而得出），然后将点代入求出，进而写出的表达式，此时，根据条件有斜率为0的切线即有实数解，根据二次方程有解的条件可得，求解出的取值范围即可；（2）先根据时函数取得极值，得到，进而求出，然后确定导函数，由导数可求出函数的单调增区间，由可求出函数的单调减区间．（1）为偶函数，故对，总有，易得又曲线过点，得，得， 3分曲线有斜率为0的切线，故有实数解此时有，解得 5分（2）因时函数取得极值，故有，解得又，令，得．当时，在上为增函数当时，，在上为减函数当时，，在上为增函数从而和为的单调递增区间，为的单调递增区间 10分．【考点】1．函数的奇偶性；2．导数的几何意义；3．函数的极值与导数；4．函数的单调性与导数．6.设是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()．A．(－1,0)B．(0, 1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)【答案】A【解析】由为奇函数，则，可得，即，又，即，可变为，解得．【考点】函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式．7.已知函数，则不等式的解集为；【答案】【解析】由奇函数性质可知：或或，解得或或，不等式的解集为【考点】利用函数性质解不等式8.函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．ab="0"B．a+b=0C．a=b D．a2+b2=0【答案】D【解析】是奇函数有f（0）=0，得b=0，f（-1）=-f（1），得a=0，∴答案是D.【考点】函数的奇偶性.9.已知。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
『方法点拨及参考答案或提示』☟函数专题（三）（一）函数奇偶性的概念性质问题方法要领指点：严格按定义来判断，即考察f(-x)与f(x)关系，熟记复合与合成函数奇偶规律参见『知识与方法梳理知识与方法梳理』4.★判断识真☆1.B.2.B.
【例题1】C.[解析])(xf是奇函数，)(xg是偶函数，则
|f(x)|、|g(x)|都是偶函数，所以f(x)g(x)是奇函数，)(|)(|xgxf是
偶函数，|)(|)(xgxf是奇函数，|)()(|xgxf是偶函数，故答案选C
〖类型题〗(一)1.D.2.A.3.D.[解析](1)fx与(1)fx都是奇函数，所以f(x+1)与
f(x-1)都关于原点对称，则f(x)图象关于(-1,0)及(1,0)成中心对称，所以(-3,0)及(3,0)也是f(x)的对称中心那么f(x+3)与f(x-3)也都关于原点对称，即他们都是奇函数
4.A.[解析]与f1(x)为奇函数，而f2(-x)=1-x+f1(-x)=1-x-f1(x)=-1x+f1(x)=-f2(x).所以f2(x)为奇函数，以此类推
各函数都是奇函数..（二）函数解析式奇偶性的判断方法要领指点：要特别注意函数定义域必须关于原点对称.【例题2】[解析].
(1)与函数定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，不关于原点对称，故为
非奇非偶函数;(2)令f(x)=12-x2;其定义域为(-2，2），且f(-x)=f(x)，
f(x)为偶函数；(3)f(x)=x(2x+12(2x-1)),其定义域为{x|x≠0xR}且f(-x)=-x22-x+12-x-1=x22x+12x-1,所以f(x)为偶函数;
(5)f(x)定义域为R，且f(-x)=log2(-x+x2+1)=log1x+x2+1=-log(x+x2+1)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
【例题3】[解析](1)x>0时，f(x)=x2-2x,且x<0f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2+2x=-f(x).(2)x<0时，f(x)=-x2-2x,且-x>0.f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.=-f(x)(3)x=0时，f(-x)=f(x)=f(0)=0，则有f(-x)=-f(x)综上，对任意xR都有f(-x)=-f(x)，即f(x)是奇函数.
※解法辩伪※〖正解〗当x=0时，f(x)=2≠0,所以f(x)不是奇函数，又∵f(-1)=(-1)2+2(-1)+3=2f(1)=-12+2-3=-2f(-1)≠f(1)∴函数f(x)不是偶函数.即f(x)是非奇非偶函
数.【例题4】[解析]令xfxxe，则11fe，
111fe
即11ff，11ff，所以
xyxe既不是奇函数也不是偶函数，而BCD依次是奇函数、
偶函数、偶函数，故选A.
〖类型题〗(二)1.(1)奇函数；(2)奇函数；(3)非奇非偶；（4）奇函数
2.C.3.B.4.A.5.B.6.C.
7.B.（三）利用对称点求值1.分段函数求值方法要领指点：注意求值点与其对称点的关系以及分段函数取段问题.【例题5】[解析]g(-1)=f(-1)=-f(1)=-(12
+2)=-3
f(g(－1))＝f(-3)=-f(3)=-(32+6)=-15
2.抽象函数求值方法要领指点：注意求值点与其对称点的关系抽象函数恒等关系式的赋值利用.【例题6】[解析]由f(-1＋2)＝f(-1)＋f(2)得f(1)=-f(1)+
f(2)，所以f(2)=2f(1)=1.
则f(5)＝f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+1=f(1)+f(2)+1=52
3.合成复合函数求值方法要领指点：首先要注意判断函数是否具有奇偶对称性，再考虑求值点与其对称点的关系.★判断识真☆B解析]f(x)为偶函数，f(-a)=f(a),点(a，f(a))是在图像上的
点，故选B
【例题7】[解析]可证g(x)=ln(1+9x2
-3x是奇函数，
f(lg2)+f(lg12)=f(lg2)+f(-lg2)=g(lg2)+g(-lg2)+2=2
〖类型题〗(三)1.D.
2.D3.[解析]y＝f(x)＋x2是奇函数，f(-x)+f(x)+2x2=0,
f(-1)+f(1)+2=0,f(-1)=-3.g(-1)＝f(-1)+2=-14.A.5.B.
（四）函数的对称中心和轴1.对称轴的判断方法要领指点：轴对称函数都可以平移转化为偶函数.也可以考虑特殊的点对称排除非轴对称，轴对称函数满足的恒等关系参见『知识与方法梳理』3.★判断识真☆
D.[解析]f(x)=4x+12x=2x+2-x,f(-x)=2-x+2x=f(x).f(x)
是偶函数，关于y轴对称.※解法辩伪※〖正解〗∵f(2x+1)是偶函数，∴f(2x+1)=f(-2x+1)即
f[2(x+12)=f[2(-x+12)]，且f(x+1)=f(-x+1).故f(2x)的对称
轴为x=12，f(x)的对称轴为x=1.【例题8】C[解析]由f(
12)=f(3
2)可排除A、B.并由此
猜测C的可能性.法1：平移利用奇偶性判断.将f(x)向左平移1个单位得函数y=
xyOf(x+1)=ln(x+1)+ln(1-x),此为偶函数关于y轴对称，故y=f(x)关于x=1对称.法2：验证f(1+x)=f(1-x)成立,由此可知f(x)关于x=1对称.
2.对称中心的判断方法要领指点：中心对称函数都可以平移转化为奇函数.也可以考虑特殊的点对称排除非中心对称，中心对称函数满足的恒等关系参见『知识与方法梳理』3.【例题9】[解析]设f(x)对称中心(h,k).
f(x+h)-k=x3+3(h-1)x2+(3h2-6h+5)x+h3-3h2+5h-1-k.
f(x+h)-k必为奇函数，所以
32
10
3510h
hhhk
解得
h=1,k=2.即f(x)对称中心为(1,2)
〖类型题〗(四)1.C.2.x=-33.A.4.(1,1)5.-266.D.
（五）函数奇偶性对称性确定的参数问题方法要领指点：主要三种方法：一是特殊值法，二是恒等式法，三是平移变换法.特殊值法即利用两对称点值关系列等式求解参数，操作简单容易，但结果只是必要条件，不保证充分性,所以这种方法要注意解的合理性，防止增解；恒等式法是利用基本定义中恒等式，考查恒等式成立的条件，从而确定参数值如此解得之解是充要的.平移变换法是通过平移变换将函数化为奇或偶函数再确定参数值.1.偶函数确定的参数
【例题10】[解析]法1：（特殊值法）由f(-1)=f(1)得ln(e
-3+1)-a=ln(e3+1)+a,2a=ln(e-3+1)-ln(e3+1)=
ln1+e3e3-ln(e3+1)=ln1e3=-3.则a=-32若axexfx1ln3是偶函数法2：（恒等式法）由f(-x)=f(x)得ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax
2ax=ln(e-3x+1)-ln(e3x+1)=ln1+e3xe3x-ln(e3x+1)=ln1e3x=-3x.上式等式恒成立时只有a=-32.
2.奇函数确定的参数【例题11】[解析](特殊值法）由于f(x)是奇函数f(-1)=
-f(1)=-2，从而有解得c=0,a+1=2b，
由f(2)<3得1212abcabc，4a＋12b<3,4(2b-1)＋12b<3,则4-
32b<3即32b>1，02.又bZ，则只有b=1,a=1且此
时f(x)＝x2
＋1
x,可验证f(x)确为奇函数.
※解法辩伪※〖正解〗法1（特殊值法）当f(x)是奇函数时，f(0)=0,f(-1)=-f(1),
即110,22214babbaa解得2,1a
b
.
此时f(x)=-2x
＋1
2x+1+2=12·
1-2x
1+2x
f(-x)=12·1-2-x1+2-x=12·2x-12x+1=-f(x)，故存在a、b实数使f(x)为
奇函数.
法2（恒等式法）由f(-x)=-f(x)得-2-x＋b2-x+1+a=--2x
＋b
2x+1+a
化为-1＋b2x2+a2x+-2x
＋b
2x+1+a=0.整理得(2b–a)(2x)2+(2ab–4)2x
–a+2b=0.上式关于x恒成立，故不可能是关于2x的二次或一次方程，∴必有2b–a=0,2ab–4=0,解得a=2,b=1或a=-2,b=-1.
而当a=-2,b=-1时，f(x)=-2x-1
2x+1-2(x≠0)，定义域非全体实
数，不合题意.故只有a=2,b=1.3.非奇偶函数确定的参数【例题12】[解析]（平移变换法）由(1)(1)fxfx得
函数()fx关于1x对称，将f(x)向左平移a个单位得偶函数f(x+a)=2|x|,偶函数关于y轴对称，则f(x)关于x=a对称，故
1a，则
1
()2x
fx
，由复合函数单调性得()fx在[1,)递
增，故1m，所以实数m的最小值等于1．
【例题13】[解析]（特殊值法）f(-1)=f(1)=0.由对称
性可知，f(-3)=f(-5)=0，即-3,-5是方程x2＋ax＋b=0的两根，所以a=8,b=15.f(x)=(1－x2)(x2＋8x＋15)=-(x2-1)(x+3)(x+5)=-[(x+2)-3][(x+2)-1][(x+2)+1][(x+2)+3]=-[(x+2)2-9][(x+2)2-1]=-(x+2)4+10(x+2)2-9=-[(x+2)2-5]2+16(x+2)2=5即x=-25时f(x)取最大值为16
〖类型题〗(五)1.02.C．
3.13.4.1.5.1.
6.-1.
7.12.8.B.[解析]由fx为偶函数得0m,所以2,4,0abc,故选B9.C.[解析]由题意()()fxfx，即
2121
,
22
xx
xxaa
所以，(1)(21)0,1xaa，21(),21xxfx由21()3
21
x
xfx
得，122,01,xx故选C.
10.[解析]（1）判断f(x)的奇偶性，并说明理由；由f(-x)=f(x)得ax=0，恒成立时，a=0,即a=0时,f(x)为偶函数.
由f(-x)=-f(x)得2x2=0,此式对任意a值都不能恒成立，故无
论a为何值，f(x)都不能是奇函数.